Комбинированный метод численного решения стационарных уравнений Рейнольдса и его применение к моделированию работы воздухозаборника вспомогательной силовой установки в компоновке с фюзеляжем летательного аппарата тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.01, кандидат наук Кажан, Егор Вячеславович

• Кажан, Егор Вячеславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кажан, Егор Вячеславович

Оглавление

Глава 1. Математическая постановка задачи

1.1 Система уравнений Рейнольдса, замкнутая моделью турбулентности (д-со)

1.2 Математические свойства системы уравнений Рейнольдса

1.3 Постановка краевой задачи для уравнений Рейнольдса (на примере задачи о моделировании работы вспомогательной силовой

установки в компоновке с фюзеляжем)

Глава 2. Выбор и анализ численного метода для решения поставленной

задачи

2.1 Анализ некоторых схем на основе модельного уравнения

2.2. Базовый явный метод, основанный на схеме ГКР

2.3. Линеаризованная неявная схема на основе схемы ГКР

2.4. Особенности реализации неявной схемы

2.5. Особенности постановки численных граничных условий

2.6. Комбинированный метод с явной и неявной частями

Глава 3. Тестирование разработанного метода

3.1. Тест 1 - турбулентный пограничный слой на пластине

3.2. Тест 2 - профиль ЫАСА0012

3.3. Тест 3 - компоновка фюзеляж-крыло CRM (Common Research Model)

3.4. Тест 4 - Воздухозаборник и элемент мотогондолы тематической компоновки фюзеляж-крыло-пилон-мотогондола

Выводы к Главе 3

Глава 4. Применение разработанной методики к моделированию течений в компоновке ВСУ с фюзеляжем JIA

4.1. Расчётные исследования обтекания хвостовой части фюзеляжа и выбор положения створок ресивера ВСУ

4.2. Оценка влияния формы фюзеляжа

4.3. Анализ физических особенностей течения в воздухозаборном устройстве ВСУ

4.4. Валидация расчетной технологии. Интегральные характеристики воздухозаборного устройства ВСУ

4.5. Полуэмпирическая методика оценки потерь на входе в двигатель ВСУ

Выводы к Главе 4

Выводы

Список использованных источников

Приложение 1. Анализ схем на основе модельного уравнения

Приложение 2. Базовый явный численный метод

Приложение 3. Матрицы неявного численного метода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинированный метод численного решения стационарных уравнений Рейнольдса и его применение к моделированию работы воздухозаборника вспомогательной силовой установки в компоновке с фюзеляжем летательного аппарата»

Введение

Предлагаемая работа является обобщением опыта проведения расчетных и экспериментальных исследований, накопленного в Центральном Аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) и в Центральном Институте Авиационного Моторостроения (ЦИАМ). В 1996 и 2003 годах опубликованы юбилейные сборники статей [1][2], в которых демонстрируется высокий уровень расчетных и экспериментальных работ, выполняемых в ЦАГИ. Эти книги являются основой, сформировавшей научные взгляды автора данной работы. В книге [3] представлен опыт разработки пассажирских магистральных самолетов, который был учтен в практической части настоящей работы. Большой задел, который был создан в ЦИАМ в результате многочисленных теоретических и практических исследований, описан в книге [4]. Численный метод, который был создан С.К.Годуновым [5] и в настоящее время имеет всемирное признание, успешно и плодотворно развивался и совершенствовался в обоих институтах. Автор внимательно изучил книгу [6], в которых подробно описаны все особенности реализации метода Годунова. В ЦАГИ впервые был предложен метод Годунова 2-го порядка аппроксимации по пространству [7], который впоследствии был обобщен на многомерные задачи в ЦИАМ [8]. Явная схема Годунова 2-го порядка аппроксимации по времени [9] зарекомендовала себя как весьма надежный инструмент для решения сложных практических задач и в течение нескольких десятилетий успешно эксплуатируется в ЦАГИ [10]. В последнее время в ЦАГИ исследуется возможность применения идей Годунова в конечно-элементных методах высокого порядка аппрксимации [11]. В ЦИАМ был разработан неявный аналог схемы Годунова [12] применительно к уравнениям Эйлера, который был впоследствии обобщен

на уравнения Навье-Стокса [13]. Одновременно в ЦИАМ была предложена еще одна, весьма эффективная релаксационная неявная схема для решения уравнений Навье-Стокса [14]. Последняя схема была использована при создании различных программ ЦИАМ, включая известную программу КоБра [15]. Эта схема (с некоторыми модификациями) была использована и в настоящей работе для ускорения численной технологии [10], которая использовалась в ЦАГИ к началу данной работы.

Изначально вспомогательная силовая установка (ВСУ) устанавливалась на ЛА для питания самолётных систем и запуска маршевой силовой установки в местах стоянки ЛА без внешнего энергопитания. Новое поколение пассажирских магистральных самолетов использует многофункциональную ВСУ нового поколения, которая применяется на всех режимах полета ЛА, выполняя следующие функции:

— запуск маршевого двигателя с помощью воздушного стартера на земле и в полете;

— питание сжатым воздухом системы кондиционирования салона и кабины экипажа на земле и в полете;

— питание в полете сжатым воздухом системы противообледенения передней кромки крыла (при отказе одного из маршевых двигателей);

— питание бортовой сети самолета электроэнергией переменного тока на земле и в полете.

Актуальность темы. Новый пассажирский самолет МС-21 использует

многофункциональную вспомогательную силовую установку (ВСУ),

работающую на всех режимах полета. Увеличение энергетической

5

нагрузки на ВСУ и усложнение условий ее функционирования повышает требования по эффективности и устойчивости её работы. Как правило, воздухозаборник установки расположен в хвостовой части фюзеляжа в развитом турбулентном пограничном слое. Поэтому при расчетных исследованиях работы воздухозаборника ВСУ приходится моделировать с высокой точностью обтекание всего планера, что требует использования плотных сеток и значительных ресурсов ЭВМ, включая время расчета. Проблема значительного ускорения существующей расчетной методологии при сохранении ее точности весьма актуальна. Соответствующий результат достигнут в настоящей работе. Актуальность исследования работы ВСУ определяется важностью обеспечения безопасности воздушного судна.

Цель диссертации заключается в модификации существующей расчетной методологии с целью существенного ускорения численного решения практических задач при сохранении точности и в применении этой методологии к решению задачи согласования воздухозаборника с двигателем вспомогательной силовой установки пассажирского самолета МС-21.

В ЦАГИ была разработана и получила широкое применение технология

вычислительного эксперимента под названием "Электронной

аэродинамической трубы" [16]. Разработанный для этого пакет

прикладных программ (1111П) Е\УТ - ЦАГИ [17] [18] включает весь набор

инструментов для реализации вычислительного эксперимента.

Вычислительный эксперимент позволяет моделировать турбулентные

течения вязкого газа при обтекании реальных геометрий. Среди прочих,

выполнен расчет обтекания модели в условиях реальной

6

аэродинамической трубы. Перед автором данной работы стояла задача ускорить получение стационарных решений в рамках описанной технологии и добиться нового качества путем решения класса задач, недоступного ранее. Программный продукт EWT - ЦАГИ включает в себя несколько прикладных программ, в том числе V3 Solver [19] и ZEUS [20]. Для получения стационарных решений в этих программах используется метод установления решения по времени. Стационарное течение получается как предел некоторого нестационарного процесса. Возможны разные подходы к моделированию этого процесса. Известно, что численные схемы, которые могут быть использованы в методе установления, можно разделить на два класса - явные и неявные. Они имеют свои достоинства и недостатки. Неявные схемы могут быть абсолютно устойчивы, но требуют больше вычислительных затрат на совершение итерации по сравнению с явными аналогами. И явные и неявные численные схемы широко используются в вычислительной аэродинамике и имеют множество реализаций [21]. В Электронной Аэродинамической Трубе до последнего времени использовались только явные численные схемы. Для ускорения получения стационарных решений применялся метод локального шага по времени. Это означает, что в разных ячейках сетки расчет проводится с разными значениями шага по времени, определяемыми локальными условиями устойчивости. Этого было недостаточно для эффективного использования в практических расчетах, и перед автором настоящей работы была поставлена задача: в рамках технологии «Электронной аэродинамической трубы» (с использованием уже разработанных функций, алгоритмов и настроек) ускорить получение стационарных решений.

Один возможный подход к решению задачи - это многосеточные методы (multigrid [22] [23]), другой подход - использование неявной схемы. В работе автора был выбран второй подход.

Современные неявные методы решения стационарных задач вычислительной аэродинамики, как правило, основаны на принципе линеаризации зависимости от времени уравнений движения газа [21]. Значения параметров на неизвестном временном слое (п +1)

— - дР

представляются в виде « Е(й")л--(й")Ай, где Ай = йп+1-й",

дй

дР

— (и") - некоторая аппроксимация матрицы Якоби, вычисляемая по дй

параметрам на известном временном слое й". В результате, аппроксимация уравнений движения сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно приращения параметров Ай (неявная схема в "дельта-форме" [24]). При решении трёхмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса матрица такой СЛАУ имеет блочно ленточную структуру с несколькими ненулевыми блочными диагоналями, разделенными многочисленными нулевыми диагоналями. Существующие методы решения таких СЛАУ можно подразделить на два больших класса.

В первом классе методов СЛАУ для Ай не упрощается. Несколько "шагов по времени" с точным решением СЛАУ при бесконечно больших шагах по времени эквивалентны решению нелинейной стационарной системы

I

уравнений методом Ньютона, что обеспечивает квадратичную скорость

сходимости при наличии хорошего начального приближения [25]. Однако,

как правило, начальное поле сильно отличается от решения, поэтому

итерационный процесс приходится начинать с небольших шагов по

времени. При точном решении СЛАУ требуемые вычислительные ресурсы

8

неприемлемо велики [21]. Весьма употребительны различные версии

метода сопряженных градиентов [26] [27], среди которых особенно

эффективным является обобщенный метод минимальных невязок (СМКЕ8

[28]) в безматричной реализации [29]. Однако в общем случае для таких

методов решающее значение имеет применение различных

предобуславливателей [30]. При решении "плохих" практических задач

эти методы не обеспечивают достаточную робастность [30].

Более простым в реализации является второй класс методов, основанный

на упрощении СЛАУ. В целом, методы этого класса можно подразделить

на методы факторизации, связанные с представлением матрицы системы в

виде произведения нескольких матриц специального вида, и методы,

связанные с представлением матрицы системы в виде суммы нескольких

матриц. Высокоэффективная схема первой группы была предложена в

работе [31]. Это так называемый метод переменных направлений (АХ)1),

при котором матрица системы факторизуется на три множителя,

связанные с численным дифференцированием в каждом из

пространственных направлений. Каждый множитель приводится к

системе, решаемой матричной прогонкой или даже рядом скалярных

прогонок. Однако метод АБ1 в трехмерном случае обладает условной

устойчивостью. Существует ряд других способов факторизации,

обладающих абсолютной устойчивостью, например, [32]. Во второй

группе схем, основанных на упрощении матрицы системы, используются

такие эффективные методы решения СЛАУ, как блочные методы Якоби и

Гаусса-Зейделя [33] и методы релаксации, среди которых особенно

популярен метод Ьи-8в8 и его модификация Ы1-880Я [34]. Как правило,

число итераций таких методов на каждом шаге по времени ограничивается

[21], так что решение упрощенной СЛАУ не находится, что не мешает

сходимости процесса в целом к стационарному решению. В отличие от

9

методов первой группы, методы этого типа легко обобщаются на неструктурированные сетки [35]. Смена направления обхода ячеек структурированной сетки, которая ускоряет сходимость метода Гаусса-Зейделя, на неструктурированных сетках может быть успешно заменена произвольной перенумерацией ячеек [36].

При упрощении СЛАУ неявной схемы существенную роль играет сокращение шаблона схемы на неявном слое. Наиболее употребительным способом для достижения этой цели является метод отсроченной коррекции (deferred correction) [37], при котором неявный оператор, применяемый к АН, аппроксимируется с первым порядком точности по пространству на компактном шаблоне, и лишь в явном операторе применяется аппроксимация высокого порядка на развёрнутом шаблоне. Метод отсроченной коррекции основан на том, что при приближении к стационарному решению неявный оператор стремится к нулю, что обеспечивает высокий порядок аппроксимации стационарного решения. При этом использование неявного оператора первого порядка точности повышает надежность схемы.

Неявный метод [38], предлагаемый в настоящей работе, основан на методе

отсроченной коррекции и использует для решения системы линейных

уравнений блочный метод Гаусса-Зейделя с перенумерацией ячеек. Этот

метод продолжает традиции отечественной школы вычислительной

аэродинамики, основанной С.К.Годуновым и его последователями.

Ключевым принципом этой школы является использование при

аппроксимации системы дифференциальных уравнений ее

математических свойств, и прежде всего - учет направления

распространения информации. В явной схеме Годунова [6] для этой цели

впервые была использовано решение задачи Римана о распаде

произвольного разрыва. Однако неявная схема, предложенная в

10

классической книге С.К.Годунова с соавторами [6], не относится к этому

классу. Не относится к этому классу и базовый вариант метода АЭ1 [31].

Однако уже в одной из последующих работ авторов АЕ)1 [32] был

предложен метод АГ)1 с учетом направления распространения

информации, основанный на расщеплении вектора потоков. Родственными

к работе [32] являются классические отечественные работы [12], [13]. В

этих работах также используется подход АВ1, однако матрицы Якоби

конвективных потоков аппроксимируются на гранях ячеек, а в явном

операторе используется нелинейная схема Годунова второго порядка

аппроксимации. Линеаризация Роу [39] признана оптимальным

компромиссом между точностью и эффективностью при вычислении

параметров на гранях ячеек [21]. В работах [14], [40], [41] описана неявная

схема, основанная на решении задачи Римана, которая не использует

факторизацию неявного оператора, с решением СЛАУ блочным методом

Гаусса-Зейделя. Неоценимые консультации по своему опыту применения

подобных схем дали автору разработчики программы КоБра [15].

При построении неявных методов для решения уравнений Рейнольдса,

замкнутых дифференциальной моделью турбулентности, возникает

проблема выбора аппроксимации источников, связанных с производством

и диссипацией турбулентности. Нередко для источников используется

неявная аппроксимация; но следует учитывать возможные случаи

неустойчивости, описанные в [21]. В работе [42] предложена абсолютно

устойчивая схема, в которой для производства турбулентности

используется явная аппроксимация, а для диссипации - неявная. В

настоящей работе используется другой метод, основанный на анализе

собственных чисел матрицы Якоби источников. Этот метод был

сформулирован автором самостоятельно как логическое развитие идей,

изложенных в [10]. Впоследствии автору стало известно, что аналогичный

11

подход был предложен в работе [43], где сообщается, что он обеспечивает более быструю сходимость, чем метод [42].

Главной оригинальной особенностью численного метода [38], который будет описан ниже, является локальный выбор явной или неявной схемы и способа осуществления шага по времени (глобальный, локальный) в зависимости от соотношения между заданным глобальным шагом по времени и локальным условием устойчивости явной схемы. Далее будет показано, что данный комбинированный подход позволяет существенно ускорить получение стационарного решения по сравнению с методами, использующими одну и ту же схему во всей расчетной области. Следует отметить, что существует обширный класс методов зональной декомпозиции [44], где в разных блоках расчетной сетки используются разные численные методы. В отличие от методов этого класса, в предлагаемом подходе выбор схемы определяется в каждой ячейке сетки на основе локальных параметров численного решения; при этом удается сохранить однородность алгоритма. Локальный выбор схемы обеспечивает большую гибкость метода. Эффективность данного подхода будет продемонстрирована на ряде тестовых задач. Близкий подход, но содержащий ряд существенных отличий, был использован в работах [45-48].

Помимо настоящего введения, диссертация включает 4 главы, заключение, 3 приложения и список использованных источников. Содержание работы изложено на 154 страницах основного текста и 48 страницах приложения. Список использованных источников содержит 117 наименований. В работе содержится 49 иллюстраций в основном тексте и 13 в приложениях.

В первой главе диссертации описана математическая постановка задачи. Выписаны система уравнений Рейнольдса и замыкающие ее дифференциальные модели турбулентности. Перечислены рассматриваемые граничные условия.

Вторая глава диссертации посвящена выбору и анализу численного метода для решения поставленной задачи. Рассматривается явная численная методология, реализованная к началу данной работы в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ. Для ускорения этой методологии было принято решение разработать ее неявный аналог. Описываются процедура и критерии выбора неявной схемы, включая результаты предварительных тестов. Проводится анализ свойств (аппроксимация, устойчивость и др.) выбранной неявной схемы для модельного уравнения. Дано детальное описание схемы с линейным неявным сглаживателем для уравнений Рейнольдса. Описываются численные граничные условия. Вводится комбинированный метод с явной и неявной частью и выбором заданной величины глобального шага по времени.

Третья глава посвящена тестированию разработанного метода. Точность базового явного численного метода, реализованного в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ, была проанализирована в работе [49]. Первая цель тестирования - показать, что стационарное решение, полученное с использованием предлагаемого комбинированного метода, совпадает со стационарным решением, полученным по базовому явному методу. Вторая и основная цель тестирования - демонстрация ускорения расчета по сравнению с базовым численным методом, а также с глобально-неявным методом. Для тестирования рассматриваются классические тестовые задачи (пограничный слой на пластине, профиль крыла, модель CRM "фюзеляж-крыло"), а также модельный тестовый пример, основанный на расчете реального JIA на практической сетке.

В четвёртой главе предложенный численный метод применяется к

исследованию аэродинамики элементов вспомогательной силовой

установки (ВСУ) в компоновке с хвостовой частью фюзеляжа

магистрального самолёта МС-21 на различных режимах полёта. Целью

проведенных исследований являлось определение места расположения

створок ресивера на поверхности фюзеляжа самолёта и решение задачи

согласования работы двигателя с воздухозаборником. Полную картину

может дать только совместное использование эксперимента и средств

вычислительной аэродинамики. Поэтому работа проводилась как

экспериментально, так и с применением разработанной вычислительной

методологии. Материалы использовались при проектировании

соответствующих агрегатов самолета МС-21. Работа проводилась по

заказу конструкторского бюро и описана в отчетах [50-55]. Эксперимент

проводился в аэродинамической трубе СВС-2 ЦАГИ. Дано описание

экспериментальной установки и средств измерений. Затем изложено

описание расчётных исследований обтекания хвостовой части фюзеляжа

самолёта МС-21. По результатам этих расчетов проводится выбор

расположения створок ресивера ВСУ и определяется толщина

пограничного слоя на входе в ресивер. На основании расчетов полного

обтекания ЛА оценивается влияние формы фюзеляжа на условия течения в

окрестности входа в ресивер ВСУ. Далее проводится анализ физических

особенностей течения в воздухозаборном устройстве ВСУ. Делаются

рекомендации по выбору угла установки створки ресивера. Для оценки

точности численного моделирования течения в ресивере результаты

численного моделирования эксперимента в аэродинамической трубе

СВС - 2 сравниваются с экспериментальными данными. Затем

обсуждаются результаты трехмерного расчета реальной компоновки ВСУ

с хвостовой частью фюзеляжа и проводится сопоставление этих данных с

14

данными численного моделирования экспериментальной модели. Наконец, анализируется применимость полуэмпирической методики оценки потерь на входе в двигатель ВСУ и определяются коэффициенты этой методики.

На защиту выносятся:

1. Модификация известной вычислительной методологии путем внедрения в алгоритм неявной численной схемы с автоматическим переключателем типа, позволяющей ускорить расчёт стационарных (в среднем) турбулентных течений вязкого газа.

2. Практические результаты, полученные при численном моделировании работы воздухозаборника вспомогательной силовой установки (ВСУ). Анализ физических особенностей течения в ресивере ВСУ для разных режимов ее работы.

Личный вклад автора:

1. Модификация вычислительной методологии (программы) путем применения комбинированной вычислительной схемы.

2. Демонстрация эффективности (ускорения) разработанной программы путем проведения верификационных тестовых расчетов.

3. Подготовка и проведение расчетных исследований ВСУ как в условиях аэродинамической трубы СВС-2, так и в компоновке с фюзеляжем самолета МС-21.

4. Участие в эксперименте, подготовленном и осуществленном в АДТ СВС-2 ЦАГИ, с обработкой, анализом и сопоставлением расчетных и экспериментальных данных.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен комбинированный численный метод с автоматическим переключателем для моделирования стационарных течений вязкого сжимаемого газа, сочетающий локальное использование:

— неявной схемы с заданным глобальным шагом по времени - в областях, где глобальный шаг превосходит условие устойчивости явной схемы;

— явной схемы с локальным шагом по времени - в областях, где заданный глобальный шаг не превосходит условие устойчивости явной схемы;

— и неявной схемы с локальным шагом по времени - в буферных областях, удалённых от изучаемого тела.

2. Впервые в России проведён расчёт полной компоновки ВСУ, расположенной в хвостовой части самолета с учётом фюзеляжа и ресивера и с последующей экспериментальной валидацией расчетных данных. Данные испытаний модели воздухозаборника ВСУ в АДТ СВС-2 ЦАГИ восполнены данными расчета аэродинамики воздухозаборника натурной вспомогательной силовой установки в компоновке с фюзеляжем.

Достоверность полученных результатов обосновывается:

1. Сопоставлением результатов расчетов с классическими решениями (раздел 3.1).

2. Сопоставлением результатов расчетов с экспериментальными данными (разделы 3.2 и 4.4).

3. Сопоставлением результатов расчетов с расчетными данными других авторов (раздел 3.2).

4. Сопоставлением результатов расчетов, полученных с использованием

различных численных подходов (разделы 3.1, 3.2, 3.3, 3.4) и разных физических моделей (раздел 3.2).

Практическая ценность работы состоит в следующем. Полученные в результате работы технические решения приняты к исполнению при прохождении макетной комиссии Инженерного центра им Яковлева ОАО «Иркут». Разработанная численная методология внедрена в практику расчетных работ в ЦАГИ. Разработанная автором программа COMGLEI включена в пакете прикладных программ EWT-ЦАГИ. Получено свидетельство о государственной регистрации №2013610173 [56].

Апробация работы:

Материалы работы докладывались и обсуждались на 14 отраслевых и 5 международных конференциях [57-75].

Публикации. Результаты диссертации изложены в 3 печатных работах [76] [38] [77].

В заключении автор хотел бы выразить глубокую благодарность к.т.н. C.B. Михайлову и к.т.н. C.B. Матяшу за неоценимую помощь в разработке программы «COMGLEI», а также с.н.с. В.Ф. Третьякову и в.и.к. ОАО «Корпорация Иркут» Е.П. Быкову за помощь в проведении исследований вспомогательной силовой установки самолёта МС-21.

Глава 1. Математическая постановка задачи

1.1 Система уравнений Рейнольдса, замкнутая моделью турбулентности (я-со)

Прогресс в развитии авиации в последние годы в значительной степени определяется оптимизацией аэродинамических обводов и применением новых технических решений с использованием существенно нелинейных режимов обтекания, требующих обязательного учёта вязкости и состояния пограничного слоя. К таким задачам можно отнести использование больших углов атаки с управляемым отрывом потока, разработку высоконесущих скоростных профилей с развитыми сверхзвуковыми зонами с замыкающим скачком уплотнения, исследование технических решений, основанных на взаимодействии интенсивных струй с элементами планера и внешним потоком (задачи эжекции и шумоглушения в соплах ТРДД, охлаждения элементов конструкции, струйного управления вектором тяги, применение интенсивных щелевых струй для управления обтеканием внешним потоком) и т.д. Численное решение системы уравнений Рейнольдса (осреднённых по времени уравнений Навье-Стокса) [10] [21] [78] позволяет детально исследовать физическую картину течения, получить количественную оценку параметров течения и аэродинамических характеристик, исследовать влияние различных факторов и параметров. На основе этого можно сформировать рекомендации по повышению эффективности исследуемых технических решений и сэкономить время и объёмы необходимых экспериментов, а также облегчить понимание и трактовку их результатов.

В результате, численное решение системы уравнений Рейнольдса для моделирования реальных процессов как плоских, так и пространственных течений, имеет большой практический и теоретический интерес. Считается [18], что в настоящее время научная разработка методов расчёта с использованием осреднённой по Рейнольдсу (RANS) системы уравнений Навье-Стокса (с замыканием в виде дифференциальной модели турбулентности) в основном закончена. Это не означает, что работы в данном направлении полностью остановлены. Тем не менее, основные усилия научных школ направлены на развитие методов LES, с которыми связывается будущее вычислительных работ [79]. Действительно, опубликованные дифференциальные модели турбулентности [42], как правило, настроены на решение узкого класса задач и их использование правомерно только в рамках зонального подхода. Например, известная модель (к-оз) [80] даёт приемлемые результаты в пристеночных областях, где имеется развитый турбулентный пограничный слой. Другая популярная модель турбулентности (k-s) [81-83] настроена для использования в слоях смешения, и её применение за пределами этих слоёв проблематично. Удачным решением является комбинированный подход, использованный в модели SST [84], в котором происходит плавный переход от модели (к-со) к модели (k-е) в зависимости от функции удалённости твёрдых стенок. Такой подход может быть применен и к другим моделям турбулентности - например, к модели (q-co) [85].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кажан, Егор Вячеславович, 2013 год

Список использованных источников

1. Под редакцией Нейланда В.Я. ЦАГИ - основные этапы научной деятельности 1968-1993. М. Физматлит, 1996.

2. Под редакцией Дмитриева В.Г. ЦАГИ - основные этапы научной деятельности 1993-2003. М. Физматлит, 2003.

3. Под редакцией Бюшгенса Г.С. Аэродинамика и динамика полета магистральных самолетов. Москва: ЦАГИ, Авиа, 1995.

4. Под редакцией Крайко А.Н. Газовая динамика. Избранное. М. Физматлит, 2000.

5. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. "Математический сборник. 1959 г., Т. вып.47(89), №3, стр.271-306.

6. Годунов С.К., , Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М. Наука, 1976.

7. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. «Ученые записки ЦАГИ», т. 3, №6, 1972, стр. 68-77.

8. Н.И.Тилляева. Обобщение модифицированной схемы С.К.Годунова на произвольные нерегулярные сетки. «Ученые записки ЦАГИ», т. 17, №2, 1986.

9: Родионов A.B. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для маршевых расчетов неравновесных потоков. «ЖВМ и МФ», т.27, №4, 1987.

10. Власенко B.B. О математическом подходе и принципах построения численных методологий для пакета прикладных программ EWT-ЦАГИ. В сборнике "Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навье-Стокса". "Труды ЦАГИ", вып. 2671, 2007, с. 20-85.

11. Волков A.B. Разработка методов численного решения пространственных задач обтекания тел вязким газом на основе схем высокого порядка точности. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. ЦАГИ, М., 2009.

12. Иванов М.Я., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера. Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1987 г., Т. т.27,№11, стр.1725-1735.

13. Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений Навье-Стокса. Ж вычисл. матем. иматем. физ. 1989 г., Т. т.29, №6, стр.888-901.

14. Копченов В.И., Топеха Е.А. Неявная релаксационная конечно-разностная схема для системы уравнений Эйлера // Научно-технический отчет ЦИАМ №11543, 1989.

15. Браилко И.А., Макаров В.Е., Федорченко Ю.П., Шорстов В.А. Программный комплекс COBRA v2.5. Правообладатель ФГУП «ЦИАМ имени П.И.Баранова. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613209. Зарегистрировано 14.05.2010.

16. Neyland V.Ya., Bosniakov S.M., Glazkov S.A., Ivanov A., Matyash S.V., Mikhailov S.V., Vlasenko V.V. Conception of electronic wind tunnel and first results of its implementation. Progress in Aerspace Sciences. 2001 г., Т. 37, pp.121 145.

17. Босняков С.М., Власенко В.В., Енгулатова М.Ф., Зленко H.A., Матяш C.B., Михайлов C.B. Программный комплекс для создания геометрии JIA, создания многоблочной 3-х мерной расчетной сетки, получения полей течения при помощи решения системы уравнений Эйлера и системы уравнений Навье-Стокса, осредненных по времени обработка результатов расчета (EWT). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610227 (от 9 января 2008 года), Реестр программ для ЭВМ.

18. Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики

двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени

»

уравнений Навье-Стокса. Сборник статей. "Труды ЦАГИ", вып. 2671, 2007.

19. Власенко В.В., Матяш C.B., Михайлов C.B. Программа расчета 3-х мерных полей течения в районе тел сложной пространственной конфигурации при помощи уравнений Навье-Стокса, осредненных по времени, на многопроцессорных компьютерах и кластерах (V3 Solver). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610230 (от 9 января 2008 года), Реестр программ для ЭВМ.

20. Михайлов C.B. Программа, реализующая зонный подход, для расчета нестационарного обтекания вязким потоком турбулентного газа сложных аэродинамических форм, включая крыло с механизацией (ZEUS). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013610172 (от 9 января 2013 года), Реестр программ для ЭВМ.

21. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications. New York : Elsevier, 2001.

22. Федоренко Р.П. Многосеточный метод для схем конечного элемента. ЖВМ и МФ. 1961 г., Т. 1, 5.

23. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller.A. Multigrid. Cornwall: Academic Press, MPG Books, ,2001.

24. Yoon S., Kwak D. Implicit methods for the Navier-Stokes equations. "Computing Systems in Engineering". 1990 г., Т. Vol.1, Nos.2-4, pp.535-547.

25. Venkatakrishnan V. Newton Solution of inviscid and viscous problems. AIAA Journal. 1989 г., Т. 27, pp. 885-891.

26. Hestenes M.R., Stiefel E.L. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. Nat. Bur. Stand. 1952 г., Т. Vol.49, p. 409.

27. Sonneveld P. S. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems. SIAM J. Scientific Statistsics and Computing. 1989 г., Т. 10, pp.36-52.

28. Sad Y., Schulz M.H. GMRES: a generalized minimum residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Scientific and Statistical Computing. 1986 г., Т. 7, pp. 856-869.

29. Zingg D., Pueyo A. An eficient Newton-GMRES solver for aerodynamic computations. AIAA Paper. 1997 г., Т. 97-1955.

30. Venkatakrishnan V. Preconditioned conjugate gradient methods for the compressible Navier-Stokes equations. AIAA Journal. 1991 г., Т. 29, pp.1092-1110.

31. Beam R.M., Warming R.F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation-law form. Journal of Computational Physics. 1976 г., Т. 22, pp.87-110.

32. Steger J.L., Warming R.F. Flux vector splitting of the inviscid gasdynamic equations with application to finite-difference methods. Journal of Computational Physics. 1981 г., T. 40, pp.263-293.

33. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. - М.: Мир, 1991

34. Yoon S., Jameson A. An LU-SSOR scheme for the Euler and Navier-Stokes equations. AIAA Journal. 1988 г., Т. 26, pp.1025-1026.

35. Batina J.T. Implicit upwind solution algorithms for three-dimensional unstructured meshes. AIAA Journal. 1993 г., Т. 31, pp.801-805.

36. Anderson W.K., Bonhaus D.L. An implicit upwind algorithm for computing turbulent flows on unstructured grids. Computers & Fluids. 1994 г., Т. 23, pp. 1-21.

37. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. 3rd rev.ed. б.м. : Springer, 2002.

38. Кажан E.B. Повышение устойчивости явной схемы Годунова-Колгана-Родионова локальным введением неявного сглаживателя. Учёные записки ЦАРИ. 2012 г., Т. XLIII, №6.

39. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. Journal of Comput. Phys. 1981 г., Т. 43, pp.357-372.

40. Топеха E.A., Копчёное В.И.,. Неявная релаксационная конечно-разностная схема для системы уравнений Навье-Стокса. Методы исследования гиперзвуковых летательных аппаратов. Ежегодная научная школа-семинар ЦАГИ. Механика жидкости и газа. Сборник докладов. 1994 гг., Стр. 9.1-9.10.

41. Топеха Е.А., Копчёное В.И.,. Неявная релаксационная конечно-разностная схема для системы уравнений Эйлера. Методы исследования гиперзвуковых летательных аппаратов. Ежегодная научная школа-семинар ЦАГИ. Механика жидкости и газа. Сборник докладов. 25февраля-1 марта 1992 г г., Т. Часть 3.

42. Wilcox D.C. Progress in hypersonic turbulence modeling. AIAA Paper 91-1785. 1991 r.

43. Spalart P.R., Allmaras S.R. A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. AIAA Paper 92-439. 1992 r.

44. Glowinski R., Golub G.H., Meurant G.A., Periaux J. (Eds.).r.

Domain decomposition methods for Partial Differential Equations, б.м. : Hardcove, 1988. стр. 43lp. ISBN: 0-89871-220-3.

45. Radvogin Y.B., Zaitsev N.A. LOCALLY IMPLICIT SECOND ORDER ACCURATE DIFFERENCE SCHEME FOR SOLVING 2D TIME-DEPENDENT HYPERBOLIC SYSTEMS AND EULER EQUATIONS. Applied Numerical Mathematics. 2000. T. 33. № 1. C. 525-532.

46. Радвогин Ю.Б. ЭКОНОМИЧНЫЕ БЕЗУСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЕ ЛОКАЛЬНО-НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2003. № 35. С. 1-32.

47. Radvogin Yu.B. EFFICIENT UNCONDITIONALLY STABLE LOCALLY IMPLICIT DIFFERENCE SCHEMES FOR SOLVING TWO-DIMENSIONAL HYPERBOLIC SYSTEMS. Russian Journal of Mathematical Physics. 2004. Т. 11. № 3. C. 335-354.

48. Зайцев H.A., Радвогин Ю.Б., Рыков Ю.Г. РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА В СОПЛАХ И ТРУБАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СХЕМ НОВОГО, "ЯВНО-НЕЯВНОГО", ТИПА. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2004. № 52. С. 1-32.

49. Бабулин А.А., Босняков С.М, Матяш С.В., Михайлов С.В.

Оценка точности результатов расчётов с применением EWT. В сборнике "Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навье-Стокса". "Труды ЦАГИ", вып. 2671, 2007, с. 126-142.

50. Босняков С.М., Лысенков A.B., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф.

Расчётные исследования полей потока на входе в воздухозаборник вспомогательной силовой установки. Этап 14.3 //Отчёт о научно-исследовательской работе часть 14.3.8 №7637,- НИО-1 ЦАГИ, 2010

51. Акинфиев В.О., Третьяков В.Ф. Экспериментальные исследования аэродинамикивоздухозаборника вспомогательной силовой установкив АДТ СВС-2 //Отчёт о научно-исследовательской работе № 7710.- НИО-1 ЦАГИ, 2011

52. Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Расчётные исследования по определению параметров потока на входе во вспомогательную силовую установку самолёта МС-21 //Отчёт о научно-исследовательской работе №7706.- НИО-1 ЦАГИ, 2011

53. Акинфиев В.О., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Расчётные исследования по определению параметров потока на входе во вспомогательную силовую установку самолёта МС-21 //Отчёт о научно-исследовательской работе по составной части ОКР №7746.- НИО-1 ЦАГИ, 2012

54. Акинфиев В.О., Ливерко Д.В., Третьяков В.Ф.

Экспериментальные исследования аэродинамики воздухозаборника вспомогательной силовой установки в верхней компоновке в СВС-2 //Отчёт о научно-исследовательской работе № 7743,- НИО-1 ЦАГИ, 2012

55. Акинфиев В.О., Ливерко Д.В., Третьяков В.Ф.

Экспериментальные исследования аэродинамики исполнительной модели вспомогательной силовой установки (СВС-2) //Отчёт о научно-исследовательской работе № 01-7796.- НИО-1 ЦАГИ, 2013

56. Кажан Е.В. Программа расчета стационарных течений на основе решения системы уравнений Рейнольдса, замкнутой дифференциальной моделью турбулентности для напряжений Рейнольдса, на многоблочных структурированных расчетных сетках (COMGLEI). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013610173 (от 9 января 2013 года), Реестр программ для ЭВМ.

57. Босняков С. М., Власенко В.В. ,Глазков С.А. , Житенев В.К., Кажан Е.В.,Квест Ю., Михайлов С. В. Problems in practical application of high-resolution numerical schemes to internal and external tasks of aerodynamics. Zurich: International congress on industrial and applied mathematic, 2007.

58. Босняков C.M., Власенко B.B.,Кажан E.B., Михайлов С.В., Элиасон П., Маронги Ч. Acceleration of urans for application to separated high-lift flows. Vienna: European congress on computational methods in applied sciences and engineering ECCOMAS, 2012.

59. Кажан E.B., Курсаков И.А., Лысенков A.B. Multigrid accelerated numerical methods based on implicit scheme for moving control volumes for WT flows simulating. Moscow : 3th Russian-Chinese Workshop on numerical mathematics and scientific computing, 2013.

60. Кажан E.B., Курсаков И.А., Лысенков A.B. Zhukovskiy : 13th Russian-Chinese Conference on Aviation Science and Technology, 2013.

61. Кажан Е.В. Development of effective numerical technology and its application for simulation of an aerodinamical experiment in Wind Tunnel. Shanghai : 12th Russian-Chinese Conference on Aviation Science and Technology, 2012.

62. Кажан Е.В. Разработка технологии численного моделирования внутренних течений в силовых установках. г.Королёв : XVII Научно-

техническая конференция молодых учёных и специалистов РКК "Энергия", 2005.

63. Кажан Е.В. Об опыте реализации неявной схемы в рамках продукта EWT-ЦАГИ. пос. Володарского : Материалы XVII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2006.

64. Кажан Е.В. О методах решения СЛАУ в рамках реализации неявной схемы в рамках продукта EWT-ЦАГИ. пос. Володарского : Материалы XVIII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2007.

65. Кажан Е.В. Реализация неявной численной схемы в рамках пакета EWT-ЦАГИ. пос. Володарского : Материалы XIX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2008.

66. Кажан Е.В. Неявная схема в проекте Zeus. пос. Володарского : Материалы XX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2009.

67. Кажан Е.В., Курсаков И.А. Опыт применения бездисковых станций к задачам вычислительной аэродинамики, пос. Володарского : Материалы XX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2009.

68. Кажан Е.В., Матяш C.B. Применение численных расчётов при вычислении приращений внешних аэродинамических нагрузок на планер Л А для учёта режима работы двигателя, пос. Володарского : Материалы XX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2009.

69. Кажан Е.В. Вычисление приращений внешних аэродинамических нагрузок на планер Л А от работы двигателя на основе численных расчётов, пос. Володарского : Материалы XXI школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2010.

70. Кажан Е.В. Численное исследование влияния режима работы СУ на особенности обтекания крыла под большим углом атаки, пос. Володарского: Материалы XXI школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2010.

71. Кажан Е.В. Использование численной схемы с зависящем от решения типом шага по времени для моделирования турбулентных течений вязкого газа в элементах СУ с ВРД. пос. Володарского : Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2011.

72. Акинфиев В.О., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Исследование течения на входе во вспомогательную силовую установку самолёта МС-21.. пос. Володарского : Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2011.

73. Акинфиев В.О., Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Исследования параметров потока на входе во вспомогательную силовую установку (ВСУ) в хвостовой части фюзеляжа самолёта, пос. Володарского : Материалы XXII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2012.

74. Анисимов К.С., Кажан Е.В., Подаруев В.Ю. Расчётные исследования аэродинамики силовой установки перспективных компоновок гражданских самолётов . пос. Володарского : Материалы XXIV школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2013.

75. Кажан Е.В., Третьяков В.Ф. Определение условий работы вспомогательной силовой установки в полёте., пос. Володарского : Материалы XXIV школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", 2013.

76. Босняков С. М., Акинфиев В. О., Власенко В. В.,

Глазков С. А., Горбушин А. Р., Кажан Е. В., Курсаков И. А.,

149

Лысенков А. В., Матяш С. В., Михайлов С. В. Использование методов вычислительной аэродинамики в экспериментальных работах ЦАГИ. Математическое моделирование. 2011 г., Т. 23, N11, стр. 65-98.

77. Кажан Е.В. О возможности использования неявной схемы в рамках пакета EWT-ЦАГИ. Труды ЦАГИ. 2007 г., Т. 2671.

78. Hirsch Ch. Numerical Computation of Internal and External Flows. б.м. : John Wiley & Sons Ltd, 1996. стр. 714. T. 2. Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows.

79. Piomelli U. Large-eddy simulation: achivements and challenges. Progress in Aerospace Sciences. 1999 г., T. 35.

80. Wilcox D.C. Reassessment of the scale determining function for advanced turbulence models. AIAA Journal. 1988 г., T. 19, N2.

81. Jones W.P., Launder B.E. The prediction о flaminarization with a two-equation model of turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer. 1972 г., T. 15.

82. Launder B.E., Sharma B.I. Application of energy dissipation model of the turbulence to the calculation of flow near a spinning disc. Letters in Heat and Mass Transfer. 1974 г., T. 1.

83. Lam C.K.G., Bremhorst K.A. Modified form of the k-epsilon model predicting wall turbulence. J. Fluids Eng. 1981 г., T. 103.

84. Menter F.R. Improved two-equation k-omega turbulence models for aerodinamic flows. NASA TM-103975. 1992 r.

85. Михайлов C.B. Адаптация коэффициентов q-œ модели турбулентности к особенностям течения. Материалы XX Школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов. 2009 г.

86. Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous

fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. Of the Roy. Soc., 1895

(имеется русский перевод в кн.: "Проблемы турбулентности". М., ОНТИ, 1936).

87. Coakley T.J. Turbulence modeling methods for the compressible Navier-Stokes equations. AIAA-83-1693. 1983 r.

88. Coakley T.J., Hsieh T. Comparison between implicit and hybrid methods for the calculation of steady and unsteady inlet flows. AIAA-85-1125, 1985.

89. Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. Paris, Memories presentees par diverses savants а Г Acad. d. Sci., 1877.

90. Favre A. Equations des gaz turbulents compressibles I, II. Journal de Mecanique. 1965 г., Т. 3,4.

91. S.Bosnyakov, I.Kursakov, A.Lysenkov, S.Matyash, S.Mikhailov, V.Vlasenko, J.Quest. Computational tools for supporting the testing of civil aircraft configurations in wind tunnels. Progress in Aerospace Sciences, Vol.44, 2008, pp.67-120.

92. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Главная редакция Физ.-Мат. лпитературы. 5-е. Москва: Наука, 1991. Т. 1. ISBN/502-0114015-5.

93. Dash S., Weilersteen G,. Vaglio-Laurin R. Compressibility effects in free turbulent shear flows, TR-75-1436, AFOSR, 1975.

94. Матяш C.B. Идея модификации (q - со) -модели турбулентности для устранения нефизичных эффектов при численном моделировании

существенно неоднородных течений // Материалы XX школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». - 26-27 февраля 2009. Пос. Володарского.

95. Marvin J.G. Turbulence modeling for hypersonic flows. The 3d Joint Europe/US Short Course in Hypersonics. Aachen : RWTH, 1990.

96. С.М.Босняков, В.О.Акинфиев, В.В.Власенко, С.А.Глазков, А.В.Лысенков, С.В.Матяш, С.В.Михайлов. Методология математического моделирования обтекания моделей в аэродинамических трубах и опыт ее практического применения. Часть I. Методология расчета. "Техника воздушного флота", t.LXXX, №5 (682), 2006, стр. 1-20.

97. Шокин Ю.И., Яненко П.Н. Метод дифференциального приближения: применение к газовой динамике. Новосибирск, "Наука", Сиб. отд., 1985.

98. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М., "Наука", 1977.

99. Jameson A. A perspective on computational algorithms for aerodynamic analysis and design. "Progress in Aerospace Sciences", Vol.37, No.2, 2001, p.197.

100. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М., "Мир", 1999.

101. van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme. Part V: A second-order sequel to Godunov's method. "Journal of Computational Physics", Vol.32, No.l, 1979.

102. Матяш C.B. Новый метод использования принципа минимальных приращений в численных схемах второго порядка аппроксимации. "Ученые записки ЦАГИ", t.XXXVI, №3-4, 2005, стр.4250.

103. Eliasson P. EDGE: A Navier-Stokes solver for unstructured grids. Proc. Finite Volumes for Complex Applications III. 2002 г., pp.527-534.

104. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные

методы. М., "Бином", 2004.

105. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Москва : Наука, 1978.

106. D.B.Spalding. A single formula for the law of the wall. J.Appl.Mech., V. 28, 1961, pp. 455-457.

107. V. Vlasenko, A. Shiryaeva. Numerical simulation of non-stationary propagation of combustion along a duct with supersonic flow of a viscid gas. Proc IMechE Part G: J. of Aerospace Engineering, Vol. 227, No. 3, pp. 480492.

108. D.E. Coles. The law of the wake in the turbulent boundary layer. J. Fluid Mech., V. 1, 1956, pp. 191-226.

109. T.L. Hoist. Viscous Transonic Airfoil Workshop Compendium of Results // AIAA Paper 87-1460. - 1987. NASA Ames Research Center, Moffett Field, California.

110. Rivers M.B., DittbernerA. Experimental Investigations of the NASA Common Research Model in the NASA Langley National Transonic Facility and NASA Ames 11-Ft Transonic Wind Tunnel // AIAA Paper 2011-1126.-2011.

111. Идельчик JI.E. Гидравлическое сопротивление, изд. Москва-Ленинград. 1954 г.

112. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя. М. : "Наука", 1969.

113. Власенко В.В., Морозов А.Н. Алгоритм инициирования ламинарно-турбулентного перехода при численном моделировании течения на базе уравнений рейнольдса. Учёные записки ЦАГИ. 2011 г., Т. XLII, 4.

114. Ремеев Н.Х. Аэродинамика воздухозаборников сверхзвуковых самолетов. Жуковский, Издательский отдел ЦАГИ, 2002.

115. Под ред. Г.С.Бюшгенса. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов. М., "Наука. Физматлит", 1998.

Приложение 1. Анализ схем на основе модельного

уравнения

Содержание

1. Модельное уравнение и его точные решения

2. Общий вид схемы для решения модельного уравнения

3. Точное и линеаризованное решения задачи Римана

4. Анализ различных способов аппроксимации источниковых членов

5. Явная схема для модельного уравнения

6. Неявная схема для модельного уравнения

7. Анализ схем методом дифференциального приближения

8. Анализ схем методом Неймана

9. Возможность комбинированного расчета с использованием явной и неявной схем

1. Модельное уравнение и его точные решения

Будем рассматривать двумерное модельное уравнение с конвективным, диффузионным и источниковым членами:

ди д dt дх

v2,

ди д + v— = —

í f

и»—

ду ЭД ду

+ S{u), V = const > О, (П 1.1)

или

dt дх ду ду

.2

РГХ») = ^г, ^Г» = V-U, Fd,ff(и) =

2 ду

Считаем, что источниковый член S(u) и вязкость v(u) - произвольные нелинейные функции.

„ ди ди „

В отличие от уравнения переноса--1-а— = 0, у которого единственное стационарное

dt дх

решение — тривиальное и = const, данное уравнение допускает еще нетривиальные стационарные решения:

1. При S(u) = 0 - стационарный скачок уплотнения: и =

i^j X ^ Х0 у

2. При Б(и) = 0, у(и) = 0 - непрерывное нетривиальное стационарное решение. Это решение следующей задачи:

ди д — + —

dt дх

v2y

ди п + v— = 0, ду

и(х,у, 0) = u(x,0,t) = ■

[иА, х<0,у>0, х>0, у>0, fuL, х < 0,/> 0, [ин, x>0,t>0, х-е(-оо;+оо),' у> 0, t> 0, и, <и,{.

Данная задача имеет точное аналитическое решение:

и,

iL, х<-^у,

х и,_и,,_

——-Ly<x<-£-yr

(П1.3)

у < t: и(хтут?г=

у > I: u{x-yj) = <

У

и,,

х>^у;

X < Ujt,

(П1.4)

Т+Г,-U,l <X < URt,-=

"к,

X > u,t.

Стационарное решение задачи (П1.4), удовлетворяющее условию энтропии - веер разрежения,

dy v dy v ограниченный характеристиками — = — и — = — (рис.П1.1,а).

dx и, dx и к

3. При S{u) = 0, v = 0, v(u) = const - стационарный пограничный слой, описываемый

уравнением

дх

Л.2Л

V2y

= v

д2и

ду2

с граничными условиями и(0,у) = Uuun и(х,0) = 0. Это

автомодельное решение вида

U..

■ = /

г \ У

8{х)

, S(x) - Cyfx , которое очень напоминает решение

Блазиусадля уравнений Навье-Стокса (рис. П1.1,б).

у

2

15

1

0.5

0

Field u

а) б)

Рисунок П1.1 Стационарные решения модельного уравнения

Ламинарный пограничный слой, автомодельное стационарное решение

-Решен» Бют!) са

---— Не шиеГное ыодетьние уртенеше

2. Общий вид схемы для решения модельного уравнения

При построении схем для модельного уравнения мы не будем интересоваться порядком аппроксимации. Для простоты конвективный член будет описываться схемой, основанной на схеме Годунова 1-го порядка аппроксимации (без градиентов), а для диффузионного члена будет использована простейшая центрально-разностная аппроксимация. Мы также будем полагать, что сеточные линии параллельны осям х и у и шаги сетки вдоль этих осей - Их , А -

постоянны.

Мы будем строить численные схемы для решения уравнения (П1.2) методом конечных объемов. Интегрируем (П1.2) по объему, который заметается ячейкой сетки (/;/) при переходе от временного слоя п к временному слою (я + 1) (этот объем и нумерация индексов показаны на рис.П4.2):

Х1+1/2 '„-И

с!хс1усН= | | \Sdxdydt. (П1.5)

х|-|/2 У)~1/2 'л

По теореме Гаусса-Остроградского переходим в левой части формулы (П1.5) к интегралу по поверхности объема, показанного на рис.П1.2:

г / \ 1 $ [ип^хс/у + F¡0'"nxdydl + [К""" + ^ р/ЬЩ = ! I \sdxdydt,

х1-\и У ¡-иг 'я

где п = - единичный вектор внешней нормали к поверхности данного объема.

xt+ui У)+иг 'и*I

J s J

Xi-\/7 УI-M1 'и

ди DF"'r' — +——

dt дх

dF"

dFd>ff

ду ду

л* , l

Рисунок П1.2. Ячейка и нумерация индексов

Вводим обозначения:

*М/2 >7*1«

j *и1/2 -V»j -V+l/2 SJ+V2

* >■ *,-|/2 Уf-\!2 Х У */-|/2 У)-\И

. . 1 '„-.I . . . У)*Ч2

l^rvL/2=T7 J fconvL,/2=TL í f^w^O*

>' >/-1/2 'л >• У]—112 '„

(Fr"V)y+i/2 = ^"'T "\KnV^yj^n)dxdt, (f;.....)j1/2 -^Tlfa.....(x,yH/2,tn)dxdU (П1.7)

* *.-1/2 'л 1 */-l/2 '»

= J-r T n\Fd*{x,yJ+m,tn)dxdt, F^n = "f ]'F^(x,yj_y2,tn)dxdt,

X *l-1/2 * *f-l/2 i -W2 >>i'2 '„»i

S'J = h~hí í í J**,

* >" *l-l/l У/-Ш 'n

В итоге произвольная схема для решения уравнения (П1.2) на постоянной сетке, линии которой параллельны осям хну, может быть представлена в следующем виде:

«+1 _..» (рсопЛ (рсопЛ Í/7""" ) -(ра>"Л pj.ff Fd,ff

UU "v . \F* UM2~\FX 1-1/2 Л' V 1/2 У /,-1/2 , Л-Ы/2-^-1/2 _

А..

' = S.,

(П1.8)

3. Точное и линеаризованное решения задачи Римана

Задача Римана о распаде произвольного разрыва для невязкого аналога уравнения (П1.4) без источникового члена формулируется следующим образом:

ди д дх

и(х,0):

Ч2У

иь, X < X

(П1.9)

/+1/2'

ик, X > X

J+1/2 •

При построении схем мы будем пользоваться функцией ёесау^ значение которой -величина и(х,/) при х = х]+хп, />0 из точного решения задачи (П1.9). Рассматриваемое

йх

уравнение является гиперболическим; оно имеет характеристики — = и, вдоль которых

Л

сохраняется инвариант Римана г = и. Точное решение фактически получается методом характеристик. Мы приводим здесь это точное решение без вывода (рис. П1.3).

1) если и1>ик, то решение - скачок уплотнения, движущийся со скоростью В = и> ^и" . В

этом случае

с1есау(и/ ,ик) =

\и/, £> > 0,

(П1.10)

[и1(, £»<0.

2) если и1<ик, то решение - веер разрежения, ограниченный характеристиками = и

с1х/ Ж = иИ. В этом случае

<1есау (и,,ик) =

и,, и, > 0, ик, ик< 0, 0, и1<0<ик.

(П1.11)

Рисунок П1.3 Варианты точного решения задачи Римана (П1.9)

Кроме того, при построении неявных схем мы будем использовать функцию decayRoe(и/,иЛ), значение которой - величина и(х,{) при х = х +и2, (>0 из линеаризованного решения задачи (П1.9) по методу Роу. Это решение основано на линеаризации конвенктивного потока:

Рсот'(и) = у « А(Ч, ия) • и + С{и, ,и1(), (П1Л 2)

где постоянные коэффициенты А(иь,ип) и С{и, ,ик) находятся из условий:

и2

А(и,,иц)- и, + С (и,, ик) = у,

Решая (П1.13), находим

и2

A(UL,UR)-Ur+C{U,,UR) = -А

и2 и, + и If ULUR

(П1.13)

(П1.14)

F"",\u) = — ~ L * -и-

2 2 2

Соответственно, вместо (П1.9) будем решать задачу о распаде разрыва для линейного уравнения:

ди ,дип

— + А(и1,и11)— = О, от ох

Ги х<х (П1Л5)

и(х, 0) = 1

\иИ, X > /2 -

U, + U,, _

Решение этой задачи — разрыв, движущиися со скоростью D = . Соответственно,

, ч \и,, D > 0, decayRoe(M/5 uR) = < J (П1.16)

| uR, D< 0.

В случае, когда исходный разрыв - скачок уплотнения (и, >ик), это решение совпадает с точным. Если же исходный разрыв - скачок разрежения (и, < uR), то в точном решении этот нефизичный разрыв распадается в веер разрежения, а в решении Роу — остается неизменным (рис. П1.4).

Решение (П1.16) можно переписать в симметричной форме:

decay Roe^ ,uR)= + "я - sign (£>) "*~М/- . (П1.17)

Рисунок П1.4 Варианты линеаризованного решения задачи Римана (П1.5) методом Роу

4. Анализ различных способов аппроксимации источниковых членов

Проанализируем различные способы аппроксимации источникового члена. Выбросим из уравнения (П 1.1) все члены, кроме нестационарного и источникового. Будем также полагать, что S'(u) = а = const:

du

— = au + SQ, a,S0=const. (П1.18)

dt

Точное решение уравнения (П1Л 8):

и(,) + £° = м(0) + — -exp[«-/J (П1.19)

а \

а

При а > 0 имеем экспоненту, растущую до бесконечности; при а < 0 - экспоненту, которая

убывает и выходит на полочку.

Рассмотрим три аппроксимации данного уравнения:

а) явную:

/1+1 _ и

--— = aun+SQ; (П1.20)

б) неявную:

г

Явную аппроксимацию (П1.20) можно переписать в виде:

= а и"+1 + S0; (П1.21)

" - " п+1

ми+1+^ = (1+аг)-

а

(П1.22)

Отсюда получаем

{П

(П1.23)

а V а

Легко проверить, что при т —» О (П1.23) переходит в точное решение (П1.19).

При конечных т необходимо, чтобы поведение геометрической прогрессии (П1.23)

качественно напоминало поведение экспоненты (П1.19).

Если а> О, то геометрическая прогрессия (П1.23) растет при любом г, как и экспонента

(П 1.19). В этом случае явная схема устойчива при любом г .

1 2

Если же а < 0, то при г >- решение начинает менять знак от шага к шагу, а при г >- -

\а\ |а|

еще и экспоненциально растет, тогда как исходная экспонента всегда положительна и затухает.

Итак, явная схема (1.1.20) при а>0 абсолютно устойчива, а при а< 0 - устойчива, если

1

выполняется ограничение г <-.

Iа I

Решение, полученное по неявной аппроксимации (П1.21):

Геометрическая прогрессия (П1.24) растет при г<-. При г —>--0 знаменатель

\а\ \а\

геометрической прогрессии увеличивается до бесконечности, и мы получаем слишком большие ошибки. При г > —решение начинает менять знак от шага к шагу и

Iа I

2

экспоненциально растет, а при г >- - еще и экспоненциально затухает, меняя знак.

\а\

Если же а < 0, то при любом г геометрическая прогрессия (П1.24) положительна и затухает, как и точное решение.

Итак, неявная схема (П1.21) при а> 0 устойчива, если выполняется ограничение г<—, а

Iа I

при а < 0 - абсолютно устойчива.

Полученные результаты по поведению явной и неявной схем в зависимости от шага по времени приведены на рис. П1.5.

(П1.24)

а > О точное решение

• явная схема, т=0.1 а ♦--♦--♦ неявная схема, т=0.1 а -----полунеявная схема, т=0.2 а /

-т-1-1-г

1 2 t

а) а> О, малые шаги по времени

а > 0 \

- точное решение \

• явная схема, т=0.5 <х \

♦- - -♦ неявная схема. 1=11.5 «

-----полунеявная схема, т=0.5 а

© — ©—О явная схема. г=1.25 а О- - -О невная схема, т=1.25 а в) а > 0, большие шаги по времени

а < О

- точное решение

► явная схема, т=0.1 а --♦--♦ неявная схема, т=0.1 а -----полунеявная схема, т=0.2«х

б) а< О, малые шаги по времени

а < О

- точное решение

•• - явная схема, т=0.5 а ♦--♦--♦ неявная схема, т=0.5 а

а

-----полунеявная схема, г=0.5 а ,

©-©--О явная схема, г=1.25 а /

О-Ъ--О невная схема. т=1.25 а /

/

■> ©-©--© явная схема, т=2.25 а /

г) а > О, большие шаги по времени Рисунок П1.5. Поведение явной и неявной схем в зависимости от шага по времени

5. Явная схема для модельного уравнения

В нашей "явной" схеме все потоки вычисляются на явном слое, а для источниковых членов записывается полунеявная (второго порядка) аппроксимация. Аппроксимации конвективных потоков в явной схеме:

(pConv\ _ (ц, + 1/2 У _ ("/Ч/г)2

\гх л+1/2 2 ' * * "~1/2 2 '