Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гензе, Леонид Владимирович

• Гензе, Леонид Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гензе, Леонид Владимирович

Основные обозначения

Введение

Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЭРОВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКАХ ОРДИНАЛОВ

§1. Классификация Бэра.

§2. Достаточные условия линейной гомеоморфности

§3. Необходимые условия линейной гомеоморфности.

Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ КОНЕЧНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОБОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ОТРЕЗКОВ ОРДИНАЛОВ

§4. Свободные п-периодические топологические группы

§5. Метод разложения свободных ^-периодических топологических групп

§6. Классификация пространств непрерывных конечиозначных функций и свободных п-периодических топологических групп

§7. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп»

Актуальность темы. Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество СР(Х) всех непрерывных веществен-нозначных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим векторным пространством, равномерным пространством, топологическим кольцом, топологической группой и просто топологическим пространством.

В 1951 г. A.A. Милютин в своей диссертации доказал, что если X и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С(Х) и С(У) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи [14]). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский [22] дали полную классификацию банаховых пространств С(Х) для счетных (метризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бессаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С(Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Семадени [26] доказал, что при различных натуральных пит банаховы пространства С[ 1, o^i • п] и C[l,cui • m] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1, а] при а < üji • и. В 1975 г. С. П. Гулько и A.B. Оськин ([9]) и C.B. Кисляков ([11]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств С[1,а] для произвольных ординалов а.

Ситуация с пространствами вида СР(Х) более сложная. Так, из теоремы о замкнутом графике следует, что если X и Y — компакты и пространства СР(Х) и CP(Y) линейно гомеоморфны, то и банаховы пространства С(Х) и C(Y) линейно гомеоморфны. Обратное верно не всегда: например, известно, что размерность тихоновских пространств сохраняется при линейных ([16]) и даже равномерных ([7]) гомеоморфизмах пространств функций, снабженных топологией поточечной сходимости. В частности, пространства непрерывных функций на канторовом множестве, на отрезке [0,1] и на квадрате [О, I]2 попарно не линейно гомеоморфны. Значит, аналога теоремы Милютина для пространств вида СР(Х) не существует. В тоже время, линейная гомеоморфная классификация пространств Ср[ 1,а] для произвольных ординалов а, как показал С. П. Гулько в [8], полностью совпадает с данной ранее ([9], [11]) классификацией банаховых пространств С[ 1, а]. В этой же статье параллельно была дана классификация (относительно топологических изоморфизмов) свободных топологических групп F[l,a] и свободных абелевых топологических групп А[1,а] отрезков ординалов, причем эта классификация, выраженная в терминах некоторых неравенств на а, фактически совпала с классификацией соответствующих пространств непрерывных функций Ср[1,а].

В настоящей диссертации нас будет интересовать линейная гомеоморф-пая классификация пространств Ср([1, а], У) всех непрерывных функций /: [1, а] —> Y и пространств Bp(Jl, а], У) бэровских функций /: [1, а] —> Y, определенных на отрезках ординалов со значениями в Y. При этом данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости, а в качестве Y рассматриваются либо конечные дискретные пространства (для непрерывных функций) либо вещественная прямая и двухточечное дискретное пространство (для бэровских функций). В том случае, когда Y является конечным пространством мощности п, сложение функций происходит «по модулю п» и У отождествляется с циклической группой Zn порядка п.

Уточним понятие пространства Ср([1, а], . Если п — простое число, то Ъп является полем и Ср([1, ее], — линейное пространство (над полем 2П). Если же п — число составное, то Zn полем не является (оставаясь при этом абелевой группой) и следовательно, множество Ср([1, а], есть абелева группа. Но везде в этой работе будет использоваться «линейная» терминология для произвольного п: будем употреблять термин «линейное пространство» для множеств Ср([1, а], и термин «линейное отображение» для отображений таких множеств. Ни к каким противоречиям и некорректностям такая терминология не приведет.

Цель работы:

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех бэ-ровских функций, определенных на отрезках ординалов [1,а] с топологией поточечной сходимости.

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех непрерывных п-значных функций, определенных на отрезках ординалов [1,о;] с топологией поточечной сходимости.

• дать топологическую изоморфную классификацию свободных п-пери-одических топологических групп и свободных абелсвых п-периодических топологических групп А^п\Х).

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Даны необходимые и достаточные условия того, что произвольная функция /: [1, а] —> У, где У = К или У = является бэровской (теорема 1.2).

• Установлено, что пространства бэровских функций на отрезках ординалов вида [1 ,сх • ¡3] разлагаются в ^-произведение более простых сомножителей (лемма 2.2).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Вр[1,а] (теоремы 2.8, 3.4, 3.9, 3.12 и 3.13).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Ср([1, а], Zn) (теорема 6.1).

• Параллельно с классификацией пространств Ср([1, а], Zn) дана классификация сопряженных пространств Lp([l, а], Zn) (теорема 6.1).

• Введены понятия свободной тг-периодической топологической группы и свободной абелевой n-периодической топологической группы тихоновского пространства. Доказано существование таких групп (теоремы 4.3 и 4.7). Параллельно с классификацией пространств Ср[[ 1, а], Zп) дана Pix классификация относительно топологических изоморфизмов (теорема 6.1).

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории топологических пространств функций, теории топологических групп.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), международной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.), Международной топологической конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006 г.), Всероссийской конференции по математике и механртке (Томск, 2008 г.), Всероссийской молодежной школ е-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2010 г.) и были опубликованы в работах [29] - [40]. Кроме того, они неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка обозначений. Глава I содержит три параграфа, глава II — четыре параграфа. Работа изложена на 75 страницах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гензе, Леонид Владимирович, 2010 год

1. Архангельский A.B. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. М.: Изд-во МГУ, 1969.

2. Архангельский A.B. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.

3. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Граев М.И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1948. Т. 12. № 3. С. 279-324.

5. Граев М.И. Теория топологических групп I // УМН, 1950. Т. 5. № 2. С. 3-56.

6. Гулько С.П. Пространства непрерывных функций на ординалах и ультрафильтрах // Мат. заметки. 1990. Т. 47. № 4. С. 26-34.

7. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Тр. МИАН СССР, 1992. Т. 193. С. 82-88.

8. Гулько С.П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вестн. Томского ун-та. 2003. Т. 280. С. 34-38.

9. Гулько С.П., Оськин A.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-62.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

11. Кисляков C.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293-300.

12. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

13. Марков A.A. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР, сер. матем., 1945. Т. 9. № 1. С. 3-64.

14. Милютин A.A. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функц. анализ и прил. № 2. Харьков, 1966. С. 150-156.

15. Окунев О.Г. Метод построения М-эквивалентных пространств // 5-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее прил. 1985. С. 186.

16. Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim ¿-эквивалентных топологических пространств // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 3. С. 553-556.

17. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

18. Сипачева О.В. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур. В сб. Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 122-130.

19. Сипачева О.В. Топология свободной топологической группы // Фундаментальная и прикладная математика, 2003. Т. 9. № 2. С. 99-204.

20. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975.

21. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

22. Kechris A. Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995.

23. Mazurkiewicz S., Sierpiriski W. Contributions a la topologie des ensembles denombrables // Fund. Math. 1920. V. 1. P. 17-27.

24. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. sci. ser. math., astron. et phys., 1960. № 8. P. 81-84.

25. Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. Warszawa: PWN, 1971.

26. Sierpinski W. Cardinal and ordinal numbers. Warszawa: PWN, 1965.Работы автора по теме диссертации

27. Гулько С.П., Гензе Л.В. О классификации пространств непрерывных функций и свободных топологических групп // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2003. С. 66.

28. Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Материалы ХЬШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2005. С. 64.

29. Гензе Л.В. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп тихоновских пространств // Вестн. Томского ун-та: Общенаучный периодический журнал. Бюллетень оперативной научной информации. 2005. № 54. С. 23-30.

30. Гензе Л.В., Гулько С.П. О свойствах свободной булевой топологической группы // Международная топологическая конференция «Александровские чтения», поев. 110-летию со дня рожд. акад. П.С. Александрова: Тезисы докладов. М.: МГУ, 2006. С. 11.

31. Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Вестн. Томского ун-та. 2006. № 90. С. 11-13.

32. Хмылёва Т.Е., Гензе Л.В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости, и их I-эквивалентность // Всероссийская конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2008. С. 112-113.

33. Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация свободных булевых топологических групп на ординалах // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 23-31.

34. Хмылева Т.Е., Гепзе Л.В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости и их /-эквивалентность // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. N° 3(4). С. 3541.

35. Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация пространств бэровских функций на отрезках ординалов // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 3. С. 61-66.

36. Гензе JI.В. Свободные n-периодические топологические группы // Вести. Томского ун-та. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 2328.