Клиффордовы группы движений на обобщенных римановых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Захарова, Ольга Александровна

• Захарова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захарова, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

§ 1. Многолистные пространства.

§ 2. Реализация многолистных пространств над алгебрами.

§ 3. Группы движений на многолистных пространствах.

ГЛАВА 2. РАССЛОЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМИ СЛОЯМИ.

§ 4. Многолистные многообразия как расслоения с дискретными слоями.

§ 5. Касательные расслоения над многолистными многообразиями.

§ 6. Калибровочные группы движений на многолистных многообразиях и инвариантные операторы.

ГЛАВА 3. КРИВИЗНА.

§ 7. Поля кривизны на многолистных многообразиях.

§ 8. Геометрия трехлистной поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Клиффордовы группы движений на обобщенных римановых пространствах»

Множества физических объектов, будучи совершенно различными по своей природе, зачастую описывается одними и теми же математическими структурами. Так, например, напряженность магнитного Н и электрического Е полей, имея одинаковую векторную структуру и образуя единое электромагнитное поле, все же принадлежат различным векторным пространствам. Еще одним примером таких объектов могут служить пространство скоростей и пространство ускорений, зачастую (как в случае классической механики в трехмерном евклидовом пространстве) неразличимые между собой.

Проблему математического различения объектов, имеющих с одной стороны одинаковую векторную или тензорную природу, а с другой стороны существенно различных так, что о линейных операциях над ними можно говорить только в формальном смысле, можно разрешить, вводя дополнительную алгебраическую структуру. Введение алгебраической структуры в линейное пространство приводит к понятию пространства над алгебрами. Пространства над алгебрами являются предметом интенсивного изучения многими математическими школами, как отечественными так и зарубежными. В частности, существенные успехи в этом направлении были достигнуты Казанской геометрической школой (А.П. Норден, В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин и др.) При этом «-мерное линейное пространство над w-мерной алгеброй в работах Казанской и многих других школ реализуется в п-т-мерном линейном пространстве с т инвариантными операторами. При таком подходе объекты, отнесенные к различным базисным элементам w-мерной алгебры, лежат, вообще говоря, в различных подпространствах п- т -мерного линейного пространства. Это обстоятельство является основным препятствием при использовании линейных алгебр для различения объектов, имеющих однородную природу. Это препятствие можно снять, введя понятие многолистного пространства, листы которого идентичны между собой.

Многолистные пространства, как геометрический объект, сами по себе, безусловно, не требуют привлечения каких-либо алгебраических структур для своего определения. Интуитивно многолистную плоскость можно мыслить как стопку бумаги. Более строго многолистное пространство размерности « можно определить как прямую сумму т линейных «-мерных пространств с указанием правила соответствия точек (или векторов), лежащих на различных листах. Причем геометрии листов согласованы настолько, что появляется возможность изображения объектов с различных листов объектами одного «-мерного пространства, различая их лишь метками принадлежности к тому или иному слагаемому прямой суммы. При этом «расстояние» между различными листами не определено, так что можно считать его нулевым.

Если в качестве метки принадлежности выбирать различные цвета, то многолистное евклидово пространство можно представлять «обычным» евклидовым пространством, все объекты которого окрашены в т различных цветов. В этом случае можно говорить о /«-цветном «-мерном евклидовом пространстве как о наглядной модели построенного выше w-листного «-мерного евклидова пространства. Подобная модель аналогична той, которая используется в теории неабелевых калибровочных полей, где многоцветные поля отвечают за кварк-глюонные взаимодействия. В другом случае в качестве меток можно выбрать «индексы порядка» и говорить об «евклидовом» пространстве, элементами которого являются упорядоченные наборы элементов одного и того же «-мерного пространства. Разумеется, все эти модели структурно эквивалентны, и их общими структурными свойствами является линейная независимость линейных объектов, помеченных различными метками (номерами листов).

Наиболее простой способ «координации» многолистных пространств связан с групповыми алгебрами. Ассоциируя каждый из элементов конечной группы Е мощности т с соответствующим «-мерным линейным пространством, мы наделяем геометрическую конструкцию многолистного пространства структурой «-мерного модуля над соответствующей групповой алгеброй R[Z]. Таким образом, многолистные пространства Q"m можно рассматривать как «-мерные линейные пространства над групповой алгеброй. При этом линейные преобразования с коэффициентами из групповой алгебры определяют моноид £„(£) преобразований этого многолистного пространства. Такова общая схема координации многолистных пространств, безусловно, конечно, не зависят от данной процедуры координации, то есть от группы £ и групповой алгебры R[£], и представляют собой самостоятельный геометрический объект. Вместе с этим, алгебра R[Z] задает на Q"m дополнительные структуры и выделяет некоторые подгруппы группы Ln(Z), относительно которых эти структуры инвариантны, порождая возможность исследования геометрии многолистных пространств с дополнительной структурой.

Таким образом, представленные в настоящей работе конструкции многолистных пространств, в силу их геометрического и алгебраического строения, относятся, вообще говоря, к пространствам над алгебрами, представляя в определенном смысле альтернативу классического их толкования. С другой стороны, формальный аппарат теории многолистных пространств с алгебраической структурой в значительной степени аналогичен тому классическому аппарату, который был развит в работах А.П. Котельникова. В 1895 - 1988 гг., изучая геометрию и механику евклидова пространства и трехмерных неевклидовых пространств, А.П. Котельников раскрыл роль алгебр дуальных, комплексных и двойных чисел (а также кватернионов и бикватернионов) для теории винтов и линейчатой геометрии этих пространств [23], [24]. Значительный вклад в геометрию пространств над алгебрами был внесен работами профессора П.А. Широкова. В 1925 году в работе [47] им был введен класс так называемых А-пространств, в дальнейшем переоткрытых на другом пути Э. Келером [50] и получивших название келеровых пространств. В работе [48] П.А. Широков исследовал симметрические пространства этого класса, уделив особое внимание тригонометрии геодезических треугольников. П.К. Рашевский в 1948 году ввел гиперболический аналог А-пространств [37].

Позднее исследования по геометрии пространств над алгебрами были продолжены А.П. Норденом [30], [31], [32]. Теории пространств над алгебрами посвящены работы Г.И. Кручковича [25], [26], C.JI. Певзнера [33], Б.А. Розенфельда [40]. Последним была развита теория образов симметрии, находящаяся в непосредственной связи с теорией симметрических пространств и приводящая к большому числу конкретных типов пространств над алгебрами.

Из зарубежных монографий, излагающих основы геометрии комплексных многообразий, отметим книги Кулиджа [51J, Э. Картана [52] и Яно [53]. Глобальные проблемы келеровых многообразий изложены в монографии А. Вейля [9].

Из сказанного выше усматривается существенная роль выбора алгебраической структуры, адекватно отражающей геометрию, реализованную на листах многолистного пространства, и адекватной к конструкции соединения листов в одном пространстве. Такой выбор фактически представляет собой задачу алгебраической координации (выбора алгебраических координат) многолистного пространства, тем самым превращая его в некоторое пространство над алгеброй. При этом выбор алгебры должен преследовать еще одну существенную цель - при помощи умножения на элемент выбранной алгебры необходимо представлять движение исследуемого пространства, то есть представлять такие преобразования в многолистном пространстве, которые сохраняют инварианты, определяющие в нем некоторую геометрию.

Классическим примером выбора алгебр, адекватных к геометрической природе евклидовых и псевдоевклидовых пространств, являются алгебры Клиффорда. Эти алгебры доставляют удобный аппарат для представления движений (евклидовых и псевдоевклидовых поворотов) в многомерных пространствах.

Исторически первым нетривиальным примером алгебры Клиффорда являются алгебры кватернионов, рассмотренные еще У. Гамильтоном в 1843 г. [40]. Определения кватернионов или гиперкомплексных чисел Дж. У. Гиббсом и О. Хевисайдом были положены в основу построенного ими вектороного исчисления, интенсивно используемого в дальнейшем в математической физике. Алгебры Клиффорда малых размерностей -кватернионы, антикватернионы, бикватернионы, а также коммутативные алгебры двойных и дуальных чисел сыграли важную роль в изучении неевклидовой геометрии и теории непрерывных групп. Приложение этих алгебр в геометрии берет начало еще в работах Г. Грассмана и У. Клиффорда, а дальнейшее развитие алгебраических методов относится к работам Д.Н. Зейлингера, А.П. Широкова и др [10], [11]. В общем случае алгебры Клиффорда были использованы Р. Брауэром, Г. Вейлем и Э. Картаном для представлений групп движений. Обширный обзор различных приложений алгебр Клиффорда к изучению евклидовых и неевклидовых пространств дан в книге Б.А. Розенфельда [40].

Теория алгебр Клиффорда получила новое интенсивное развитие с конца 70-х - начала 80-х годов в связи с работами Ф.Бракса, Р.Деланжа, Ф.Соммена и ряда др. авторов, и в настоящее время наблюдается интенсивный рост числа работ, посвященных приложениям алгебр Клиффорда в анализе, геометрии, топологии и в квантовой теории поля.

Следует отметить, что классические клиффордовы структуры адаптированы к «двулистным» пространствам, что характерно для евклидовой структуры, определяемой фундаментальной квадратичной формой. В локальном варианте эта двулистность воспроизводится в классических пространствах в точках римановых и псевдоримановых многообразий.

Для изучения многолистных (/я-листных) пространств с фундаментальными формами (формами выше степени 2) требуется модификация классических алгебр Клиффорда [6] с тем, чтобы w-степень вектора давала однородную скалярную форму от его координат, степень которой равна т.

Цель диссертационной работы состоит в изучении дифференциальной геометрии многолистных пространств.

Основными задачами нашего исследования являлись следующие:

1. Построение конструкции многолистных многообразий как пространства над алгебрами специального класса.

2. Изучение калибровочных групп алгебраических преобразований в соответствующих касательных пространствах.

3. Исследование инвариантных продолжений дифференциальных операторов, ковариантных относительно калибровочной группы, а также исследование дифференциальных инвариантов этих операторов.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми, среди которых основными являются:

1. Описана конструкция многолистного многообразия как пространства расслоения с дискретными слоями.

2. Установлена связь между многолистной структурой касательных пространств над многолистными многообразиями и их алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных алгебр Клиффорда.

3. Введено понятие алгебраических преобразований многолистных пространств и изучены калибровочные группы таких преобразований для многолистных касательных расслоений. Эти группы реализованы как подгруппы регулярной группы обратимых элементов соответствующей алгебры сечений расслоения.

4. Определен аналог ковариантного дифференцирования в многолистных пространствах, являющийся инвариантным продолжением ковариантного дифференцирования в римановых пространствах и пространствах аффинной связности, а также установлена его инвариантность относительно действия алгебраических преобразований пространства.

5. Изучен дифференциальный инвариант оператора ковариантного дифференцирования, представляющий собой аналог кривизны риманова пространства.

Результаты работы получены систематическим использованием методов исследования пространств над алгебрами и методов тензорного анализа.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении дифференциальной геометрии многообразий с дополнительными алгебраическими структурами, при изучении калибровочных полей для неабелевых групп, в частности, в квантовой хромодинамике и теориях объединяющих гравитационных, слабых и сильных взаимодействий. Также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании Научного семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2002г., Ростов-на-Дону); на I Международной конференции «Движения в обобщенных пространствах» (2002г., Пенза).

Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях [54] - [63].

Диссертация состоит из введения, трех глав, состоящих из 8 параграфов, и списка литературы, состоящего из 53 работ. Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захарова, Ольга Александровна, 2003 год

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Мир, 1979.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967.

3. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. школа, 1980.

4. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.

5. Бурлаков М.П. Обобщенные внешние алгебры и их приложения // Известия вузов. Математика. 1999. - № 9 (448). - С.73 - 77.

6. Бурлаков М.П. Комбинаторные алгебры и их приложения. Грозный: ЧИГУ, 1992.

7. Бурлаков М.П. Клиффордовы связности на римановых пространствах. Известия вузов. Математика. 1990. - № 7. - С. 14 - 23.

8. Бурлаков М.П. Алгебры Клиффорда и структуры пространства времени. -Грозный: ЧИГУ, 1991.

9. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.

10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Том II. М.: Едиториал УРСС, 1998.Н.Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. -М.: Наука, 1974.

11. Казанова Г. От алгебры Клиффорда до атома водорода. Волгоград: Платон, 1997.

12. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973.

13. Картан Э. Риманова геометрия в ортонормированном репере. — М.: Изд.-во МГУ, 1960.

14. Картан Э. Теория спиноров. М.: Иностр. лит., 1947.

15. Кириченко В.Ф. Дифференциально геометрические структуры, ч. 1. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

16. Кириченко В.Ф. Дифференциально — геометрические структуры, ч. 2. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

17. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981.

18. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1895.

19. Котельников А.П. Проективная теория векторов. Казань: Изд.-во Казанского ун-та, 1899.

20. Кручкович Г.И. Н эрмитовы пространства. // Известия вузов. Математика. - 1971. - № 4. - С.42-49.

21. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 16. — М.: Изд-во МГУ, 1972.-С.174-201.

22. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. Сочинения по геометрии. Т.1. -М.: Наука, 1946.

23. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. Волгоград: Платон, 1996.

24. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1950.

25. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы. М.: ДАН СССР, 1947. - С. 199 - 202.

26. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Наука, 1956.

27. Норден А.П. Конгруэнтные и дуальные числа. // Тр. семинара кафедры геометрии. Вып.З. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1968. - С.82 - 98.

28. Певзнер СЛ. О строении пространств над алгебрами. // Известия вузов. Математика. 1977. - № 6. - С.107 - 111.

29. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969.

30. Попов Н.Н. Новые представления о структуре пространства — времени и проблема геометризации материи. -М.: Едиториал УРСС, 2002.

31. Постников М.М. Риманова геометрия. Лекции по геометрии. Семестр 5. -М.: Факториал, 1998.

32. Проскуряков В.И. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1967.

33. Рашевский П.К. Скалярное поле в расслоенном пространстве. // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 6. М.: Изд-во МГУ, 1948. -С.225 - 248.

34. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964.

35. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1955.

36. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: ГИТТЛ, 1969.

37. Санардашвили Г.А. Современные методы теории поля. М.: Едиториал УРСС, 2002.

38. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

39. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

40. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

41. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия, М.: ГИТТЛ, 1948.

42. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. — Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.

43. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах // Изв. Казан, физ.-мат. об.-ва. 1925. - Сер.2, т.25. - С.48-55.

44. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. // Математ.сб., 1957.- Т.41, №3. С.361 - 372.

45. Burlakov М.Р. Clifford structures on manifolds // Journal of mathematical sciences. 1998. - Vol. 89, № 3. - С. 15 - 19.

46. Kahler E. Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. Abhandl. Malh. Seminar Univ. Hamburg, Br. 9, 1933, 173- 186.

47. Coolidge I.L. The geometry of the complex domain. Oxford, 1924.

48. Cartan E. Lecons sur la geometrie projective complexe. Paris, 1931.

49. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. N.J., 1965.VРаботы автора по теме диссертации:

50. Бурлаков М.П., Захарова О.А. Группы алгебраических преобразований. Научные труды математического факультета МПГУ: Юбилейный сборник 100 лет. М.: Прометей. 2000. С.153 - 156.

51. Захарова О.А. Комбинаторные алгебры. Моск. пед. гос.ун-т. М., 2003. -Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 521-В2003. - 17 с.62.3ахарова О.А. Многолистные касательные расслоения. Моск. пед. гос.ун-т. -М., 2003. Деп. в ВИНИТИ 24.03.2003, № 520-В2003. - 8 с.

52. Захарова О.А. Многолистное пространство и его алгебраическая структура. Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания: Юбилейный сборник 130 лет. М.: Прометей. 2003. С. 65 -66.