Когерентные свойства и селективная по уровням спектроскопия основного состояния в ансамбле ультрахолодных атомов тулия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Першин Даниил Александрович

• Першин Даниил Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Першин Даниил Александрович

1.1 Цель и актуальность работы

1.2 Защищаемые положения

1.3 Структура работы и используемые обозначения

2 Теоретический обзор

2.1 Основное состояние атома тулия

2.2 Эффект Зеемана и сверхтонкое расщепление

2.2.1 Матричные элементы зеемановского взаимодействия

2.2.2 Матричные элементы сверхтонкого взаимодействия

2.2.3 Стационарные состояния с промежуточными значениями проекции полного момента

2.2.4 Стационарные состояния с максимальным модулем проекции полного момента

2.2.5 Линейный эффект Зеемана

2.2.6 Адресация микроволновых переходов

2.3 Переходы между состояниями, принадлежащими одной сверхтонкой структуре

2.3.1 Типы разрешенных переходов

2.3.2 Матричные элементы магнитных дипольных переходов

2.4 Динамика двухуровневой системы, осцилляции Раби

2.4.1 Система уравнений на амплитуды вероятности

2.4.2 Случай линейной поляризации магнитного поля

2.4.3 Случай круговой поляризации магнитного поля, правила отбора по поляризации

2.5 Сфера Блоха

2.5.1 Определение

2.5.2 Динамика вектора Блоха, уравнение прецессии

2.6 Динамический эффект Штарка

2.6.1 Описание поля плоской монохроматической электромагнитной волны

с помощью комплексного вектора поляризации

2.6.2 Классическая модель динамического эффекта Штарка

2.6.3 Квантовая модель динамического эффекта Штарка

3 Экспериментальная установка

3.1 Вакуумная камера

3.1.1 Вакуумная часть печи

3.1.2 Вакуумная часть зеемановского замедлителя

3.1.3 Основная вакуумная камера

3.2 Магнитные катушки

3.3 Лазерное охлаждение тулия

3.4 Оптическая дипольная ловушка

3.4.1 Основные параметры пучков оптической дипольной ловушки

3.4.2 Оптическая схема

3.4.3 Характеризация потенциала оптической дипольной ловушки

3.5 Детектирование атомов

3.5.1 Оптическая схема

3.5.2 Пространственное разрешение системы детектирования

3.5.3 Определение пространственного распределения плотности атомов

3.5.4 Определение количества атомов и их пространственного распределения

3.5.5 Калибровка КМОП-камеры по интенсивности

3.5.6 Детектирование атомов при произвольной ориентации внешнего магнитного поля

3.5.7 Детектирование атомов в рамках микроволновой спектроскопии

4 Микроволновая спектроскопия

4.1 Калибровка магнитного поля с помощью зеемановских переходов

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Способы калибровки с помощью магнитного датчика

4.1.3 Калибровка магнитного поля с помощью зеемановских переходов

4.2 Система генерации микроволнового излучения

4.2.1 Первая версия антенны

4.2.2 Вторая версия антенны

4.2.3 Измерение амплитуды переменного магнитного поля, создаваемого второй версией антенны

4.3 Калибровка постоянного магнитного поля с помощью микроволновых переходов

4.3.1 Определение частоты перехода с помощью резонанса потерь

4.3.2 Калибровка магнитного поля с помощью микроволновых переходов

4.4 Управление внутренними состояниями тулия

4.4.1 Переселение атомов с помощью ж -импульсов

4.4.2 Измерение времени жизни ансамбля атомов в состоянии = 3, тР = —3)

4.4.3 Переселение атомов в состояние = 4, тР = —3) двумя каскадными

ж -импульсами

4.5 Изучение процессов дефазировки в ансамбле атомов тулия

4.5.1 Измерение времен дефазировки

4.5.2 Модель процесса дефазировки за счет оптической дипольной ловушки

5 Заключение

6 Благодарности

7 Список сокращений и условных обозначений

8 Список литературы

1 Введение

Всю свою историю человечество изучало окружающий мир. Во многих случаях это стремление вполне естественно объясняется исключительно прагматическими целями, но иногда имеет место и проявление любопытства, возникшего, скорее всего, эволюционным путем. Данный процесс происходит и в настоящее время, однако естественнонаучных вопросов становится только больше: чем больше объем знаний - тем больше площадь его границы, на которой неизбежно возникают вопросы.

Важной вехой в познании природы стали труды Ньютона, показавшие, что природные явления можно крайне точно описать на языке математики. С тех пор поиск и формулировка фундаментальных законов природы на языке математики стали основными задачами натуральной философии. В решении данной задачи человечество крайне преуспело за последние столетия. Были открыты законы механики, оптики, электричества и магнетизма, систематизировавшие и расширившие накопленные на тот момент знания о природе. Были обнаружены фундаментальные статистические законы термодинамики, позволяющие описывать сложные макроскопические объекты небольшим набором физических величин. Была разработана Общая теория относительности, разрешившая ряд скопившихся парадоксов классической физики и уточнившая наше понимание пространства и времени. Была открыта атомная структура вещества, что позволило представить любое тело в виде набора элементарных частиц. Сформировавшаяся затем Квантовая механика стала основным инструментом для описания взаимодействия частиц, что позволило объяснить большой спектр физических явлений.

Математический язык оказался невероятно емким для описания природных явлений: в основе всех физических теорий лежит небольшой набор предположений, которые, будучи сформулированы на языке математики, способны заключить в себя информацию о состояниях реальных физических объектов и предсказать их дальнейшую эволюцию. Таким образом, на данный момент человечеством осознан основной ряд правил, по которым живет Вселенная. Однако оказалось, что одного знания "правил игры" недостаточно: составить математическую модель не означает решить задачу и расширить свои знания о мире. Сами по себе математические законы, записанные, например, в виде уравнений, не дают ответы на интересующие вопросы, хотя и содержат в себе искомую информацию.

Зачастую математическая модель может иметь аналитическое решение: ответ может быть представлен в виде комбинации хорошо изученных математических функций, благодаря чему без особых усилий можно получить конечные значения физических величин с необходимой

точностью. Развитие вычислительных технологий и методов математического моделирования предоставило новые инструменты для решения более сложных задач, для которых аналитическое решение найти не удается. Однако для решения ряда задач численный расчет с помощью классических компьютеров оказывается крайне неэффективным ввиду необходимости большого количества вычислительных операций и большого объема требуемой памяти. Особенно сильно данная проблема выражается при решении задач, с увеличением размерности которых (например, с увеличением числа частиц в задаче) количество описанных выше вычислительных ресурсов растет экспоненциально (при использовании известных на данный момент алгоритмов). К сожалению, большой спектр актуальных задач современной физики обладает такой сложностью.

Наличие столь сложных физических задач, с одной стороны, является большой преградой на пути познания мира, но, с другой стороны, наводит на мысль, что сами по себе физические процессы содержат потенциал к "решению" подобных задач. Тот факт, что мы не располагаем такими инструментами, вовсе не означает, что их нет в природе.

По большему счету, любой из доступных человеку способов решения физических задач есть имитация физического процесса, результаты которой доступны к осознанию. Данной имитацией может служить абстрактная математическая модель, находящаяся в голове у исследователя или, например, вычислительный процесс, происходящий в компьютере. Различные способы подобной имитации могут в разной степени подходить к конкретным физических процессам. Наличие же нерешенных задач в физике говорит скорее не о том, что данные задачи сложны сами по себе, а о том, что мы не нашли эффективного способа имитации подобных процессов.

Большой спектр сложных для вычисления задач относится к области квантовой механики. Это неудивительно, поскольку имитация квантового процесса с помощью классического, хотя и возможна на определенном уровне, является весьма неэффективной ввиду совершенно различной природы реального процесса и его имитации. Основную проблему представляет явление квантовой запутанности [1], которая по установившему мнению научного сообщества не может быть эффективно сымитирована классическими процессами: добавление еще одной запутанной частицы в систему приводит к экспоненциальному возрастанию требуемых вычислительных ресурсов. Очевидным решением была бы имитация квантового процесса другим квантовым процессом. Данная мысль начала зарождаться во второй половине 20-ого века и получила оформление в знаменитой лекции Ричарда Фейнмана в 1981 году [2]. В ней в общих чертах была обозначена концепция устройства, способного имитировать квантовые процессы на квантовом уровне. Данная машина была названа квантовым симулятором.

Квантовый симулятор - устройство, позволяющее изучать поведение какой-либо сложной квантово-механической системы путем ее имитации с помощью другой, искусственно созданной, квантово-механической системы. Если между гамильтонианами исследуемой и искусственной систем можно установить математическое соответствие, то представляется возможным и определить связь между эволюциями этих систем (а также и их стационарными состояниями). Эволюцию искусственной системы можно изучать путем ее подготовки в определенном известном состоянии в начальный момент времени и дальнейшем измерении ее состояния в последующие моменты времени. Используя математическую связь, указанную выше, можно установить эволюцию исследуемой системы по эволюции искусственной системы. Таким образом, составной частью квантового симулятора является искусственная квантово-механическая система, способная имитировать реальную систему; квантовый симулятор должен обладать возможностью подготовки (инициализации) искусственной системы в определенном известном начальном состоянии (или иметь возможность каждый раз заново создавать идентичную систему) и производить измерение состояния системы (или характеризующих ее физических величин) в последующие моменты времени.

Развитие идеи, озвученной Фейнманом, привело к формированию концепции универсального квантового компьютера - машины, способной к решению произвольной задачи, в основе которой напрямую используются квантовые процессы. Вскоре, Д. Дойчем [3] (в 1992 году) и П. Шором [4] (в 1994 году) были обнаружены алгоритмы, осуществимые на квантовом компьютере и обладающие значительным превосходством над известными классическими аналогами. В 1996 С. Ллойд предложил способ имитации произвольной квантовой системы с помощью последовательности элементарных квантовых операций, которыми должен обладать универсальный квантовый компьютер [5] (т.н. цифровой квантовый симулятор). Таким образом, был найден универсальный рецепт для эффективной имитации квантовых систем.

В заключении своей статьи Ллойд предположил, что совсем скоро начнется эпоха цифровых квантовых симуляций и мы наконец получим эффективный инструмент для решения сложных задач квантовой механики. Однако столь оптимистичный прогноз не сбылся. Создание платформы для такого рода симуляций - универсального квантового компьютера - оказалось крайне сложной технической задачей. На данный момент ведутся работы по созданию квантового компьютера на базе сверхпроводников [6], ультрахолодных ионов [7] и атомов [8], фотонов [9] и др., однако ни один из этих подходов пока еще не развился до состояния, пригодного для осуществления актуальных цифровых квантовых симуляций.

Выходом из сложившейся ситуации может служить возвращение к истокам идеи квантового симулятора, предложенной Р. Фейнманом: отказаться от универсального цифрового

квантового симулятора и попытаться создать аналоговый квантовый симулятор, способный имитировать определенный ряд процессов напрямую. Данная идея оказалась значительно более простой в осуществлении, и на текущий момент было разработано множество подобных машин, позволивших решить часть актуальных проблем квантовой механики [10].

Одной из зарекомендовавших себя платформ аналогового квантового симулятора являются ультрахолодные атомы в оптических решетках [11]. Взаимодействие атомов, находящихся в отдельных узлах решетки, слишком слабо (атомы предполагаются находящимися в основном состоянии). Это, на первый взгляд, не позволяет обеспечить какую-либо квантовую запутанность отдельных частиц, без чего такой симулятор не будет способен имитировать сложные процессы. Однако взаимодействие атомов, находящихся в одном узле, может достигать достаточных значений. Если, например, энергии атомов малы по сравнению с энергией их взаимодействия, которое, в свою очередь, носит отталкивающий характер, то туннелирование частицы в уже занятый узел будет невозможно. Этот эффект позволяет отдельным атомам "почувствовать" присутствие друг друга. Эволюция такой системы может приводить к большой степени квантовой запутанности, что потенциально позволяет использовать данную систему для имитации актуальных задач квантовой механики [12-16].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентные свойства и селективная по уровням спектроскопия основного состояния в ансамбле ультрахолодных атомов тулия»

1.1 Цель и актуальность работы

Данная работа была выполнена в рамках разработки аналогового квантового симулятора на основе ультрахолодных атомов тулия-169. С точки зрения квантовых симуляций тулий-169 обладает рядом полезных особенностей: резонансами Фано-Фешбаха в слабых магнитных полях [17], метастабильным уровнем [Хе]4/13 2 (2 1Р°п) [18], большой массой (что в

определенных случаях является преимуществом), а также сверхтонким расщеплением. Наличие сверхтонкого расщепления позволяет реализовать управление основным состоянием тулия-169 с помощью внешнего микроволнового (ультравысокочастотного) излучения, чему и посвящена данная работа.

Манипулирование состоянием атома с помощью микроволн является мощным инструментом для реализации квантового симулятора. Оно позволяет использовать в симуляции атомы, находящиеся в различных внутренних состояниях, в том числе суперпозиционных, а также обеспечивает возможность считывать эти состояния. Микроволновое излучение может быть использовано для измерения амплитуды постоянного внешнего магнитного поля, действующего на атомы, характеризации оптических пучков [19], исследования межатомных взаимодействий [20], Микроволновое излучение позволяет создавать ловушки с экзотическими

потенциалами [21] и используется в ряде методов охлаждения атомов [22; 23]. В то же время, микроволновое излучение может применяться для формирования и диссоциации слабосвязных (фешбаховских) молекул [24]. Таким образом, методы микроволновой манипуляции являются важной составной частью квантового симулятора на ультрахолодных атомах и могут применяться как непосредственно для самих симуляций, так и на этапах подготовки атомов, а также в ряде отладочных экспериментов.

Основными целями диссертационной работы являются:

1. Реализация методов управления основным состоянием ультрахолодного тулия-169 за счет переходов между подуровнями, принадлежащими различным сверхтонком уровням основного состояния данного атома.

2. Прецизионное измерение постоянного магнитного поля, действующего на ультрахолодные атомы тулия-169, с помощью методов спектроскопии в высокочастотном (ВЧ) и ультравысокочастотном (УВЧ) диапазонах.

Для достижения поставленных целей был сформулирован ряд научно-технических задач, решаемых в данной работе:

1. Разработка, изготовление и отладка системы возбуждения электромагнитных волн УВЧ диапазона (на частоте сверхтонкого расщепления основного состояния тулия-169) внутри вакуумной камеры, используемой в экспериментальной установке.

2. Наблюдение перехода |¥ = 4, тР = -4) — |¥ = 3, тР = -3) и определение его частоты по

спектру потерь атомов тулия-169, находящихся под воздействием слабого резонансного УВЧ излучения.

3. Измерение модуля постоянного внешнего магнитного поля, действующего на ультрахолодный газ атомов тулия, с помощью спектра потерь атомов, находящихся под воздействием ВЧ и УВЧ излучения, и дальнейшая прецизионная характеризация компенсационных магнитных катушек, создающих данное поле.

4. Наблюдение осцилляций Раби в ансамбле ультрахолодных атомов тулия на переходе | ¥ = 4, тР = -4) — | ¥ = 3, тР = -3) и дальнейшая характеризация системы генерации УВЧ излучения.

5. Реализация переселения атомов в состояние | ¥ = 3, тР = -3 с помощью ж -импульса

УВЧ излучения и изучение процесса потерь в ансамбле атомов, находящихся в данном состоянии.

6. Реализация переселения атомов в состояние |F = 4, mF = —3 с помощью каскада ж-импульсов УВЧ излучения (через состояние | F = 3, mP = —3) ).

7. Изучение характерного времени дефазировки ансамбля атомов, находящихся в суперпозициях состояний | F = 4, mP = —4) и | F = 3, mP = —3 с помощью методов Рамсея и Хана.

1.2 Защищаемые положения

По результатам данной работы был сформулирован список защищаемых положений:

1. Внутри металлической вакуумной камеры (с характерным размером 20 см) за счет проникновения эванесцентной волны от внешнего излучателя реализуется возбуждение переменного магнитного поля с амплитудой не менее 20 мГс в диапазоне частот 1497 ± 10 МГц (при использовании усилителя с выходной мощностью 10 Вт).

2. Спектроскопия ультрахолодного тулия-169 в ВЧ и УВЧ диапазонах позволяет определить зеемановский сдвиг атомных уровней, за счет чего модуль постоянного магнитного поля, действующего на данный газ, измеряется с точностью не ниже 200 мГс.

3. Переселение атомов тулия-169 из состояния |F = 4, mP = —4) в состояние

| F = 4, mP = —3 с помощью каскада ж -импульсов УВЧ излучения (через состояние | F = 3, mF = —3) ) реализуется с достоверностью не ниже 93%.

4. Потери в ансамбле атомов тулия-169, находящихся в состоянии |F = 3,mF = —3, наилучшим образом описываются двухчастичной моделью при давлении буферного газа порядка 10—9 мБар , концентрации атомов порядка 1012 см—3 и температуре 1.5 ± 0.2 мкК.

5. Времена дефазировки ансамбля атомов тулия-169, находящихся в суперпозиционных состояниях ( F = 4, щ = —4) + exp (щ) | F = 3, щ = —3)/>/2, (р е (0, 2ж) , в оптической

дипольной ловушке (с длиной волны 532.22 нм), измеренные методом Рамсея и Хана, составляют 150 ± 10 мкс и 500 ± 20 мкс соответственно (при температуре атомов 1.6 ± 0.2 мкК ).

Результаты работ по теме диссертации были опубликованы в следующих научных журналах:

1. Microwave Spectroscopy of Ultracold Thulium Atoms / D.A. Pershin, Tsyganok V.V., Yaroshenko V.V., Khlebnikov V.A., Davletov E.T., Svechnikov E.L., Sorokin V.N.,

Kapitanova P.V., Akimov A.V. // Bulletin of the Lebedev Physics Institute. - 2018. - Т. 45. -№ 12. - С. 377-380

2. Зеемановская спектроскопия ультрахолодных атомов тулия / В.В. Цыганок, Мершим Д.А., Хлебников В.А., Давлетов Э.Т., Акимов А.В.//ЖЭТФ. - 2019. - Т. 155. -№ 2. - С. 228-236.

3. Microwave coherent spectroscopy of ultracold thulium atoms / D.A. Pershin, Yaroshenko V.V., Tsyganok V.V., Khlebnikov V.A., Davletov E.T., Shaykin D.V., Gadylshin E.R., Cojocaru I.S., Svechnikov E.L., Kapitanova P.V., Akimov A.V. // Phys. Rev. A. - 2020. - Т. 102. - № 4. - С. 3114.

Результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях:

1. Международная научная конференция BEC 2019, (Сан-Фелиу-де-Гишольс, 2019),

2. 12-я Всероссийская научная конференция с международным участием Физика ультрахолодных атомов - 2019 (Новосибирск, 2019),

3. 3-я международная школа квантовых технологий QTS'20 (Красная поляна, 2020),

4. 15-я Всероссийская научная конференция с международным участием Физика ультрахолодных атомов - 2021 (Новосибирск, 2021),

Личный вклад соискателя в работах с соавторами заключается в следующем:

{1, 3} - постановка и проведение экспериментов по УВЧ спектроскопии ультрахолодного тулия-169, обработка данных и анализ полученных результатов в экспериментах по УВЧ спектроскопии ультрахолодного тулия-169, участие в разработке и отладке системы генерации УВЧ излучения для возбуждения переходов между сверхтонкими уровнями основного состояния тулия-169; {2} - постановка и проведение экспериментов по ВЧ спектроскопии ультрахолодного тулия-169, обработка данных и анализ полученных результатов в экспериментах по ВЧ спектроскопии ультрахолодного тулия-169.

Научная новизна работы заключается в том, что управление основным состоянием атома тулия с помощью УВЧ излучения реализовано впервые. Впервые измерены времена дефазировки ансамбля ультрахолодных атомов тулия, а также впервые исследованы потери в ансамбле атомов тулия, находящихся на верхнем сверхтонком уровне основного состояния.

Практическая ценность работы соискателя не вызывает сомнений, так как полученные результаты расширяют инструментарий квантового симулятора на основе ультрахолодных

атомов тулия в рамках задач по моделированию сложных твердотельных систем и поиску новых материалов.

Обоснованность и достоверность результатов и выводов, полученных соискателем, подтверждается их хорошей воспроизводимостью и согласованностью с теоретическими расчетам и результатами компьютерного моделирования. Достоверность полученных результатов также подтверждается их публикациями в рецензируемых научных журналах и квалифицированной апробацией на международных научных конференциях.

1.3 Структура работы и используемые обозначения

Основная часть работы представлена в главах 2, 3 и 4. Главы разделены на разделы и подразделы. Первая цифра в нумерации формул соответствует номеру главы, вторая - номеру раздела, третья присваивается в порядке появления формулы в разделе.

В работе используется ряд фиксированных ортонормированных правых пространственных базисов: атомный (X, У, ^), магнитных катушек (X, У, %), системы детектирования (X, У, 2) и микроволновой антенны (X, 3) (данные обозначения никогда не используются в другом контексте). Ортонормированный правый пространственный базис (х, у, г) является локальным и используется в разных контекстах.

Всюду в данной работе квановомеханические операторы обозначаются "крышкой" сверху (О), для обозначения квантовомеханических состояний используется формализм Дирака [25]. Векторы обозначаются жирным шрифтом, скаляры - обычным.

Под оператором векторной величины понимается вектор, компонентами которого являются операторы проекции данной величины на соответствующую ось пространственного

базиса О = (Ох Оу Ог) . На данные векторы распространяются стандартные операции

линейной алгебры, в том числе и операция скалярного произведения: В ■ <0 = Вх Сх + Ву Су + Сг. Обратим внимание, что данная операция в общем случае может не обладать свойством коммутативности В ■ С Ф С ■ В. Под оператором квадрата векторной величины будем подразумевать О2 =О ■ О.

2 Теоретический обзор

По умолчанию в качестве системы единиц в данной главе используется гауссова система единиц (СГС). В случае СГС в вакууме материальные уравнения имеют вид [26]: £ = Т> и Ц = В, где £ и £> - векторы электрической напряженности и индукции, "Н и В - векторы магнитной напряженности и индукции. В рамках данной работы рассматриваются задачи, когда атом находится под воздействием внешних электрических и магнитных полей, а среда отсутствует, поэтому далее ограничимся использованием £ и В для описания соответствующих полей. Для перевода формул, написанных в рамках СГС, в Международную систему единиц (СИ) можно воспользоваться процедурой, описанной в [27].

2.1 Основное состояние атома тулия

Тулий (Tm) является 69-ым элементов таблицы Менделеева и принадлежит к группе лантаноидов. Масса атома тулия щт = 168.93422 а. е. м. (2.8052187 • 10-22 г) [28], энергия

однократной ионизации - 6.1843 эВ [29], температура плавления металлического тулия составляет 1818 К [30].

Электронная конфигурация основного состояния тулия имеет вид [Хе]4/136£2 [31]. У

данного атома , 5/ и оболочки не имеют электронов при уже заполненной 65. В 4/

оболочке не хватает одного электрона до полного заполнения, других частично заполненных оболочек атом тулия не имеет (рисунок 2.1). Основной электронной конфигурации тулия соответствуют нечетные состояния [31] (определение четности состояний атома можно найти в [32]).

Тонкое расщепление для основной электронной конфигурации тулия составляет достаточно большое значение 8771.243 см-1 [31], что типично для лантаноидов. Наименьшие энергии переходов, связанные с изменением электронной конфигурации атома тулия, начинаются со значения 14000 см-1 [33], что соизмеримо с величиной тонкого расщепления атома. Несмотря на этот факт, опыт показывает (см. раздел 2.2.1), что основное состояние атома тулия хорошо описывается приближением LS-связи [32]. В рамках данного приближения операторы квадрата полного орбитального момента электронов и - квадрата полного спина электронов £2 основного состояния атома тулия коммутируют с гамильтонианом атома, а их собственные состояния являются стационарными. Соответствующие собственные значения данных операторов равны Ь(Ь +1) и £(£ +1) (здесь и далее опустим редуцированную

постоянную Планка Ь ). Ввиду простой электронной конфигурации основного состояния тулия можно легко установить, что для данного состояния Ь = 3 и $ = 1/2 .

Рисунок 2.1 Диаграмма основной электронной конфигурации атома тулия, в 4/ оболочке не хватает одного электрона до ее полного заполнения. Красными стрелками обозначены переходы к возбужденным электронным конфигурациям, отвечающим за наблюдаемые сильные оптические переходы атома тулия.

Оператор спин-орбитального взаимодействия, приводящий к тонкому расщеплению атомных уровней, пропорционален оператору Ь ■ Я [32] Операторы проекции на ось квантования (примем ее за ось Z ) полного орбитального момента электронов Ьг и их полного спина !$г в случае ЬБ-связи не коммутируют с гамильтонианом атома. Однако оператор спин-орбитального взаимодействия коммутирует с операторами 12 и 12, где Л = Ь + Я - оператор полного механического момента электронов [25].

В соответствии с правилом сложения моментов [25] собственные значения оператора Л2 равны 1(1 +1) , где 1 в могут принимать полуцелые значения от |Ь - $ до |Ь + $ с шагом 1. В случае основной электронной конфигурации тулия 1 = 5/2 и 1 = 7/2, что соответствует термам 2F^n и (рисунок 2.2). Энергетический уровень 1 = 7/2 обладает меньшей энергией [31],

что находится в соответствии с правилом интервалов Ланде для более чем наполовину заполненных электронных оболочек [32]. Собственные значения оператора 1г для фиксированного 1 будем обозначать щ , данное квантовое число принимает 21 +1 полуцелых значений: от —1 до 1 с шагом 1.

Рисунок 2.2 Тонкая и сверхтонкая структура тулия-169. Уровень, соответствующий основной электронной конфигурации за счет спин-орбитального взаимодействия расщепляется на два тонких уровня J = 5/2 и J = 7/2, каждый из которых расщепляется на два сверхтонких уровня за счет магнитного дипольного взаимодействия спина ядра и полного электронного момента.

До сих пор мы учитывали лишь электронную подсистему тулия. Для полного описания необходимо также учесть внутреннее состояние ядра атома. Среди изотопов тулия единственным стабильным является тулий-169 [30], в дальнейшем речь пойдет только о нем. Ядро атома тулия состоит из 69 протонов и 100 нейтронов, следовательно, ядро атома тулия имеет нечетное число нуклонов и является фермионом. В свою очередь, электронное облако атома тулия состоит из 69 электронов и также является фермионом. Таким образом, атом тулия можно представить как систему двух фермионов, по причине чего атом тулия является бозоном.

Обозначим оператор квадрата спина ядра I2 (уместнее было бы использовать название "полный механический момент ядра" вместо - "спин ядра", поскольку в данный оператор входят и орбитальные моменты нуклонов, что проявляется, например, в сложной зависимости магнитных моментов ядер для различных изотопов [30]; однако, ввиду устоявшейся традиции, в данной работе будем использовать название "спин ядра"). Его собственное значение I (I +1); в

случае тулия-169 I = 1/2 [34] полностью определяется сильным взаимодействием нуклонов ядра, на фоне которого электромагнитное взаимодействие нуклонов с электронной подсистемой не играет роли, вследствие чего I2 коммутирует с введенными ранее операторами, характеризующими электронную подсистему атома [35]. Таким образом, единственной внутренней степенью свободы ядра является проекция его спина на ось квантования, соответствующий оператор обозначим 12 , а его собственные значения - щ = ±1/2.

Взаимодействие магнитного момента ядра с магнитным полем, создаваемым электронной подсистемой в случае основного состояния атома тулия, дается оператором [34; 36]:

HHPS = haJ • I,

(2.1.1)

где а = -374137661 ± 3 Гц [34] - константа сверхтонкого взаимодействия основного состояния тулия (взаимодействие за счет электрического квадрупольного момента ядра отсутствует, т.к. I < 1 [32]), И - постоянная Планка.

Данное взаимодействие приводит к сверхтонкому расщеплению: относительному сдвигу собственных энергий состояний атома ЛЕяга, принадлежащих одному тонкому уровню и обладающих различными взаимными ориентациями полного момента электронов и спина ядра. Ввиду малости сверхтонкого расщепления (\ЛЕНР8 | = |4а| = 1496 550 642 ±12 Гц [34], что

соответствует 0.05 см-1) по сравнению с тонким расщеплением, справедливо приближение Л-связи, аналогичного ЬБ-связи. Введем оператор полного механического момента атома Ё = / +1, его квадрата ¥2 и проекции на ось квантования Р2. ¥2 обладает собственным числом ¥(¥ +1), где ¥ = 3 и ¥ = 4 для нижнего тонкого уровня тулия (J = 7/2). Нижнему сверхтонкому уровню соответствует ¥ = 4 [34] (рисунок 2.2). Собственное число обозначим щ , оно может принимать 2 ¥ +1 целых значений от - ¥ до ¥ .

До сих пор мы считали направление оси квантования произвольным, что вполне естественно при описании атома в вакууме, т.к. гамильтониан такой системы не должен изменяться при конечном повороте системы координат ввиду его симметрии [25]. Однако при наличии внешних полей данная симметрия нарушается, и гамильтониан системы начинает зависеть от ориентации атома в пространстве. В рамках данной работы основной вклад в энергию атома вносит взаимодействие последнего с внешним магнитным полем (раздел 2.2). По устоявшейся традиции всюду в данной работе будем направлять ось квантования по

такой оси квантования F будет коммутировать с гамильтонианом атома, находящегося под воздействием BDC [32], а наименьшему значению mF будет соответствовать наименьшая энергия состояния (см. раздел 2.2).

Для описания состояний атома тулия, относящихся к электронной конфигурации основного состояния, можно использовать полный набор коммутирующих величин C.S.C.O. (complete set of commuting observables) [37], состоящий из операторов квадрата орбитального момента электронов L, квадрата спина электронов S2, квадрата полного момента электронов

направлению постоянного внешнего магнитного поля 3

.dc

использовании

/2, квадрата спина ядра 12, квадрата полного момента атома Р2 и проекции полного момента атома на ось квантования /.

Ввиду взаимной коммутации операторов из набора (Ь2, Я2, /2, /2, Р2, /), а также

коммутации каждого из них с гамильтонианом атома Н, существует множество стационарных состояний, являющихся собственными для каждого оператора из данного набора. Так как все операторы из набора являются эрмитовыми (соответствуют физическим величинам), множество общих собственных состояний должно образовывать полный ортогональный базис состояний в гильбертовом пространстве основной электронной конфигурации тулия. Каждое базисное состояние однозначно определяется соответствующей комбинацией собственных чисел операторов из набора. Будем обозначать данные состояния |Ь, $, 1,1, *, щ), где для собственных

чисел операторов квадрата будем использовать более краткую запись (вместо Ь(Ь +1) будем писать Ь и аналогично для остальных).

Аналогичным образом можно определить ортогональный базис состояний на основе набора операторов (Ь2, Я2, /2, /2, 1г, 1г), который также является С.Б.С.О.; обозначим такие

состояния |Ь, $, 1,1, щ, щ) . В отличие от состояний |Ь, $, 1,1, *, щ), данные состояния не

являются стационарными, т.к. 12 и 12 не коммутируют с гамильтонианом, однако данный базис оказывается более удобным в ряде приложений и будет использоваться нами в данной работе.

Ввиду полноты обоих базисов состояния из одного базиса могут быть выражены в виде линейной комбинации состояний из другого базиса. В данном случае это разложение дается выражением:

|Ь,$, 1,1,*,шр) = 2 С^^Ь,$, 1,1,«1,^, (2.1.2)

где С*'^^ - коэффициенты Клебша-Гордана [32].

В случае тонких уровней атома тулия (I = 1/2) все ненулевые коэффициенты С/щ^ щ обязаны удовлетворять соотношениям шр = ш1 + щ и * = 1 ± I и могут быть найдены с помощью формул [38]:

¥ т = 1/2 т =-1/2

3 +1/2 1 ¥ + тр У 2¥ - тр

3-1/2 ¥ - т +1 2 ¥ + 2 -1 ¥+т+1 2 ¥ + 2

Таблица 1 Выражения для вычисления коэффициентов Клебша-Гордана для случая I = 1/2.

2.2 Эффект Зеемана и сверхтонкое расщепление

При наличии внешнего постоянного магнитного поля 3ос в гамильтониане атома возникает член Нш, отвечающий за взаимодействие данного поля с магнитным моментом атома [32]:

НгР=-£-Вос, (2.2.1)

где р - оператор магнитного момента атома. Раскроем скалярное произведение в (2.2.1) с учетом направления магнитного поля относительно оси квантования Z , В00 = (О, О, В00) , где Вос -амплитуда магнитного поля:

Нш = ¡1 ■ Ввс = -¡1У ■ ЯГ = ~И2 ■ В"г. (2.2.2)

Магнитный момент атома является суммой магнитных моментов орбитального движения электронов и их спина, а также спина ядра [32]:

р = (&Ь + £ + &I), (2.2.3)

где ^, ^ - §-факторы орбитального и спинового моментов электронов соответственно; ^ -фактор ядерного спина, = 9.2740100783 • 10-21 эрг/Гс - магнетон Бора. Значения §-факторов ( ^ в случае тулия-169) составляют [30; 39]:

'8ь = 1,

^ = 2.00232, (2.2.4)

^ = 2.523 -10-4.

В данной работе данные §-факторы определены положительными. Магнитные моменты, создаваемые орбитальным движением и спином электронов, направлены противоположно

соответствующим механическим моментам. В случае тулия-169 магнитный момент ядра направлен противоположно спину ядра, что было учтено в выражении (2.2.3).

Сдвиг уровней атома за счет Нж называется эффектом Зеемана. В случае, когда данный

эффект мал по сравнению со сверхтонким расщеплением, он может быть учтен в виде поправки к уровням сверхтонкой структуры атома с помощью теории возмущений. Однако, в случае атома тулия (I = 1/2) эффект Зеемана и сверхтонкое расщепление могут быть учтены одновременно

для произвольного магнитного поля: результирующий сдвиг уровней тулия может быть выражен в аналитической форме. Мы воспользуемся данным подходом, поскольку он позволяет избежать использования дополнительных приближений.

Запишем часть гамильтониана атома Н/ЛТ, отвечающую за сверхтонкое расщепление НHPS (2.1.1) и эффект Зеемана (2.2.1):

HINT = HHFS + HZE • (2.2.5)

Все остальные члены полного гамильтониана атома кроме Н могут приводить лишь к однородному сдвигу уровней, принадлежащих тонкому терму, поэтому данные члены можно исключить из рассмотрения. Таким образом, задача состоит в поиске собственных состояний гамильтониана Нжг, действующего на подпространстве состояний тонкого уровня атома. Для дальнейших рассуждений нам потребуется предположения о наличии LS-связи и выполнении условия I = 1/2 ( J ф 0 ). Воспользуемся базисом состояний |L, S, J, I, щ, m7) , квантовые числа L и S для краткости будем иногда опускать.

2.2.1 Матричные элементы зеемановского взаимодействия

Найдем матричные элементы оператора Нж . Прежде всего заметим, что слагаемое (gL L + gs S) в выражении для магнитного момента атома (2.2.3), хотя и состоит из операторов,

действующих на электронную подсистему, не выражается через J. Данное обстоятельство связано с отличием gL и g5 . Однако, с помощью теоремы Вигнера-Экарда матричные элементы

(gLL + gsS) можно выразить в следующем виде [40] (здесь мы опустим квантовые числа I и щ, поскольку оператор (gL L + gs S) не действует на спин ядра):

(L, S, J, m'j\gL L + gs S| L, S, J, mj) = {L, S, J, m;|gji|L, S, J, mj), (2.2.6)

где ^ - константа, которая носит название g-фактор Ланде. Данный коэффициент не зависит от щ или щ (отметим, что данное выражение верно именно для матричных элементов в обкладках |Ь, $, 1, щ), а не для самих операторов). С учетом выражений (2.2.2), (2.2.3) и (2.2.6) можно записать:

(Ь,$, 1,I,щ,щ |Н7В, |Ь,$, 1,I,щ,даЛ =

ж| /(2.2.7)

= (1,/, УЯ,, | &Д. + |У, /, УЯ,, УЯ,),

Для определения ^ скалярно умножим обе части выражения (2.2.6) слева на (Ь, $, 1, щ Ь, $, 1, щ), а также просуммируем обе части по всем возможным 1, щ :

2 (Ь,$, 1,Ш11/|Ь,$, 1,да^•(Ь,$, 1,Ь + Ь,$, 1,1 =

1 , (2.2.8)

= 2 (Ь,$, 1,ИЬ,$, 1,1 •<Ь,$, 1,да! |/|Ь,$, 1,).

1 ,™1

Заметим, что {Ь,$, 1,щ можно вынести за знак суммы в обеих частях (2.2.8), поскольку щ в данное выражение не входит, а матричный элемент (Ь, $, 1щ |./| Ь, $, 1, ш'^ может быть отличен от нуля только если 1 " = 1. Ввиду полноты базиса |Ь, $, 1, щ^) оператор

2 |Ь, $, 1,да^Ь, $, 1,щ) | = 1. В результате получим:

1 ,щ1

(Ь, $, 1, |/•( ^Ь Ь + gsS )| Ь, $, 1, м^ = gJ(Ь, $, 1, щу| / • /| Ь, $, 1, . (2.2.9)

Поскольку компоненты 1 коммутируют с соответствующими компонентами Ь и Я, скалярные произведения 1 • Ь и 1 • Я можно определить с помощью соотношений:

>2

Я2 = (Л - Ь) = /2 - 2/ • Ь + Ь2, (2.2.10)

Ь2 = (Л - Я)2 = /2 - 2/ • Я + Я2. (2.2.11)

С помощью (2.2.9), (2.2.10) и (2.2.11) найдем:

1

Я =-

3 2(д^,3,т\)2|ь,б,3,т

(я£(ь, б , з, т2 + £ - я 2| ь, б , з, т)+

+ (Ь,Б,3,т 2 -Ь2 + ^21Ь,Б,3,щ)) = (2.2.12)

= ^ (3 (3 +1) + Ь(Ь +1) - Б (Б +1)) + ^ (3 (3 +1) - Ь(Ь +1) + Б (Б +1))

2 3 (3 +1) .

Формула (2.2.12) в случае нижнего тонкого уровня тулия 3 = 7/2 приводит к результату ^ = 1.143 . Данный результат отличается лишь в четвертом знаке от измеренного значения, представленного в работе [34]:

^ = 1.141189(3). (2.2.13)

Столь небольшое расхождение свидетельствует в пользу применимости приближения ЬБ-связи, в рамках которого была получена формула (2.2.12). Все же в дальнейшем мы будем использовать значение ^, полученное в результате измерения (2.2.13).

2.2.2 Матричные элементы сверхтонкого взаимодействия

Найдем матричные элементы ННР8 в базисе 13,1, щ, т7), для чего преобразуем (2.1.1) следующим образом:

Ншб = На3'1 = На I 3 г1 г + 3 х1 х + 3 у1 у + ^ 3 х1 у - ^ 3 х1 у +^ 3 у1 х - ^ 3 у1 х I =

= На I 3212 + —

1 (3х (1 х + 11у ) -' (3х + 3 у )1 у + (3х + 3 у )1 х - 3 у (1 х + 11у )) 1 ((3х - 3 у ) (1х + ¿У ) + (3х + 3 у ) (1х - ¿У ))| =

|3г/г +1 (3- /+ + 3+ /_ ,

(2.2.14)

= На I 3г1г + —

= На

где были введены операторы 3± = 3х ± 3 г и /± = 1Х ± ИТ. Ненулевые матричные элементы операторов 32 и 3± в обкладках состояний |3,1, щ, тдаются выражениями [25]:

3,1, т, щ\3+\ 3,1, Щ -1, т^ = ( 3,1, т -1, Щ 13- 13, I, т, т7

= >/(3 + т3 )(3-т3 +1),

(3,1, т, Щ \ зг 13,1, Щ , т7) = Щ .

(2.2.15)

Ненулевые матричные элементы операторов Iz и 1± в обкладках состояний |1, I, щ, щ7) даются аналогичными (2.2.15) выражениями:

1, I, , ШI |/+11, I, да1, да! -1 = 1, I, да1, щ1 -17-| 1, I, да1, (1, I, щ, щ 11, I, щ, = щ.

щ =

(2.2.16)

2.2.3 Стационарные состояния с промежуточными значениями проекции полного момента

Заметим, что в представлении состояний |Ь, $, 1,I,щ, Н2Е в силу (2.2.7) не изменяет щ и щ , а Ннрв в силу (2.2.14) не изменяет щ = щ + щ, следовательно, Яж = + не изменяет щ . Отсюда можем заключить, что в данном представлении ненулевые матричные элементы Н возможны только между состояниями с одинаковым щ (рисунок 2.3). Состояниям с щ = — (1 +1/2) соответствует лишь одно из состояний | Ь, $, 1, I, ± 1, ± I), случай данных состояний мы рассмотрим в следующем подразделе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Першин Даниил Александрович, 2024 год

- 792 с.

Calibrating high intensity absorption imaging of ultracold atoms / K. Hueck [et al.] // Optics Express. - 2017. - Vol. 25. - № 8. - P. 8670.

Feshbach resonances in ultracold gases / C. Chin [et al.] // Reviews of Modern Physics. - 2010.

- Vol. 82. - № 2. - P. 1225-1286.

Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ / Д.М. Сазонов. - М.: Высшая школа, 1988. -432 с.

Magnetic Field Dependence of Ultracold Inelastic Collisions near a Feshbach Resonance / J.L. Roberts [et al.] // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 85. - № 4.

Losses of thulium atoms from optical dipole traps operating at 532 and 1064 nm / V.V. Tsyganok [et al.] // Physical Review A. - 2023. - Vol. 107. - № 2. - P. 023315.

Observation of Spinor Dynamics in Optically Trapped Rb 87 Bose-Einstein Condensates / MS. Chang [et al.] // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 92. - № 14. - P. 140403. Руднев А. Активная стабилизация магнитного поля для экспериментов с холодными атомами тулия : дис. бакалавра / А. Руднев. - Москва: Московский физико-технический институт, 2023. - 43 с.

Stimulated Raman adiabatic passage in physics, chemistry, and beyond / N.V. Vitanov [et al.] // Reviews of Modern Physics. - 2017. - Vol. 89. - № 1. - P. 015006.

Rangelov A.A. Rapid adiabatic passage without level crossing / A.A. Rangelov, N.V. Vitanov, B.W. Shore // Optics Communications. - 2010. - Vol. 283. - № 7. - P. 1346-1350. Observation of Ramsey Fringes Using a Stimulated, Resonance Raman Transition in a Sodium Atomic Beam / J.E. Thomas [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 1982. - Т. 48. - № 13. - С. 867-870. Hahn E.L. Spin Echoes / E.L. Hahn // Phys. Rev. - 1950. - Т. 80. - № 4. - С. 580-594.

94. Coherence of nitrogen-vacancy electronic spin ensembles in diamond / P.L. Stanwix [h gp.] // Phys. Rev. B. - 2010. - T. 82. - № 20. - C. 201201.