Классификация и исследование устойчивости равновесных форм нити в окрестности спутника на круговой орбите тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Адлай, Семён Франкович

• Адлай, Семён Франкович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Адлай, Семён Франкович

Введение

Три изопериметрические задачи и восемь задач, решения которых выражаются эллиптическими функциями.

Равновесие нити в орбитальной системе координат.

Цель, задачи, структура и методы исследования.

1 Плоские равновесия нити на круговой орбите

1.1 Две модели поля линейных параллельных сил.

1.2 Равновесие нити в линейном поле параллельных С1?л.

1.2.1 Изопериметрическая постановка задачи.

1.2.2 Дифференциальные уравнения экстремалей.

1.2.2.1 Случаи отталкивающих и притягивающих сил.

1.2.3 Регулярные и особые решения.

1.2.3.1 Решения дифференциального уравнения Вейерштрасса. соответствующие регулярным решениям.

1.2.3.2 Дробно-линейные преобразования, фиксирующие дифференциальное уравнение Вейерштрасса.

1.2.3.3 Ключевые преобразования решений уравнений равновесия

1.2.3.4 Особые решения.

1.2.4 Пограничные решения

1.2.5 Предельные решения.,.

1.2.6 Критические значения функций, определяющих регулярные решения

1.2.6.1 Прямоугольник и ромб периодов.

1.2.7 Регулярные решения при заданных граничных условиях.

1.2.7.1 Случай а > |

1.2.7.2 Случай

§ < а <

§.

1.2.7.3 Случай а <

1.2.8 Нерегулярные решения при заданных граничных условиях

1.2.8.1 Случай а < —|

1.2.8.2 Случай о: = —

§ ."

1.2.8.3 Случай с*=| ."7.

1.2.9 Четыре семейства решений.

1.2.9.1 Семейство вертикальных и горизонтально-осевых решений

1.2.9.2 Семейство одинакового модуля горизонтальной составляющей силы натяжения.

1.2.9.3 Семейство неограниченных решений, имеющих общими две вертикальные асимптоты.•."

1.2.9.4 Семейство чётных и нечётных неограниченных решений, проходящих через точку (—1.1).

1.2.10 Классификация равновесий в линейном параллельном поле сил

1.3 Равновесие нити в плоскости, перпендикулярной орбите.

1.3.1 Изопериметрическая постановка задачи . Т.

1.3.2 Дифференциальные уравнения экстремалей.

1.3.3 Осевые решения.

1.3.4 Предельные "решения.■.

1.3.5 Два подкласса решений.

1.3.5.1 Решения первого подкласса.

1.3.5.2 Решения второго подкласса.

1.3.6 Порождающие решения.

1.3.7 Четыре семейства частных решений

1.4 Равновесие нити в линейном плоском поле сил

2 Пространственные равновесия нити на круговой орбите

2.1 Изопериметрическая постановка задачи

2.2 Дифференциальные уравнения экстремалей.

2.3 Классификация форм равновесия.

2.3.1 Одномерные конфигурации

2.3.1.1 Осевые решения.

2.3.1.2 Предельные решения.

2.3.2 Двумерные конфигурации.

2.3.3 Трёхмерные конфигурации.

2.3.3.1 Решения, пересекающие плоскость орбиты.

2.3.3.2 Решения, не пересекающие плоскость орбиты.

2.4 Шесть пространственных форм равновесия.

3 Исследование устойчивости равновесных форм

3.1 Вторая вариация.

3.2 Условия устойчивости равновесных форм

3.2.1 Условия устойчивости в линейном параллельном поле сил

3.2.1.1 Обозначения и предварительные вычисления.

3.2.1.2 Случай Пожарицкого.

3.2.1.3 Однопараметрическое семейство поверхностей.

3.2.1.4 Функция сопряжённости.

3.2.2 Условия устойчивости на круговой орбите.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация и исследование устойчивости равновесных форм нити в окрестности спутника на круговой орбите»

После издания в 1990 году книги Белецкого и Левина "Динамика космических тросовых систем" [16] умножился поток научных работ, посвященных различным аспектам исследования космических тросовых систем (КТС). В англоязычной литературе заданной тематикой установилось сокращение TSS, которое расшифровывается как "Tethered Satellite Systems". Интерес к разработке теории и её приложений к исследованию КТС не ослабевает и в наши дни. Некоторые неудовлетворительные результаты приложения различных математических моделей к конкретным КТС усилили интерес к этой тематике. Однако, по сей день, исследования динамики троса на орбите проводились без тщательного исследования его равновесия, а основополагающие исследования равновесных форм троса на круговой орбите остаются малочисленными. В диссертации исследована задача о равновесии троса в поле линейных параллельных сил, исчезающих на фиксированной плоскости, и дана исчерпывающая классификация форм равновесия как в поле сил, притягивающих к плоскости, так и в поле сил, отталкивающих от неё. Формы равновесия общего положения в случае притяжения задаются эллиптическими, то есть двояко-периодическими функциями, соответствующими двум типам решёток с разделяющими их периодическими неограниченными функциями. Эти результаты изложены в главе 1. Исследуя равновесие троса в плоскости круговой орбиты, авторы книги [16] указали "волновые!" конфигурации,[15], полагая, что такие конфигурации ими описаны "впервые". Однако подобные конфигурации были найдены раньше. Аппелем [8] в задачей равновесии нити, закреплённой в двух точках оси, на каждый элемент которой действует сила отталкивания от оси, пропорциональная расстоянию до неё, было найдено счётное множество подобных друг другу положений равновесия, которые можно пронумеровать по числу полуволн- 1. 2, . [51]. Меркин [29], рассматривая "относительное равновесие вращающейся нити", приводит решение Аппеля, указывая на доказательство Пожарицкого [32] того, что форма равновесия с одной полуволной является единственной устойчивой формой среди бесконечного числа подобных форм равновесия, и отмечает (см. также [42]), что решение Аппеля "значительно упрощается для достаточно пологих нитей". Суть этого упрощения заключается в том, что форма равновесия пологой нити стремится к графику тригонометрической функции. В главе 1, проведя полную классификацию форм равновесия в линейном параллельном поле сил, выявлено место тригонометрических функций среди эллиптических и показано, что стремлению пологих форм равновесия (в случае отталкивания от оси) к графику тригонометрической функции строго соответствует стремление непологих форм равновесия (в случае притяжения к оси) к графику неограниченной тригонометрической функции. Указано невырожденное семейство дробно-линейных преобразований, сочетающих инверсию с умножением на положительную константу, переводящих семейство пологих форм (в случае отталкивания от осп) к непологим формам (в случае притяжения к оси), и обратно. Пределом пологих форм, проходящих через две фиксированные точки, является соединяющий их отрезок, а пределом соответствующих им форм равновесия, уходящим в бесконечность на концах, соответствующих концам указанного отрезка, оказывается неограниченная тригонометрическая функция. В главе 1 исследованы также формы равновесия в плоскости, ортогональной направлению движения спутника на круговой орбите, и получена их исчерпывающая классификация.

Исследование, проводимое в диссертации, опиралось на "классический" аппарат эллиптических функций Вейерштрасса и Якоби, каковых следует считать и основоположниками вариационного исчисления в том виде, в котором оно применялось для решения задачи о пространственных формах равновесия нити в окрестности спутника на круговой орбите. Исследование устойчивости равновесных форм опиралось на исследование второй вариации, которое подробно и аккуратно излагалось в книге [55]. Эта книга особенно ценна на фоне многих ставших "стандартными" изложений вариационного исчисления вроде [20, 26, 39], в которых кочуют неверные обобщения результатов, верных для скалярных функций, на функции векторные. Так, например, на стр. 118 книги [20] трижды сообщается о лёгкости проверки результатов, аналогично изложенных в [26, 39], и проводится "интегрирование по частям", в результате которого авторы некорректно вычисляют вторую вариацию векторно-значной функции. Полученная ими и, увы. часто встречающаяся формула пригодна лишь в случае, когда все указанные ими линейные операторы оказываются симметричными. В частности, полученная ими формула действительно имеет место для скалярных функций, но неприменима к векторно-значной функции в общем случае (на что авторы претендовали). На стр. 117 книги [26] авторы без труда обобщили критерий Сильвестра на неотрицательно-определённые операторы, заявив, что оператор неотрицательно определён, если все его угловые миноры неотрицательны. Легко привести контрпримеры, опровергающие корректность формулы второй,вариации, полученной в [20, 39], и опровергающие корректность автоматического обобщения критерия Сильвестра на неотрицательно-определённые операторы в [26]. Так, например, вторая вариация функционала зависящего от двух функций у и г, не приводится к виду, указанному формулой (4) §25 в [20], а оператор, матрица которого в некотором базисе является отрицательно определённым, несмотря на то, что он удовлетворяет условиям, указанным в [26] для неотрицательных операторов. Нетрудно убедиться в том, что линейность функционала в первом контрпримере не является существенным возражением, так как его можно заменить и на квадратичный функционал. Корректное обобщение критерия Сильвестра к неотрицательно-определённым операторам приводится в [19].

Насколько диссертанту известно, трёхмерные конфигурации троса в окрестности спутника, с учётом кривизны и кручения, ранее не рассматривались. В главе 2 приведена исчерпывающая классификация форм равновесия абсолютно гибкого нерастяжимого троса в окрестности спутника на круговой орбите, включая классификацию трёхмерных конфигураций. В работе дано описание шести файлов, изображающих, шесть представителей трёхмерных конфигураций. В главе 3 исследуются и формулируются условия устойчивости найденных равновесных форм.

Три изопериметрические задачи и восемь задач, решения которых выражаются эллиптическими функциями

Исторически первой задачей вариационного исчисления считается [40] задача Дидоны - задача о форме кривой, максимизирующей площадь, ограниченную кривой данной длины и заданной прямой. Легенда гласит, что решение этой задачи связано с основанием города Карфагена. Дидона — сестра царя финикийского города Тира — переселилась на южное побережье Средиземного моря, где попросила у местного племени участок земли, который можно охватить шкурой быка. Местные жители предоставили шкуру, которую Дидона разрезала на узкие ремни и связала. Получившимся канатом она охватила территорию в виде полукруга у части прямого берега побережья. Второй "классической" задачей является задача о форме равновесия однородной массивной цепочки, в постоянном поле силы тяжести, которую Галилей считал параболой. Ошибку Галилея исправил Гюйгенс, показав, что формой равновесия оказывается гиперболический косинус. На этих двух задачах перечень классических изопериметрических задач исчерпывается по сей день. В диссертации рассмотрена ныне актуальная изопе-риметрическая задача о формах равновесия однородной массивной цепочки в некотором неоднородном поле сил. Далее мы уточним, о каком именно поле сил идёт речь, и отметим, что фигуры равновесия, в общем случае, не являются плоскими. Но даже в простейшем обобщении задачи о форме равновесия однородной массивной цепочки к полю линейных параллельных сил, формы равновесия уже не могут быть описаны одной кривой с точностью до преобразования подобия, как в случае решения Гюйгенса, и возникает естественный вопрос о классификации полученных решений. Предложенная задача является подлинно изометрической в том смысле, что длина нити влияет на тип кривой, описывающей равновесие. Это не так в случае первых двух классических задач, общее решение которых исчерпывается полуокружностью для задачи Дидоны и гиперболическим косинусом для задачи о цепной линии. Решение задачи о форме равновесия однородной массивной цепочки в поле линейных параллельных сил выражается в эллиптических функциях и дополняет другой небольшой список задач, ставших "классическими" примерами задач, решения которых выражаются через эллиптические функции [66]: 1. Отображение верхней полуплоскости в прямоугольник 2. Вычисление длины лемнискаты Бернулли 3. Вычисление длины эллипса 4. ¿Колебания плоского маятника 5. Вычисление ёмкости эллипсоида 6 Вычисление вероятности возврата при двумерном и трёхмерном случайном блуждании. К этому списку уместно добавить классическую задачу о вращении твердого тела в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской [22, 24]. Две работы диссертанта [46, 47], непосредственно касающиеся задачи, обратной первой задаче этого списка, были порождены его работой над диссертацией. Отметим работу [69], со ссылкой на работу Аппеля [50], в которой в результате исследования четвёртой задачи списка даётся механическая интерпретация мнимому периоду колебания, как соответствующему смене направления силы тяжести на противоположное. Такое видение двоякопериодичности, на примере движения маятника, оказывается полезным и на примере исследуемой в диссертации задачи о равновесии нити в линейном параллельном поле сил. Подобно тому как мнимое время наделяется механическим смыслом, в исследуемой задаче интерпретируется, наряду с положительным натяжением нити, не только отрицательное, но'и мнимое (причём с двумя противоположными знаками). Решения, найденные Аппелем в случае отталкивания, с этой точки зрения соответствуют решениям с (исключительно) положительным натяжением. Подчеркнём, что Аппель на этапе постановки задачи исключил из рассмотрения не только решения с мнимым натяжением, но и решения с отрицательным натяжением,.несмотря на то, что ранее и в той же главе он дал механическую интерпретацию, со ссылкой на Пуансо, отрицательному натяжению как сжатию. Осталось лишь заметить, что двойственности натяжения и сжатия соответствует двойственность случаев сил отталкивания и притяжения единой задачи о равновесии нити в линейном параллельном поле сил [1,2].

Равновесие нити в орбитальной системе координат

Формы равновесия троса на круговой орбите рассматривались в [15, 16, 34, 36, 37, 56, 62], но эти работы не дают сколько-нибудь целостного представления о разнообразии форм равновесия, так как ограничиваются частными "стандартными" случаями. Работы [15, 16] уже были упомянуты. В работах [36] дан обзор "интегрируемых" случаев задачи о равновесных формах троса. В работе [37] исследовалась, с учётом сопротивления атмосферы, асимптотика волновых решений при большой длине троса. Правые части соответствующей системы уравнений равновесия оказались разрывными. "Приближённые решения на интервалаэСгладкости правых частей" "сшивались", и показано, что "при удалении от центра уменьшается амплитуда и пространственная частота" таких решений. В работе [56] исследуется устойчивость по Ляпунову в первом приближении относительных равновесий нити, прикреплённой к спутнику на круговой орбите. Причём рассматриваются сложенные радиальные и касательные положения равновесия. Показано, что сложенные радиальные положения равновесия всегда неустойчивы, а касательные положения равновесия неустойчивы при достаточно малой, относительно радиуса орбиты, длине нити. Для заключения о неустойчивости сложенных касательных положений равновесия произвольной длины требуются, по мнению автора работы [56], "более сложные методы исследования". Работа [62] численно исследует формы равновесия малорастяжимого троса, прикреплённого к двум спутникам, как формы равновесия, полученные возмущением соответствующих форм нерастяжимог'о троса как предельного случая малорастяжимого. Утверждается, что уравнения относительного равновесия троса и условия устойчивости изменяются "непрерывно" по мере стремления коэффициента нерастяжимости к беконечности. Нижеследующая фигура равновесных форм в (единой) плоскости орбитального движения обоих спутников приведена из этой статьи со ссылкой на работу [16]

А В а f А с) <d>' ч а)

Earth

X \

Figure I: Example» of relative equilibria of ;i. tother .sybfimi: (a) radial, (b)-(e) wavy.

Далее в статье [62] предполагается1, что в том случае, когда концевые точки неподвижны в орбитальной системе координат, все вышеуказанные формы равновесия устойчивы, за исключением последней, изображенной как случай (е).

Для численного исследования динамики массивного троса используется модель Тро-гера, в рамках крторой массивный трос рассматривается как состоящий из точечных масс, соединённых гибкими безмассовыми элементами [7]. Такая модель, порой применялась и к исследованию равновесных форм, как, например, в работах Герман [57, 58, 59]. Множество различных моделей используются для численного моделирования различных режимов развёртывания и свёртывания троса. Эти модели нередко подвергаются коррекции после последующих практических испытаний. Так, например, работа [60] уточняет модель, приводимую в работе [16]. В работе [53] описываются некоторые схемы развёртывания и свёртывания троса. В работе [52] исследуется динамика развёртывания как короткого, так и длинного троса. Составление компьютерных программ для исследования динамики троса, включая его развёртывания и свёртывания, явилось одной- из задач КТС, исследуемых коллективом сектора ТУ-МУС отдела механики при ВЦ РАН, под руководством С. Я. Степанова. Будучи сотрудником сектора, составлением таких программ занимался и диссертант. Впоследствии, трудные задачи численного исследования динамики троса убедили диссертанта в необходимости проложения аналитического фундамента всестороннего исследования равновесных форм и их устойчивости. В частности, совместно с руководителем была поставлена задача классификации равновесных форм. Ранее такая задача не формулировалась среди задач КТС. *

Абсолютно гибкий трос условимся в дальнейшем называть нитью. Уточним, что словосочетание абсолютно гибкий будет означать не только не сопротивляющийся изгибу, но и не сопротивляющийся кручению. На протяжении всей диссертационной работы исследуемая нить предполагается нерастяжимой и однородной. По умолчанию, в первых двух главах этой диссертации равновесие будет подразумевать равновесие относительно орбитальной системы координат.

1Такие предположения об устойчивости являются, согласно этой работе, естественными. С этим можно согласиться, но нельзя не заметить, что ссылка на работу Пожарпцкого [32] по исследованию устойчивости равновесных форм, найденных Аппелем [8], была бы уместной. Естественным будет предположение о том, что авторы статьи [62] не знакомы ни с работой Аппеля, ни с работой Пожа-рицкого.

Обозначим Охуг ортогональную орбитальную систему координат с началом О в центре масс спутника, движущегося по круговой орбите. Направим ось Ох вдоль радиус-вектора, исходящего из центра Земли к центру масс спутника, ось Ох - по направлению движения спутника, а ось Оу - по нормали к плоскости орбиты, так, дабы упорядоченная тройка единичных векторов репера Охуг оказалась правой.

Суммарный потенциал и гравитационных и центробежных сил в точке (х, у, г) в спутниковом приближении не зависит от координаты х и имеет вид [14] и(х,у,г) = 2~1'ш2 {у2- Зг2), где V) - угловая скорость орбитального движения, предполагаемая постоянной.

Цель, задачи, структура и методы исследования

Целью диссертационной работы является исчерпывающая классификация и исследование устойчивости равновесных форм нерастяжимой однородной нити в окрестности спутника на круговой орбите. Плоские равновесия исследуются в первой главе, а пространственные - во второй. В третьей главе формулируются условия устойчивости равновесных форм. Основополагающие сведения по вариационному исчислению, на которые опираются исследования в первой главе, изложены в книгах [12, 55], а сведения по эллиптическим функциям изложены в книгах [13, 63, 70]. Однако, уже задача о равновесии нити в плоскости, перпендикулярной направлению орбитального движения, рассмотренная в конце первой главы, требует более обобщённого подхода к вариационному исчислению, когда исследуемый функционал зависит от векторно-значной функции. Из указанных в списке литературы источников такое обобщение тщательно проводилось лишь в книге [54]. Сведения, изложенные в ней, послужили фундаментом для второй главы и для исследования второй вариации в третьей главе. Сведения по дифференциальной геометрии кривых, необходимые для второй главы, излагались в достаточным объёме в книге [31]. Более подробные сведения по дифференциальной геометрии [9, 10, 11, 23, 25] потребовались в третьей главе. Третья глава также потребовала обстоятельного развёртывания аппарата эллиптических функций (и эллиптических кривых). Наряду с классическими, указанными в списке литературы источниками, были привлечены дополнительные источники, в которых излагались необходимые вычисления. Такими дополнительными источниками конкретных вычислений послужили [65, 67] Основополагающие сведения по теории устойчивости, необходимые для третьей главы, излагались в книге [28]. У х

Зем ля

Равновесная форма нити в орбитальной системе координат (пояснения в главе 2; см. фиг 2 2)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Адлай, Семён Франкович

Заключение

Подведём основные итоги диссертационной работы.

1. Определена простейшая эллиптическая функция с полюсом второго порядка в нуле и выявлено место тригонометрических функций как функций, разделяющих эллиптические функции, удовлетворяющие дифференциальному тождеству с вещественными коэффициентами, на те, для которых параллелограм периодов является прямоугольником, и на те, для которых параллелограм периодов является ромбом. Показано, что длина нерастяжимой нити в линейном параллельном поле сил параметризуется с точностью до достоянного множителя и линейного слагаемого дзета-функцией Вейерштрасса. Указана модификация метода арифметико-геометрического среднего к высокоэффективному вычислению значений дзета-функции Вейерштрасса в точках, соответствующих полупериодам. Проведена полная классификация форм равновесия нерастяжимой нити в линейном параллельном поле сил. Наряду с решениями, соответствующими положительному натяжению, выявлен механический смысл не только решений с отрицательным натяжением, но и решений с мнимым натяжением. Выявлена двойственность решений в притягивающих и отталкивающих полях параллельных сил, соответствующая двойственности решений с положительным и отрицательным натяжением, и указано дробно-линейное преобразование, осуществляющее переход между двойственными решениями. Проведена полная классификация форм равновесия нерастяжимой нити в линейном плоском поле сил.

2. Проведена полная классификация пространственных форм равновесия в линеаризованном поле действующих гравитационных и центробежных сил в окрестности спутника на круговой орбите. Доказано, что хотя кривизна не определяется однозначно координатами точки и направлением касательного вектора, а зависит от дополнительного параметра - множителя Лагранжа, кручение определяется однозначно этими параметрами. В частности, кручение обращается в нуль в точках касания плоскости орбиты, плоскости, ортогональной радиус-вектору, и плоскости, перпендикулярной направлению орбитального движения. Более того, если регулярная кривая оказалась касательной к любой из трёх взаимоперпендикулярных плоскостей, то её кручение обращается в нуль тождественно, и кривая оказывается плоской. Самопересечение кривой возможно исключительно в плоскости, перпендикулярной направлению орбитального движения. Касательная к равновесным кривым с трёхмерной конфигурацией в точках нулевого кручения пересекает прямую, соответствующую направлению орбитального движения. В случае кривой, симметричной относительно плоскости, перпендикулярной этому направлению, касательная в точке нулевого кручения может оказаться параллельной направлению орбитального движения. Последний случай может быть интерпретирован как случай пересечения на бесконечности.

- 3. Сформулированы условия устойчивости равновесных форм в линейном параллельном поле сил и равновесных форм общего положения в окрестности спутника на круговой орбите. Решение изопериметрической задачи в линейном параллельном поле сил единственно, если оно существует, в случае притяжения, но число решений зависит от граничных условий и длины нити в случае отталкивания. В частности, число решений счётно бесконечно, если длина нити, прикреплённой к оси исчезновения сил, превышает расстояние между точками её крепления. При выполненном усиленном условии Лежандра единственное решение .всегда устойчиво и потому устойчивость гарантирована в случае притяжения. В случае отталкивания построено однопараметрическое семейство функций сопряжённости, взаимно однозначно соответствующих однопараметрическому семейству решений, проходящих через две фиксированные точки. Функция сопряжённости, соответствующая конкретному равновесному решению, указывает на допустимое приращение фазы исходной точки, превышение которой влечёт потерю устойчивости. В случае равновесных форм общего положения в окрестности спутника на круговой орбите усиленное условие Лежандра оказывается выполненным, и потому усиленное условие Якоби оказывается достаточным условием устойчивости. Более того, достаточным оказываемся (неусиленное) условие Якоби.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Адлай, Семён Франкович, 2011 год

1. Адлай С. Ф. Двойственность решений задачи о равновесии нити в притягивающих и отталкивающих полях параллельных сил // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Москва: Вычислительный Центр РАН, 2009. С. 110-118.

2. Адлай С. Ф. Равновесие гибкого нерастяжимого однородного троса в окрестности спутника на круговой орбите // Тезисы докладов XI Международной конференции 'Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 1-4 июня 2010. С. 6-7.

3. Адлай С. Ф. Исследование устойчивости равновесных форм нити в окрестности спутника на круговой орбите // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, том 1, № 4 (2), 2011. С. 27-28.

4. Адлай С. Ф. Итерационный алгоритм вычисления эллиптического интеграла // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Москва: Вычислительный Центр РАН, 2011. С. 104-110. ^ •

5. Адлай С. Ф. Равновесие нити в линейном параллельном поле сил // Прикладная математика и механика, том 76, № 1, 2012. 23 с.

6. Аппель П. Теоретическая механика. М.: ГИФМЛ, 1960. Т. I. 515 с.

7. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. 400 с.

8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Издательство УРСС, 2003. 416 с.

9. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Издательство УРСС, 2004. 128 с.

10. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. М.: ГИТТЛ, 1955. 248 с.

11. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Издательство "Наука", 1970. 304 с.

12. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.

13. М.: Издательство "Наука", 1965. 416 с. ♦

14. Белецкий В. В. Левин Е.- М. Механика орбитальной тросовой системы // Космические исследования, Том XVIII Выпуск 5, 1980. С. 678-688.

15. Белецкий В. В. Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. М.: Издательство "Наука", 1990. 330 с.

16. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 432 с.

17. Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру (перевод с-английского Ю. И. Манина). М.: Издательство "Мир", 1978. 122 с.

18. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-ое издание). М.: Издательство "Наука", 1966. 576 с.

19. Гельфанд И. М. Фомин С. В. Вариационное исчисление^. М.: ГИФМЛ, 1961. 228 с.

20. Герасимов И. А. Функции Вейерштрасса и их приложения в механике и-астроно-мии. М.: Издательство МГУ, 1990. 150 с.

21. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 288 с.

22. Залгаллер В. А. Теория огибающих. М.: Издательство "Наука", 1975. 104 с.

23. Ковалевская С. В. Задача о вращении .твердого тела около неподвижной точки // Сборник "Движение твердого тела вокруг неподвижной точки" под редакцией Чаплыгина С. А. и Мерцалова Н. И. Москва Ленинград: Издательство АН СССР, 1940. С. 11-49.

24. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2. Государственное научно-техническое издательство, 1931. 350 с.

25. Лаврентьев М. Люстерник Л. Основы вариационного исчисления (в двух томах). Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. Т. II. 400 с.

26. Люлька В. А. Румянцев В. В. Построение плоской кривой с кусочно-линейным изменением кривизны / / Журнал вычислительной математики и математической физики, № 4. Москва: Академия наук СССР, 1987. С. 626-629.

27. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Издательство "Наука", 1966. 532 с.

28. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Издательство "Наука", 1980. 240 с.

29. Минаков А. П. Основы механики нити // Научно-исследовательские труды Московского текстильного института, том 9, № 1, 1941. С. 1-88.

30. Мищенко А. С. Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Физматлит, 2004. 304 с.

31. Пожарицкий Г. К. Устойчивость равновесий механических систем, включающих гибкую нерастяжимую нить // Прикладная математика и механика, том 37, № 4, 1973. С. 647-658.

32. Раус Э. Дж. Динамика системы твёрдых тел (перевод с английского Ю. А. Архангельского, В. Г. Дёмина, В. Н. Рубановского, В. С. Сергеева, С. Я. Степанова) в двух томах. М.: Издательство "Наука", 1983.

33. Садов Ю. А. Равновесные конфигурации орбитальной тросовой системы с учётом сопротивления атмосферы. Москва: Препринт ИПМ № 112, 1992. 28 с.

34. Садов Ю. А. Формы равновесия гибкого троса в плоскости круговой орбиты // XXIII начные чтения по космонавтике. Тезисы докладов. Москва: Война и мир, 1999. С. 92.

35. Садов Ю. А. Формы равновесия гибкого троса в плоскости круговой орбиты. 0-и 1- параметрические семейства. Москва: Препринт ИПМ № 68, 2001. 29 с.

36. Серр Ж.-П. Курс арифметики (перевод с французского А. И. Скопина под редакцией М. В. Малышева). М.: Издательство "Мир", 1972. 184 с.

37. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том 4, часть 2, 6-ое издание. М.: Издательство "Наука", 1981. 551 с.

38. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах // Выпуск 56 серии Библиотечка «Квант». М.: Издательство "Наука", 1986. 192 с.

39. Щедров В. С. Основы механики гибкой нити. М.: Издательство "Машгиз", 1961. 172 с.

40. Якубовский Ю. В. Живов В. С. Коритысский Я. И. Мигушов И. И. Основы механики нити. М.: Издательство "Лёгкая индустрия". 1973. 271 с.

41. Adlaj S. Tether equilibria in a linear parallel force field // 4th International Young Researchers Workshop on Geometry, Mechanics and Control, Ghent, Belgium, January 11-13, 2010. http://www.wgmc.ugent.be/adlaj.pdf (23 pages).

42. Adlaj S. Iterative algorithm for computing an elliptic integral // 14th Workshop on Computer Algebra, Dubna, Russia, June 2-3 2011. http://compalg.jinr.ru/Dubna2011/abstracts2011files/Adlaj Rmerged.pdf:

43. Adlaj S. A point of order 8 // Cornell University Library arXiv:1110.0357vl, October 3, 2011. http://arxiv.org/abs/1110.0357 (2 pages).

44. Adlaj S. Eighth lattice points // Cornell University Library arXiv:1110.1743vl, October 8, 2011. http://arxiv.org/abs/1110.1743 (5 pages).

45. Adlaj S. An inverse of the modular invariant // Cornell University Library arXiv:1110.3274vl, October 14, 2011. http://arxiv.org/abs/1110.3274 (4 pages).

46. Adlaj S. Tether equilibria in proximity to a circularly orbiting satellite and their stability criteria // 7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics, Moscow (Russia) Siedlce (Poland), October 17-28, 2011. P. 9-10.

47. Appell P. Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de 1'Academie des Sciences, Vol. 87, No. 1, (Julillet) 1878.

48. Appell P. Lacour E. Principes de la Théorie des Fonctions JElliptiques et Applications. Paris: Gauthier-Villars, 1922. 503 p.

49. Barkow B. Steindl A. Troger H. A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system // IMA Journal of Applied Mathematics, Vol. 70, No. 5, 2005. P. 626644.

50. Djebli A. Pascal M. El-Bakkali L. Laws of deployment/retrieval in tether connected satellites systems // Acta Astronáutica, Vol. 45, No. 2, 1999. P. 61-73.

51. Forsyth A. R. Calculus of variations. London: Cambridge University Press, 1927. 656 p.

52. Fox C. An introduction to the calculus of variations. Oxford University. 1950. 304 p.

53. Guerman Anna D. Equilibria of an n-link chain in a circular orbit // Advances in the Astronautical Sciences, No.112 (2002). P. 833-842.

54. Guerman Anna D. Equilibria of multibody chain in orbit plane // Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 26, No. 6 (2003). P. 942-948.

55. Guerman Anna D. Spatial equilibria of multibody chain in a circular orbit // Acta Astronáutica, Vol. 58, No. 1 (2006). P. 1-14.

56. Janssens F. L. Poelaert D. Crellin E. B. Deployment and Retraction of a continuous Tether: the equations revisited // 4th International Conference on Tethers in Space, Washington, D.C. 10-14 April 1995.

57. Katta G. M. Feng-Tien Yu. Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming. Internet Edition. 1997.

58. Krupa M. Schagerl M. Steindl A. Szmolyan P. Troger H. Relative equilibria of a tethered satellite systems and their stability for very stiff tethers // Dynamical systems, Volume 16, Issue 3, January 2001. P. 253-278.

59. Lang S. Elliptic Functions. Springer-Verlag New York. 198?. 326 p.

60. Leighton W. The conjugacy function, http://www.ams.org/journals/proc/1970-024-04/S0002-9939-1970-0257464-7/S0002-9939-1970-0257464-7.pdf. P. 820-823.

61. Marichev O. Trott M. The Wolfram Functions Site, http://functions.wolfram.com/ EllipticFunctions/WeierstrassZeta/introductions/Weierstrass/05/.

62. McKean H. Moll V. Elliptic curves. Cambridge University Press, 1999. 280 p.

63. Silverman J. H. Tate J. Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, 1992. 281 p.

64. Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics. New York: Wiley-Interscience, 1989. 384 p.

65. Whittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press, 1937. 456 p. ' *

66. Whittaker E. T. Watson G. N. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927). 620 p.94