Коммуникативные аспекты математической деятельности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.08, кандидат философских наук Нуждин, Георгий Александрович

• Нуждин, Георгий Александрович
• кандидат философских наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат философских наук Нуждин, Георгий Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1 Математика как система значений

I. Причины рассмотрения математической деятельности.1 б

II. Какими средствами рассмотрения математической деятельности мы располагаем

III. Событие понимания

IV. Мерцание события

Глава 2. Доказательство

I. Релятивистская модель знания

II. Точность доказательства

III. Фиксация понимания доказательства

Глава 3. Разговор

I. Определение разговора

II. Структура цикла разговора (вопрос-ответ-соглашение)

III. Причины отказа от разговора

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коммуникативные аспекты математической деятельности»

Введение

Актуальность_темы_исследования. Рассмотрение

математической деятельности в рамках философии и методологии математики - достаточно новая область исследования. Попытки такого рассмотрения связаны с развитием нефундаменталистских течений в философии математики 70-90-х гг. Среди основоположников этого течения следует назвать в первую очередь Р. Уайлдера, Ф. Дэвиса и Р. Херша, Дж. Фанга и Ф. Китчера!. Основная особенность этого течения - переход от интерналистской модели математики как таковой к рассмотрению деятельности субъекта, практикующего математику. При этом вопросы основания математики отходят на второй план, уступая место проблемам понимания, схватывания, фиксирования и передачи математического знания в социуме. Эта глобальная проблема распадается на ряд частных проблем, среди которых наиболее важные:

1) Каково "местообитание" математического знания?

2) Как возможна точность передачи математического знания, без которой это знание перестает быть "математичным"

3) Как возможна стабильность передачи математического знания, без которой нельзя говорить о математике как о науке.

Наиболее близко к постижению математической точности и стабильности, на наш взгляд, подошла феноменология, разработавшая теорию значения. Центральный ее тезис признание особого статуса математического значения, который обеспечивает аподиктичность математических утверждений. Однако представление о стабильности математических значений

Среди предтеч этого направления следует безусловно выделить А. Пуанкаре. Анализу некоторых его положений будет посвящена значительная часть первой и второй глав

идет вразрез с эмпирически наблюдающимися фактами непонимания, ошибок, ложного понимания и т.д - так по Гуссерлю понимание ошибочных утверждений вообще невозможно. Еще одним серьезным возражением, заставляющим нас обратиться к пересмотру феноменологического обоснования математики является атомарность значения у Гуссерля, что делает невозможным представление о прагматическом, ориентированном на конкретные цели, рассуждении.

Напротив, представление о понимании в рамках коммуникативной ситуации, восходящее к герменевтической школе и разработанное современной лингвистикой, достаточно четко объясняет эту серию феноменов (не давая, однако, философского их обоснования). Вопрос, на который лингвистика не может дать четкого ответа парадоксальным образом является оборотной стороной феноменологического вопроса: как и за счет чего вообще возможно точное и стабильное понимание?

Наиболее радикально этот вопрос ставится в отношении математического понимания. Задачей настоящей работы является попытка объединить два этих взгляда, ответив на два ключевых вопроса, без решения которых каждый из двух подходов в отдельности не имеет объяснительной силы:

1) Как возможно и каковы необходимые условия понимания математических рассуждений, какая структура обеспечивает стабильность понимания?

2) Что обуславливает непонимание, какие сущностные черты препятствуют абсолютной стабильности и интерсубъективности математической деятельности?

Степень разработанности темы. Поскольку данная работа является попыткой лингвистического рассмотрения

математической деятельности, по сути, мы сталкиваемся здесь с двумя традициями. Первая - философско-математическая восходит к рационалистическому и феноменологическому подходам

к обоснованию математики. В рамках этой традиции был разработан и соотнесен с математическими утверждениями концептуальный аппарат смысла и значения. С одной стороны, эта традиция представлена исследователями, рассматривавшими математику как язык, подлежащий логической формализации, - Г. Фреге, Б. Расселом, К. Геделем; с другой - восходит к работам Э. Гуссерля, связанным с теорией значения и понятием идеальных объектов.

Присущая этим школам абсолютизация математического значения вскоре была поставлена под сомнение в трудах А.Пуанкаре. Он утверждал, что смысл доказательства отличен от формального набора посылок и следствий, подчиненных логическим законам, более того, одно и то же доказательство может быть осмыслено по-разному. Наиболее радикальный шаг совершили философы-нефундаменталисты, пытавшиеся показать, что математическая деятельность (а, стало быть, и смысл утверждений) существенно зависит от научного сообщества, языка описания и практикуемых норм и целей исследования. Были предприняты попытки выявить социальные структуры, влияющие на математическую деятельность (известный спор о существовании революций в математике), что послужило базой для предпринятого в диссертации обоснования коммуникативного способа протекания математической деятельности.

Лингвистическая традиция рассмотрения языковой деятельности связана с именем В. фон Гумбольдта и разработана такими лингвистами, как A.A. Потебня и Н. Трубецкой. В последние десятилетия интерес к рассмотрению языковой деятельности как соответствующей исходным структурам сознания и конституирующей сознательную жизнь обязан в первую очередь работам Н. Хомского. Прагматические аспекты деятельности были разработаны Дж. Остином и Дж. Серлем в их теории речевых актов, а также Р. Якобсоном. Когнитивная школа, изучающая структуру языковых актов так, как она конституирована

"глубинными" структурами, представлена работами Дж. Фодора, Т. Винограда, Э. Рош, Дж. Лакова, и др. В отечественной традиции следует назвать работы лингвистов Н.Д. Арутюновой, P.M. Фрумкиной, И.А. Мельчука, В.Г. Гака и др.

Попытка представления математического знания через предложения языка, обладающего однозначностью, восходит к трудам венского кружка и разрабатывалась аналитической философией в лице Л. Витгенштейна, А.Айера, Дж. Остина, Д. Дэвидсона, У. Куайна, Д. Льюиса, Н. Гудмена, Дж. Мейланда, X. Патнема. В отечественной традиции сходные вопросы изучали А.Л. Блинов, А.Ф. Грязнов, В.В. Петров, З.А. Сокулер, и др.

Используемое в диссертации понятие разговора восходит еще к греческой классической философии и вновь становится актуальным в связи с трудами М. Хайдеггера 30-х годов, рассматривающего разговор как основу нашего бытия, Х.-Г. Гадамера, трактующего разговор как способ осуществления понимания, Ю. Хабермаса и др. Огромный вклад в осознание существа разговора как сферы возможного понимания внес М.М. Бахтин.

Цель и Задачи исследования. Основная цель исследования описать математическую деятельность как систему актов понимания (структурирования материала) , реализующуюся в интерсубъективной общности исследователей - разговоре. Этапы реализации этой цели таковы:

1) Описать решение конкретной задачи и доказательство в терминах понимания (разрешения) коммуникативной ситуации

2) Обосновать понятие "событие" как этапа разрешения коммуникативной ситуации (деятельное понимание)

3) Объяснить феномены непонимания, неполного воспроизведения, ложного и ошибочного понимания, используя представление о "мерцании" - способе осуществления события

4) Построить типологию точности и классифицировать точность математической деятельности, формального доказательства, рассуждения на естественном языке

5) Дать типологию и описать причины возникновения ошибок в доказательстве. Описать и обосновать процесс усвоения, фиксации и воспроизводства доказательства

6) Описать разговор как сферу интерсубъективного взаимодействия исследователей и выявить свойства математического разговора. Обосновать утверждение о том, что разговор является той сферой, в которой только и может разворачиваться математическая деятельность

Методологические основания исследования. В первую очередь мы будем ориентироваться на взгляды Э. Гуссерля, представляющие деятельность как процесс конституирования, неизбежно влекущий полагание определенных смысловых связей (интендирование). Тем самым математические объекты получают свое единственное бытие как "единства смысла"2. Однако вслед за герменевтами мы отрицаем изолированный смысл: смысл существует только в оппозиции альтернатив и определяется вопросно-ответным контекстом деятельности. Таким образом мы отказываемся от онтологизации смысла.

Подход к решению поставленных проблем значения в коммуникативном аспекте, в частности, замена абсолютного (буквального) смысла на сферу конституирующих смысл интенций, заимствован нами из лингвистической философии, которая особенно во второй половине XX века - детально разрабатывала прагматические и когнитивные (по сути, "понимательные") аспекты языковой деятельности.

2 Э. Гуссерль, Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии//Язык и Интеллект, М, 1995, с. 57

Вплотную с нашим исследованием смыкается неориторика -наука, изучающая нематематические способы убеждения и доказательства и их языковые корреляты (некоторых тезисов неориторики мы коснемся в 3-й главе). Однако эта наука центрируется прежде всего не непосредственно языковом материале, корпусе текстов, в то время как анализ субъективного акта убеждения и понимания остается вне рассмотрения.

Попытка тотального описания математической деятельности состоит в признании двух уровней рассмотрения: материала (математика в сообществе и в текстах, составляющих корпус знания) и математической системы (представленной в сознании субъекта, практикующего математику), в рамках которой корпус знания усваивается и создается (при этом вопрос о "врожденности" и "универсальности" этой структуры не обсуждается). Это разделение соответствует введенному Бенвенистом различению науки о языках и науки о ЯзыкеЗ. Такое высказывание дает нам право свести проблемы понимания, создания, фиксации и воспроизведения математических значений к аналогичным проблемам в отношении математического языка.

В отношении математики в текстах мы опираемся на традицию семиотики, заложенную Ю.М. Лотманом и A.M. Пятигорским, отчасти восходящую к работам Ч. Морриса и утверждающую конвенциональность текста в любом культурном контексте. Это означает, что математический текст воспринимается как таковой лишь за счет интендирования его "математичности" - то есть, особого способа прочтения этого текста. Этот способ мы назовем "исполнением" по аналогии с исполнением инструкции, учитывая основную особенность такого текста быть направленным на одну единственную цель и не реферировать никаких иных сущностей, кроме этой цели.

3 Э. Бенвенист, Общая лингвистика, М, 1974, сс. 21-22

8

Мы попытались показать, что представление о разговоре как о структуре, имманентно присущей любой намеренной деятельности, естественно вытекает из феноменологического описания трансцендентального субъекта. Тем самым мы заложили основы для социального рассмотрения такой, на первый взгляд, монологической, деятельности, как деятельность

математическая.

Научная новизна.

1. Обоснован лингвистический подход к математике как системе асемантических значений. Разработана оригинальная концепция математической деятельности как системы актов понимания (структурирования материала), реализующейся в интерсубъективной общности исследователей - разговоре. Показано, что математическая деятельность существенно диалогична, то есть, обязательно включена в определенную традицию постановки и исследования математических проблем.

2. Представлена концепция математических объектов как конституируемых научным сообществом интерсубъективных, но ограниченно воспроизводимых мет (целей) исследования.

3. В рамках отказа от понятия истинности исследована точность понимания. Представлена типология точности в отношении естественных и искусственных языков по критериям целостности и непрерывности. Показана порочность трактовки понимания как отождествления и показано, что механизм понимания обязательно включает в себя этапы фиксации определенной структуры, "выключения" привычного функционирования этой структуры, генерации новой структуры на базе исходной и включения полученной структуры в систему значений.

4. Рассмотрена нестабильность математического понимания. Описан механизм фиксации математического понимания и последующего его (стабильного) воспроизведения в форме

практики. Обоснована проблема следования правилу Л. Витгенштейна.

5. Проведено феноменологическое рассмотрение

доказательства как деятельности по пониманию (наделению смыслом) , выявлены условия такого понимания. Показано, что реальный процесс доказательства является последовательным раскрытием первоначально выявленной целостности задачи, поэтому никогда не протекает как дедуктивный вывод. Дана классификация ошибок в доказательстве и продемонстрирована потенциальная неполнота понимания любого доказательства.

Краткое содержание работы.

Первая глава диссертации будет посвящена тому, чтобы сформулировать лингвистический (когнитивный) взгляд на описание математической деятельности и выработать недостающий понятийный аппарат.

Первый параграф первой главы целиком посвящен постановке и обоснованию вопроса о математической деятельности и критике представления о математике как результате.

Во втором параграфе разработан общий подход к изучению деятельности, и сформулировано представление об "объекте" этой деятельности (ответ на первый из поставленных вопросов о "местообитании" математического знания).

Анализ прагматического аспекта математического текста связан с определяющей чертой математики конституировать предмет своего изучения. Здесь мы должны существенно разграничить область становления математики как науки (деятельность понимания и созидания) и прикладную область. Первая направлена на обновление математического языка, вторая - на поддержание его (ср.: каждое употребление поддерживает языковую конвенцию"). Обновление системы математического языка происходит за счет не-ассертивных языковых актов

[Эеаг1е] , в то время как поддержание этой системы - есть практика, при которой отсутствуют "иллокутивные" причины и цели и которая состоит в актуализации математической системы без ее воспроизводства. Мы будем рассматривать преимущественно первый тип деятельности как "собственно-научный", однако и деятельность поддержания математической системы будет рассмотрена нами во втором параграфе второй главы.

В итоге мы приходим к определению созидательной математической деятельности как "деятельности, направленной на изменение индивидуальной системы математических смыслов и выраженной в исполнении математических текстов" (ср. описание языковой деятельности [Якобсон] и языкового новаторства [Хомский2]).

В третьем и четвертом параграфах вводятся такие фундаментальные понятия, как событие, исполнение инструкции, мерцание, и проводится их детальный анализ. Здесь мы формулируем основы взгляда на предмет математической деятельности как коммуникативную ситуацию [Виноград]. Любая конкретная задача, взаимодействие с текстом, представленная как коммуникативная ситуация - это система альтернатив, возникающая при попытках достичь тех или иных коммуникативных целей. Эта система по сути представляет собой план решения задачи - последовательность промежуточных "ключевых" этапов решения. Такое представление вполне соответствует реальной математической практике, где решение задачи - это "борьба" с препятствиями на пути ее осуществления.

Каждый реальный выбор, возникающий на пути решения, называется событием. Событие как феномен принадлежит паре задача-субъект, поэтому оно с одной стороны "объективно" -непосредственно определено самой задачей, а с другой связано с конкретной системой альтернатив каждого субъекта. Способ существования события - мерцание, непредсказуемость

появления альтернативы. Сама метафора мерцания, на наш взгляд, наилучшим образом передает способ проявления понимания, которое, в силу системности, способно актуализироваться только в событии [Нуждин2].

В заключение мы проводим типологический обзор мерцающих феноменов.

Теперь наша задача сводится к изучению точности и стабильности как характеристик процесса исполнения, подверженному мерцанию.

Вторая глава посвящена изучению свойств математического доказательства. Утверждая, что нас интересует математика прежде всего как наука, мы тем самым хотим подчеркнуть особый характер математических текстов. В действительности, нам бы хотелось показать, что математические тексты, в отличие от, скажем, художественных или философских, обладают стабильной интерпретацией, что и придает им статус общезначимых и универсальных.

На этом этапе происходит радикальное размежевание с аналитической философией, которая под интерпретацией понимает возможность однозначной расшифровки по модулю некоей метасистемы описаний и объяснений. Легко видеть, что эта модель есть функция текста в чистом виде то есть, упускает из виду такие феномены, как непонимание, ложное понимание, ошибка - все то, что признается аналитической философией нерегулярным и, стало быть, не допускающим исследования. Однако методологически процесс исследования в огромной степени состоит из ошибок, ложных допущений и пр. (см. например, - [Пуанкаре] , [Гротендик1]), без которых нормальная работа просто немыслима.

Исследуя доказательство мы пытаемся, избегая психологизма, представить процесс доказательства как последовательность конститутивных актов (на

феноменологическом уровне) и как. последовательность решения конкретных коммуникативных целей (на прагматическом). Понимание, представленное как процесс структурирования, в нашей модели не реализует уже существующую объяснительную структуру (как было бы в аналитической философии), а обязательно создает новую. Такое "динамическое" понимание требует для своего развития исходного непонимания (иначе "нечего понимать") и является не фактом или же способностью, а конститутивным актом признания валидности той или иной альтернативы, осмыслением.

Именно поэтому отправной точкой нашего рассмотрения послужило не высказывание, само по себе не предполагающее структурирование, а доказательство, которое невозможно осмыслить вне структуры.

Первый параграф второй главы посвящен исследованию точности доказательства и понимания доказательства. Эта точность уже не является ас1аедиа1;л_о гел., поскольку предмет понимания не вполне дан нам в процессе понимания. Действительно, находясь на любом этапе доказательства, мы не можем быть уверены в окончательности выполнения инструкции в силу мерцания исполнения. Поэтому для этого процесса можно сформулировать понятие иной, "пошаговой" точности максимальной категории, в которой осуществляется понимание, максимального количества смыслов, которые генерирует наше понимание. Оказывается также, что такая математическая точность существенно отлична от точности высказываний на естественном языке.

Затем мы рассматриваем вопрос о стабильности понимания, пытаясь построить типологию ошибок, возникающих в процессе доказательства и понимания доказательства. Исходя из представления о задаче как о коммуникативной ситуации, можно выделить: ошибки постановки задачи - не все альтернативы проблеме были поставлены, ошибки наличия неверных альтернатив

на горизонте и ошибки доказательства - процесс раскрытия системы альтернатив задачи не дошел до конца. Можно показать, что в то время как первые два типа ошибок устранимы и проверяемы, ошибки последнего типа принципиально нелокализуемы в силу мерцания процесса доказательства. Реальная практика показывает, что субъективный момент понимания задачи всегда наступает до того, как исчерпывается рассмотрение всех возможных альтернатив.

Второй параграф второй главы посвящен исследованию того, как система альтернатив, возникшая в процессе доказательства, фиксируется и становится доступна дальнейшей практике. По сути, речь идет о вырабатывании математических навыков, так как повседневная математическая практика состоит в актуализации системы математического языка без ее реального воспроизведения. Эта актуализация родственна "опережающему схватыванию" Гуссерля [Гуссерль3], основанному на протенциях [Гуссерль7, 2 6-59]. Для описания опережающего схватывания сложных системных смыслов привлекается понятие идеального плана события - полагания определенной последовательности альтернатив данной задачи (коммуникативной ситуации).

В рамках этого представления обосновывается известная проблема "следования правилу" [Витгенштейн] - трансляция правила не может вызвать помехи в случае, если в процессе передачи не была сформулирована неверная альтернатива.

Выяснив некоторые особенности математической деятельности, в третьей главе мы попытаемся описать среду и условия реализации этой деятельности. Выше мы описали единичный акт осуществления математической деятельности как коммуникативную ситуацию. Обобщением такого описания будет разговор - осмысленная единым намерением цепь коммуникативных ситуаций.

В первом параграфе третьей главы мы опишем подход к понятию разговора как интерсубъективного единства. Ориентируясь на гуссерлевское представление об

интерсубъективности как аппрезентации [Гуссерль4], мы строим оригинальную модель интерсубъективности события, основанную на аппрезентирующем акте понимания.

Этот акт требует определенных условий осуществления, которые мы формулируем как серию конституирующих намерений: намерение участвовать в едином разговоре, намерение придерживаться единой темы и намерение слушать. Затем мы вводим представление об интересе как достаточном условии разговора и уточняем характеристики математического разговора.

Во втором параграфе мы проясняем сформулированные трансцендентальные условия на коммуникативном уровне, привлекая также понятия неориторики. Мы определяем структуру единичного цикла разговора и проясняем значение темы разговора.

В третьем параграфе мы рассматриваем проявление математической деятельности в социуме - школы, симпозиумы, семинары, а также формы фиксации деятельности - статьи, учебники и т.д. Последнее выявленное нами свойство разговора - его бесконечная ветвимость - делает возможным обоснование нашего исходного тезиса о разговоре как основной форме существования математической деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат философских наук Нуждин, Георгий Александрович, 1998 год

Список литературы

Литература на русском языке

[Алпатов] В.М. Алпатов, История лингвистических учений, М.:Языки русской культуры, 1997

[Аристотель] Аристотель, собрание сочинений в четырех томах, тт. 2-4, М. .-Мысль, 1979-1984

[Арнольд1 ] В.И. Арнольд, Избранное, М.:НМУ, 1998, сс.724-755

[Арнольд2] В.И. Арнольд, Математика с человеческим лицом"//"Природа", №3, М, 198 6

[Барабашев1] А. Г. Барабашев, Будущее математики, М.:МГУ, 1991

[Барабашев2] А.Г. Барабашев, Треугольник Фреге и существование математических объектов//Историко-

математические исследования, Вторая серия, вып. 2 (37), 1997, сс. 292-313

[БарабашевЗ] А.Г. Барабашев, Бесконечность и неопределенность//Бесконечность в математике, М.:Янус-К, 1997, сс. 273-282

[Беляев] Е.А. Беляев, В.Я. Перминов, Философские и методологические проблемы математики, М.:МГУ, 1981

[Бенвенист] Э. Бенвенист, Общая лингвистика, М.:Прогресс, 1974

[Бибихин] В. Бибихин, Язык философии//Путь №3, М.:Прогресс, 1993, сс. 57-119

[Бурбаки] Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, М.:Издательство иностранной литературы, 1963

[Введенский!] А. Введенский, Полное собрание произведений в двух томах, М.:Гилея, 1993

[Введенский2] А. Введенский, Серая тетрадь//Логос №4, М.:Гнозис, 1993, сс. 128-137

[Вейль] Г. Вейль, Математическое мышление, М. .-Наука,

1989

[Виноград] Т. Виноград, Ф. Флорес. О понимании компьютеров и познания//Язык и Интеллект, М.:Прогресс, 1996, сс. 185-230

[Витгенштейн] JI. Витгенштейн. Философские работы, т.1, М.:Гнозис, 1994

[Волков] A.A. Волков, Аргументативные фигуры//Русская словесность №5, М, 1996, сс. 87-88

[Гадамер!] Х.-Г. Гадамер, Что есть ■истина//Логос №1, М.:Гнозис, 1991, сс. 30-37

[Гадамер2] Х.-Г. Гадамер, Хайдеггер и греки//Логос №2, М.:Гнозис, 1991, сс. 56-68

[ГадамерЗ] Х.-Г. Гадамер, О круге понимания//X.-Г. Гадамер, Актуальность прекрасного, М.¡Искусство, 1991, сс. 72-81

[Гадамер4] Х.-Г. Гадамер, Неспособность к

разговору//Х.-Г. Гадамер, Актуальность прекрасного, М. .-Искусство, 1991, сс. 82-91

[Гедель] К. Гедель. Расселовская математическая логика//Б. Рассел, Введение в математическую философию, М.:Гнозис, 1996, сс. 205-232

[Гильберт] Д. Гильберт, Математические проблемы и их источники//Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия, М.:Просвещение, 1976, с с. 23-33

[Глухов] A.A. Глухов, Путь мысли Платона и Аристотеля//Что значит знать, Знание и понимание, тезисы конференции, М, УРАО, 1998, сс. 3-5

[ГротендикО] А. Гротендик. Урожаи и посевы, ч.О, М.:НМУ, 1995

[Гротендик1] А. Гротендик, Урожаи и посевы, ч. 1, М..-НМУ, 1996

[Гумбольдт] В. фон Гумбольдт, Избранные труды по языковедению, М.¡Прогресс, 1984

[Гуссерль1] Э. Гуссерль. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии//Язык и Интеллект, М.:Прогресс, 1996, с.14-94

[Гуссерль2] Э. Гуссерль. Феноменология//Логос №1, М.:Гнозис, 1991, сс. 12-20

[Гуссерль3] Э. Гуссерль. Логические исследования, т. 2//Логос №10, М.:Гнозис, 1998, сс. 5-64

[Гуссерль4] Э. Гуссерль. Картезианские размышления, Спб, 1998

[Гуссерль5] Э. Гуссерль. Кризис европейских наук и трансцендентальная философия// Э. Гуссерль, Философия как строгая наука, Новочеркасск.:Сагуна, 1994, сс. 49-100

[Гуссерльб] Э. Гуссерль. Парижские доклады //Логос №2, М.:Гнозис, 1991, сс. 6-31

[Гуссерль7] Э. Гуссерль, Феноменология внутреннего сознания времени, М.:Гнозис, 1994

[Гутнер!] Г.Б. Гутнер, Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук, М, 1998

[Гутнер2] Г. Б. Гутнер, Категории модальности и математическое существование//Вопросы философии №9, М.:Наука, 1998, сс. 120-138

[Дрейфус] X. Дрейфус, С. Дрейфус, Создание сознания vs моделирование мозга//Аналитическая философия: становление и развитие, М.:Дом Интеллектуальной Книги, 1998, сс. 401-433

[Душкин] Ю.И. Душкин, О возможности "нейтральной" позиции в философии математики и о месте бесконечности в математике//Бесконечность в математике, М.:Янус-К, 1997, сс. 229-235

[Звегинцев] В. А. Звегинцев, Мысли о лингвистике, М.:МГУ, 1996

[Зотов] А.Ф. Зотов, Ранний Гуссерль и формирование феноменологического движения в европейской философии//Логос №2, М.:Гнозис, 1991, сс. 41-52

[Кант] И. Кант, Критика чистого разума, СПбТайм-Аут,

1993

[Катречко1] С. Л. Катречко, Бесконечность и теория поиска вывода//Бесконечность в математике, М.:Янус-К, 1997, сс. 190-197

[Катречко2] С. Л. Катречко, Сознание и

бесконечность//Бесконечность в математике, М.:Янус-К, 1997, сс. 329-333

[КатречкоЗ] С. Л. Катречко, "Мерцающий" способ бытийствования феномена знания//"Что такое знать" тезисы нацчного симпозиума, М, УРАО, 1998, сс. 8-11

[Китчер] Ф. Китчер и др. Математический натурализм //Методологический анализ оснований математики, М.-.Наука, 1988

[Коллар] X. Клеменс, Я. Коллар, С. Мори, Многомерная комплексная геометрия, М.:Мир, 1993

[Кольман] Э. Кольман, История математики в древности, М.:Издательство физико-математической литературы, 1961

[Круглый стол] Круглый стол. Философия

Хайдеггера//Логос №2, М.:Гнозис, 1991, сс. 68-108

[Лаков] Дж. Лаков, Когнитивная семантика//Язык и интеллект, М.:Прогресс, 1996, сс. 143-184

[Лебедев] М.В. Лебедев. Стабильность языкового значения, М.гЭдиториал УРСС, 1998, сс. 164

[Левин] Г.Д. Левин, Анализ и синтез в геометрии//Вопросы философии №9, М.:Наука, 1998, сс. 92-105

[Лосев1] А.Ф. Лосев, Проблема символа и реалистическое искусство, М.¡Искусство, 1976 (переиздание 1995)

[Лосев2] А.Ф. Лосев, История античной эстетики, М.¡Искусство, 1994

[Лотман] Ю.М. Лотман, Избранные статьи в трех томах, Т. 1, Таллинн: Александра, 1992

[Маккинси] М. Маккинси, Фреге, Рассел и проблема, связанная с понятием "убеждение"//Логос №6, М.:Гнозис, 1994, сс. 248-259

[Малахов] B.C. Малахов, Философская герменевтика Х.-Г. Гадамера// X.-Г.Гадамер. Актуальность прекрасного,

М.:Искусство, 1991, с. 336

[Мамардашвили] М.К. Мамардашвили, Как я понимаю философию, М.:Прогресс, 1990

[Матурана] У. Матурана. Биология познания// Язык и Интеллект, М.¡Прогресс, 1996, с. 95-143

[Молчанов1] В. И. Молчанов, Парадигмы сознания и структуры опыта//Логос №3, М.:Гнозис, 1992, сс. 7-36

[Молчанов2] В. И. Молчанов, Одиночество сознания и коммуникативность знака//Логос №9, М.:Гнозис, 1998, сс. 5-25 [Моррис] Ч. Моррис, Основания теории знаков//Семиотика, М.:Радуга, 1983, сс. 37-89

[Мостовой] Я.Г. Мостовой, О пространствах вещественых алгебраических циклов на Срп, Препринт

[Мотрошилова] Н.В. Мотрошилова, О лекциях Ю. Хабермаса в Москве и об основных понятиях его концепции//Ю. Хабермас. Демократия. Разум. Нравственность, М,:Наука, 1992, сс. 115174

[Нуждин!] Г. Нуждин, Разговор в

лесу,http:\www.philosophy.ru\library\v_lesu.html

[Нуждин2] Г. Нуждин, Знание и понимание как способ и деятельность//"Что значит знать", тезисы научного симпозиума, М, УРАО, 1998, сс. 15-19

[НуждинЗ] Г. Нуждин, Доказательство как

деятельность//"Особенности философского дискурса" тезисы конференции, М, УРАО, 1998, сс. 17-19

[Нуждин4] Г. Нуждин, Сознание и

бесконечность//Бесконечность в математике, комментарии к докладу С. Катречко, М, 1997, с. 333

[НуждинБ] Доказательство//Вопросы философии №9, М, 1998, сс. 138-150

[Перминов] В.Я. Перминов. Развитие представлений о надежности математического доказательства, М.:МГУ, 1986

[Петров1] В. В. Петров. Язык и искусственный интеллект//Язык и Интеллект, М.:Прогресс, 199 6, с.8

[Петров2] В.В. Петров. От философии языка к философии сознания//Философия. Логика. Язык, М.:Прогресс, 1987, с.7

[Пиаже] Ж. Пиаже, Избранные психологические труды, М.:Просвещение, 1969

[Платон] Платон. Собрание сочинений в 4-х томах, М.-.Мысль, 1994, т.1 (292)

[Платон2] Платон, Собрание сочинений в 4-х томах, М. .-Мысль, 1994, т. 3

[Подорога] К вопросу о мерцании мира (Беседа с В. Подорогой)//Логос №4, М, 1993, сс. 145-146

[Пойя] Д. Пойя, Математика и правдоподобные рассуждения, М.:Издательство иностранной литературы, 1957

[Полани] М. Полани, Личностное знание, М.¡Прогресс,

1985

[Поппер] К. Поппер, Открытое общество и его враги, М.:Прогресс, 1992

[Пятигорский] A.M. Пятигорский, Некоторые общие замечания относительно рассмотрения текста как

сигнала//Структурно-типологические исследования,

М.:Издательство Академии Наук, 1962, сс. 149-152

[Пуанкаре] А. Пуанкаре. О науке. М.:Наука, 1990 [Родин1] A.B. Родин, Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук, М, 1994

[Родин2] A.B. Родин, О локальности понимания//"Что значит знать" (знание и понимание) тезисы научного симпозиума, М, УРАО, 1998, сс. 21 - 23

[РодинЗ] A.B. Родин, Знание и сила//"Что значит знать" (в контексте философии и педагогики) тезисы научного симпозиума, М, УРАО, 1998, сс. 23-26

[Родин4] A.B. Родин, Теорема//Вопросы философии №9, Н.:Наука, 1998, сс.105-120

[Рождественский] Ю.В. Рождественский, Что такое теория клише//Г.Л. Пермяков, От поговорки до сказки, М.:Наука, 1970, сс. 213-237

[Розов1] М. А. Розов, Проблемы эмпирического анализа научного знания, Новосибирск: Наука, 1977

[Розов2] М.А. Розов, Курс лекций по философии науки, М.:МГУ, 19 94

[РозовЗ] М.А. Розов, О природе идеальных объектов науки//Международная конференция "Смирновские чтения", М, 1997

[Сент-Экзюпери] А. де Сент-Экзюпери, Планета людей, Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 197 3

[Слинин] Я.Д. Слинин, Э. Гуссерль и его "Картезианские размышления"//Э. Гуссерль. Картезианские размышления, СПб, 1998, сс.5-4 6

[Смаллиан] Р. Смаллиан, Принцесса или тигр, М.:Мир,

1985

[Сокулер!] З.А. Сокулер, Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг., М.:ИНИ0Н РАН, 1995 [Сокулер2] З.А. Сокулер, Людвиг Витгенштейн и его место в философии XX века, Долгопрудный: Аллегро-Пресс, 1994

[Соссюр] Ф. де Соссюр, Труды по языкознанию, М.:Прогресс, 1977

)

[Успенский] В. А. Успенский, Семь размышлений на темы философии математики//Закономерности развития современной математики, М, 1987, сс. 106-155

[Фреге] Г. Фреге. Мысль: логическое

исследование//Философия. Логика. Язык, М.:Прогресс, 1987, с. 18-48

[Хабермас!] Ю. Хабермас, Познание и

интерес//Философские науки №1, М, 1990, сс. 90-97

[Хабермас2] Ю. Хабермас, Демократия. Разум. Нравственность, М.:Прогресс, 1992

[Хайдеггер1] М. Хайдеггер, Гельдерлин и сущность поэзии//Логос №1, М.:Гнозис, 1991, сс. 37-41

[Хайдеггер2] М. Хайдеггер, Работы и размышления разных лет, М.:Гнозис, 1993

[ХайдеггерЗ] М. Хайдеггер, Время и бытие: статьи и размышления, М.:Республика, 1993

[Хомский!] Н. Хомский, Язык и мышление, М.:МГУ, 1972 [Хомский2] Н. Хомский, Аспекты теории синтаксиса, М.:МГУ, 1972

[Фодор] Дж. Фодор и 3. Пылишин, Коннецционизм и когнитивная структура: критический обзор//Язык и Интеллект, М, 1996, сс. 230-314

[Фольварт] Г. Фольварт, Кант, Гуссерль, Хайдеггер, с. 66//цит. по Н.Лосский, Трансцендентально-феноменологический идеализм Гуссерля, М, 1991, с. 134

[ФНСАЛ] Фундаментальные направления современной американской лингвистики, М.:МГУ, 1997

[Черняк] А.З. Черняк, Проблема оснований знания и феноменологическая очевидность, М.:Эдиториал УРСС, 1998

[Щерба] Л.В. Щерба, Восточно-лужицкое наречье, Т. 1,СПб, 1914

[Якобсон] P.O. Якобсон, Избранные работы, М.:Прогресс,

1985

Литература на иностранных языках

[Austen] Austen J. How to do things with words, Cambridge, MA, 1962

[Buyssens] Buyssens E. Les langages et le discours, Bruxelles: Office de publicité,1943,7

[Davis] Davis F., Hersh R. The Mathematical Experience, Birkhauser, Boston, 1981

[Frege] Frege G. Sinn und Bedeutung//Zeitschrift für Fhilosophie und philosophische Kritik, Vol.100 Halle : Pfeffer, 1895

[Lorca] Garcia Lorca F. Obras complétas, Vol.3, México, Aguilar, 1391

[Habermas] Habermas J. Wahrheitstheorien//H. Fahrenbach, Wirklichkeit und Reflektlon, Pfullingen: Neske, 1973, p. 220

[Husserll] Husserl E., Logical Investigation, V. 2, trans, by J.N. Findlay, NY, Humanities press, 1970, par. 6

[Husserl2] Husserl E., The Crisis of European Sciences and Transcendental Phaenomenology, trans, by D. Carr, NUP, Evanston, 1970, pp. 121-122

[Kitcher] Kitcher Ph, The nature of Mathematical Knowledge, Oxford University Press, 1983

[Kripke] Kripke S., Wittgenstein on rules and private language, Cambridge, Massachusetts, 1982, pp. 7-8

[Lakoff] Lakoff G. Women, Fire and Dangerous Things. What Categories Reveal about the Mind, Chicago, The University of Chicago Press, 1987

[Meiland] Meiland J., Concepts of Relative Truth//'The Monist, 60 (1977), P.571

[Minsky] Minsky M. A Framework for Representative Knowledge//Winston P, The Psychology of Computer Vision, NY, McGraw Hill, 1975, 211-277

[Morris] Morris Ch., Foundations of the theory of signs, Chicago, 1938

[Pérélman] Pérélman Ch., Olbrechts-Tytéca L., La nouvelle rhétorique: Traité de l'argumentation, Bruxelles: Ed. de l'Université de Bruxelles, 1988

[Rozov] Rozov, M.A. The Mode of Existance of Mathematical Objects//Philosophia ' Mathematica, II, vol. 4 ( 1982), No. 2, pp Л05-112

[Searle] Searle J., A taxonomy of illocutionary acts// Expression and Meaning, Cambridge, 1979, pp 1-27

[Winograd] Winograd, T. When will computers understand people?//'"Psychology Today", 7:12, 1974, 73-39 Словари

[ФилосСловарь] Философский словарь, M, Издательство политической литературы, 198 7

[ЛатСловарь] Латинско-русский словарь, М, Русский язык,

1996