Компрессия цифровых изображений с использованием векторного квантования в области дискретных ортогональных преобразований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кочетков, Михаил Евгеньевич

• Кочетков, Михаил Евгеньевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кочетков, Михаил Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ СЖАТИЯ ЦИФРОВЫХ НЕПОДВИЖНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

1.1. о сравнении качества изображений. peak signal то noise ratio

PSNR).

1.2. Методы сжатия, основанные на кодировании проквантованных спектров.

1.3. Стандарт сжатия цифровых изображений JPEG.

1.4. Векторное квантование.

1.5. Фрактальное кодирование изображений.

1.6. Использование вейвлетов для сжатия изображений.

ГЛАВА 2. ЭНТРОПИЙНЫЙ КРИТЕРИЙ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ПСЕВДОКОСИНУСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

2.1. Критерий Пирл а.

2.2. Энтропийный критерий оценки декоррелирующих свойств ортогональных преобразований.

2.3. Дискретное псевдокосинусное преобразование (ДПКП).

2.3.1. Сравнение ДПКП с другими преобразованиями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компрессия цифровых изображений с использованием векторного квантования в области дискретных ортогональных преобразований»

7 января 1839 года Д.Aparo доложил на заседании Французской академии наук об изобретении Л.Дагером фотографического метода получения изображения— этот день можно считать началом эры применения техники для обработки визуальной информации. Появление телевидения напрямую связало задачи обработки изображений с задачами обработки электрических сигналов, а революционное развитие в последние десятилетия цифровой электроники привело к тому, что повсеместный переход от аналоговых форм представления сигналов к цифровым стал характерной чертой современных электронных систем. В этой связи вопросы цифровой обработки изображений (ЦОИ) приобретают сегодня особую актуальность.

Одноцветное дискретное изображение можно описать некоторой матрицей, элементы которой {точки изображения, называемые также пикселами) представляют собой полученные в результате некоторой пространственной дискретизации отсчеты функции, описывающей распределение яркости на непрерывном изображении. Цифровым изображением будем называть матрицу, полученную в результате поэлементного квантования (с конечным числом уровней) значений отсчетов дискретного изображения [23].

Методы обработки дискретных (цифровых) изображений можно разбить на две большие группы: непосредственные и спектральные. В непосредственных методах обработке подвергаются исходные пикселы изображения, в то время как спектральные методы имеют в своей основе применение различных дискретных унитарных преобразований (Фурье, Уолша, Хаара и др.) и производят обработку 7 уже не исходных точек изображения, а коэффициентов преобразования (элементов дискретного спектра). Причем применяемые в спектральных методах преобразования как правило двумерные, в силу двумерности обрабатываемых сигналов (цифровых или дискретных изображений).

Прэтг [73] различает три основных области применения двумерных унитарных преобразований для обработки изображений. Во-первых, преобразования используются для выделения характерных признаков изображения. Например, постоянная составляющая спектра Фурье пропорциональна средней яркости изображения, а высокочастотные составляющие характеризуют ориентацию и резкость контуров. Другой областью применения преобразований является кодирование изображений, когда оцифровке (квантованию с конечным числом уровней) подвергается не само дискретное изображение, а его спектр, что во многих случаях позволяет добиться заметного сокращения длины кода. Третья область приложений — это сокращение размерности при выполнении вычислений; иначе говоря, в процессе спектральной обработки (например, фильтрации) малые по величине коэффициенты преобразования можно отбросить без заметного ухудшения качества обработки.

И вторая, и третья области применения преобразований в классификации Прэтта •— это, по сути, один и тот же круг задач сжатия информации при обработке изображений, или просто сжатия изображений. Под термином сжатие изображений в ЦОИ будем понимать сокращение, насколько возможно, затрат бит для кодирования изображений (исходно дискретных или цифровых) при сохранении приемлемого уровня точности их последующего воспроизведения. Другими 8 словами, сжатие изображений — это их эффективное, в смысле экономии бит, представление в виде двоичного кода.

Постановка вопроса о применении спектральных методов для сжатия изображений стала возможной благодаря появлению в 1965 году работы Кули и Тьюки [42], содержавшей описание алгоритма быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Идея замены одноцветного изображения как непосредственного объекта кодирования отсчетами его двумерного спектра дискретного преобразования Фурье (ДПФ) была выдвинута в 1968 году [32]. Кодирование посредством использования ДПФ основано на том, что для большинства изображений естественного происхождения значения многих коэффициентов ДПФ сравнительно малы. Такие коэффициенты можно часто вообще отбросить, или отвести на их кодирование малое число бит, без риска внести сколь-либо значимые искажения. В 1969 году Прэтг, Эндрюс и Кэйн предложили использовать для кодирования изображений вместо преобразования Фурье преобразование Адамара [2,15,31,74], что во многих практических случаях позволяет значительно уменьшить объем необходимых вычислений. После этого были предприняты исследования по применению для кодирования изображений дискретных преобразований Карунена-Лоэва [50], Хаара [27,76] и Крестенсона-Леви [2,3,4,5.23]. Преобразование Карунена-Лоэва является оптимальным в том смысле, что обеспечивает минимальную среднеквадратическую ошибку кодирования, однако требует, к сожалению, знания статистических характеристик обрабатываемых изображений и не имеет быстрого алгоритма вычисления [73]; преобразование Хаара, напротив, характеризуется в 9 высшей степени эффективным алгоритмом вычисления, но дает, как правило, сравнительно большую погрешность кодирования [73]. В 1971 году Шибата и Эномото [46] предложили специально для использования в кодировании изображений так называемое наклонное преобразование векторов из 4 или 8 компонент. Вскоре после этого Прэтт, Чен и Уилч разработали обобщенный алгоритм наклонного преобразования векторов большой длины и двумерных массивов [75].

Все преимущества кодирования одноцветных изображений с использованием преобразований вытекают в конечном счете из особенностей распределения энергии среди элементов дискретного спектра — благодаря этому двумерный спектр более удобен для кодирования, чем изображение в исходном представлении [1,14, 33]. Вследствие значительных корреляционных связей между элементами изображения естественной природы основная энергия в дискретном спектре имеет тенденцию концентрироваться в относительно небольшом числе отсчетов, соответствующих медленно осциллирующим базисным функциям. Поэтому, без существенного ущерба для последующего восстановления изображения, малые по величине спектральные коэффициенты можно вообще обнулить, а оставшиеся элементы спектра оцифровать (проквантовать и закодировать).

Как показано Ахмедом и др. [28], в применении к кодированию изображений, для которых подходит марковская статистическая модель, дискретное косинусное преобразование (ДКП), имеющее быстрый алгоритм вычислений, приближается по эффективности к преобразованию Карунена-Лоэва

10 см. также [1,45,77]). Данный факт явился причиной того, что именно ДКП послужило основой при разработке стандарта сжатия неподвижных изображений JPEG [39]. Указанный стандарт явился плодом многолетних усилий коллектива специалистов, образованного в 1987 году из представителей двух авторитетных международных организаций: ISO и CCITT. Появление объединенной группы JPEG было вызвано ростом числа разработчиков и пользователей различных систем ЦОИ и вытекавшей из этого необходимостью унификации формата сжатого представления цифровых изображений. Выработанная в итоге спецификация [39] явилась документом, которого сегодня придерживаются практически все разработчики программных систем ЦОИ общего назначения. Уже производятся специализированные микросхемы, реализующие сжатие и восстановление по JPEG аппаратно и обеспечивающие обработку цветных изображений в реальном масштабе времени (480x640 точек, 30 кадров/с [60]).

С точки зрения достижимого уровня сжатия, стандарт JPEG не является лучшим среди существующих ныне методов эффективного кодирования изображений, обзор которых будет дан в главе 1 настоящей работы. Однако, достаточно высокое сжатие (10-50 раз для цветных изображений), приемлемая сложность реализации, наличие международного стандарта [39] и широчайшее распространение позволяют JPEG удерживать лидерство. Именно исходя из этих соображений JPEG был выбран автором в качестве эталона для сравнения предлагаемого в этой работе алгоритма векторного квантования. Краткое описание методики сжатия изображений в стандарте JPEG будет представлено в главе 1. Там же представлен способ сравнения качества изображений по PSNR и краткие комментарии автора по поводу ограничений на его применение.

Настоящая диссертационная работа решает следующие задачи:

1. Доработка и экспериментальное обоснование энтропийного критерия для сравнения дискретных ортогональных преобразований, предложенного в [20].

2. Исследование декоррелирующих свойств дискретного псевдокосинусного преобразования (ДПЬСП), впервые введенного в [19]. Экспериментальное апробирование ДПКП в задаче сжатия цифровых изображений.

3. Разработка алгоритма векторного квантования, пригодного для сравнения различных дискретных ортогональных преобразований, применяемых в задаче сжатия цифровых изображений.

4. Разработка многопотоковой схемы арифметического кодирования для алгоритма 3.

Новизна пунктов 1-3 решаемых настоящей работой задач вытекает из новизны и не изученности вышеуказанных энтропийного критерия и ДПКП. Многопотоковая схема арифметического кодирования была специально разработана для нового алгоритма векторного квантования. Актуальность этих задач обусловлена исключительной важностью для ЦОИ проблем сжатия данных.

Коротко представим расположение материала по главам настоящей работы.

Как уже отмечено выше, для кодирования изображений используются разные виды дискретных ортогональных преобразований (для краткости будем называть их также просто преобразованиями). Очевидно, что не все они одинаково эффективны с точки зрения своих декоррелирующих свойств (далее, если не

12 оговорено другое, будем понимать под эффективностью преобразования именно это). Для оценки декоррелирующих свойств преобразований используется критерий Пирла [68], который позволяет оценить степень остаточной корреляции по ковариационной матрице исходных данных. В [20] предлагается альтернативный энтропийный критерий. Однако, в [20] практически отсутствует материал, позволяющий судить о согласованности предлагаемого критерия с другими оценками эффективности преобразований. Кроме того, для использования на практике по ряду причин (подробнее см. главу 2) данный критерий не всегда удобен. В первой части главы 2 рассматривается модифицированный энтропийный критерий для сравнения дискретных ортогональных преобразований на основе критерия из [20]. Являясь по сути разностью средних энтропий, приходящихся на один отсчет данных после применения исследуемого преобразования и оптимального преобразования Карунена-Лоэва, новый критерий может быть использован на практике для оценки объема кода, представляющего исходные данные. Этот вывод экспериментально подтверждают результаты, приведенные в главе 5 настоящей работы. В главе 2 и приложениях 1-4 также представлен обширный экспериментальный материал, на основе которого делается вывод о согласованности критерия Пирла и нового энтропийного критерия. Впервые этот материал был опубликован автором в [11]. Отметим также, что [11] и настоящая работа в значительной степени расширяют известный материал о критерии Пирла, приведенный в [13].

Вторая часть главы 2 посвящена теоретическому изучению свойств дискретного псевдокосинусного преобразования (ДПКП), впервые введенного в

13

19]. Помимо эффективности декоррелирующих свойств, для преобразований большую роль играет скорость их вычисления. Так, наиболее эффективные преобразования содержат в своих быстрых алгоритмах вычисления операции умножения. Поэтому мы их будем называть просто «быстрыми». Как уже отмечалось выше, на практике находят применение и «сверхбыстрые», т.е. не содержащие операций умножения и деления, но менее эффективные преобразования Хаара, Адамара, Крестенсона-Леви и проч. В [19] показано, что ДПКП относится к числу «сверхбыстрых» преобразований и на нескольких примерах показано, что оно эффективнее преобразований своего класса. Глава 2 и приложение 5 настоящей работы впервые дают исчерпывающую информацию об эффективности ДПКП, а в главе 5 представлены экспериментальные результаты первого практического использования ДПКП при кодировании изображений. Основная часть этого материала была опубликована автором в [24].

Глава 3 посвящена разработанной автором многопотоковой реализации алгоритма арифметического кодирования. Суть предлагаемой реализации известного алгоритма в том, что она позволяет одновременное независимое и эффективное кодирование данных, поступающих от произвольного числа источников информации. При этом указанные источники могут иметь различные статистики распределения символов. Сама постановка задачи разработки эффективной многопотоковой схемы арифметического кодирования возникла после анализа известных схем статистического кодирования, используемых при обработке графических данных (см., например, [39]). Как будет показано в главе 4, модифицированный алгоритм показал себя очень эффективной и удобной базой для реализации схемы статистического кодирования векторного квантователя. Материал о многопотоковой реализации алгоритма арифметического кодирования впервые был опубликован автором в [25].

Глава 4 является основной и содержит четыре важных логических раздела. К первому разделу отнесем разработанный автором один из быстрых вариантов алгоритма векторного квантования. Раздел о новом алгоритме помимо собственно его описания дает понятия о традиционной схеме векторного квантования и некоторых ее модификаций, на идее которых строится предлагаемый новый вариант. Большинство отличительных особенностей нового алгоритма напрямую связаны с многопотоковой схемой арифметического кодирования, рассмотренной в главе 3.

Второй логический раздел главы 4 составляет алгоритм эффективного разбиения спектров ортогональных преобразований на области для последующего непосредственного статистического кодирования. В этот же раздел попали результаты экспериментальных исследований указанного алгоритма разбиения.

В третьем разделе представлены результаты сравнения нового алгоритма векторного квантования с JPEG. Там же приведены результаты экспериментов с предложенной автором схемой статистического кодирования и показана ее эффективность.

Четвертый раздел посвящен вопросам применения порогового квантования [43] в задаче сжатия цифровых изображений. Имея положительные отзывы о применении этого вида квантования на практике (см., например, [43]), автор реализовал указанный вид квантования для своего алгоритма векторного квантования. Однако, объективная оценка полученных результатов по PSNR (подробнее о PSNR и сравнении качества изображений будет сказано в главе 1) показала неэффективность применения такого квантования. Помимо своего алгоритма, автор получил такие же разочаровывающие результаты после применения порогового квантования в JPEG. Это стало возможным благодаря внесенным модификациям в public domain исходный код реализации JPEG от Independent JPEG Group's software1.

Помимо этого, в главе 4 рассматриваются вопросы влияния некоторых параметров рассматриваемого алгоритма векторного квантования на его эффективность в смысле объема сжатых данных и быстродействия. Автор позволил себе ограничится рассмотрением лишь наиболее важных, на его взгляд, параметров: размер кодовых книг и порог, задаваемый при сравнении векторов кодовых книг на неполное совпадение (эти понятия будут введены в главе 4). В конце главы и в приложении 5 дано краткое описание компьютерной программы, реализующей новый алгоритм векторного квантования, с помощью которой была получена основная часть экспериментальных данных.

Основные материалы главы 4 опубликованы автором в работах [6,8,9].

Глава 5 полностью посвящена результатам применения ДПКП в алгоритме векторного квантования, изложенному в главе 4. Экспериментально проверяются следующие положения:

1 http://www.ijg.org

16

1. Теоретические выводы, сделанные в главе 2 об эффективности применения ДПКП для сжатия изображений в сравнении с другими преобразованиями.

2. Согласованность теоретических и практических оценок декоррелирующих свойств ДПКП.

3. Связь энтропийного критерия для оценки декоррелирующих свойств дискретных ортогональных преобразований с объемом кода сжатых графических данных.

На защиту диссертации выносятся следующие основные результаты:

• результаты апробации модифицированного энтропийного критерия для сравнения дискретных ортогональных преобразований;

• многопотоковая реализация алгоритма арифметического кодирования;

• модификация алгоритма векторного квантования, пригодная для решения задач практического сравнения результатов применения различных дискретных ортогональных преобразований;

• анализ эффективности и результаты использования ДПКП в задачах сжатия графических данных.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 8 работах [6-11,24,25]. Все приводимые в диссертации результаты из написанных в соавторстве работ получены лично автором. Многопотоковая реализация алгоритма арифметического кодирования и новый алгоритм векторного квантования доказали свою эффективность на практике (см. приложение 8).

17

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кочетков, Михаил Евгеньевич

Выводы и заключение

Главными результатами проведенных исследований являются энтропийный критерий для сравнения дискретных ортогональных преобразований, многопотоковая реализация алгоритма арифметического кодирования и модифицированный алгоритм векторного квантования с возможностью использования различных дискретных преобразований. Перечислим основные результаты настоящей диссертационной работы:

1. Теоретическое исследование энтропийного критерия для сравнения дискретных преобразований. Сравнение нового критерия с существующим критерием Пирла. Получение экспериментальных результатов, подтверждающих связь нового критерия с объемом кода сжатых данных.

2. Исследование декоррелирующих свойств ДПКП. Теоретическое сравнение ДПКП с другими преобразованиями.

3. Разработка многопотоковой схемы арифметического кодирования. Новая схема позволяет эффективно одновременно независимо кодировать данные, поступающие от произвольного числа источников информации. Указанные источники информации могут иметь произвольную статистику распределения символов и алфавиты.

4. Разработка модификации алгоритма векторного квантования, допускающего использование различных дискретных преобразований. В основу алгоритма положена идея использования подхода фразами словаря являются участки спектра изображения. Алгоритм является адаптивным и неитерационным. Основное внимание при проектировании алгоритма уделялось его быстродействию. Отличительные особенности нового алгоритма заключаются в исключении .R-D-критерия и оригинальной схеме статистического кодирования, основанной на МПАК. Помимо основной задачи сжатия графических данных, алгоритм может быть использован как основа для практических исследований по применению дискретных ортогональных преобразований в задаче сжатия изображений и исследований по кластеризации данных. В ходе работы над указанным алгоритмом была предложена методика эффективного статистического кодирования спектров дискретных ортогональных преобразований. Сравнение нового алгоритма векторного квантования с JPEG показало эффективность первого. Отмечается среднее повышение степени сжатия изображений более чем на 10%.

5. Изучение влияния использования порогового квантования в задаче сжатия изображений. В ходе экспериментальных исследований выяснилось, что применение этого вида квантования в новом алгоритме векторного кодирования и в JPEG не эффективно. Отрицательный результат связывается с большой долей энергии, которую несут маленькие коэффициенты после скалярного квантования. На основании этого вывода можно предположить, что указанный вид квантования будет неэффективным и в других схемах сжатия изображений, использующих скалярное квантование коэффициентов спектров дискретных преобразований.

6. Практическое применение ДПКП в задаче сжатия изображений. В результате экспериментов были подтверждены теоретические выводы об эффективности декоррелирующих свойств этого преобразования, впервые

140

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кочетков, Михаил Евгеньевич, 1999 год

1. Ахмед П., Pao К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. М.: Связь, 1980. - 248 с.

2. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука, 1987.-344 с.

3. Ефимов A.B., Поспелов A.C., Умняшкин C.B. Некоторые свойства мультипликативных ортонормированных систем, используемые в цифровой обработке сигналов // Труды математического института им. В.А.Стеклова РАН. Т.219. - 1997. - С 137-182.

4. М.Е.Кочетков Сокращение избыточности измерительной информации. //Микроэлектроника и информатика 97: Тезисы докладов межвузовской научно-технической конференции. Часть 2. М.: МГИЭТ (ТУ), 1997. -228 с. -С.142.

5. М.Е.Кочетков Об одной реализации метода векторного квантования. //Микроэлектроника и информатика 98. Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: в 2 ч, Тезисы докладов. Ч 2. М.: МИЭТ, 1998. -256 с. -С. 187.

6. Применения цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Э.Оппенгейма. М: Мир, 1980. - 552 с.

7. Прэтт У., Кэйн Д., Эндрюс X. Кодирование изображений посредством преобразования Адамара // ТИИЭР. 1969. - Т.57. - №1. - С. 66-77.

8. Хв.Птачек М. Цифровое телевидение. Теория и техника / Пер. с чешек, под ред. Л.С.Виленчика. М.: Радио и связь, 1990. -528 с.

9. Т. Сван Форматы файлов Windows // M.: БИНОМ, 1994 —228 е.: ил.

10. Умняшкин C.B. Об оценке декоррелирующих свойств дискретных преобразований. //Микроэлектроника и информатика 97: Тезисы докладов межвузовской научно-технической конференции. Часть 2. М.: МГИЭТ(ТУ), 1997. -228 с. -С.110.

11. C.B.Умняшкин О модификации дискретного косинусного преобразования // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. междунар. конф. (Тула, 26-29 мая 1998 г.). Тула: ТулГУ, 1998. - С.264-265.

12. Умняшкин C.B. Применение дискретного преобразования Крестенсона-Леви в цифровой обработке изображений. Дисс. канд. техн. наук. Москва, 1997.- 198 с.

13. Умняшкин C.B., Кочетков М.Е. Анализ эффективности использования дискретных ортогональных преобразований для цифрового кодирования коррелированных данных. // Известия вузов. Электроника №6, 1998. -С. 79-84.

14. C.B. Умняшкин, М.Е. Кочетков, Многопотоковая реализация алгоритма арифметического кодирования / М.: МГИЭТ (ТУ), 1998. 21 с. Депонировано в ВИНИТИ 25.12.98 № 3884-В98.

15. Шлихт Г.Ю. Цифровая обработка цветных изображений // М., Издательство ЭКОМ, 1997. —336 е.: ил.27 .Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений / Пер. с англ. под ред. Б.Ф.Курьянова. М.: Энергия. - 1977. - 161 с.

16. Ahmed N., Natarajan Т., Rao K.R On image processing and a discrete cosine transform // IEEE Trans. Computers. -1974. V. C-23 - №1. - P.90-93.

17. A. J. Ahumada Jr. and H. A. Peterson. Luminance-Model-Based DCT Quantization for Color Image Compression, in Human Vision, Visual144

18. Processing, and Digital Display III, B. E. Rogowitz, ed. (Proceedings of the SPIE, 1992).

19. Andrews H.C., Pratt W.K. Fourier transform coding of images // Hawaii International Conference on System Science, January 1968. P. 677-679.

20. Andrews H.C., Pratt W.K. Transform image coding // Proc. Computer processing in communications. New York: Polytechnic Press, 1969. - P. 6384.

21. H. B. Barlow. Dark and light adaptation: Psychophysics, in Handbook of Sensory Physiology, L. Hurvich and D. Jameson, ed. (Springer-Verlag, New York, 1972).

22. Michael F. Barnsley,S.Demko Iterated functions systems and the global construction of fractals // Proc. Royal Society of London, val. A399, pp/243-275, 1985.

23. Michael F. Barnsley, Arnaud Jacquin Applications of recurrent iterated function systems to images //Proc. SPIE, vol. 1001, pp. 122—131, 1988.

24. P. J. Burt, E. H. Adels on A Multiresolution Spline with Application to Image Mosaics // ACM Transactions on Graphics 2(4): 217-236 (1983).

25. CCITT. Recommendation J.140 Version 3/1998 Transmission of television, sound programme and other multimedia signals. Measurement of the quality of service Subjective picture quality assessment for digital cable television systems.//ITU 1998.

26. EE Trans. Acoust., Speech and Sig. Proc., 37(1):31—42, January 1989.

27. Cooley J. ¡V., Tukey J. W. An algorithm for machine computation of complex Fourier series // Mach. Comput. 1965. - V.19. - P. 297-301.

28. Geoffrey M. Davis, Aria Nostratinia Wavelet-based Image Coding: An Overview // Applied and Computational Control, Signals, and Circuits, Vol. 1, No. 1, Spring 1998.

29. AA.M.Effros, P.A.Chou, R.M.Gray, One-pass adaptive universal vector quantization. In Proceedings of ICASSP'94, volume 5, pp. 625—628, 1994.

30. Eliott D.F., Rao K.R. Fast transforms: algorithms, analyses, applications. — London: Academic Press inc., 1982. -488p.

31. Enomoto H., Shibata K. Orthogonal transform coding system for television signals // IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility. 1971. - Special issue on Walsh functions. -V. EMC-13. - №3. - P. 11-17.146

32. Raphael A. Finkel, Jon Louis Bentley Quad Trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys. Acta Informatica 4: 1-9(1974).

33. Grana, M., D'Anjou, A., Gonzalez, A.I., Albizuri, F.X., Cottrell, M., Competitive Stochastic Neural Networks for Vector Quantization of Images // Neurocomputing(7), No. 2, March 1995, pp. 187-195.

34. Robert M. Gray, Vector Quantization, IEEE ASSP Magazine, April 1984, pp. 4-29.

35. Habibi A., Wintz P.A. Image coding by linear transformation and block quantization // IEEE Trans. Commun. Tech. 1971. - V. COM-19. - №1. -P.50-63.

36. R. Hamzaoui, B. Ganz, D. Saupe Quadtree based variable rate oriented mean shape-gain vector quantization // Proc. DCC'97 Data Compression Conference, J. A. Storer, M. Cohn (eds.), IEEE Computer Society Press, March 1997.

37. R. Hamzaoui, M. Muller, D. Saupe, Enhancing fractal image compression with vector quantization // Proc. of IEEE Digital Signal Processing Workshop, Loen, Sept. 1996.

38. R. Hamzaoui, M. Muller, D. Saupe, VQ-enhanced fractal image compression // Proc. of IEEE ICIP'96, Lausanne, Sept. 1996.

39. Hamzaoui, R., Saupe, D., Combining fractal image compression and vector quantization // submitted to IEEE Transactions on Image Processing April 1998, revised March 1999.

40. Hartenstein, H., Saupe, D., Barthel, K., VQ-Encoding of luminance parameters in fractal coding schemes, Proc. ICASSP , Munich, April 1997.

41. Huffman D.A. A Method for the Construction of Minimum Redundency codes //Proc. IRE, Vol. 40, pp. 1098—1101, 1952.

42. Langdon G. Method for Carry-over Control in a Fifo Arithmetic Code String // IBM, Technical Disclosure Bulletin, Vol. 23, No.l, pp. 310—312, 1980.

43. G. E. Legge and J. M. Foley. Contrast masking in human vision, Journal of the Optical Society of America. 70(12), 1458-1471 (1980).

44. S.Mallat Review of Multifrequency Channel Decomposition of Images and Wavelet Models // Technical Report 412, Robotics Report 178, NYU (1988).

45. Y.Meyer Wavelets and Operators // Analysis at Urbana vol.1 edited by E. Berkson, N.T. Peck and J. Uhl, London Math. Society, Lecture Notes Series 137, 1989.

46. Nelson Mark. The Data Compression Book. Printed in India under arrangement with M&T Publishing, Inc., USA - First Indian Edition - 1996. -557 p.

47. F. L. van Nes and M. A. Bouman. Spatial modulation transfer in the human eye, Journal of the Optical Society of America. 57, 401-406 (1967).

48. Pearl J. On coding and filtering stationary signals by discrete Fourier transforms // IEEE Trans. Inf. Theory. 1973. - Vol. IT-19. - P. 229-232.

49. Pennebaker, William B., and Joan L. Mitchell. JPEG: Still Image Data Compression Standard. New York: Van Nostrand Reinhold, 1993.

50. K. S. Prashant and V. J. Mathews, A massively parallel algorithm for vector quantization // Proc. of the 1995 NASA Space and Earth Sciences Workshop, Salt Lake City, Utah, March 1995.

51. William K. Pratt Digital Image Processing — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1978.

52. A.Pratt W.K., Andrews H.C. Application of Fourier-Hadamard transformation to bandwidth compression // Picture bandwidth compression / Ed.: Huang T.S., Tretiak O.J. New York: Gordong and Breach, 1972. - P. 515-554.

53. Pratt W.K., Chen W.H., Welch L.R. Slant transform image coding // IEEE Trans. Commun. -1974. -V. COM-22. P.1075-1093.

54. Rao K.R., Narasimhan M.A., Revuluri K. Image data processing by Hadamard-Haar transform // IEEE Trans. Computers. 1975. - V. C-23. - №9. - P. 888896.

55. Rao K.R., Yip P. Discrete cosine transform algorithms, advantages, applications. - London: Academic Press inc., 1990.

56. Sanderson, H., Crebbin, G., Image Segmentation for Compression of Images and Image Sequences, VISP(142), No. 1, February 1995, pp. 15-21.

57. David S. Scott, S. Sitharama Iyengar TID A Translation Invariant Data Structure for Storing Images. CACM 29(5): 418-429(1986).

58. C.E.Shennon Coding theorems for a discrete source with a fidelity criterion // IRE Nat. Conv. Rec., vol. 4, pp. 142-163, March, 1959.

59. E.J. Stollnitz, D.T.Derose, D.H.Salesin Wavelets for Computer Graphics. Theory and Applications // San Francisco, California: Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1996.

60. A. Unnikrishnan, Priti Shankar, Y. V. Venkatesh Threaded Linear Hierarchical Quadtree for Computation of Geometric Properties of Binary Images. TSE 14(5): 659-665(1988)

61. John D. Villasenor Alternatives to the Discrete Cosine Transform for Irreversible Tomographic Image Compression // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 12, pp. 803-812, 1993.

62. Wallace G.K. The JPEG algorithm for image compression standard // Communications of the ACM. 1991. -V.34. -№4. - P. 30-44.

63. Terry A. Welch A Technique for High Performance Data Compression // IEEE Computer, 17(6), June 1984, pp. 8-19.150

64. Woods J.W., Huang T.S. Picture bandwidth compression by linear transformation and block quantization // Picture bandwidth compression / Ed.: Huang T.S., Tretiak O.J. New York: Gordong and Breach, 1972. - P.555-573.

65. J. Ziv and A. Lempel, A Universal Algorithm for Sequential Data Compression, IEEE Trans, on Information Theory, Vol. IT-23, No. 3, May 1977, pp. 337-343.151