Когерентная динамика и перепутывание двух кубитов, взаимодействующих с квантованными полями в резонаторе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Мастюгин Михаил Сергеевич

• Мастюгин Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Мастюгин Михаил Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Двухкубитные системы в квантовой электродинамике резонаторов

1.1. Теоретическое описание кубитов взаимодействующих с квантовыми полями в резонаторах

1.2. Экспериментальные реализации двухкубитных систем, взаимодействующих с квантованными полями в резонаторах

1.2.1. Ридберговские атомы в одноатомном мазере

1.2.2. Ионы в магнитных ловушках

1.2.3. Сверхпроводящие джозефсоновские кубиты

1.2.3.1. Взаимодействие со сверхпроводящими контурами

1.2.3.2. Взаимодействие со сверхпроводящими компланарными микроволновыми резонаторами

1.2.4. Перепутывание двух сверхпроводящих кубитов в квантовой электродинамике резонаторов

1.2.5. Сверхпроводящие кутриты и кудиты

1.2.6. Спины и гибридные системы

ГЛАВА 2. Динамика атомного перепутывания в двухкубитных системах, индуцированная тепловым полем, с учетом диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности

2.1. Модель, в которой один из кубитов заперт в резонаторе и взаимодействует с тепловым полем, а второй находится вне резонатора

2.2. Модель, в которой два кубита взаимодействуют посредством однофотонных переходов с тепловым полем резонатора

2.3. Модель, в которой два кубита взаимодействуют посредством

вырожденных двухфотонных переходов с тепловым полем резонатора

ГЛАВА 3. Динамика перепутывания атомов, последовательно пролетающих

резонатор с тепловым полем

ГЛАВА 4. Динамика перепутывания двух кубитов, взаимодействующих с модой поля идеального резонатора посредством вырожденных переходов, при наличии штарковского сдвига энергетических уровней

4.1. Перепутанное начальное атомное состояние

4.2. Когерентное неперепутанное начальное состояние кубитов

ГЛАВА 5. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику трех- и четырех кубитных перепутанных состояний

5.1. Два кубита, взаимодействующих с модой поля посредством однофотонных переходов

5.2. Два кубита, взаимодействующих с одной модой поля посредством вырожденных двухфотонных переходов

5.3. Два кубита, взаимодействующих с двумя модами поля посредством

невырожденных двухфотонных переходов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентная динамика и перепутывание двух кубитов, взаимодействующих с квантованными полями в резонаторе»

ВВЕДЕНИЕ

Исследование когерентной динамики систем естественных (нейтральные атомы и ионы) и искусственных атомов (сверхпроводящие джозефсоновские кубиты, примесные спины и др.), взаимодействующих с квантовыми полями (электромагнитными, фононными, плазмонными и др.) в резонаторах является одной из наиболее актуальных задач современной лазерной физики и квантовой оптики. При этом особое внимание уделяется разработке наиболее эффективных схем генерации, контроля и управления перепутанными состояниями таких систем. Перепутанные состояния являются фундаментом современной квантовой информатики и могут быть использованы: для квантовой телепортации и квантовых телекоммуникаций, для реализации физически стойких протоколов квантовой криптографии, для физики квантовых вычислений, в частности для создания эффективных алгоритмов решения сложных вычислительных задач с участием многочастичных систем и др. [1-12].

К сожалению, в реальных условиях, взаимодействие с окружающей средой пагубно влияет на систему кубитов, находящихся в перепутанном состоянии, приводя к декогеренции и распаду квантовых перепутанных состояний. Также перепутывание может исчезать и возрождаться на временах, меньших, чем характерные времена релаксации системы. Причиной появления такого эффекта, называющегося "мгновенной смертью" перепутывания, является особенности эволюции самой атомной системы. В частности для атомов, взаимодействующих с модой поля резонатора, причиной такого эффекта могут выступать осцилляции Раби. Для квантовых вычислений нужны максимально перепутанные, устойчивые состояния с большими временами декогеренции. В связи с этим, одной из важнейших задач является создание эффективных методов генерации и управления перепутанными состояниями, а также изучение различных

физических систем, которые могут быть использованы в качестве логических элементов квантовых компьютеров.

Различают три типа перепутанных состояний: фотонные, атом - фотонные и атом-атомные. Фотонные перепутанные состояния можно получить "перепутывая" фотоны с различными направлениями поляризации, например с помощью спонтанного параметрического резонанса. Генерация атом-фотонных и атом-атомных перепутанных состояний представляет собой более сложную задачу. Такие перепутанные состояния могут возникать за счет взаимодействия между подсистемами большой системы, взаимодействия подсистем с неким окружением, измерения независимых систем в перепутанном базисе.

Перепутывание естественных и искусственных атомов может быть достигнуто в частности за счет различных схем взаимодействия атомов с полем. Для обмена информацией между кубитами, в том числе для создания между ними квантовых корреляций, может использоваться их взаимодействие с общим полем (электромагнитным, фононным, плазмонным и т.д.) в резонаторе. В других ситуациях, например, в экспериментах с одноатомными мазерами и лазерами, атомы последовательно пролетают резонатор, поочередно взаимодействуя с его полем, в результате между атомами наводятся квантовые корреляции или перепутывание. Степень перепутывания атомов, возникающая за счет взаимодействия с полем резонатора, кроме особенностей структуры атома и резонатора и характера и силы их связи зависит также от большого числа других факторов, в частности от выбора начальных состояний, в которых приготовлены атомы и поле, наличие различных каналов диссипации энергии и фазы, диполь-дипольного взаимодействия атомов, расстройки частот атомов и поля и щтарковского сдвига энергетических уровней, атомной когерентности и многих др. В настоящее время раздел лазерной физики и квантовой оптики, изучающий системы кубитов, взаимодействующих с электромагнитными полями в резонаторах, получил специальное название квантовой электродинамики резонаторов [2-12]. Такие системы в настоящее время исследуются не только теоретически, но и реализованы экспериментально на нейтральных атомах и

ионах в резонаторах и ловушках, примесных спинах, углеродные нанотрубках, сверхпроводящих кольцах с джозефсоновскими переходами, гибридных и оптомеханических системах и т.д. Для таких систем удалось наблюдать все известные квантовые эффекты взаимодействия атомных систем с полем, в частности осцилляции Раби, сверх- и субизлучение, эффекты мазерной и лазерной генерации и т.д. [2-12]. При этом для различных физических реализаций удалось экспериментально достичь как режима сильной, так и ультрасильной связи между кубитами и модами резонатора, когда параметр взаимодействия кубитов с полем сравним с частотой резонатора и время когерентности достаточно высоко. Выявление факторов, способствующих сохранению долгоживущих квантовых корреляций в атомных системах, является приоритетной задачей физики квантовых вычислений. При этом при использовании перепутанных состояний в физике квантовых вычислений достаточным является наличие между подсистемами квантовых корреляций в течение времени, которое необходимо, чтобы реализовать какое-либо определенное действие над системой, например процедуру измерения состояний подсистемы. То есть характерные времена когерентности должны превышать характерные времена взаимодействия в системе.

Как уже отмечалось выше, взаимодействие квантовых объектов, приготовленных в перепутанном состоянии, с окружением, обычно приводит к декогерентности и потере особых квантовых корреляций состояний или перепутывания. Это означает, что основная проблема, возникающая при создании, контроле и хранении атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы предотвратить, минимизировать или использовать влияние шума. Было высказано большое количество предложений по защите, минимизированию или использованию влияния окружения для создания и сохранения максимально перепутанных состояний, например стратегия кольцевого контроля, коррекция квантовых ошибок, использование избыточного кодирования и др. Однако указанные способы успешно решают проблему только при малой скорости генерации ошибок в исследуемой системе. Более экономичный подход состоит в

использовании так называемых "свободных от декогеренции пространств", которые полностью нечувствительны к специфическим типам шумов. Такой подход, однако, также требует использования дополнительных источников и эффективен также только для определенного окружения.

Недавно в большом количестве работ было показано, что, в некоторых случаях диссипация и шум могут, напротив, являться источником перепутывания. Впервые такая идея была высказана в работе [13]. В ней авторы показали, что за счет диссипации два атома (два кубита) в оптическом резонаторе могут перейти в максимально перепутанное состояние. Возможность генерация перепутанных состояний в системе двух и более атомов в резонаторе за счет различных механизмов диссипации рассматривалась позднее в большом количестве работ. В работе [14] рассмотрено возникновение атомного перепутывания в системе двух двухуровневых атомов в резонаторе при наличии диссипации за счет утечки фотонов и спонтанного излучения при наличии белого шума. Позднее влияние вакуумного шума, фазового шума, теплового шума, различных типов классического шума и комбинации различных видов шумов на возникновение и исчезновение перепутывания атомов в резонаторе рассматривалось в большом числе работ (см. ссылки в [15]-[17]). Возможность перепутывания дипольно взаимодействующих атомов при спонтанном излучении изучалась в работах [18,19]. Схема перепутывания кубитов за счет процессов диссипации рассмотрена также в [19-22]. Идея использовать два сверхпроводящих резонатора для генерации перепутывания предложена недавно в работе [23].

В последнее время появился целый ряд работ, в которых была предсказана возможность генерации перепутывания кубитов различной природы за счет взаимодействия системы с тепловым полем. Впервые возможность генерации перепутывания за счет взаимодействия двухуровневых атомов с тепловым полем в резонаторах была показана в работе Найта с соавторами [24]. В целом интерес к естественным и искусственным атомам в резонаторах, как отмечалось выше, обусловлен возможностью использования таких систем в качестве логических элементов квантовых компьютеров (кубитов). Для теоретического описания таких

систем обычно используется модель Джейнса-Каммингса и ее простейшие обобщения [25-29]. Модель Джейнса-Каммингса и ее простейшие обобщения играют фундаментальную роль в лазерной физике и квантовой оптике, поскольку позволяют описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В частности на примере двух- и многоатомной модели Джейнса-Каммингса, которую также часто называют моделью Тависа-Каммингса, можно исследовать особенности атомного перепутывания за счет взаимодействия атомов с различными видами бозонных полей. В последнее время интерес к таким моделям особенно возрос в связи с их экспериментальной реализацией на атомах и ионах в резонаторах и ловушках, индивидуальных молекулах в органических кристаллах, искусственных атомах на квантовых точках, сверхпроводящих системах и др. [2-12].

В работе [24] впервые было показано, что перепутывание всегда возникает при взаимодействии произвольной системы с большим числом степеней свободы в смешанном состоянии и одиночного кубита в чистом состоянии, и общие результаты проиллюстрированы на примере модели Джейнса-Каммингса одиночного атома в чистом состоянии, взаимодействующего с модой теплового поля в идеальном резонаторе. В своей следующей работе Питер Найт с соавторами [30] показали, что одномодовый тепловой шум может также индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Перепутывание в двухатомной системе с вырожденным двухфотонным взаимодействием, индуцированное одномодовым тепловым шумом, было рассмотрено в работе [31], а влияние двухмодового теплового шума на перепутывание двух двухуровневых атомов с невырожденными переходами и переходами рамановского типа - в работе [32]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия.

Как хорошо известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания.

Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе как посредством однофотонных переходов [33], так и двухфотонных вырожденных [34] и невырожденных переходов [35,36]. Заметим также, что для искусственных атомов диполь-дипольное взаимодействие может быть значительно больше, чем для обычных атомов и ионов. Наример для сверхпроводящих джозефсоновских кубитов, эффективная константа диполь-дипольного взаимодействия (индуктивного взаимодействия) может даже существенно превосходить не только энергию связи кубита с полем резонатора, но и исходную энергию перехода между уровнями самого кубита [10-12]

В ряде работ было также показано, что перепутывание атомов, индуцированное тепловым полем может существенно возрасти также при учете начальной атомной когерентности [37-39]. Было показано, что перепутыванием атомов можно управлять, изменяя начальные параметры системы, такие как амплитуды поляризованных атомов и их фазы. Таким образом, рассмотрение новых двухкубитных моделей квантовой электродинамики резонаторов, в которых возможна генерация перепутанных состояний за счет взаимодействия кубитов с тепловым шумом представляет собой актуальную задачу квантовой информатики и лазерной физики.

Еще одним механизмом, который может быть использован для контроля за степенью перепутывания кубитов, взаимодействующих с полем в резонаторе, является штарковский сдвиг энергетических уровней. Так, в работе [40] впервые показали, что штарковский сдвиг может быть использован для значительного увеличения степени атомного перепутывания атомов с двухфотонными переходами в резонаторе в сравнении с тем, что имеем место в резонансном приближении. В [41] установили, что штарковский сдвиг может приводить к долгоживущему перепутыванию двух ионов в магнитной ловушке, приготовленных в сепарабельном состоянии или смешанном состоянии. В работах [42-44] на примере двойной и обычной двухфотонной модели Тависа-

Каммингса показано, что степень атомного перепутывания должна существенно возрасти при учете сдвига в случае начального перепутанного состояния атомов. В работе [45] установлено, что для двух атомов с двухфотонными переходами, взаимодействующие каждый со своим полем в резонаторе штарковский сдвиг позволяет управлять степенью перепутывания и осуществлять контроль за эффектом мгновенной смерти перепутывания. Наконец, в работе [46] доказана возможность увеличения степени перепутывания трех атомов, взаимодействующих с тремя различными резонаторами, за счет включения штарковского сдвига. Результаты вышеупомянутых работ указывают на то, что штарковский сдвиг может быть эффективным механизмом усиления степени перепутывания атомов и ионов с двухфотонными переходами. Заметим, что для атомов и ионов, взаимодействующих с электромагнитными полями в резонаторах посредством двухфотонных переходов, степень влияния штарковского сдвига уровней на перепутывание можно легко контролировать, изменяя величину расстройки между удвоенной частотой резонаторной моды и частотой атомного перехода.

Для целей квантовой информатики наиболее интересными являются многокубитные перепутанные системы. Причем с увеличением числа кубитов поведение системы существенно усложняется. В то время как поведение двухкубитных систем достаточно хорошо изучено как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения, многие аспекты квантового поведения многокубитных систем находятся в стадии активного исследования [47-51]. Изучение перепутанных состояний в многокубитных системах является приоритетной задачей квантовой информатики и лазерной физики в связи с практическими потребностями физики квантовых вычислений, создания квантовых сетей и др.

В настоящее время в физике квантовой информации большое внимание уделяется теоретическому и экспериментальному изучению не только фотон-фотонных и атом-атомных, но и атом-полевых перепутанных состояний. Атом-полевые состояния наблюдались для нейтральных атомов, ионов, спинов,

сверхпроводящих колец с джозефсоновскими переходами и других естественных и искусственных атомных систем, взаимодействующих с квантовыми полями в резонаторах [2-12]. Такие состояния необходимы, например, для передачи информации в квантовых сетях от одних кубитов к другим посредством поля. Прекрасными кандидатами для реализации квантовых сетей являются, например, твердотельные кубиты (сверхпроводящие джозефсоновские кольца и примесные спины), взаимодействующие с микроволновыми полями, а также ионы [52-56]. Таким образом, изучение особенностей динамики атом-полевых перепутанных состояний является также актуальной задачей квантовой оптики. В связи со всем вышесказанным определим цель настоящей диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование квантовой динамики систем двух кубитов различной физической природы, взаимодействующих с одной- или двумя выделенными модами квантового поля в идеальных резонаторах для различных типов переходов, исследование механизмов генерации и стабилизации перепутывания кубитов с учетом диполь-дипольного взаимодействия, штарковского сдвига, начальной атомной когерентности для различных начальных состояний кубитов и поля. Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

1. Найти точное решение динамической задачи о взаимодействии ряда двухкубитных систем с различными типами разрешенных переходов, взаимодействующих с тепловым полем в идеальном резонаторе. Исследовать влияние начальной атомной когеренности и диполь-дипольного взаимодействия на степень перепутывания кубитов.

2. Выявить путем аналитического решения уравнения эволюции зависимость степени перепутывания двух атомов, последовательно пролетающих резонатор с вакуумным или тепловым полем, от начального состояния атомов.

3. Изучить возможность влияния штарковского сдвига энергетических уровней системы на возможность стабилизации перепутывания и исчезновение

эффекта «мгновенной смерти» перепутывания для различных начальных состояний кубитов.

4. Исследовать аналитически влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику трех- и четырехкубитных атом-полевых перепутанных состояний для систем двух кубитов, взаимодействующих с одной или двумя модами идеального резонатора.

Решению каждой из поставленных задач посвящена отдельная глава в диссертации.

Научная и практическая значимость работы состоит в возможном использовании полученных в диссертации результатов в лазерной физике, квантовой оптике и квантовой информатике при выборе наиболее эффективных схем реализации протоколов физики квантовых вычислений, при реализации устройств для передачи перепутанных состояний из атомной подсистемы в фотонную и создании квантовых сетей; при выборе механизмов контроля за степенью перепутывания различных состояний и получения в системе заданной меры перепутывания. Полученные в работе результаты по описанию динамики атом-атомного и атом-полевого перепутывания могут быть использованы для определения оптимальных режимов приготовления атомов и поля и проведения экспериментов в одно- и двухатомных мазерах и лазерах и других устройствах в квантовой электродинамике резонаторов.

Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском государственном университете при подготовке курсовых работ и выпускных работ бакалавров и магистерских диссертаций.

Научная новизна

диссертационной работы заключается в следующих положениях: • Получено аналитическое решение задачи о динамике двух дипольно связанных кубитов, взаимодействующих с одномодовым тепловым полем в идеальном резонаторе для однофотонной модели с одним атомом в резонаторе и

двухфотонной модели с вырожденными двухфотонными переходами. Впервые рассмотрено совместное влияние диполь-дипольного взаимодействия и начальной атомной когерентности на степень перепутывания кубитов в указанных моделях для случая малых интенсивностей теплового шума.

• Найдено аналитическое выражение для параметра перепутывания Переса-Хородецких двух двухуровневых атомов, движущихся с различными скоростями и последовательно пролетающих резонатор с электромагнитным полем в фоковском или тепловом состоянии, для атомов, приготовленных в белловских перепутанных начальных состояниях. Проведена оценка времен пролета атомами резонатора, для которых их конечное состояние снова оказывается максимально перепутанным.

• Получено точное решение динамической задачи для модели двух двухуровневых кубитов с двухфотонными переходами, взаимодействующих с модой квантованного поля в резонаторе, при наличии штарковского сдвига энергетических уровней. На основе анализа точных решений показана возможность использования динамического штарковского сдвига энергетических уравнений для управления и контроля перепутыванием кубитов.

• Развита теория взаимодействия одно- и двухмодового квантованного электромагнитного поля идеального резонатора с двумя кубитами при наличии диполь-дипольного взаимодействия между кубитами. На основе развитого формализма исследована временная динамика средних населенностей кубитов и среднего числа фотонов в моде для модели с однофотонными переходами. Аналитические результаты позволяют интерпретировать данные экспериментов по динамике сверхпроводящих джозефсоновских кубитов, взаимодействующих с микроволновым полем компланарного резонатора. Выяснено влияние диполь-дипольного взаимодействия на особенности поведения согласованности двух кубитов с одно- и двухфотонными вырожденными и невырожденными переходами для начальных трех- и

четырехчастичных атом-полевых перепутанных состояний системы "кубиты+поле".

Результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предсказана возможность генерации перепутывания двух дипольно связанных кубитов, один из которых заперт в резонаторе или ловушке и взаимодействует с тепловым одномодовым полем, а второй находится вне резонатора.

2. Наличие начальной атомной когерентности в случае двухкубитной модели с одним атомом, запертым в резонаторе с тепловым одномодовым полем, приводит к увеличению степени атомного перепутывания, а для модели сверхпроводящих потоковых кубитов с вырожденными двухфотонными переходами - к уменьшению степени перепутывания в случае малых интенсивностей теплового шума. Увеличение интенсивности диполь-дипольного взаимодействия для обеих моделей ведет к увеличению степени перепутывания кубитов.

3. Для модели двух дипольно связанных атомов, один из которых заперт в резонаторе и взаимодействует с модой теплового поля, показана возможность перепутывания первоначально возбужденных кубитов.

4. Учет динамического штарковского сдвига энергетических уровней для модели двух кубитов с вырожденными двухфотонными переходами ведет к увеличению степени атомного перепутывания для начальных когерентных неперепутанных состояний кубитов и стабилизации перепутывания для начальных атом-атомных и атом-полевых перепутанных состояний системы.

5. Диполь-дипольное взаимодействие приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти атомного перепутывания для системы двух кубитов, взаимодействующих с одно- или двухмодовым полем резонатора, для некоторых начальных атом-полевых перепутанных состояний Ж-типа (состояния Вернера).

Личный вклад автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением ряда теоретических предсказаний с экспериментальными данными, а также совпадением результатов, полученных разными методами.

Апробация работы:

Работа выполнена на базовой кафедре общей и теоретической физики Самарского государственного университета. Материалы по теме диссертации докладывались на конференциях:

Asia-Pacific Conference on Fundamental Problems of Opto- and microelectronics (APCOM), Moscow-Samara, Russia (2011 year);

XI Международные чтения по квантовой оптике, Волгоград (2011 год);

15-й, 16-й, 17-й, 18-й и 19-й международной школе для студентов и

молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике «Saratov Fall Meeting», Саратов, Россия (2011 год, 2012 год, 2013 год, 2014 год, 2015 год);

X-ом и XI-ом Всероссийском молодежном Самарском конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике, Самара (2012 год, 2013 год).

XIII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах», Москва (2013 год).

3-ей и 4-ой Международная конференции «Математическая физика и ее приложения», Самара (2012 год, 2014 год)

XII International Workshop on Quantum Optics, Moscow, Troitsk (2015 year)

Национальной молодежной научной школе для молодых ученых,

аспирантов и студентов по современным методам исследований наносистем и материалов «Синхротронные и нейтронные исследован», Москва (2015 год),

а также на научных конференциях и семинарах Самарского государственного университета

Публикации:

По теме диссертационной работы опубликовано 28 печатных работ, в том числе 15 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Диссертация изложена на 151 странице текста. Список использованных источников содержит 191 наименование. Материалы диссертациии опубликованы в работах [57-71].

ГЛАВА 1. Двухкубитные системы в квантовой электродинамике

резонаторов

1.1. Теоретическое описание кубитов взаимодействующих с квантовыми

полями в резонаторах

Простейшая модель взаимодействия естественного или искусственного атома с полем связана с представлением о так называемом «двухуровневом атоме». Наиболее очевидной реализацией представления о двухуровневом атоме может служить спин 1/2 во внешнем магнитном поле. Двухуровневые модели также широко используются в физике твердого тела, физике магнитных явлений и др. С появлением лазера представление о двухуровневом атоме прочно вошло в обиход оптики. Дело в том, что, используя лазеры в качестве источников электромагнитного излучения, можно воздействовать на атом полем с частотой, близкой к частоте перехода между какими-либо парами уровней. В этом случае влиянием других уровней можно пренебречь и ограничиться рассмотрением двухуровневого (в общем случае — конечноуровневого) атома [72]. С другой стороны, использование резонаторов высокой добротности приводит к тому, что атом, помещенный в такой резонатор, взаимодействует только с одной или несколькими модами поля, квантованного в объеме резонатора. Область квантовой оптики, связанную с исследованием процессов взаимодействия одного или нескольких атомов с одной или несколькими модами квантованного электромагнитного поля, принято называть квантовой электродинамикой резонаторов (КЭР). Теоретические представления КЭР связаны в первую очередь с исследованием модели Джейнса — Каммингса (МДК) [73] и ее простейших обобщений. Это обусловлено тем, что указанная модель и ее простейшие обобщения с одной стороны во многих ситуациях достаточно адекватно описывают физические

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мастюгин Михаил Сергеевич, 2015 год

Список литературы

1. Nielsen, M.A. Quantum Computation and Quantum Information/ M.A. Nielsen, I.L. Chuang. - Cambrige: Cambridge University Press, 2010. - P.698.

2. Вальтер, Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора/ Г. Вальтер// УФН. - 1996. - Т 166. - № 7. - С. 777794.

3. Wineland, D.J. Experimental issues in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions/ D.J. Wineland, C.Monroe, W.M. Itano, D. Leibfried, B.E. King, D.M. Meekhof// J. Res.Natl Inst. Stand. Technol. - 1998. - V. 103. - P. 259-328.

4. Leibfried, D. Quantum dynamics of single trapped ions/ D. Leibfried, R. Blatt, C. Monroe, D. Wineland// Rev. Mod. Phys. - 2003. - V.75. - P. 281-324.

5. Häffner, H. Quantum computing with trapped ions/ H. Häffner, C.F. Roos, R. Blatt// Physics Reports. - 2008. - V.469. - P.155-203.

6. Raimond, J. M. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity/ J.M. Raimond, M. Brune, S. Haroche// Rev.Mod.Phys. - 2001. - V.73. -P.565-582.

7. Haroche, S. Exploring the Quantum: Atoms, Cavities and Photons/ S. Haroche, J.-M. Raimond. - New York: Oxford University Press, 2006. - 606p.

8. Haroche, S. Controlling photons in a box and exploring the quantum to classical boundary/ S. Haroche// Rev. Mod. Phys. - 2013. - V. 85. - P.1083-1102.

9. Ladd, D. Quantum computers/ D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura, C. Monroe, J. L.O.'Brien // Nature. - 2010. - V.464. - P.45-53.

10. Buluta, I. Neutral and artificial atoms for quantum computation/ I. Buluta, S. Ashhab, F. Nori// Rep.Prog.Phys. - 2011. - V.74. - P.104401.

11. Xiang, Z.-L. Hybrid quantum circuits: Superconducting circuits interacting with other quantum systems/ Z.-L. Xiang, S. Ashhab, J.Q. You, F. Nori// Rev. Mod. Phys. - 2013. - V.85, - P.623-653.

12. Georgescu, I. M. Quantum simulation/ I.M. Georgescu, S. Ashhab, J.F. Nori //Rev. Mod. Phys. - 2014. - V.88. - P.153-185.

13. Plenio, M.B. Cavity-loss-induced generation of entangled atoms/ M.B. Plenio, S.F. Huelda, A. Beige, P.L Knight// Phys. Rev.A. - 1999. - V.59,N.3. - P.2468-2475.

14. Tanas, R. Entangling two atoms via spontaneous emission / R. Tanas, Z. Ficek// J.Opt. - 2004. - V.B6. - P.S90-S97.

15. Yi, X.X. Noise-assisted preparation of entangled atoms / X.X Yi, C.S. Yu, H.S. Song// Phys.Rev.A. - 2003. - V.68. - P.052304.

16. Ozel, C. Stationary state entanglement of two atoms inside an optical cavity under noise/ C. Ozel, E. Yilmaz, H. Kayhan, A. Aktag// Int.J.Theor.Phys. - 2008. -V.47. - P.3101-3107.

17. Yu, T. Entaglement evolution in a non-Markovian environment/ T. Yu, J.H. Eberly// Opt. Commun. - 2010. - V.283. - P.676-680.

18. Basharov A.M. Atomic Entanglement in the Dicke Model/ A.M. Basharov, A.A. Bashkeev// Laser Phys. - 2003. - V.13. - P.1541-1545.

19. Башаров, А.М. Квантовые Корреляции в системе двух двухуровневых атомов/ А.М. Башаров, А.А. Башкеев// Оптика и Спектроскопия. - 2004. - Т. 96. №5, С.716-723.

20. Sweke, R. Dissipative preparation of generalized Bell states/ R. Sweke, I. Sinayskiy, F. Petruccione// Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2013. - V.46, - P.104004.

21. Sweke, R. Dissipative preparation of large W states in optical cavities/ R. Sweke, I. Sinayskiy, F. Petruccione// Phys.Rev.A. - 2013. - V.87, P.042323.

22. Ma, S.-L. Dissipative production of controllable steady-state entanglement of two superconducting qubits in separated resonators/ S.-L. Ma, Z. Liao, F.-L. Li, M.S. Zubairy// Eur.Phys. Lett. - 2015. - V.110. - P.40004.

23. Su, S.-L. Preparation of three-dimensional entanglement for distant atoms in coupled cavities via atomic spontaneous emission and cavity decay/ S.-L. Su, X.-Q. Shao, H.-F. Wang, S. Zhang // Scientiific reports. - 2015. - V.4. - P.7566.

24. Bose, S. Subsystem purity as an enforcer of entanglement / S. Bose, I. Fruentes-Guridi, P.L. Knight, V. Vedral. // Phys.Rev.Lett. - 2001. - V.87. - 050401p.

25. Скалли, М.О. Квантовая оптика/ М.О. Скалли, М.С. Зубайри - Москва: Физматлит, 2003. - 512с.

26. Шляйх, В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве/ В.П. Шляйх. -Москва: Физматлит, 2005. - 757с.

27. Shore, B.W. The Jaynes-Cummings model/ B.W. Shore, P.L. Knight.// J.Mod.Opt. - 1993. - V.40. №7. - P.1195-1238.

28. Алискендеров, Э.И. Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением/ Э.И. Алискендеров, А.С. Шумовский, Х.Ч. Зунг// Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1993. - Т.24.№2 - С.409-462.

29. Garraway, B. M. The Dicke model in quantum optics: Dicke model revisited/ B. M. Garraway// Phil.Trans.R.Soc.A. - 2011. - V.369. - P.1137-1155.

30. Kim, M.S. Entanglement induced by a single-mode heat environment/ M.S. Kim, J. Lee, D. Ahn, P.L. Knight// Phys.Rev. A. - 2002. - V.65. - P.040101.

31. Zhou, L. Entanglement induced by a single-mode thermal field and criteria for entanglement/ L. Zhou, H.S. Song// J. Opt.B. - 2002. - V.4. - P.425 - 429.

32 Bashkirov, E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise / E.K. Bashkirov// Laser Physics Letters. - 2006. - V.3, №3. - P.145-150.

33. Aguiar, L.S. The entanglement of two dipole-dipole coupled in a cavity interacting with a thermal field/ L.S. Aguiar, P.P. Munhoz, A. Vidiella-Barranco, J.A. Roversi// J. Opt.B. - 2005. - V.7. - P.S769-S771.

34. Liao, X.-P. The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms interacting with a thermal field via two-photon process/ X-P Liao, M-F. Fang, J-Wu Cai, X-J. Zheng// Chin.Physics. - 2008. - V. B17, №6. - P.2137-2142.

35. Bashkirov, E.K. The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms induced by nondegenerate two-mode thermal noise/ E.K. Bashkirov, M.P. Stupatskaya // Laser Physics. - 2009. - V.19. - C.525-530.

36. Башкиров, Е.К. Перепутывание двух дипольно связанных атомов/ Е.К. Башкиров, М.П. Ступацкая// Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2009. - Т.12, №2. - C.85-90.

37. Hu, Y.-H. Atomic coherence control on the entanglement of two atoms in two-photon processes/ Y.H. Hu, M.F. Fang, Q. Wu // Chinese Physics. - 2007. -V.B16. - P.2407-2414.

38. Hu, Y.-H. Coherence-enhanced entanglement between two atoms at high temperature/ Y.-H. Hu, M.-F. Fang, C.-L. Jiang, K. Zeng// Chin. Phys. - 2008. - V.17. -P.1784-1790 .

39. Hu, Y.H. Coherence-Enhanced Entanglement Induced by a Two-Mode Thermal Field/ H. Hu, M.F. Fang // Communications in Theoretical Physics. - 2010. -V.54. - P.421-426.

40. Ghosh B. Control of atomic entanglement by the dynamic Stark effect/ B. Ghosh, A.S. Majumdar, N. Nayak// J. Phys. B. V.41, №6. - P.065503.

41. Abdel-Aty, M. Sudden death and long-lived entanglement of two trapped ions / M. Abdel-Aty, H. Moya-Cessa// Phys. Lett. A. - 2007. - V.369. - P.372-376.

42. Hu, Y.-H. Effect of the Stark shift on entanglement in a double two-photon JC model/ Y.-H. Hu, M.-H. Fang, J.-W. Cai, K. Zeng, C.-L. Jiang// J. Mod. Opt. - 2008. -V.55, №21. - P.3551-3562.

43. Hu, Y.-H. Control of entanglement between two atoms by the Stark shift/ Y.-H. Hu, M.-F. Fang// Chin. Phys. - 2010. - V. B19, №7. - P.70302.

44. Башкиров, Е.К. Влияние штарковского сдвига на перепутывание двух атомв с вырожденными двухфотонными переходами/ Е.К. Башкиров, Ю.А. Никифорова// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2012. - №6(97) -С.174-178.

45. Zhang, J.-S. Influence of the Stark Shift on Entanglement Sudden Death and Birth in Cavity QED/ J.-S. Zhang, A.-X. Chen, K.-H. Wu// Chin. Phys. Lett. - 2011. -V.28, №1. - P.010301.

46. Wu, K.-H. Three-atom Entanglement Sudden Death and Birth in Cavity QED with The Influence of The Stark Shift/ K.-H. Wu, Q.-F. Huang, X.-Q. Zhang// Adv. Mat. Res. - 2013. - V.662. - P.537-542.

47. Monz, T. 14-Qubit Entanglement: Creation and Coherence/ T. Monz, P. Schindler, J. T. Barreiro, M. Chwalla, D. Nigg, W.A. Coish, M. Harlander, W.Hansel, M. Hennrich, R. Blatt// Phys. Rev. Lett. - 2011. - V.106. - P.130506.

48. McConnell, R. Entanglement with negative Wigner function of almost 3,000 atoms heralded by one photon/ R. McConnell, H. Zhang, J. Hu, S. Cuk , V. Vuletic// Nature. - 2015. - V.519. - P.439 - 442.

49. Lücke, B. Detecting Multiparticle Entanglement of Dicke States/ B. Lücke, J. Peise, G. Vitagliano, J. Arlt, L. Santos, G. Toth, C. Klempt// Phys. Rev. Lett. - 2014. -V.112. - P.155304.

50. Schwemmer, C. Experimental Comparison of Efficient Tomography Schemes for a Six-Qubit State/ C. Schwemmer, G. Toth, A. Niggebaum,T. Moroder, D. Gross, O. Gühne, H. Weinfurter// Phys. Rev. Lett. - 2014. - V.113. - P.040503.

51. Mazza, L. Detecting two-site spin-entanglement in many-body systems with local particle-number fluctuations/ L. Mazza, D. Rossini, R. Fazio, M. Endres// New J. Phys. - 2015. - V.17. - P.013015.

52. Eichler, C. Observation of Entanglement between Itinerant Microwave Photons and a Superconducting Qubit/ C. Eichler, C. Lang, J.M. Fink, J. Govenius, S. Filipp, A. Wallraff// Phys. Rev. Lett. - 2012. - V.109. - P.24051.

53. Flurin, E. Superconducting Quantum Node for Entanglement and Storage of Microwave Radiation/ E. Flurin, N. Roch, J. D. Pillet, F. Mallet, B. Huard// Phys. Rev. Lett. - 2015. - V.114. - P.090503.

54. Togan, E. Quantum entanglement between an optical photon and a solid-state spin qubit/ E. Togan, Y. Chu, A. S. Trifonov, L. Jiang, J. Maze, L. Childress, M. V. G. Dutt, A. S. S0rensen, P. R. Hemmer, A. S. Zibrov, M. D. Lukin// Nature. - 2010. -V.466. - P.730-735.

55. Duan, L.-M. Quantum networks with trapped ions/ L.-M. Duan, C. Monroe// Rev. Mod. Phys. - 2010. - V.82. - P.1209-1224.

56. Northup, T. E. Quantum information transfer using photons/ T. E. Northup, R. Blatt// Nature Photonics. - 2014. - V.8. - P. 356-363.

57. Башкиров, Е.К. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на мгновенную смерть перепутывания состояний двух атомов с вырожденными двухфотонными переходами / Е.К. Башкиров, А.М. Евдокимова, М.С. Мастюгин // Вестник Самарского государственного университета. - 2011. - №2 (83). - С.164-170.

58. Башкиров, Е.К. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание в многофотонной модели Тависа-Каммингса / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Вестник Самарского государственного университета. - 2011. -№ 8 (89). - С.153-156.

59. Башкиров, Е.К. Перепутывание двух дипоьно-связанных атомов, взаимодействующих с двухмодовым тепловым полем в резонаторе с высокой температурой / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Вестник Самарского государственного университета. - 2012. - № 9 (100). - С. 151-158.

60. Башкиров, Е.К. Перепутывание в невырожденной двухфотонной модели Тависа-Каммингса / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Вестник Самарского государственного университета. - 2011. - № 5 (86). - С.109-114.

61. Башкиров, Е.К. Перепутывание двух сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с двухмодовым тепловым полем / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Компьютерная оптика. - 2013. - Т.37, № 3. - С. 278-285.

62. Башкиров, Е.К. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику перепутанных сверхпроводящих потоковых кубитов, взаимодействующих с тепловым полем / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2013. - Т.16, № 2. -С.19-24.

63. Башкиров, Е.К. Динамика перепутанных атомов с двухфотонными переходами при наличии штарковского сдвига энергетических уровней / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2014. - Т. 17, № 1. - С. 7-12.

64. Башкиров, Е.К. Перепутывание сверхпроводящих потоковых кубитов с вырожденными двухфотонными переходами, индуцированное тепловым шумом / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16, № 6-1. - С.43-49.

65. Bashkirov, E.K. The dynamics of entanglement in two-atom Tavis-Cummings model with non-degenerate two-photon transitions for four-qubits initial atom-field entangled states / E.K. Bashkirov, M.S. Mastuygin // Opt. Commun. - 2014. - V.313. -P.170-174.

66. Башкиров, Е.К. Влияние диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на перепутывание двух атомов с вырожденными двухфотонными переходами / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Оптика и спектроскопия. - 2014. -Т. 116, № 4. - С.678-683.

67. Башкиров, Е.К. Влияние атомной когерентности на перепутывание атомов с двухфотонными переходами с учетом динамического штарковского сдвига / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2014. - Т. 17, № 2. - С.7-12.

68. Башкиров, Е.К. Перепутывание двух кубитов, взаимодействующих с одномодовым квантовым полем / Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки. - 2015. - T.19, № 2. - С.205-220.

69. Башкиров, Е.К. Перепутывание в двухкубитной системе, индуцированное одномодовым тепловым шумом, при наличии атомной когерентности/ Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин //Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2015. - Т.18, № 2. - С.6-13.

70. Bashkirov, E.K. The influence of atomic coherence and dipole-dipole interaction on entanglement of two qubits with nondegenerate two-photon transitions / E.K. Bashkirov, M.S. Mastuygin // Pramana-J.Phys. - 2015. - V.84 (1). - P.127-135.

71. Bashkirov, E.K. Influence of Stark shift on entanglement of two atoms with degenerate two-photon transitions for entangled and disentangled initial states/ E.K. Bashkirov, M.S. Mastuygin // Optik. - 2015. - V.126. - P.1787-1791.

72. Скалли, М.О. Квантовая оптика/ М.О. Скалли, М.С. Зубайри: пер. с анг. под ред. В.В. Самарцева - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 512с.

73. Jaynes, E.T. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser/ E.T. Jaynes, F.W. Cummings// Proc. IEEE. - 1963. - V.51. - P.89 -109.

74. Yoo, H.Y. Dynamical theory of an atom with two and three levels interacting with quantized cavity fields/ H.Y. Yoo, J.H. Eberly// Physics Reports. - 1985. - V.118. -P.239 - 337.

75. Shore B.W. On the Jaynes-Cummings model/ B.W. Shore, P.L. Knight// J. Mod. Opt. - 1993. - V.40. - P.1195 - 1238.

76. Klimov A.B. A Group-Theoretical Approach to Quantum Optics: Models of Atom-Field Interactions/ A.B. Klimov, S.M. Chumakov - Weinheim: WILEY-VCH, 2009. - 321p.

77. D Greentree, А. Special issue on Jaynes-Cummings physics / A. D Greentree, J. Koch, J. Larson// J. Phys. B. - 2013. - V.46, № 22. - P.220201.

78. Narozhny, N.B. Coherence versus incoherence: Collapse and revival in a simple quantum model/ N.B. Narozhny, J.J. Sanchez-Mondragon, J.H. Eberly// Phys. Rev. A. - 1981. - V.23. - P.236-247.

79. Meystre, P. Squeezed states in the Jaynes-Cummings model/ P. Meystre, M.S. Zubairy// Phys. Lett.A. - 1982. - V.89, № 8. - P.390 - 392.

80. Dell'Anno, F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering/ F. Dell'Anno, S. De Siena, F. Illuminati// Physics Reports. - 2006. - V.428. - P.53 - 168.

81. Алискендеров, А.И. Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением/ А.И. Алискендеров, A.C. Шумовский, Xo Чунг Зунг // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1993. - Т. 24. Часть 2. - С. 409-463.

82. Tavis, M. Exact Solution for an N-Molecule—Radiation-Field Hamiltonian/ M. Tavis, F.W. Cummings// Phys. Rev. - 1968. - V. 170. - P. 379 -384.

83. Кондрашкин, М.П. Элементы квантовой информатики: учебное пособие / М.П. Кондрашкин, В.П. Яковлев - Москв, 2004. - 84с.

84. Бетеров, И.М. Прецизионная штарковская спектроскопия тонкой структуры микроволнового перехода 37P-37S в ридберговских атомах натрия/ И.М. Бетеров, И.И. Рябцев// Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т.68, В.12. - С.853-857.

85. Рябцев, И.И. Микроволновая спектроскопия эффекта Зеемана в ридберговских атомах натрия/ И.И. Рябцев, Д.Б. Третьяков// Оптика и спектроскопия. - 2001. - Т.90, В.2. - С.181-184.

86. Beterov, I.M. Multiphoton microwaye resonances in sodium Rydberg atoms/ I.M. Beterov// Intense Laser Phenomena, Series in Optics and Photonics, G.L. Vasilenko, I.I. Ryabtsev, N.V. Fateev, I.Yu. Kiyan and M.Y. Ivanov, World Scientific, Singapore. - 1991. - V.3. - P.100-120.

87. Beterov, I.M. Rydberg sodium atoms in a strong microwave field/ Beterov I.M., Ryabtsev I.I.// Physics of Vibrations. - 1998. - V.6, №3. - P. 196-205.

88. Hagley, H. Generation of Einstein-Podolsky-Rose pairs of atoms / H. Hagley, X. Maitre, G. Nogues, C. Wunderlich, M. Brune, J.M. Raimond, S. Haroche // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79, №1. - P. 1-5.

89. Osnaghi, S. Coherent conrol of an atomic collision in a cavity / S. Osnaghi, P. Bertet, A. Auffeves, P. Maioli, M. Brune, J.M. Raimond, S. Haroche // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 87, №3. - Р.037902.

90. Zhu, J. Yang. On-chip single nanoparticle detection and sizing by mode splitting in an ultrahigh-Q microresonator/ J. Zhu, S. K. Ozdemir, Y.-F. Xiao, L. Li, L. He, D.-R. Chen, L.Yang // Nature Photonics. - 2010. - V. 4. - P. 46 - 49.

91. Ozdemir, S. K.. Estimation of Purcell factor from mode-splitting spectra in an optical microcavity/ S. K. Ozdemir, J. Zhu, L. He, L. Yang// Phys. RevA. - 2011. -V.83. - P.033817.

92. Lev, B. Feasibility of detecting single atoms using photonics band gap cavities/ B. Lev, K. Srinivasan, P. Barclay, O. Painter, H. Mabuchi // Nanotechnology. -2004. - V.5. - P.S556-S561.

93. Greentree, A. D. Quantum gate for Q switching in monolithic photonbandgap cavities containing two-level atoms/ A. D. Greentree, J. Salzman, S. Prawer, L.C. L. Hollenberg // Phys. RevA. - 2006. - V.73. - P.013818.

94. Kleppner, D. Theory of the Hydrogen Maser/ D. Kleppner, H.M. Goldenberg, N.F. Ramsey// Phys. Rev. - 1962. - V.126. - P.603.

95. Wineland, D.J. Radiation-Pressure Cooling of Bound Resonant Absorbers/ D.J. Wineland, R.E. Drullinger, F.L. Walls// Phys. Rev. Lett. - 1978. - V.40. - P.1639.

96. Neuhauser, W. Optical-Sideband Cooling of Visible Atom Cloud Confined in Parabolic Well / W. Neuhauser, M. Hohenstatt, P. Toschek, H. Dehmelt// Phys. Rev. Lett. - 1978. - V.41. - P.233.

97. Neuhauser, W. Localized visible Ba+ mono-ion oscillator/ W. Neuhauser, M. Hohenstatt, P.E. Toschek, H. Dehmelt //Phys. Rev. A. - 1980. - V.22. - P.1137.

98. Wineland, D.J. Precision measurement of the ground-state hyperfine constant of 25Mg+ / D.J. Wineland, W.M. Itano// Phys. Lett. A. - 1981. - V.24. - P.1364.

99. Bergquist, J.C. Recoilless optical absorption and Doppler sidebands of a single trapped ion / J.C. Bergquist, W.M. Itano, D.J. Wineland // Phys. Rev. A. - 1987.

- V.36. - P.428(R).

100. Fisk P.T.H. VERY HIGH-Q MICROWAVE SPECTROSCOPY ON TRAPPED / P.T.H. Fisk, M.J. Sellars, M.A. Lawn, C. Coles, A.G. Mann, D.G. Blair// IEEE Trans. Instrum. Meas. - 1995. - V.44. - P.113-118.

101. Cirac, J.I. Quantum Computations with Cold Trapped Ions/ J.I. Cirac, P.Zoller// Phys. Rev. Lett. - 1995. - V.74. - P.4091.

102. Haljan, P.C. Entanglement of trapped-ion clock states/ P.C. Haljan, P.J. Lee. K-A Brickman, M. Aston, L. Deslauries, C. Monroe// Phys. Rev.A. - 2005. - V.72. - P. 062316.

103. Kim, K. Entanglement and Tunable Spin-Spin Couplings between Trapped Ions Using Multiple Transverse Modes/ K. Kim, M.-S. Chang, R. Islam, S. Korenblit, L.-M. Duan, C. Monroe // Phys. Rev.Lett. - 2009. - V.103. - P.120502.

104. Brickman Soderberg, K.-A. Photon-mediated entanglement for tapped ion quantum computing/ K.-A. Brickman Soderberg, M. Monroe// Rep. Prog. Phys. - 2010.

- V.73. - P. 036401.

105. Harlander, L. Trapped-ion antenae for the transmission of quantum information/ L. Harlander, Lechner, M. Rrownnutt, R. Blatt, W. Hansel// Nature. -2011. - V.471. - P.200-203.

106. Hucul, D. Modular entangleement of atomic qubits using photons and phonons/ D. Hucul, I.V. Inlek, G. Vittorini, C. Crocker, D. Sebath, S.M. Klark, C. Monroe// Nature Physics. - 2015. - V.11. - P.37-42.

107. Nenhelm, J. Towards fault-tolerant quantum computing with trapped ions/ J. Nenhelm, G. Kirchmair, C. F. Roos., R. Blatt// Nature Physics. - 2008. - V.4. - P.463-466.

108. C. J. Balance. High-Fidelity Quantum Logic in Ca+/ C. J. Balance - Ph. D. Thesis. Oxford, 2014. - 193p.

109. Thomas, W. Toward remote ion-ion entanglement with barium/ T.W. Noel, C. Auchter, C.-K. Chou, B. Blinov// Proc. SPIE. - 2015. - V.9377. - P.93770.

110. Ospelkaus, C. Microwave quantum logic gates for trapped ions/ C. Ospelkaus, U.Warring, Y. Colombe, K. R. Brown, J. M. Amini, D. Leibfried, D. J.Wineland// Nature. - 2011. - V.476. - P.181-185.

111. Casabone, B. Enhanced Quantum Interface with Collective Ion-Cavity Coupling/ B. Casabone, K. Friebe, B. Brandstätter, K. Schüppert, R. Blatt, T.E. Northup // Phys. Rev.Lett. - 2015. - V.114. - P.023602.

112. Casabone, B. Heralded Entanglement of Two Ions in an Optical Cavity/ B. Casabone, A. Stute, K. Friebe, B. Brandstatter, K. Schuppert, R. Blatt, T. E. Northup// Phys. Rev.Lett. - 2013. - V.111. - P.100505.

113. Wendin, G. Superconducting Quantum Circuits, Qubits and Computing/G. Wendin, V.S. Shumeiko// - 2005. arXiv:cond-mat/0508729. - 60p.

114. P. Bertet. Experimental Circuit QED. In book: Strong Light-Matter Coupling. From Atoms to Solid-State Systems / Ed. Alexia Auffeves et.al. Singapore:World Scientific, 2014. - P.83-98.

115. Chiorescu, I. Coherent dynamics of a flux qubit coupled to a harmonic oscillator/ I. Chiorescu, P. Bertet, K. Semba, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, J. E. Mooij// Nature. - 2004. - V.431. - P.159-162.

116. Johansson, J. Vacuum Rabi Oscillations in a Macroscopic Superconducting Qubit LC Oscillator System/ J. Johansson, S. Saito, T. Meno, H. Nakano, M. Ueda, K. Semba, H. Takayanagi// Phys.Rev.Lett. - 2006. - V.96. - P.127006.

117. A. Fedorov, A. K. Feofanov, P. Macha, P. Forn-Diaz, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij Strong Coupling of a Quantum Oscillator to a Flux Qubit at Its Symmetry Point" Physical Review Letters. 2010. V.105, P.060503.

118. Feofanov, A.K. Experiments on flux qubits with n-shifters/ A. K. Feofanov -Dissetation Thesis. Karlsruher: KIT Scientific Publishing, 2011. - 110 p.

119. Forn-Diaz, P. Observation of the Bloch-Siegert Shift in a Qubit-Oscillator System in the Ultrastrong Coupling Regime/ P. Forn-Diaz, J. Lisenfeld, D. Marcos, J. J. Garcia-Ripoll, E. Solano, C. J. P. M. Harmans, J. E. Mooij// Physical Review Letters. - 2010. - V.105. - P.237001.

120. Blais, A. Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computation/ A. Blais, R.-S. Huang, A. Wallraff, S. M. Girvin, R.J. Schoelkopf// Phys. Rev.Lett. - 2004. - V.69. - P.062320.

121. Wallraff, A. Strong coupling of a single photon to a superconducting qubit using circuit quantum electrodynamics/ A. Wallraff, D. I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.- S. Huang, J. Majer, S. Kumar, S. M. Girvin, R. J. Schoelkopf// Nature. - 2004. -V.431. - P.162-167.

122. Niemczyk, T. Circuit quantum electrodynamics in the ultrastrong-coupling regime/ T. Niemczyk, F. Deppe, H. Huebl, E. P. Menzel1, F. Hocke, M. J. Schwarz, J. J. Garcia-Ripoll, D. Zueco, T. Hümmer, E. Solano6, A. Marx, R. Gross// Nat. Phys. -2010. - V.6. - P.772-776.

123. Schuster, D.I. AC-Stark Shift and Dephasing of a Superconducting Qubit Strongly Coupled to a Cavity Field/ D.I. Schuster, A. Wallraff, A. Blais, L. Frunzio, R.-S. Huang, J. Majer, S.M. Girvin, R.J. Schoelkopf// Phys.Rev.Lett. - 2005. - V.94. - P. 123602.

124. Yang, C. P. Possible realization of entanglement, logical gates, and quantum-information transfer with superconducting-quantum-interference-device qubits in cavity QED/ C.P. Yang, S.I. Chu, S. Han// Phys. Rev. A. - 2003. - V.67. - P.042311.

125. Yang, C. P. Quantum information transfer and entanglement with SQUID qubits in cavity QED: A dark-state scheme with tolerance for nonuniform device parameter/ C.P. Yang, S.I. Chu, S. Han // Phys. Rev. Lett. - 2004.- V.92. - P.117902.

126. Peropadre, B. Switchable ultrastrong coupling in circuit QED/ B. Peropadre, P. Forn-Diaz, E. Solano, J.J. Garcia-Ripoll// Phys. Rev. Lett. - 2010. - V.105. P.023601.

127. Hofheinz, M. Generation of Fock states in a superconducting quantum circuit/ M. Hofheinz, E. M. Weig, M. Ansmann, R. C. Bialczak, E. Lucero, M. Neeley, A.D. O'Connell, H. Wang, J. M. Martinis, A.N. Cleland// Nature. - 2008. - V.454. -P.310.

128. Majer, J. Coupling superconducting qubits via a cavity bus / J. Majer, J. M. Chow, J. M. Gambetta, Jens Koch, B. R. Johnson, J. A. Schreier, L. Frunzio, D. I. Schuster, A. A. Houck, A. Wallraff, A. Blais, M. H. Devoret, S. M. Girvin , R. J. Schoelkopf // Nature. - 2007. - V.449. - P. 443-447.

129. Sillanpa, M.A. Coherentquantum state storage and transfer between two phase qubits via a resonant cavity/ M. A Sillanpa, J.I. Park, R.W. Simmonds // Nature. - 2007. - V.449. - P.438-442.

130. McDermott, R. Simultaneous State Measurement of Coupled Josephson Phase Qubits/ R. McDermott, R. W. Simmonds, M. Steffen, K. B. Cooper, K. Cicak, K. D. Osborn, S. Oh, D. P. Pappas, J. M. Martinis// Science. - 2005. - V.307. - P.1299 -1302.

131. A. Izmalkov, A. Evidence for Entangled States of Two Coupled Flux Qubits/ A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, Th. Wagner, H.-G. Meyer, A. Yu. Smirnov, M. H. S. Amin, Alec Maassen van den Brink, A. M. Zagoskin // Phys. Rev. Lett. - V.93. - P.037003.

132. Grajcar M. Direct Josephson coupling between superconducting flux qubits/ M. Grajcar, A. Izmalkov, S. H. W. van der Ploeg, S. Linzen, E. Il'ichev, Th. Wagner,

U. Hübner, H.-G. Meyer, Alec Maassen van den Brink, S. Uchaikin, A. M. Zagoskin // Phys.Rev.B. - 2005. - V.72. - P. 020503(R).

133. Izmalkov, A. Observation of macroscopic Landau-Zener transitions in a superconducting device/ A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, N. Oukhanski, Th. Wagner, H.-G. Meyer, W. Krech, M.H.S. Amin, A. Maassen van den Brink, A.M. Zagoskin// Europhys.Lett. -2004. - V.65, №6. - P.844-849.

134. Гельман, А.И. Квантовые скачки при переходах Ландау-Зинера в диссипативной динамике сверхпроводящего кубита/ А.И. Гельман, А.М. Сатанин // Письма в ЖЭТФ. - 2010.- Т.91. - С.584-589.

135. Grajcar, M. Four-Qubit Device with Mixed Couplings/ M. Grajcar, A. Izmalkov, S. H.W. van der Ploeg, S. Linzen, T. Plecenik, Th.Wagner, U. Hubner, E. Il'ichev, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, Peter J. Love, Alec Maassen van den Brink, M. H. S. Amin, S. Uchaikin, A. M. Zagoskin// Phys. Rev. Lett. - 2006. - V.96. - P.047006.

136. Plourde, B. L. T. Entangling flux qubits with a bipolar dynamic inductance/

B.L.T. Plourde, J. Zhang, K.B. Whaley, F.K. Wilhelm, T.L. Robertson, T. Hime, S. Linzen, P.A. Reichardt, C.-E. Wu, John Clarke// Phys.Rev.B. - 2004. - V.70. -P.140501(R).

137. Majer, J.B. Spectroscopy on two coupled flux qubits/ J.B. Majer, J.B., Paauw, A. ter Haar C.J.P.M. Harmans, C.J.P.M. and J.E. Mooij// Phys.Rev.Lett. - 2005. - V.94. P.090501.

138. Plourde, B.L.T. Flux qubits and readout device with two independent flux lines/ B.L.T. Plourde, T.L. Robertson, P.A. Reichardt, T. Hime, S. Linzen, C.-E. Wu, J. Clarke// Phys.Rev.B. - V.72. - P.060506(R).

139. Roch, N. Observation of Measurement-Induced Entanglement and Quantum Trajectories of Remote Superconducting Qubits/ N. Roch, M. E. Schwartz, F. Motzoi,

C. Macklin, R. Vijay, A.W. Eddins, A.N. Korotkov, K.B. Whaley, M. Sarovar, I. Siddiqi// Phys.Rev.Lett. - 2014. - V.112. - P.170501.

140. Riste, D. Deterministic entanglement of superconducting qubits by parity measurement and feedback/ D. Riste, M. Dukalski, C. A.Watson, G. de Lange, M. J.

Tiggelman, Ya. M. Blanter, K. W. Lehnert, R. N. Schouten, L. DiCarlo// Nature. - 2013. - V.502. - P. 350-354.

141. Filipp, S. Two-Qubit State Tomography Using a Joint Dispersive Readout/ S. Filipp, P. Maurer, P.J. Leek, M. Baur, R. Bianchetti, J.M. Fink, M. Göppl, L. Steffen, J. M. Gambetta, A. Blais, A. Wallraff// Phys. Rev. Lett. - V.102. P.200402.

142. Fedorov, A. Strong coupling pf a quantum oscillator to a flux qubit at its symmetry point/ A. Fedorov, A.K. Feofanov, P. Machs, P. Forn-Diaz, C.J.P.M. Harmans, J.E. Mooij// Phys.Rev.Lett. - 2010. - V.105. - P.060503.

143. Lang, C. Correlations, indistinguishability and entanglement in Hong-Ou-Mandel experiments at microwave frequencies/ C. Lang, C. Eichler, L. Steffen, J.M. Fink, M.J. Woolley, A. Blais, A. Wallraff // Nature Physics. - 2013. - V.9, №6. - P.345-348.

144. Corcoles, A.D. Demonstration of a quantum error detection code using a square lattice of four superconducting qubits/ A.D. Corcoles, E. Magesan, S.J. Srinivasan, A.W. Cross, M. Steffen, Jay M. Gambetta, J.M. Chow// Nature Communications. - 2015. - V.6. - P.6979.

145. Mlynek, J. A. Time Resolved Collective Entanglement Dynamics in Cavity Quantum Electrodynamics/ J.A. Mlynek, A.A. Abdumalikov Jr, J.M. Fink, L. Steffen, M. Baur, C. Lang, A.F. van Loo, A. Wallraff// ArXiv: 1202, 5191. - 2014. - V.1

146. McKay, D. C. High-Contrast Qubit Interactions Using Multimode Cavity QED/ D. C. McKay, R. Naik, P. Reinhold, L.S. Bishop, D. I. Schuster //Phys.Rev.Lett. -2015. - V.114. - P.080501.

147. Mlynek, J.A. Observation of Dicke superradiance for two artificial atoms in a cavity with high decay rate/ J.A. Mlynek, A.A. Abdumalikov, C. Eichler, A. Wallraff// Nature Communications. - 2014. - V.5. - P.5186.

148. Neeley, M. Generation of three-qubit entangled states using superconducting phase qubits/ M. Neeley, R.C. Bialczak, M. Lenander, E. Lucero, M. Mariantoni, A. D. O'Connell, D. Sank, H. Wang, M. Weides, J. Wenner, Y. Yin, T. Yamamoto, A. N. Cleland, J.M. Martinis// Nature. - 2010. - V.467. - P.570-573.

149. DiCarlo, L. Preparation and measurement of three-qubit entanglement in a superconducting circuit/ L. DiCarlo, M.D. Reed, L. Sun, B.R. Johnson, J.M. Chow, J.M. Gambetta, L. Frunzio, S.M. Girvin, M.H.Devoret, R.J. Schoelkopf// Nature. - 2010. -V.467. - P.574-578.

150. Sun, G. Tunable quantum beam splitters for coherent manipulation of a solid-state tripartite qubit system/ G. Sun, X. Wen, B. Mao, J. Chen, Y. Yu, P. Wu, S. Han // Nature Communication. - 2010. - V.1. - P.51.

151. Valenzuela, S.O. Microwave-Induced Cooling of a Superconducting Qubit/ S. O. Valenzuela, W. D. Oliver, D. M. Berns, K. K. Berggren, L. S. Levitov, T. P. Orlando// Science. - 2006. - V. 314. - P.1589-1592.

152. Oliver, W.D. Large-amplitude driving of a superconducting. Interferometry, cooling, and amplitude spectroscopy/ W.D. Oliver, S.O. Valenzuela// Quantum Inf. Process. 2009. V.8. P.261-281.

153. Dumur, E. V-shaped superconducting artificial atom based on two inductively coupled transmons/ E. Dumur, B. Kung, A.K. Feofanov, T. Weissl, N. Roch, C. Naud, W. Guichard// Phys.Rev.B. - 2015. - V.92. - P.020515(R).

154. Kiktenko, O. Multilevel superconducting circuits as two-qubit systems: Operations, state preparation, and entropic inequalities/O. Kiktenko, A. K. Fedorov, O.V. Man'ko, V.I. Man'ko// Phys. Rev. A. - 2015. - V.91. - P.042312.

155. Braumuller, J. Multiphoton dressing of an anharmonic superconducting many-level quantum circuit/ J. Braumuller, J. Cramer, S. Schl'or, H. Rotzinger, L. Radtke, A. Lukashenko, P. Yang, S. T. Skacel, S. Probst, M. Marthaler, L. Guo, A. V. Ustinov, M.Weides// Phys. Rev.B. - 2015. - V.91. - P.054523.

156. Shalibo, Y. Direct Wigner Tomography of a Superconducting Anharmonic Oscillator/ Y. Shalibo, R. Resh, O. Fogel, D. Shwa, R. Bialczak, J. M. Martinis, N. Katz // Phys.Rev.Lett. - 2013. - V.110. - P.100404.

157. Peterer, M. J. Coherence and Decay of Higher Energy Levels of a Superconducting Transmon Qubit/ M. J. Peterer, S. J. Bader, X. Jin, F. Yan, A. Kamal, T. J. Gudmundsen, P. J. Leek, T. P. Orlando, W. D. Oliver, S. Gustavsson // Phys.Rev.Lett. - 2015. - V.114. - P.010501.

158. Astafiev, O. Single artificial-atom lasing/ O. Astafiev, K. Inomata, A. O. Niskanen, T. Yamamoto, Yu. A. Pashkin, Y. Nakamura, J. S. Tsai // Nature. - 2007. -V.449. - P.588 -590.

159. Neilinger, P. Two-photon lasing by a superconducting qubit/ P. Neilinger, M. Rehak, M. Grajcar // Phys. Rev.B. - 2015. - V.91. - P.104516.

160. Liu, Y.X. Optical selection rules and phase-dependent adiabatic state control in a superconducting quantum circuit/ Y.X. Liu, J.Q. You, L.F. Wei, C.P. Sun, F. Nori// Phys.Rev.Lett. - 2005. - V.95. - P.087001.

161. You, J.Q. Persistent single-photon production by tunable on-chip micromaser with a superconducting quantum circuit/ J.Q. You, Y.X. Liu, C.P. Sun, F. Nori// Phys.Rev.B. - 2007. - V.75. - P.104516.

162. You, J.Q. Atomic physics and quantum optics using superconducting circuits/ J.Q. You, F. Nori// Nature. - 2011. - V.474. - P.589-597.

163. А.Н. Омельянчук, Е.В. Ильичев, С.Н. Шевченко Квантовые когерентные явления в джозефсоновских кубитах/ А.Н. Омельянчук, Е.В. Ильичев, С.Н. Шевченко. - Киев: Наукова Думка, 2013. - 168с.

164. Ilichev, E. Weak continuous measurements of multiqubits systems/ E. Ilichev, S.H.W. Van der Ploeg, M. Grajcar, H.-G. Meyer// Quantum Inf. Process. -2009. - V.8. - P.133 - 153.

165. Kubo, Y. Hybrid quantum circuit with a superconducting qubit coupled to a spin ensemble/ Y. Kubo, C. Grezes, A. Dewes, T. Umeda, J. Isoya, H. Sumiya, N. Morishita, H. Abe, S. Onoda, T. Ohshima, V. Jacques, A. Dreau, J.-F. Roch, I. Diniz, A. Auffeves, D. Vion, D. Esteve, P. Bertet// Phys. Rev. Lett. - 2011. - V.107. -P.220501.

166. Tabuchi, Y. Coherent coupling between a ferromagnetic magnon and a superconducting qubit/ Y. Tabuchi, S. Ishino, A. Noguchi, T. Ishikawa, R. Yamazaki, K. Usami, Y. Nakamura//Science. - 2015. - V.349. - P.405-408.

167. Ku, L.-C. Decoherence of a Josephson qubit due to coupling to two-level systems/ L.-C. Ku, C.C. Yu// Phys.Rev.B. - 2005. - V.72. - P.024526.

168. Neeley, M. Process tomography of quantum memory in a Josephson-phase

qubit coupled to a two-level state/ M. Neeley, M. Ansmann, R.C. Bialczak, M. Hofheinz, N. Katz, E. Lucero, A. Connell, H. Wang, A.N. Cleand, J. Martinis// Nature Physics. - 2008. - V.4. - P.523-526.

169. Simmonds, R.W. Decoherence in Josephson Phase Qubits from Junction Resonators/ R.W. Simmonds, K.M. Lang, D.A. Hite, S. Nam, D.P. Pappas, J.M. Martinis// Phys. Rev.Lett. - 2004. - V.93. - P.077003.

170. Lisenfeld, J. Rabi spectroscopy of a qubit-fluctuator system/ J. Lisenfeld, C. Müller, J.H. Cole, P. Bushev, A. Lukashenko, A. Shnirman, A.V. Ustinov// Phys.Rev.B. - 2010. - V.81. - P.100511(R).

171. Sun, G. Entanglement dynamics of a superconducting phase qubit coupled to a two-level system/ G. Sun, Z. Zhou, B. Mao, X. Wen, P. Wu, S. Han// Phys.Rev. B.

- 2012. - V.86. - P.064502.

172. Marr, C. Entangled-state preparation via dissipation-assisted adiabatic passages / C. Marr, A. Beige, G. Rempe// Phys.Rev.A. - 2003. - V.68. - P.033817.

173. Mancini, S. Engineering an interaction and entanglement between distant atoms/ S. Mancini, S. Bose, G. Rempe// Phys.Rev.A. - 2004. - V.70. - P. 022307.

174. Chimczak, G. Efficient generation of distant atom entanglement via cavity decay/ G. Chimczak// Phys.Rev.A. - 2005. - V.71. - P. 052305.

175. Shen, L.T. Steady-state entanglement for distant atoms by dissipation in coupled cavities/ L.T. Shen, X.Y. Chen, Z.B. Yang, H.Z. Wu, S.B. Zheng// Phys.Rev.A.

- 2011. -V.84. - P. 064302.

176. Bashkirov, E.K. Entanglement between two atoms succesevely passing a cavity induced by thermal noise/ E.K. Bashkirov, Y.A. Nikiforova// Computer optics. -2012. - V. 36, № 4. - P. 468-473.

177. Lu, M. Shortcuts to adiabatic passage for population transfer and maximum entanglement creation between two atoms in a cavity/ M. Lu, Y. Xia, L.T. Shen, J. Song, N.B. An// Phys.Rev.A. - 2014. - V.89. - P.012326.

178. Guo, Y.Q. Field tuned atom-atom entanglement via dipole-dipole interaction/ Y.Q. Guo, H.J. Cao, H.S. Song// ArXiv: 0509142. - 2005. - P.1-7.

179. Башкиров, Е.К. Перепутывание кубитов при наличии атомной когерентности/ Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова// Компьютерная оптика. - 2014. -Т.38, №4. - С. 663 - 669.

180. Peres, A. Separability criterion for density matrices/ A. Peres// Phys. Rev. Lett. - 1996. - V.77, №8. - P.1413-1415.

181. Horodecki, R. Separability of mixed states: Necessary and sufficient conditions/ R. Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki// Phys. Lett.A. - 1996. - V.223. -P.333-339.

182. Wootters, W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits/ W.K. Wootters// Phys. Rev. Lett. - 1998. - V.80. - P.2245.

183. Rohde, H. Sympathetic ground-state cooling and coherent manipulation with two-ion crystals/ H. Rohde, S.T. Gulde, C.F. Roos, P.A. Barton, D. Leibfried, J. Eschner, F. Schmidt-Laler, R. Blatt// J. Opt. - 2001. - V.B3. - P.S34-S41.

184. Ghosh, B. Effects of cavity-field statistics on atomic entanglement in the Jaynes-Cummings model/ B. Ghosh, A.S. Majumdar, N. Nayak// Int. J. Quant. Inf. -2007. - V.5. - P.169-178.

185. Yan, X.-Q. Entanglement sudden death of two atoms successive passing a cavity/ X.-Q. Yan// Chaos Solitons and Fractals. - 2009. - V.41. - P.1645-1650.

186. Liao, Q. Sudden birth of entanglement between two atoms successively passing a thermal cavity/ Q. Liao, G. Fang, M.A. Ahmad, S. Liu// Optics Communications. - 2011. - V.284. - P.301-305.

187. Dur, W. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways / W. Dur, G. Vidal, J.I. Cirac// Phys. Rev.A. - 2000. - V.62. - P.062314.

188. Verstraete, F. Four qubits can be entangled in nine different ways/ F. Verstraete, J. Dehaene, B. De Moor, H. Verschelde// Phys. Rev.A. - 2002. - V.65. -P.052112.

189. Li, C. The influences of dipole-dipole interaction and detuning on the sudden death of entanglement between two atoms in the Tavis-Cummings model/ C. Li, X.-Q Shao, Z. Shou// Chin. Phys. - 2009. - V.18, №3. - P.888-893.

190. Mlynek, J.A. Demonstrating W-type entanglement of Dicke states in resonant cavity quantum electrodynamics/ J. A. Mlynek, A. A. Abdumalikov, Jr., J. M. Fink, L. Steffen, M. Baur, C. Lang, A. F. van Loo, A. Wallraff// Phys. Rev.A. - 2012. -V.86. - P.053838.

191. Altomare, F. Tripartite interactions between two phase qubits and a resonant cavity/ F. Altomare, J. I. Park, K. Cicak, M.A. Sillanpää, M.S. Allman, D. Li, A. Sirois, J.A. Strong, J.D. Whittaker, R.W. Simmonds// Nature Physics. - 2010. - V.6. - P.777-781.

Приложение А

Явный вид элементов матрицы (2.14)

Pll =1 a I2 ZPn | Z41,n I2 + I Ь I2 Ер« I Z42,n-1 I2 Ep«Z42,«-1Z4*3,„-1 +

n=0 n=1 n=1

+cb ЕЕР «Z 43,n-1Z 42, «-1

+I сI2 Ер« IZ 4З,«-1 I2+I d |2 ЕР« IZ 44,n-2

n=1 n=1 n=2

P12 = ab ЕрnZ41,nZ2*2,n-1 + ac* ЕРnZ41,nZ23,n-1 + n=1 n=1

+bd* ЕРnZ42,«-1Z24,n-2 + cd* ЕP«Z 43,«-1Z 24,n-2 + n=2 n=2

+ P1(bd *Z 42,OG2*4 + cd *Z 4З,О^2*4) + Po(ab*Z 4^2 + ^X^^X

P13 = ab* Ер «Z 41,«Z 32,«-1 + aC EP«Z41,nZ33,n-1 + n=1 n=1

+bd* ЕРnZ42,«-1Z3*4,n-2 + cd* ЕP«Z 43,n-1Z34,n-2 + n=2 n=2

+ P1(bd *Z 42,OG3*4 + cd *Z 43,OG3*4) + Po(ab*Z 4^2 + ac*Z 41,OG33X

P14 = ad * EPnZ41,nZHn-2 + P1ad *Z41,1G1*4 + Poad ^ Z41,0,

n=2

P22 =I a I2 ЕР« IZ21,«I2 +I d |2 ЕР« IZ24,«-2I2 +

n=0 n=2

+bc* EP«Z22,«-1Z2*3,n-1 + Cb* EP«Z23,«-1Z2*2,n-1 +

n=1 n=1

+ I c I2 ЕР« I Z23,n-1 I2 + I b I2 ЕР« I Z22,n-1 I2 +

n=1 n=1

+P1 I d A G24 I2 + P0(I b |2| G22 I2 +bc*G22G2*3) + P0(сЬG23G22 I C |2| G23 |2), P23 =| a |2 ЕP«Z21,«Z3*1,n + | d |2 ЕP«Z24,n-2Z3*4,n-2 +

n=0 n=2

+bc¡ VPnZ22,n-1Z3¡3,n-1 + Cb¡ VPnZ23,n-1Z32,n-1 +

n=1 n=1

+ I C I2 VPnZ23,n-1Z3¡3,n-1 + I b \2 VPnZ22,n-1Z¡2,n-1 +

n=1 n=1

+ P[1] I d I2 G24G2¡3 + P[0](I b I2 G22G3¡2 + bccG22(Gi3 + cb¡G23G¡2 + I C ^ ^з^зХ

P33 =\ a\2 VPn I Z31,n I2 + I b \2 Vn I Z32,n-1 I2 +bc¡^nZ32,n-1Z3¡3,n-1 +

n=0 n=1 n=1

+ cb¡ VPnZ 33,n-1Z32,n-1+ I C I2 VPn I Z33,n-1 I2 2+ I d \2 VPn \ Z34,n-2 \ + n=1 n=1 n=2

+Pl \ d \2\ G34 \2 + P0(\ b \2\ G32 \2 +bc¡G32G; + cb*GG + \ c \2\ G33 \2, P34 = ab¡ VPnZ31,nZ12,n-1 + aC¡ VPnZ31,nZ13,n-1 +

n=1 n=1

+bd * V P Z32 1Z¡4 2 + cd * V P Z33 1Z¡4 2 +

/ ¡r n 32,n-1 14,n-2 / ¿f n 33,n-1 14,n-2

n=2 n=2

+ Pl(bd ¡Z32,0G¡4 + Cd ¡Z33,0G¡4) + P0 ( ab*Z 31,0G12 + +

+P0 (bd ¡G32 + cd ¡G33,

P44 =\ a \2 V n \ Z11 \2 + \ b \2 VP n \ Z12,n-1 \2 +bc¡ ^nZ12,n-1Z¡3,n-1 +

n=0 n=1 n=1

+ cb¡ VPnZ13,n-1Z¡2,n-1 + \ C \2 VPn \ Z13,n-1 \2 + \ d \2 VPn \ Z14,n-2 \2 + n=1 n=1 n=2

+Pl \ d \2\ G14 \2 + P0(\ b \2\ G12 \2 +bc¡Gl2G¡3 + cb¡Gl3G¡2 + \ c \2\ G13 \2 + \ d \2).

Приложение Б

Явный вид элементов матрицы (2.31)

А*

ю А А

рр) = X Р (:)[ Рп(0)(1 + 2 Л п +1)( п + 2))(1 + 2 Лп +1)( п + 2)) +

11 Л

п=0 Х1П+2

+(Р22(0) + Р2З(0) + Р32(°) +

п+2

+Рзз(0))п(п -1)

5.

0:

] + £ Р (п)[4р44 (0)(п(п - 1)(п - 2)(п - 3))

п=2

А

п-2

Л

'п-2

р (*) = £ Р(п)[(^(п)А2(0) + ^2*з(п)^1з(0))(1 + 2 -Л+2(п + 1)(п + 2))]

12 Л

п=0

+

п+2

ю В В*

+£Р(п)[(Р24(0) + Рз4(0))п(п - 1)],

п=2

0 0

и^п-2

А

Лз(* ) = £ Р(п)[(и;(п)^12(0) + и;(п)^1з(0))(1 + 2 -Л+2(п +1)(п + 2))]

п=0

+

п+2

+

£ Р(п)[(Р24(0) + Рз4(0))п(п - 1)

п=2

Вп Вп-2 0 0

,1*

ю а А

Р14(0 = £ Р(п)[^14(0)(1 + 2 Л (п + 1)(п + 2))(1 + 2 л п(п -1)) +

14 Л *

п=2

'п+2

Л

п-2

+Р(0) р4(0)(1 + 4 Л + Р(1) р14(0)(1 +12 Л),

Л Л3

р (О = £ Р(п)[(^22(п)Р21(0) + ^2з(п)Рз1(0))(1 + 2 Л+Кп + 1)(п + 2))]

п=0 Лп+2

+

+

в: В„

£Р(п)[(Р42(0) + Р4з(0))п(п - 1)^ф-2],

п=2

0 0

Р22(0 = £ Р(п)[ри(0)(п + 1)(п + 2)

:=0

В

:+2

0

:+2

+

+Р22 (0)и 22 (п)и 22 (п) + Аз (0)и2*3 (п)и22 (п) +

2

+P32 (0)U22 (n)U23 (n) + P33 (0)U2з (n)U23 (n)] + £ P(:)P(0):(: -1)

p23(t ) = V P(n)[Pll(0)(n + 1)(n + 2)

n=0

B

n=2 2

B

n-2

G

n-2

n+2

G

n+2

+ P22(0)U3¡2(:)U22(n)

+P23(0)U¡3 (n)U22 (n) + P32 (0)U¡2 (n)U23 ( n) + P33(0)U;( n^n)] +

+

V P(n)[P44(0)n(n -1)

n=2

B

n-2

G

n-2

a:

p24(t) = VP(n)[(U22(n)P24(0) + U23(n)P34(0))(1 + 2n(n -1))]

n=2

+

-2

+

BI B_

V P(n)[(Pl2(0) + P13 (0))(n + 2)(n +1) g +

n=0

G G +2

n n+2

+P(0)[(U22(0)P24(0) + U23(0)P34(0)) + P(1)[(U22(1)p24(0) + ^(1)^(0)),

A

p3l(t ) = V P(n)[(U32(n)P2l(0) + U33(n)p3l(0))(1 + 2 -^(n + 1)(n + 2))]

n=0

+

n+2

+

VP(n)[(P42(0) + P43(0))n(n - 1)

n=2

B¡ Bn-2

G G '

n n-2

p32(t ) = V P(n)[Pll(0)(n + 1)(n + 2)

n=0

B

n+2

G

n+2

+ P22 (0)U32 (n)U22 (n) + P23 (0)U2>3 (n)U32 (n) +

+P32 (0)U22 (n)U33 (n) + P33 (0)U2з (n)U33 (n)] + V P(:)[p44(0)«(: -1)

n=2

B

n 2

G

n 2

pj ) = V P(n)[Pll(0)(n + 1)(n + 2)

n=0

B

n+2

G

n+2

+ P22(0)U¡2(n)U32(n) + P23(0)U¡(n)U32(n) +

2

2

2

2

+P32 (0)U^2 ( n)Uзз(:) + P33(0)U3¡3(:)U33(:)] + V P( ^[p^) n( n -1)

n=2

Bn 2

G

n 2

2

œ A*

p34(t) = ЕP(n)[(U32(n)P24(0) + U33(n)P34(0))(1 + 2Т2n(n -1))] +

n=2 Т-2

œ D* B

+Е p (n)[(Pn(o)+P13 (o))(n+2)(„+1) e e^]+

n=0 en en+2

+P(0)[(U32(0)P24(0) + U33 (0)Рз4(0)) + P(1)[(U32(1)P24(0) + ^(1)^(0)),

œ A* A

p41(t ) = Е P( n)[ P41 (0)(1 + 2 T^tn + 1)(n + 2))(1 + 2 T n(n -1)) +

n=2 T+2 Tn-2

+P(0) P4l(0)(1 + 4 T) + P(1) P4l(0)(1 +12 T), T T

œ A

P42(t) = ЕP(n)[(U2*2(n)P42(0) + U2*3(„)P43(0))(1 + 2T-2„(„ " 1))] +

n=2 T-2

œ B B*