Колебания балки на упругом винклеровском основании при изменении условий опирания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Леонтьев Евгений Владимирович

• Леонтьев Евгений Владимирович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Леонтьев Евгений Владимирович

Введение

Глава 1. Развитие и современное состояние теории динамического расчёта системы «балка - упругое основание»

Глава 2. Статические задачи изгиба балки на упругом основании при изменении условий опирания

2.1 Общие положения

2.2 Изменение условий опирания на упругое основание правой части балки

2.3 Изменение условий опирания на упругое основание средней части балки

2.4 Изменение условий опирания на упругое основание двух краевых частей балки

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Поперечные колебания балки на упругом основании при действии различных нагрузок и изменении условий опирания

3.1 Общие положения

3.2 Свободные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил

3.3 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при действии произвольной нагрузки

3.4 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при действии внезапно приложенной силы

3.5 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии сосредоточенного импульса

3.6 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при действии вибрационной нагрузки

3.7 Поперечные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания

3.7.1 Свободные колебания

3.7.2 Свободные колебания с учётом присоединённых масс

3.7.3 Вынужденные колебания при действии вибрационных нагрузок

3.7.4 Вынужденные колебания с учётом присоединённых масс и действии вибрационных нагрузок

3.8 Выводы по главе

Глава 4. Практические результаты расчёта поперечных колебаний балки на упругом основании при разных условиях опирания и действии нагрузок

4.1 Общие положения

4.2 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки и действии вибрационной нагрузки

4.2.1 Собственные частоты и формы колебаний балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки

4.2.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки и действии вибрационной силы

4.2.3 Колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил

4.2.4 Колебания балки на упругом основании с односторонними связями

4.3 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки, действии вибрационной нагрузки и присоединённой массы

4.3.1 Собственные частоты и формы колебаний балки с присоединённой массой на упругом основании при изменении условий опирания правой части

4.3.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части, действии вибрационной силы и присоединённой массы

4.3.3 Колебания балки с присоединённой массой на упругом основании с односторонними связями

4.4 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки и действии вибрационной нагрузки

4.4.1 Собственные частоты и формы колебаний балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки

4.4.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части и действии вибрационных сил

4.4.3 Колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил

4.4.4 Колебания балки на упругом основании с односторонними связями

4.5 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки, действии вибрационной нагрузки и присоединённой массы

4.5.1 Собственные частоты и формы колебаний балки с присоединёнными массами на упругом основании при изменении условий опирания средней части

4.5.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части, действии вибрационной силы и присоединённой массы

4.6 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки и действии внезапно приложенной силы

4.6.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии внезапно приложенной силы

4.6.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии внезапно приложенной силы с учётом диссипативных сил

4.7 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки и действии внезапно приложенной силы

4.7.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии внезапно приложенной силы

4.7.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии внезапно приложенной силы с учётом диссипативных сил

4.8 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки и действии импульса

4.8.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии сосредоточенного импульса

4.8.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части балки и действии сосредоточенного импульса

4.9 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки и действии импульса

4.9.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии сосредоточенного импульса

4.9.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части балки и действии сосредоточенного импульса

4.10 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Документы подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания балки на упругом винклеровском основании при изменении условий опирания»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Основным требованием Федерального закона от 30.12.2009 №384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений», предъявляемым к зданиям и сооружениям на всех стадиях жизненного цикла, является обеспечение безопасности жизни и здоровья граждан, имущества физических или юридических лиц, государственного или муниципального имущества. Выполнение требований безопасности обеспечивается реализацией требуемых функций строительных объектов в течение расчётного срока эксплуатации без отказов конструктивных систем, при которых их дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна. Для этого при проектировании зданий и сооружений необходимо учитывать предельные состояния при действии наиболее неблагоприятных сочетаний нагрузок в течение расчётного срока службы.

В современной строительной практике для выполнения требований механической безопасности зданий и сооружений, которые регламентированы законодательно и получили развитие в современных нормативно-технических документах, актуальной является задача исследования конструктивных систем, изменяющих расчётную схему в силу различных причин при локальном разрушении или в результате проявления опасных природных процессов и явлений или техногенных воздействий. Состояния, возникающие при особых воздействиях и ситуациях, превышение которых приводит к разрушению сооружений с катастрофическими последствиями необходимо учитывать для обеспечения требований особой группы предельных состояний.

К особым воздействиям и ситуациям относятся деформации основания, вызванные изменением физико-механических свойств грунта, сопровождающиеся снижением его прочностных характеристик в результате карстовых или карстово-суффозионных процессов; тепловых просадок, связанных с оттаиванием льдистых грунтов и залежей подземных льдов; замачивания просадочных грунтов или вследствие ошибок при производстве работ; нарушений правил эксплуатации сооружений; нарушений технологического процесса или поломки оборудования и возникающие по другим, не установленным причинам.

В большей степени изменение грунтовых условий влечёт за собой изменение условий работы фундаментных конструкций, которые в ряде случаев можно рассматривать как работу балки, лежащей на упругом основании. К этой схеме приводятся многие задачи расчёта элементов конструкций - шпал, рельсов, свай, ленточных фундаментов, резервуаров, трубопроводов, каналов, тоннелей, распределительных устройств каменных конструкций и др.

Поэтому разработка методики расчёта конструкций (в частности, балок), лежащих на упругом основании, с учётом изменения условий их опирания на основание, является актуальной

задачей для обеспечения безопасности как фундаментов, так и находящихся на них надземных конструкций зданий и сооружений. Кроме того, актуальным является учёт как статических, так и динамических нагрузок, а также проявление динамических эффектов при внезапном изменении условий опирания фундаментных конструкций. Инженерная практика нуждается в простых методах решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, способных обеспечить их безопасность при особых воздействиях и ситуациях.

Степень разработанности темы исследования. Вопросы расчёта балок, лежащих на упругом основании, исследованы многими зарубежными и отечественными учёными. Исследовательские работы в большей части выполнены по расчёту балок, лежащих на сплошном упругом основании, описываемых моделью Винклера, и нагруженных статической нагрузкой. Результаты этих работ описаны в ряде монографий, преимущественно XX века.

Выполненные исследования работы конструкций за пределами первого и второго предельных состояний стали основой формулировки и постановки задач при расчётном анализе сопротивления зданий и сооружений прогрессирующему обрушению в результате локального разрушения одного из несущих элементов. На этих положениях формируются исследования современных требований безопасности конструктивных систем, формулируются критерии особого предельного состояния (работы В.А. Алмазова, В.М. Бондаренко, А.М. Белостоцкого, Г.А. Гениева, В.А. Гордона, А.С. Городецкого, П.Г. Еремеева, Н.И. Карпенко, Н.Г. Келасьева, Э.Н. Кодыша, В.И. Колчунова, Вл.И. Колчунова, В.И. Коробко, А.В. Коробко, Е.Н. Курбацкого, И.Е. Милейковского, Б.С. Расторгуева, И.Н. Серпика, А.Г. Тамразяна, В.И. Травуша, Н.Н. Трёкина, А.А. Трещёва, А.В. Туркова, В.С. Фёдорова, Н.В. Фёдоровой, Ю.Т. Чернова, Г.И. Шапиро и др.).

В то же время мало работ, в которых рассматриваются конструкции на упругом основании, у которых во время эксплуатации изменились граничные условия под частью площади опирания, либо на части опирания основание внезaпно исчезло. Также мало работ, в которых рассматривается изменение характера воздействия нагрузки в процессе эксплуатации. Внезапное изменение условий опирания балки на основание приводит к тому, что действующая на балку статическая нагрузка превращается во внезапно приложенную нагрузку, вызывающую колебания, т.е. в динамическую.

Целью диссертационной работы является разработка методики расчёта балки на упругом винклеровском основании с кусочно-переменной жёсткостью, учитывающего изменение условий опирания, вызванным локальным, в том числе внезапным, разрушением основания.

Задачи исследования:

• решение статических задач изгиба балки на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью при отсутствии основания под частью конструкции и действии различных нагрузок;

• определение собственных частот колебаний балки на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью вследствие изменения условий опирания части конструкции на основание;

• решение динамических задач вынужденных колебаний балки на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью, в т.ч. при внезапном исключении основания под частью конструкции и действии различных нагрузок;

• учёт дополнительных масс и динамических нагрузок при внезапном изменении или исчезновении жёсткостных характеристик упругого основания под частью балки;

• совершенствование методики расчёта балок на упругом основании, являющихся фундаментами реальных сооружений на действие статических и динамических нагрузок в случае изменения условий опирания этих балок, вызванных изменением жёсткостных характеристик основания или исчезновением основания под частью балки;

• учёт односторонних и двусторонних связей балок с основанием.

Объект исследования - балка на упругом винклеровском основании с кусочно-переменной жёсткостью, учитывающем изменение условий опирания, вызванных локальным, в том числе внезапным, разрушением основания при действии статических и динамических нагрузок.

Предмет исследования - методика определения усилий и деформаций в балках на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью при изменении условий опирания части балки на основание при действии различных нагрузок.

Научная новизна работы:

• разработана теоретически обоснованная методика расчёта балок на упругом винклеровском основании с кусочно-переменной жёсткостью при действии различных статических и динамических нагрузок в случае изменения условий опирания балок на основание при их эксплуатации;

• получены формулы для определения усилий и деформаций в балках при различных сочетаниях коэффициентов постели основания под различными участками балок;

• построены зависимости для определения частот собственных колебаний балок с изменяемыми в процессе эксплуатации условиями опирания на упругое основание, в том числе с учётом сосредоточенных масс;

• построены зависимости для определения коэффициентов динамичности для балок на

сплошном упругом основании и в случае изменения условий опирания балок на основание при действии различных динамических нагрузок, в том числе с учётом сосредоточенных масс;

• проведён анализ усилий и деформаций балок при различных размерах отсутствия основания под балками при различных жёсткостях оснований и их влияние на напряжённо-деформированное состояние балок с учётом односторонних и двусторонних связей с основанием.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложена и теоретически обоснована методика определения усилий и перемещений в балках на упругом основании с изменяемыми в процессе эксплуатации условиями их опирания на основание (провалы грунта, промоины, оттаивание, карстовые деформации и т.д.) при действии различных статических и динамических нагрузок.

Реализация предложенных методик и алгоритмов расчёта при проектировании зданий и сооружений позволит более обоснованно принимать решения для обеспечения их механической безопасности и, в частности, учитывать особые воздействия и ситуации при внезапном образовании локального разрушения основания.

Методология и методы исследования. В работе использованы методы теоретического исследования. Совершенствование и дополнения существующих расчётных методик выполнено на основе общепринятых положений современной строительной механики, сопротивления материалов, механики деформируемого тела, математики, компьютерного моделирования. В качестве расчётной модели рассматривалась система «балка - упругое основание». Точность полученных результатов оценивалась путём сравнения результатов практических примеров с известными данными и результатами компьютерного моделирования в расчётных комплексах.

Личный вклад автора заключается в проведённом анализе отечественных и зарубежных исследований балок на упругом основании; решении многообразных задач по расчёту балок на упругом винклеровском основании при изменении условий опирания, вызванных локальным разрушением основания при действии статических и динамических нагрузок, разработке численных моделей с использованием ПК.

Положения, выносимые на защиту:

• методика расчёта балок на упругом винклеровском основании при изменяющихся в процессе эксплуатации граничных условиях, описывающих изменяющиеся, в т.ч. внезапно, условия опирания балок (провалы грунта, промоины, оттаивание, карстовые деформации и т.д.);

• формулы для определения усилий и деформаций в балках при различных коэффициентах постели упругого основания под различными участками балок;

• зависимости для определения частот собственных колебаний балок с изменяемыми в процессе эксплуатации условиями их опирания на упругое основание, в том числе с учётом присоединённых масс, а также коэффициентов динамичности в случае вынужденных колебаний;

• анализ усилий и перемещений балок на упругом винклеровском основании при различных размерах отсутствия основания под балками с учётом односторонних и двусторонних связей с основанием и действии статических и динамических нагрузок.

Степень достоверности результатов исследований. Достоверность результатов исследования обеспечена применением принятых физических гипотез строительной механики и сопротивления материалов; применением строгих математических методов решения задач и современных численных методов, а также подтверждается хорошей сходимостью тестовых примеров с результатами известных решений и решений, полученных с применением расчетных комплексов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: VII Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Новосибирск, 2018 г.); Международная конференция по физике материалов, строительным конструкциям и технологиям в строительстве, промышленности и производстве (MPCPE 2020) (г. Владимир, 2020 г.); Международный научно-практический форум SMART BUILD-2020 «Стройка политеха» (г. Ярославль, 2020 г.); ХШ Всероссийская молодёжная конференция аспирантов, молодых учёных, студентов и школьников «Современные технологии в строительстве. Теория и практика» (г. Пермь, 2021 г.); научный семинар кафедры «Строительная и теоретическая механика» НИУ МГСУ (г. Москва, 2021 г.).

Материалы диссертации в полном объёме доложены на расширенном заседании кафедры «Уникальные здания и сооружения» ФСА ЮЗГУ (г. Курск, 2021 г.).

Внедрение результатов исследования. Результаты диссертационной работы были использованы АО «ЦНИИПромзданий» при выполнении НИОКР в рамках государственного задания Минстроя России по развитию нормативной технической базы, направленной на обеспечение безопасности зданий и сооружений и применение передовых инновационных технологий проектирования и строительства по теме «Совершенствование методов расчёта защиты железобетонных конструкций зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения с учётом деформационной модели особого предельного состояния»; при разработке Свода правил СП 385.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения. Правила проектирования. Основные положения»; Изменения № 1 к СП 385.1325800.2018; «Пособия по проектированию мероприятий по защите зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения (Часть 2)» (к СП 385.132800.2018 с изменением №1).

Публикации.

Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах по теме диссертации, из которых 4 статьи (3,3 печатных листа, из них 1,7 выполнены автором лично)

входят в перечень ведущих рецензируемых научных изданий, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации (ВАК РФ), в том числе 2 статьи в журналах, рецензируемых в международной базе данных Scopus. Общий объем публикации составляет 4,5 печатных листов, из них лично автором выполнены 1,7 печатных листа.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы (111 наименований, в том числе 19 на иностранном языке). Работа изложена на 131 странице машинописного текста и приложения на 1 странице, содержит 59 рисунков и 37 таблиц.

ГЛАВА 1. РАЗВИТИЕ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СИСТЕМЫ «БАЛКА - УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ»

«Так как древние, по словам Паппуса, придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики». Исаак Ньютон «Математические начала натуральной философии» [41].

Национальное законодательство Российской Федерации в сфере технического регулирования основано на Федеральном законе от 27.12.2002 № 184-ФЗ «О техническом регулировании» [1] и принимаемых в его развитие федеральных законов и нормативных правовых актов.

Техническое регулирование в области строительства осуществляется Федеральным законом от 30.12.2010 № 384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» [2], дополняемым требованиями государственных стандартов и сводов правил.

Установленные техническими регламентами [1, 2] обязательные требования к зданиям и сооружениям (далее - сооружениям) по минимизации негативных воздействий на окружающую среду и здоровье человека, направлены на обеспечение их комплексной безопасности [28, 30, 40]. Комплексная безопасность сооружений - состояние защищённости сооружений и находящихся в нём людей от всех возможных внешних и внутренних воздействий. Создание потенциала безопасности строительного объекта возможно только при совокупности проектных, организационно-технологических и управленческих решений. Проектным ресурсом необходимо обеспечить такой потенциал комплексной безопасности, который в дальнейшем должен быть обеспечен и поддержан на всех этапах жизненного цикла сооружений. Безопасность сооружений - такой же важный элемент национальной безопасности, как и ядерная, военная, энергетическая безопасности и др., потому что тяжесть последствий от аварий сооружений соизмерима с последствиями военных действий [50, 75].

Составной частью комплексной безопасности сооружений на всех стадиях их жизненного цикла является механическая безопасность. Механическая безопасность должна обеспечивать такое состояние строительных конструкций и основания сооружения, при котором отсутствует недопустимый риск, связанный с причинением вреда жизни или здоровью граждан, имуществу физических или юридических лиц, государственному или муниципальному имуществу, окружающей среде, жизни и здоровью животных и растений вследствие разрушения или потери

устойчивости сооружения или его части [2].

В настоящее время приобретает особую актуальность защита строительных объектов от прогрессирующего обрушения [17, 29, 77, 80, 81, 95] ввиду участившихся в последние десятилетия случаев воздействий на конструкции сооружений, непредусмотренных нормативной документацией и приводящих к их обрушению. Нередко аварии происходят внезапно, без видимых предупредительных симптомов. Современные системы контроля и возможности информационных технологий при мониторинге технического состояния пока что не позволяют получать сигналы об аварийном состоянии конструкций.

В современной строительной практике возникла необходимость учёта локальных разрушений, которые исторически редко рассматривались в процессе проектирования и исключались скорее системой мер безопасности, чем конструктивными решениями. В современных законодательных и нормативных документах введён новый подход к архитектурно-строительному проектированию, который направлен на повышение надёжности и безопасности строительных объектов за счёт обеспечения защиты от прогрессирующего обрушения зданий и сооружений вследствие локального разрушения [15, 49, 66]. Отказ несущей строительной конструкции или части её основания по любой неустановленной причине, рассматривается как гипотетическое или предположительное локальное разрушение, в результате которого происходит изменение конструктивной системы. Известно, что причиной локального разрушения могут являться не только взрыв, пожар, изменение свойств грунтов и прочие воздействия, но и выход строительной конструкции из строя из-за несоблюдения технологии и условий изготовления, неправильного проектирования, несоблюдения условий эксплуатации, т.е. в результате любой последовательности или совокупности человеческих ошибок или по другим, не установленным причинам, которые не зависят от таких ошибок.

Локальное разрушение не является нагрузкой или воздействием, оно учитывается в расчётной ситуации для обеспечения требований особой группы предельных состояний строительного объекта при проектировании защиты от прогрессирующего обрушения [77].

Причиной локального разрушения основания строительного объекта могут являться деформации основания, вызванные изменением физико-механических свойств грунта, сопровождающиеся снижением его прочностных характеристик в результате карстовых или карстово-суффозионных процессов; тепловых просадок, связанных с оттаиванием льдистых грунтов и залежей подземных льдов; замачивания просадочных грунтов или вследствие ошибок при производстве работ; нарушений правил эксплуатации сооружений; нарушений технологического процесса или поломки оборудования и возникающие по другим первопричинам.

В настоящее время разработаны различные методы расчётов конструктивных систем

совместно с основанием для определения в них усилий, деформаций, перемещений, условий прочности, а также их устойчивости при статических и динамических нагрузках, температурных, сейсмических и др. воздействиях. Следует отметить, что они разрабатывались преимущественно для учёта детерминированных нагрузок и воздействий при установившихся расчётных ситуациях, имеющих продолжительность, близкую к сроку службы строительного объекта. Основная часть таких расчётных методов апробирована на практике, широко освещена в научной литературе и регламентирована в соответствующих нормативных документах.

Для научного обоснования подходов к проектированию защиты от прогрессирующего обрушения и обеспечению механической безопасности сооружений необходимо решить большое число задач строительной механики. К таким задачам относится в том числе создание методов расчётов и построения математических моделей динамических процессов в балке на упругом основании при внезапном образовании недетерминированного локального разрушения основания и совершенствование существующих методик расчёта несущей способности изгибаемых балочных конструкций на упругом основании под действием статической и динамической нагрузок. В современной научной литературе решению выше отмеченных задач уделено пока ещё недостаточное внимание. Поэтому учёт влияния локального разрушения основания на напряжённо-деформированное состояние, связанной с ним конструкции, является актуальной задачей строительной механики и её решение обеспечит снижение уровня аварийности сооружений.

При изучении работы конструкций, взаимодействующих с деформируемым основанием, важной и определяющей проблемой является выбор модели основания, которая должна адекватно отражать свойства реальной среды и её влияние на напряжённо-деформируемое состояние конструкций.

В настоящее время усилиями большого числа исследователей создано много различных методов расчёта конструкций на деформируемом основании, свойства которых описываются разнообразными физическими моделями.

В создании этих методов ведущая роль принадлежит отечественным учёным -В.В. Болотину, В.З. Власову, Н.М. Герсеванову, М.И. Горбунову-Посадову, К.Е. Егорову, Б.Н. Жемочкину, В.А. Ильичеву, В.А. Киселеву, Г.К. Клейну, Б.Г. Кореневу, А.Н. Крылову, В.И. Кузнецову, Н.Н. Леонтьеву, П.Л. Пастернаку, Г.Э. Проктору, З.Г. Тер-Мартиросяну, В.И. Травушу, И.А. Симвулиди, А.П. Синицыну, Д.Н. Соболеву, А.А. Уманскому, М.М. Филоненко-Бородичу, В.А. Флорину, А.И. Цейтлину, Н.А. Цытовичу, И.М. Черкасову, О.Я. Шехтер и др.

Изучение работы конструкций на деформируемом основании ставит перед исследователями целый ряд проблем. Одной из важнейших и определяющих проблем является

выбор модели деформируемого основания, свойства которого описываются разнообразными физическими моделями.

Наиболее полные обзоры по расчёту конструкций на деформируемом основании представлены в трудах М.И. Горбунова-Посадова и Т.А. Маликовой [12], Б.Г. Коренева [31], С.Н. Клепикова [27] и др. Анализ наиболее распространённых моделей оснований выполнен И.И. Черкасовым [87]. Эти обзоры дают достаточно полное представление об общем состоянии проблемы расчёта конструкций, опирающихся на деформируемое основание. Поэтому, не касаясь всех аспектов этой обширной проблемы, из методологических соображений рассмотрим основные модели грунтового основания, получившие наибольшее распространение.

Первая наиболее простая модель грунтового основания была предложена в 1805 году русским академиком Н.И. Фуссом, более чем через 60 лет появилась близкая к ней модель Винклера [87]. Различие в этих моделях заключается в том, что в первом случае отпор грунта принимался пропорциональным невосстанавливающейся осадке основания, а во втором -упругой осадке.

В теории конструкций на деформируемом основании наиболее распространены априорные подходы к построению моделей основания. Они базируются на механических представлениях о деформациях основания, а эксперимент используется для подбора числовых параметров моделей.

Предположение об отсутствии осадок грунта за пределами конструкции привело исследователей к поискам моделей, обладающих распределительными свойствами.

Одной из них является описанная Г.Э. Проктором и К. Викгардтом модель упругого изотропного полупространства [109]. В этой модели поверхность грунта оседает как в пределах площади загрузки, так и за её пределами. С её введением появилась возможность рассчитывать осадки поверхности грунта за пределами фундамента, учитывать влияние соседних фундаментов и т.д. Однако экспериментально определяемые осадки штампов и прилегающей к ним поверхности грунта существенно меньше получаемых из решений соответствующих задач теории упругости, а изгибающие моменты оказываются больше действительных моментов в конструкциях. Решение практических задач с применением данной модели стало значительно сложнее, чем с применением модели Винклера [39].

Другой моделью с распределительными свойствами является модель упругого слоя, предложенная в 1933 г. К. Маргерром. Эта модель получила своё развитие благодаря работам К.Е. Егорова [19]. С её помощью можно получать более близкие к действительности значения расчётных усилий и осадок, особенно для слоя грунта, подстилаемого гораздо более плотным (либо скальным) основанием. В других случаях непосредственное определение высоты слоя может быть затруднительным, и для этих случаев под руководством К.Е. Егорова были

разработаны специальные рекомендации.

Широкое применение нашли комбинированные модели оснований. К ним относятся модели Б.Н. Жемочкина - А.П. Синицына [22] и И.Я. Штаермана [87]. Модели состоят из сжимаемого слоя конечной толщины, обладающего свойствами моделей Н.И. Фусса или Винклера и расположенного на упругом однородном полупространстве.

Двухпараметрические модели оснований, обладающие распределительными свойствами, описаны в трудах В.З. Власова - Н.И. Леонтьева [10], П.Л. Пастернака [46], М.М. Филоненко-Бородича [86].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Леонтьев Евгений Владимирович, 2021 год

/ // И

\\\ \ \ \

\ V

1 0

V 'у/ N Л

/у N ^

^ — - ■ — . — . — -г — - - —- —. _

--1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1-

О

<4

§

<4

О

(Ч

О "1

а во

а оэ

о ч •Ч-

а

Й

а

§

а

(я

■Л

-сплошное основание 1_ —5/61 —--3/4 1--2/3 1

Рисунок 4.4.6 - Коэффициент Ху при Ьр = 5,1

V, рад/с

г.\ \ / / V ( \\ \

и ■■ . / Г // \ . \ ч\ Ч

ч \ / / / \ ч,

\ > ■_. / — * > У * Ч V ч * ^

' ---- — — — * **

--1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1-

2,0 1,0 0,0

а

§ <ч

о

^ ^ 1Г»

■ сплошное основание 1_ — 5/6 Ь —'-3/4 1 ——2/3 1

о сп <ч

о

(N1

О '-Л ВЦ

а

ВЦ

О

Й

§

О

V, рэд/с

Рисунок 4.4.7 - Коэффициент Хм при Ьр = 5,1

Рассмотрим результаты расчётов. Во всех расчётных случаях значение коэффициента динамичности перемещений Лу в межрезонансных зонах действия вибрационной нагрузки в несколько раз меньше значения коэффициента динамичности изгибающих моментов Хм.

С увеличением длины среднего участка балки с исключаемым основанием при одинаковой приведённой длине балки Ьр уменьшаются значения коэффициентов Лу и Адо, и уменьшается ширина межрезонансных зон. С увеличением значения параметра Ьр при одинаковой длине исключаемой части основания увеличиваются значения коэффициентов динамичности Лу и Хм.

При исключении части упругого основания под серединой балки уменьшается частота собственных колебаний балки, но их значения не превышают значений частот из резонансной зоны балки на сплошном упругом основании, принятой 0,75-1,25 [24, 32].

При заданной схеме загружения резонансная зона для второй изгибной формы собственных колебаний расчётом не определена, одновременное действие двух вибрационных сил на концах балки и одной вибрационной силы в середине приводит к антирезонансу для второй формы колебаний.

При исключении части упругого основания средней части балки резонансные зоны коэффициентов динамических перемещений и изгибающих моментов уменьшаются с увеличением значения параметра Ьр для первой формы колебаний и увеличиваются для третьей формы.

4.4.3 Колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил

При исключении упругого основания средней части балки в случае учёта диссипативных сил и затухания колебаний в системе «балка - упругое основание» уменьшается амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. Для определения коэффициента динамичности А по формуле (3.84) выполнены расчёты с учётом логарифмического декремента затухания равного для железобетонных конструкций 5 = 0,3. Определено максимальное значение коэффициента динамичности равное Я=10,47 при у/ш1 = 1,0. Зависимость коэффициента динамичности Я от изменения отношения у/ш1 представлена на рисунке 4.2.11.

4.4.4 Колебания балки на упругом основании с односторонними связями

Рассмотрим теперь случай односторонних связей с упругим основанием той же балки.

На рисунке 4.4.8 построены поверхности динамических прогибов и изгибающих моментов балки для периода вынужденных колебаний Т = 2п/у = 0,039 с при двусторонней связи между балкой и упругим основанием.

Прогиб, м

Изгибающий момент, х10 кНм

0,00150 0,00120 0,00090 0,00060 0,00030 0,00000 -0,00030 -0 00060 -000090 -0,00120 -СС00150

ДЛИНА, М

а) поверхность прогибов

ДЛИНА, М

б) поверхность изгибающих моментов

Рисунок 4.4.8 - Балка с двусторонними связями с основанием при исключении упругого основания средней части

По результатам расчётов определено, что при действии трёх вибрационных сил за полный период колебаний балки возможен отрыв от упругого основания левого и правого концов балки

или средней её части, в зависимости от времени действия амплитудного значения вибрационных сил при заданной частоте.

При отрыве средней части балки от основания вычислены максимальные значения динамических прогибов при односторонних и двусторонних связях с основанием за половину периода колебаний в интервале 0,275^0,294 с (рис. 4.4.10).

Изгибающий момент, х10 кНм

63,00 54,00 45,00 36,00 27,00 18,00 9,00 0,00 -9,00

Изгибающий момент, х10 кНм

ДЛИНА, М

I

а) двусторонние связи с основанием Рисунок 4.4.10 - Балка при исключении упругого основания средней части

длина, м

б) односторонние связи с основанием

Определено, что длина отрыва средней части балки от упругого основания равна 7,38 м и 5,76 м при двусторонних связях с основанием с коэффициентом постели го=50 и 5 МН/м3 соответственно. Далее, значения динамических перемещений и внутренних усилий балки вычислены с учётом отрыва средней части балки при односторонних связях с упругим основанием, результаты расчётов представлены в таблице 4.4.4.

Таблица 4.4.4 - Результаты расчёта балки при исключении упругого основания под средней частью с учётом отрыва от основания левой части

Параметр балки Односторонние связи Двусторонние связи отрыв Утах Утах мотрыв тах Мщах отрыв Чтах Qmax

отрыв Утах ' м мотрыв тах > кНм .-.отрыв Чтах > кН Утах, м Мщах, кНм Qmax, кН

Lp = 2,2 0,00012 279,8 90,8 0,00012 285,4 90,8 1 0,98 1

Lp = 3,86 0,00026 514,8 109,7 0,00050 618,6 121,9 0,52 0,83 0,89

Из таблицы 4.4.4 определено, что при односторонних связях балки с основанием

уменьшаются значения динамических перемещений и внутренних усилий балки при исключении упругого основания средней части и по сравнению с балкой, расположенной на сплошном упругом основании.

4.5 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части, действии вибрационной нагрузки и присоединённой массы

Рассмотрим ту же балку, состоящую из трёх участков (рис. 4.5.1), к которым приложим в точках ^ = 0,1 (м), dз = 5Ь/2 и = уЬ — 0,1 (м) три массы т1 = т2 = т3 = 1019,4 кг.

У'!«) }У2(0 J

О

Рисунок 4.5.1 - Балка с присоединёнными массами при действии вибрационных сил и изменении условий опирания средней части

4.5.1 Собственные частоты и формы колебаний балки с присоединёнными массами

на упругом основании при изменении условий опирания средней части

Определим собственные частоты и формы поперечных колебаний балки с присоединёнными массами т1, т2 и т3, расположенной на упругом основании, при изменении условий опирания на основание средней части балки.

Как и прежде, корни частотного уравнения для части балки на упругом основании обозначим , а для части без основания - Примем значения параметра приведённой длины балки Ьр = 2,2 и 3,86 для коэффициента постели упругого основания: г0 = 5 и 50 МН/м3, соответственно. Длина части балки на упругом основании при а = у равна (аЬ + у1) = (3/4)Ь, а длина части балки без основания 5Ь = (1/4) Ь.

Результаты определения корней частотного уравнения и частот собственных поперечных колебаний балки представлены в таблице 4.5.1 для первых четырёх форм колебаний балки.

По результатам расчётов определено, что в случае присоединения трёх масс т1, т2 и т3 к балке частота собственных поперечных колебаний уменьшается по сравнению с аналогичными значениями частоты балки без присоединённый массы, т.е. колебания совершаются медленнее. Для балки с присоединёнными массами т1, т2 и т3 при исключении упругого основания средней части частота собственных поперечных колебаний уменьшается.

Для балки с присоединёнными массами и с параметром Ьр = 2,2 (г0=5 МН/м3) при исключении основания средней части корни ^ и , соответствующие нулевой форме колебаний

не определены, первая вычисленная частота соответствует первой изгибной форме колебаний.

Для балки с присоединёнными массами и с параметром Ьр = 3,86 (го=50 МН/м3) при исключении основания средней части корни ^ и соответствующие нулевой и первой изгибной форме колебаний также не определены, первая вычисленная частота соответствует второй изгибной форме колебаний.

Таблица 4.5.1 - Корни и угловые частоты собственных поперечных колебаний балки с параметрами Ьр = 2,2 и 3,86 с присоединённой массой на сплошном упругом основании и при исключении упругого основания средней части _

Форма колебаний Упругое основание го=50 МН/м3 Упругое основание г0=5 МН/м3

сплошное Ь слева и справа (а1 + у1) = (3/4) 1 сплошное Ь слева и справа (а1 + у1) = (3/4)1

рад/с К1 рад/с рад/с рад/с

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 - - - - - - - - - -

1 - - - - - 0,2109 66,07 0,2054 0,2264 63,70

2 0,3589 217,26 0,3815 0,4149 214,03 0,3913 193,73 0,3909 0,3945 193,35

3 0,5330 371,24 0,5311 0,5447 368,83 0,5363 359,36 0,5361 0,5375 359,09

Далее, используя вычисленные значения корней х^ и (табл. 4.5.1), построены формы колебаний балок для принятых в расчёт параметров Ьр = 2,2 и 3,86 при длине части без основания 81 = (1/4)1 (рис. 4.5.2.).

Значение первого корня соответствуют первой изгибной форме колебаний (сплошная линия чёрного цвета), вторая изгибная форма колебаний соответствует второму корню (штрихпунктирная линия красного цвета с двумя точками), третья изгибная форма колебаний соответствует третьему корню (штрихпунктирная линия синего цвета).

•2 •3

.. 11___

Л У

/ IX

'•Ч ?

•г* . ' *--* " ^ .

■ \'ч / \

ч Л А

V ч V ✓ *

0,0 3,6 7.2 10,8 14,4

— ■ 2 форма — - "3 форма

,3

18,0 0,0

3,6 -1 форма

7,2 10,8 14,4 18,0

— ■ 2 форма - ■ -3 форма

,3

а) основание го=50 МН/м3 б) основание г0=5 МН/м3

Рисунок 4.5.2 - Формы колебаний балки на упругом основании Определено, что формы колебаний балки при исключении упругого основания средней части и балки на сплошном упругом основании тождественны. При условии равенства частот

собственных колебаний разных частей балки с присоединёнными массами изгибные формы колебаний начинаются со второй формы для балки с параметром Ьр = 3,86, а для балки с параметром Ьр = 2,2 с первой изгибной формы.

4.5.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий

опирания средней части, действии вибрационной силы и присоединённой массы

Рассмотрим действие на ту же балку с присоединёнными массами т1, т2 и т3 собственного веса балки и трёх вибрационных сил ^(£) = Р2&) = Fз(t) = 100sinYt (кНм), приложенных в точках й2 = 0,1 м, d4 = 5Ь/2 (м) и d6 = уЬ — 0,1 (м) (рис. 4.5.1)

Построим графики изменения коэффициентов динамичности перемещений Лу (3.3) и коэффициентов динамичности изгибающих моментов Лм (3.4) для первых трёх изгибных форм колебаний.

В расчётах учтём, что вибрационные силы F1(t) = Р2&) = Fз(£) (рис. 4.5.1) действуют с частотой вынужденных колебаний у в интервале от 40 до 600 рад/с с шагом 5 рад/с при двусторонних связях балки с упругим основанием при г0=5 МН/м3 (Ьр = 2,2); в интервале от 115 до 600 рад/с для балки на упругом основании с г0=50 МН/м3 (Ьр = 3,86) и в интервале от 200 до 600 рад/с для балки на упругом основании с г0=150 МН/м3 (Ьр = 5,1). Длину части балки на упругом основании примем аЬ = (5/6) (3/4) (2/3) Ь, а длину части балки без основания 81 = (1/6) I; (1/4) I; (1/3) I.

На рис. 4.5.3 - 4.5.8 построены графики изменения коэффициентов Лу и Лм. Сплошной линией чёрного цвета построены значения коэффициентов динамичности для балки, расположенной на сплошном упругом основании, штриховой линией красного цвета - при исключении основания средней части балки длиной 5Ь = (1/3) Ь, штрихпунктирной линией синего цвета - 5Ь = (1/4) Ь и штрихпунктирной линией с двумя точками зелёного цвета -5Ь = (1/6) I.

Рассмотрим результаты расчётов.

Во всех расчётных случаях значение коэффициента динамичности перемещений Лу в межрезонансных зонах действия вибрационной нагрузки в несколько раз меньше значения коэффициента динамичности изгибающих моментов Хм.

С увеличением длины средней части балки при исключении упругого основания при одинаковой приведённой длине балки Ьр уменьшаются значения коэффициентов динамичности Лу и Лм и уменьшается ширина резонансных зон. С увеличением значения параметра Ьр при одинаковой длине средней части балки увеличиваются значения коэффициентов динамичности Лу и Лм.

0,050

0,025

0,000

J

1,5

1,0

0,5

0,0 J

я-v |\

\

\\ чч А i

--1— -1— —1— ч —1— —1— —1— —1— —1— —1— —1— —1— —1— —1— —-I—

о ч

s

о

SS

о

0

01

о ч

ty> (У) ГР| v

•сплошное основание L —■■ 5/6 L —--3/4L--2/3 L

3

fN

О

u-i

IN

О

00 fN

О м-

«J

£

о ч

о о Ч

О On

ч

о

о ад

V, рад/с

Рисунок 4.5.3 - Коэффициент Ху при = 2,2

т 'А / 1 и Г---

\\ / 1 \

/ * > \ \ ч / ' 1 \

1 \ / \

■— __ 4V --

-—+— —t— —t— —1— —1— —1— —1— —(- —1— —1— —)— —)— —1— —)— —)— —"

а

Q

8

а

oi

о

<4 <4

Q <4

Q

00 <N

О ч

а ч

ГП

R

«I

Ч

§ ч

о ч

а

Q

Lfl Lfl

а

аэ

Lfl

■ сплошное основание L —•• 5/6L —*-3/4L —— 2/3L

V, рад/о

Рисунок 4.5.4 - Коэффициент Хм при = 2,2

0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000

£

1,5

1,0 -

0,5

i\ \ к Ц

/Ё L

/■J ¡Г 1

1 1

; i

\\ ч Ч^ 1 Й 1 \

\ 44 V

1 u\4

•С — — ■ ——

А-1- —1— —1— —1— —1— —1— —1— —i— —1— —1— -1— —1— —^— =3—

3

ffi

Ln LTj LT) Irs

О ГГ) ^ OV <N

(Nj f\j frj

— сплошное основание L

В

00

1Л

3

a

-Г-ЗМТ

1У1 U1 IT]

n-1 01

1У1 ui , ui

v, рад/с

Рисунок 4.5.5 - Коэффициент Лу при Lfi = 3,86

СГ) LT| СП tj-j IT) LT]

О I*) 01 ГЧ U1 «5

(\j ГМ ГМ l\| ГГ1 ГГ] \f ^ Lfl Lfl L0/>J

-сплошное основание L — • • 5/6 L — • -3/4 L--2/3 L V, рад/сг

Рисунок 4.5.6 - Коэффициент Хм при LP = 3,86

1,000 0,750 0,500 0,250 0,000

я н

? 41

// '/ I1

У / / 1\\

Ч \ 0

ч ч \\ ' Ч ^

■ - . . - ■ у >

--1— -!- -1- -\- -1- —\— -1- -\— —I— -4- ■ ¿и"— -1-■

а

а ад

о

ч ч ч 41

■ сплошное основание I — • ■ 5/61 — - - 3/4 I. — — 2/3 I

о

§

о

41

О «3

а Ч ч

ч

§ 41

О О! 41

V, рад/с

Рисунок 4.5.7 - Коэффициент Ху при Ьр = 5,1

0,5

0,0

// п ' // \ 1 1 ■ \ л \ \

// / \\\ Ч^

- -1- -1- -1- -1- -1- -1- -1- > -1- -1- -1- -1- -1- -1-

о

г\1

§ <4

О

Ч Ч Ч 41

■ сплошное основание 1_ — • ■ 5/61 — ■ -3/41--2/3 1

0

01 <ч

о

<ч "1

а

41

а "1

а

т ч

Й ч

§ 41

0

01 41

V, рзд/с

Рисунок 4.5.8 - Коэффициент Ам при Ьр = 5,1

Для первой формы колебания балки присоединение к ней дополнительных масс привело к явлению антирезонанса, так как точки d3 и d4. в середине балки, к которым приложены вибрационная сила Р2 (0 и присоединённая масса т2 остаются неподвижными (значения прогиба изменяются за период колебаний только на ± 0,03 мм для балки с параметром Ьр = 3,86), а остальные точки оси балки совершают колебания (рис. 4.5.9). С уменьшением жёсткости основания явление антирезонанса затухает и для балки с параметром Ьр = 2,2 на основании с г0=5 МН/м3 уже отсутствует.

плппяп

Длинзбалки, ал „-

Рисунок 4.5.9 - Поверхность прогибов балки с параметром Ьр = 3,86 за период вынужденных

колебаний на упругом основании длиной 0,75 Ь

При заданной схеме загружения резонансная зона для второй изгибной формы собственных колебаний расчётом не определена, одновременное действие двух вибрационных

сил на концах балки и одной вибрационной силы в середине приводит к антирезонансу для второй формы колебаний для параметров приведённой длины балки Ьр = 3,86 и 5,1. Приложение к балке дополнительных присоединённых масс можно рассматривать как гаситель колебаний.

4.6 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части и действии внезапно приложенной силы

Определим перемещения балки со свободными концами, расположенной на упругом винклеровском основании, при исключении упругого основания под правой частью балки и действии внезапно приложенной силы в изменившейся расчётной схеме системы «балка - упругое основание» (рис. 4.6.1).

ч I р

у\ г0 аЬ а дЬ

Ь

Рисунок 4.6.1 - Балка при исключении упругого основания правой части и действии внезапно приложенной силы

Расчёт выполним с целью определения влияния на напряжённо-деформированное состояние балки изменения условий опирания на упругое основание правой части балки длиной 5Ь при действии собственного веса балки q0 = 46 кН/м и внезапно приложенной в точке d = 5Ь вертикальной сосредоточенной силы Р = 100,0 кН. Длина левой части балки на основании аЬ = (5/6) I; (3/4) I; (2/3) длина части балки без основания 81 = (1/6) I; (1/4) I; (1/3)

Исходные данные для расчёта соответствуют принятым в параграфе 4.2 настоящей главы. Коэффициент постели упругого основания г0 = 50 МН/м3, значение параметра приведённой длины балки системы «балка - упругое основание» Ьр = 3,86. Дополнительно выполним расчёт той же балки, расположенной на сплошном упругом основании.

4.6.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии внезапно приложенной силы

Определим собственные частоты и формы поперечных колебаний балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части. Поскольку после внезапного приложения силы Р её масса остаётся на системе «балка - упругое основание» корни частотного уравнения и частоты собственных поперечных колебаний балки определим с учётом изменения полной массы балки из условия равенства частот собственных колебаний двух частей балки, на

упругом основании aL и без основания SL. Количество учитываемых форм колебаний, принятых в расчёте, определено частотой собственных колебаний системы «балка - упругое основание», содержащейся в усечённом спектре длиной 25^, где - первая изгибная частота.

Результаты определения собственных частот представлены в таблицах 4.6.1-4.6.4.

4.6.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии внезапно

приложенной силы с учётом диссипативных сил

При действии собственного веса балки q0 и внезапно приложенной в точке d силы Р определим перемещения в двух точках балки: в середине балки при х = 9,0 м и на правом конце балки при х = 18,0 м. Наибольшие динамические перемещения системы «балка - упругое основание», вызванные внезапно приложенной силой, при изменении условий опирания правой части балки вычислим по формуле (3.59) приняв cos Wjt = — 1, т.е. при t = n/^j = Tj/2 для j = 1. Перемещения в элементах конструкции, возникающие под действием статических нагрузок, определим, используя решения главы 2.

Результаты определения прогибов представлены в таблицах 4.6.1 - 4.6.4.

Таблица 4.6.1 - Перемещения балки с параметром = 3,86 на сплошном упругом основании при действии внезапно приложенной силы

Форма колебаний, j Статический прогиб Динамический прогиб

По формуле (3.57) Метод конечных элементов

уМ, мм Uj, рад/с УМ, мм Uj, рад/с уМ , мм

х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м

1 0,71 1,44 131,84 0,0922 0,0444 132,00 0,0916 0,0439

2 237,4 0,0111 0,0277 238,59 0,0101 0,0257

3 436,29 0,0119 0,0066 438,66 0,0111 0,0059

4 716,61 0,0011 0,0017 720,16 0,001 0,0017

5 1074,95 0,0014 0,0006 1079,27 0,0014 0,0005

^уО) 0,118 0,081 ^уМ 0,115 0,078

Таблица 4.6.2 - Перемещения балки с параметром = 3,86 при исключении упругого основания правой части балки длиной 5Ь = (1/6) Ь при действии внезапно приложенной силы

Форма колебаний, j Статический прогиб Динамический прогиб

По формуле (3.57) Метод конечных элементов

У( х), мм Vj, рад/с УМ, мм Vj, рад/с У(х] , мм

х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м

1 0,73 5,38 130,97 0,0859 0,0398 131,15 0,0870 0,0403

2 235,89 0,0121 0,0284 237,1 0,0111 0,0268

3 434,62 0,0120 0,0066 436,98 0,0113 0,0062

4 715,31 0,0011 0,0017 718,73 0,0010 0,0017

5 1073,80 0,0014 0,0006 1078,28 0,0014 0,0005

^уМ 0,113 0,077 ^уМ 0,112 0,076

Форма колебаний, 3 Статический прогиб Динамический прогиб

По формуле (3.57) Метод конечных элементов

У( х), мм ^, рад/с у(х), мм ^, рад/с У(х) , мм

х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м

1 1,09 9,71 128,57 0,1014 0,0614 128,77 0,0997 0,0610

2 232,46 0,0152 0,0330 233,69 0,0139 0,03

3 432,81 0,0125 0,0070 435,13 0,0115 0,0063

4 714,76 0,0011 0,0018 718,31 0,0011 0,0017

5 1073,80 0,0015 0,0006 - - -

^уМ 0,132 0,104 0,126 0,099

Таблица 4.6.4 - Перемещения балки с параметром = 3,86 при исключении упругого основания правой части балки длиной 8Ь = (1/3) Ь при действии внезапно приложенной силы

Форма колебаний, 3 Статический прогиб Динамический прогиб

По формуле (3.57) Метод конечных элементов

у(х], мм ^, рад/с у(х], мм ^, рад/с У(х) , мм

х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м

1 2,16 16,53 124,22 0,0871 0,0744 124,39 0,0864 0,0735

2 229,08 0,0186 0,0339 230,26 0,0167 0,0319

3 432,40 0,0123 0,0068 434,81 0,0119 0,0065

4 714,2 0,0012 0,0018 - - -

5 1072,89 0,0015 0,0006 - - -

^уМ 0,121 0,117 0,115 0,112

Используя полученные результаты, вычислим значения коэффициентов динамичности перемещений Ху при исключении упругого основания правой части балки и действии внезапно приложенной силы. Результаты расчётов представлены в таблице 4.6.5.

Таблица 4.6.5 - Коэффициент динамичности перемещений Ху балки с параметром = 3,86 при исключении упругого основания правой части и действии внезапно приложенной силы

Параметр системы «балка -основание Коэффициент Сплошное основание Исключение основания под правой частью балки

81 = (1/6) 1 81 = (1/4) 1 81 = (1/3) 1

у(х], мм у(х], мм у(х], мм у(х), мм

х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м х =9 м х =18 м

Ьр = 3,86 Лу 0,166 0,056 0,155 0,014 0,121 0,011 0,056 0,011

По результатам выполненных расчётов определено, что при исключении упругого основания правой части балки и действии внезапно приложенной силы перемещения значительно меньше перемещений от статической нагрузки. Значения динамических перемещений составили не более 1/40000 пролёта, что в соответствии с [32] позволяет не рассчитывать балку на прочность и выносливость.

Анализ результатов расчётов, выполненных при аналитическом решении по формуле

(3.59), и, выполненных с применением ПК, реализующего метод конечных элементов, свидетельствует, что относительная погрешность вычислений не превышает для собственных частот поперечных колебаний - 0,5 %, для перемещений - 4,76 %.

4.7 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части и действии внезапно приложенной силы

Определим перемещения той же балки со свободными концами, расположенной на упругом винклеровском основании, при исключении упругого основания под средней частью балки и действии внезапно приложенной силы в изменившейся расчётной схеме системы «балка - упругое основание» (рис. 4.7.1).

ГТ

Гр aL d L 'Ш///ЖШ/Л ro У1

L

Рисунок 4.7.1 - Балка при исключении упругого основания средней части и действии внезапно приложенной силы

Расчёт выполним с целью определения влияния на напряжённо-деформированное состояние балки изменения условий опирания на упругое основание средней части балки длиной 5Ь при действии собственного веса балки q0 и внезапно приложенной в точке d = 5Ь/2 вертикальной сосредоточенной силы Р. Длина частей балки на основании при а = у равна (а + у)1 = (5/6) ¿;(3/4) Ь и (2/3) длина части балки без основания

81 = (1/6) I; (1/4) I; (1/3) I.

Исходные данные для расчёта соответствуют принятым в параграфе 4.6 настоящей главы. Дополнительно выполним расчёт той же балки, расположенной на сплошном упругом основании.

4.7.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии