Коэффициент отражения от плотной плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Саитов, Ильнур Миннигазыевич

• Саитов, Ильнур Миннигазыевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Саитов, Ильнур Миннигазыевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Обзор литературы. 8 Глава 2. Теория диэлектрических свойств системы

заряженных частиц

2.1. Квантовомеханический подход к расчету диэлектрической проницаемости (ДП) системы заряженных частиц

2.1.1. Общая формула для расчета ДП в рамках приближения случайных фаз (ЯРА)

2.1.2. Продольная ДП. Формула Линхарда

2.1.3. Поперечная ДП. Формула Кубо - Гринвуда. 19 Зависимость ДП от плотности электронных состояний.

2.2. Расчет ДП в рамках теории функционала плотности (ТФП)

2.2.1. Формула для ДП в приближении ЯРА в рамках ТФП

2.2.2. Отличие продольной и поперечной компонент ДП при использовании псевдопотенциального подхода

2.3. Вклад переходов в свободном спектре в ДП.

Формула Друде. Плазменная частота

2.4. Правило сумм

2.5. Показатель преломления. Коэффициент отражения. 33 Глава 3. Расчет коэффициента отражения от плазмы ударно сжатого ксенона в рамках ТФП

3.1. Параметры расчета

3.2. Зависимость коэффициента отражения от плотности плазмы и длины волны падающего излучения

3.3. Сходимость результатов

3.4. Погрешности определения коэффициента отражения

3.5. Характер расхождения измеренных и рассчитанных значений

коэффициента отражения

2

Глава 4. Расчет коэффициента отражения с использованием плотности электронных состояний

4.1. Модель плазмы

4.2. Плотность электронных состояний

4.3. Зависимость ДП и коэффициента отражения от плотности состояний

Глава 5. Распределение электронной плотности в плазме на границе двойного слоя

5.1. Распределение электронной плотности в плазме алюминия. Ток термоэмиссии

5.2. Распределение электронной плотности в плазме ударно сжатого ксенона

Глава 6. Влияние плотности электронных состояний на уравнение состояний неидеальной плазмы

6.1. Расчет давления системы заряженных частиц в рамках классического МД. Уравнение состояния

6.2. Флуктуации термодинамических параметров

6.2.1. Флуктуации температуры. Теплоемкость плазмы

6.2.2. Флуктуации давления. 77 Заключение. 82 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коэффициент отражения от плотной плазмы»

Введение

Диссертация посвящена численному исследованию коэффициента отражения от равновесной низкотемпературной плотной плазмы ударно сжатого ксенона. Рассмотрены зависимости от частоты и угла падающего излучения и плотности плазмы. В качестве основного подхода, используемого для расчета диэлектрической проницаемости (ДП) и коэффициента отражения, применятся метод теории функционала электронной плотности (ТФП). Помимо ТФП значения ДП и коэффициента отражения вычисляются на основе расчета плотности электронных состояний в рамках классического метода молекулярной динамики (МД). На основе данной модели плазмы также исследованы термодинамические параметры плазмы и их флуктуации.

Актуальность работы. Измерение коэффициента отражения и теоретический анализ их результатов является распространенным методом исследования фазовых диаграмм различных веществ [1 - 10]. Метод ТФП, используемый для расчета ДП в [4, 5, 7 - 10] имеет широкий спектр применения, в частности, в расчетах конденсированного состояния [11, 12].

Значения коэффициента отражения от ударно сжатого ксенона были получены в уникальных экспериментах [13 - 19] для различных длин волн лазерного излучения. Удовлетворительного теоретического объяснения этим результатам пока не найдено. Подходы [17 - 22], основанные на применении формулы Друде, не воспроизводят экспериментальную зависимость от плотности без искусственного увеличения ширины фронта. В работе [23] для расчета коэффициента отражения от плазмы ксенона был применен метод ТФП. Для расчета мнимой и действительной части ДП использовалось выражение Кубо-Гринвуда для поперечной компоненты тензора ДП (далее поперечное выражение) и преобразование Крамерса-Кронига. Однако этот подход также не дал удовлетворительного согласия с [13].

Цель работы. 1. Развитие подхода для расчета ДП плотной плазмы и коэффициента отражения от нее на основе продольного выражения для ДП.

2. Определение зависимостей от плотности плазмы, длины волны и угла падения для коэффициента отражения от плазмы ударно сжатого ксенона.

3. Исследование вклада свободных и связанных электронных состояний в ДП и коэффициент отражения. Анализ зависимости данных величин от плотности электронных состояний.

4. Исследование двойного электрического слоя, образующегося вследствие воздействия лазерного излучения на поверхность плазмы.

5. Анализ функций распределения флуктуаций температуры и давления в системе свободных электронов и слабо связанных электрон-ионных пар.

Научная новизна работы. Предложен метод расчета коэффициента отражения от плотной плазмы, основанный на методе ТФП. Для мнимой части ДП применяется продольное выражение [24 - 27] вместо используемого в [23] поперечного выражения. Внесены изменения в код УАБР [28 - 30], позволяющие более корректно рассчитывать ДП и коэффициент отражения для высоких температур. Для случая плазмы ударно сжатого ксенона данный подход заметно улучшает согласие с экспериментом как по сравнению с использованием формулы Друде [17 - 22], так и с подходом ТФП с формулой Кубо-Гринвуда для мнимой ДП.

Для анализа точности результатов используется расчет ДП через плотность электронных состояний, которая находится в рамках классического метода МД. Исследуется влияние различных электронных уровней и переходов между ними. Сравнение с экспериментальными значениями коэффициента отражения является дополнительной верификацией модели плазмы, предложенной в [31 - 33] и использованной нами для расчета плотности состояний.

В рамках модели плазмы [31 - 33] предложен подход к рассмотрению

свойств уравнения состояния неидеальной плазмы через анализ флуктуаций

5

термодинамических параметров (температуры и давления). При этом обнаружены условия, при которых функция распределения флуктуаций давления отклоняется от нормальной.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при исследованиях оптических и транспортных свойств плотной плазмы и плотных разогретых веществ (WDM) и для их диагностики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод расчета коэффициента отражения в рамках ТФП.

2. Зависимости коэффициента отражения от плотности плазмы и длины волны и угла падающего излучения. Интерпретация результатов расчета с помощью плотности электронных состояний.

3. Приповерхностное распределение электронной плотности.

4. Флуктуации температуры и давления в системе свободных электронов и слабо связанных электрон-ионных пар.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2007-2012, Москва); "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" и "Уравнения состояния вещества" (п. Эльбрус, 2008, 2009, 2011, 2013); "Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем" (Москва, 2009, 2010); XXV IUPAP Conference on Computational Physics (Москва, 2013); Annual Moscow Workshops on the Non-ideal Plasma Physics (Москва, 2009 - 2012); Strongly Coupled Coulomb Systems (Budapest 2011), 13th International Conference on the Physics of Non-Ideal Plasmas (Черноголовка, 2009); EPS Conferences on Plasma Physics (Strasbourg 2011, Stockholm 2012); Workshops "Complex systems of charged particles and their interaction with electromagnetic radiation" (Москва, 2010, 2011).

Глава 1 является обзорной. Представлено краткое описание

современных исследований отражательной способности плотной плазмы

б

различных веществ. При этом рассматривается ряд экспериментальных и теоретических работ, в которых на основе измерения и расчета коэффициента отражения проводится исследование параметров фазовых диаграмм. В главе 2 представлен вывод основных формул необходимых для расчета диэлектрических свойств плазмы. В главе 3 представлены результаты расчета зависимости коэффициента отражения от ударно сжатого ксенона от плотности, длины волны падающего излучения и угла падения. Исследована сходимость результатов и проведен анализ влияния погрешности определения диэлектрической проницаемости на коэффициент отражения. В главе 4 рассмотрена модель системы заряженных частиц. Обосновано использование классического метода (МД) и кулоновского потенциала, обрезанного на малых расстояниях не зависящим от температуры способом. Этот подход позволяет провести совместное самосогласованное описание свободных и слабосвязанных электронных состояний. На основе расчета плотности электронных состояний вычислены значения коэффициента отражения. В главе 5 рассмотрено влияние профиля распределения электронной плотности на коэффициент отражения. В главе 6 приведены результаты расчета уравнения состояния системы заряженных частиц. Рассматриваются также флуктуации температуры (они оказались стандартного вида) и мгновенного значения давления. Обнаружено, что при некоторых значениях температуры и плотности зарядов эти распределения имеют негауссовый бимодальный вид, не смотря на монотонность зависимости давления от объема.

Глава 1.

Обзор литературы.

Численный анализ результатов измерения коэффициентов отражения является довольно распространенным методом исследования фазовых диаграмм различных веществ. При этом данный метод довольно часто используется для оценок параметров фазовых превращений.

Обнаруженный в работах [1-2] скачок коэффициента отражения от плазмы ударно сжатого дейтерия является явным указанием на фазовый переход, при котором происходит металлизация дейтерия вследствие полной диссоциации при давлениях около 50Мбар. Аналогичный эффект был получен при исследовании коэффициента отражения от ударно сжатого водорода [3]. Расчет коэффициента отражения водорода и дейтерия на основе данных [1-3] был проведен в работе [4] в рамках подхода ТФП. При этом особое внимание было уделено влиянию вида функционала на зависимость коэффициента отражения от плотности, что представляет отдельный интерес с точки зрения методики проведения расчетов.

В работе [5] проведен расчет зависимости коэффициента отражения от плазмы ударно сжатого гелия в рамках ТФП. на основе данных эксперимента [6]. При этом в [6] было обнаружено возникновение металлизации гелия вследствие уменьшения энергетической щели между свободными и связанными состояниями при увеличении плотности р. Исходя из предположения о независимости щели от температуры в [6] была получена оценка критической плотности рс = 1.9г / смъ. Однако, результаты расчета [5] показали, что величина щели линейным образом зависит от температуры и критическое значение плотности в 5 раз превышает, предсказанное в [6], и рс = Юг / см3. При этом также показано, величина щели в большей степени

зависит от температуры, а не от плотности, что также согласуется с результатами других теоретических работ [7-9].

В [10] было проведено моделирование смеси гелий-водород. Было показано, что на основе экспериментов по измерению коэффициента отражения ударно сжатых гелия и водорода, можно предсказать существование в рассматриваемой смеси перехода из гомогенной в расщепленную фазу. При этом условия для данного фазового перехода реализуются в атмосферах крупных планет, таких как Сатурн и Юпитер.

В данной работе рассматривается плазма ударно сжатого ксенона. Значения коэффициента отражения от ударно сжатого ксенона были получены в уникальных экспериментах [13 - 19] для длин волн лазерного излучения X = 1064, 694 и 532 нм. Удовлетворительного теоретического объяснения этим результатам пока не найдено. Как было показано в [20], применение формулы Друде с частотой столкновения в приближении Борна при малых плотностях плазмы дает расхождение с экспериментом в 2.5 - 3 раза. Подходы, основанные на других способах оценки значений частоты столкновений, также не позволяют объяснить характера спада величины коэффициента отражения при уменьшении плотности. В работах [15 - 22] было получено приемлемое согласие с экспериментом. Этот результат был следствием введения предположения об уширении фронта ударной волны. Однако такой эффект не наблюдался в эксперименте.

В работе Дейжале [23] для расчета коэффициента отражения от плазмы

ксенона был применен квантовый метод молекулярной динамики в рамках

теории функционала плотности (ТФП) для конечных, отличных от нуля

температур [34]. Для расчета компонент ДП использовалась поперечная

формула Кубо-Гринвуда [35] и преобразование Крамерса-Кронига.

Результаты, полученные в [23], лучше согласуются с экспериментом [13] по

сравнению с данными, рассчитанными в рамках модели Друде. При этом

значения коэффициента отражения [23] все же заметно превышают данные

измерений [13] в области малых плотностей. Введение поправок,

9

увеличивающих ширину энергетической щели между связанными и свободными состояниями, улучшает согласие результатов [23] с экспериментом [13] при малых плотностях, но приводит к недооценке значений коэффициента отражения в области больших плотностей. Используемый в данной работе подход во многом схож с [23], однако предполагает использование продольного выражения для мнимой части диэлектрической проницаемости в рамках ТФП. Так как формула Кубо-Гринвуда явным образом зависит от плотности электронных состояний, как показано в [35], коэффициент отражения также можно вычислить на основе данного выражения. При этом плотность парных электрон - ионных состояний вычисляется в рамках классического метода молекулярной динамики (МД) [31-33].

На основе данной плотности состояний в рамках МД также можно рассчитать зависимость давления электрон-ионной плазмы от плотности зарядов и температуры. Это позволит исследовать вопрос о возможности существования плазменного фазового перехода, предположение о котором было выдвинуто в [36, 37]. В данных работах проводилась аналогия между системой заряженных частиц и газа Ван-дер-Ваальса, в котором фазовый переход первого рода возникает в результате конкуренции сил дальнодействующего притяжения и короткодействующего отталкивания. В плазме дальнодействующим является кулоновское взаимодействие между зарядами. В силу поляризации расположения зарядов средняя энергия взаимодействия частиц является отрицательной, т.е. взаимодействие имеет в целом характер притяжения. В выражение для свободной энергии единицы объема, однократно ионизованной разреженной плазмы это взаимодействие

( \1/2 3/2

входит в виде дебай-хюккелевской поправки Ы?/ 2пекТ =-[21Ъ) Г , где

Г = (47г/3)1Ь е2п^ь / кТ - параметр неидеальности, Т - температура, к-постоянная Больцмана, пе - концентрация зарядов.

Однако притяжение приводит к тому, что в области Г > 1 система оказывается термодинамически неустойчивой. Для стабилизации в [36, 37] наряду с кулоновским взаимодействием было учтено короткодействующее эффективное квантовое отталкивание. Локализация сблизившихся зарядов приводит к увеличению неопределенности импульса, что в свою очередь ведет к увеличению кинетической энергии и сводит к нулю вероятность таких состояний. Для разноименных зарядов эффект квантового отталкивания сводится к ослаблению кулоновского притяжения на близких расстояниях и невозможности возникновения связанных состояний ниже определенного (основного) уровня энергии. Поправка к свободной энергии, учитывающая указанные эффекты притяжения и отталкивания

АГ / 2пкТ = -{213)1/2 г3/2 [1 - 0.075/1 а:] , бралась в [36, 37] по [38, 39], Я = к / ^¡ЪткТ

- длина волны де Бройля, к~х - радиус Дебая. В дальнейшем появилось значительное количество исследований, посвященных анализу возможности фазового превращения в невырожденной сильнонеидеальной плазме [40 -51], в том числе в электрон - дырочных системах полупроводников [40, 41, 52 - 54]. Система взаимодействующих частиц в плазме, в отличие от газа Ван-дер-Ваальса, состоит из двух компонент: электронов и ионов. В целом система остается электронейтральной. При этом присутствует и третья компонента - атомы. Атомы считались идеальным газом в [36, 37]. Такое приближение теряет свою справедливость, во всяком случае, для верхних возбужденных состояний. Грязнов, Иосилевский и Фортов [55] (см. также [56]) указали в связи с этим на новый эффект, влияющий на уравнение состояния.

Статистическая сумма атома 2 имеет вид:

где 50- главное квантовое число основного состояния (£ =0),£уИ Ез статистический вес и энергия уровня 5 . Ограничение дискретного спектра

(1-1),

атома ¿тах = ¿тах (пе) зависит от концентрации зарядов. Эта зависимость приводит к появлению поправок к термодинамическим функциям, содержащим производные / д£тах. Для давления поправка

принимает вид:

АР _ ( д\пг \

пкТ [д^шах ) V дЫГ ) 1 дПе ]

Эффективное отталкивание (1.2) не учитывалось ни в [36 ,37], ни в [40 - 54]. Его роль рассмотрена в настоящей работе, где исследуется уравнение состояния неидеальной невырожденной плазмы в области параметров предполагаемого фазового перехода.

Следует также учитывать, что при взаимодействии лазерного излучения с плазмой ударно сжатого ксенона на границе вакуум-плазма образуется двойной электрический слой. В зависимости от размеров присутствие двойного слоя может оказывать влияние на отражательную способность ксенона. Таким образом, необходимо рассмотреть влияние профиля распределения электронной плотности на коэффициент отражения.

Глава 2.

Теория диэлектрических свойств системы заряженных частиц.

2.1. Квантовомеханический подход к расчету диэлектрической проницаемости (ДП) системы заряженных частиц.

Получим выражение для зависимости тензора диэлектрической проницаемости ¿:(ц,&>) от частоты со и волнового вектора ц для системы

электронов, находящейся под воздействием некоторого внешнего поля Ее;а,, рассматриваемого как малое нестационарное возмущение. Поле внутри рассматриваемой системы Е связано с соотношением: Е = £"(ц,&>) При этом предполагается:

Е = -У0-(1/с)(аА/&) (2.1),

А (г,?) = А(^,&>)ехр()Ч|г - (2.2),

ф(г^)=ф(ц,(о)щ)(щг-1бЛ) (2.3).

В общем случае в (2.2) и (2.3) необходимо учитывать комплексно сопряженную часть данных выражений. Для нахождения

необходимо получить выражения для поправок к плотности заряда и тока в рамках теории возмущений, которые соответствуют плотности индуцированного под действием внешнего поля заряда рш и тока Данные величины с учетом (2.2) и (2.3) связаны следующими выражениями:

^"М^каМ (2.4),

Ы

4тг

Е(я,ю) = £(ъео) ■ Е(я,ю) -1—(2.5).

со

При этом (2.4) - уравнение непрерывности, а выражение (2.5) следует непосредственно из (2.4) и уравнения Максвелла (V • Е) = 4лр.

2.1.1. Общая формула для расчета ДП в рамках приближения

случайных фаз (ЯРА). Гамильтониан рассматриваемой системы в присутствии внешнего поля можно представить в следующем виде:

1 ( е Л Н=- Ре—А

/л 1 е

2т\ с у

+

еф + У(г)

(2.6),

где ре = —/ЙУ - оператор импульса. В данном случае движение частиц рассмотрим в рамках одноэлектронной модели, где каждый электрон является независимой частицей, движущейся в поле заданного эффективного потенциала У (г). При этом также не учитывается корреляционное и

обменное взаимодействие электронов. Данные предположения о характере взаимодействия электронов соответствует приближению случайных фаз (ЯРА), в рамках которого будут получены все последующие выражения. В (2.6), раскрывая скобки и пренебрегая квадратичным членом по полю, получаем следующее выражение:

1 ^

Н =

+

2т /ей ^

П2 ¡еПг -А + —

тс

АУ + -сИуА

V 2 у

тс

1

Л

А-У +—сИУА

V 2

+ еф

+ еф + У(г) = = Н0+5Н(/)

2т

А + У(г)

+

(2-7),

где Н0 - гамильтониан системы в отсутствие внешнего возмущения. Далее находим решение нестационарного уравнения Шредингера в первом приближении теории возмущений:

1й^ = (я0 + *я(ОУ

т?к

(2.8),

( .ЕЛ

Н

/

*л,к'*к V

П

(2.9).

V п У п'Фп, к'*к

Решение (2.8) представим в виде периодических функций Блоха у/пк =е'кг -ипк. Так как внешнее возмущение ЗН~е±1ЦТ, вклад в (2.9) будут вносить только такие состояния, для которых выполнено условие к' = к ± д.

Подставляя (2.9) в (2.8), получаем следующее выражение для коэффициентов

Сп'к±ц (0 •

С«'к±Ч(0 =

1

о

Епь - £„'к±ч ± йю

(2.10),

где О - объем рассматриваемой системы. Таким образом, выражение (2.9) принимает вид:

У„к(м) = ехР

Ак'

П

Упк ¿^ Г\ Г 17 , Ь,.. Ги'к+Я

О

1 -е-

О

•Л

т п к^

(2.11).

Плотность заряда рассматриваемой системы, находящейся во внешнем поле, можно представить как сумму плотностей свободных (внешних) р^ и поляризационных (индуцированных) ршс1 зарядов. При этом, в рамках

используемого подхода, где плотность зарядов определяется как:

|2

(2.12),

пк

ртЛ является возмущением к полной плотности р. Рассматриваемая система

находится при некоторой конечной отличной от нуля температуре, что учитывается в выражении (2.12) посредством функции распределения Ферми /(-Е„к); множитель 2 в (2.12) позволяет учесть вырождение по спину. Таким

образом, рша можно представить в виде выражения:

як ^

(2.13).

Подставляя (2.11) в (2.13) и делая преобразование Фурье, получаем следующую формулу для р1пс{:

п,п',к

+

+

(2.14).

Производя замену к—+ п'-^п во второй сумме выражения (2.14), получаем:

Ры (Я, = £ X я ) - АЕ*м )_

и,«',к

X

Епк+С1-Епк-Псо

(2.15).

С учетом вида возмущения 5Н(а>,<\) явное выражение для зависимости ртЛ от волнового вектора и частоты было получено в работах [24 - 26]:

Рта (Ч>= Е 2[/К',к+ч) - /(£«,к)

л,и',к

И„'к+д1М«к/Х

X

I "»к )еф{<\,а) - ("П'к+Ч |ре + йк + 1%к )\е/ тс) А(ч,«)

(2.16).

Плотность индуцированного тока ^ можно рассчитать как поправку к средней плотности тока с учетом внешнего электрического поля:

л,к

тс

(2.17).

(0) лк

л,к

Подставляя (2.11) в (2.17), с учетом калибровочной инвариантности поля, при которой ф = 0 и Е(я,<у) = /&>А(я,&>)/с, можно получить явную

зависимость от частоты« и волнового вектора д [24, 25]:

¡Ш = "А(я^) • ■—--7Г Е 2(МЛ+Ч |Ре + + ' 2Кк ) *

|Ре + ^ + / 2|Мик ) • (в / тс) А(ч,©) (2-18)'

где - концентрация электронов. Подставляя (2.18) в (2.5), получаем явное выражение для зависимости £ (я, ¿у) от частоты и длины волны [24, 25]:

/■ 2 Л 2

4;ге п . 4;ге

х

(я, ©) = 1--^ . 1 + -5—у (иЛ+я |ре + Йк + / 2| |/Л ) X

^ тсо ) т О.СО х /

/(А,к+Ч) - |Ре + Йк + /Ц / 2|м„к У

Компоненты тензора £-(я,со) можно представить в виде суммы тензоров продольной £ь (я,®) = • £ (ч^)' (Е ||я) и поперечной

£Т (я^) = \т • е{<{,со) Лт (Е 1 ч ) компонент диэлектрической проницаемости,

Т 2

где тензоры 1г=Я'Ч / q , 1Г = 1 —, 1 - единичный тензор второго ранга.

Следует заметить, что данное утверждение верно только для сферически симметричных систем, в общем же случае необходимо также учитывать недиагональные элементы еп (я, со) = \т ■ £ (я, со) ■ 1Ь и е1Т (я, со) = 1Ь ■ £ (я, со)-\т. Далее при выводе компонентов тензора £ (я, со) будет предполагаться, что

рассматриваемые величины изотропны, однако, в общем случае их также следует рассматривать как тензоры.

2.1.2 Продольная ДП. Формула Линхарда.

Для нахождения выражения для продольной компоненты диэлектрического тензора достаточно рассмотреть электрическое поле, волновой вектор я которого параллелен полю Продольные

электрические поля могут быть обусловлены медленно двигающимся внешним зарядом. Для такого поля всегда выполнено условие [УхЕ;^] = 0.

При этом Е ь можно определить как градиент некоторого скалярного

потенциала ф\ Е В данном случае ф{г,{) имеет вид (2.3). Таким

образом, выражение (2.16) для плотности индуцированных зарядов ртй заметно упрощается и принимает вид:

п,п ,к

и ,, \и ,

и к+ч I ик

(2.20).

тс!

(2.21).

Далее преобразуем уравнение Лапласа для потенциала ф: -Аф = 4 яр = 4тг(рех1 + рт(1) = -Афех1 + 4 лрш = -А (еф) + 4 кри

Применяя к (2.21) преобразование Фурье, учитывая (2.3), (2.20) и разрешая полученное уравнение относительно е, окончательно получаем:

, ч , 4пе1 2 ^ Г/(^',к+ч)-/(^к) еь [<\,со =1—г^-— 2-> ^-р-1-

Формула (2.22), явным образом выражающая зависимость продольной ДП от волнового вектора и частоты, была впервые получена в работе [26]. Если в качестве волновых функций рассмотреть плоские волны: у/пк (г) = 0"1/2е'кг и

ипк = 1, то формула (2.22) преобразуется к виду:

и ,, \и ,

л к+ч I лк

(2.22).

^ ; |а| О^ Ек+Ч ~Ек~ Ьсо

(2.23).

Формула Линхарда (2.23) [57] выражает зависимость продольной ДП газа свободных электронов от частоты и длины волны.

Следует заметить, что частота со является комплексной величиной и в выражениях, зависящих от си, необходимо произвести замену: ю^ко + щ. Зависимость возмущения 5Н от времени пропорциональна величине

ё11 -еш. При этом для параметра Т] выполнено условие: 0 < // 1, что обеспечивает адиабатичность перехода рассматриваемой системы в из невозмущенного = -оо) в возмущенное состояние (7 = 0). Таким образом,

ДП является величиной комплексной: £ = £"(1) + /£"(2), значение мнимой части которой можно определить, воспользовавшись формулой Сохоцкого:

_1_

х - а±щ

= Р

+ тд (х - а)

(2.24).

ух-а

Тогда мнимая часть (2.22) имеет вид: 4 тг2е2

,(2)

и „ \и ,

пк+ц I пк

(2.25).

О п,п',к ХЯ{ЕпМч-ЕпМ-П0})

При этом действительная и мнимая части ДП с учетом нечетности е{1) (со) и четности связаны соотношениями Крамерса-Кронига [58]:

£(1) (со) = 1 + —Р [-; ' , йсо'

У } - •> со'1-со1

Л2)

7Г { со'1-СО2

со

-с1а>'

(2.26),

(2.27).

Символ Р указывает на то, что интегралы (2.26) и (2.27) находятся в смысле главного значения (в пределе // -» 0). Как было показано в [59 - 61] в общем случае функцией отклика системы на внешнее воздействие является не ДП, а величина, обратная ей. Вследствие принципа причинности соотношения Крамерса-Кронига всегда верны для обратной ДП. При этом выражение (2) справедливо только в пределе, когда длина волны падающего излучения многократно превышает величину характерного размера системы.

Подставляя (2.25) в (2.26) получаем явное выражение для действительной части ДП Аже

и,л',к

X

(2.28),

(Т7 Г V (Ъ Л2" (МЛ+Ч 1"«к)

(£„'к+ч-М -{Щ

которое достаточно просто сводится к (2.22) без мнимой части со.

2.1.3. Поперечная ДП. Формула Кубо - Гринвуда. Зависимость ДП от плотности электронных состояний.

Для нахождения поперечной ДП рассмотрим электрическое поле, для которого выполнено условие перпендикулярности ц полю Ет. Как было упомянуто ранее, в силу калибровочной инвариантности поля, можно ввести такое преобразование Е, при котором ф = О, тогда Е = -(1 / с)(дА / и с

учетом (2.2) Е = /<уА/с. При этом для Ет, соответствующего

электромагнитной волне, выполнено условие (У-Ег) = 0, из чего также

следует, что (V • А) = 0. Следует заметить, что данное рассмотрение

равнозначно введению предположения об однородности поля, что при этом не приводит к потере точности при вычислении ДП по сравнению с выражением (2.22). Получим выражение для поперечной ДП в длинноволновом пределе при —» 0.

Плотность индуцированного тока связана с полем посредством соотношения:

где сг(<у) - динамическая проводимость. Преобразуя выражение (2.5), с

~ / (О , • (2)ч

учетом того, что а является величинои комплексной (о* = сг+ гст ), получаем связь между компонентами проводимости и ДП:

(2.30),

со

т(1) (2.31).

со

Подставляя (2.18) в (2.29) с учетом свойства (2.24) в пределе |я|-»0,

находим выражение для действительной части проводимости (формула Кубо-Гринвуда) [35]:

Таким образом, из-(2.31) можно получить следующее выражение для мнимой части поперечной ДП:

В случае, когда энергетическая щель между соседними состояниями

мала

Е„+\и Епк

«Епк (условие квазинепрерывности спектра) сумму (2.33)

х6(Е' -Е- hco)g(E')g(E)dE'dE = {[/(£ + Па,) - /(£)] х (2.34),

можно представить в виде интеграла:

е?) w=' WЕ,) - • к^ ivM2 х

8 TT2e2h2

т2со2 Q 2

g{E + hco)g(E)dE

где g(E) - плотность электронных состояний. Таким образом, вклады

связанных состояний, характеризуемых как дискретным, так и квазинепрерывным спектром, и свободных состояний в мнимую часть ДП можно представить в виде следующего выражения:

= X 2 • ) - /К-)] • Ir*. I VMf - Е* - hco) +

т со i¿ „„ к

о 2 2*2 Egap 2

Í + g(E + ha>)g(E)dE +

т со L2 * 1 1

Фе2 00

(2.35).

2*\[f(E + tUD)-f(E)%^y¡(E + fUo)g(E)dE +

yjmcon^ n м

%e2rr£l

+

п2П"со2 0

Первый член (1) выражает вклад в ДП связанных состояний с дискретным спектром. Первый интеграл в (1) соответствует вкладу парных связанных состояний, характеризуемых квазинепрерывным спектром в диапазоне энергий ЕХ<Е < Е%ар, где Е§ар - граница спектра парных

J[/(£ + W)-/(£)]J.E(E + hco)dE.,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Саитов, Ильнур Миннигазыевич, 2013 год

Список литературы.

1. Collins G.W., Celliers P.M., Gold D.M., Da Silvar L.B., Cauble R. Shock-Compression Experiments and Reflectivity Measurements in Deuterium up to 3.5 Mbar usingthe Nova Laser. // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. N. 1-2. P. 13-16.

2. Celliers P.M., Collins G.W., DaSilvaL.B., Gold D.M., Cauble R, Wallace R.J., Foord M.E., Hammel B. A. Shock-Induced Transformation of Liquid Deuterium into a Metallic Fluid. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. N. 24. P. 5564-5567.

3. Loubeyre P., Celliers P.M., Hicks D.G., Henry E., Dewaele A., Pasley J., Eggert J., Koenig M., Occelli F., Lee K.M. Coupling static and dynamic compressions: first measurements in dense hydrogen. // High Pressure Research 2004. V. 24. N. l.P. 25-31.

4. Morales M.A., McMahon J.M., Pierleoni C., Ceperley D.M. Nuclear Quantum Effects and Nonlocal Exchange-Correlation Functionals Applied to Liquid Hydrogen at High Pressure. // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 110. N. 6. 065702 [6 pages].

5. Soubiran F., Mazevet S., Winisdoerffer C., Chabrier G. Helium gap in the warm dense matter regime and experimental reflectivity measurements. // Phys. Rev. B 2012. V. 86. N. 11. 115102 [3 pages].

6. Celliers P.M., Loubeyre P., Eggert J.H.,. Brygoo S, McWilliams R.S., Hicks D.G., Boehly T.R., Jeanloz R., Collins G.W. Insulator-to-Conducting Transition in Dense Fluid Helium. // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 104. N. 18. 184503 [4 pages].

7. Kowalski P.M., Mazevet S., Saumon D., Challacombe M. Equation of state and optical properties of warm dense helium. // Phys. Rev. B 2007. V. 76. N. 7. 075112 [14 pages].

8. Winisdoerffer C., Chabrier G. Free-energy model for fluid helium at high density. // Phys. Rev. E 2005. V. 71. N. 2. 026402 [12 pages].

9. Young D.A., McMahan A. K, Ross M. Equation of state and melting curve of helium to very high pressure. // Phys. Rev. E 1981. V. 24. N. 9. P. 5119-5127.

lO.Soubiran F., Mazevet S., Winisdoerffer C., Chabrier G. Optical signature of hydrogen-helium demixing at extreme density-temperature conditions. // Phys. Rev. В 2013. V. 87. N. 16. 165114 [5 pages].

11 .Polyakov I.V., Grigorenko, B.L., Epifanovsky E.M., Krylov A.I., Nemukhin A.V. Potential energy landscape of the electronic states of the gfp chromophore in different protonation forms: electronic transition energies and conical intersections. // J. Chem. Theory Comput. 2010 V. 6. P. 2377 - 2387.

12.Grigorenko B.L., Nemukhin A.V., Morozov D.I., Polyakov I.V. Bravaya K.B., Krylov A.I. Toward molecular-level characterization of photoinduced decarboxylation of the green fluorescent protein: accessibility of the chargetransfer states. // J. Chem. Theory Comput. 2012 V. 8. P. 1912 - 1920.

13.Mintsev V.B., Zaporogets Yu.B. Reflectivity of Dense Plasma. // Contrib. Plasma Phys. 1989. V. 29. N. 4-5. P. 493 - 501.

14.Запорожец Ю.Б., Минцев В.Б., Грязное В.К, Фортов В.Е. Коэффициент отражения плотной плазмы ксенона в красной области спектра (694 нм). // Физика экстремальных состояний вещества - 2002.Черноголовка. 2002. С. 188- 189.

15.Запорожец Ю.Б., Минцев В.Б., Грязное В.К., Фортов В.Е., Рейнголъц X., Репке Г. Отражательные свойства плотной плазмы ксенона в длинноволновой области оптического спектра. // Физика экстремальных состояний вещества - 2004.Черноголовка. 2004. С. 140 - 141.

16.Zaporoghets Yu. В., Mintsev V. В., Gryaznov V. К, Fortov V. Е., Reinholz Н., Raitza Т., Röpke G. Reflectivity of nonideal plasmas. // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. №17. P. 4329 - 4333.

17.Zaporoghets Yu.B., Mintsev V. В., Gryaznov V. K, Fortov V. E., Reinholz H., Röpke G. Angular dependence of s- and p-polarized reflectivities of explosively driven dense plasma. // Physics of Extreme States of Matter - 2009. Chernogolovka. 2009. P. 194 - 197.

1 S.Zaporozhets Yu.B., Mintsev V.B., Gryaznov V.K., Fortov V.E., Winkel M., Reinholz H., Röpke G. The investigation of polarized reflectivity properties of strongly correlated plasma. // Physics of Extreme States of Matter - 2010. Chernogolovka. 2010. P. 176 - 178.

19.Zaporoghets Yu. B., Mintsev V. B., Gryaznov V. K., Reinholz H., Röpke G., Fortov V. E. Angular dependence of s- and p-polarized reflectivities of strongly correlated dense plasma. // Physics of Extreme States of Matter - 2013. Chernogolovka. 2013. P. 194 - 197.

20.Reinholz H., Röpke G., Wierling A., Mintsev V., Gryaznov V. Reflectivity of shock compressed xenon plasma. // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43. N. 1 P. 3-4.

21 .Reinholz H., Röpke G., Morozov I., Mintsev V., Zaporoghets Yu., Fortov V., Wierling A. Density profile in shock wave fronts of partially ionized xenon plasmas. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. N. 22. P. 5991 - 5997. 22.Reinholz H., Zaporoghets Yu.B., Mintsev V., Fortov V., Morozov I., Röpke G. Frequency-dependent reflectivity of shock-compressed xenon plasmas. // Phys. Rev. E 2003. V. 68. N. 3. 036403 [10 pages], 23 .Desjarlais M.P. Density functional calculations of the reflectivity of shocked xenon with ionization based gap corrections. // Contrib. Plasma Phys. 2005. V. 45. N. 3-4. P. 300-304. lA.Adler S.L. Quantum theory of the dielectric constant in real solids. // Phys. Rev.

1962. V. 126. N. 2. P. 413-420.

25. Wiser N. Dielectric constant with local field effects included. // Phys. Rev.

1963. V. 129. N. l.P. 62-69.

26.Ehrenreich H., Cohen M. H. Self-consistent field approach to the many-electron problem.//Phys. Rev. 1959. V. 115.N. 4. P. 786-790.

27.Gajdos M., Hummer K., Kresse G., Furthmüller J., Bechstedt F. Linear optical properties in the projector-augmented wave methodology. // Phys. Rev. B 2006. V. 73. N. 4. 045112 [9 pages].

28.Kresse G., Hafner J. Ab initio molecular dynamics for liquid metals. // Phys. Rev. В 1993. V. 47. N. 1. P. 558 - 561.

29.Kresse G., Hafrier J. Ab initio molecular-dynamics simulation of the liquid-metal-amorphous-semiconductor transition in germanium. // Phys. Rev. В 1994. V. 49. N. 20. P. 14251 - 14269.

30.Kresse G., Furthmuller J. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set. // Phys. Rev. В 1996. V. 54. N. 16. P. 11169- 11186.

31 .Панкин A.B., Норман Г.Э. Парные флуктуации в неидеальной плазме и их

ограничение у порога ионизации. // ТВТ. 2008. Т. 46. №2. С. 170 - 184. 32.Ланкин А.В. Столкновительная рекомбинация в неидеальной плазме. //

ЖЭТФ. 2008. Т. 134. №5. С. 1013 - 1023. ЪЪ.Ьапкт А. V., Norman G.E. Crossover from bound to free states in plasmas. // J.

Phys. A: Math, and Theor. 2009. V. 42. N. 21. 214032 [12 pages]. 34.Mermin N.D. Thermal properties of the inhomogeneous electron gas. // Phys.

Rev. 1965. V. 137. N. 5A. P. A1441 - A1443. 35 .Маделунг О. Физика твердого тела. Локализованные состояния. М.: Наука, 1985. 184 с.

ЪЬ.Норман Г.Э., Старостин А.В., Несостоятельность классического описания

невырожденной плотной плазмы. // ТВТ. 1968. Т. 6. №3. С. 410-415. Ъ1.Норман Г.Э., Старостин А.В., Термодинамика сильно неидеальной плазмы. // ТВТ. 1970. Т. 8. №2. С. 413 - 438.

38.Веденов А.А., Ларкин А.И. Уравнение состояния плазмы. // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. №4. С. 1133- 1142.

39.De Witt Н.Е. Statistical mechanics of high-temperature quantum plasmas beyond the ring approximation. // J. Math. Phys. 1966. V. 7. N. 4. P. 616 - 626.

40.Ebeling W. Quantum Statistics of Ionization and Shielding Effects in Non-Degenerate Moderately Doped Semiconductors // Phys. Stat. Sol. (b). 1971. V. 46. N. l.P. 243-255.

41 .Инсепое З.А., Норман Г.Э. Трехчастичные заряженные электронно-дырочные комплексы в полупроводниках. // ЖЭТФ. 1975. Т. 69. №4. С. 1321 - 1324.

42.Эбелинг В., Крефт В., Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в плазме и твердом теле. М.: Мир, 1979. 262 с.

43 .Ebeling W., Richert W. Plasma phase transition in hydrogen. // Phys. Lett. A. 1985. V. 108. N. 2. P. 80-82.

А А.Крефт В.-Д., Кремп Д., Эбелинг В., Рёпке Г. Квантовая статистика систем заряженных частиц. М.: Мир, 1988. 405 с.

А5.Ebeling W., Förster A., Fortov V.E., Gryaznov V.K., Polishchuk A.Ya. Thermophysical Properties of Hot Dense Plasmas. Stuttgart-Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1991. 315. p.

A6.Saumon D., Chabrier G. Fluid hydrogen at high-density - the plasma phasetransition. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. N. 20. P. 2397 - 2400.

Al.Potekhin A. Y., Chabrier G., Shibanov Yu.A. Partially ionized hydrogen plasma in strong magnetic fields. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. N. 2. P. 2193 - 2208.

AS.Saumon D., Chabrier G., Wagner D.J., Xie X. Modeling pressure-ionization of hydrogen in the context of astrophysics. // High Pressure Res. 2000. V. 16. N. 5 -6. P. 331 -343.

49.Kaklyugin A.S., Norman G.E. Thermodynamic functions (analytic expressions) for partially ionized strongly coupled plasmas. Bound and free states contributions. // J. de Physique. 2000. V. 10. N. PR. 5. P. 153 - 157.

50.Фортов В.E., Храпак А.F., Якубов И.Т. Физика неидеальной плазмы. М.: Физматлит, 2000. 528 с.

51 .Norman G.E. Phase diagram of ultracold strongly coupled plasmas. // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. N. 17. P. 4579 - 4585.

51.Kremp D., Ebeling W., Kraeft W. D. Coexisting phases in an electron—hole plasma. // Phys. Stat. Sol. (b). 1976. V. 78. N. 1. P. 241 - 253.

53.Ebeling W., Kraeft W.-D., Kremp D., Kilimann K. Phase transitions in electron-hole plasmas. // Phys. Stat. Sol. (b). 1975. V. 69. N. 1. P. K59 - K62.

87

54.Lehmann H., Ebeling W. Coulombic phase transitions in symmetrical quantum systems. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. N. 3. P. 2451 - 2457.

55.Грязное В.К., Иосшевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамические свойства ударно сжатой плазмы // Энциклопедия Низкотемпературной Плазмы (ред. Фортов В.Е.). Серия Б. Том III-1 "Термодинамические свойства низкотемпературной плазмы" (ред. Старостин А.Н., Иосшевский И.Л.). М.: Физматлит. 2004. С. 111.

5 б.Каклюгин А.С., Норман Г.Э. Термодинамические функции невырожденной частично ионизованной плазмы для области параметров от газовой до сильно неидеальной // Энциклопедия Низкотемпературной Плазмы (ред. Фортов В.Е.). Серия Б. Том III-1 "Термодинамические свойства низкотемпературной плазмы" (ред. Старостин А.Н., Иосилевский И.Л.). М.: Физматлит. 2004. С. 248.

57.Займан. Д. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1974. 468 с.

5$Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

59.Киржниц ДА. Всегда ли справедливы соотношения Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости вещества? // УФН 1976. Т. 119. №2. С. 357 - 369.

60 .Александров А.Ф. Рухадзе А. А. Лекции по электродинамике плазмоподобных сред. М.: Издательство Московского университета. Физический факультет МГУ, 1999. 335 с.

61 Долгов О.В., Максимов Е.Г. Эффекты локального поля и нарушение соотношений Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости // УФН 1981. Т.135. №3. С. 441 -476.

62.Greenwood D.A. The Boltzmann equation in the theory of electrical conduction in metals. //Proc. Phys. Soc. 1958. V. 71. P. 585 - 596.

63 .Kohn W., Sham L.J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects. // Phys. Rev. 1965. V. 140. N. 4A. P. 1133-1138.

64.Runge E., Gross E.K.U. Density-functional theory for time-dependent systems. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. N. 12. P. 997 - 1000.

65.Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas. // Phys. Rev. 1964. V. 136. N. 3B.P.B864-B871.

ee.Monkhorst H.J., Pack J.D. Special points for Brillouin-zone integrations. //

Phys. Rev. В 1976. V. 13. N. 12. P. 5188-5192. ei.Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized Gradient Approximation

Made Simple. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. N. 18. P. 3865 - 3868. 62>.Mattsson T. R., Magyar R. J. Density functional theory (ТФП) simulations of

shocked liquid xenon. // AIP Conf. Proc. 2009. V. 1195. P. 797 - 800. 69.Nose S. A unified formulation of the constant temperature molecular dynamics

methods.//J. Chem. Phys. 1984. V. 81. N. 1. P. 511 - 519. 10.Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions. //

Phys. Rev. A 1985. V. 31. N. 3. P. 1695 - 1687. 1 X.Del Sole R., Girlanda R. Optical properties of semiconductors within the independent-quasiparticle approximation. // Phys. Rev. В 1993. V. 48. N. 16. P. 11789- 11795.

И.Буреева JI.A., Лисица B.C. Возмущенный атом. M.: ИздАТ, 1997. 464 с. 13.Hansen J.P., McDonald I.R. Microscopic simulation of a strongly coupled hydrogen plasma. // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. N. 4. P. 2041 - 2059.

I A.Hansen J.P., McDonald I.R. Thermal relaxation in a strongly coupled two-

temperature plasma. // Phys. Lett. A. 1983. V. 97. N. 1 - 2. P. 42 - 44. 15.Валуев А.А., Морозов И.В., Норман Г.Э., Ленгмюровские волны и ионный звук в неидеальной плазме. Молекулярно-динамический расчет. // ДАН. 1998. Т. 362. №6. С. 752 - 755. Ib.Morozov I. V., Norman G.E., Valuev A.A. Stochastic properties of strongly coupled plasmas. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. N. 3. 036405 [9 pages],

II .Golubnychiy V., Bonitz M., Kremp D., Schlanges M. Dynamical properties and plasmon dispersion of a weakly degenerate correlated one-component plasma. // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. N. 1. 016409 [8 pages].

89

IS.Golubnychiy V, Bonitz M., Kremp D., Schlanges M. Plasmon dispersion of a weakly degenerate nonideal one-component plasma. // Contrib. Plasma Phys. 2002. V. 42. N. 1. P. 37-41.

79.Kuzmin S.G., О'Neil T.M. Numerical simulation of ultracold plasmas: how rapid intrinsic heating limits the development of correlation. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. N. 6. 65003 [4 pages].

80.Kuzmin S.G., O'Neil T.M. Numerical simulation of ultracold plasmas. // Phys. Plasmas. 2002. V. 9. N. 9. P. 3743 - 3751.

Sl.Millat Th., Selchow A., Wierling A., Reinholz H., Redmer R., Röpke G. Dynamic collision frequency for a two-component plasma. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. N. 22. P. 6259 - 6264.

82.Pschiwul Т., Zwicknagel G. Numerical simulation of the dynamic structure factor of a two-component model plasma. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. N. 22. P. 6251 -6258.

83.Morozov I.V., Norman G.E. Non-exponential dynamic relaxation in strongly nonequilibrium nonideal plasmas. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. N. 22. P. 6005-6012.

84.Морозов КВ., Норман Г.Э. Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме. // ЖЭТФ. 2005. Т. 127. №2. С. 412 - 430.

85.Belkacem М., Megi F., Reinhard P.-G., Suraud E., Zwicknagel G. Coulomb explosion of simple metal clusters in intense laser fields. 11 Phys. Rev. A. 2006. V. 73. N. 5.051201 [4 pages].

S6.Murillo M.S. Ultrafast Dynamics of Strongly Coupled Plasmas. // Phys. Rev.

Lett. 2006. V. 96. N. 16. 165001 [4 pages]. Sl.Murillo M.S., Dharma-Wardana M.W.C. Temperature relaxation in hot dense

hydrogen. // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 100. N. 16. 165001 [4 pages]. 88.Calisti A., Talin В. Classical molecular dynamics model for coupled two-component plasmas - ionization balance and time considerations. // Contrib. Plasma Phys. 2011. V. 51. N. 6. P. 524 - 528.

89.Bannasch G., Pohl T. Rydberg-atom formation in strongly correlated ultracold plasmas. //Phys. Rev. A. 2011. V. 84. N. 5. 052710 [10 pages].

90.Dumin Yu. V. Characteristic features of temperature evolution in ultracold plasmas. // Plasma Phys. Report. 2011. V. 37. N. 10. P. 858 - 865.

91 .Бобров A.A., Бронин С.Я., Зеленер Б.Б., Зеленер Б.В., Хихлуха Д.Р., Маныкин Э.А. Коэффициент столкновительнои рекомбинации в ультрахолодной плазме. Расчет методом молекулярной динамики. // ЖЭТФ. 2011. Т. 139. №3. С. 605-612.

92.Ebeling W. Statistische thermodynamik der gebundenen zustände in plasmen. // Ann. Phys. 1967. V. 474. N. 1 - 2. P. 104 - 112.

93.Ларкин A.K Термодинамические функции низкотемпературной плазмы. // ЖЭТФ. 1960. Т. 28. №6. С. 1896 - 1898.

94.Starostin A.N., Roerich КС., More R.N. How correct is the EOS of weakly nonideal hydrogen plasmas. // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43. N. 5 - 6. P. 369-372.

95.Starostin A.N., Roerich V.C. Equation of state of weakly nonideal plasmas and electroneutrality condition. // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. N. 17. P. 4431 -4439.

96.Зеленер Б.В., Норман Г.Э., Фшинов B.C. К статистической теории неидеальной плазмы. // ТВТ. 1972. Т. 10. №6. С. 1060 - 1070.

91.Raitza Т., Röpke G., Reinholz Н, Morozov I. Spatially resolved dynamic structure factor of finite systems from molecular dynamics simulations. // Phys. Rev. E. 2011. V. 84. N. 3. 036406 [10 pages],

98.Fennel Т., Ramunno L., Brabec T. Highly charged ions from laser-cluster interactions: local-field-enhanced impact ionization and frustrated electron-ion recombination. // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. N. 23. 233401 [4 pages].

99.Glosli J.N., Graziani F.R., More R.M., Mirillo M.S., Streitz F.H., Surh M.P., Benedict L.X., Hau-Riege S., Langdon A.B., London R.A. Molecular dynamics simulations of temperature equilibration in dense hydrogen. // Phys. Rev. E. 2008. V. 78. N. 2. 025401 [4 pages].

100. Dharma-Wardana M.W.C. Quantum corrections and bound-state effects in the energy relaxation of hot dense hydrogen. // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. N. 3.035002 [4 pages].

101. Ebeling W. Coulomb interaction and ionization equilibrium in partially ionized plasma. // Physica. 1969. V. 43. N. 2. P. 293 - 306.

102. Kelbg G. Zur theorie des mikrofeldes im plasma. // Ann. Phys. 1964. V. 468. N. 7-8.P. 385-394.

103. Ebeling W., Kelbg G., Rohde K Binäre SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen fur quantenstatistische Systeme mit COULOMBWechselwirkung. I. // Ann. Phys. 1968. V. 476. N. 5 - 6. P. 235 - 243.

104. Rohde K, Kelbg G„ Ebeling W. Binäre SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen für quantenstatistische Systeme mit COULOMBWechselwirkung. II. // Ann. Phys. 1968. V. 477. N. 1 - 2. P. 1 - 14.

105. Storer R.G. Radial distribution function for a quantum plasma. // Phys. Rev. 1968. V. 176. N. 1. P. 326-331.

106. Ebeling W. Zur quantenstatistik der bindungszustände in plasmen. I cluster-entwicklungen. // Ann. Phys. 1969. V. 477. N. 7 - 8. P. 383 - 391.

107. Barker A. A. Effective potentials between the components of a hydrogeneous plasma. //J. Chem. Phys. 1971. V. 55. N. 4. P. 1751 - 1759.

108. Ebeling W., Sanding R. Theory of the ionization equilibrium in dense plasmas. // Ann. Phys. 1973. V. 483. N. 4. P. 289 - 305.

109. Deutsch C. Nodal expansion in a real matter plasma. // Phys. Lett. A. 1977. V. 60. N. 4. P. 317-318.

110. Deutsch C., Gombert M.M., Minoo H. Classical modelization of symmetry effects in the dense high-temperature electron gas. // Phys. Lett. A. 1978. V. 66. N. 5. P. 381 -382.

111. Ebeling W., Norman G.E., Valuev A.A., Valuev I.A. Quasiclassical theory and molecular dynamics of two-component nonideal plasmas. // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. N. 1 - 2. P. 61 - 64.

112. Filinov A. V, Bonitz M., Ebeling W. Improved Kelbg potential for correlated Coulomb systems. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. N. 22. P. 5957 - 5962.

113. Зеленер В.Б., Норман Г.Э., Филинов B.C. Теория возмущений и псевдопотенциала в статистической термодинамике. М.: Наука, 1981. 188 с.

114. Murillo M.S., Jones C.S. Analysis of semi-classical potentials for molecular dynamics and Monte Carlo simulations of warm dense matter. // High Energy Density Phys. 2007. V. 3. N. 3 - 4. P. 379 - 394.

115. Morozov I. V, Valuev I.A. Improvement of wave packet molecular dynamics using packet splitting. // Contrib. Plasma. Phys. 2012. V. 52. N. 2. P. 140 - 144.

116. P.E. Grabowski, A. Markmann, I.V. Morozov, I.A. Valuev, C.A. Fichtl, D.F. Richards, VS. Batista, F.R. Graziani, M.S. Murillo. Wave packet spreading and localization in electron-nuclear scattering. // Phys. Rev. E. 2013. V. 87. N. 6. 063104 [12 pages].

117. Замалин B.M., Норман Г.Э. Филинов B.C. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977. 228 с.

118. Ломакин Б.Н., Фортов В.Е. Уравнение состояния неидеальной цезиевой плазмы // ЖЭТФ. 1972. Т. 63. №1. С. 92 - 103.

119. Gryaznov V.K., Iosilevskiy I.L., Fortov VE. Shock Waves and Extreme States of Matter, (ed. by Fortov V.E., Altshuler L. V, Trunin R.F., Funticov A.I.) Berlin: Springer, 2004. P. 437 - 489.

120. Fortov V.E., Iakubov I.T., Khrapak A.G. Physics of Strongly Coupled Plasma. Oxford: Oxford University Press, 2006. 534 p.

121. Kuhlbrodt S., Redmer R, Reinholz H., Röpke G., Hoist В., Mintsev V.B., Gryaznov V.K., Shilkin N.S., Fortov V.E. Electrical conductivity of noble gases at high pressures. // Contrib. Plasma Phys. 2005. V. 45. N. 1. P. 61 - 69.

122. Фишер ИЗ. Статистическая теория жидкостей. М.: Наука, 1961г. 280 с.

123. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит, 1995. С. 386.