Классические и квантовые аспекты размерно-редуцированной гравитации и изомонодромные деформации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Короткин, Дмитрий Александрович

• Короткин, Дмитрий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Короткин, Дмитрий Александрович

Содержание

1 Введение

2 Редукция уравнений Эйнштейна к двум измерениям. Каноническая структура

2.1 Уравнение Эрнста. Каноническая Пуассонова структура

2.2 Скобки Пуассона матриц перехода

2.3 Волны Эйнштейна-Розена с одной поляризацией

2.4 Пуассонова интерпретация группы Героча

2.5 Обсуждение

3 Каноническое квантование: центрально расширенный твистованный Ян-гианный дубль

3.1 Квантовая алгебра

3.2 Обсуждение

4 Уравнение Эрнста и изомонодромные деформации

4.1 Уравнения Шлезингера. Изомонодромная Пуассонова структура

4.2 Система Шлезингера и уравнение Эрнста

4.3 "Дву-временная" Гамильтонова формулировка уравнения Эрнста

4.4 Учёт симметрии матрицы О

4.5 Расширение на всё фазовое пространство

4.6 Изомонодромное квантование уравнения Эрнста

4.7 Замечания

5 Тэта-функциональные решения системы Шлезингера. Тау-функция

5.1 Решения системы Шлезингера в тэта-функциях

5.2 Тау-функция системы Шлезингера

5.3 Эллиптический случай и уравнение Пенлевё 6

5.4 Обсуждение

6 Алгебро-геометрические решения уравнения Эрнста.

Формулы для коэффициентов метрики

6.1 Известная форма тэта-функциональных решений уравнения Эрнста

6.1.1 Роль формы сШ7

6.1.2 Решения (6.32) из решений (6.41)

6.2 Общее тэта-функциональное решение уравнения Эрнста из решений, связанных с системой Шлезингера

6.2.1 Частичное вырождение спектральной кривой

6.2.2 Непрерывный предел: сгущение двойных точек

6.3 Обсуждение

7 Самодуальные 5и"(2)-инвариантные метрики Эйнштейна в терминах тэта-функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классические и квантовые аспекты размерно-редуцированной гравитации и изомонодромные деформации»

1 Введение

Модели, возникающие путем размерной редукции из четырехмерных уравнений Эйнштейна, служат важным испытательным полигоном при решении многих вопросов как классической, так и квантовой гравитации. При этом физическая значимость получаемых результатов существенно зависит от сложности модели, построенной таким способом.

В качестве простейшего и наиболее изученного примера моделей этого типа можно привести так называемые mini super space models [1] 1, которые содержат лишь конечное число физических степеней свободы, и поэтому при квантовании не могут дать никакой информации о полевых эффектах квантовой гравитации. Менее тривиальный пример, привлекающий устойчивый интерес, - это модель, описывающая цилиндрические гравитационные волны с одной поляризацией (волны Эйнштейна-Розена) [2, 3]. Эта модель, которую естественно называть midi super space model, уже включает в себя бесконечное число физических степеней свободы. Такая модель после фиксации всех калибровок допускает описание в терминах единственного скалярного поля ip, зависящего от радиальной координаты х 6 [0,оо) и временной координаты t. Уравнения движения и скобка Пуассона, наследуемые из четырёхмерного действия Эйнштейна-Гильберта, в терминах (р имеют вид

Общее решение уравнений движения может быть легко выписано в явном виде:

где ./о - функции Бесселя. В терминах коэффициентов Фурье Пуассонова структура переписывается в виде

-<Ptt + -<Рх + 4>хх = 0 ,

х

(1.1)

(1.2)

Русский аналог этого термина автору неизвестен

что предполагает интерпретацию квантованных операторов А± как операторов рождения и уничтожения. Для нас в данный момент интересно также отметить, что в переменных

/"ОО

T±(w) = exp / A±(\)e±twXd\ ,

J о

Пуассонова алгебра становится квадратичной:

J V — W

Вопросы квантования этой модели и её физического истолкования являлись на протяжении достаточно долгого времени предметом весьма интенсивного изучения [2, 3, 4, 5]. Впрочем, очевидно, что линейность уравнений движения, по всей вероятности, скрывает существенные нелинейные эффекты квантовой гравитации.

Одной из основных целей данной работы является изучение следующей по сложности модели, которая обобщает волны Эйнштейна-Розена на случай двух поляризаций. В нашей модели уравнение движения становится существенно нелинейным и сводится к уравнению Эрнста

{xGxG-% - (xGtG-^t = 0 ,

где G - симметричная вещественная матрица с единичным определителем. Разумеется, в отличие от предыдущей модели, общее решение этого уравнения не может быть выписано явным образом, однако, как было показано в работах Белинского и Захарова [6] и Мэйсона [7] около 20 лет назад, оно допускает вложение в схему (классического) метода обратной задачи рассеяния. А именно, оно является условием совместности следующей линейной системы:

Gtj-G ^ _

ш — х±_ф

1 ± 7

где х± = t dz х - координаты светового конуса и

1

X

w £ С - спектральный параметр. Эта линейная система превращается в линейную систему двумерной сигма-модели [8], если считать параметр у не зависящим от (x,t).

7 (ж, t,w) = ^ jw - i + i/(w - x+)(w — ж_)| ; (1-4)

Наличие вспомогательной линейной системы позволяет в свою очередь надеяться развить канонический формализм в виде, подходящем для квантования в соответствии с общей философией квантового метода обратной задачи [9, 10]. Центральным объектом при этом должна являться матрица перехода между граничными точками интервала х е [0, оо). При реализации такой программы следует ожидать возникновения ряда трудностей. Трудность технического порядка состоит в учёте симметрии матрицы (7, которая требует наложения дополнительных связей. Основная же ожидаемая трудность связана с наличием неультралокального члена (производной дельта-функции) в скобках Пуассона между токами, который в изучавшихся ранее моделях типа двумерной сигма-модели ведёт к невозможности определения скобок Пуассона между матрицами перехода, инвариантного по отношению к способу их вычисления. Неожиданно оказывается [11, 40], что зависимость 7 от х и í уничтожает эту неоднозначность для случая уравнения Эрнста. А именно, при подходящей нормировке матриц перехода их Пуассонова алгебра имеет вид

¿и =

П 1 2

V — IV

1 2 1 П 1 2 1 2 тр

Г± (V) , И =-т± (V) И- т± (V) и-,

) V — и> т ^ ' -Г у _ п}

где 2+(к;) обозначает матрицу перехода, определённую при значениях параметра и, лежащих в верхней, а Т_(гг) - в нижней полуплоскости; П обозначает 4x4 оператор перестановки, а Н7 - результат применения к этому оператору инволюции г] : а —» -а*, а 6 5£(2) в одном из пространств. Величины Т± имеют простую интерпретацию: они дают решение задачи Римана-Гильберта на вещественной оси

МИ = Т+(и?)21(и?) ,

где матрица сопряжения совпадает со значениями поля С? на оси симметрии с точностью до обращения:

М(и>) = С-1(® = (М = г£>)

Как легко видеть, эта квадратичная алгебра оказывается непосредствн-ным обобщением скалярной квадратичной алгебры (1.3), ибо при переходе к скалярному случаю выживает лишь соотношение между Т+ и Г_. При этом оказывается, что матрицы Т± являются интегралами движения, и, следовательно, могут быть использованы для генерации симметрий уравнения Эрнста. Эта группа симметрий известна в течение долгого времени и носит название группы Героча [13] (с точки зрения теории интегрируемых систем это просто группа одевающих преобразований [14]). Пуассонова интерпретация этих симметрий для ряда моделей обсуждалась в работах [15, 16]. В соответствии с философией этих работ группа Героча оказывается порождённой операторами Т+1 айт+ и ТГ1 «с!у_, которые, как легко проверить, исходя из скобок Пуассона между Т±, удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры петель. Тем самым, мы получаем Пуассонову интерпретацию группы Героча [39], и видим, что, как и следовало ожидать, она не сохраняет симплектич-еской структуру. Действие этой группы оказывается не Пуассоновым, а Ли-Пуассоновым, в соответствии с терминологией, принятой в работе [15].

Оказывается, что построенная выше классическая алгебра наблюдаемых допускает по существу единственное квантование, которое даётся следующей квадратичной алгеброй:

12 2 1 Т± (у) Т± (го) =Т± (го) Т± (и)2г(«-1/>) ,

12 2 1 Щу-ю-Ш) Г_ (и) Т+ (го) =Т+ (и?) Т_ («)£"(«-г»+Ш) х(и-и?) ,

где

ед = «1-шп, хМ^ ■

При этом условие с1е1 С — 1 переходит в условие равенства единице квантового детерминанта [17]:

Я<1е1;Г±(и>) = Т^^-гЩТ^^-Т^^-ЩТ^1^) = 1.

Построение теории представлений этой алгебры, которую естественно называть центрально расширенным твистованным Янгианным дублем, является на

данный момент открытой проблемой. Тем не менее, уже на данном этапе можно сделать некоторые выводы физического свойства. А именно, в нашей модели имеется тесная связь между поведением всех объектов в спектральной плоскости параметра шина мировом листе. Тем самым нелокальность порядка планковской длины в плоскости из, которую мы наблюдаем и в коммутационных соотношениях, и в определении квантового детерминанта, являются признаком возникновения подобной нелокальности также и на мировом листе.

Кроме описанного выше способа квантования, основанного на канонической Гамильтоновой структуре, наследуемой из действия Эйншетейна-Гильберта, возможен и другой способ, основанный на тесной связи уравнения Эрнста с таким классическим объектом, как система Шлезингера [18],

которая описывает изомонодромные деформации обыкновенного матричного дифференциального уравнения

Решение Ф этого уравнения решает также задачу Римана-Гильберта на разрезах [77,00) с некоторыми не зависящими от {7,} матрицами сопряжения М^ которые однозначно восстанавливаются по матрицам А^, и носят также название матриц монодромии. Динамика по отношению к в уравнениях Шлезингера задаётся коммутирующими гамильтонианами

N

по отношению к следующей пуассоновой структуре [19, 20]:

{Аау,Аьк} = /аЬсАск6зк

(1.5)

где /аЬс обозначают структурные константы алгебры з1(2). Производящая функция Гамильтонианов Н3 определяется уравнениями

~ 1п т = Я,- .

и называется г-функцией системы Шлезингера. Как было замечено в работах Решетихина [21] и Харнада [22], наивное квантование путём замены скобок Пуассона (1.5) на коммутаторы даёт квантовую модель, уравнения Шрёдингера в которой (по отношению к "временам" у3) совпадают с уравнениями Книжника-Замолодчикова, а т-функция переходит в соответствующий оператор эволюции.

Оказывается [23, 25], что по каждому решению системы Шлезингера, удовлетворяющему некоторым дополнительным редукциям, можно восстановить некоторое решение уравнения Эрнста, если предположить, что все у^ зависят от х± в соответствии с (1.4) с различными Тем самым, сужая фазовое пространство на изомонодромный сектор (что на самом деле не является необходимым, но позволяет ясно понять общую картину), мы получаем Гамильтонову формулировку уравнения Эрнста, в которой пуассонова структура задаётся скобкой (1.5), а динамика в направлениях х± задаётся коммутирующими Гамильтонианами

д*= 1 ^У *А*Ак

Т.-—

(1±7;)(1±7*) '

При этом тау-функция оказывается просто связана с одним из метрических коэффициентов к(х±) по формуле [23]:

Квантование такой "дву-временной" Гамильтоновой структуры уравнения Эрнста ведёт к тому, что возникающие уравнения Уилера-деВитта (этот термин в данном случае обозначает просто уравнения Шрёдингера в контексте квантовой гравитации) выглядят следующим образом:

дф _ гН I ^ 1 + у^ук „ Уз+Ук

у- ^ -г улк о.. + V Ь Гк П -и

дх+ х+ - I (1 + 7,-)(1 + Ук) ^ (1 + 7,)(1 + 7/с)

дф _ г!г I ^ 1 + у^ук п у3 + ук

> ф ,

х ч- 1}1к 0 у- Уз -ч- У к л ( ■

где волновая функция ф живет в прямом произведении N представлений главных серий алгебры si(2);

ttjk = ®h + e3 <g> fk + fj <g> ek ,

&jk = - (~hj ®hk + e3 ® ek + fj <g> fkj ,

и hj,ej,fj - генераторы Шевалле в ju представлении. Эти волновые уравнения оказываются тесно связаны с решениями (несколько модифицированной) системы Книжника-Замолодчикова для представлений главных серий алгебры sl(2); такая связь является квантовым аналогом описанной выше связи между т-функцией системы Шлезингера и метрическим коэффициентом е2к.

Такой альтернативный подход к квантованию модели Эрнста сталкивается с трудной технической проблемой решения системы Книжника-Замолодчико-ва для представлений главных серий. Основной концептуальной проблемой при этом является неясное соотношение исходной изомонодромной пуассоновой структуры с канонической структурой, возникающей из Эйнштейновского лагранжиана.

Впрочем, назависимо от проблем, связанных с квантованием, описанная выше связь уравнений Эйншетейна с системой Шлезингера оказывается весьма продуктивной уже на классическом уровне, при описании решений уравнения Эрнста в терминах тэта-функций. Тэта-функциональные, или конечнозонные, решения уравнения Эрнста были получены в работе [26]; в последующем они нашли физическое применение в задаче описания гравитационного поля бесконечно тонкого вращающегося пылевого диска [28, 29], которое описывается специальным решением рода 2. При этом задача определения не только потенциала Эрнста, но и всех метрических коэффициентов оставалась до последнего времени нерешённой. Решение было получено в работе автора и Матвеева [30], используя описанную выше связь с системой Шлезингера и результаты работы Китаева и автора [31], в которой была решена в терминах тэта-функций задача Римана-Гильберта о построении функции Ф, имеющей произвольный

набор анти-диагональных матриц монодромии с N = 2д + 2:

/ 0 тп4 \

М,- = , го,- е С, ] = 1,...,2д + 2,

V 0 /

Решение такой задачи Римана строится по гиперэллиптической кривой С рода д, задаваемой уравнением

2д+2

у2 — ъ). ¿=1

в терминах тэта-функций с произвольными комплексными характеристиками £ Сэ, которые просто связаны с элементами гп3 матриц монодромии. В свою очередь, решение такой задачи Римана определяет решение сис-

темы Шлезингера. При этом оказывается возможным явно проинтегрировать уравнения для соответствующей г-функции, которая может быть записана в красивом виде:

где Л обозначает матрицу а-периодов ненормированных голоморфных дифференциалов уЫу/у , 3 = 0,.. .,д — 1, а В - матрицу 6-периодов кривой С.

Уместно заметить, что решение описанной выше задачи Римана было практически одновременно получено (в существенно разных терминах) в работах [31] и [32]; при этом задача вычисления г-функции (1.6) в работе [32] не рассматривалась.

После наложения соответствующих редукций (которые, в частности, требуют нечётности д: д = 2до — 1), эти результаты могут быть интерпретированы в контексте уравнения Эрнста. При этом соответствующее решение самого уравнения Эрнста может быть выражено в терминах тэта-функций, отвечающих вещественной кривой рода до, задаваемой уравнением

2 д0

= с1-7)

¿=1

X/2

где, для описания стационарных осесимметричных пространств вместо цилиндрических волн, мы заменили координаты светового конуса х± на комплек-

сные координаты (£,£). Потенциал Эрнста, который однозначно задаёт опре-

♦ • /Ч о и

деленную выше матрицу С, имеет следующий простои вид:

в £] (г Ц01 в0)

©В] (у\ Г2 Во)

(1.8)

где через Во обозначена матрица ^-периодов кривой Со; = /р ¿У] где (IV3 -нормированные голоморфные дифференциалы на Со; г, в 6 С30 - два произвольных постоянных вектора, удовлетворяющих условиям вещественности

^(В0г + 5) = 0 ,

и однозначно определяющих вектора р, я £ С2эо . Знание соответствующей тау-функции и её связи с матричным коэффициентом е2к позволяет получить для него следующую формулу:

© й (0|В) 250

е2к =

х/ЗёГАо

ПК-^Г1/4, (1.9)

где До - матрица а-периодов голоморфных дифференциалов , ] =

1,... ,до■ Подчеркнём, что, функция е2к не выражается простым образом через тэта-функции, отвечающие кривой Со и требует использования тэта-функций кривой £, которая является двулистным неразветвлённым накрытием над Со-

Класс решений (1.8), если принять во внимание частично вырожденные кривые, эквивалентен классу тэта-функциональных решений, полученному в работе [26]. В частности, простой предельный переход ведёт к решению, описывающему пылевой диск [28, 33]. При этом предельном переходе формула (1.9) даёт выражение для соответствующего метрического коэффициента.

Выражение для тау-функции, приведённое выше, имеет ещё одно приложение к пространствам Эйнштейна, допускающим фиксированные группы изо-метрий. А именно, она позволяет весьма эффективно локально описывать 5£7(2) инвариантные самодуальные многообразия Эйнштейна. Как известно из работ [34, 35, 36], произвольная 5£7(2)-инвариантная самодуальная метрика Эйнштейна (в общем случае с ненулевой космологической постоянной) мощет

быть записана в следующем виде: [34, 36]: где 1-формы о3 удовлетворяют уравнениям

¿а\ = ст2 А Стз , (¿сг2 = сз А ах , й<т3 = стх Л <т2 ; (1-И)

функции И7,- и ^ зависят только от переменной ц. Условие самодуальности требует, чтобы функции удовлетворяли следующей системе уравнений:

*У?1 = -1Ук\У1 + \¥;(Ак + Ае), (1.12)

где - произвольная перестановка индексов (1,2,3), а переменные А3(р)

удовлетворяют системе Халпена:

с1А ■

-^ = -АкА1 + А^Ак + А&) . (1.13)

Далее, при специальной фиксации значения интеграла движения метрика (1.10) удовлетворяет уравнениям Эйнштейна с космологической постоянной А, если фактор ^ выражается через явной формулой, найденной в работе [34].

С точностью до преобразования Мёбиуса, общее решение системы (1.13) может быть выражено через тэта-константы следующим образом:

, А2 = 2~в3 , А3 = 2 А, ар ар а/л

и тем самым система (1.12) принимает вид

^ = -\у2УГ3 + 2УГ1^-1п(0304) ,

ар ар

= -Щ3УУ1 + 2\¥2-^1п(д2#4) , (1-14)

ар ар

^ = -И^ + 2УУ3-£-Ы{д203) ■

ац ар,

Система (1.14) эквивалентна уравнению Пенлевё 6 со специальными коэффициентами которое, в свою очередь, связано в точности с той задачей Римана, которая обсуждалась выше, для случая д = 1. Хитчиным

была дана локальная классификация решений этой системы в терминах тэта-функций Якоби; однако, если пытаться использовать формулы Хитчина для написания явных формул для коэффициентов Wj, результат оказывается трудно обозримым. Как было показано в работе Бабича и автора [37], использование формулы (1.6) для т-функции позволяет описать метрику (1.10) в терминах тэта-функций нулевого аргумента.

А именно, общее решение системы (1.14), удовлетворяющее условию

- ^ + « = ,

может быть записано так:

2 ¿(I2 {¿Р >^<111

Здесь дрд = #[£](0|г/х) , £ С (имеется ещё дополнительное однопара-

метрическое семейство решений, связанных с данным семейством некоторым предельным переходом). Эти решения становятся вещественными при наложении на константы р ж q подходящих условий вещественности. При этом оказывается, что в работе [36] была рассмотрена лишь половина всех возможных вещественных случаев; при этом остаётся открытым вопрос о положительности \¥2 для второй половины вещественных решений.

Диссертация может быть разделена на две части. Первая часть состоит из глав 2-4, в которых обсуждаются гамильтоновы аспекты уравнения Эрнста и способы его квантования. Вторая часть посвящена приложениям тэта-функций к некоторым задачам, сводящимся к уравнениям изомонодромных деформаций.

Опишем содержание диссертации по главам. В главе 2 мы описываем модель, возникающую при редукции четырёхмерных уравнений Эйнштейна к цилиндрическим гравитационным волнам с двумя поляризациями и развиваем канонический гамильтонов формализм. Мы вычисляем скобки Пуассона между

матрицами перехода на полубесконечном интервале и описываем возникающую квадратичную алгебру. Знание этой алгебры позволяет получить естественную пуассонову интерпретацию группы Героча. Результаты этой главы опубликованы в статьях [39, 12]. В главе 3 мы квантуем эту пуассонову алгебру по существу единственным образом, и получаем алгебру, которая может быть охарактеризована как твистованный центрально расширенный Янгианный дубль. Эта глава основана на результатах статей [11, 12]. В главе 4, следуя работам [23, 24, 25, 40], мы описываем связь между уравнением Эрнста и системой Шлезингера и процедуру "изомонодромного" квантования уравнения Эрнста, основанную на Гамильтоновой формулировке системы Шлезингера.

В главе 5, основанной на результатах статьи [31], мы решаем в терминах тэта-функций обратную задачу монодромии с произвольными анти-диагональными 2x2 матрицами монодромии и вычисляем соответствующую г-функцию. В главе б мы устанавливаем связь между конструкцией предыдущей главы и тэта-функциональными решениями уравнения Эрнста, что позволяет получить выражения для соответствующих метрических коэффициентов. Эта глава основана на статье [30]. Наконец, глава 7 посвящена приложению результатов главы 5 к самодуальным 51/(2) инвариантным пространствам Эйнштейна.

2 Редукция уравнений Эйнштейна к двум измерениям. Каноническая структура

2.1 Уравнение Эрнста. Каноническая Пуассонова структура

Рассмотрим произвольное цилиндрически-симметричное пространство-время, т.е. предположим наличие на четырехмерном Лоренцевом многообразии двух коммутирующих пространственно-подобных векторов Киллинга, один из которых имеет замкнутые орбиты. Мы выберем систему координат таким образом, что векторами Киллинга являются dz и dv, соответствующие инвариантности многообразия по отношению к сдвигам вдоль оси симметрии (dz) и при вращении вокруг неё (др).

Запишем метрику в стандартной форме:

ds2 = f-^e^i-dt2 + dx2) + x2d<p2] + f{dz + Fdcp)2 (2.1)

где t - временоподобная координата, и z, ip, x - пространственноподоб-ные цилиндрические координаты (ж £ [0, оо)-радиус); все метрические коэффициенты /, k,F зависят только от ж и t.

Уравнения Эйнштейна для метрики (2.1) сводятся к уравнению Эрнста

{£ + £)О€xs + -£х - €») = 2(£2 - £¡). (2.2)

X

Коэффициенты метрики могут быть восстановлены в квадратурах по комплек-снозначному потенциалу Эрнста £{х,t) в соответствии со следующими уравнениями:

/ = «£, = (2.3)

где х± = t ± ж - координаты светового конуса. Уравнение (2.2) может быть эквивалентно переписано в терминах матрицы

1 ( 2 %{£-£) \ 1 +Ь \г(£- £) 2££ j

следующим образом:

(жGxG-1)* - (жGtG-1^ = 0 . (2.5)

Для учёта симметрии С? = С* матрицы (2.4) удобно в качестве фундаментальной динамической переменной выбрать гыеЛет V 6 5Х(2,К), определенный уравнением

в'1 = . (2.6)

Здесь удобно ввести некоторые обозначения. Для группы БЬ(2, К) мы будем использовать обозначение в, соответствующая алгебра 2, К) с базисом 1а будет обозначаться буквой 5. Максимальная компактная подгруппа в, определенная условием инвариантности по отношению к инволюции г/ : V —» (V4)-1, будет обозначаться буквой Н (= 50(2)). На алгебраическом уровне инволюция г1 задает ортогональное разложение по отношению к форме Киллинга-Картана:

0 = 10®* где 7](Х)

X если X £ Ь

(2-7)

-X если X £ £

Наша динамическая переменная У(х11) живет в факторпространстве в/Н, т.е. V £ в и имеется калибровочная инвариантность по отношению к дом-ножению V справа на произвольную Н-значную функцию. Токи = J^¡ta = (где /х = 0,1; х° = х1 = х) допускают следующее разложение в соответствии с (2.7):

^(г = (^ц 4~ ; где С}ц £ , Р^ £ е , (2.8)

так что калибровочные преобразования имеют вид

^ /Г^/Ц-/Г1^ , ^ Н^Р^Н, (2.9)

где к = Н{х(1) £ Н.

Перейдем к описанию канонического формализма. Как показано в работах [41, 42], после размерной редукции четырехмерное действие Эйнштейна-Гильберта приводит к следующему эффективному лагранжиану нашей двумерной модели:

С = \хЪ (.Р,иР» ) = \х11 (Р02 - Р2) , (2.10)

<

В дополнение к токам Р^ из (2.8) этот лагранжиан содержит множитель х, который унаследован от компактифицированной части четырехмерной метрики.

Лагранжиан (2.10) совпадает с Лагранжианом нелинейной сигма-модели (НСМ) [43, 44] с точностью до фактора х, который и является ответственным за все различия между данной моделью и НСМ, проявляющиеся уже на классическом уровне. Тем не менее канонический формализм может быть развит аналогичным образом. Пусть ток играет роль канонической координаты;

его производная по времени выражается из условия нулевой кривизны:

= дг.10 + [Л, ./0] = VI</о -

Заметим, что оператор VI антисимметричен по отношению к скалярному произведению (1;г /йх*). Поэтому действие принимает вид

\JxtT {РцРц) (1х°йх1 = \jxtx (Ро^ЧдоЛ) - Р1) ¿х^х1

= ((до^-^р Ро) - хР1) йх°йх1 .

Определим канонические импульсы ^TJ = тгд +7гр, имеющие следующие скобки Пуассона:

{г1(х),хьМ} = ёаЬё(х-у). (2.11)

Принцип наименьшего действия накладывает следующие связи:

х Р0 = -Vl^TJ = -д^з - тг7] ,

что, в соответствии с (2.7), даёт:

хРо = -^тгр-Кьтгр]-^!,^], (2.12)

0 = -017Г<э - [<^1, 7Гд] - [Рь 7ГР] .

Первое уравнение определяет часть производных канонических координат по времени; второе уравнение представляет собой набор связей первого рода

<р = -дцгд- Юг, ттд] - [Ри пр] к, 0 , (2.13)

генерирующих калибровочные преобразования (2.9). Эти связи образуют замкнутую алгебру

{У (ж), Л)} = ГЪсЧ>°{х) 5{х-у) ,

(2.14)

со структурными константами /аЬс алгебры [).

В дальнейшем мы будем использовать тензорные обозначения: для произвольной матрицы X обозначим

Х = Х®1

и

Х = 1®х.

Для скобок Пуассона мы будем использовать следующее стандартное обозначение [45]:

г 1 2-1 аЬ,сс1

[А, В\ = {АаЬ,Вы},

для матриц АаЬ, Вы. Через = мы обозначим элемент Казимира алгебры б, который, благодаря ортогональности (2.7), допускает разложение = + IV Канонические скобки Пуассона (2.11) переписываются в этих обозначениях следующим образом:

<31 0) > *я(у) Г У) , < Р1(®) , Р(у) ^ = П(6(х-у) .

Уравнения (2.12) дают теперь следующие скобки Пуассона:

= У(х) 5{х-у) ,

Ро(г) ,У(у)

1 2 Ро {х) , Яг (у)

Ро(х) , А(у) Ро (х) , Ро (у)

(2.15)

1

х 1

ж 1

ж

Пъ , Р1 (ж) 2

, Я г (ж)

5(х- у) ,

5(ж- у) + - дх6(х-у) ,

8(х- у)

О .

Алгебра связай <р(х) (2.14) принимает следующий вид:

6(х- у) .

(2.16)

Эти связи очевидным образом генерируют калибровочные преобразования (2.9), которые оставляют Лагранжиан (2.10) инвариантным.

Важным свойством скобок Пуассона (2.15) является появление неультра-локального члена в третьем уравнении. В известных интегрируемых моделях наличие такого члена является показателем того, что применение канонической процедуры квантового метода обратной задачи является весьма затруднительным (см. например [44, 46]). Приятным свойством настоящей модели является то, что, как мы увидим в дальнейшем, неультралокальный член нисколько не портит структуры квадратичных скобок Пуассона матриц мон-одромии.

Обсудим динамику модели. Уравнения движения выглядят следующим образом:

£>"(® Р„) = Д>(® Р0) - ¿М® Л) = 0 , (2.17)

где введено обозначение для ковариантной производной В^Р,, = д/лРи + , Р,]. В терминах переменной это уравнение принимает форму уравнения Эрнста (2.5).

Гамильтониан модели имеет вид:

Я= ^ У ж ^ (Р02 + Р^) йх . (2.18)

Продвинуться дальше в развитии канонического формализма позволяет вложение нашей модели в схему метода обратной задачи рассеяния. Именно, как было показано в работах [7, 6], уравнение (2.5) является условием совместности следующей линейной системы:

-1

Фж+ = -Ф , (2.19)

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Короткин, Дмитрий Александрович, 1998 год

Литература

[1] A. Ashtekar, R. Tate, С. Uggla Minisuperspaces : Observables and quantization Int.J.Mod.Phys. D2, (1993) 15 -50

[2] K. Kuchar, Canonical Quantization of Cylindrical Gravitational Waves, Phys. Rev.D4, 955- 986 (1971)

[3] A. Ashtekar, M. Pierri, Probing quantum gravity through exactly soluble midisuperspaces, J.Math.Phys. 37 (1996) 6250 - 6270

[4] A.Ashtekar, Large quantum gravity effects : Unforeseen limitations of the-

classical theory, Phys.Rev.Lett. 77 (1996) 4864- 4867

[5] R.Gambini, J.Pullin, Large quantum gravity effects : Back reaction on matter, Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 2407-2414

[6] В.А.Белинский, В.Е.Захаров, Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и построение точных солитонных решений, ЖЭТФ 48 (1978) 985

[7] D. Maison, Are the stationary, axially symmetric Einstein equations completely integrable? Phys.Rev.Lett. 41 (1978) 521

[8] В. Захаров, А. Михайлов, Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи, ЖЭТФ, 74 (1978) 1953-1973

[9] Л.Д.Фаддеев, Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджан, Квантовый метод обратной задачи, Теор. и Мат. Физика 40 (1979) 194-220

[10] V.E.Korepin, N.M.Bogoliubov, A.G.Izergin, Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions, Cambridge University Press 1993

[11] D. Korotkin and H. Samtleben, Canonical quantization of cylindrical gravitational waves with two polarizations, Phys.Rev.Lett., 80 (1998) 14 — 17.

[12] D. Korotkin and H. Samtleben, Yangian symmetry in integrable quantum gravity, Nuclear Physics В 527 (1998)657- 689

[13] R. Geroch, A method for generating new solutions of Einstein's equations II, J.Math.Phys. 13 (1972) 394- 404.

[14] В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния 2, Функц. анализ и его нрилож. 13 (1979) с.13-22

[15] M.A.Semenov — Tian - Shansky, Dressing transformations and Poisson group actions, Publ.RIMS, Kyoto Univ. 21 (1985) p.1237 - 1260

[16] O.Babelon and D.Bernard, Dressing symmetries, Commun.Math.Phys.v.149 (1992) 279- 306

[17] А.Г. Изергин, B.E. Корепин, Решёточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шрёдингера, ДАН СССР 26 (1981) 653-654

[18] L.Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten, J.Reineu.Angew.Math. 141 (1912) 96 — 145

[19] M.Jimbo and T.Miwa, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients 2,3, Physica 2D (1981), 407 — 448; Physica 4D (1981), 26- 46

[20] M. Jimbo, T. Miwa, and K. Ueno, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients 1, Physica 2D (1981), 306- 352

[21] N.Reshetikhin, The Knizhnik — Zamolodchikov system as a deformation of the

isomonodromy problem, Lett.Math.Phys. 26 (1992) 167 - 177

[22] J.Hamad, Quantum isomonodromic deformations and the Knizhnik — Zamolodchikov equations, (1994), preprint CRM 2890, hep - th/9406078

[23] D.Korotkin and H.Nicolai, Separation of variables and Hamiltonian formulation for the Ernst equation, Phys.Rev.Lett. 74 (1995) p.1272 - 1275

[24] D.Korotkin and H.Nicolai, An integrable model of quantum gravity, Phys. Lett.B356 (1995) p.211 - 216

[25] D.Korotkin and H.Nicolai, Isomonodromic Quantization of Dimensionally Reduced Gravity, Nucl.Phys.B475 (1996) 397- 439

[26] Д.А.Короткин, Конечнозонные решения стационарного осесимметричного уравнения Эйнштейна, Теор. и Мат. Физика, 77 Но. 1 (1988) стр. 25-41

[27] Д.А.Короткин, В.Б.Матвеев, Алгеброгеометрические решения уравнений гравитации, Алгебра и Анализ т.1 Но.2 (1989) стр. 77-102

[28] G.Neugebauer, R.Meinel, General relativistic gravitational field of the rigidly rotating disk of dust : Solution in terms of ultraelliptic functions, Phys.Rev. Lett. 75 (1995) 3046- 3048

[29] G.Neugebauer, R.Meinel, Solutions to Einstein's field equation related to Ja-cobi inversion problem, Phys.Lett A210 (1996) 160

[30] D.Korotkin, V.Matveev, On theta - functional solutions of Schlesinger system and Ernst equation, Preprint AEI - 087, Potsdam (July, 1998)

[31] A.V.Kitaev, D.A.Korotkin, On solutions of Schlesinger equations in terms of theta—functions, Preprint AEI-051, Potsdam (February, 1998); International Mathematics Research Notices (1998), to be published

[32] P.Deift, A.Its, A.Kapaev, X.Zhou, On the algebro — geometric integration of the Schlesinger equations and on elliptic solutions of the Painleve equation, Preprint IUPUI 98 - 2, January, 1998

[33] D.Korotkin, Some remarks on finite—gap solutions of the Ernst equation, Phys. Lett.A 229 (1997) 195 - 199

[34] К.Tod, Self — dual Einstein metrics from the Painleve 6 equation, Phys.Lett. A 190 (1994) 221 - 224

[35] R.Maszczyk, L.Mason, N.Woodhouse, Self—dual Bianchi metrics and the Painleve transcendents, Classical Quantum Gravity 11 (1994) 65 — 71

[36] N.Hitchin, Twistor Spaces, Einstein metrics and isomonodromic deformations, J. of Differential Geometry, 42 No.l (1995) p.30 - 112

[37] M.Babich, D.Korotkin, Self - dual SU(2) invariant Einstein metrics in terms of theta - constants, Preprint AEI - 088, Potsdam, (July, 1998)

[38] Yu.I.Manin, Sixth Painleve equation, Universal Elliptic Curve, and mirror of P2, preprint MPI 96 - 114, Bonn, 1996 (alg - geom/9605010)

[39] D.Korotkin and H.Samtleben, Poisson realization and quantization of the Geroch group, Classical Quantum Gravity 14 (1997) L151 - L156

[40] D.Korotkin and H.Samtleben, Quantization of coset space sigma models coupled to two — dimensional gravity, Commun.Math.Phys. 190 (1997) 411 — 457

[41] P. Breitenlohner and D. Maison, On the Geroch group, Ann.Inst. H.Poincare :

Phys. Theor. 46 (1987) 215.

[42] H. Nicolai, Two — dimensional gravities and supergravities as integrable systems, in : Recent Aspects of Quantum Fields, eds. H. Mitter and H. Gaus-terer, (Springer — Verlag, Berlin, 1991).

[43] M. Luscher and K. Pohlmeyer, Scattering of massless lumps and nonlocal charges in the two — dimensional classical nonlinear a — model, Nucl.Phys.B 137 (1978) 46

[44] L. Faddeev and N. Reshetikhin, Integrability of the principal chiral field model in 1 +1 dimension, Ann. Physics, 167 (1985) 227.

[45] Л.Д.Фаддеев и Л.А.Тахтаджан, Гамильтоновые Методы в Теории Солитонов, Москва, Наука (1987)

[46] H. de Vega, H. Eichenherr and J. Maillet, Classical and quantum algebras of non — local charges in и — models, Commun.Math.Phys. 92 (1984) 507

[47] A.Einstein and N.Rosen, J.Franklin Inst. 223 (1937) 43

[48] I. Hauser and F. Ernst, A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley — Chitre transformations, J.Math.Phys. 21 (1980) 1126

[49] Y.S.Wu and M.L.Ge, A simplified derivation of the Geroch group in two —dimensional reduced gravity, J.Math.Phys. 24 (1983) 1187

[50] L.L.Chau and M.L.Ge, Kac —Moody algebra from infinitesimal Riemann - Hilbert transform, J.Math.Phys. 30 (1988) 166

[51] В. Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Вакстера, ДАН СССР 32 (1985) 254

[52] P.Kulish and E.Sklyanin, Quantum spectral transform method. Recent developments, vol.151 of Lecture Notes in Physics, p.61 — 119, Springer, Berlin, 1982

[53] N.Reshetikhin and M.Semenov — Tian — Shansky, Central extensions of quantum current groups, Lett.Math.Phys. 19 (1990) 133

[54] S.Khoroshkin, Central extension of the Yangian double, preprint q — alg/9602 031 (1996)

[55] K. Iohara and M. Kohno, A central extension of T>Yfr(%[2) an-d its vertex representations, Lett.Math.Phys. 37 (1996) 319

[56] G. Olshanskii, Twisted Yangians and infinite - dimensional classical Lie algebras, in : Quantum Groups, eds. P. Kulish, Lecture Notes in Math. 1510, p.103 - 120, Springer, Berlin 1992

[57] A.Yu.Alekseev and A.Z.Malkin, Symplectic structure of the moduli space of fiat connection on a Riemann surface, Commun.Math.Phys., 169 (1995) 99 — 120

[58] V.V.Fock and A.A.Rosly, Poisson structures on moduli of flat connections on Riemann surfaces and r - matrices, preprint ITEP 72 - 92 (1992)

[59] John D. Fay, Theta - functions on Riemann surfaces, Lect.NotesMath. v.352, Springer 1973.

[60] Д. Мамфорд, Лекции о Тэта-функциях, Москва, Мир (1988)

[61] J.Thomae, Beitrag zur Bestimmung von 6(0) durch die Klassenmoduln algebraisher Functionen, Crelle's Journ. 71 (1870) 201

[62] K.Okamoto, Studies on the Painleve Equations. I. Sixth Painleve Equation P6, Annali Mat. Pura Appl., 146 (1987) 337 - 381

[63] D.Korotkin, Elliptic solutions of stationary axisymmetric Einstein equation, Class. Quantum Gravity, 10 (1993) 2587 - 2613

[64] C.Klein, O.Richter, Explicit solution of Riemann — Hilbert problem for the Ernst equation, Phys.Rev.D 57 (1998) 857- 862

[65] C.Klein, O.Richter, The Ernst equation and the Riemann - Hilbert problem on hyperelliptic Riemann surfaces, J. of Geometry and Physics, 24 (1997) 53-60

[66] L.Bianchi, Lezioni di geometria differenziale. Piza, 1909.

[67] Д.Короткин, К некоторым интегрируемым случаям в теории поверхностей, Записки Научных Семинаров ПОМИ, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. 15 (1996) 65-125

Pue, U

S 5 «

Pue. 3

D. . i,