Количественные характеристики хаотических колебаний, прошедших через линейные инерционные цепи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Козленко, Егор Львович

• Козленко, Егор Львович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козленко, Егор Львович

Содержание

Введение

1 Хаотические колебания в линейных фильтрах

1.1. Характеристики хаотических колебаний

1.1.1. Методология исследований

1.1.2. Восстановленные аттракторы и их сечения

1.1.3. Ляпуновские характеристические показатели и гипотеза Каплана-Иорка

1.1.4. Размерность

1.1.5. Энтропия

1.2. Выбор параметров

1.3. Линейная фильтрация

1.3.1. Цифровые фильтры

1.3.2. Радиофизические фильтры

1.4. Выводы

2 Закономерности изменения размерности аттрактора хаотических колебаний при линейной фильтрации

2.1. Возрастание размерности хаотических колебаний при линейной фильтрации (обзор литературы)

2.2. Методология исследований

# ■

2.3. Нерекурсивные фильтры

2.4. Рекурсивные фильтры

2.4.1. Суперфрактализация в каскадах

2.4.2. Суперфрактализация в потоках

2.5. Цифровые фильтры высокого порядка

2.6. Выводы

3 Закономерности изменения энтропии хаотических колебаний при линейной фильтрации

3.1. Корреляционная энтропия

3.1.1. Фильтр первого порядка

3.1.2. Фильтр высокого порядка

3.2. Информационная энтропия

3.3. "Физический" и "информационный" смысл поведения энтропии

3.4. Выводы

4 "Реставрация" хаотических колебаний, искаженных линейными фильтрами (антифильтрация)

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод

4.3. Антифильтрация в каскадах

4.4. Антифильтрация в потоках

4.5. Выводы

Заключение

Благодарности

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Количественные характеристики хаотических колебаний, прошедших через линейные инерционные цепи»

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

В последние десятилетия отмечается бурное и успешное развитие нелинейной динамики - междисциплинарной науки, в задачу которой входит выявление закономерностей колебательного и волнового поведения различных по природе систем, например, радиофизических [1, 2, 3], механических [4, 5], биологических [6, 7], экономических [8] и других систем [9, 10, 11, 12] (это работы М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова; Ю.И.Неймарка и П.С.Ланда; В.С.Анищенко; А.С.Дмитриева и В.Я.Кислова; Г.Шустера; Ф.Муна; Л.Гласса и М.Мэки; П.Берже, И.Помо и К.Видаля; Т.С.Ахромеевой, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и А.А.Самарского; Е.Федера; А.А.Короновского и Д.И.Трубецкова и др.). При этом стандартным подходом является построение математических моделей реальных систем на основании априорной информации о составляющих системы и о типе взаимодействий между ними. В случае, когда такая информация отсутствует, исследуемая система представляет собой "черный ящик" и для анализа оказывается доступной лишь временная реализация единственной переменной состояния. В такой ситуации делаются попытки построить модель на основании анализа временных реализаций системы, используя метод глобальной реконструкции [13, 14, 15]. На основании этих данных делаются попытки аппроксимировать реальную систему модельной динамической системой и осуществлять предсказание ее будущего поведения [16,17,18].

Эта задача чрезвычайно сложна, поэтому часто приходится ограничиваться извлечением определенных характеристик из исследуемого процесса, на основании которых можно будет делать какие-либо выводы о системе, например, о ее динамической природе (в отличие от стохастической), о размерности (число переменных состояния) и т.д. В связи

с этим за последние десятилетия был разработан ряд методов, хорошо зарекомендовавших себя в области анализа сложного поведения систем по временным рядам и получивших широкое распространение среди исследователей. Это прежде всего метод восстановления аттрактора динамической системы, основанный на результатах Н.Пакарда, Ф.Такенса и др. [19, 20], метод оценки корреляционной размерности, предложенный П.Грассбергером и И.Прокаччиа [21], метод оценки ляпуновских характеристических показателей, предложенный А.Вульфом с соавторами [22], метод оценки размерности вложения, предложенный Д.Брумхедом и Д.Кингом [23] и ряд других методов.

Но даже задача определения характеристик сложных колебаний вызывает массу трудностей, так как на практике любые методы оказываются: чувствительными к выбору параметров. В связи с этим, большое число работ посвящено проблеме обоснования выбора параметров, критичных для перечисленных методов. Это работы, касающиеся нахождения достаточной размерности вложения [24, 25, 26], выбора времени восстановления [27, 28, 29], числа отсчетов временного ряда [30, 31].

Следует отметить, что при исследовании реальных систем по выходным колебаниям как правило неявно предполагается, что сигнал (на выходе "черного ящика") предстает в неискаженном виде. На самом деле может оказаться, что сигнал, порожденный динамической системой, прежде чем попасть на выход "черного ящика", прошел через преобразователи, обладающие частотнозависимыми характеристиками в полосе частот исследуемого сигнала. Такие системы, попросту говоря фильтры, чрезвычайно распространены в области обработки и распространения сигналов. Это датчики, АЦП, инерционные или дисперсионные среды, системы с переотражениями, узкополосные линии передач, резонаторы и многие другие. Кроме того, различные фильтры специально включают в системы обработки сигналов с целью избавиться от шумов, присутству-

- б -

югцих в реальном сигнале.

Таким образом, вольно или невольно, исследуемые колебания часто подвергаются фильтрации. Ситуация достаточно проста и не приносит неожиданных эффектов, если исходный сигнал периодический, квазипе-

т

риодический или чисто шумовой. Если же фильтрации подверглись хаотические колебания, то возможно искажение оцениваемых характеристик, в частности, известно, что фильтрация приводит к усложнению фазового портрета хаотических колебаний и возрастанию размерности, на что впервые обратили внимание Р.Бадии и А.Полити [32]. Впоследствии были опубликованы теоретические (например, [33, 34, 35]) и экспериментальные (например, [36, 37, 38]) работы, отражающие эти явления (Р.Бадии, А.Полити, П.Паоли, Ф.Митчке, Т.Сауэр, Д.Йорк, М.Касдагли, Д.Коллинз, Д.Брумхед, М.Дэйвис и др.)

Достигнуты определенные успехи в плане понимания механизма усложнения хаотического аттрактора при цифровой фильтрации [39, 40, 41, 33].

Активно ведутся работы по поиску фильтров, позволяющих повысить соотнощение сигнал-шум, но оказывающих минимальное влияние на аттрактор хаотического сигнала [42, 26, 43, 44]. В частности, предлагаются и непрерывно совершенствуются различные методы адаптивной нелинейной фильтрации [45, 46, 47, 48].

Затрагиваются вопросы, связанные с возможностью устранения искажений хаотических колебаний, вызванных фильтрацией [33, 49].

Знание о характере действия определенных фильтров используются в задачах распознавания природы сигнала (детерменированная, случайная), задачах выделения сигналов из смеси [50, 51], кодировании и декодировании информации [52] и др.

Несмотря на все вышесказанное, в области фильтрации хаотических колебаний остается немало " белых пятен", в частности:

- не до конца изучен вопрос относительно изменения размерности аттрактора хаотических колебаний, прошедших через линейные фильтры.

- не разработан вопрос, связанный с влиянием линейной фильтрации на другие важнейшие количественные характеристики сложности наблюдаемых колебаний, такие как энтропия (здесь особенный интерес вызывают характеристики, определяемые по восстановленному аттрактору).

- остается актуальной задача об устранении или минимизации последствий нежелательной фильтрации и реставрации исходного сигнала, сгенерированного динамической системой.

Настоящая диссертационная работа призвана в определенной степени восполнить перечисленные пробелы, поэтому она является актуальной как с точки зрения фундаментальных исследований в области преобразования хаотических сигналов (и их характеристик) в линейных инерционных системах, так и с практических позиций разработки алгоритмов компьютерной обработки хаотических реализаций с целью выявления и устранения последствий нежелательной (непреднамеренной) фильтрации.

Целью диссертационной работы является исследование распространения хаотических колебаний в линейных инерционных системах (фильтрах), выявление закономерностей изменения качественных и количественных характеристик хаотических колебаний при линейной фильтрации, а также их использование в задачах реставрации хаотических сигналов, искаженных линейными фильтрами.

Методы исследований и достоверность научных результатов. Результаты, представленные в работе, получены путем численного (компьютерного) моделирования. Достоверность полученных результатов подтверждается прежде всего воспроизводимостью результатов численного эксперимента, согласованностью с теоретическими и экспери-

ментальными данными, представленными в литературе. Кроме того, наглядное представление результатов, соответствие элементарной логике и накопленному в этой научной области опыту говорят сами за себя.

Научная новизна. В работе достаточно подробно освещены следующие вопросы, связанные с фильтрацией хаотических колебаний: изменение фрактальной структуры аттрактора, механизмы ее усложнения, влияние фильтрации на характеристики хаотических колебаний, реконструкция хаотических колебаний, прошедших линейные фильтры. Впервые подробно исследовано (и выявлены закономерности) влияние фильтрации на энтропию хаотических процессов. Впервые подробно рассмотрен вопрос о восстановлении исходного вида хаотических колебаний (реставрации), искаженных линейным фильтром и предложена рекурсивная процедура по осуществлению такой реставрации.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при решении задач, связанных с устранением искажений, вносимых фильтрами при фильтрации хаотических сигналов. Полученные результаты, связанные с изменением энтропии при фильтрации, могут найти применение при решении задач диагностики сложного поведения динамических систем, системах связи и т.д.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 73 страницы текста, 40 рисунков и 10 страниц списка литературы из 103 наименований. Общий объем работы 123 страницы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, раскрыты предпосылки исследований, сформулированы цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Кратко рассматри-

ваются основные методы, использованные в исследованиях и мотивируется достоверность полученных результатов. Сформулированы и приведены основные результаты и положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

Первая глава носит в значительной мере вспомогательный характер и посвящена в основном методологии исследования динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение, по скалярным временным реализациям, регистрируемым на выходе.

В роли основных качественных характеристик сложных колебаний выступают аттрактор и его сечение Пуанкаре. В связи с этим рассмотрена процедура восстановления аттрактора динамической системы методом временных задержек и процедура его сечения (в том числе многократного) отдельно в случае дискретных и непрерывных во времени систем.

Наиболее информативными с точки зрения анализа сложных непериодических колебаний признаны такие характеристики как размерность и энтропия. Среди различных алгоритмов выделены и подробно рассмотрены метод корреляционной размерности и корреляционной энтропии, основанный на вычислении корреляционного интеграла (предложенный П.Грассбергером и И.Прокаччиа), и метод информационной энтропии, основанный на энтропии Шеннона.

Отдельный раздел посвящен обсуждению гипотезы Каплана-Йорка о ляпуновской размерности и основанному на ней объяснению повышения размерности при фильтрации.

В разделе 1.З., приводится описание основных типов цифровых и радиофизических фильтров, которые являются основными объектами исследования в диссертации. Рассмотрены уравнения, описывающие цифровые и потоковые фильтры, принципиальные схемы и характеристики фильтров.

Вторая глава посвящена оценкам размерности аттрактора хаотических колебаний при линейной фильтрации и начинается с краткого обзора литературы, касающейся данной темы. Проведенный анализ накопленной по данному вопросу литературы позволяет сделать вывод о том, что для фильтрованных хаотических колебаний, рожденных в динамической системе характерно увеличение размерности, представленной в виде функции масштаба наблюдения. Уменьшение размерности возможно только на масштабах сравнимых с размером аттрактора.

Далее подробнее рассматривается влияние различных фильтров на размерность аттрактора хаотических колебаний. Исследовано прохождение хаотических сигналов через нерекурсивные и рекурсивные фильтры, на примере низкоразмерных колебаний, генерируемых логистическим отображением в хаотическом режиме. Подтверждено, что такие фильтры оказывают принципиально различное воздействие на исходный хаотический сигнал. Нерекурсивные цифровые фильтры вызывают конечное число расслоений аттрактора и перепутыванию траекторий за счет возможных растяжений и складываний, вследствие чего размерность возрастает на больших пространственных масштабах. Рекурсивные цифровые фильтры приводят к расслоению исходного аттрактора хаотических колебаний сразу на всех масштабах вплоть до бесконечно малых (супер-фрактализация), вследствие чего размерность увеличивается также на всех масштабах, величина повышения размерности в пределе развитого хаоса и сильной фильтрации может достигать единицы в случае фильтра первого порядка. В случае фильтров высокого порядка она сравнима с порядком фильтра.

Исследована фильтрация хаотических сигналов в системах с непрерывным временем на примере системы Ресслера с добавленным простейшим потоковым фильтром первого порядка. Показано, что для систем с непрерывным временем справедливы все выводы, сделанные для цифро-

вых рекурсивных фильтров.

В Третьей главе рассматривается влияние фильтров на оценки энтропии хаотических колебаний.

Существенной особенностью является рассмотрение поведения энтропии как функции размерности вложения в случае корреляционной энтропии (Кс(п)) и длины слова в случае информационной энтропии (/¿П(п)). В случае хаотического сигнала такая функция спадает начиная с п = 1 и затем асимптотически сходится к некоторому положительному значению.

Проведены исследования по оценке энтропии хаотических колебаний прошедших через линейные фильтры на примере отображения Хенона и системы Ресслера, дополненных цифровыми и потоковыми фильтрами соответственно. При этом также как в случае размерности вначале были рассмотрены фильтры первого порядка, затем фильтры высокого порядка, моделируемые цепочками фильтров первого порядка.

Показано, что функция энтропии фильтрованного сигнала сходится к тому же значению, что и функция энтропии исходного хаотического сигнала, т.е. асимптотическое значение энтропии остается неизменным. Характер сходимости энтропии хаотического сигнала к асимптотическому значению определяется параметрами фильтра, а имеено: функция энтропии сдвигается в облать больших п, причем величина сдвига в пределе сильной фильтрации равна порядку фильтра аналогично предельному увеличению размерности в фильтрах высокого порядка.

В Четвертой главе рассматривается проблема реконструкции хаотического сигнала, порожденного динамической системой и искаженного линейным фильтром.

Предложен метод, названный условно "антифильтрация", позволяющий при анализе хаотических колебаний на выходе неизвестной динамической системы выяснить, является ли анализируемый сигнал "зафиль-

и

трованным и в случае, если хаотическии сигнал оказался замаскирован фильтром, позволяет восстановить вид сигнала на выходе динамической системы и найти все характеристики фильтра, маскирующего сигнал.

Проводится теоретическое обоснование метода и обсуждается его практическая реализация в виде рекурсивной процедуры, позволяющей последовательно находить коэффициенты скрытого фильтра, используя в качестве критерия минимум на графике размерности как функции масштаба наблюдения и варьируемого неизвестного коэффициента.

Приводится демонстрация работы метода на примере дискретных и непрерывных во времени динамических систем. В качестве каскада рассматривается система, состоящая из логистического отображения, генерирующего хаотический сигнал, проходящий через цифровой фильтр (содержащий нерекурсивные и рекурсивные члены). В качестве потока рассматривается система Лоренца и полосовой фильтр.

Показано, что метод хорошо работает на дискретных во времени динамических системах, но при реализации потоковой антифильтрации (ввиду определенных практических трудностей), в большинстве случаев можно вести речь только о приближенном восстановлении исходного сигнала и вида характеристики скрытого фильтра. Практические трудности связаны с необходимостью рассмотрения поведения размерности на меньших масштабах наблюдения, что требует увеличения точности и длины массива данных. Точность метода антифильтрации может быть ограничена вследствие конечности шага дискретизации данных, шага по параметру и порядка разностной схемы, а также наличием шумов.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Искажения хаотических колебаний неизвестной динамической си-

стемы, вносимые линейным фильтром с неизвестными характеристиками, влекущие повышение размерности аттрактора колебаний, могут быть скомпенсированы путем дополнительной фильтрации (принцип антифильтрации) .

2. Вид хаотических колебаний, искаженных в результате линейной фильтрации, может быть восстановлен на основе метода антифильтрации, использующего критерий минимизации корреляционной размерности. Предложенная процедура позволяет реставрировать вид хаотических колебаний на выходе динамической системы и определить характеристики искажающего фильтра в пределах точности метода и отсутствии шумов.

3. При линейной фильтрации энтропия хаотических колебаний как асимптотическая величина (в пределе бесконечно большой размерности вложения) остается неизменной. Функция, определяющая энтропию, сдвигается в облать больших размерностей вложения. Величина сдвига в пределе сильной фильтрации сравнима с порядком фильтра.

Апробация работы и публикации

Основные результаты, приведенные в работе, докладывались на

"International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Saratov, 1996)

"5th Internatic&ial School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation" (Saratov, 1998)

Материалы диссертационной работы неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн СГУ. Некоторые результаты вошли в программу курса "Цифровая обработка сигналов" , читаемого на кафедре электроники, колебаний и волн СГУ.

По теме диссертации опубликовано 10 работ: 6 статей [96, 97, 98, 101, 102, 103], 4 тезисов докладов [94, 95, 99, 100].

Личный вклад соискателя

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежит участие в постановке задачи, реализация численных экспериментов, получение и осмысление результатов.

*

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Козленко, Егор Львович

4.5. Выводы

Итак, предложенный метод позволяет в первую очередь выяснить, является ли анализируемый сигнал "зафильтрованным" или у него чисто "динамическая" природа, т.е. он является выходным сигналом динамической системы без фильтра. Во-вторых, он позволяет в случае, если хаотический сигнал замаскирован фильтром (линейной инерционной цепью), восстановить вид сигнала на выходе динамической системы и определить параметры фильтра, маскирующего сигнал.

Все эти возможности представляют большой интерес для диагностики систем по колебаниям ими порождаемым. Ясно, что в реальных системах возможны значительные трудности при применении этой методики. В частности, для систем с высокой размерностью и/или для фильтров высокого порядка требуется значительно увеличивать длину анализируемых реализаций, что связано с катастрофическим увеличением времени вычислений для нахождения коэффициентов "антифильтра". Кроме того, остается открытым вопрос, как в общем случае преобразование размерности как функции пространственных масштабов связано с порядком фильтра и с характерными частотами фильтра, в особенности для потоковых систем. Помимо перечисленных трудностей, наличие естественных шумов может привести к заметному подъему шумового порога "антифильтром", что* необратимо замаскирует динамические характеристики исследуемого процесса.

Заключение

В настоящей диссертационной работе приведены результаты исследований, направленных на выявление закономерностей преобразования хаотических колебаний при линейной фильтрации. В основе исследований лежит определение и сравнительный анализ различных качественных и количественных характеристик хаотических колебаний до и после прохождения через фильтр. После тщательного анализа разнообразных характеристик колебаний, широко используемых специалистами по нелинейной динамике, были отобраны те из них, которые наиболее подходят для анализа сложного поведения динамических систем по выходным временным реализациям. Это качественные характеристики - восстановленный аттрактор и его сечения Пуанкаре и количественные характеристики -размерность аттрактора и энтропия.

Было изучено влияние линейной фильтрации на оценки размерности аттрактора хаотических колебаний. Рассмотрение различных фильтров под воздействием простейших (низкоразмерных) хаотических сигналов позволяют сделать важный вывод, состоящий в том, что при фильтрации хаотических колебаний, рожденных в динамической системе, размерность аттрактора на малых масштабах не уменьшается! Она увеличивается в случае рекурсивных фильтров либо остается неизменной в случае нерекурсивных фильтров. В эффективном диапазоне масштабов наблюдения размерность как правило увеличивается. Увеличение размерности происходит за счет бесконечного числа расслоений фрактальной структуры аттрактора (рекурсивные фильтры) и за счет конечного числа расслоений и перепутывания траекторий аттрактора при его растяжении и складывании (нерекурсивные фильтры). Уменьшение размерности возможно только на масштабах, сравнимых с размером аттрактора, и связано с изменением его формы, но не внутренней структуры. Количественные оценки увеличения размерности в случае рекурсивной фильтрации показали, что в пределе сильной фильтрации и развитого хаоса размерность увеличивается на величину, сравнимую с порядком фильтра.

Полученные результаты, касающиеся особенностей изменения размерности, легли в основу метода, условно названного "антифильтрация". Метод позволяет при анализе хаотических колебаний на выходе неизвестной динамической системы выяснить, во-первых, является ли анализируемый сигнал "зафильтрованным" и, во-вторых, в случае, если хаотический сигнал замаскирован фильтром, позволяет восстановить вид сигнала на выходе динамической системы и найти все характеристики фильтра, маскирующего сигнал. При этом размерность аттрактора колебаний используется в качестве критерия нахождения коэффициентов скрытого фильтра.

Наряду с размерностью, было исследовано влияние фильтрации на оценки энтропии - характеристики, призванной в большей степени нежели размерность отражать степень хаотичности динамического процесса. Существенной особенностью является изучение поведения энтропии к в зависимости от п - размерности вложения в случае алгоритма корреляционной энтропии и длины слова в случае алгоритма информационной энтропии. В ходе исследований были выявлены следующие закономерности:

1. Энтропия как асимптотическая величина (в пределе п —> оо) остается неизменной, что соответствует теории и в простейших случаях хорошо демонстрируется на численном эксперименте.

2. Характер сходимости энтропии хаотического сигнала к асимптотическому значению определяется параметрами фильтра следующим образом. Функция К{п), определяющая энтропию, сдвигается в облать больших п. Величина сдвига К{п) в пределе сильной фильтрации сравнима с порядком фильтра (аналогично предельному увеличению размерности в фильтрах высокого порядка).

Проведенные исследования имеют прежде всего фундаментальное значение, так как проливают свет на многие аспекты связанные с распространением хаотических колебаний в линейных инерционных системах. Кроме того, предложенный метод реставрации хаотических сигналов, искаженных линейными фильтрами может найти применение в задачах диагностики сложного поведения динамических систем по порождаемым ими колебаниям.

Благодарности

Выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю Кипчатову Алексею Александровичу за помощь на всех этапах выполнения диссертационной работы, а также за неиссякаемый юмор и чисто человеческое расположение, без которого было бы немыслимо столь плодотворное сотрудничество.

Выражаю благодарность Трубецкову Дмитрию Ивановичу за всестороннюю поддержку моей научной деятельности и внимание к работе.

Хочется лично поблагодарить моих коллег и товарищей - Коронов-ского A.A., Храмова А.Е., Подина C.B., Анфиногентова В.Г., Красичкова JI.B., Мчедлову Е.С., Рыскина Н.М., Мантурова А.О., Морева B.C., Ша-руева А.Ю., создавшим приятный микроклимат, исполненный юмора и жизненного оптимизма.

Выражаю благодарность всем сотрудникам кафедры электроники, колебаний и волн СГУ, ГосУНЦ "Колледж" и редакции журнала "Известия ВУЗов. Прикладная Нелинейная Динамика" за оказанную поддержку и общую атмосферу доброжелательности, в которой было приятно работать.

Хочется отдельно поблагодарить Неймана A.B. за интересные идеи, послужившие началом серии исследований, вошедших в настоящую диссертационную рйботу, а также за предоставленную литературу.

В заключение хочу конечно же поблагодарить всех моих родных, друзей и близких по духу людей за моральную и материальную поддержку на протяжении всей моей учебной и научной деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козленко, Егор Львович, 1999 год

Литература

1. М.И.Рабинович, Д.И. Трубецков Введение в теорию колебаний и волн // М.: Наука. 1984. 432с.

2. В. С.Анищенко Сложные колебания в простых системах // М.: Наука. 1990. 312с.

3. А.С.Дмитриев, В.Я.Кислое Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука. 1989. 312с.

4. П.Берже, И.Помо, К.Видалъ Порядок в хаосе // М.: Мир. 1991. 368с.

5. Ф.Мун Хаотические колебания // М.: Мир. 1990. 312с.

6. Л.Гласс, М.Мэки. От часов к хаосу. Ритмы жизни // М.: Мир. 1991. 248с.

7. Л.В.Якушевич Моделирование нелинейной динамики ДНК // Изв. ВУЗов. ПНД. 1996. Т. 4. N. 3. СС. 107-111.

8. А.А.Короновский, Д.И. Трубецков Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки // Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1995.

9. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, A.A.Самарский Нестационарные структуры и диффузионный хаос // М.: Наука. 1992. 542с.

10. Е.Федер Фракталы // М.: Мир. 1991. 254с.

11. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука. 1987. 423с.

12. Г.Шустер. Детерминированный хаос / М.: Мир. 1988. 240с.

13. J.Cremers, A.Hubler Construction of differential equations from experimental data // Z.Naturforsch.A. 1987. V.42a. p.797-817.

14. J.P.Crutchfield, B.S.McNamara Equations of motion from a data series // Complex Systems 1987 V.l p.417-452.

15. Д.А. Грибков, В.В. Грибкова, Ю.А. Кравцов, ЮЖ. Кузнецов, А.Г. Ржаное Восстановление структуры динамической системы по време-ным рядам // Радиотехника и электроника, 1994. Вып.2 С.269-277.

16. J.D.Farmer, J.J.Sidorowich Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett., 1987. V.59. No.8 P.845-848.

17. M.Casdagli Nonlinear prediction of chaotic time series // Physica D, 1989. V.35. P.335-356.

18. Ю.А.Кравцов Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физических наук, 1989. Т.32. No.5. С.434-449.

19. N.H.Packard, J.P.Crutchfield, J.D.Farmer, R.S.Shaw. Geometry form a Time Series // Phys.Rev.Lett. 1980. V.9. p.712-716.

20. F.Takens. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics. Ed.: D.A.Rand,

L.-S.Young. Berlin: Springer. 1981. p.366-381. $

21. P.Grassberger, I.Procaccia. Characterization of strange attractors // Phys.Rev.Lett. 1983. V.50. p.346-349.

22. A. Wolf, J.B.Swift, H.L.Swinney, J.A.Vastano. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V.16. p.285-317.

23. D.S.Broomhead, G.P.King. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V.20. p.217-236.

24. T.Sauer, J.A.Yorke. How Many Delay Coordinates Do You Need? // Int. J.of Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. p.737-744.

25. T.Sauer, J.A.Yorke, M.Casdagli Embedology // J.Stat.Phys. 1991. V.3/4. p.579-616.

26. П.С.Ланда, М.Г.Розенблюм. Об одном методе определения размерности вложения аттрактора по результатам эксперимента // ЖТФ. 1989. Т.1. с. 13-20.

27. M.T.Rosenstein, J.J.Collins and C.J. De Luca Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times // Physica D 1994 V.73 P.82-98

28. A.M.Fraser, H.L.Swinney Independent coordinates from mutual information // Phys.Rev.A 1986 V.33 P.1134-1140

29. А.Б.Потапов Качество реконструкций хаотических аттракторов и выбор параметров реконструкции // Препринт Института прикладной динамики им. М.В. Келдыша РАН, 1995. No.13 28с.

30. J.-P.Eckmann, D.Ruelle. Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems // Physica D. 1992. V.56. p.185-187.

31. А.А.Кипчатов Оценка корреляционной размерности аттракторов, восстановленных по данным конечной точности и длины // Письма в ЖТФ, 1995, т.21 вып.15. с.90-95

i

32. R.Badii, A.Politi. Strange attractors: Estimating the complexity of chaotic signals. In: Proceedings of Workshop Instabilityes and Chaos in Quantum Optics II // New York: Plenum. 1988. p.335-362.

33. D.S.Broomhead, J.P.Huke, M.R.Muldoon. Linear filters and nonlinear systems // J.Roy.Stat.Soc.B. 1992. V.54. p.373-382.

34. M.E.Davies Reconstructing attractors from filtering time series // Physica D, V.101, P. 195-206, 1997

35. A.Chennaoui, J.Liebler, and H.G.Schuster The mechanism of the increase of the generalized dimension of a filtered chaotic time series // J. Stat. Phys., 1990, v.59, p.1311-1328.

36. R.Badii, G.Broggi, B.Derighetti, M.Ravani, S.Ciliberto et al Dimension Increase in Filtered Chaotic Signals // Phys.Rev.Lett. 1988. V.ll. p.979-982.

37. F.Mitschke, M.Moller, W.Lange. Measuring Filtered Chaotic Signals // Phys.Rev.A. 1988. V.ll. p.4518-4521.

38. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Изменение структуры странного аттрактора при полосовой фильтрации хаотических колебаний // Письма в ЖТФ. 1993. Т.17. с.68-71.

39. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Суперфрактализация хаотического аттрактора при линейной фильтрации // Письма в ЖТФ. 1995. Т.4. с. 1-6.

40. M.E.Davies, K.M.Campbell Linear recursive filters and nonlinear dynamics // J. Nonlinearity, V. 9, P. 487-499, 1996

41. L.M.Pecorat T.L. Carroll Discontinuous and Nondifferentiable Functions and Dimension Increase Induced by Filtering Chaotic Data //J. Chaos, V.6, N.3, P. 432-439, 1996

42. P.S.Landa, M.G.Rosenblum. Time Series Analysis for System Identification and Diagnostics // Physica D. 1991. V.48. p.232-254.

43. П.С.Ланда, М.Г.Розеиблюм. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определение размерности аттрактора по экспериментальным данным // ЖТФ. 1989. Т.Н. с.1-6.

44. Л.В.Красичков Влияние амплитудных и фазовых свойств линейного фильтра на преобразование хаотических колебаний // Письма в ЖТФ, 22(22):72-77, 1996.

45. S. М. Hammel A noise reduction method for chaotic systems // Phys.Lett.A, 1990, v. 148, p.421-428.

46. E. J. Kostelich and J. A. Yorke Noise reduction in dynamical systems //Phys. Rev. A, 1988, v.38, p.1649-1652.

47. J. D. Farmer and J. L. Sidorowich Optimal Shadowing and Noise Reduction // Physica D, 1991, v.47, p.373-392.

48. P. Grassberger, T. Schreiber, and C. Schaffrath Nonlinear time sequence analysis // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1991, v.l, p.521-547.

49. A.Chennaoui, K.Pawelzik, et.al. Attractor reconstruction from filtered chaotic time series // Phys.Rev.A, 1990, v.41, n.8, p.4151-4159.

50. D.S.Broomhead, J.P.Huke, M.A.Potts Cancelling deterministic noise by constructing nonlinear inverse to linear filters // Physica D, V.89, P. 439-458, 1996

51. D.S.Broomhead, J.P.Huke, R.Jones Signals in chaos: a method of cancellation of deterministic noise from discrete signals // Physica D, V.8, N.4, P.*413-432, 1995

52. Jr.Rosa, S.Hayes, C. Grebogi Noise filtering in communication with chaos // J. Phys. Rev. Lett., V. 78, N. 7, P. 1247-1250, 1997

53. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике // М.:Наука451, 1978.

54. F.С.Moon, W.T.Holmes Double Poincare section of a quasi-periodically forced chaotic attractor // Phys.Lett.A, 1985, V.lll, p. 157-160

55. P.Frederickson, J.L.Kaplan, E.D.Yorke, J.A.Yorke. The Lyapunov dimension of strange attractors // J.Diff.Eqns. 1983. V.49. p.185-207.

56. B.R.Hunt, E.Ott, J.A.Yorke Fractal dimension of chaotic saddles of dynamical systems // Phys.Rev.E. 1996. V.54. N.5 p.4819-4823.

57. А.А.Кипчатов Количественная оценка сложности колебаний и формирование тестовых хаотических сигналов // Дис. ... канд. физ.-мат. наук., Саратов, Саратовский гос. ун-т, 1996, 204с.

58. C.E.Shannon A mathematical theory of communications // Bell Syst. tech. J., 1948, v.27, p.379-423

59. А.Н.Колмогоров Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега // ДАН СССР, 1958, т.119, с.861-864

60. А.Н.Колмогоров Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР, 1959, т.124, с.754-755

61. Я.Г. Синай О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР, 1959, т.124, с.768-771

62. G.Benetir, L.Galgani, J.-M.Strelcin Kolmogorov entropy and numerical

experiments // Phys.Rev.A 1976 V.14 P.2338-2345

i

63. J.D.Farmer Information dimension and probabilistic structure of chaos // Z.Naturforsch 1982 V.37a P.1304-1325

64. Р.Л.Стратонович Теория информации // M.: Советское Радио. 1975. 424с.

65. G.Broggi. Evaluation of Dimensions and Entropies of Chaotic Systems // J.Opt.Soc.Am.B. 1988. V.5. p.1020-1028.

66. K.Pawelzik, H.G.Schuster. Generalized dimensions and entropies from measured time series // Phys.Rev.A. 1987. V.35. N.l. p.481-484

67. A.Cohen, I.Procaccia. Computing the Kolmogorov entropy from time signals of dissipative and conservative dynamical systems // Phys.Rev.A 1984. V.31. N.3 P. 1872-1882.

68. W.Ebeling, G.Nicolis Entropy of symbolic sequences: the role of correlations // Europhys.Lett. V.17, P.7, 1992

69. A.Schmitt Structural analysis of DNA sequences // PhD dissertation, Verlag Dr.Koster, Berlin, 1995

70. P. Отнес, Л.Эноксон. Прикладной анализ временных рядов // М.: Мир. 1982. 428с.

71. Р.В.Хемминг. Цифровые фильтры // М.: Советское Радио. 1980. 224с.

72. И.С.Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы / М.: Советское Радио. 1977. 608с.

73. F.Mitschke Acausal filters for chaotic signals // Phys. rev. A 41(2):1169-1171, 1990

74. Л.В.Красичков Преобразование хаотических сигналов линейными инерционными цепями и средами // Дис. ... канд. физ.-мат. наук., Саратов, Саратовский гос. ун-т, 1997, 156с.

75. P.E.Rapp, A.M.Albano, T.I.Schmah, L.A.Farwell Filtered noise can mimic low dimensional chaotic attractors // Phys. Rev. E, V. 47, P. 2289-2297, 1993

76. J. Theiler, S.Eubank. Don't bleach chaotic data // Chaos. 1993. V.3. p.771-782.

77. W.F.Lawkins, C.S.Daw, D.J.Downing, N.E.Clapp Jr. Role of low-pass filtering in the process of attractor reconstruction from experimental chaotic time series // Phys. Rev. E, V.47, N.4, P.2520-2535, 1993

78. M.T.Rosenstein, J.J.Collins Visualizing the effects of filtering chaotic signals // Computers and Graphics, V. 18, N. 4, P. 587-592, 1994

79. T.Sauer, J.A.Yorke Are the dimensions of a set and its image equal under typical smooth functions? (preprint)

80. D.S.Broomhead, R.Jones, G.P.King. Topological dimension and local coordinates from time series // J.Phys.A. 1987. V.20. p.L563-L569.

81. M.R.Muldoon, R.S.MacKay, J.P.Huke, D.S.Broomhead. Topology from a time series // Physica D, 1993, V.65, p.1-16.

82. А.А. Кипчатов, JI.В. Красичков, А.В. Андрушкевич Диагностика сложных колебаний по корреляционной размерности // М.,Нелинейные цепи и системы 2:308-317, 1992.

83. М. Ding, С. Grebogi, Е. Ott, Т. Sauer, J. Yorke Estimating correlation dimension from a chaotic time series: when does plateau onset occur? // Physica D, v.69, p.404-424, 1993.

84. J. Theiler, T. bookman Statistical error in a chord estimator of correlation dimension: The "Rule of Five" // Int.J.of Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. p.765-771.

85. T.Buzug, G.Pfister. Optimal delay time and embedding dimension for delay-time coordinates by analysis of the global and local dynamical behavior of strange attractors // Phys.Rev.A. 1992. V.45. p.7073-7084.

86. T.Buzug, G.Pfister. Comparison of Algorithms calculation optimal embedding parameters for delay time coordinates // Physica D. 1992. V.58. p. 127-137.

87. O.E.Rdssler. An equation for continuous chaos // Phys.Lett.A. 1976. V.57. p.397-398.

88. O.E.Rdssler. Continuous chaos — four prototype equations // Ann.N.Y.Acad.Sci. 1979. V.316. p.376-392.

89. E.N.Lorenz. Deterministic Nonperiodic Flow // J.Atmos.Sci. 1963. V.20. p.130-141.

90. M.Henon A two-dimensional map with a strange attractor // Commun. Math. Phys., 1976, V.50. p.69.

91. Jaap.C.Schouten, F. Tokens, Cor M. van den Bleek Estimation of the dimension of a noisy attractor // Phys.Rev.E 1993 V.50 N.3 P. 18511861

92. M.T.Rosenstein, J.J.Collins and C.J. De Luca A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D 1992 V.65 P. 117-134

93. P.Paoli, A.Politi, G.Broggi, M.Ravani, R.Badii. Phase Transitions in Filtered Chaotic Signals // Phys.Rev.Lett. 1989. V.21. p.2429-2432.

94. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov, E.L.Kozlenko. Mechanizm of Attractor Destruction under Linear Filtration // Abstracts of the International Conference tin Criteria of Selforganization in Physical, Chemical and Biological Systems (Moscow-Suzdal, June 12-18, 1995). Suzdal. 1995. p.133.

95. A.A.Kipchatov, E.L.Kozlenko Unlimited dimension increase of chaotic attractors under linear filtering // the Book of Abstracts of the International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND-96) (Saratov, Russia, July 8-14, 1996)

96. A.A.Kipchatov, E.L.Kozlenko Неограниченное возрастание размерности хаотических аттракторов при линейной фильтрации / / Письма в ЖТФ, 23(7):8-13, 1997.

97. A.A.Kipchatov, E.L.Kozlenko The new fractal structure of chaotic attractors arising under linear filtering // Proceedings 5th International Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, p.394-399, 1997

98. A.A.Kipchatov, E.L.Kozlenko Filtering & antifiltering of chaotic oscillations.// Proceedings 6th International Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, p.311-314, 1998

99. А.А.Кипчатов, Е.Л.Козленко Реставрация хаотических колебаний, прошедших через линейные фильтры // 5-я Международная школа Хаотические Автоколебания и Образование Структур ХАОС'98 С.94-95

100. Е. Л.Козленко Корреляционная размерность и энтропия хаотических колебаний, прошедших через линейные фильтры // 5-я Международная школа Хаотические Автоколебания и Образование Структур ХАОС'98 С.95-96

101. А.А.Кипчатов, Е.Л.Козленко Фильтрация и антифильтрация хао-

i

тических колебаний // Известия ВУЗов. ПНД, Т.6, N.5, 1998

102. Е.Л.Козленко Энтропия фильтрованных хаотических сигналов // Известия ВУЗов. ПНД, Т.6, N.6, 1998

103. А.А.Кипчатов, Е.Л.Козленко Реконструкция хаотических колебаний, прошедших через линейные фильтры // Письма в ЖТФ, 25(4):55-60,1999.