Колебания и устойчивость упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович

• Веденеев, Василий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович

Введение и обзор литературы

1. Введение.

2. Место панельного флаттера среди других видов аэроупругой неустойчивости.

3. Механизмы возбуждения флаттера.

4. Обзор литературы по панельному флаттеру

4.1. Исследования неограниченных пластин.

4.2. Исследования конечных пластин в точной постановке

4.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории.

4.4. Современные исследования панельного флаттера

5. Обзор диссертации.

1. Неустойчивость безграничной пластины

1.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

1.2. Вывод уравнений для возмущений.

1.2.1. Уравнение неразрывности.

1.2.2. Уравнение импульсов

1.2.3. Волновое уравнение.

1.2.4. Условие непротекания.

1.2.5. Уравнение движения пластины.

1.2.6. Замкнутая система уравнений

1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны.

1.3.1. Возмущения типа бегущих волн.

1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения

1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства.

1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины

1.3.5. Дальнейшие вычисления.

1.3.6. Обоснование корректности вычислений.

1.3.7. Структура решения.

1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа

1.3.9. Переход к безразмерным переменным.

1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание.

1.4. Устойчивость тангенциального разрыва.

1.4.1. Метод исследования.

1.4.2. Случай

1.4.3. Случай

1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей

1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения.

1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым вектором.

1.4.7. Влияние поверхностного натяжения.

1.5. Исследование устойчивости в общем случае.

1.5.1. Неустойчивость длинных волн.

1.5.2. Поведение решений при изменении к.

1.5.3. Случай малых плотностей газов.

1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании.

1.6.1. Критерий устойчивости.

1.6.2. Случай малой плотности газа.

1.7. Выводы.

2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы

2.1. Постановка задачи.

2.2. Неустойчивость одномерных систем.

2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными условиями.

2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость.

2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости

2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости.

2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость.

2.3. Свойства дисперсионного уравнения.

2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства.

2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения

2.3.3. Источник проблемы.

2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений

2.4.1. Условие неустойчивости.

2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости

2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение.

2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста.

2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста

2.4.6. Расположение собственных частот.

2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр

2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений

2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6).

2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения.

2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения

2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае.

2.6. Односторонняя неустойчивость.

2.6.1. Условие защемления.

2.6.2. Условие опирания

2.6.3. Свободный край.

2.7. Обсуждение результатов.

2.8. Выводы.

3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы

3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления

3.1.1. Источник погрешности.

3.1.2. Вывод уравнения движения пластины.

3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности.

3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций

3.2.1. Оценка погрешности.

3.2.2. Примеры

3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций

3.3.1. Вязкоупругое демпфирование.

3.3.2. Конструкционное демпфирование.

3.3.3. Примеры

3.4. Влияние наличия сжимаемого газа по другую сторону от пластины

3.5. Выводы.

4. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины

4.1. Постановка задачи.

4.2. Условие усиления колебаний пластины

4.2.1. Динамический краевой эффект.

4.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам.

4.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом

4.2.4. Построение собственной функции

4.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины

4.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины.

4.5. Влияние покоящегося газа.

4.6. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины.

4.6.1. Алгоритм расчёта.

4.6.2. Флаттер обшивки летательного аппарата.

4.6.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе.

4.7. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания и устойчивость упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа»

1. Введение

Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Источник этой задачи лежит в явлении «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.

Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают

Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б). при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих a б

Рис. 2. Колебание изолированной панели. возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило, сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.

Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединённого с этой панелью, что привело к крушению [1]. Из недавних происшествий можно выделить возникновение панельного флаттера на американском истребителе F-117A в 1980-х гг. После испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2].

В настоящее время задача панельного флаттера является весьма актуальной. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются концепции создания самолётов с изменяемой формой, что также неизбежно приводит к уменьшению толщины обшивки. Наконец, использование новых материалов и, в частности, композитов меняет физические свойства панелей и также может привести к воз

Введение и обзор литературы никновению флаттера.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Веденеев, Василий Владимирович

4.7. Выводы

Исследована устойчивость прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, по отношению к высокочастотным возмущениям. Получено условие, позволяющее для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей.

В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, колебание растет или затухает равномерно по пластине — форма колебаний при флаттере при этом не искажается. В случае потока, не параллельного кромкам, и формы колебаний, которой соответствует замкнутая несимметричная траектория распространения возмущения, или близкая незамкнутая траектория, форма колебаний изменяется: около максимальной траектории амплитуда колебаний больше, чем в других точках пластины. Остальные формы колебаний под действием газа не искажаются.

Сформулирован алгоритм расчёта высокочастотного флаттера пластины и приведены конкретные примеры его использования. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. Приведены результаты расчётов. Показано, что в рассмотренных ситуациях в пластине возникают высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера.

Заключение

В работе исследована устойчивость пластины, обтекаемой с одной стороны потоком невязкого совершенного газа, в следующих постановках: безграничная пластина, пластина, имеющая форму полосы (двумерная постановка), и пластина, имеющая форму прямоугольника. Во всех случаях с другой стороны от пластины поддерживается постоянное давление или находится покоящийся невязкий совершенный газ.

В случае безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление, получен критерий устойчивости и описан его физический смысл: рост амплитуды бегущей волны происходит тогда, когда газ «обгоняет» волну, а разница между фазовой скоростью волны и скоростью течения больше скорости звука в газе. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай безграничной пластины рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены достаточные условия устойчивости и неустойчивости системы.

Для исследования устойчивости пластины, имеющей форму полосы, применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости. Получены два типа флаттера: низкочастотный и высокочастотный. Первый является «классическим» флаттером пластины, имеющим связанный тип, и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Потеря устойчивости при нём происходит через слияние двух собственных частот колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности потока газа. Второй тип флаттера не описывается с помощью поршневой теории и был теоретически обнаружен впервые. Потеря устойчивости происходит из-за отрицательного аэродинамического демпфирования одной из собственных форм колебаний; взаимодействия между формами при этом не происходит.

Характерной особенностью высокочастотного флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности потока газа. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Исследована точность полученных результатов. Для высокочастотного флаттера указанный асимптотический метод даёт погрешность, не превышающую 1%, если отношение ширины пластины к её толщине превышает несколько десятков. Покоящийся газ не оказывает влияния на результаты при М — 1 < х и демпфирует колебания при М — 1 ^ х {М — число Маха, х ~ отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося). Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования. Они по-разному действуют на пластину: достаточно большое рассеяние в материале подавляет флаттер пластин любых размеров, в то время как конструкционное демпфирование может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большой протяжённости пластины. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при высокочастотном флаттере в несколько раз больше, чем трение в материале.

Объяснено известное в литературе отличие условий устойчивости безграничных и ограниченных пластин больших размеров. Устойчивость ограниченных пластин исследовалась с использованием поршневой теории, приводящей лишь к низкочастотному флаттеру. Но неустойчивость безграничных пластин, проявляющаяся в виде роста бегущих волн, связана с высокочастотным флаттером, а низкочастотный флаттер имеет другой механизм возбуждения и не связан с усилением бегущих волн.

Поскольку главный интерес представляет высокочастотный флаттер, в случае прямоугольной пластины исследована неустойчивость именно такого типа. Получен критерий, позволяющий для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей. В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, форма колебаний при флаттере не искажается по сравнению с колебанием пластины в вакууме. В случае потока, не параллельного кромкам, искажение возможно; выяснены его условия и причины. Сформулирован алгоритм расчёта высокочастотного флаттера пластины и проведены конкретные вычисления. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. На этих примерах показано, что возможны ситуации, когда в пластине возникают высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера. Влияние покоящегося газа аналогично двумерному случаю: он не влияет на колебания при достаточно малых скоростях потока и демпфирует их в противном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович, 2006 год

1. Garric 1.E., Reed, W.H., III. Historical development of aircraft flutter// Journal of Aircraft. 1981. V. 18. № 11. P. 897-912.

2. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method// AIAA Journal. 1995. V. 33. № 6. P. 1098-1105.

3. Kang N., Raman A. Aeroelastic flutter mechanisms of a flexible disk rotating in an enclosed compressible fluid// Journal of Applied Mechanics. 2004. V. 71. Issue 1. P. 120-130.

4. Shubov M.A. Mathematical modeling and analysis of flutter in bending-torsion coupled beams, rotating blades, and hard disk drives// Journal of Aerospace Engineering. 2004. V. 17. Issue 2. P. 56-69.

5. Huang X.Y., Hoque M.E., Wang X. An experimental study on feedback control of rotating disk flutter// Journal of Fluids and Structures. 2005. V. 20. P. 71-80.

6. Lennemann E. Aerodynamic aspects of disk files// IBM Journal of Research and Development. 1974. V. 18. № 6. P. 480-4881.xhttp://www.research.ibm.com/j ournal/rd/186/ibmrdl806C.pdf

7. Tatewaki М., Tsuda N., Maruyama Т. A numerical simulation of unsteady airflow in HDDs// FUJITSU Scientific and Technical Journal. 2001. V. 37. № 2. P. 227-2351.

8. Shubov M.A. Mathematical modeling and analysis of flutter in long-span suspension bridges and in blood vessel walls// Journal of Aerospace Engineering. 2004. V. 17. Issue 2. P. 70-82.

9. Dowell E.H. (ed.), Clark R., Cox D., Curtiss H.C., Edwards J.W., Hall K.C., Peters D.A., Scanlan R.H., Simiu E., Sisto F., Strganac T.W. A modern course in aeroelasticity. Kluwer Academic Publishers, 2004. 752 p.

10. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

11. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroelastician// Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. V. 23. №. 12. P. 1109-1118.

12. Dowell E.H. Panel flutter: A review of the aeroelastic stability of plates and shells// AIAA Journal. 1970. V. 8. № 3. P. 385-399. Перевод: Панельный

13. Jhttp://www.fuj itsu.com/downloads/MAG/vol37-2/paperl4.pdfфлаттер. Обзор исследований аэроупругой устойчивости пластин и оболочек/ / Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 3. С. 3-24.

14. Panel flutter. NASA space vehicle design criteria (structures). NASA SP-8004. 1972. 53 p.1

15. Resende H.B. Hypersonic panel flutter in a rarefied atmosphere. NASA CR-4514. 1993. 116 p.2

16. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек// Итоги науки. Механика. 1963. М.: ВИНИТИ, 1965. С. 34-90.

17. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек// Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемого твёрдого тела». Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 67-122.

18. Mei С., Abdel-Motagaly К., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds// Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 10. P. 321-332.

19. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

20. Dowell Е.Н. Aeroelasticity of plates and shells. Kluwer Academic Publishers, 1974. 160 p.

21. Miles J.W. On the aerodynamic instability of thin plates// Journal of the Aeronautical Sciences. V. 23. № 8. p. 771-780. 1956.

22. Jhttp://trs.nis.nasa.gov/archive/00000117/01/sp8004.pdf2http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/cas i.ntrs.nasa.gov/199300178951993017895.pdf

23. Miles J.W. On panel flutter in the presence of a boundary layer// Journal of the Aero/Space Sciences. 1959. V. 26. № 2. P. 81-93,107. Перевод: О флаттере панелей с учётом пограничного слоя// Механика. Сборник переводов. 1959. № 4. С. 97-122.

24. Epstein R.J., Srinivasan R., Dowell Е.Н. Flutter of an infinitely long panel in a duct// AIAA Journal. 1995. V. 33. № 1. P. 109-115.

25. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 25 p.1

26. Nelson H.C., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.2

27. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании// Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

28. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II// AIAA Journal. 1967. V. 5 № 10. P. 1856-1862. Перевод: Нелинейный флаттер пластины. II// Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5. № 10. С. 156-164.

29. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

30. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

31. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе // Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 700-706.

32. Микишев Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в потоке// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.

33. Махортых Ж.К. Устойчивость многопролётной панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 174-177.

34. Bohon H.L. Flutter of flat rectangular orthotropic panels with biaxial loading and arbitrary flow direction. NASA TN D-1949. 1963. 33 p.1

35. Метсавээр Я.А. О флаттере защемлённых пластин// Известия АН СССР. МТТ 1969. № 4. С. 179-180.

36. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек// Инженерный сборник. 1960. Т. 28. С. 55-75.

37. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate// AIAA Journal. 1966. V. 4 № 7. P. 1267-1275. Перевод: Нелинейный флаттер пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 149-159.

38. Лампер Р.Е. О применении некоторых аэродинамических теорий к расчёту флаттера панели// ПМТФ. 1960. № 2. С. 147-149.

39. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа// Учёные записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 3. С. 80-90.

40. Laurenson R.M., McPherson J.I., Shore С.Р. Design procedures for flutter-free surface panels// AIAA Journal. 1979. V. 17. № 4. P. 398-399.

41. Lee I., Cho M.-H. Flutter analysis of composite panels in supersonic flow// AIAA Paper 90-1180. 1990. 11 p.

42. Zhou R.C., Xue D.Y., Mei C. Finite element time domain-modal formulation for nonlinear flutter of composite panels// AIAA Journal. 1994. V. 32. № 10. P. 2044-2052.

43. Abdel-Motaglay K., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements // AIAA Journal. 1999. V. 37. № 9. P. 1025-1032.

44. Duan В., Abdel-Motagaly K., Guo X., Mei C. Suppression of supersonic panel flutter and thermal deflection using shape memory alloy// AIAA Paper 20031513. 2003. 10 p.

45. Bein Т., Friedmann P., Zhong X., Nydick I. Hypersonic flutter of a curved shallow panel with aerodynamic heating// AIAA Paper 93-1318. 1993. 15 p.

46. Gray Jr. C.E., Mei С. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow// AIAA Journal. 1993. V. 31. № 6. P. 1090-1099.

47. Bendiksen O.O., Davis G.A. Nonlinear traveling wave flutter of panels in transonic flow// AIAA Paper 95-1486. 1995. 17 p.

48. Веденеев В.В., Куликовский А.Г. Неустойчивость плоской упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004. М.: Издательство МГУ. С. 22.

49. Веденеев В.В. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

50. Vedeneev V.V. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005. CD paper.

51. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

52. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

53. Vedeneev V.V. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006. CD paper.

54. Веденеев В.В. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

55. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976. 576 с.

56. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. М.: Наука, 1976. 536 с.

57. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

58. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet// Journal of Fluid Mechanics. 1958. V. 4. P. 538-552.

59. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

61. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости// Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. № 4. С. 151-153.

62. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой среде// ЖЭТФ. 1954. Т. 27. Вып. 1 (7). С. 121-123.

63. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с.

64. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний// Известия АН СССР. ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 148-153.

65. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

66. Hersh R. Boundary conditions for equations of evolutions // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. V. 16. № 4. P. 243-264.

67. Минасян Д.М. Флаттер упругой пластинки при малых сверхзвуковых скоростях потока газа. Сравнительный анализ // Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54, № 3. С. 65-72.

68. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа// Доклады НАН Армении. 2001. Т. 101. № 1. С. 49-54.

69. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера// Известия РАН. МТТ. 1999. №. 1. С. 170176.

70. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчёт самолёта на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 520 с.

71. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

72. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 231 с.

73. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

74. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1971.

75. Куликовский А.Г. О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях// Известия РАН. ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 257-263.

76. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок// Инженерный сборник. 1960. Т. 31. С. 3-14.

77. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек// Известия АН СССР. ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 831-842.

78. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.