Колебания стержневых элементов решетчатых ферм балочных металлических железнодорожных мостов в условиях высокоскоростного движения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.15, кандидат технических наук Федотова, Ираида Александровна

• Федотова, Ираида Александровна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Федотова, Ираида Александровна

введение лава 1. Анализ частотного спектра и форм общих колебаний гролетного строения по плоской и пространственной схемам на >снове метода конечных элементов.

1. Расчетные схемы для оценки динамических характеристик вободных колебаний фермы в вертикальной плоскости. .2. Математическая постановка задачи.

3. Характеристика частотного спектра, а также форм общих

I местных колебаний пролетного строения в вертикальной шоскости.

4. Пространственный расчет свободных колебаний констукции. лава 2. Исследование динамических характеристик свободных солебаний стержневого элемента фермы по его декомпозиционной модели.

1.1. Общая характеристика модели.

1.2. Математическое описание задачи о свободных колебаниях 22 стержня как континуальной системы.

3. Сравнение частот свободных колебаний стержней, юлученных численным и аналитическим методами, "лава 3. Анализ вынужденных колебаний пролетного строения

I его отдельных стержневых элементов при высокоскоростном щижении нагрузки.

5.1. Определение амплитуд колебаний узлов и стержней фермы ю методу динамических линий влияния.

5.1.1. Задание нагрузки на ферму, адекватно отражающей 28 движение по ней единичной силы.

5.1.2. Математическая постановка задачи.

1.1.3. Формирование динамической составляющей силы.

1.1.4. Характерные особенности линий влияния вертикальных 39 1еремещений узлов нижнего пояса фермы.

1.1.5. Определение перемещений узлов фермы от заданной 46 тгрузки по динамическим линиям влияния.

1.1.6. Связь результатов исследования с решением классических 48 ;адач А.Н. Крылова и С.П. Тимошенко.

5.1.7. Выбор критических скоростей движения нагрузки и ее 50 щнамических характеристик для определения амплитуд солебаний стержневых элементов фермы.

1.1.8. Анализ движения стержневого элемента в процессе 51 солебаний конструкции.

1.1.9. Характеристика линий влияния относительных перемеще- 56 шй стержней.

5.1.10. Определение относительных динамических перемещений 61 стержневых элементов, вызванных проходом поезда.

5.2. Определение динамических перемещений узлов и стержней [)ермы, возникающих при проходе поезда.

5.2.1. Задание на ферму нагрузки, соответствующей движению 62 ю ней системы сил от поезда.

5.2.2. Анализ хронограмм динамических перемещений узлов 63 шжнего пояса фермы и средних сечений стержневых элементов, $ызванных проходом поезда. лава 4. Определение динамической реакции стержневого лемента по по методу декомпозиции. к 1. Особенности работы стержневого элемента в составе инструкции. к2. Исследование вынужденных колебаний стержня, вызванных юперечными смещениями его концевых сечений. к2.1. Вывод дифференциального уравнения изгибных олебаний стержня, загруженного кинематическими юзмущениями в виде поперечных перемещений его концов . к2.2. Определение динамических перемещений точек стержневого элемента на основе спектрального анализа функций воздействия и отклика. к2.3. Пример декомпозиционного расчета соответствующих данному типу возмущения динамических перемещений юдвески, раскоса и элемента нижнего пояса фермы при >азличных скоростях движения нагрузки. кЗ. Исследование вынужденных колебаний стержня, вызванных тлами поворота его концевых сечений. к3.1. Вывод дифференциального уравнения изгибных юлебаний стержня, загруженного кинематическим юзмущениям в виде поворотов его концов к 3.2. Пример декомпозиционного расчета динамических юремещений подвески, раскоса и элемента нижнего пояса [)ермы, вызванных поворотами концов, при различных коростях движения нагрузки. к4. Определение динамических перемещений стержней, 105 ¡ызванных суммарным воздействием рассмотренных :инематических факторов, и их сопоставление с результатами [исленного анализа. к 5. Исследование параметрических колебаний стержня, ¡ызванных продольными смещениями его концевых сечений. -.5.1. Вывод дифференциального уравнения параметрических 109 юлебаний стержня.

-.5.2. Пример декомпозиционного расчета динамических 115 [еремещений подвески и раскоса в режимах главных [араметрических резонансов.

-.6. Определение динамической реакции стержневого элемента, $ызванной эксцентриситетами приложения продольных сил и тчальным искривлением его оси. кб.1. Вывод дифференциального уравнения вынужденных солебаний стержня с учетом его начальных несовершенств. 1.6.2. Пример декомпозиционного расчета динамических шремещений подвески, раскоса и элемента нижнего пояса [)ермы, которые вызваны начальными несовершенствами сонструкции. лава 5. Оценка усталостной прочности и долговечности [эермы на основе анализа структуры и уровня напряжений в ее :тержнях.

5.1. Методика определения напряжений в стержневых •лементах фермы.

5.2. Анализ структуры и уровня напряжений в крайних юлокнах стержневых элементов фермы.

5.3. Анализ выносливости и долговечности стержневых •лементов фермы.

Заключение диссертации по теме «Мосты и транспортные тоннели», Федотова, Ираида Александровна

Общие выводы и практические рекомендации:

1. При скоростях движения нагрузки до 420 км/час обеспечивается достаточная вертикальная жесткость большепролетных решетчатых ферм типовой проектировки. Значение общего прогиба рассмотренного пролетного строения с учетом собственного веса не превосходит 9.44 см, что составляет 1/1165 расчетного пролета Ь и существенно ниже £/662.5.

Максимальное динамическое перемещение середины конструкции не превышает 2.57 см и составляет 1/4280 часть пролета, что близко к рекомендованному нормами по проектированию высокоскоростных магистралей значению Ь/4400. Причем при скоростях подвижного состава не выше 400 км/час динамический прогиб не превосходит нормативного значения. Следовательно, типовое пролетное строение удовлетворяет нормам жесткости для мостов на ВСМ при скоростях движения до 400 км/час.

2. В условиях высокоскоростного движения обеспечивается достаточная жесткость стержневых элементов главных ферм. Максимальные относительные динамические перемещения стержней с учетом начальных несовершенств при скоростях движения до 420 км/час не превышают 1/10100 их расчетной длины.

3. Долговечность стержневых элементов и мест их узловых прикреплений с учетом накопления повреждений в предшествующих режимах эксплуатации в самом неблагоприятном случае составляет не менее 100 лет при вероятности безотказной работы Р=0.9955.

4. С целью снижения амплитуд местных вибраций стержневых элементов и уровня напряжений в их сечениях следует рекомендовать ограничение максимальной стрелы начальной погиби элемента значениями //800. //1200 и узловых эксцентриситетов приложения продольных усилий в стержнях значениями /г/50./г/60, где /г - высота поперечного сечения элемента.

5. Обобщая результаты исследования, можно рекомендовать при реконструкции железнодорожных линий под высокоскоростное движение использовать существующие типовые пролетные строения проектировки 50-х - 60-х годов, если это позволяет план железнодорожной линии на подходах к мосту, после предварительного динамического расчета их по методике, предложенной автором, и дефектоскопии наиболее слабых мест узловых прикреплений стержневых элементов при обязательной оценке остаточного ресурса длительной прочности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты выполненного исследования:

1. Разработана методика расчета общих и местных вибраций решетчатых ферм железнодорожных мостов с использованием стандартных вычислительных комплексов, которая позволяет проследить процесс развития колебаний во времени и определить максимальные динамические перемещения и напряжения, возникающие в пролетном строении и его стержневых элементах при проходе высокоскоростного электропоезда.

2. Предложена методика анализа перемещений узлов и стержней фермы, основанная на применении динамических линий влияния. Определенные по этой методике значения динамических коэффициентов, учитывающих фактор скорости движения нагрузки и эффект ее пульсации, вписываются в границы области экстремальных значений, полученных из решения классических задач.

3. Разработан декомпозиционный подход к расчету стержневых элементов фермы на вибрационные воздействия, который подразумевает, во-первых, анализ свободных колебаний стержня как упруго заделанного элемента на упругих опорах, во-вторых, определение динамических перемещений и напряжений в стержневом элементе, вызванных проходом поезда, посредством задания кинематических возмущений его концевых сечений.

Показано, что динамические характеристики стержня и амплитуды его вынужденных колебаний, полученные по его декомпозиционной модели, практически совпадают с аналогичными результатами, достигнутыми в ходе анализа вынужденных колебаний фермы по методу конечных элементов. Погрешность вычислений в данном случае не превосходит 6-12 %.

4. При динамических расчетах по декомпозиционным моделям использовано их основное преимущество, позволяющее достаточно легко учесть влияние начальных несовершенств на динамическую реакцию стержневых элементов, оценить вклад каждого типа воздействия в динамический отклик стержня, оценить влияние каждой из учитываемых собственных форм на амплитуду его вынужденных колебаний, подробно исследовать режимы параметрических резонансов в элементах решетки фермы, а также провести динамический расчет конкретного стержня, не выполняя расчета конструкции в целом, что особо важно при поверочных расчетах в целях выявления возможности использования эксплуатируемых пролетных строений на реконструируемых под высокоскоростную нагрузку участках железных дорог.

5. Выявлено, что наиболее опасными для стержневых элементов с точки зрения жесткости и долговечности являются динамические перемещения и напряжения, возникающие при высоких скоростях движения (порядка 420 км/час), которые могут существенно превосходить значения этих величин в резонансных режимах при меньших скоростях движения.

6. Произведена оценка долговечности стержневых элементов в самых неблагоприятных условиях при скоростях движения до 420 км/час и с учетом расстройств в работе узловых прикреплений элементов в ходе предшествующей эксплуатации в виде повышенного значения эффективного коэффициента концентрации напряжений. При общем полигармоническом характере изменения напряжений во времени рассмотрены наиболее неблагоприятные частные случаи одночастотного и двухчастотного режимов нагружения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Федотова, Ираида Александровна, 1999 год

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959. - 915 с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. - 559 с.

3. Балух X. Диагностика верхнего строения пути.: Перевод с польского И.В. Шварца. Под ред. М.Ф. Вериго. - М.: Транспорт, 1981. - 415 с.

4. Барченков А.Г. Динамический расчет автодорожных мостов. М.: Транспорт, 1976. - 199 с.

5. Бидерман B.J1. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

6. Блейх Ф. Теория и расчет железных мостов. М.: Гострансиздат, 1931.

7. Богданов Ф.Ф., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений.: Перевод с англ. С.А. Тимашева. М.: Мир, 1989. - 344 с.

8. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 600 с.

9. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 312 с.

10. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1990.-448 с.

11. Бондарь Н.Г., Казей И.И., Лесохин Б.Ф., Козьмин Ю.Г. Динамика железнодорожных мостов. М.: Транспорт, 1965. - 412 с.

12. Бондарь Н.Г., Козьмин Ю.Г., Ройтбурд З.Г., Тарасенко В.П. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом. М.: Транспорт, 1984. - 272 с.

13. Вибрации в технике. Под ред. В.В. Болотина, том 1. - М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

14. Вершинский C.B., Данилов В.Н., Челноков И.И. Динамика вагона. -М.: Транспорт, 1978. 352 с.

15. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. -М.: Транспорт, 1986. 559 с.

16. Владимирский С.Р. Системотехника мостостроения. СПб.: Питер, 1994.-286 с.

17. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.: Перевод с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

18. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава.: Перевод с англ. К.Г. Бомштейна. М.: Транспорт, 1988. - 391 с.

19. Городецкий A.C., Заворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Автоматизация расчетов транспортных сооружений. М.: Транспорт, 1989. - 232 с.

20. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности. Л.: Судостроение, 1985. - 156 с.

21. Динамический расчет зданий и сооружений. Справочник проектировщика под ред. Б.Г. Коренева и И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат, 1984. - 303 с.

22. Динамика высокоскоростного транспорта.: Перевод с англ. A.B. Попова. Под ред. Т.А. Тибилова. - М.: Транспорт, 1988. - 215 с.

23. Дондошанский В.К. Расчет колебаний упругих систем на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1965. - 368 с.

24. Закора А. Л., Казакевич М.И. Гашение колебаний мостовых конструкций. Под ред. Н.Г. Бондаря. - М.: Транспорт, 1983. - 34 с.

25. Зенькевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.: Перевод с англ. М.: Мир, 1986. - 318 с.

26. Ильясевич С.А. К вопросу о колебаниях стальных мостов. Изд-во ВИА, 1940.

27. Индейкин A.B. Вибрации стержневых элементов пролетных строений балочных железнодорожных мостов как звеньев сложной динамической системы. Сб.: Вопросы динамики и прочности, вып. 29. - Рига: "Зинатне", 1974.

28. Индейкин A.B. Динамическая прочность и долговечность стержневых элементов пролетных строений. Транспортное строительство, № 2, 1974.

29. Индейкин A.B. Оценка усталостной прочности элементов инженерных конструкций, подвергающихся динамическому воздействию подвижной нагрузки. Сб.: Вопросы динамики и прочности, вып.37. - Рига: "Зинатне", 1980.

30. Индейкин A.B., Федотова И.А. Исследование частот и форм свободных колебаний элементов решетчатой фермы. Сб. тезисов научно-практической конференции: Проблемы железнодорожного транспорта решают ученые. - ПГУПС, 1995, с. 118-119.

31. Индейкин A.B., Федотова И. А. Исследование свободных пространственных колебаний пролетного строения. Сб. тезисов XIV межд. конференции: Применение МКЭ и методов теории потенциала в задачах строительной механики. - СПб.: 1995, с. 33-34.

32. Индейкин A.B., Федотова И.А. Метод динамических линий влияния для исследования колебаний стержневых систем. Тезисы докл. XVI межд. конференции BEM/FEM-98. - СПб.: 1998, с. 79-82.

33. Индейкин A.B., Федотова И.А. Исследование вынужденных колебаний мостовых ферм при высокоскоростном движении. Тезисы межд. научно-практ. конференции "Современное строительство". - Пенза: 1998, с. 79-81.

34. Иоселевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981. - 224 с.

35. Исследование динамики и прочности вагонов. Под ред. С.И. Соколова. - М.: Машиностроение, 1976. - 223 с.

36. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240 с.

37. Когаев В.П., Мухутов H.A., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1985.-224 с.

38. Козьмин Ю.Г. Колебания пассажирских вагонов скоростных поездов при движении по мостам. В сб.: Особенности работы железнодорожных мостов в условиях высокоскоростного движения. - НИИ Мостов, вып. 290,1969, с. 56-75.

39. Козьмин Ю.Г. Силы динамического взаимодействия колеса и рельса при движении грузовых вагонов по неровностям профиля пути на мостах. В сб.: Особенности работы железнодорожных мостов вусловиях высокоскоростного движения. НИИ Мостов, вып. 290, с. 1336.

40. Козьмин Ю.Г., Гузевич Ю.Д., Кондратов В.В. Влияние двухчастотного нагружения на усталостную прочность соединения стальных элементов. -В кн.: Вопросы строительства и эксплуатации металлических железнодорожных мостов. Труды ЛИИЖТа, Л.: - 1978, с. 11-17.

41. Козьмин Ю.Г., Кондратов В.В. Метод оценки влияния вибраций элементов решетки главных ферм металлических пролетных строений на их усталостную прочность. В кн.: Вопросы динамики мостов и теории колебаний. - Днепропетровск: ДИИТ, 1983, с. 27-32.

42. Кондратов В.В. Вибрации элементов решетки главных ферм металлических пролетных строений железнодорожных мостов. Диссертация на соискание ученой степени к. т. н. - Л.: ЛИИЖТ, 1984. - 133 с.

43. Котуранов В.Н., Хусидов В.Д., Устич П.А., Быков А.И. Нагруженность элементов конструкций вагона. М.: Транспорт, 1991. - 238 с.

44. Кохманюк С.С., Дмитриев A.C., Шелудько Г.А. и др. Нестационарное деформирование конструкций и их оптимизация. Гл. IV. Динамическое взаимодействие балочных конструкций с движущимися высокоскоростными объектами, - К.: Наукова думка, 1984, с. 66-106.

45. Коцаньда С. Усталостное разрушение металлов.: Перевод с польского. -М.: Металлургия, 1976. 456 с.

46. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. / Перевод с англ. М.: Мир, 1987. - 328 с.

47. Кудрявцев И.В., Наумченков Н.Е. Усталость сварных конструкций. -М.: Машиностроение, 1976. 270 с.

48. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. -470 с.

49. Мельников Н.П. Металлические конструкции: современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1983. - 543 с.

50. Мероприятия по снижению уровня вибраций стальных мостов (первая очередь). Отчет по НИР каф. "Мосты". - ПГУПС, 1994 г.

51. Митропольский M.H. Применение матриц к решению задач строительной механики. М.: Высшая школа, 1969. - 160 с.

52. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981.-344 с.

53. Новожилова Н.И. Усталость металла мостовых конструкций и способы ее учета. Л.: ЛИСИ, 1985. - 86 с.

54. Норейко С.С. Вибрации железнодорожных мостов. Диссертация на соискание ученой степени д. т. н. - Л.: ЛИИЖТ, 1951. - Репринт СПб.: ПГУПС, 1996. - 250 с.

55. Норейко С.С. Вибрации пролетных строений балочных железнодорожных мостов при высоких скоростях движения. В Сб.: Мосты и строительная механика. - Труды ЛИИЖТа, вып. 178, с. 3-38.

56. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.: Перевод с англ. М.: Мир, 1981.-304 с.

57. Осипов В.О. Долговечность металлических пролетных строений эксплуатируемых железнодорожных мостов. М.: Транспорт, 1982. - 287 с.

58. Осипов В.О., Козьмин Ю.Г., Анциперовский B.C., Кирста A.A. Содержание и реконструкция мостов. Под ред. В.О. Осипова. - М.: Транспорт, 1986. - 227 с.

59. Петинов C.B. Основы инженерных расчетов усталости судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. - 224 с.

60. Петропавловский A.A., Богданов H.H., Бондарь Н.Г. и др. Проектирование металлических мостов. Под ред. A.A. Петропавловского. - М.: Транспорт, 1982. - 320 с.

61. Пиковский A.A. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. -М.: Гос. изд. Физика математической литературы, 1961. 394 с.

62. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

63. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов.: Справочник / Мяченков В.П., Мальцев В.П., Майборода В.П. и др. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

64. Розин JI.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. JL: ЛГУ, 1975.-237 с.

65. Серенсен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.

66. Снитко Н.К. Динамика сооружений, 1960.

67. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лященков Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

68. СНиП 2.05.03-84. Мосты и трубы. Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1985. - 200 с.

69. Справочник по динамике сооружений: Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат, 1972. - 510 с.

70. Технические условия проектирования железнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб (СН 200-62). М.: Трансжелдориздат, 1962. - 328 с.

71. Технические требования и нормы проектирования высокоскоростной магистрали Санкт-Петербург Москва на стадии ТЭО, рекомендации ЦНИИ МПС, 1990.

72. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

73. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975. - 704 с.

74. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. К.: Наукова думка, 1975. - 563 с.

75. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.-735 с.

76. Ушкалов В. Ф., Резников J1.M., Редько С.Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей. К.: Наукова думка, 1982. - 360 с.

77. Федотова И. А. Определение динамических характеристик стержневого элемента по его декомпозиционной схеме. Неделя науки - 95; ПГУПС: 1995, с. 62.

78. Федотова И. А. Декомпозиционный подход к расчету инженерных сооружений Неделя науки - 96, ПГУПС: 1996, с. 33.

79. Федотова И. А. Построение динамических линий влияния для ферм балочных железнодорожных мостов. Неделя науки - 98; ПГУПС: 1998, с. 74.

80. Чувиковский В.И. Численные методы расчетов в строительной механике корабля. JL: Судостроение, 1976. - 376 с.

81. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д., Петров В.Б., Мяченков В.И. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. -М.: Машиностроение, 1981. 333 с.

82. Якушев А.И., Мустаев Р.Х., Маврютов P.P. Повышение прочности и надежности резьбовых соединений. М.: Машиностроение, 1979. - 215 с.

83. Fryba L. Dynamics of Railway Bridges. Academia, Praha, 1996. - 330 p.

84. Fryba L. Dynamics and Fatigues of Railway Bridges. Proc. of the World Congress on Railway Research Conference, A Specialist Technical Conference, Exposition & Workshop, p. 475-481, - Colorado Springs, CO, USA, 17-19 June 1996.

85. Fryba L., Naprstek J. Appearance of resonance vibration on railway bridges. Advances in Civil and Structural Engineering Computing for Practice, Civil-Comp Press, Edinburgh, UK, 1998, p. 377-382.

86. Fryba L., Gajdos L. Fatigue properties of orthotropic decks on railway bridges. Engineering Structures. 21 (1999), p. 639-652.

87. Inglis С. E. A mathematical treatise on vibration in railway bridges. The University Press, Cambridge, 1934.

88. Indejkin A. V., Fedotova I. A. The rod elements vibrations of the railway truss bridge in the conditions of high-speed motion of the load. Proc. of the1.l European Conf. on Structural Dynamics: Eurodyn'96, p. 783-789, -Florence, Italy, 5-8 June 1996.

89. Indejkin A.V., Fedotova I.A., Petrov V.A. Forced and parametric vibrations of railway truss bridges at high-speed motion. Proc. of the IV European Conf. on Structural Dynamics: Eurodyn'99, Prague, Czech Republic, 7-10 June 1999, p. 663-668,

90. Liberatore D. Dynamic interaction between periodic train and bridge at resonance. Proc. of the IV European Conf. on Structural Dynamics Eurodyn'99, p. 693-698, Prague, Czech Republic, 7-10 June 1999.

91. Stokes G.G. Discussion of a differential equation relation to the breaking of railway bridges. Mathematical and Physical Papers, № 2 (1883), p. 178-220.

92. Timoshenko S.P. On the forced vibrations of bridges. Philosophical Magazine and Journal of Science, ser. 6, 1922, vol. 43, № 257, p. 1018-1019.

93. Uzdin A.M., Fedotova I.A., Kuznetsova I.O. Setting the seismic impact in calculating the earthquake stability of the extended structures. Proc. of the Xl-th Int. Conference on Earthquake Engineering, Paris, France, 7th-11th September 1998.