Коэффициентные признаки устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем в критических случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гончаров, Сергей Иванович

• Гончаров, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гончаров, Сергей Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

§1. Достаточные условия устойчивости линейных дискретных систем в критических случаях.

§2. О вычислении нормы линейного оператора на подпространстве с равномерной метрикой.

2.1. Формула для нормы линейного оператора на подпространстве (вещественный случай).

2.2. Формула для нормы линейного оператора на подпространстве (комплексный случай).

2.3. 0. вычислении нормы фактор-оператора на подпространстве фактор-пространства.

§3. О вычислении нормы линейного оператора на подпространстве с метрикой - суммой модулей.

3.1. Формула для нормы линейного оператора на подпространстве (вещественный случай).

3.2. Оценка нормы линейного оператора на подпространстве (комплексный случай).

3.3. О вычислении нормы фактор-оператора на подпространстве фактор-пространства.

§4. Об оценке нормы линейного оператора на подпространстве с евклидовой метрикой.

4.1. Формулы для нормы линейного оператора на подпространстве.

4.2. Об оценке нормы фактор-оператора на подпространстве фактор-пространства.

§5. Применение формул для нормы линейного оператора на подпространстве для специальных типов матриц.

5.1. Марковские матрицы.

5.2. Циркулянтные матрицы.

§6. Три подхода к оценке спектрального радиуса остаточного оператора.

6.1. Применение формул для нормы остаточного оператора к задачам устойчивости в критических случаях.

6.2. Применение локализационных теорем к задачам устойчивости в критических случаях.

6.3. Оценка спектрального радиуса остаточного оператора через норму возмущенного оператора.

6.4. Примеры.

§7. Применение формул для нормы линейного оператора на подпространстве к доказательству и улучшению дискретных неравенств Островского, Беллмана и Норткотта.

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

§8. Достаточные условия устойчивости линейных непрерывных систем в критических случаях.

§9. О вычислении логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве с равномерной метрикой.

9.1. Формула для логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве (вещественный случай).

9.2. Оценка для логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве (комплексный случай).

§10. О вычислении логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве с метрикой - суммой модулей

10.1. Формула для логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве (вещественный случай).

10.2. Оценка для логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве (комплексный случай).

§11. Об оценке логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве с евклидовой метрикой

11.1. Формулы для логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве.

11.2. Оценка для логарифмической нормы фактор-оператора на подпространстве фактор-пространства.

§12. Применение формул для нормы линейного оператора на подпространстве в задачах, описываемых непрерывными стохастическими процессами.

§13. Три подхода к оценке спектральной абсциссы остаточного оператора.

13.1. Применение формул для логарифмической нормы остаточного оператора к задачам устойчивости в критических случаях.

13.2. Применение локализационных теорем к задачам устойчивости в критических случаях.

13.3. Оценка спектральной абсциссы остаточного оператора через логарифмическую норму возмущенного оператора

13.4. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коэффициентные признаки устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем в критических случаях»

Изучение критических случаев в теории устойчивости занимает важное место [8, 17, 21, 30, 39, 40, 49, 53, 60, 61, 80]. Основоположником теории устойчивости движения является великий русский математик А.М. Ляпунов (1857-1918). Строгое понятие устойчивости он ввел в своей фундаментальной работе "Общая задача об устойчивости движения" (1892) [60].

Движение системы в дискретном случае описывается разностными уравнениями, а в непрерывном - системами дифференциальных уравнений, при этом часто рассматривают линеаризованные модели движения [17, 65].

Для выяснения характера устойчивости линейной дискретной или непрерывной системы прибегают к рассмотрению характеристического уравнения матрицы коэффициентов системы, несущего информацию о ее спектре. В этих целях используют какие-либо критерии устойчивости: Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквистаи другие [1, 4, 30]. Однако, построение характеристического полинома связано с трудностями вычислительного характера, к тому же в случае кратных корней определение устойчивости затруднительно, поскольку при построении полинома теряется информация о степени элементарных делителей.

Особый интерес представляет получение коэффициентных признаков устойчивости, благодаря которым только лишь по коэффициентам матрицы линейной системы можно было бы ответить на вопрос об устойчивости системы.

Рассмотрим дискретные системы, описываемые системами конечно-разностных уравнений вида х(Ь + 1) = Мж(£), Ь = 0,1,2,., (0.1) где М - квадратная пхп- матрица, и непрерывные системы, описываемые системами дифференциальных уравнений х{€) = Кх(г), 0 < г < оо, (0.2) где К - квадратная пхп- матрица.

Напомним, что спектральным радиусом называется максимальный из модулей точек спектра матрицы врг А = тах{|А| : А <Е врА}, (0.3) где эр Л - спектр матрицы А. По аналогии со спектральным радиусом определим спектральную абсциссу яра А как максимальную из вещественных частей точек спектра матрицы А: spa Л = max{Re А : A Е spА}. (0.4)

Отметим, что термин "спектральная абсцисса" не является общепризнанным, в литературе можно встретить такие его наименования, как вещественный радиус, старший показатель Ляпунова или абсцисса устойчивости или константа устойчивости, если речь идет о матрицах, спектр которых лежит внутри левой полуплоскости.

Если дискретная система (0.1) устойчива, то ее спектр лежит в замкнутом единичном круге (spr М < 1). Асимптотическая устойчивость системы (0.1) равносильна принадлежности спектра внутренности единичного круга (spr М < 1) комплексной плоскости.

Устойчивость непрерывной системы (0.2) влечет за собой принадлежность спектра матрицы К замкнутой левой полуплоскости (spa К < 0), а асимптотическая устойчивость системы (0.2) равносильна принадлежности собственных значений матрицы К внутренности левой полуплоскости (spa if < 0).

Сложность представляет изучение случаев, когда некоторые собственные значения попадают на границу устойчивости, т.е. на границу области, в которой свойство устойчивости системы может быть нарушено. В дискретном случае это - окружность единичного радиуса, а в непрерывном - мнимая ось комплексной плоскости. Важность методов, позволяющих решать задачу устойчивости в критических случаях, отмечается в [61]. С математической точки зрения, говорится в [61], критические случаи можно рассматривать как исключительные, однако с точки зрения механической эти случаи имеют очень важное значение.

Спектральные признаки устойчивости приводят к задачам локализации собственных значений [35, 45, 67]. Методы локализации дают грубые, но легко обозримые области, содержащие все собственные значения матрицы. Хорошо известными являются методы локализации, предложенные Гершгориным и Островским. Эти методы, основанные на критерии регулярности матрицы по Адамару, позволяют определить в комплексной плоскости круговые области, объединение которых содержит спектр матрицы. Более точным представляется метод Брауэра [67, 69], основанный на рассмотрении овалов Кассини. Обозначенные методы локализации будут использованы нами при изучении устойчивости в критических случаях.

В случае, когда при исследовании на устойчивость линейной системы разностных или дифференциальных уравнений известна априорная информация о некоторых критических собственных значениях и критических собственных векторах матрицы коэффициентов исходной системы, проф. Перовым А.И. предложен метод, развиваемый им в целой серии статей [70, 71, 72, 73, 74, 75, 76], основанный на рассмотрении матрицы, получающейся из исходной некоторым допустимым возмущением. Возмущения разрешаются только специального вида: разрешается к любому столбцу исходной матрицы прибавлять произвольную линейную комбинацию известных правых критических собственных векторов, а к любой строке - произвольную линейную комбинацию известных левых критических собственных векторов. Сами критические собственные значения в предложенном методе роли не играют.

Пусть X - прямоугольная п х р - матрица, столбцами которой являются известные правые критические собственные векторы х\,., хр, а У

- прямоугольная дхп - матрица, строками которой являются известные левые критические собственные векторы при этом одно из чисел р или д может оказаться равным нулю (р + д = га, т < п). Относительно матриц X и У предполагается также, что выполнено условие

УХ = 0. (0.5)

Условие (0.5) назовем условием ортогональности матрицы У матрице X. Тогда допустимое возмущение принимает вид

АА = XII + УУ, (0.6) где [/ и V - произвольные прямоугольные, соответственно, рхп-ипхд-матрицы. При изучении дискретных систем (0.1) вместо АА будем писать ДМ, а при изучении непрерывных систем (0.2) - АК. В диссертации в рассмотрение вводятся подпространства, связанные с матрицами X иУ'ЛтХ

- образ матрицы X - подпространство, натянутое на столбцы матрицы X, кегУ" - ядро матрицы У - подпространство, являющееся пересечением ядер линейных функционалов у^ (1 < г < д) - строк матрицы У. Известно, что шХ С кегУ [27]. Оператор А (А = М или А = К) является инвариантным относительно введенных подпространств.

Остаточный оператор

Я = (А|кегУ)/ш1Х

А = М или А = К) несет информацию о неизвестной части спектра матрицы системы (0.1) или (0.2). Вопрос об устойчивости линейной системы сводится к вопросу асимптотического поведения остаточного оператора. Полезным инструментом оценки спектрального радиуса служит норма матрицы. Напомним, что норма матрицы определяется как

И|| = тах||А*||. (0.7) ll®ll=i

Как известно, норма матрицы (0.7) всегда оценивает ее спектральный радиус (0.3) сверху sprA<\\A\\. (0.8)

Более того, для фиксированной матрицы всегда можно подобрать такую матричную норму, что норма матрицы будет сколь угодно мало отличаться от ее спектрального радиуса [10, 52]. Для спектральной абсциссы (0.4) ту же роль играет логарифмическая норма матрицы (норма Лозинского) [18, ggj а именно, имеет место неравенство spaA < lgn||A||. (0.10)

Исходя из этого, можно предложить три подхода к оценке спектрального радиуса (спектральной абсциссы) остаточного оператора [73, 74, 108].

Первый подход состоит в оценке спектрального радиуса остаточного оператора через его норму (см. (0.8)) spr ((M|ker Y)/imX) < \\(М\кет Y)/imX\\. (0.11)

В этом случае задача сводится к получению точных формул или неравенств для нормы остаточного оператора.

Например, в случае, когда векторная норма в вещественном пространстве определяется как максимум или сумма модулей компонент вектора, и притом для матрицы М известны только левые критические собственные векторы (матрица X отсутствует), а для матрицы Y известно, что все миноры q - го порядка отличны от нуля, l<h<.<kq<n),

0.12) для остаточного оператора М|кегУ (сужение оператора М на подпространство кегУ) получены формулы [100]

IIMlker У||о = max max -;—--— х i<»<ni<ji<.<i,<n / 1 .q \ Л • • ■ Jq ) X шах

Яз=±1',зФЗи-,зФЗч . , . Е хз зфзи-лфзч

У1к Учк

У 1зч Уц У чз,, У 41

• ■ ■ Тп1](1 т13

0.13) где звездочка означает, что третий максимум берется по тем наборам дополнительных переменных х^ со значениями ±1, для которых однозначно определенное решение х^,., х^ системы УгЗкХЗк ~ к=1 зФк,-,зФь удовлетворяет неравенствам и, соответственно,

Еп г=1

М|кег УЦ1 = тах

1<к<-<Зд+1<п 9+1 2^к=1 V ОС 2 ^ ^ — 1,

1,

У131 ■ • У13ч+\

Удк ■ ■ Удзч+1 тг]\ • •

1.

0.14)

0.15) Я

31 ■ • -Зк-1 Зк+1 ■ ■ -Зд+1

0.16)

Во избежание недоразумений отметим, что в числителе написанной дроби стоит модуль определителя.

В случае, когда в п - мерном пространстве (комплексном или вещественном) введено стандартное скалярное произведение, для соответствующей операторной нормы получена оценка [103, 110]

М|кег У)/'1тХ\ <

2/1, 2/1) • • {Уъ 2к) (2/1, тг^П 2^г=1 (2/д, 2/1) • ■ (Уд, Уд) тгг 2/1) • • >Уд)

2/1,2/1) (Уд, У1)

• (УЪ Уд) {Уд,Уд)

0.17) где т\ {г = 1, .,п) - строки матрицы, столбцами которой являются векторы т\ =

Х1,Х1) . (Х\, Жр) Х\

Жр, Х\) . . (т^хх) . (¿Ер, Жр) Хр (т^Хр) т\ хъхх) • • (^1) Яр)

Ер, Х\) ■ • ЗСр) 1 < г < п.

0.18)

Определитель, стоящий в числителе дроби (0.18), представляет собой вектор, координата которого получается, если в последнем столбце все векторы хх, т? заменить их ^'-ми координатами (] = 1,., п).

Из формулы (0.13) вытекают следующие достаточные условия устойчивости системы (0.1), когда для матрицы М известны q левых критических собственных векторов, являющихся строками матрицы У. Если Е

00 <1

ЗФзи-,зФЗч

У1к Учк

УИч

ГПг, У

1. к ■ я к

0.19)

• УдЗя "°ЯЗ

• гпгзч тг] г = 1, .,п; 1<1г< . < эя < п, то система (0.1) устойчива в указанном выше смысле. (В соответствии с формулой (0.13) X] = ±1 и сумма учитывается лишь в том случае, когда решение системы (0.14) удовлетворяет неравенствам (0.15)). Точно так же формула (0.16) приводит к следующим достаточным условиям устойчивости п У\к ■ ■■ У1з9+1

Е *=1 . . .

Удк • • У 43 ч+1 гпц • ■ ти«+1

7+1 Е в=1 У

1.ч

1••••••]д+1

0.20)

1 < Л < ••• < Зч+1 < п-В случае, когда задано скалярное произведение, при сохранении ранее введенных обозначений получаем следующее достаточное условие устойчивости

••■ {УъУд) {у\,™\) п Е

Уд,Уг) ••• (Уд,Уд) {У9,™>1) (тгг,г/х) . (т[,уд) (т\,т\)

УъУ\) ■■■ {УъУд) {Уд,У\) ■■■ (Уд,Уд)

0.21)

Второй подход оценки спектрального радиуса остаточного оператора состоит в том, что спектр остаточного оператора является подмножеством спектра возмущенного М + ДМ [73], где ДМ - возмущение, определяемое правилом (0.6). Тогда эрг ((М\кегУ)/1тХ) < тшэрг (М + ДМ).

0.22)

В этом случае представляется целесообразным использование различных локализационных методов (Гершгорина, Островского, Брауэра и др.). Наконец, третий подход заключается в огрублении неравенства (0.22) при переходе от спектрального радиуса возмущенного оператора к его норме эрг ((М|кегУ)/ппХ) < тт\\М + АМ\\.

0.23)

Аналогичные подходы могут быть предложены и для оценки спектральной абсциссы: ера ((Х|кегУ)/ипХ) < 1ёп||(Х|кегУ)/ппХ||: ера ((/Г|кегУ)/ипX) < патера (К + АК), ера ((К\кег У)/\тХ) < тт1&ь\\К + АК\\

0.24) (0.25) (0.26) первое из неравенств - это перезаписанная оценка (0.10)).

Для логарифмической нормы (0.9) линейного оператора на подпространстве получены следующие формулы и оценка, аналогичные (0.13), (0.16) и (0.17). В случае, когда векторная норма определяется как наибольший из модулей компонент, получаем [100] п||Х|кег У||о = тах 1 тах

1<Кп 1 < ^ < . <зч<п у

Л Ф Ь -»¿д Ф г

3\ ■ ■ ■ Зя х X тах хз

У131 ■ ■■ У13я У1з

Учп ■ ■ УчЗч Учз

Тс-■ Тс-■ Тс-■

0.27) 1; — ±1 зФзи-,зФзч

3 Ф 3ъ--,3 Ф Зд; 3 Ф г

Отличие от формулы (0.13) почти неразличимо: оно состоит в том, что, во-первых, во втором максимуме индекс г обязательно должен быть среди дополнительных к ., а во-вторых, в третьем максимуме обязательно должно быть Хг — 1. Соответственно, в случае нормы - суммы модулей имеем 1 lgn||K|ker У||] тах l<ii<-<j9+i<n

1*18 = 1 У

1.q

Jl • ■ ■ Js-l Js+1 ■ ■ ■Jq+l x

7+1 8=1 yih ■ ■■ yijq+i yih ■ ' Vljq+1

Уяк ■ kjsjl ■ • Учи+1 h- ■ • JsJq+1 + Е Учк ■ h-■ ■ y<ljq+1 h-■ ■ 1 где sign

-l)®+e+1y ( 1.q

V jl ■ ■ -js-l js+1 ■ • -jq+l x

0.28) s = !,.,<? + !. (0.29)

В случае, когда в комплексном или вещественном пространстве задано скалярное произведение, имеет место оценка [110] lgn|(if|kery)/imX| < max Re [ кгг - ^ хг]и{]г - vijVji ) + у ji 3=1 j=l n i=1 уГ> уГ) ••• (уГ уГ) (уГ, уГ> уГ) ••• (уГ уГ) (уГ> *Г уГ) . (ip >уГ) -) уГ ,уП ••• (уГ уГ) уГ ,уП . (уГ уГ)

0.30) предполагается, что определитель в знаменателе дроби под знаком суммы отличен от нуля), где и^ и - коэффициенты, удовлетворяющие системе уравнений

0.31)

Г Iх) ) = (К Iх) )> г = 1,.,п; 3 = 1 систему (0.31), очевидно, можно разбить на две независимых системы Ар - столбцы матрицы К с элементами, стоящими на г-ом месте, равными нулю, а ар - столбцы матрицы X с элементами х^к, равными нулю, г = 1, .,п; к = 1, - векторы-столбцы с элементами Щ , рассчитанными по формуле кс~ х\ а хр >) (&гс , а^ ) р 5 ^Р Щ

1 хр )

ГрЪ , Лр гр Щ х\ , х\ ) . (а^ , ж!, )

0.32)

5 ) " ' ' (Хр 5 )

1 < г < п; при этом определитель, стоящий в знаменателе дроби (0.32), отличен от нуля). Далее, к- строки матрицы, составленной из столбцов кс~ (] = 1,., п) с диагональными элементами кц, равными нулю, а у]Г - строки матрицы У с элементами уы, равными нулю (г = 1, .,п; к = 1,., д).

Пусть для матрицы К системы (0.2) известно, что у нее д левых критических собственных векторов, причем для соответствующей матрицы У выполнены условия (0.12). Если выполнены неравенства

У1к ■ ■■ У1к Уц хз Учк • ■ УчЗд Учз к■ ■ к-•

0,

0.33) У

1.д

V к ■ ■ • Н )

XI = 1, 1 < 31 < . < зч < п, л ф г, ф г, то система (0.2) устойчива в указанном выше смысле. Формула (0.28) приводит к следующим достаточным условиям устойчивости

У1к ■ г+1 £ 1

Учк к

Ы1 уия+1

Учк+1 к- ■ Е У

Учк к-•

У 1;'9+1

УчЗд+1 к-■ 0,

0.34) где е3 определяются по формуле (0.29) (б = 1,., д + 1).

Если для матрицы К известны как левые, так и правые критические собственные векторы, то, согласно неравенству (0.30) с сохранением введенных выше обозначений, если уГ,З/Г) ••■ (УГ>У?) (З/Г,*Г) п

УЦ.УП ■■■ {у\-,У\~) (у\~МП у[ ,У\) ■■■ (у\ .2/5") у; ) ••• (у\ ) Re | XijU^ + vbhi - k

3=1 i = 1,., n

0.35) то система (0.2) устойчива.

Для проверки устойчивости линейной дискретной системы в критическом случае достаточно проверить выполнение неравенств (0.19), (0.20) или (0.21), а непрерывной - неравенств (0.33), (0.34) или (0.35).

Обозначенные подходы к выяснению устойчивости в критическом случае и к оценке спектрального радиуса (0.11), (0.22), (0.23) и спектральной абсциссы (0.24) - (0.26) остаточного оператора реализованы численно в среде программирования Delphi 5.0.

Предложенный метод и полученные результаты позволяют не только ответить на вопрос, устойчива матрица или нет, но и дать количественную оценку запаса (меры, степени) устойчивости. Под запасом устойчивости матрицы А коэффициентов линейной дискретной (непрерывной) системы понимают положительное число ¡и = /¿(Л), для которого спектр матрицы А лежит в круге |А| < 1 — ц(А) (в полуплоскости Re А < —fi(A)). Информация о запасе устойчивости исследуемой матрицы важна для многих приложений, возникающих в инженерной практике, поскольку она дает возможность количественно оценить робастность или грубость системы, т.е. найти величину норм возмущений системы, не нарушающих ее устойчивость. Вопросам робастной устойчивости управляемых систем посвящено много исследований [14-16, 23, 78]. Это направление в настоящее время активно развивается.

Величины, стоящие в правых частях неравенств (0.11), (0.22), (0.23) и (0.24) - (0.26), позволяют оценить снизу запас устойчивости остаточного оператора системы (0.1) и (0.2) соответственно.

В статье [15] получена оценка снизу для запаса устойчивости конечномерных дискретных систем, при этом возмущения матрицы устойчивой дискретной системы, не выводящих эту систему из класса устойчивых, исследуются в случае, когда в рассматриваемом пространстве введено скалярное произведение, а норма матрицы представляет собой норму Фробениуса (абсолютную норму). В статье [16] полученные результаты обобщаются на случай бесконечномерных дискретных систем. Наибольший интерес среди работ этого направления представляет статья [14], в которой получена оценка снизу для расстояния от данной устойчивой матрицы до множества неустойчивых матриц, использование которой предполагает информацию о запасе устойчивости исследуемой матрицы и величине обусловленности матрицы Грама, построенной по собственным векторам исходной матрицы. Эти оценки позволяют установить, как сильно могут меняться коэффициенты матрицы системы при условии сохранения ее устойчивости. Задачи такого типа относятся к задачам робастной устойчивости интервального семейства матриц. Особенно интересно отметить развиваемый в последнее время вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц [98, 77].

Изучению устойчивости линейных нестационарных уравнений посвящена работа [65]. Полученные в ней достаточные признаки устойчивости по первому нестационарному приближению формулируются в терминах логарифмических норм, при этом предполагается, что логарифмическая норма порождается векторной, которая может быть октаэдрической, кубической, сферической (евклидовой), ромбовидной, прямоугольной или эллиптической. В заметках [37, 38] вводятся понятия верхней и нижней логарифмических норм, знакоопределенность которых обеспечивает существование интегрального многообразия систем дифференциальных уравнений без линейного приближения. В статье [26] предложены новые условия устойчивости нелинейных нестационарных систем, которые могут быть полезными и в стационарном случае.

Рассмотрение различных задач биологии, химии, экономики, социологии, радиотехники и других приводит к исследованию процессов, которые называют марковскими процессами или марковскими цепями [43, 24, 11 и др.]. В дискретном случае им соответствуют марковские, а в непрерывном - колмогоровские матрицы. Вещественная матрица с неотрицательными компонентами, сумма которых в каждом столбце равна единице, называется марковской. Колмогоровской называется матрица с вне-диагонально неотрицательными компонентами, сумма которых в каждом столбце равна нулю. Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при изучении марковских цепей, является вопрос об их эргодичности. Известно, что дискретная марковская цепь является эргодической, если у ее матрицы на единичной окружности нет собственных значений, кроме единицы (и это собственное значение должно быть простым). Аналогично, непрерывная марковская цепь эргодична, если нуль является простым собственным значением соответствующей ей колмогоровской матрицы. Важной особенностью обоих классов матриц является то, что они инвариантны на подпространстве векторов с равной нулю суммой компонент. Проблеме эргодичности дискретных и непрерывных марковских процессов посвящена диссертация Белоусовой Е.П. [13]. В ней вопросы эргодичности изучаются с точки зрения устойчивости линейных систем в критических случаях. В случае марковских цепей (как дискретных, так и непрерывных) всегда известен один критический собственный вектор, который и определяет обозначенное инвариантное подпространство. Если М - марковская матрица, то 1 = (1 . 1) - ее левый критический собственный вектор. Тогда из формулы (0.16) получаем

Последняя формула - это формула Добрушина [10, 31]. Если правая часть формулы (0.36) меньше единицы, то соответствующая марковская цепь является эргодической.

Изучению устойчивости нелинейных систем в критических случаях посвящена книга [21]. В ней исследуется устойчивость в критическом случае q пар чисто мнимых корней с одним нулевым корнем или без него, излагаются результаты по устойчивости в случаях, близких к критическим, являющиеся развитием работ Г.В. Каменкова [39, 40] на многомерные системы.

Работой, имеющей прикладной характер, является [53]. В ней отмечается важность прикладных задач, которые приводят к исследованию критических случаев. К таким задачам можно отнести, например, задачу об устойчивости продольного движения самолета (см. также [89]).

Важное приложение к динамическим системам и к системам автоматического регулирования учения A.M. Ляпунова об устойчивости в критических случаях дали H.H. Баутин [8] и А.И. Лурье [57]. Они показали, что вопрос об устойчивости систем в критических случаях связан с определением опасных и безопасных участков границы их области устойчивости. г=1

0.36)

Вопросам устойчивости линейных импульсных систем существенное место отводится в работах Цыпкина Я.З. [94]. При этом проблемы устойчивости изучаются с помощью критериев Найквиста и Михайлова. Развитие элементов теории релейного и импульсного регулирования можно найти в [17], при этом следует отметить важность, отводимую матричным методам исследования устойчивости непрерывных и дискретных движений линейных импульсных и релейных систем регулирования [17].

Целью диссертационной работы является:

- постановка задачи исследования устойчивости в критическом случае, когда для матрицы коэффициентов системы a priori известны один или несколько критических собственных векторов;

- вывод формул и оценок для нормы и логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве и вытекающих из них достаточных условий, позволяющих только лишь по коэффициентам матрицы системы и известных критических собственных векторов определить ее устойчивость;

- применение формул для нормы и логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве к изучению вопросов эргодичности дискретных и непрерывных марковских цепей;

- численная реализация полученных результатов, обеспечивающая получение оценки спектрального радиуса или спектральной абсциссы остаточного оператора.

Настоящая работа состоит из введения, двух глав, объединяющих 13 параграфов, и библиографического списка, включающего 110 наименований литературных источников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гончаров, Сергей Иванович, 2000 год

1. Айзерман M.А. Теория автоматического регулирования. - М.: Наука, 1966. - 452 с.

2. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. - 352 с.

3. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. школа, 1994. - 544 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. - 272 с.

5. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968. - 750 с.

6. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

7. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 384 с.

8. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

9. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. - 276 с.

10. Белицкий Г.Р., Любич Ю.И. Нормы матриц и их приложения. -Киев, Наук, думка, 1984. 160 с.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 368 с.

12. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. - 215 с.

13. Белоусова Е.П. Эргодичность как критический случай в теории устойчивости. Дисс. на соиск. степени к. ф.-м. н., 1998. 128 с.

14. Бобылёв H.A., Емельянов C.B., Коровин С.К. Оценки возмущений устойчивых матриц//Автоматика и телемеханика. 1998. - № 4. - С. 15-24.

15. Бобылёв H.A., Булатов A.B. О робастной устойчивости линейных дискретных систем//Автоматика и телемеханика. 1998. - № 8. -С. 138-145.

16. Бобылёв H.A., Булатов A.B. Оценка вещественного радиуса устойчивости линейных бесконечномерных дискретных систем//Автоматика и телемеханика. 1999. - № 7. - С. 3-14.

17. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. - 324 с.

18. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В.Теория показателей Ляпунова и её приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. - 576 с.

19. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц. Киев, Вища школа, 1986.- 272 с.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 520 с.

21. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1984. 320 с.

22. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. - 333 с.

23. Вукосавич С.Н., Стоич М.Р. Достаточные условия робастной относительной устойчивости линейных непрерывных систем//Автоматика и телемеханика. 1996. - № 11. - С. 85-91.

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

25. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.- 376 с.

26. Гиль М.И. Об устойчивости существенно нелинейных нестационарных систем// Кибернетика и теория регулирования (Докл. АН СССР).- 1989. Т. 308, № 2. - С. 281-284.

27. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: Наука, 1969. 476 с.

28. Гофман В.Э., Хомоненко А.Д. Delphi 5. СПб.: БХВ - Санкт -Петербург, 2000. - 800 с.

29. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Т.2. - М.: Мир, 1966. - 1063 с.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

31. Добрушин Р. Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова//Теория вероятностей и ее применения. 1956. - Т.1, Ж. - С. 12-89.

32. Додж М., Кината К., Стинсон К. The Cobb Group. Эффективная работа с Excel 7.0 для Windows 95. СПб.: Питер Пресс. 1997. -1040 с.

33. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976. - 240 с.

34. Зейфман А.И. Свойства типа эргодичности и устойчивости для неоднородных марковских цепей с непрерывным временем. Докторская диссертация. М.: 1994. - 243 с.

35. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975. -321 с.

36. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 4.II. -М.: Наука, 1973. 448 с.

37. Ильин Ю.А. Аналог теоремы Ляпунова-Перрона для существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений//Вестник ЛГУ. -Сер. 1, вып.1 (№ 1), 1991. С. 118-119.

38. Ильин Ю.А. О существовании локально-инвариантной поверхности у периодической системы дифференциальных уравнений без линейного приближения// Вестник ЛГУ. 1988. - Сер. 1, вып.2 (№ 8). С. 105 -106.

39. Каменков Г.В. Избранные труды/ В 2 т. T.I. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971. - 260 с.

40. Каменков Г.В. Избранные труды/ В 2 т. Т.П. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972. - 214 с.

41. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. - 750 с.

42. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.- 740 с.

43. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970. - 271 с.

44. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Мир, 1969. 447 с.

45. Коллатц JT. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. -500 с.

46. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

47. Красносельский М.А. Операторы сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

48. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

49. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973. - 208 с.

50. Культин Н.Б. Программирование на Object Pascal в Delphi 5. СПб.: БХВ - Санкт - Петербург, 2000. - 464 с.

51. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.- СПб.: BHV Санкт - Петербург, 1997. - 384 с.

52. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 272 с.

53. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Наука, 1962. - 484 с.

54. Ли Э.В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972. 576 с.

55. Лобарев И.В. Оценки собственных значений некоторого класса самосопряжённых операторов. Новосибирск: Ротапринт ВЦ СО АН СССР, 1989. - 136 с.

56. Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений//Известия вузов. 1958,- № 5. С. 52-90.

57. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216 с.

58. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Учебное пособие. М.: Высш. шк., 1982. - 271 с.

59. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

60. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.: ОН-ТИ, 1935. - 386 с.

61. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -532 с.

62. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

63. Монзинго P.A., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решётки: Введение в теорию. М.: Радио и связь, 1986. - 448 с.

64. Никольский С.М. Курс математического анализа/ В 2 т. Т.2. М.: Наука, 1991. - 544 с.

65. Носов В.Р. Об устойчивости некоторых нестационарных уравнений// Автоматика и телемеханика. 1997. - № 9. - С. 31-42.

66. Одинец В.П. Минимальные проекторы в пространствах Банаха. Проблемы единственности и существования и их приложения. BYDGOSZCZ, 1985. - 191 с.

67. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и её применение. М.: ИЛ, 1960. - 170 с.

68. Пенин П.И., Филиппов Л.И. Радиотехнические системы передачи информации. М.: Радио и связь, 1984. - 256 с.

69. Перов А.И. О теореме Брауэра и овалах Кассини//УМН. 1998. - Т. 53, Вып.1. - С. 255-256.

70. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости в критических слу-чаях//Докл. АН. 1998. - Т. 359, № 3. - С. 310-312.

71. Перов А.И. Условия устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем с постоянными коэффициентами в критических случа-ях//Вестн. ВГУ, сер. 2, естественные науки. 1996. - №2. - С. 103-110.

72. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях//Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1349-1357.

73. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях. I.//Автоматика и телемеханика. 1997. - № 12. - С. 81-89.

74. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях. II.//Автоматика и телемеханика (принято к печати).

75. Перов А.И. Об устойчивости в критических случаях//В материалах конференции по функциональному анализу и математической физике, посвящённой 80-летию Крейна Селима Григорьевича. Воронеж, ВГУ.- 1997. С. 60-64.

76. Перов А.И. Методические указания по спецкурсу "Устойчивость и оптимизация". Воронеж, 1999. - 34 с.

77. Поляк Б.Т., Панченко О.Б. Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц//Докл. АН. 1997. - Т. 353, № 4.- С. 456-458.

78. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Устойчивость и робастная устойчивость однотипных систем//Автоматика и телемеханика. 1996. - № 11. -С. 91- 104.

79. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. - 432 с.

80. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. - 288 с.

81. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 472 с.

82. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974. - 160 с.

83. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. М.: Мир, 1984.- 456 с.

84. Теория автоматического управления/ В 2-х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. Воронова A.A. М.: Высш. школа, 1986. - 504 с.

85. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966.- 678 с.

86. Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 398 с.

87. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

88. Фаронов B.B. Delphi 5. Учебный курс. М.: "Нолидж", 2000. - 608 с.

89. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике. М.: ИЛ, 1950. - 445 с.

90. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ОГИЗ, 1948. - 472 с.

91. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.- М.: Мир, 1971. 310 с.

92. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.: Физмат-гиз, 1963. - 264 с.

93. Хорн Р., Джонсон У. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

94. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963. - 968 с.

95. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970. - 376 с.

96. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функции одного переменного. М.: Наука, 1985. - 336 с.

97. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. - 464 с.

98. Щербаков П.С. Достаточное условие робастной устойчивости неопределённых матриц//Автоматика и телемеханика. 1998. i 8. -С. 71-79.

99. Dahlquist G. Kungl. Tekn. Hogsk. Handl. Stockholm, 1959. 130 p.

100. Перов А.И., Гончаров С.И. О вычислении нормы и логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве//Известия РАЕН, серия МММИУ, 1998. Т. 2, № 2. - С. 68-96.

101. Гончаров С.И. О вычислении нормы оператора на инвариантном подпространстве в связи с задачами устойчивости дискретных систем //Сборник работ студентов и аспирантов факультета прикладной математики и механики: Вып. 2. Воронеж: ВГУ, 1998. - С. 37-44.

102. Гончаров С.И. О вычислении нормы и логарифмической нормы линейного оператора на подпространстве//"Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ,1999. С. 63.

103. Гончаров С.И. Об оценке нормы линейного оператора на подпространстве в метрике, порожденной скалярным произведением//Сборник научных работ аспирантов ВГУ. В 2 ч. Ч. II. Экономика и естественные науки. Воронеж, 1999. - С. 84-89.

104. Гончаров С.И. Коэффициентные признаки критической устойчивости линейных систем в унитарном пространстве//"Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2000. - С. 66.

105. Гончаров С.И. Формулы для вычисления нормы фактор-оператора в фактор- пространстве с метрикой 0 или 1//" Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 2000. - С. 67.

106. Гончаров С.И. Комбинаторные свойства марковских матриц и их приложение к задаче о продолжении нормы оператора //Сборник трудов молодых ученых ВГУ. Воронеж, 2000. - С. 7-16

107. Гончаров С.И. Об устойчивости линейных дискретных и непрерывных систем с постоянными коэффициентами в унитарном пространст-ве//Вестник ф-та ПММ. Воронеж, 2000. - С. 38-59