Коммутаторная длина степеней и асферичность групп, заданных графами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Березнюк Вадим Юрьевич

• Березнюк Вадим Юрьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Березнюк Вадим Юрьевич

Введение

Глава 1. Коммутаторная длина степеней в свободных

произведениях групп

1.1 Введение

1.2 Почти точность оценки

1.3 Диаграммы Хауи

1.4 Лемма о столкновениях

1.5 Лемма о кластерах

1.6 Основная теорема

Глава 2. Степени с минимальной коммутаторной длиной в

свободных произведениях групп

2.1 Введение

2.2 Диаграммы Хауи и произведения коммутаторов

2.3 Диаграммы для [а,{\п

2.4 Доказательства теорем

2.5 Пример коммутаторного разложения

Глава 3. Асферичность групп, заданных графами

3.1 Введение

3.2 Группы, заданные графами, и графические условия малых сокращений

3.3 Основная теорема

3.4 Следствия основной теоремы

3.4.1 Условия малых сокращений

3.4.2 Метод движений

3.5 Зависимости и сферические диаграммы

3.6 Доказательство основной теоремы

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коммутаторная длина степеней и асферичность групп, заданных графами»

Актуальность темы и степень её разработанности

Диссертация посвящена изучению двух независимых тем, связанных с теорией групп. Первым исследуемым вопросом является задача о вычислении минимальной возможной коммутаторной длины п-й степени элемента в свободных произведениях произвольных групп.

Хорошо известно, что истинная степень неединичного элемента не может быть коммутатором в свободной группе, это было замечено Шюценберже ещё в 1959 году [37]. Ясно, что квадрат неединичного элемента может быть произведением двух коммутаторов, и куб неединичного элемента может быть произведением трёх коммутаторов. В 1981 году Каллером [14] было обнаружено, что в свободной группе Г(а,Ь) куб может быть произведением двух коммутаторов:

[аД3 = [а-1Ьа,а-2ЪаЪ-1][ЪаЪ-\Ъ2],

где [а,Ь] := а-1Ь-1аЬ. Более того, Каллер показал, что элемент [а,Ь]п всегда может быть разложен в произведение \_п / 2\ + 1 коммутаторов (где |_х\ — это целая часть х). Наименьшее число к, такое что элемент д группы С может быть разложен в произведение к коммутаторов, называется коммутаторной длиной элемента д и обозначается е1(д). Значит, оценку Каллера можно записать следующим образом:

е1(Мп) ^ \п/ 2\ +1.

В 1991 году Комерфорд, Комерфорд и Эдмундс [12] доказали, что в свободной группе произведение двух коммутаторов может быть не более, чем кубом неединичного элемента, и выдвинули гипотезу, что для свободных групп оценка Каллера является точной: для любого неединичного элемента д свободной группы е1(дп) ^ \_п / 2\ +1. Эта гипотеза оказалась действительно верной и была доказана Данканом и Хауи [15] в том же 1991 году. Более того, они доказали аналогичное утверждение для свободных произведений локально индикабельных групп (то есть групп, в которых каждая нетривиальная конечно порождённая подгруппа допускает эпиморфизм на Ж): если д — это элемент свободного произведения локально индикабельных групп, такой что д не сопряжён элементам свободных сомножителей, то е1(дп) ^ \_п / 2\ +1. Это утверждение оказалось

верным и для свободных произведений произвольных групп без кручения, что было доказано в 2018 году Ивановым и Клячко [28] и независимо от них Че-ном [5].

Для свободного произведения С = Д?, имеющего фиксированное разложение на свободные сомножители, обозначим через С множество всех элементов, не сопряжённых элементам свободных сомножителей, и определим

k(G,n) := minjcl(gn) д £ ój .

Из оценки Каллера в совокупности с оценкой Иванова, Клячко и Чена следует, что

п

k(G,n) =

2 J

+ 1

для свободных произведений групп без кручения.

Для свободных произведений произвольных групп оценка Каллера перестает быть точной. Например, в свободном произведении (а)3 * (Ь) истинный куб может быть коммутатором:

[a,b] = [b aba,ab ab].

В 1994 году Комерфорд, Эдмундс и Розенбергер [13] показали, в каких случаях коммутатор может быть истинной степенью в свободных произведениях групп с кручением.

В работах Иванова, Клячко и Чена были даны оценки снизу на число k(G,n) и для случая наличия кручения. Однако рассуждения в этих работах разные: рассуждение Чена основано на подходе Калегари [4], а рассуждение Иванова и Клячко основано на лемме о столкновениях [29]. Поэтому результаты для групп с кручением получились разные. Более того, они оказались несравнимыми — ни про один из них нельзя сказать, что он сильнее другого.

Обозначим минимальный порядок неединичного элемента группы G через N(G). Ивановым и Клячко было доказано, что та же самая оценка, что и для свободных произведений групп без кручения, остаётся верной и для свободного произведения произвольных групп, но только если степень относительно мала:

п

k(G,n)= 2+1, если n<N (G). 2

В то же время Ченом было доказано, что

k(G,n) ^

п —

2 п

N (G)

+ 1.

В диссертации доказывается новая оценка, которая усиливает оба этих результата. Более того, доказывается, что эта оценка является неулучшаемой. Другими словами, в диссертации явно вычисляется значение к(С,п) для свободных произведений произвольных групп.

Также представляет интерес изучение уравнений более общего вида. Пусть в свободном произведении групп С = *jeJAj имеет место равенство

с1... Ск .. .¿I = и^1.. .и,

т

где ^ — коммутаторы, ^ сопряжены элементам из У ■ eJ А^, элементы щ сопряжены между собой и не сопряжены элементам из УА^, и — натуральные числа. Ивановым и Клячко было доказано, что тогда

т т

2к + I (п* - 1) + 2 если N (С) > ^ пг,

%=1 %=1

а Ченом было доказано, что тогда

т

2к + I ^ £(пг - 1) -

¡=1

2

^ п,

N(С) ^

+ 2, если I = 0.

В диссертации доказывается новая оценка, которая усиливает оба этих результата.

Вторым исследуемым вопросом является нахождение новых условий, влекущих асферичность групп, заданных графами.

Грубо говоря, копредставление называется асферическим, если между его соотношениями нет нетривиальных зависимостей. Это может быть формализовано по-разному, поэтому существует много различных определений асферичности [6]. В частности, рядом авторов исследовалась асферичность относительных копредставлений [2], [16], [1], [25], [35]. Асферическим копред-ставлением (в каком-то из смыслов) обладают достаточно широкие классы групп: группы с одним соотношением; группы, удовлетворяющие условию малых сокращений, и, в частности, почти все фуксовы группы; группы узлов [6]. Про асферические копредставления известно достаточно много [26], [27], [39], [45], [3], поэтому представляет интерес нахождение условий, которые влекут асферичность тех или иных копредставлений.

В диссертации асферичность копредставления (£ | И) понимается как асферичность его стандартного двумерного клеточного комплекса К (£; Я) [6].

Такая асферичность следует из диаграммной приводимости, введенной Герсте-ном [21], а диаграммная приводимость может быть получена при помощи теста раскраской [38], весового теста [21] или метода движений [30]. Если среди соотношений копредставления нет истинных степеней, то диаграммная приводимость (а значит и асферичность) следует из классических условий малых сокращений [21]. Напомним, что условия малых сокращений в сущности требуют, чтобы соотношения копредставления имели достаточно короткие общие части. Более точные определения могут быть найдены, например, в пятой главе книги Лин-дона и Шуппа [44].

В 2003 году Громов изложил графический аналог теории малых сокращений [22]. В графической теории группа задается при помощи ориентированного графа, рёбра которого помечены элементами некоторого множества 5*. В качестве порождающих выступают элементы множества $, а в качестве соотношений берутся приведённые метки путей, образующих базис фундаментальной группы графа. В отличии от классического случая, в графической теории малых сокращений соотношениям разрешается иметь длинные общие части, но только если эти общие части соотношений являются и общими частями путей в графе, соответствующих этим соотношениям. Таким образом, графическая теория позволяет изучать некоторые копредставления, которые не удовлетворяют классическим условиям малых сокращений. В 2006 году Оливье доказал асферичность групп, заданных С"(1/6)-графами [36], а в 2015 году Грубер доказал асферичность групп, заданных С(6)-графами [23].

В диссертации вводится понятие асферического графа, которое до некоторой степени можно считать обобщением на графический случай понятия диаграммной приводимости, и вводится графический аналог условия Т(к). Доказывается, что асферические графы задают асферические группы, и при помощи этого доказывается, что асферичность группы, заданной графом, следует не только из графического условия малых сокращений С(6), но также и из графических аналогов условий малых сокращений С(4)&Т(4) и С(3)&Т(6). Более того, показывается, как можно использовать метод движений [30] для доказательства асферичности групп, заданных графами.

Цели и задачи работы

1. Вычислить минимальную возможную коммутаторную длину п-й степени элемента, не сопряжённого элементам свободных сомножителей, в свободных произведениях произвольных групп.

2. Получить новые достаточные условия асферичности групп, заданных графами.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Была получена новая оценка снизу для минимальной возможной коммутаторной длины элементов вида и™1 ... и^ (!1.. .<¿1 в свободных произведениях произвольных групп, где щ сопряжены между собой и не сопряжены элементам свободных сомножителей, ^ сопряжены свободным сомножителям, и — это натуральные числа.

2. Была вычислена минимальная возможная коммутаторная длина п-й степени элемента, не сопряжённого элементам свободных сомножителей, в свободных произведениях произвольных групп.

3. Было доказано, что минимальная коммутаторная длина достигается на степенях коммутаторов элементов, лежащих в разных свободных сомножителях.

4. Было введено понятие асферического графа и было доказано, что такие графы задают асферические группы.

5. Были введены графические аналоги классических условий малых сокращений С(4)&Т(4) и С(3)&Т(6), и было доказано, что эти условия влекут асферичность группы, заданной соответствующим графом.

6. Было показано, как применить метод движений Клячко для доказательства асферичности групп, заданных графами.

Объект и предмет исследования

В диссертации изучаются группы, представленные в виде свободного произведения или заданные некоторым копредставлением.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в комбинаторной теории групп, а также могут представлять интерес для специалистов в абстрактной алгебре.

Методы исследования

В диссертации применяются методы комбинаторной теории групп. Активно используются различные виды диаграмм над копредставлениями и над свободными произведениями групп, а также метод движений Клячко.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Явное значение минимальной возможной коммутаторной длины n-й степени элемента, не сопряжённого элементам свободных сомножителей, в свободных произведениях произвольных групп.

2. Новые достаточные условия асферичности групп, заданных графами.

Степень достоверности

Достоверность результатов диссертации подтверждена строгими математическими доказательствами. Результаты главы 1 были получены автором в неразделимом соавторстве с Антоном Александровичем Клячко в [47]. Результаты глав 2 и 3 были получены автором самостоятельно в [46] и [48]. Результаты других авторов, используемые в диссертации, отмечены соответствующими ссылками.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях, а также научных семинарах:

— семинар «Теория групп» под руководством профессора А. Ю. Ольшанского, доцента А. А. Клячко и доцента О. В. Куликовой (Москва, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2016-2022, неоднократно);

— вторая конференция Математических центров России (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, МИАН, 7-11 ноября 2022);

— конференция "Uncertainty and Random Structures: Signal Analysis, Representation Theory and Applications" (Санкт-Петербург, СПбГУ, 12-16 декабря 2022);

— международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ имени М. В. Ломоносова, 10-21 апреля 2023).

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 статьях [46—48], все из которых опубликованы в научных журналах, входящих в базы данных Scopus, Web of Science и RSCI.

Работа [47] написана в неразделимом соавторстве с Антоном Александровичем Клячко, работы [46] и [48] написаны автором самостоятельно.

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 85 страниц, включая 24 рисунка. Список литературы содержит 48 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность изучаемых вопросов, формулируются цели, излагается научная новизна и перечисляются основные результаты диссертации.

Глава 1 посвящена оценке снизу для минимальной возможной коммутаторной длины элементов вида и^1 ... и^ (!1.. .<¿1 в свободных произведениях произвольных групп, где щ сопряжены между собой и не сопряжены элементам свободных сомножителей, di сопряжены свободным сомножителям, и пг — это натуральные числа.

В разделе 1.1 формулируется изучаемая задача и даются основные определения.

Пусть С = *jeJAj — это группа с фиксированным разложением на свободные сомножители. Обозначим через Сг множество всех элементов группы С, не сопряжённых элементам свободных сомножителей, и определим к(С, п) как наименьшее число к, такое что элемент дп £ (3 может быть разложен в произведение к коммутаторов. Обозначим минимальный порядок неединичного элемента группы С через N (С).

Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 2 (упрощенная форма). Пусть в свободном произведении групп С = *А^ имеет место равенство

С\ ... Ск. . .¿I = и™1... и^,

где Сг — коммутаторы, сопряжены элементам из У ■ ^ А^, элементы щ сопряжены между собой и не сопряжены элементам А^, и щ — на-

туральные числа. Тогда

т

2к + I ^ ^(пг - 1) - 2

%=1

N (С) ^

£

П;

+ 2.

Из теоремы 2 немедленно вытекает оценка для минимальной возможной коммутаторной длины п-й степени элемента.

Следствие 1. Пусть в свободном произведении групп С = * jeJ^ имеет место равенство с1.. .ск = ип, где С{ — коммутаторы, и не сопряжён элементам свободных сомножителей, и п — натуральное число. Тогда

2к > п- 2

п

N (С).

+ 1

или, что то же самое,

к >

п п

-2- и

+ 1.

Другими словами, если С = *jeJ^j — это свободное произведение произвольных групп, то

к(С,п) ^

п п

-2- (о)\

+ 1.

В разделе 1.2 доказывается почти точность этой оценки.

Теорема 1. Пусть С = *jeJА^ — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Тогда

к(С,п) =

п п

-2- ^ (С)\

+ 1 или к(С, п) =

п п

-2-

+ 2.

При этом к(С,п) = [п / 2\ — [п / N (С)] + 1, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1. п чётно, а [п / N (С)] нечётно.

2. п делится на N (С).

3. п < N (С).

4. N (С) = 2.

В разделе 1.3 даётся определение диаграмм над свободными произведениями групп, которые позволяют переформулировать изучаемый вопрос на геометрический язык, в разделе 1.4 формулируется лемма о столкновениях для кратных движений [41] и в разделе 1.5 доказывается новый вариант этой леммы, который используются для доказательства теоремы 2.

В разделе 1.6 формулируется и доказывается основная теорема, полная формулировка которой выглядит следующим образом.

Теорема 2. Пусть в свободном произведении групп С = *jeJА^ имеет место равенство

с1... ск .. .¿I = и?.. .и\

1т ">

где с, — коммутаторы, (1, сопряжены элементам из У А^, элементы и, сопря-

з ^

жены между собой и не сопряжены элементам из У А^, и п, — натуральные

№

числа. Тогда выполнено неравенство

2 - 2к - I + п, - 1) <

^ <

Ь Е п, - [+\

л=1

ь (Е п, - [ ^

Ч,=1

,=1

т

если ^ (п, - 1) - I чётно; =1

т

- 1, если ^ (п, - 1) - I нечётно, =1

где |_х\ + := тах( [х\, 0), а N — минимальный порядок элемента из У А^, вхо-

№

дящего в циклически несократимую запись элемента и, сопряжённого всем и, (в частности, при N = ж правая часть есть 0 или -1).

В главе 2 доказывается неулучшаемость оценки

к(С,п) ^

п п

-2-

+ 1

для свободных произведений произвольных групп.

В разделе 2.1 формулируются основные результаты.

Теорема 3. Пусть С = * ^ — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Тогда

к(С,п) =

п п

.2. и

+ 1.

В действительности, доказывается более сильный результат.

Пусть С = * jeJAj — это группа с фиксированным разложением на свободные сомножители. Для элемента д £ С, имеющего циклически приведённую форму aj11 (где aji,i £ Aji), мы обозначаем через N(д) минимальный

порядок его букв о^д, ..., %т,т. Для N £ {Ж(д) | д £ С} мы определяем к(С,п,М) как минимальное число к, такое что элемент дп £ С с N(д) = N может быть разложен в произведение к коммутаторов.

Теорема 4. Пусть С = * j£JAj — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Если N £ {Ж(д) | д £ С}, то

к(С,п,Ы) =

п п

-2-

+ 1.

2

2

Вычисляется коммутаторная длина степеней коммутаторов элементов, лежащих в разных свободных сомножителях.

Теорема 5. Пусть С = *jeJAj — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Если а € и £ € А^ — это два неединичных элемента, лежащие в различных свободных сомножителях, такие что от^а) ^ ог^£), то

е1(МГ) =

п п

-2- ог^а)

+ 1.

В разделе 2.2 формулируется и доказывается лемма о связи диаграмм Хауи и коммутаторных разложений, которая позволяет дать оценку сверху на коммутаторную длину элемента, при условии существования диаграмм Хауи специального вида. В разделе 2.3 явно строятся необходимые диаграммы для элементов вида [а,{\п. Результаты этих разделов используются в разделе 2.4 для доказательства теорем 3, 4 и 5.

В разделе 2.5 на конкретном примере показывается, как можно получать коммутаторные разложения минимальной длины в явной алгебраической форме, используя диаграммы, построенные в разделе 2.3. Таким образом выводится равенство

[а,£\5 = [а—11—1а—11а1—1а—11а)а—11—1а1а1—1а—11а—1][а—11а—1)а],

которое верно для любых двух элементов произвольной группы, коль скоро а3 = 1.

Глава 3 посвящена нахождению новых условий, влекущих асферичность групп, заданных графами.

В разделе 3.1 формулируются изучаемая задача и кратко излагается суть полученных результатов, а в разделе 3.2 даются основные определения теории групп, заданных графами.

Пусть Г — это ориентированный граф, каждое ребро которого помечено элементом конечного множества Б. Тогда каждому пути р в этом графе может быть сопоставлено слово £(р) в алфавите £ и £— 1, называемое меткой пути р. Это слово равняется произведению (без сокращений) меток рёбер этого пути, при этом если ориентация ребра в пути не совпадает с ориентацией ребра в графе, то метка входит в произведение в степени —1.

Пусть — это множество меток всех простых замкнутых путей в графе Г, и Rf — это множество циклически приведённых меток путей, образующих

базис фундаментальной группы каждой связной компоненты графа Г. Если Г — это помеченный множеством S граф, то зададим группу С(Г) копредстав-лением (S | Rf).

Поднятием слова w в помеченный граф Г называется такой путь р в этом графе, что £(р) = w (то есть метка пути р посимвольно совпадает со словом w). Слово w называется куском (по отношению к графу Г), если оно имеет хотя бы два различных поднятия в граф Г. Пусть р — это путь в некотором помеченном графе. Поднятием пути р в помеченный граф Г называется такой путь р в графе Г, что £(р) = £(р) (то есть метка пути р посимвольно совпадает с меткой пути р). Путь р называется куском (по отношению к помеченному графу Г), если он имеет хотя бы два различных поднятия в граф Г.

Будем говорить, что граф Г помечен правильно, если в нём любые два различных ребра, входящие в одну вершину, и любые два различных ребра, выходящие из одной вершины, имеют разные метки.

Графическое условие С (к) [23]. Пусть Г — это помеченный множеством S граф и к £ N. Мы говорим, что Г удовлетворяет графическому условию С (к) (или является С (к)-графом), если

— Г помечен правильно и

— метка никакого простого замкнутого пути не является конкатенацией строго меньше, чем к кусков.

Для множества слов R через Rsym обозначим множество, которое состоит из всех циклических сдвигов элементов множеств R и R-1.

Простая сферическая (дисковая) диаграмма над копредставлением (S | R) — это конечный клеточный 2-комплекс, гомеоморфный сфере (диску) и вложенный в R3 (R2), такой что его 1-остов является помеченным множеством S графом и метка каждой его двумерной клетки лежит в Rsym, где меткой клетки называется определенное с точностью до циклического сдвига слово, равное метке её некоторого положительно ориентированного граничного пути (как пути в помеченном множеством S графе).

Пусть граф Г удовлетворяет графическому условию С(2) и пусть D — это диаграмма над копредставлением (S | Rs). Пусть р — это путь, лежащий в пересечении некоторого положительно ориентированного граничного пути клетки П1 и некоторого отрицательно ориентированного граничного пути клетки П2. Будем говорить, что путь р происходит из графа, если его поднятие в граф

происходящие из графа рёбра диаграммы.

Г как подпути границы клетки П совпадает с его поднятием в граф как под-пути границы клетки П2. Грубо говоря, путь р происходит из графа Г, если клетки П1 и П2 пересекаются по этому пути не только в диаграмме Р, но и в самом графе Г.

Для примера посмотрим на помеченный множеством {а, Ь, с} граф Г и простую дисковую диаграмму Б над (а,Ь,с | Я8), изображённые на рисунке 1. Этот граф определяет группу С(Г) = (а,Ь,с | ЪЪс,с-1Ъс-1 ,Ь-1а-1Ь-1). Среди слов длины 1 кусками будут слова Ь, Ь-1, с и с-1. Слова а и а-1 кусками не являются. Среди несократимых слов длины 2 будет только два куска — слова ЬЬ и (ЬЬ)-1. Граф Г удовлетворяет графическому условию С(2), но не удовлетворяет графическому условию С(3), так как простой замкнутый путь с меткой ЬЬс распадается на куски ЬЬ и с. В диаграмме И часть рёбер происходят из графа Г. Такие рёбра обозначены пунктиром.

В разделе 3.3 формулируется основная теорема и приводится план её доказательства.

Напомним, что стандартный двумерный клеточный комплекс К (Б; Я) копредставления (3 | Я) — это двумерный клеточный комплекс, имеющий единственную вершину, чьи рёбра находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества 3 и чьи двумерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Я, при этом каждая грань вклеена по своей границе согласно соответствующему этой грани элементу Я. Копредставление (3 | Я) называется асферическим, если его стандартный двумерный клеточный комплекс К(3; Я) асферичен, то есть (К(3; Я)) = 0 для всех д ^ 2 (где — это гомотопические группы).

Пусть Г — это помеченный множеством $ граф. Будем говорить, что диаграмма И над копредставлением (5 | Я3) графически приведена, если в ней нет происходящих из графа Г рёбер. Будем говорить, что граф Г асферичен, если он удовлетворяет графическому условию С(2) и над копредставлением (5 | Я3) нет графически приведённых простых сферических диаграмм.

Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 6. Если помеченный множеством Б граф Г асферичен, то копред-ставление (Б | Rf) асферично.

В разделе 3.4 основная теорема используется, чтобы получить новые условия, влекущие асферичность групп, заданных графами. Также в этом разделе показывается, в каком смысле асферичность графа можно считать обобщением диаграммной приводимости.

В подразделе 3.4.1 формулируются графические аналоги классических условий малых сокращений С(4)&Т(4) и С(3)&Т(6), и доказывается, что эти условия влекут асферичность группы.

Пусть Г — это помеченный множеством $ граф, удовлетворяющий графическому условию С(2). Пусть г1 и г2 — это два элемента из множества Я8. Будем говорить, что г1 и г2 взаимно происходят из графа, если г1 = г'1 с, г2 = с-1г'2 и поднятие с в граф Г через г1 и через г2 совпадают.

Графическое условие Т(р). Пусть Г — это помеченный множеством Б граф, удовлетворяющий графическому условию С(2), и р € N. Мы говорим, что Г удовлетворяет графическому условию Т(р) (или является Т(р)-графом), если для каждого К € N такого что 3 ^ К < р, и для каждых г1,...,гь € Я3, таких что последовательные элементы Г{ и Г+ не являются взаимно происходящими из графа для всех г = 1,...,К (где индексы берутся по модулю К), верно, что по крайней мере одно из произведений г1г2, ... ,ги-1гн приведено.

Это определение сохраняет геометрическую сущность условия Т(р) и означает, что в любой графически приведённой диаграмме степень любой внутренней вершины либо не менее чем р, либо равна 2.

Теорема 7. Если помеченный множеством Б граф Г удовлетворяет любому из графических условий С(6), С(4)&Т(4) или С(3)&Т(6), то копредставление (Б | Rf) асферично.

В подразделе 3.4.2 показывается, как можно использовать метод движений Клячко для доказательства асферичности групп, заданных графами.

Пусть И — это простая дисковая или простая сферическая диаграмма. Пусть на границе некоторой его клетки есть движущаяся точка, называемая автомобилем. Говорят, что автомобиль движется правильно, если он объезжает границу в положительном направлении, непрерывно, без остановок, без разворотов, и если он посещает каждую точку границы бесконечное число раз. Будем называть кратностью точки 1-остова диаграммы И число равное степени соответствующей вершины, если эта точка лежит в 0-остове, и равное 2 в противном случае.

Теорема 8. Пусть помеченный множеством Б граф Г удовлетворяет графическому условию С(2) и пусть для каждого (с точностью до сопряжённости) элемента г из Я3 задано правильное движение автомобиля по границе клетки с меткой г так, что полные столкновения в диаграммах над (Б | Я3) происходят только на рёбрах, происходящих из графа, и в вершинах инцидентных происходящим рёбрам. Тогда копредставление (Б | Rf) асферично.

Раздел 3.5 посвящен связи сферических диаграмм и зависимостей между соотношениями копредставления. В разделе 3.6 доказывается теорема 6.

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту Антону Александровичу Клячко за постановку задач, плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Автор признателен коллективу кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и участникам семинара «Теория групп» МГУ за доброжелательную и творческую атмосферу.

Глава 1. Коммутаторная длина степеней в свободных

произведениях групп

1.1 Введение

В данной главе мы получаем новую оценку для минимальной коммутаторной длины п-й степени элемента, не сопряженного элементам свободных сомножителей, в свободных произведениях групп. Коммутатор двух элементов х и у мы понимаем как [х,у] := х-1 у-1ху.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Березнюк Вадим Юрьевич, 2023 год

/ / / /

V

/ / / /

/

V

/ / / / /

V

/ / / / /

или

/

/

/

/

V

I/

Iр =11,М = 3,1 £ {9,10} и к = 1 + 4

Iр = 14, N = 3,1 £ {12,13} и к = 1+5

Рисунок 1.2 — Примеры справедливых делений

есть £ ¿в, где сумма распространяются на все грани карты) удовле-в

творяет неравенству

^ с1В ^ ),Ип) .

в

В частности, если все точки полного столкновения имеют степень не меньше N, то

'к + 1

в

2

■ N.

Доказательство. Будем считать, что все столкновения происходят в вершинах. Этого можно добиться дополнительным разделением всех рёбер на две половины с помощью новых вершин степени два. При этом мы замедлим все автомобили вдвое, чтобы скорость всех автомобилей по-прежнему равнялась одному ребру в минуту. Обозначим период такого нового движения через Т.

Докажем первое утверждение. Для каждого кластера К = К{ с центром V = VI рассмотрим минимальное множество связывающих путей — = кij, объединение которых содержит все точки кластера К. Минимальность означает, что для каждого связывающего автомобиля имеется не более одного пути —, лежащего на границе клетки И' = Dij, которую объезжает этот автомобиль. По определению кластера длина Т' пути — меньше Т/2.

Соединим начало и конец пути — внутри клетки Dj путём к' такой же длины (то есть добавим дублёр пути —). Когда мы проделаем эту операцию для всех рассматриваемых кластеров, внутри некоторых клеток может возникнуть несколько хорд, но эти хорды не будут пересекаться, поскольку рассматриваемые кластеры независимы.

Клетка И' превратится в две клетки (смотрите рисунок 1.3, слева):

— большая клетка И' такого же периметра, как исходная клетка И'

— и маленькая клетка Г' периметра 2Т'.

Уг

с

Рисунок 1.3 — Иллюстрация к лемме о кластерах

Движение автомобилей, объезжающих большие клетки И', мы определим так же, как движение автомобилей, объезжающих исходные клетки И', но ехать соответствующие автомобили будут по дублёрам к', а не по исходным путям —.

Движение автомобилей, объезжающих маленькие клетки Г', мы определим чуть позже. А пока опишем, как устроено движение уже имеющихся автомобилей на границах этих клеток. Граница каждой маленькой клетки Г = Г' имеет длину 2Т' и состоит из трёх участков (перечисляемых против часовой стрелки, смотрите рисунок 1.3, справа):

— Участок а = к'~1 длины т = Т'. По этому участку движется связывающий автомобиль в течении времени 0 ^ £ ^ т (для упрощения обозначений мы считаем, что полное столкновение в точке vi происходит

в нулевой момент времени; в других случаях следует внести очевидные изменения). Участок a заканчивается в угле с при центре vi кластера Ki.

— Участок b длины один (первое ребро пути -Kj ), начинающийся в угле с. По этому участку движется другой связывающий автомобиль кластера Ki в течении времени —1 ^ t ^ 0.

— Участок c длины |c| = т — 1, по которому едут какие-то автомобили, про которые мы ничего не знаем. Но раз т < Т/2, то имеем |c| = т — 1 < Т — т — 1. А это значит, что на участке c (включая его концы) нет ни одного автомобиля в некоторый момент времени т < t < Т — 1 и даже в некоторый подпромежуток Дг (положительной продолжительности) промежутка времени т < t < Т — 1. Это верно, потому что промежуток времени т < t < Т — 1 имеет продолжительность Т — 1 — т > |c|, а все автомобили едут с единичной скоростью. Отметим ещё, что ничто нам не мешает выбрать промежутки времени Дг непересекающимися для разных маленьких клеток Г:

Дг П ДГ' = 0 при Г = Г'.

Определим теперь движение нового автомобиля аг, объезжающего границу маленькой клетки Г = Г :

— В нулевой момент времени автомобиль аг находится в угле с (и участвует в полном столкновении в точке vi).

— Далее автомобиль аг медленно движется по участку b. При этом он ни с кем не сталкивается, поскольку тот единственный связывающий автомобиль, с которым можно столкнуться на участке b, только что с него выехал, встретившись с автомобилем аг в точке vi. Поэтому на этом участке находится безопасно до момента Т — 1.

— В промежуток времени Дг (который начинается раньше, чем Т — 1, по определению Дг) автомобиль аг быстро проезжает участок c, опять ни с кем не сталкиваясь, поскольку на этом участке никого нет в этот промежуток времени. Это следует из определения промежутка Дг и того, что Дг П Дг' = 0 при Г = Г'.

— Таким образом автомобиль аг оказывается на участке a позже, чем в момент т (по определению промежутка Дг ). Значит, связывающий автомобиль, с которым можно было бы столкнуться на этом участке, уже с него уехал, и автомобиль аг благополучно без столкновений добирается до угла с к концу периода.

Мы построили периодическое движение на некоторой карте на поверхности Б, причём полных столкновений теперь ровно к. При этом сумма Х^д — 1) по всем граням осталась такой же, как и на исходной карте, потому что каждую маленькую грань Г' объезжает один автомобиль, то есть (1г^ = 1. Для завершения доказательства пункта а) остаётся сослаться на лемму о столкновениях.

Чтобы доказать утверждение б), разделим период времени I = {Ь | 0 ^ I < Т} на два полупериода: I = Ь и 12, где Д = {Ъ | 0 ^ £ < Т/2} и 12 =

&1Т/2 < т}.

Периодичность движения означает, что в каждой точке происходит не более одного полного столкновения в течении периода . Поэтому, множество точек полного столкновения П = {р 1,... ,рп} разделится на два подмножества: П = П1 и П2, а мультимножество М = (N1,... ,Ып) степеней этих точек — на два подмультимножества: М = М\_ и М2, где N. — это степени точек полных столкновений, происходящих в моменты времени из I..

Пусть множество П. можно разбить на к.1 независимых кластеров, и нельзя разбить на меньшее число независимых кластеров. Тогда к + к2 ^ к. Это верно, поскольку множество П разбивается на к + к2 независимых кластеров, а по условию его нельзя разбить меньше, чем на к независимых кластеров.

Множество точек полного столкновения мы называем независимым, если множества сталкивающихся в этих точках автомобилей в течении периода попарно не пересекаются.

Сосредоточимся теперь на множестве П1. Пусть

— у1 £ П — это точка, в которой происходит первое по времени столкновение (если такая точка у1 существует).

— у2 £ П — это точка, в которой происходит первое по времени столкновение такое, что {у1, V2} независимы (если такая точка V2 существует);

— у3 £ П — это точка, в которой происходит первое по времени столкновение такое, что {у1, у2, -и3} независимы (если такая точка у3 существует);

Точек V. наберётся не меньше, чем к1, поскольку иначе множество П разбивалось бы на меньшее, чем к1, число независимых кластеров. Например, если 1 и 2 нашлись, а 3 не существует, то каждая точка из П1 окажется либо в кластере с центром 1, либо в кластере с центром 2.

Таким образом, множество П содержит независимые точки у1,... ,ук1. По аналогичным причинам множество П2 содержит независимые точки ... ,п)К2. Значит, число всех имеющихся автомобилей не меньше, чем

шах ^У^ deg V¡, ^^ deg п)^ ^

^ fp(degVI,..., deg, degиь,..., degп)Ж2) ^ fp{Ní,... Д*),

где последнее неравенство немедленно вытекает из того, что к1 + к2 ^ к и N1 € ... €

Это и есть доказываемая оценка, поскольку неравенство £ ¿о ^ Nn

о

очевидно: раз в какой-то точке сталкиваются Ып автомобилей, значит Ып автомобилей существуют. □

Из леммы о кластерах вытекает следующее утверждение (в котором кластеры не упоминаются вовсе).

Следствие 2. Пусть кратное равномерное движение на некоторой карте на некоторой ориентированной замкнутой поверхности Б имеет всего п точек полного столкновения, и их степени суть Щ € ... € Ып. Тогда число автомобилей этого движения (то есть £ ¿в, где сумма распространяются на все

о

грани карты) удовлетворяет неравенству

^ ¿в > шах^р(Жь... Дк), ^п),

(1.4)

о

где к = х($) + ХХ^о — 1) (эта величина никогда не превосходит п). о

Кроме того, для всех I € N и {0} выполняется неравенство

) — I + — 1) €

о

€ <

2

2

N

1+1

N

1+1

Е ¿в — [ ^ \

ч о

Е^о —

ч о

1+1—N¡+1 )

2 I

+

если Е (¿в — 1) — I чётно (1 5) о v ' 7

— 1, если^^ (^о — 1) — I нечётно, о

где |_х\+ = шах(|_ж_|,0) и ^ = то при г > п (в частности, при = то правая часть есть 0 или —1).

Для доказательства неравенства (1.4) достаточно подставить оценку из пункта а) леммы о кластерах в оценку из пункта б), воспользовавшись тем

1

1

фактом, что функция справедливого деления fp(N1,... ) очевидным образом не убывает, как функция от к.

Докажем (1.5). Воспользовавшись монотонностью функции fp по каждому из аргументов и формулами (1.4) и (1.3), при к = х(Б) + XX— 1) мы

в

получаем

к штук

В

Y^dD ^ max (fp(Nb ... N), Nn) ^ fp( 1,1,1,1,1 ...,1, Nl+1,Nl+1,... ,N+)

' * V J

V

min(l ,к) штук

[^ J, если к < I;

— ^ 11+11 1 N - • если к > I и к - I чётно;

если к > I и к — I нечётно.

— < +N1+1 2

l+1-min( l,N+i) 2

_i_ ]\т к-1 +1 + Nl+1 • —2—'

Случай 0: к ^ I.

Если к — I чётно, то

к +1 1 + 1 к - 1

2 2 + N+ • 2

(так как Nl+1 ^ 1). Если же к — I нечётно, то

к +1

—

_ 2 _ 2_

+ N

к- 1 + 1

+1

>

1 + 1 - min(l, Nl+1)

+ N,

+1

к -I + 1 2

В итоге мы получаем при всех к и I

[+\ +N+1 • ,

J2dB

>

В

2

l+1-min( l,N+i) 2

+ Nl

l+1 •

к-1+1 2 ■

если к — I чётно; если к — I нечётно.

Случай 1: к - I чётно.

£<1в >

В

=> к — I <

1 + 1 2

+ Nl

l+1 •

Nl

+1

S dB

В

к - I 2

1 + 1 2

)

Ф к- Ы 2

Nl

+1

Y.dB

в

1 + 1

_ 2 _

2

2

2

1

где последняя импликация выполняется из-за того, что к — I чётно. Это и есть

неравенство (1.5), так как к = х($) + — 1).

о

Случай 2: к — I нечётно.

Е >

о

I + 1 - Ы

+1

Ф к- I + 1 €

2

N

+1

\ о

+ М

к- I + 1

+

ф к- I + 1 € 2

+1

(1п —

о

1+1 •

I +1 - м

1+1

I + 1 — N+1

+

где последняя импликация выполняется из-за того, что к — I + 1 чётно. Это завершает доказательство.

1.6 Основная теорема

2

1

Теорема 2. Пусть в свободном произведении групп С = * jeJА3 имеет место равенство

С1 ...Ск^ ...(Ь = иП1 ...иа™, (1.6)

где Сг — коммутаторы, сопряжены элементам из У А^, элементы щ сопря-

з ^

жены между собой и не сопряжены элементам из У А^, и щ — натуральные

з^

числа. Тогда выполнено неравенство

2 — 2к — I + ^(пг — 1) €

¡=1

€

*Е п, — I ^ ]

если Е — 1) — I чётно;

=1

N (Е п, — I ^ ]+'

=1

=1

— 1, если Е — 1) — I нечётно, =1

где [х\+ := шах(|_ж_|, 0), а N — минимальный порядок элемента из У А^, вхо-

з^

дящего в циклически несократимую запись элемента и, сопряжённого всем щ (в частности, при N = то правая часть есть 0 или —1).

2

2

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что в свободном произведении С = *j£JAj всего два сомножителя. Действительно, пусть циклически несократимая форма и элементов и содержит какой-то слог а^ £ А^ \{1} порядка N для некоторого ] £ 3. Тогда группа С раскладывается в свободное произведение С = А * В, где А = А^ и В = *j'£J\{j}Aj', и условия теоремы остаются выполненными для этого разложения. Поэтому мы считаем, что сомножителей два: С = А * В.

В силу леммы 3 из равенства (1.6) следует существование диаграммы Хауи И на ориентированной замкнутой (необязательно связной) поверхности Б рода к' (напомним, что к' := (2 — х(Б)) / 2) с I' внешними вершинами и т клетками, метки которых суть ип1,... ,иПт, причём

к' ^к и 2к' + I' < 2к + I.

(1.7)

Определим на этой диаграмме кратное равномерное движение естественным образом: клетку с меткой ип объезжают п автомобилей со скоростью одно ребро в минуту, в момент времени в £ Ъ каждый автомобиль будут находится в угле, метка которого равна й-й букве слова и (если в считать по модулю длины слова и).

Таким образом, столкновений вне вершин (то есть во внутренних точках рёбер) произойти не может, поскольку в каждый момент времени

— либо все автомобили находятся в А-вершинах,

— либо все автомобили находятся в В-вершинах,

— либо каждый автомобиль едет по ребру от А-вершины к В-вершине,

— либо каждый автомобиль едет по ребру от В-вершины к А-вершине.

Полное столкновение в некоторой вершине означает, что все углы при

этой вершине имеют одинаковую метку, равную некоторой букве слова и. Если эта вершина внутренняя, то произведение этих меток должно быть единицей, то есть deg'U ^ N. Положим

Ъ(1') :=

Ф(к', I') := 2 — 2к' — I' + п — 1),

¡=1

/ т

*(Еп — I >+ ]

=1

т

т

если (п — 1) — I' чётно;

¿(Еп — I ^+

=1

т

— 1, если (п — 1) — I' нечётно. =1

2

2

Применив следствие леммы о кластерах к этому движению, мы получим неравенство

Ф(к',1') < Ф(/'). (1.8)

Правая часть этой оценки удовлетворяет неравенствам

Ф(/ + 2) < Ф(/) и Ф(/ ± 1) < Ф(/) + 1

(1.9)

при всех I. Действительно, первое из этих неравенств очевидно, а для объяснения второго неравенства положим п := Е Тогда, если число Е — 1) — I чётно, то

Ф(/ ± 1) < Ф(/ — 1) = 2

1 1 — N \

— п —

У _ 2 _ +).

- 1 ^

^ 2

N V —

1 — N \ — 1 < 2 1 1 + 1 — 2Ы \

— п —

2 _ Л _ 2 _ Л

2 1 1 + 1 + ^ — 1 = 2 1 1 + 1 \

^ТГ П — ^ТГ П —

_ 2 _ _ 2 _ Л

— 1 = + 2 — 1 = Ф(/) + 1.

Если же число Е(пг — 1) — I нечётно, то Ф(/±1) < Ф(/—1) = 2

1 1 \ < 2 1 1 + 1 — N \

— п — — — п —

N \ _2_ Л N \ _ 2 _

= Ф(0+1.

Это доказывает оценку (1.9).

Теперь, если I' ^ I, то Ф(к, 1) ^ Ф(к', /'), поскольку 2к! + I' ^ 2к + I в силу (1.7), а Ф(/') ^ Ф(/) + 1 в силу (1.9). Следовательно,

Ф(к, I) < Ф(к', /') < Ф(/') < Ф(/) + 1.

А значит, Ф(к,1) ^ Ф(0, поскольку числа Ф(к,1) и Ф(/) имеют одинаковую чётность. Это и требовалось доказать.

В случае же, когда I' < I, заметим, что из (1.9) вытекает монотонность функции I ^ I + Ф(/). Поэтому утверждение теоремы в этом случае немедленно вытекает из (1.8) и того, что к' ^ к в силу (1.7).

□

1

Глава 2. Степени с минимальной коммутаторной длиной в свободных произведениях групп

2.1 Введение

В данной главе мы доказываем, что полученная в главе 1 оценка для минимальной коммутаторной длины п-й степени элемента, не сопряженного элементам свободных сомножителей, в свободных произведениях групп является точной. Все необходимые определения могут быть найдены в разделе 1.1.

Теорема 3. Пусть С = *j£JAj — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Тогда

к(С,п) =

п п

.2. и (С)]

+ 1.

В действительности, мы доказываем более сильный результат.

Определение 4. Пусть С = *j£JAj — это группа с фиксированным разложением на свободные сомножители. Для элемента д £ (С, имеющего циклически приведённую форму а^д ...а^,т (где а^ £ А^.), мы обозначаем через N(д) минимальный порядок его букв о^д, ..., %т,т. Для N £ {N(д) | д £ С} мы определяем к(С,п^) как минимальное число к, такое что элемент дп £ С с N(д) = N может быть разложен в произведение к коммутаторов.

Теорема 4. Пусть С = *j£JAj — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Если N £ {N(д) | д £ С}, то

к(С, п, N) =

п п

-2.

+ 1.

Мы явно вычисляем коммутаторную длину степеней коммутаторов элементов, лежащих в разных свободных сомножителях.

Теорема 5. Пусть С = *j£JAj — это свободное произведение нетривиальных групп и п — это натуральное число. Если а £ иЬ £ А— это два неединичных элемента, лежащие в различных свободных сомножителях, такие что оМ(а) ^ о^(£), то

с1([ а, 0 =

п п

-2- о^(а)

+ 1.

Замечание 2. Если N (О), N или оМ(а) бесконечно, мы естественным образом полагаем, что [п / N (С)], [п / Ж] или [п / оМ(а)] равняется нулю. В таком случае к(С,п), к(С,п,Ы) или е1([а,{]п) равняется [п / 2] +1, что соответствует известным результатам для свободных произведений групп без кручения.

Следствие 3. Если а и Ъ — это два неединичных элемента произвольной группы и п — это натуральное число, то

е1(Мп) ^

п п

-2- о^(а)

+ 1.

Например, если а3 = 1, то все степени [а,Ь] вплоть до 7 могут быть разложены в произведение 2 коммутаторов. Более того, [а,Ь]9 тоже может быть разложено в произведение 2 коммутаторов, а [а,Ь]3 является просто коммутатором. Если а4 = 1, то [а,Ь]4 может быть разложено в произведение 2 коммутаторов и [а,Ь]8 может быть разложено в произведение 3 коммутаторов.

Чтобы доказать эти теоремы, мы используем геометрическую интерпретацию: для каждых а, £ и п мы строим диаграмму Хауи И на замкнутой ориентированной поверхности рода [п / 2] — [п / о^(а)] + 1, такую что П имеет только одну клетку, метка этой грани равняется [а,{]п и все вершины И внутренние.

Используя построенные диаграммы, возможно получить коммутаторные разложения наименьшей длины в явной алгебраической форме. В качестве примера мы получаем равенство

[а,£]5 = [а~ 1а~ 1а~ 1Ьа,а~ 1а1аЬ~ 1а~ 1Ьа~ :][а~ На~ 1,а],

которое верно для любых двух элементов произвольной группы, коль скоро а3 = 1.

Мы начинаем со связи диаграмм Хауи с произведениями коммутаторов в разделе 2.2. Диаграммы для элементов вида [а, {]п с минимально возможным родом строятся в разделе 2.3. Эти диаграммы используются для доказательства теорем в разделе 2.4. В разделе 2.5 мы показываем пример того, как можно получать коммутаторные разложения минимальной длины в явной алгебраической форме, используя построенные в разделе 2.3 диаграммы.

2.2 Диаграммы Хауи и произведения коммутаторов

Мы используем определение диаграмм Хауи из раздела 1.3. Посмотрим на диаграмму над свободным произведением (а)3 *(Ь)3, показанную на рисунке 2.1. Она расположена на торе, представленном в виде прямоугольника с отождествленными противоположными сторонами. Эта диаграмма имеет две внутренних вершины, три ребра и одну клетку, чья метка равняется (аЬ)3. Это геометрическая интерпретация того факта, что элемент (аЬ)3 является коммутатором в свободном произведении (а)3 * (Ь)3. Это вытекает из следующей леммы.

Рисунок 2.1 — Пример диаграммы на торе

Лемма 5. Пусть и — это циклически приведённый элемент свободного произведения А *В, не сопряжённый элементам свободных сомножителей. Если существует диаграмма И над А * В на замкнутой ориентированной поверхности рода к, такая что И имеет только одну клетку, метка этой клетки равняется и и все вершины И внутренние, то и является произведением к коммутаторов.

Чтобы доказать эту лемму, нам нужно определить метку пути. Сперва, построим вспомогательный граф Г'. Он получается из графа Г вставкой дополнительной вершины степени 2 в середину каждого ребра. Назовём эти новые вершины вспомогательными вершинами и назовём путь в графе Г', чьи концы являются вспомогательными вершинами, вспомогательным путем. Пусть р — это такой путь. Представим его в виде произведения путей р1... рт, таких что каждый р1 — это вспомогательный путь, пересекающий ровно одну вершину графа Г. Это значит, что каждый р^ состоит из 2 ориентированных ребер (е 11, е2) графа Г', таких что е1 начинается в некоторой вспомогательной вершине и заканчивается в некоторой вершине У{ графа Г, а е2 начинается в у^ и

заканчивается в некоторой вспомогательной вершине. Метка пути 1(р) пути р определяется как произведение l(pi) • • • 1(рт), где метка l(pi) равна произведению меток углов при вершине vi, взятых по часовой стрелке, начиная с угла, прилегающего к левой стороне ориентированного ребра е 1, и закачивая углом, прилегающим к левой стороне ориентированного ребра е2.

Примеры изображены на рисунке 2.2. Путь р1 пересекает ровно одну вершину графа Г и путь р2 пересекает две вершины графа Г. Их метки равны 1(р1) = а2а3а4 и 1(р2) = а1а2аф1. Метки их обратных равны ¡(р-1) = а5од и Кр-1) = b2b3a4a5. Пусть р3 — это путь е^е-1 и р4 — это путь е4е-1. Эти пути совершают разворот в вершинах графа Г, и их метки равны 1(р3) = Ьф^ и 1(Ра) = &4.

Мы будем использовать следующее свойство меток путей: если все вершины диаграммы внутренние и вспомогательный путь может быть преобразован в тривиальный путь при помощи последовательных удалений подпутей вида ее—1, то 1(р) = 1. Действительно, мы можем считать, что е — это ребро вспомогательного графа Г . В таком случае нам достаточно рассмотреть следующие случаи:

1. Ребро е кончается в вершине графа Г. Тогда путь р может быть представлен в виде р1ее 1р2, где р1 и р2 — это некоторые вспомогательные пути (возможно тривиальные). В этом случае 1(ее—1) равняется метке конечной вершины ребра . Так как все вершины графа Г внутренние, эта метка равняется 1, и значит 1(р 1ее—1р2) = 1(р 1р2).

2. Ребро е начинается в вершине графа Г. Тогда путь р может быть представлен в виде р1е1ее 1е2р2, где р1 и р2 — это некоторые вспомогательные пути (возможно тривиальные), а е1 и е2 — это некоторые рёбра графа Г'. Чтобы доказать, что 1(р1е1ее~ 1е2р2) = 1(р1е1е2р2), нам достаточно показать, что 1(е1ее~ 1е2) = /(ехе2). Рассмотрим случаи:

- если е1 = е~1 и е2 = е, то в зависимости от взаиморасположения ребер е1,е2 и е, мы имеем либо 1(е1е^ 1е2) = 1(е1е2), либо 1(е1ее~ 1е2) = 1(е1е11)1(е1е2); в обоих случаях это равняется 1(е1е2), так как 1(е1е11) равно метке конечной вершины ребра е1, а все вершины графа Г внутренние;

- если е1 = е~1, то 1(е1ее~ 1е2) = 1(е~ 1е)1(е1е2) = 1(е1е2), так как 1(е~ 1е) равно метке начальной вершины ребра е, а все вершины графа Г внутренние;

- если е2 = е, то рассуждения те же, что и для предыдущего случая.

Пусть И — это диаграмма на поверхности Б, определенная графом Г. В следующем доказательстве под путем мы будем понимать либо путь графа Г', состоящий из ребер, либо путь на поверхности Б, как непрерывное отображение единичного интервала в Б. Если р это путь в Г', мы также обозначаем через р соответствующий путь на $, полученный при помощи естественного отождествления каждого ребра пути с единичным интервалом.

Доказательство леммы 5. Представим поверхность Б диаграммы Б в виде стандартного 4^-гона Р4к с отождествленными сторонами. Выберем вершину Q на вспомогательном графе Г', такую что она не является вершиной графа Г и метка клетки, прочитанная из этой вершины, равняется и. Обозначим замкнутый граничный путь клетки, начинающийся в , через р. Отметим, что 1(р) = и и путь р гомотопен граничному пути Р4к, сопряжённому при помощи простого пути д, соединяющего вершину с некоторой вершиной Р4¡~. Этот сопряжённый граничный путь представляется в виде [а1,61] ... [а к], где и ^ — это замкнутые пути, соответствующие сторонам Р4к, сопряжённые при помощи д (все вершины Р4к являются одной точкой на $, а значит все рёбра Р4к являются замкнутыми путями на $; мы берем эти пути и сопрягаем их при помощи д).

Выберем точку С на поверхности, такую что С не принадлежит графу Г, границе Р4к и пути д. Произвольный замкнутый путь г на поверхности $ \ С

гомотопен некоторому замкнутому пути в Г'. Действительно, рассмотрим прообраз М-1 (г) этого пути на диске И1 (где М и И1 взяты из определения диаграмм Хауи). Центрально спроецируем М-1 (г) на границу дИ1 через точку М-1 (С) и возьмем образ этой проекции. Обозначим этот новый замкнутый путь через г'. Ясно, что он лежит в графе Г' и гомотопен пути г на Б \С по своему построению. Наконец, превратим путь в путь графа Г при помощи дополнительной гомотопии.

Следовательно, пути и ^ гомотопны некоторым путям и графа Г', и путь р гомотопен пути р' = [а[, Ь[] ... [а'к, Ь'к]. Мы можем считать, что эта го-мотопия лежит в Г', потому что она может быть спроецирована через М-1 (С). Таким образом, путь -1 гомотопен тривиальному пути внутри графа. Это значит, что путь р-1р' может быть преобразован в тривиальный путь при помощи последовательных удалений подпутей вида дЯ-1. Так как все вершины диаграммы внутренние, то 1 = 1(р-1р') = 1(р-1)1(р') = 1(р)-11(р'). А значит

и = 1(р) = 1(р') = [1(а'1), 1(Ь 1)]... [1(ак), 1(Ьк)].

□

2.3 Диаграммы для [а, £]п

В данном разделе мы докажем следующую лемму.

Лемма 6. Пусть а £ А иЬ £ Т — это два элемента двух групп, и пусть п и N — это два натуральных числа, такие что п ^ N ^ 3. Если N чётно или N и п нечётны, то существует диаграмма над свободным произведением

А *Т на замкнутой ориентированной поверхности рода [п / 2\ - [п / N\ +1, такая что имеет только одну клетку и метка этой клетки равняется [а, {]п. Все вершины внутренние, если ам = 1.

Мы явно строим желаемую диаграмму на замкнутой поверхности, представленной при помощи прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого разделены на 2к ребер. Каждое ребро на верхней стороне имеет соответствующее ребро на нижней стороне. Если мы обозначим верхние рёбра как е1,..., е2к, то нижние рёбра будут е 2, е1,..., е2к, е2к-1. Поверхность получается отождествлением верхних рёбер с соответствующими нижними рёбрами. Левая и правая

стороны прямоугольника стягиваются в точку. Пример поверхности, заданной прямоугольником, изображён на рисунке 2.3. Такой прямоугольник образует замкнутую ориентированную поверхность рода к, если верх разделен на 2к рёбер. Мы также допускаем вырожденный прямоугольник с нулевым количеством рёбер сверху и снизу, который представляет собой сферу.

Рисунок 2.3 — Замкнутая ориентированная поверхность рода к

Диаграмма определяется своим графом Г, нарисованным на таком прямоугольнике. Все углы при А-вершинах будут иметь метку а или а~1. Все углы при Т-вершинах будут иметь метку Ь или 1. Некоторые А-вершины будут помечены символом А+ или А". Все углы при таких вершинах помечены при помощи а или а 1 соответственно.

Представим число п в виде п = гЫ + д, где 0 ^ д < N. Диаграмма строится в зависимости от чётностей чисел N, г и д. Мы рассматриваем следующие случаи (где й = / 2]):

1. п = гЫ + 2з, где N и г нечётны.

2. п = гЫ + 2з + 1, где N нечётно и г чётно.

3. п = гЫ + 2з, где N чётно.

4. п = гЫ + 2з + 1, где N чётно.

Случай 1. п = г^ + 28, где N и г нечётны

Сперва мы строим диаграмму для каждого нечётного N. Диаграммы И11 и И33 изображены на рисунке 2.4. Ясно, что диаграмма И11 имеет род 0 и только одну клетку. Метка этой клетки равна [а,{]. Все вершины И11 внутренние, если а =1. Диаграмма И33 имеет род 1 и только одну клетку. Метка этой клетки равна [а,£]3. Все вершины 033 внутренние, если а3 = 1.

е\ 62 ех 62 ез е4

Рисунок 2.4 — Бм, Дз,з И В55 = Бзз 1 Бзз

Чтобы получить диаграммы для остальных N, мы определяем композицию двух диаграмм.

Определение 5. Пусть Б — это диаграмма, нарисованная на прямоугольнике с 2к рёбрами е ¡. Если к положительно, мы называем левой границей диаграммы путь, который проходит вдоль графа Г от самой левой точки пересечения Г с нижней стороной прямоугольника до самой левой точки пересечения Г с верхней стороной прямоугольника. Мы называем правой границей диаграммы путь, который проходит вдоль графа Г от самой правой точки пересечения Г с верхней стороной прямоугольника до самой правой точки пересечения Г с нижней стороной прямоугольника.

Отметим, что левая и правая границы ориентированы. Левая граница обходится снизу вверх и правая граница обходится сверху вниз.

Определение 6. Пусть Б — это диаграмма, нарисованная на прямоугольнике. Пусть (у V-) — это пара вершин, одна из которых является А+-вершиной, а другая А--вершиной, обе из которых одновременно лежат на левой или на правой границе Б. Мы называем такую пару положительно ориентированной, если двигаясь вдоль соответствующей границы Б мы сначала встречаем вершину у+. В противном случае такая пара называется отрицательной ориентированной

Определение 7. Пусть Их иБ2 — это две диаграммы, нарисованные на прямоугольниках Ях и Я2. Обозначим через + П2 новую диаграмму, полученную следующим образом: удалим правую сторону Ях, удалим левую сторону Я2 и присоединим правую сторону Ях к левой стороне Я2.

Замечание 3. Отметим, что А + И2 на самом деле не является корректной диаграммой, так как она содержит неодносвязные области. Тем не менее, мы называем её диаграммой для простоты обозначений.

Будем называть Ь-дугой путь длины 2 в графе, такой что его центральная вершина является внутренней Т-вершиной степени 2 (то есть один угол при этой вершине имеет метку £, а второй £-1).

Определение 8. Пусть А и И2 — это две диаграммы, нарисованные на прямоугольниках. Предположим, что есть А+-вершина и А--вершина -и-, обе лежащие на правой стороне диаграммы А, и есть А+-вершина и А~-вершина V-, обе лежащие на левой стороне диаграммы И2, такие что и V- соединены ¿-дугой. Предположим также, что пара и пара (г>+,г>-)

имеют разные ориентации. Мы обозначаем через А 3 А диаграмму, полученную из А + 02 следующим образом: удалим ¿-дугу, соединяющую и V-, склеим с и склеим V- с V-.

Для нечётного N ^ 5 определим

= Озз 3 ... 3 Из,з .

4-V-'

(М-1)/2 слагаемых

Пример изображён на рисунке 2.4. Ясно, что если А и И2 — это две диаграммы с одной клеткой, то А 3 А — это тоже диаграмма с одной клеткой. Если метки этих клеток равны [а, {]П1 и [а, 1}П2 соответственно, то метка клетки А 3 А равна [а,{]П1+П2-1. Если И1 имеет род к1 и И2 имеет род к2, то И13И2 имеет род к1 + к2.

Так как И3 3 имеет только одну клетку, то И^м тоже имеет ровно одну клетку, и её метка равна [а, {]М. Род равен (Ж - 1) / 2. В этой диаграмме ровно одна А+-вершина степени N и ровно одна ^"-вершина степени N. Значит все вершины внутренние, если аМ = 1.

Определение 9. Пусть И — это диаграмма, нарисованная на прямоугольнике. Мы обозначаем через ту же самую диаграмму, но в которой метки всех углов инвертированы (в частности, А+-вершины превращаются в А_-вершины и наоборот).

Определение 10. Мы определяем левую границу диаграммы как путь, идущий от её единственной А+-вершины к её единственной Л_-вершине, и правую границу как путь, идущий от её единственной А_-вершины к её единственной А+-вершине.

Отметим, что нам нужно отдельное определение для левой и правой границы диаграммы так как Определение 5 работает только для диаграмм положительного рода.

Определение 11. Пусть И — это две диаграммы, нарисованные на прямоугольнике. Предположим, что есть ¿-дуга Дв Д, соединяющая А+-вершину с А_-вершиной V-, и есть ¿-дуга /2 в И2, соединяющая А+-вершину с А"-вершиной V". Предположим также, что внутренность /х имеет непустое пересечение с правой границей И и внутренность /2 имеет непустое пересечение с левой границей И2. Зададим ориентации на /1 и /2 таким образом, чтобы они начинались в А+-вершинах. Предположим, что либо обе эти ориентации совпадают с ориентациями соответствующих границ, либо обе эти ориентации отличаются от ориентаций соответствующих границ. Рассмотрим диаграмму И + И2. Добавим новую ¿-дугу, соединяющую с г>", и новую ¿-дугу, соединяющую V" с и2+. Диаграмма, полученная после удаления ¿-дуги, соединяющей с V", обозначается через И □ И2. Диаграмма, полученная после удаления ¿ -дуги, соединяющей с V2", обозначается через С И2.

е1 е2 е1 е2 е1 е2 е3 е4

е2 е\ е2 е\ е2 е\ в4 е3

Рисунок 2.5 — И"3, И33 и П"3 □ И33

Пример такой композиции изображён на рисунке 2.5. Ясно, что если И и И2 — это две диаграммы с одной клеткой, то И ^ И2 (И С И2) — это тоже диаграмма с одной клеткой. Если метки этих клеток равны [а, {}П1 и [а, 1}П2 соответственно, то метка клетки И □ И2 (И С И2) равна [а, {}П1 +П2+1. Если И имеет род к\ и И2 имеет род к2, то И □ И2 (И С И2) имеет род к\ + к2.

Теперь вспомним, что г нечётно и N ^ 3 нечётно. Для г ^ 3 определим

Примеры таких диаграмм изображены на рисунке 2.6. Ясно, что все А+-вершины и все А--вершины диаграммы имеют степень N. В си-

лу свойств операций □ и С мы получаем по индукции, что имеет только

одну клетку и метка этой клетки равна [а)Ь]((г—2')Н—2)+1)+м+1 = [а,1]гН. Род этой диаграммы равен \_гЫ/ 2] — \гЫ / N\ +1, так как

(r - 2)N (r - 2)N

_ 2 _ _ N _

N - 3 N - 1 + 1 + —+ ——

rN rN

_ 2 _ _N _

+ 1.

Замечание 4. Для N = 3 возникает вырожденная диаграмма В—1. В таком случае диаграмма —2)3,3 □ 0—1 С корректно определена в силу Определения 10. Пример изображён на рисунке 2.7.

А+/

А-/ л \ А+/

Г1

' r1 t

t> • t-1

t-1 t

' i-1 t t

t ■ t-i t t-i • t-i t

/д+\

/аА /а~

е2 ei е4 е3 ев es е8 е7 ew ед е\2 ец ец е13 е1в eVj

Рисунок 2.6 — А5 5 и D25 5

Наконец, построим диаграмму для п = гЫ + 2в. Это достигается композицией диаграммы Ажд с в копиями вспомогательной диаграммы 0+2, изображённой на рисунке 2.8.