Коаксиальные волноводы и их применение в плазменной релятивистской СВЧ-электронике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Ярославцева, Екатерина Андреевна

• Ярославцева, Екатерина Андреевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ярославцева, Екатерина Андреевна

Введение и обзор литературы..........................................................5

Глава I. Коаксиальный плазменный волновод в сильном внешнем магнитном поле................................................................................16

§1.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот цилиндрического коаксиального волновода с полностью замагниченной трубчатой плазмой.

Структура электромагнитного поля........................................................16

§1.2. Спектры частот коаксиального плазменного волновода в длинноволновой и коротковолновой областях...................................................21

§1.3. Результаты численного исследования спектров частот и структур полей коаксиального плазменного волновода в сильном магнитном поле.. ..24

§1.4. Предел бесконечно тонкой трубчатой плазмы.............................33

§1.5. Волны плотности заряда полностью замагниченного релятивистского

электронного пучка в цилиндрическом коаксиальном волноводе............37

§1.6. Предельный вакуумный ток релятивистского электронного пучка в коаксиальном пространстве дрейфа.................................................41

Глава II. Коаксиальный плазменный волновод в отсутствие внешнего магнитного поля..........................................................................47

§2.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот коаксиального волновода с трубчатым плазменным заполнением. Структура электромагнитного

поля..............................47

§2.2. Результаты численного исследования спектров частот коаксиального

плазменного волновода в отсутствие внешнего магнитного поля............50

§2.3. Длинноволновое приближение................................................54

§2.4. Использование метода эффективных граничных условий в теории поверхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в

отсутствие внешнего магнитного поля.............................................57

2

Глава III. Коаксиальный плазменный волновод в конечном внешнем магнитном поле............................................................................63

§3.1. Дисперсионное уравнение и структура электромагнитного поля для

коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением.........63

§3.2. Некоторые особенности спектров частот электромагнитных волн коаксиального волновода с однородным плазменным заполнением. Кабельные волны коаксиального плазменного волновода. Длинноволновое приближение.................................................................................66

§3.3. Использование метода эффективных граничных условий в теории поверхностных волн тонкой трубчатой плазмы в коаксиальном волноводе в конечном внешнем магнитном поле.................................................72

Глава IV. Теория плазменных релятивистских черенковских излучателей с коаксиальной электродинамической системой в сильном внешнем магнитном поле............................................................................77

§4.1. Дисперсионное уравнение пучково-плазменного взаимодействия в

коаксиальном волноводе...............................................................77

§4.2. Усиление электромагнитных волн в коаксиальном волноводе с тонкими трубчатыми плазмой и электронным пучком. Классификация механизмов усиления.........................................................................83

§4.3. Результаты численного исследования дисперсионного уравнения

пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальном волноводе...........85

§4.4. Условия самовозбуждения и к.п.д. плазменного СВЧ-излучателя с коаксиальным резонатором..............................................................95

Глава V. Теория пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальных волноводах в конечном внешнем магнитном поле..............................98

§5.1. Использование метода эффективных граничных условий для получения дисперсионного уравнения пучково-плазменного взаимодействия в

конечном внешнем магнитном поле.................................................98

3

§5.2. Вывод дисперсионных уравнений пучково-плазменного взаимодействия в конечном внешнем магнитном поле.............101

§5.3. Классификация механизмов неустойчивостей в конечном внешнем магнитном поле.........................................................................104

Выводы..................................................................................108

Список литературы..................................................................110

Введение и обзор литературы

Раздел физики плазмы под названием плазменная сверхвысокочастотная электроника (СВЧ-электроника) появился после выхода совместных работ Ахиезера А.И. и Файнберга Я.Б., Бомма Д. (Bohm D.) и Гросса Э. (Gross E.P.), в которых теоретически предсказано явление пучковой неустойчивости в плазме [1, 2]. Явление пучковой неустойчивости состоит в черенковском возбуждении электронным пучком волн в плазме [1, 2]. С помощью решений соответствующих электродинамических уравнений было получено дисперсионное уравнение, описывающее данное явление [3-11].

Вслед за теоретическим открытием явления пучковой неустойчивости в плазме в конце 1950-х и начале 1960-х годов последовали первые эксперименты, демонстрирующие высокоэффективное взаимодействие пучка и плазмы [12-14]. Проведенные эксперименты подтвердили теорию о том, что при прохождении пучка через плазму генерируются колебания высокой частоты. В экспериментах впервые были созданы плазменные источники СВЧ-излучения, что и является основной целью изучения пучковых неустойчиво-стей в плазме.

Успешные эксперименты с электронным пучком повлияли на дальнейшее развитие теории по этому направлению. В конце 1950-х годов в свет вышло большое количество статей [15-18] и полноценных монографий [1922]. Работы [15-17] посвящены рассмотрению распространения электромагнитной волны в плазменном стержне в однородном постоянном магнитном поле, рассмотрены механизмы пучковых неустойчивостей. Изучение пучковых неустойчивостей напрямую связано с созданием плазменных источников СВЧ-излучения - плазменных СВЧ-генераторов и усилителей. Например, практическому применению явления пучково-плазменной неустойчивости в плазменных СВЧ-генераторах и усилителях посвящена вышедшая в 1965 году монография [23]. Помимо представленных последних исследований в работе были отмечены проблемы нерелятивистской СВЧ-электроники. Главная

5

проблема заключалась в том, что нерелятивистская СВЧ-электроника не могла конкурировать с вакуумной СВЧ-электроникой и с ее приборами.

Основным минусом проведенных экспериментов была малая эффективность излучения. В 1970-х годах с появлением сильноточных релятивистских электронных пучков произошел сдвиг в дальнейшем развитии плазменной СВЧ-электроники [24, 25]. Выяснилось, что проблема малой эффективности излучения заключалась в нерелятивизме электронного пучка, а не в плохой эффективности взаимодействия пучка с плазмой.

Обзор нерелятивистского периода плазменной СВЧ-электроники представлен в работе [26]. Развитие теории и эксперимента релятивистских сильноточных электронных пучков описано в работах [27-29]. Отметим, что здесь и далее речь идет о создании плазменных СВЧ-источников излучения, основанных на неустойчивостях, обусловленных вынужденным эффектом Черен-кова [30]. В работах [31, 32] впервые введены понятия предельных вакуумных токов (таких как ток Богданкевич-Рухадзе, ток Пирса), сформулированы принципы сильноточной релятивистской СВЧ-электроники и предложено использовать релятивистские пучки для генерации электромагнитного излучения.

Тот факт, что плазма имеет спектр собственных колебаний и волн, послужил стимулом к переходу от громоздких резонаторов и замедляющих систем вакуумных СВЧ-приборов к гладким системам - волноводам [33-35].

Традиционно годом рождения релятивистской СВЧ-электроники считается 1972 год. В этом году впервые успешно прошел эксперимент по генерации СВЧ-излучения. Эксперимент был проведен двумя институтами: ИОФАН (ФИАН Физический институт им. М.П. Лебедева АН СССР) и ИПФАН (НИРФИ - Горьковский радиофизический институт) [36]. В результате эксперимента удалось экспериментально воплотить черенковский генератор типа ЛОВ (прибор релятивистской вакуумной СВЧ-электроники) на релятивистском электронном пучке (ток пучка 1Ь < 8 кА, энергия пучка Е = 670 кэВ).

Эксперименты на данном генераторе проводились и в дальнейшем [37], и

6

было достигнуто увеличение к.п.д. (коэффициент полезного действия) генератора с 7 = 15% до 77 = 30%. При этом улучшение параметров было достигнуто путем увеличения величины магнитного поля.

В дальнейшем исследования черенковского генератора происходили параллельно в Харьковском физико-техническом и США [38-40]. Период развития СВЧ-электроники вплоть до 1980-х годов описан в работе [41]. В этой работе описаны эксперименты в области СВЧ-электроники имеющие место на тот период времени, дано подробное описание линейной и нелинейной теории плазменных генераторов на основе модели холодной электронной плазмы и моноэнергетического электронного пучка. Получены стартовые токи пучка для возбуждения генератора, частоты возбуждаемых волн в случае линейной теории, определено к.п.д. генератора в случае нелинейной теории генератора.

Последующее исследование черенковских генераторов вакуумного типа происходило и после описанных экспериментов вплоть до создания в 1982 году первого плазменного СЧВ-генератора на вынужденном черенковском излучении релятивистского электронного пучка в плазменном волноводе [42-44].

В приборах вакуумной СВЧ-электроники используется заполнение волновода плазмой, что позволяет скомпенсировать пространственный заряд пучка. Заполнение волновода плазмой используется и в плазменных приборах СВЧ-электроники, однако в этом случае плазма играет роль замедляющей структуры. К приборам вакуумной СВЧ-электроники относятся приборы ЛБВ и ЛОВ, в них используется черенковский механизм неустойчивости [45, 46].

Плазменный релятивистский СВЧ-генератор (ПРГ) представляет собой металлический волновод радиуса я, заполненный трубчатой плазмой, на конце волновода помещается излучающий рупор, под которым подразумевается коаксиальный вакуумный волновод с внешним радиусом я металличе-

ского плазменного волновода и внутренним г0 > гр (гр - радиус плазменной

трубки). На входе волновода имеется катод ускорителя и металлическая сетка, которая непрозрачна для излучения, но прозрачна для электронов пучка. В волновод инжектируется электронный пучок, а сама система помещается в сильное внешнее магнитное поле.

Первый плазменный релятивистский СВЧ-генератор был создан в ИОФАНе на основе ускорителя Терек-2 [42-44]. Параметры экспериментальных величин были следующие: энергия электронного пучка 480 кэВ, ток 0.9 кА. Пучок инжектировался в цилиндрический волновод, заполненный плазмой с концентрацией п =2 -1014 см-3, вся система находилась под действием магнитного поля до 3 Тл. В ходе эксперимента были определены условия, при которых имеет место генерация излучения, были измерены параметры СВЧ-излучения. В результате удалось достигнуть к.п.д. 10%. Кроме этого в работе было проведено сравнение полученных экспериментальных данных с теорией плазменного СЧВ-генератора, которая была разработана в более ранних работах [47, 48].

В работе [47] подробно описана теория плазменных СВЧ-усилителей и генераторов, основанных на черенковском возбуждении низкочастотной плазменной волны Е-типа. Получена система укороченных уравнений сильноточного плазменного ускорителя, которая дополняется граничными условиями, определен к.п.д. сильноточного плазменного ускорителя. Помимо усилителя с моноэнергетическим пучком был рассмотрен сильноточный плазменный усилитель с немоноэнергетическим пучком электронов, для которого была выведена система укороченных уравнений совместно с граничными условиями и к.п.д. Для этого усилителя были изучены нестационарные процессы в плазменно-пучковом взаимодействии, задача о генерации в линейном приближении, определен стартовый ток начала генерации, амплитуда резонансной волны, к.п.д. генератора. Как для генератора, так и для усилителя был проведен анализ эффективности усиления или генерации СВЧ-

излучения в зависимости от тока пучка. Работе [47] предшествовали теоретические работы [48, 49]. В работе [48] была изложена теория возбуждения гофрированных плазменных резонаторов релятивистскими электронными пучками. В основу теории была положена модель гофрированного металлического волновода, заполненного редкой бесстолкновительной плазмой, пронизываемого трубчатым электронным релятивистским пучком и помещенного в сильное магнитное поле. Для этой модели были выведены: дисперсионное уравнение для спектров электромагнитных волн, условия возбуждения, частоты, коэффициенты усиления прямой и обратной волны. Найдены стартовые токи возбуждения резонатора. Рассмотрен релятивистский генератор и рассчитан его к.п.д.

Работа [49] была посвящена возбуждению электромагнитных волн в плазменном волноводе трубчатым электронным пучком. В [49] помимо плазменного мазера на циклотронном резонансе рассмотрели плазменный черенковский генератор электромагнитного излучения. Для генератора были получены дисперсионное уравнение для спектра частот возбуждаемых колебаний, продольная структура поля, стартовый ток пучка.

В 1983 году была опубликована теоретическая работа [50] описывающая генерацию электромагнитных волн в волноводе радиуса я, заполненном тонкой трубчатой плазмой. В эту систему инжектируется тонкий трубчатый пучок, сама же система помещалась в сильное продольное магнитное поле. Для рассматриваемой системы были выписаны: дисперсионное уравнение для спектров частот пучково-плазменного взаимодействия, стартовый ток пучка, к.п.д., обнаружено, что в системе существует кабельная плазменная волна, которая имеет максимальную скорость относительно остальных плазменных волн.

Таким образом, теоретические работы [31, 47-51] и последовавшие за ними экспериментальные [42-44], положили начало масштабному исследованию плазменных СВЧ-усилителей и генераторов.

В конце 1980-х годов выходят статьи [52, 53], посвященные релятиви-

9

стской плазменной СВЧ-электронике, ее перспективам и дальнейшему развитию. В них отмечены основные преимущества плазменной СВЧ-электроники перед вакуумной:

1) Возможность использования в электродинамических системах с плазменным заполнением больших токов электронных пучков, превосходящих предельные вакуумные токи электродинамических вакуумных систем сопоставимых размеров и геометрий [29, 31, 54, 55];

2) Легкая перестраиваемость частоты генерируемого в плазме электромагнитного излучения путем изменения плотности плазмы. Известно, что в вакуумных СВЧ-приборах частота излучения зависит от размеров резонатора и изменить ее можно только изменив размер резонатора. В плазменных СВЧ-приборах частота зависит от плотности плазмы, что позволяет производить быструю перестройку частоты излучения.

3) Широкополосность излучателей, в которых происходит черенков-ское возбуждение низкочастотной электромагнитной плазменной волны. В работах [23, 26] описаны созданные нерелятивистские СВЧ-усилители и генераторы, которым нет аналогов по эффективности среди вакуумных.

В результате совместной работы экспериментальных и теоретических групп в области плазменной релятивистской СВЧ-электроники были достигнуто следующие основные результаты:

1) Разработана линейная и нелинейная теория плазменного СВЧ-генератора [47-49, 56-61];

2) Успешно экспериментально реализован плазменный СВЧ-генератор [42-44, 62-67];

3) Разработана линейная и нелинейная теория плазменного СВЧ-усилителя, описаны рамановские (узкополосные) и томсоновские

(широкополосные) усилители [68-77];

10

4) Экспериментально реализован плазменный СВЧ-усилитель [78-85, 67];

5) Разработана теория пучково-плазменных неустойчивостей [54, 86 -88];

6) Сформулирована теория электромагнитных волн в плазменных волноводах [89-91].

7) Написан универсальный электромагнитный код КАРАТ для моделирования плазменных процессов, СВЧ-генераторов [92, 93].

В ходе совместных исследований двух групп ученых опубликовано большое количество статей и обзоров, в частности [94-97], посвященных плазменной релятивистской СВЧ-электронике и ее развитию. Также вышли книги [98, 99], объединившие в себя все достижения по данной тематике на тот период времени.

Отметим, что изучение релятивистских плазменных СВЧ-приборов имеет практическое применение. Например, такие устройства могут использоваться в таких областях как плазмохимия и радиолокация.

Исследования по данным направлениям ведутся и в настоящее время [67, 85, 100-105].

Актуальность темы исследования

Преимущества плазменной СВЧ-электроники перед вакуумной, сформулированные в конце 1980-х годов, являются актуальными до сих пор. Они состоят в возможности использования в электродинамических системах с плазменным заполнением больших токов электронных пучков, легкой пере-страиваемости частоты генерируемого в плазме излучения и широкополос-ности излучателей, в которых происходит черенковское возбуждение низкочастотной электромагнитной плазменной волны.

Преимущество плазменной СВЧ-электроники, заключающееся в возможности использования больших токов электронных пучков, на данный

момент не реализовано. Использовать большие токи в экспериментальных

11

установках, основанных на черенковском возбуждении плазменной волны нецелесообразно, так как, начиная с некоторого значения тока пучка, эффективность черенковского излучения плазменной волны уменьшается и, вследствие этого мощность излучения при увеличении тока не растет. Таким образом, повысить мощность излучения можно путем повышения предельных вакуумных токов. Использование в плазменных СВЧ-приборах цилиндрических коаксиальных волноводов приводит к увеличению предельных токов пучка, что должно привести к увеличению мощности генерируемого излучения. Кроме этого, поверхностные волны коаксиальных плазменных волноводов обладают рядом интересных особенностей (например, нулевая частота отсечки высокочастотной волны), что позволяет надеяться на реализацию еще более широкополосных плазменных излучателей. Широкополосность черенковских плазменных излучателей обусловлена тем, что излучение происходит от нулевой частоты и до частоты коллективного черенковского резонанса. И наконец, применение коаксиальных волноводов в плазменных СВЧ-приборах позволит улучшить согласование рабочего объема СВЧ-излучателя с устройством для вывода излучения.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является теоретическое исследование электродинамических свойств коаксиальных волноводов с плазменным заполнением при различной величине внешнего магнитного поля и разработка теории плазменных релятивистских черенковских излучателей на основе волноводов с двухсвязным поперечным сечением. Основными задачами диссертационной работы являются:

- теоретическое исследование электродинамических свойств коаксиальных волноводов с плазменным заполнением при произвольной величине магнитного поля;

- разработка теории плазменных релятивистских черенковских излуча-

12

телей (усилителей) с коаксиальной электродинамической системой;

- разработка теории пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальной электродинамической системе при произвольной величине внешнего магнитного поля.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Впервые проведено подробное исследование поверхностных плазменных волн в коаксиальных волноводах с трубчатым плазменным заполнением при произвольной величине внешнего продольного магнитного поля. Показано, что частота отсечки высокочастотной поверхностной плазменной волны в коаксиальном волноводе равна нулю, а дисперсия низкочастотной поверхностной плазменной волны в длинноволновой области не зависит от величины внешнего магнитного поля.

2. Разработана теория релятивистских плазменных черенковских излучателей на основе коаксиального плазменного волновода.

3. Разработана теория электромагнитного взаимодействия тонких трубчатых пучка и плазмы в коаксиальном волноводе при произвольной величине магнитного поля.

Практическая значимость

Результаты, полученные в ходе теоретических исследований, проведенных в диссертационной работе, могут быть использованы в релятивистской плазменной СВЧ-электронике при разработке и совершенствовании новых источников электромагнитного СВЧ-излучения, в которых вместо волноводов с односвязным поперечным сечением используются коаксиальные волноводы. Результаты диссертационной работы по спектрам поверхностных волн в коаксиальных волноводах могут быть использованы при дальнейшем развитии теории волн в диспергирующих пространственно-ограниченных средах. Теория пучково-плазменного взаимодействия в коаксиальных плазменных волноводах вносит новый вклад в общую теорию электромагнитных

13

взаимодействий электронных пучков с плазмой.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано семь печатных работ [106112]. Четыре статьи, содержащие основные результаты работы, представлены в рецензируемых научных журналах [106-109].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коаксиальные волноводы и их применение в плазменной релятивистской СВЧ-электронике»

Апробация работы

Результаты научных исследований по материалам диссертации докладывались на следующих конференциях:

• XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. г. Звенигород, 14-18 февраля 2011 [110].

• XL Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. г. Звенигород, 11-15 февраля 2013 [111].

• XLI Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. г. Звенигород, 10-14 февраля 2014 [112].

• CSCPIER, Complex Systems of Charged Particles and Their Interactions with Electromagnetic Radiation, Moscow, Russia, April 5-7, 2017.

Результаты научных исследований по материалам диссертации докладывались на семинарах и заседаниях кафедры физической электроники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинаре экспериментального отдела в ИОФ РАН им. А.М. Прохорова.

Личный вклад автора

Материалы, представленные в диссертационной работе, получены лично автором. Научные задачи, поставленные в диссертационной работе, разрабатывались совместно с научным руководителем. Автором были написаны компьютерные программы, позволяющие рассчитать параметры коаксиальных электродинамических систем, а также определить существующие в них волны.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 118 страниц, включая 45 рисунков и список литературы из 120 наименований.

Каждая из пяти глав диссертации содержит в себе постановку исследовательской задачи и ее последующее решение.

Глава 1. Коаксиальный плазменный волновод в сильном внешнем

магнитном поле

§ 1.1. Дисперсионное уравнение для спектров частот цилиндрического коаксиального волновода с полностью замагниченной трубчатой плазмой. Структура электромагнитного поля

Рассмотрим цилиндрический коаксиальный волновод (с двухсвязным поперечным сечением) с внешним радиусом и внутренним ^. В волноводе в области г < г < г2 расположена трубчатая холодная электронная плазма, толщиной 8Р = г - г (Рис. 1.1.1). Плазму считаем полностью замагниченной

сильным внешним магнитным полем, направленным вдоль оси волновода -оси Z [34, 98, 99].

к B ^

1 1

1 ri L Г2

1

Oz

Рис. 1.1.1. Схема плазменной системы для коаксиального волновода с плазменным заполнением.

Для полного электродинамического анализа описанной плазменной системы необходимо получить дисперсионное уравнение D(c, к) = 0, описывающее связь между частотой волн в волноводе со и волновым вектором k, вывести формулы для компонент электромагнитного поля в волноводе и вычислить спектры частот с (к). Заметим, что в цилиндрическом волноводе роль волнового вектора к играет совокупность трех величин: к2 - волновое

еИ =

число в направлении оси 7, I = 0,±1,±2,... - азимутальное волновое число, к± -поперечное волновое число, определяющее радиальную структуру поля. Следует уточнить, что в теории плазменных волноводов поперечное волновое число, как правило, определяется в неявной форме через частоту и геометрические параметры волновода.

В приближении сильного магнитного поля тензор диэлектрической проницаемости плазмы имеет вид [34, 99] (1 0 0 ^

0 10, 7, ] = Т,ф, (1.1.1)

0 0 е.

ч У

где т,ф,z- цилиндрические координаты, е = 1 -—Цс—2, — = (4жпе2/ш)1/2 - лен-гмюровская частота электронов плазмы, е, ш - заряд и масса электрона, п -концентрация электронов плазмы, которую в области , < г < Г считаем постоянной. Система уравнений Максвелла с тензором (1.1.1) для решений вида /(,)ехр(-¡ю + 7к2 z + Иф) записывается в следующем виде [8, 30]:

dEz .ю

*л- =7 ~Л

'-В. - ,к,Бг=-7С Е,, (1.1.2)

Г с

1 ± (ГВГ) - ¿В, =-, — еЕ.,

гОг г с

к В - В = -7 — Е .Вг ОГ ~ сEр,

7— Е. - 7к2Е9= 7 — Вг, (1.1.3)

Г с

1 -г —и

) - 7~Ег = 7~В. ■

Г О, Г с

Здесь Ег, е , Ег, Вг, В , Вг - компоненты векторов напряженности электриче-

ского поля и магнитной индукции. Из первых двух уравнений систем (1.1.2)

и (1.1.3) получаем выражения для поперечных компонент векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции через продольные

компоненты Е и В

Е -±

Ег - 2 %0

— ¡к.

йК о 1

йг

+ -- В I, В -

1 Г о йЕ^

с г

V у 2

— г

с йг

+ К1 В г

В - —

1 Г йВ о 1

у0

гк

йг

+"Е I , ЕV- 2

с г ) Уо

1 Го йВ7

с йг

+ к—Е„

где

Уо2 - к2-о2! с с

(1.1.4)

(1.1.5)

Подставляя выражения (1.1.4) в третьи уравнения систем (1.1.2) и (1.1.3), получаем следующие волновые уравнения:

|А1 Е — У(2е Е - о, [а,в 2 — уо2В 2 - о.

(116)

Здесь А -

1 й й 12

г — —

- поперечная часть оператора Лапласа в цилиндриче-

г йг йг г2

ской системе координат. Уравнения (1.1.6) справедливы и в вакуумных областях волновода, в которых следует положить е-1. Уравнения (1.1.6) описывают волны Е - и В - типов соответственно. У волны Е - типа компонента Ег ф о, а компонента В - о. У волны В - типа наоборот: Ег - о, В * о. В коаксиальном волноводе помимо волн Е и В типов существует так называемая кабельная волна [50, 99]. Данная волна описывается одним из решений системы (1.1.2)-(1. 1.3) при значении о/к2 - с со следующими компонентами электрического и магнитного полей Ег - вг - е^ - вг - о и ег - в^ ~ 1/г.

Для плазменной релятивистской СВЧ-электроники и данной работы в частности особый интерес представляют волны Е - типа, поскольку только у них Е ф о. Рассмотрению волн Е - типа в коаксиальном волноводе с плазмой посвящены первые четыре параграфа Главы 1. Общее решение первого уравнения (1.1.6) в плазменной и вакуумных областях записывается в виде суперпозиции цилиндрических функций [113, 114]:

(>/—Уг) + В1Ы! г), В < г < г1}

А 11 г) + В2Ы1 Уг), г2 < г < В,

А1, (л/ — Уо ег) + ВзЫ, (^ — Уо2е г), г < г < г2.

(1.1.7)

V

V

г

V

V

В решении (1.1.7) Л12 3 и в12 3- некоторые постоянные, а — (х), Ы, (х) - цилиндрические функции Бесселя и Неймана I - го порядка.

30-,

20--

о

о

"о

3 10-

II

III

га = к с

2

ГУ га = га

р

10

к , см

Рис. 1.1.2. Плоскость (га, к2) с различной поперечной структурой Е компоненты электрического поля. В области I в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностный характер, а в плазме - объемный; в области II - в вакуумных областях волновода и в плазме поле имеет объемный характер; в области III - в вакуумных областях волновода поле имеет объемный характер, а в плазме - поверхностный.

Для удобства рассмотрения разобьем плоскость (га, к2) на четыре области в зависимости от знаков величин хр и е, так как, исходя из этого, целесообразно выбирать тот или иной вид цилиндрических функций в общем решении (1.1.7). Введем также обозначение хр = -Хре. В области I на Рис. 1.1.2

(га<к2е, га <гар) имеем хр > 0, е<0, хр >0. В этом случае решение (1.1.7) может быть переписано как

ег (г) =

А11 (Хог) + В1Кг (ХогX Я < Г < Г1, А2¡1 (ХоГ) + В2К1 (ХоЛ Г2 < Г < Яр, А11(Хрг) + В3N (ХрГX Г < Г < Гр.

(1.1.8)

Здесь и далее Хо = д/ Хо2 , Хр ^ д/|- х<2е , а ¡г (х), К (х) - цилиндрические функции

Инфельда и Макдональда I - го порядка. Из формул (1.1.8) видно, что в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностный характер. Это означает, что при удалении от границ плазменной области поле экспоненциально

затухает. В плазме поле обладает объемным характером, т.е. имеет осцилли-

19

I

0

0

2

4

6

8

z

<

рующий по г характер внутри плазменного слоя.

В области II на Рис. 1.1.2 (о>к2с, ®>®р) имеем у < о, е> о, у] > о.

Поле в вакуумных и плазменных областях волновода имеет объемный характер:

Е (г) -

А ¿1 (Уог) + В1(УогX Е <г < г1, А2¿1 (Уог) + В2Ы1 (Уог), г2 < г < А311 (Ур г) + В3Ы1 (Ур гX г1 < г < г2 .

(119)

В области III на Рис. 1.1.2 (о>к2с, о <ор) имеем у2 <о, е<о, %2р <о. В этом

случае поле в вакуумных областях имеет объемный характер, в плазме же поле становится поверхностным:

Е (г) -

А111 (Уог) + В1Ы1 (УогX Е < г < г1, А211 (Уог) + В2Ы1 (УоГ), г2 < г < Е ,

А311 (Ур г) + В3К1 (Ур г), г1 < г < г2 .

(1.1.10)

В области IV на Рис. 2 (о< к2с, о>ор) имеем у2 > о, е> о, у2Р < о. Забегая вперед, скажем, что волн с частотой о и к2 из этой области в рассматриваемом волноводе нет.

Для решения уравнения (1.1.6) используем условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического и индукции магнитного полей на границах плазмы г - г12 и условия обращения в ноль

тангенциальной составляющей напряженности электрического поля на металлических поверхностях волновода г - я12. Соответствующие граничные

условия имеют следующий вид [8, 30, 34]:

Е (В) - Ег(В) - о,

йЕ_

(г)Н

йЕ_

[йг \ [ йг

Е (Т1)}-{Е2 (г2)}- о.

(^П- о,

(1.1.11)

Здесь {А}х - А(х + о)—А(х—о), где А(х) - произвольная функция.

Для нас наибольший интерес представляют волны в области I, так как только в этой области существуют медленные плазменные волны. Поэтому будем использовать решение (1.1.8) для нахождения дисперсионного уравне-

20

ния. Используя граничные условия (1.1.11) и решения (1.1.8), получим однородную систему уравнений с шестью неизвестными А1, А2, В, В, А, В. Условие нетривиальной разрешимости системы представляет собой искомое дисперсионное уравнение для определения спектров частот коаксиального волновода с тонкой трубчатой плазмой:

П(а> к хр-м(хрг1^ + Р(хрг1) хр-г+1(хргр) + Р2(хрГр) (11 12)

(га г) = ХрЫм(ХрГ) + РN(ХрГ) ~ ХрЫ+1(ХрГр) + РрN(ХрГр) ~ ' ( . . )

Здесь введены следующие обозначения:

р = х К1+1(ХоГ1,р)11 (ХоЯ1,р) +1г+1(ХоГ1,р)К1 (ХоЯ1,р) (1113)

1,2 о ¡1 (ХоГ1, 2)К1 (ХоЯ1,2) - К1 (ХоГ1,2)11 (ХоЯ1,2) ' ' '

Для областей II и III дисперсионное уравнение имеет вид аналогичный (1.1.12), (1.1.13) с учетом соответствующего типа цилиндрических функций, используемых в каждой из областей. С целью нахождения поперечной структуры поля выпишем следующие выражения для коэффициентов А и В ,

которые определяют структуру компоненты поля Е , где в зависимости от области выбирается тот или иной вид функции Бесселя:

И Л КХЯА А - р ХрЫ1+1(ХрГ1) + Р1Ы1 (ХрГ1)

В3 — 1, — 2 , А — В ,

, , 11 (Хо Я1,2) Хр-1+1(ХрГ1) + Р1- (ХрГ1)

Аз-1 (ХрГи) + В3Ы1 (ХрГ,2) (1.1.14)

В1,2 =

К1 (ХоГ1,2 ) К1 (ХоЯ1,2)

11 (Хо Г1,2 ) 11 (Хо Я1,2)

Р (Хо Г1,2 )

Формулы (1.1.14) записаны для области I.

§ 1.2. Спектры частот коаксиального плазменного волновода в длинноволновой и коротковолновой областях

В общем случае дисперсионное уравнение (1.1.12) решается только численно. Приближенные аналитические решения удается найти в длинноволновом и коротковолновом пределах.

В длинноволновом пределе ищем решение, удовлетворяющее следующим условиям:

k ^00,ю/К = v = Const. (1.2.1)

В этом случае хr = k2r\ 1 -vVс2 ^ 0 и можно использовать разложение цилиндрических функций от аргумента хr при малых значениях аргумента.

В рассматриваемом пределе величина хр , входящая в уравнение (1.1.12), принимает вид:

lim ХР = lim (-Хо£) = 2

kz ^0 kz ^0 О

«V ~2\

k2

k с2 V с

=q2. (1.2.2)

Из выражения (1.2.2) следует, что если определить величину д, то используя

данное соотношение, можно получить выражение для спектра частот:

.2 2

= 2^ 2 . (1.2.3)

1 + д с / ор

Величина д удовлетворяет дисперсионному уравнению (1.1.12), которое при

условии (1.2.1) и с учетом (1.2.2) преобразуется к виду:

д., |(дг) + р. д) д.,1(дг) + р(дг2) _0 (124)

дЫ1+1 (дп) + рЫ1 (дп) дЫ1+,(дг2) + Р2N (дг2) ' ' '

Здесь р2 определены в (1.1.13). В длинноволновом пределе для них справедливы следующие выражения:

Р,г =-—-■ 1 = 0,

■ г1,2 К ги/ Р1,2)

41 (1 + 1)( Уо ^2)" + (Уо Г1,2)2(1+1^^п ( .. )

12 " (1 +1)(п22 - лйх1;2' ■ • Для дальнейшего анализа дисперсионного уравнения (1.2.4) удобно ввести новые обозначения: д = дг2, £ = г/г2 < 1, тогда уравнение (1.2.4) примет

вид:

qJm ) + Pr2 Jl ) qJM (q) + P2r2 Jl (q)

= 0. (1.2.6)

(~ £ ) + Рп N (~ £ ) (~) + р2 г2 И, (~ )

Так как дисперсионное уравнение (1.2.6) не решается аналитически, будем решать его в важном для данной работы случае бесконечно тонкой плазмы. В

пределе бесконечно тонкой плазмы имеем 1. При этом корни уравнения (1.2.6) оказываются большими (~ >> 1) и становится возможным использовать асимптотики функций Бесселя и Неймана при больших значениях аргумента. Тогда уравнение (1.2.6) преобразуется к виду:

~2 + ~ctg[~(1 -P¿r2 + PPr22 = о . (1.2.7)

Забегая вперед отметим, что уравнение (1.2.7) определяет величины q = n = 1,2,..., где n - номер поперечной моды. Таким образом, величины q имеет смысл поперечных волновых чисел к± (см. формулу (1.2.3)). С ростом n значения q~ возрастают.

Рассмотрим уравнение (1.2.7) в двух случаях. Первый случай, когда ~(1 -£j) > 1, q >> 1, что соответствует случаю высоких поперечных мод n >> 1. Второй случай, ~(1-Q << 1, q >> 1, что соответствует основной моде n = 1, которая является наиболее интересной для плазменной СВЧ-электроники.

В первом случае высоких мод уравнение (1.2.7) преобразуется к виду:

q + ctg[q(1 - £)](P2 - P,)r2 = 0. (1.2.8)

Поскольку qq >> 1 , то последнее уравнение приближенно можно заменить следующим:

sin [q(1 -£)] = 0, (1.2.8а)

причем (1 ) = (r - r)/r /r. Из полученного уравнения (1.2.8а), принимая во внимание (1.2.3), следует, что высокие моды плазменных волн в длинноволновом пределе имеют закон дисперсии:

2 2

V2 = =_c__(12 9)

n к] 1 + (лпс/®psp )2 v }

Перейдем теперь к случаю основной моды n = 1. Разлагая в уравнении (1.2.8) котангенс по малому аргументу, имеем следующее соотношение:

~2 = (Pi - P2)r2 ^ q2 = г = JWL, (1.2.10)

^ 1 -6 ^ У1 Г2(1 -£)' ( )

из которого с учетом формулы (1.2.3) следует искомый спектр основной моды в длинноволновом приближении. К обсуждению результата (1.2.10) мы

еще вернемся несколько позже.

В другом предельном случае - коротковолновом, когда kz — да, найдем решение дисперсионного уравнения (1.1.12), удовлетворяющее условию со —> со р. Не трудно показать, что при этом дисперсионное уравнение (1.1.12)

сводится к виду

J1 (tfN,№) - Jг(m6)N(М) = 0, (1.2.11)

где м = '1~£кг. Обозначим корни уравнения (1.2.11) через м = Мп (6). Эти корни хорошо известны и протабулированы [114]. Используя определение величины м , получим дисперсионную зависимость плазменных волн в коротковолновом пределе: 2

о»= . (1.2.12)

1 + м„1 r kz

При больших значениях корней м„ уравнение (1.2.11) приближенно записывается в виде sin [м(6 -1)] = 0, а закон дисперсии (1.2.12) приобретает вид:

2

о12 =-С-г. (1.2.13)

„ 1 + (ж„ / kzSp )2 V ^

Формула (1.2.13) распространяет длинноволновые спектры (1.2.9) в коротковолновую область.

§ 1.3. Результаты численного исследования спектров частот и структур полей коаксиального плазменного волновода в сильном магнитном поле

В этом параграфе перейдем к численному исследованию дисперсионного уравнения (1.1.12). Для численных расчетов выберем значения параметров близких к используемым в экспериментах с обычными волноводами, т.е. волноводами, не содержащими внутреннего металлического цилиндра1. Ограничимся аксиально симметричным случаем 1 — 0. Для численных расчетов

1 Эксперименты с коаксиальными волноводами пока не проводились. Все численные расчеты ориентированы на эксперименты по плазменным излучателям на основе обычных плазменных волноводов.

были взяты следующие значения радиусов волновода и плазменной частоты В = 0,5 см, В2 = 2 см, ар = 20 -1010 радс-1, и три варианта толщины плазменной трубки:

Вариант 1. г = 0,95 см и г2 = 1,05 см. Вариант 2. г = 0,8 см и г2 = 1,2 см. Вариант 3. г = 0,6 см, г2 = 1,4 см.

к , см 1

Рис. 1.3.1. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнением

для значений г = 0,95 см и г2 = 1,05 см.

Вариант 1. Дисперсионные кривые для случая г = 0,95 см и г2 = 1,05 см представлены на Рис. 1.3.1. Кривые 1'- 4' относятся к высокочастотным ветвям - это кривые, присутствующие в вакуумном волноводе, но модифицированные наличием плазмы. Кривая ф = к2е - кабельная вакуумная волна коаксиального волновода. Наряду с высокочастотными ветвями волн Е-типа на плоскости (ф, к2) появляются низкочастотные ветви волн Е-типа: кривые 1 - 4, у которых фазовая скорость меньше скорости света. Кривая 1 соответствует кабельной плазменной волне [97] (основной поперечной моде п = 1).

Рассмотрим для этого варианта структуру электромагнитного поля при трех различных значениях к :

Е

г

в

а

б

1,005

0005

-05-

-1,0-

4 3 2

0,5-

0,0

-0,5-

-1,0-1

д

Рис. 1.3.2. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением для значения к2 = 2 см-1, г = 0,95 см и г2 = 1,05 см. а-г - низкочастотные ветви колебаний, д - высокочастотные ветви колебаний.

1) При кг = 2 см-1 распределение продольного поля Ег (отн. ед.) по координате г принимает вид, показанный на Рис. 1.3.2. Нумерация кривых соответствует Рис. 1.3.1. Пунктиром обозначена граница плазменной области.

Для кривых 1 - 4 в вакуумных областях поле затухает от границ плазмы, а в

26

г

г

1

Е

плазменных областях поле имеет объемный (осциллирующий) характер. Для кривых 1'- 4' поле приобретает следующую структуру: кривые 1'- 3' в вакуумных областях имеют объемный характер, в плазменных областях поле затухает от границ плазмы. Последняя кривая 4' и в вакуумной, и в плазменной областях имеет объемный характер (визуально отличить объемный характер поля от поверхностного на Рис. 1.3.2д сложно).

а б

в

4 3 2

-1,0-'

2

д

Рис. 1.3.3. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при к2 — 4 см-1. а-г - низкочастотные ветви колебаний, д - высокочастотные.

2) Структура поля Е2 (г) при кг = 4 см-1 представлена на Рис. 1.3.3. Кривые 1 - 4 в вакууме имеют поверхностный характер, а в плазме объемный. Кривые 1'- 2' в вакуумных областях проявляют объемный характер, в плазменных - поверхностный. Кривые 3' - 4' в вакуумных и плазменных областях обладают объемным характером.

а

б

Е

г

1,0-

Е

г

1,0 4

0,5-

0,00.

-0,5-1,0-

1,5

в

г

3 2

-1,0-1

д

Рис. 1.3.4. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при к = 8 см-1. а-г - низкочастотные ветви, д - высокочастотные.

г

4

г

1

4

3) Значению = 8см-1 соответствует структура поля, показанная на Рис. 1.3.4. В этом случае кривые 1'- 4' (Рис. 1.3.4д) и в той, и другой области обладают объемным характером. Для кривых 1 - 4 (Рис. 1.3.4а-г) структура поля аналогична описанным выше случаям.

Вариант 2. Численное решение для второго случая при радиусах плазмы г = 0,8см и г2 = 1,2см представлено на Рис. 1.3.5. Как и в первом случае, кривые 1 - 4 на Рис. 1.3.5 представляют низкочастотные ветви колебаний, а 1'- 4' высокочастотные.

к, см 1

7

Рис. 1.3.5. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнением

для значений г = 0,8 см и г2 = 1,2 см.

1) Значению = 2 см-1 соответствует следующая структура компонент электромагнитного поля (Рис. 1.3.6). Для кривых 1 - 4 на Рис. 1.3.6а ситуация аналогична варианту 1, с тем отличием, что в вакууме поле менее прижато к поверхности плазмы, а в плазме поле имеет осциллирующий характер. Кривые 1'- 2' на Рис. 1.3.6б в вакууме имеют объемный характер, в плазме - поверхностный. Кривые 3'- 4' и в вакуумных, и плазменных областях имеют объемный характер.

Е

1,0-

0,0

-1,0-1

4Ж\

\ 1,0\ 1Х \ Л

а б

Рис. 1.3.6. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при

к = 2 см-1, г = 0,8 см и г = 1,2 см. а - низкочастотные ветви, б - высокочастотные.

2 5 1 ? 2 ? 5

2) При кг = 4 см-1 структура поля изображена на Рис. 1.3.7. Поле в плазменных областях имеет объемный характер, в вакуумных областях - поверхностный. Среди высокочастотных ветвей колебаний только одна кривая 1' в вакуумной области имеет объемный характер, а в плазменной - поверхностный, другие же 2' - 4' имеют во всех областях объемный характер.

Е

2

1,0-

-

- Уу 1 1 1,0\ ' V 1® г

4 2

а

б

Рис. 1.3.7. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при к2 = 4 см-1, г = 0,8 см и г = 1,2 см. а - низкочастотные ветви, б - высокочастотные.

3) При кг = 8 см-1 структура поля представлена на Рис. 1.3.8. В данном случае все четыре кривые 1'- 4' на Рис. 1.3.8 обладают в обеих областях объемным характером. Кривым 1 - 4 свойственна структура поля аналогичная описанным выше случаям.

Е

3

1

Е

2

1,0-

3 2

0,0

-1,0-1

- / /\ у \

\ / 1,0 \ \ 1б / г/

а

б

Рис. 1.3.8. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при

к = 8 см, г = 0,8 см и г = 1,2 см. а - низкочастотные ветви, б - высокочастотные.

2 5 1 ? 2 ? 5

Видно, что с увеличением к поле становится более прижатым к поверхности плазмы, что связано с укорочением длины волны при переходе вдоль дисперсионной кривой от точек кг = 2 см-1 к кг = 4 см-1 и кг = 8 см-1.

Вариант 3. Зависимости со(к2), полученные при г = 0,6 см, г2 = 1,4см, представлены на Рис. 1.3.9.

1

Е

г

4

к, см 1

7

Рис. 1.3.9. Дисперсионные кривые коаксиального волновода с плазменным заполнением

для значений г = 0,6 см и г = 1,4 см.

1) Структура поля при кг = 4 см-1 представлена на Рис. 1.3.10: для низкочастотных ветвей колебаний 1 - 4 в вакуумных областях для поля характерен поверхностный характер, а для плазменных - объемный. Кривая 1' обладает различным характером в вакуумных (объемный) и плазменных (поверхностный) областях, остальным кривым присущ объемный характер.

0,5-

0,0

3 2

-0,5-

-1,0-!

/ 3'!

С —-—/1,0/ \ 1,5чV гм

а

б

Рис. 1.3.10. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при к2 = 4 см 1. а -низкочастотные ветки, б - высокочастотные.

2) При кг = 8см-1 структура поля представлена на Рис. 1.3.11. В этом случае структура поля для кривых 1 - 4 аналогична упомянутым выше, Для кривых 1'- 4' структура поля имеет в вакуумных и плазменных областях объемный характер.

а

4 3

б

Рис.1.3.11. Структура поля в коаксиальном волноводе с плазменным заполнением при к = 8 см -1. а - низкочастотные ветви, б - высокочастотные.

1

4

2

Е

1

2

1

§ 1.4. Предел бесконечно тонкой трубчатой плазмы

Рассмотрим бесконечно тонкий трубчатый слой однородной плазмы в приближении сильного внешнего магнитного поля, полагая для этого 0,

ср ^ да, причем co2pSp = Const. Существует два способа получения дисперсионного уравнения для предела бесконечно тонкой трубчатой плазмы. Первый способ - использование метода эффективных граничных условий [115]. Второй - путем предельного перехода из уравнения (1.1.12) [99].

Метод эффективных граничных условий позволяет исследовать медленные поверхностные волны (волны с фазовой скоростью меньше скорости света) тонкой трубчатой плазмы в металлических волноводах. Эффективные граничные условия упрощают решение многих задач теории поверхностных плазменных волн и теории возбуждения поверхностных плазменных волн релятивистскими электронными пучками. С их помощью стало возможно аналитически исследовать дисперсионные свойства волноводов с плазменным заполнением, не прибегая к решению уравнений поля в плазменных областях. Отметим, что еще одним важным преимуществом метода эффективных граничных условий является то, что его можно применять при исследовании взаимодействия тонкого трубчатого пучка с тонкой трубчатой плазмой в волноводах, помещенных в магнитное поле, причем величина магнитного поля значения не имеет. Данное обстоятельство позволяет использовать метод эффективных граничных условий в задачах плазменной релятивистской СВЧ-электроники. Например, при изучении плазменных релятивистских СВЧ-излучателей (СВЧ-усилителей, СВЧ-генераторов), где основную роль играет черенковское возбуждение поверхностной плазменной волны в волноводе электронным пучком.

Получим дисперсионное уравнение, используя первый способ. Поле E - типа описывается следующим уравнением второго порядка:

Д±Ег-Zps(r)Ez = 0 . (1.4.1)

Расписывая это уравнение, получаем

1 а йЕ, 12 2

2 Е2 — Х0

1 —

с2(г

р'

Е2 = о. (1.4.2)

г йг йг г

Для того чтобы использовать метод граничных условий следует положить со2р(г) = с2рдр8(г — ^), - постоянная (мы не вводим нового обозначения, чтобы

не загромождать формулы).

Интегрируя уравнение (1.4.2) по г в окрестности плазмы (в пределах от г — а до г + а, а^ 0), получим граничное условие. Данное граничное условие совместно с условиями на металлических поверхностях коаксиального волновода и условием непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля на границах плазменной трубки составляет систему граничных условий для описания бесконечно тонкой трубчатой плазмы: \Е, (Д) = Ег (Я2) = 0,

{^гр)}=-^0 с^х а4^

Е (гр )} = 0.

Применение граничных условий (1.4.3) позволяет не выписывать в явном виде решение уравнения (1.4.2) в области волновода, занятой плазмой, а ограничиться только решениями в вакуумных областях.

При о к2с (т.е. в случае быстрых электромагнитных волн) решение уравнения (1.4.2) имеет вид

= {Л Л Хг) + В(Х0г), Е < г < гр, 2 I (хг) + ВД (хЛ гр < г < Я2. (..)

Подставляя решения (1.4.4) в граничные условия (1.4.3) и исключая, постоянные А 2 и В 2, приходим к дисперсионному уравнению для быстрых электромагнитных волн

2

1 + ^ х0с 7 аР = 0, (1.4.5)

с 2

где введены обозначения

= ¿/2(Хо Гр)

Р К гр ) Р (гр,

Р ( р1,

И Р (К, г) =

N (Хо К) N (ХоГ )

(Хок) х)

(1.4.6)

Дисперсионное уравнение (1.4.5) целесообразно переписать в следующем виде:

N (ХоК) N. (Хо^2)

¿ХЛ) ХоК)

= ^ Гр8р-| Хо2¿1 (ХоГр )РК Гр )Р(Гр, К)

(1.4.5а)

Левая часть уравнения (1.4.5а) определяет спектры частот вакуумного коаксиального волновода. Таким образом, для быстрых электромагнитных волн присутствие в волноводе тонкой трубчатой плазмы приводит только к малым поправкам к частотам вакуумного волновода. Структура поля для быстрых волн имеет следующий вид:

¿1 (Хог)Р(Г, К1), < Г < Гр , Р(г , К )

(ХоГ) Р (Я2, г)-

ег (г ) =

Р (Гр, К1) р

р Г < Г < К .

(1.4.7)

Р(К2, Гр)"

В случае медленных волн ( —< кге) решение уравнения (1.4.2) следует записывать в виде

[Ч1/ (ХоГ) + (ХоГ), К < Г < Гр,

Е =■

2 [а1, (хог) + В2К! (хог), гр < г < к, а дисперсионное уравнение оказывается следующим:

1 _ ЗрГрХо — ^ = о .

(1.4.8)

(1.4.9)

В уравнении (1.4.9)

ЧМ(К1,ГР)М(Гр,_ , ^р = Ь (ХоГр)-, /р„ „ р-, М(КГ) =

К (ХоК) К (ХоГ)

(1.4.10)

М(К1,К2) I (ХоК) Р (ХоГ)

Из дисперсионного уравнения (1.4.9) следует, что в длинноволновом пределе закон дисперсии медленной плазменной волны записывается в виде (1.2.3), где величина ч2 определяется выражением

Ч =

(Гр /К)21 - (ГрШ

2/-^^-чр/ , „ , 1 * о,

[(Гр К) -1][1 -(г/к2)21 ], ,

8 г

р р

1п Я2/ К

(1.4.11)

1п Гр/^11п Я2/Гр

/ = о.

1

<

В обратном коротковолновом случае (кг ^да) решение уравнения (1.4.9) имеет вид с = ср (кг 8р /2)1/2. Однако данное выражение неправильно описывает

поведение дисперсионной кривой, вследствие того, что модель бесконечно тонкой плазменной трубки не применима в коротковолновом пределе [97]. Для медленных волн структура поля выглядит следующим образом:

11 (Х0г)М(г, ЯД Я < г < гр,

Ег (г) =

М (гр, Е) ... (1.4.12)

I (Х0г)м(я2, г) ; р " , гр < г < Я2.

М (Яг, гр ) р

Выражение для Е (г) в случае медленных волн в длинноволновом пределе к Я << 1 при I = 0 имеет вид

Е2 =1

1п( Я/ г), Я < г < гр,

, , /оХ К1/Гр ) о (1.4.13)

1п( гК2\г РЧ , гр < г < Я2. 1П( гр/Я2) р

Перейдем к численному решению дисперсионных уравнений (1.4.5) и (1.4.9). Значения параметров возьмем такие же, как и в случае точного дисперсионного уравнения (1.1.12): ср= 20-1010радс-1, Я = 0,5см. Я2 = 2см, г, = 1 см, 8Р = 0,1 см. На Рис. 1.4.1-1.4.2 представлены полученные зависимости с(к2) и структура поля. На Рис. 1.4.1 кривая 1 описывает кабельную плазменную волну, кривые 1',2',3' описывают соответственно объемные волны волновода, которые существуют и в отсутствие плазмы. Мы видим, что на рисунке отсутствуют дисперсионные кривые высоких мод (1.2.9). Но это и понятно, так как в модели бесконечно тонкой плазмы частоты этих мод равны нулю.

На Рис. 1.4.2 представлена структура поля для рассматриваемого случая. Нумерация кривых соответствует кривым на Рис. 1.4.1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ярославцева, Екатерина Андреевна, 2017 год

Список литературы:

1. Ахиезер А. И., Файнберг Я. Б. О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой // ДАН СССР, 1949, т. 69, с. 551.

2. Bohm D., Gross Е. Theory of plasma oscillations// Phys. Rev., 1949, v. 75,p.

1851.

3. Электродинамика плазмы. Под ред. А.И.Ахиезера. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука». 1974.

4. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М. Мир. 1975. 525 с.

5. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир. 1987. 398С.

6. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат. 1977. 384с.

7. Электродинамика плазмы под. редакцией Ахиезера А. И. М.: Наука. 1974. 720С.

8. Ландау Л., Лифшиц Е. Теория поля. М.: Наука. Москва. 1973.

9. Клеммоу Ф, Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. М.: Мир.

1996. 528С.

10. Bellan P.M. Fundamentals of plasma physics. 2004. 550p.

11. Boyd T.J.M., Sanderson J.J. The physics of plasmas. New York: Cambridge University Press. 2003. 546p.

12. Файнберг Я.Б., Харченко И.Ф., Николаев P.M. и др. // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. вып. 3.с. 685.

13. Демирханов Р.А., Геворков А.К., Попов А.Ф., Зверев Г.И. // ЖТФ.

1960. Т. 30. вып. 3.с. 315.

14. Boyd G.D., Field L.M., GouldR.W. //Phys. Rev. 1958. v. 109. №4. p. 1393.

15. Файнберг Я.Б., Горбатенко М.Ф.// ЖТФ. 1959. Т. 29. В. 5. С. 549.

16. Файнберг Я.Б. // Атомная энергия. 1959. Т. 6. С.437.

17. Файнберг Я.Б. Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой// Атомная энергия. 1961. Т.11. №4. С.313-335.

18. Незлин М.В.// Успехи физических наук. 1970. Т. 102. С. 105.

19. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плаз-моподобных сред. Москва. Госатом издат. 1961. С. 244.

20. Linhart J.G. Plasma physics. Amsterdam: North-Holland Publishing Company. 1961. 278 p.

21. Van Kampen N.G., Felderhof B.U. Theoretical Methods in Plasma Physics. Amsterdam: North-Holland Publishing Company.1967. 257 p.

22. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. Москва: Наука. 1967. С.683.

23. Богданов Е.В., Бернашевский Г.А., Кислов В.Я., Чернов З.С. Плазменные и электронные усилители и генераторы СВЧ. Москва: Сов. Радио. 1965. С.95.

24. Graibill S.E., Nablo S.V. Observation of magnetically self focusing electron streams II Appl. Phys. Lett. 1966, v. 8, n. 1, p. 18-27.

25. Бугаев С.П., Загулов Ф.Я., Ковальчук Б.М., Месяц Г.А. Импульсный источник больших электронных токов II Всесоюз. конф. по вопросам создания и методам испытания высоковольтной физической аппаратуры: Тез. докл. Томск, 1967, с. 17-19.

26. Трубецков Д.И., Пищик Л.А.// Физика плазмы. 1989. Т.15. Вып.3. С.342.

27. Ковтун Р.И., Рухадзе А.А. К теории нелинейного взаимодействия релятивистского пучка электронов с плазмой// ЖЭТФ. 1970. Т.58. С.1219.

28. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение. М.: Атомиздат. 1977.

29. Рухадзе А.А., Богданкевич Л.С., Рухлин В.Г., Росинский С.Е. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. М.: Атомиздат. 1980.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М. 1959. 532с.

31. Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А.// УФН. 1971. Т.103. Вып.4. С.609.

32. Рабинович М.С., Рухадзе А.А.// Физика плазмы. 1976. Т.2. С.715.

33. Кондратенко А.Н. Плазменные волноводы. М.: Атомиздат. 1976.

34. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа. 1988.

35. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. Радио. 1973. 400 с.

36. Ковалев Н.Ф., Петелин М.И., Райзер М.Д. и др.//Письма в ЖЭТФ.

1973. Т.18. С.232.

37. Иванов В.С., Круменцов С.И., Райзер М.Д. и др./ в кН. Труды II Международной конференции по электронным пучкам. Новосибирск. 1979.

38. Cormel Y., Ivers I., Kribel R., Nation I.// Phys. Rev. Lett. 1974. V.33. p.1478.

39. Ткач Ю.В., Файнберг Я.Б., Магда И.И. и др.// Физика плазмы. 1975. Т. 1. С. 81.

40. Friedman M.// Appl. Phys. Lett. 1975. V. 26. P. 366.

41. Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А., Кузелев М.В.//УФН. 1981. Т.133. Вып.1.

42. Кузелев М. В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С., Рухадзе A.A., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.//ДАН СССР. 1982. Т.267. С.829.

43. Кузелев М. В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С., Рухадзе A.A., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.//ЖЭТФ. 1982. Т.83. С. 1358.

44. Кузелев М. В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С., Рухадзе A.A., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.//АН СССР ИПФ. 1983. Вып.3. С.160.

45. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ-электронике для физиков. В 2 т. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 496 с.

46. Пирс Д. Лампа с бегущей волной. М.: Сов. Радио. 1952. 230 с.

47. Кузелев М. В., Рухадзе А.А., Филиппычев Д.С.//Релятивистская высокочастотная электроника. Горький. ИПФАН СССР. Материалы 2 все-

112

союзного семинара, г. Томск, 11-13.09 1981г. С.170.

48. Богданкевич Л.С., Кузелев М.В., Рухадзе А.А.//ЖЭТФ. 1980. Т.50. Вып.2. С.233.

49. Богданкевич Л.С., Кузелев М.В., Рухадзе А.А.//Физика плазмы. 1979. Т.5. С.90.

50. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Шкварунец А.Г.//Физика плазмы.

1983. Т.9. С.1137.

51. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Филиппычев Д.С.//Физика плазмы. 1982. Т.8. Вып.3. С.573.

52. Кузелев М. В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.//УФН.

1985. Т.146. Вып.4. С. 709.

53. Кузелев М. В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.// Физика плазмы. 1987. Т.13. Вып.11. С.1370.

54. Александров А.Ф., Кузелев М.В. Радиофизика: Физика электронных пучков и основы высокочастотной электроники. М.: КДУ, 2007. 300С.

55. Кузелев М. В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука. 1990.

56. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // ЖЭТФ. 1995. Т.108. С.521.

57. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. //Краткие сообщения по физике. 1996. № 7-8. С.22.

58. Биро М., Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // ЖЭТФ.

1997. Т.111. С.1258.

59. Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // ЖЭТФ. 1997. Т.112. С.1299.

60. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Свешников А.Г. // Физика плазмы. 1999. Т.25. С.615.

61. Карташов И.Н., Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // Краткие сообщения по физике. 2000. №11. С. 36. (К расчету коэффициента отражения от коаксиального рупора плазменного

СВЧ-генератора).

62. Селиванов И.А., Стрелков П.С., Федотов А.В., Шкварунец А.Г. // Физика плазмы. 1989. Т.15. С.1283.

63. Кузелев М.В., Лоза О.Т., Пономарев А.В. и др. // ЖЭТФ. 1996. Т.109. С.2048.

64. Стрелков П.С., Ульянов Д.К. // Физика плазмы. 2000. Т.26. С.329.

65. Богданкевич И.Л., Иванов И.Е., Лоза О.Т., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Тараканов В.П., Ульянов Д.К.// Физика плазмы. 2002. Т.28. №8. С.748. (Тонкая структура спектров излучения плазменного релятивистского СВЧ-генератора).

66. Богданкевич И.Л., Лоза О.Т., Павлов Д.А. // Письма в ЖТФ. 2007. Т.33. Вып.15. С.1.

67. Стрелков П.С.// 36 Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 9-13 февраля 2009. (Экспериментальная плазменная релятивистская СВЧ-электроника).

68. Александров А.Ф., Кузелев М.В., Пыркина О.Е. // Физика плазмы.

1986. Т.12. С.927. (Сильноточные эффекты в черенковских диэлектрических усилителях на релятивистских электронных пучках).

69. Кузелев М.В., Панин В.А., Плотников А.П. // ЖЭТФ. 1989. Т.59. В.7. С.164. (К нелинейной теории широкополосного плазменного усилителя).

70. Кузелев М.В., Панин В.А., Плотников А.П. // Физика плазмы. 1991. Т.17. С.1459. (Нелинейная теория поперечно-неодномодовых плазменных усилителей).

71. Александров А.Ф., Кузелев М.В., Панин В.А., Плотников А.П. // Физика плазмы. 1992. Т.18. С.40. (К теории поперечно-неоднородного плазменного усилителя).

72. Александров А.Ф., Кузелев М.В., Панин В.А., Плотников А.П. // Радиотехника и электроника. 1992. Т.37. С.1490. (Нелинейная теория

широкополосного диэлектрического усилителя на сильноточном элек-

тронном пучке).

73. Кузелев М.В., Панин В.А. // Вестник моск. ун-та. сер. 3, Физика, Астрономия. 1992. Т.333. №5. С.3. (Теория поперечно-неоднородного пучково-плазменного усилителя в режиме коллективного эффекта Че-ренкова).

74. Красильников М.А., Кузелев М.В., Панин В.А., Филиппычев Д.С. // Физика плазмы. 1993. Т.19. С.1061. (Теория усилителя на релятивистском электронном пучке с диэлектрико-плазменным заполнением).

75. Кузелев М.В., Панин В.А. // Физика плазмы. 1993. Т.19. С.732. (Оптимизация плазменного усилителя на сильноточном релятивистском электронном пучке).

76. Кузелев М.В., Романов Р.В., Рухадзе А.А. //Краткие сообщения по физике. 1997. № 7-8. С.16. (Расчет комплексных спектров плазменного усилителя с произвольными поперечными профилями пучка и плазмы).

77. Биро М., Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. // УФН.

1997. Т.167. №6. С.1025 (Проблемы теории релятивистской плазменной СВЧ-электроники).

78. Пономарев А.В., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.// Физика плазмы.

1998. Т.24. С.53.

79. Пономарев А.В., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г.// Физика плазмы. 2000. Т.26. С.633.

80. Пономарев А.В., Стрелков П.С.// Физика плазмы. 2004. Т.30. №1. С.66.

81. Богданкевич И.Л., Иванов И.Е., Лоза О.Т., Стрелков П.С., Ульянов Д.К., Garate E. // Письма в ЖТФ. 2007. Т.33. Вып.11. С.65.

82. Богданкевич И.Л., Иванов И.Е., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Тараканов В.П.// Прикладная физика. 2008. №6. С.88.

83. Иванов И.Е., Стрелков П.С., Шумейко Д.В.// Радиотехника и электроника. 2009. Т.54. №9. С.1091.

84. Богданкевич И.Л., Иванов И.Е., Стрелков П.С.// 37 Международная

115

(Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 8-12 февраля 2010. (Экспериментальное исследование и численное моделирование плазменного релятивистского СВЧ-усилителя).

85. Стрелков П.С., Иванов И.Е., Шумейко Д.В.// Физика плазмы. 2012. Т.38. №6. С.536.

86. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т.1,2. М.: Атомиздат. 1975. 272с.

87. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В. Классификация режимов черенковских неустойчивостей в плазменных волноводах // Физика плазмы. 2004. Т.30. №1. С.1.

88. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В. Нелинейные явления при электромагнитных взаимодействиях электронных пучков с плазмой. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2009. 456 С.

89. Кузелев М.В., Романов Р.В., Рухадзе А.А.// Электромагнитные волны в плазменных волноводах. Часть 1. Прикладная физика. 2001. №2. С.102.

90. Кузелев М.В., Романов Р.В., Рухадзе А.А.// Электромагнитные волны в плазменных волноводах. Часть 2. Прикладная физика. 2001. №3. С.103.

91. Кузелев М.В., Романов Р.В., Рухадзе А.А.// Электромагнитные волны в плазменных волноводах. Часть 3. Прикладная физика. 2003. №2. С.20.

92. Tarakanov V.P. User's Manual for Code KARAT, Springfield, VA: Berkley Research Associates, Inc. 1992, 137 p.

93. Тараканов B.n.//XXVIII Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС. 19-23 февраля 2001г. Универсальный электромагнитный код КАРАТ в моделировании СВЧ-генераторов, плазменных процессов et cetera.

94. Кузелев М.В., Лоза О.Т., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г. // Физика плазмы. 2001. Т.27. С.710. (Плазменная релятивистская СВЧ-электроника).

95. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В., Панин В.А. // Сб. науч. трудов, посвященный 70-летию Рухадзе А.А. «Вопросы плазменной СВЧ-электроники». Тула. 2000. С.42-114. (Методы теоретической плазменной СВЧ-электроники).

96. Кузелев М.В., Рухадзе А.А.// Физика плазмы. 2000. Т.26. №3. (Современное состояние теоретической релятивистской плазменной СВЧ-электроники).

97. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. // Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т.9. №2. С.3. (Современное состояние исследований в области плазменной СВЧ-электроники).

98. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Под ред. Фортова В.Е. Т.4. М.: Наука. 2000.

99. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2002. 544с.

100. Карташов И.Н., Кузелев М.В., Рухадзе А.А.// Физика плазмы. 2009. Т.35. С.194.

101. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В.// Физика плазмы. 2012. Т.38. №7. С.603.

102. Карташов И.Н., Кузелев М.В.// ЖТФ. 2012. Т.82. Вып.4. С.68.

103. Карташов И.Н., Кузелев М.В.// XLI Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 10-14 февраля 2014. С.296.

104. Ернылева С.Е., Лоза О.Т. .// XLI Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 10-14 февраля 2014. С.256.

105. Кузелев М.В., Рухадзе А.А.// Физика плазмы. 1998. Т.24. С.530.

106. Карташов И.Н., Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // Радиотехника и электроника. 2010. Т.55. №12. С.1488.

107. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // Физика плазмы. 2012. Т.38. С.603.

108. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. №3. С.40.

109. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2014. №6. С.75.

110. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 14-18 февраля 2011. С.374.

111. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // ХЬ Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 11-15 февраля 2013. С.234.

112. Кузелев М.В., Хапаева (Ярославцева) Е.А. // ХЬ1 Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 10-14 февраля 2014. С.266.

113. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике, М.: Наука, 2004. 416с.

114. Янке Е.. Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции, М.: Наука, 1968, 344с.

115. Кузелев М.В.// Физика плазмы. 2002. Т.28. С.1.

116. Карташов И.Н. Кузелев М.В.//Физика плазмы. 2014. Т.40. С.1084.

117. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.,2004.

118. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. Ч.2. М., 1974.

119. Кузелев М.В., Рухадзе А.А.//УФН. 1987. Т.152. №2. С.285.

120. Федотов А.В., Шкварунец А.Г.// Физика плазмы. 1988. Т.16. С.689.