Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Орлов, Юрий Николаевич

• Орлов, Юрий Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Орлов, Юрий Николаевич

Предисловие

Введение

Глава I. Проблемы построения статистической механики для систем с непустым сингулярным множеством

§1.1. Уравнение Лиувилля в статистической механике

§1.2. Особые точки преобразования Лежандра

§ 1.3. Преобразование Лежандра слаборелятивистских систем

§ 1.4. Равновесные распределения для систем с вырождающейся массой

§1.5. Лагранжианы, зависящие от высших производных

Глава II. Функциональная гипотеза Боголюбова в слаборелятивистском случае

§2.1. Функциональная гипотеза

§2.2. Уравнения эволюции средних величин

§2.3. Локально-равновесные распределения для слаборелятивистских систем

§2.4. Уравнения гидродинамики первого приближения

§2.5. Вырождение гидродинамических связей

§2.6. Уравнения гидродинамики второго приближения

§2.7. Слаборелятивистское уравнение Власова

§2.8. Слаборелятивистское уравнение Больцмана

Глава III. Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения

§3.1. Линейное квантование динамических систем

§3.2. Квантовая цепочка ББГКИ

§3.3. Квантование вблизи сингулярного множества

§3.4. Функция Вигнера и правило квантования

§3.5. Особые свойства квантования Вейля

Глава IV. Метод линейных инвариантов в задаче спектрального анализа полиномиальных квантовых гамильтонианов

§4.1. Законы сохранения для квантовых полиномиальных гамильтонианов

§4.2. Асимптотика спектра при больших числах заполнения

§4.3. Специальные полиномы в задачах квантовой оптики

§4.4. Представления неклассических коммутационных соотношений

§4.5. Соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством»

Диссертация «Классическая и квантовая статистическая механика систем с непустым сингулярным множеством» состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 156 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Подпункты параграфов имеют тройную нумерацию, первым идет номер главы. Формулы внутри каждого параграфа имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Начало и окончание формулировок важных определений и теорем отмечаются соответственно знаками Т и ▲.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Орлов, Юрий Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены проблемы построения классической и квантовой статистической механики для систем с локальным вырождением в фазовом пространстве, а также исследованы спектральные свойства квантовых гамильтонианов полиномиального типа, использующихся в различных моделях квантовой оптики. Проведенное исследование показало, что традиционная схема построения статистической механики для таких систем нуждается в некоторой коррекции принятого формализма. Предложенное в работе обобщение позволило рассмотреть такое важное с точки зрения практики приложение, как случай слабого релятивизма для систем с бинарным взаимодействием. Поскольку связи, накладываемые на слаборелятивистскую систему в точках вырождения, локальны, то квантование такой системы также может проводиться в рамках традиционного формализма, если доопределить в этих точках первые интегралы системы по непрерывности. Класс слаборелятивистских систем интересен тем, что он позволяет исследовать вопрос о правиле квантования (т.е. об упорядочении некоммутирующих операторов в произведении) именно там, где оно существенно уже на стадии решения уравнения Шредингера, а не только при построении статистических операторов системы. Взаимовлияние этих двух аспектов квантования в полной мере проявилось при выводе уравнения эволюции функции Вигнера для достаточно общего класса линейных квантований. Это - методологический аспект диссертации.

Другим направлением исследования явились полиномиальные квантовые гамильтонианы. Для них автором был предложен алгоритм построения пространства линейных (по операторам числа частиц) законов сохранения, что позволило значительно упростить исследование спектральных свойств таких операторов. Сопоставление квантовых гамильтонианов и кинетических уравнений, обладающих в некотором смысле одинаковыми законами сохранения, привело к классификации уравнений типа химической кинетики, для которых справедлива Я - теорема, а также к построению соответствующих дискретных моделей с правильным числом инвариантов. Эти результаты имеют большое прикладное значение, т.к. гарантируют получение при численном расчете тех же макроскопических свойств, которыми обладает и исходное «точное» кинетическое уравнение.

Ниже приводятся основные результаты, полученные в диссертации. 1. Построена классификация сингулярных множеств для слаборелятивистских систем с бинарным взаимодействием. Показано, что в случае движения слаборелятивистской частицы во внешнем поле это множество представляется в виде прямой суммы двух множеств: сингулярного множества первого типа, отвечающего разрыву компоненты ускорения, направленной вдоль движения, и сингулярного множества второго типа, отвечающего разрыву нормальной компоненты ускорения. На основе этой классификации определяются области фазового пространства, доступные для движения системы.

2. Доказана теорема о нульмерности сингулярного множества постньютоновых систем, что позволяет на основе классификации этого множества перейти в регулярных областях фазового пространства к гамильтонову описанию. В этих областях проведено преобразование Лежандра и построены соответствующие гамильтонианы слаборелятивистских систем.

3. Проведено исследование движения, порождаемого лагранжианами, зависящими от высших производных. Для двух классов таких лагранжианов (модели с ограниченными ускорениями и полиномиальной модели) построены точные решения уравнений движения, а для квадратичных лагранжианов выделен класс сингулярных решений на сфере произвольной размерности и построены все билинейные инварианты движения. Получено также решение задачи Кеплера в слаборелятивистском случае с учетом ускорений в квадратичной модели. Показано, что влияние ускорения в регулярных финитных решениях сводится к поправкам для параметров прецессирующей эллиптической орбиты и к появлению ангармонических колебаний удвоенной и учетверенной классической частоты.

4. Получены уравнения цепочки ББГКИ для случая многочастичного взаимодействия, зависящего от координат и импульсов тождественных частиц. Выведено уравнение для первой неравновесной поправки к бинарной локально-равновесной функции распределения и получены некоторые его частные решения.

5. Проведена классификация сингулярного множества динамической системы на гидродинамическом уровне. Показано, что система как целое обладает тремя типами особых состояний, в окрестности которых нельзя использовать гипотезу о регулярности функций распределения по малому параметру макроскопической неоднородности. Для слаборелятивистских систем в регулярных областях фазового пространства получены локально-равновесные функции распределения как решения соответствующей стационарной цепочки Боголюбова. Предложен метод, позволяющий найти слаборелятивистские поправки к коэффициентам переноса, если известны соответствующие классические величины.

6. Выводятся слаборелятивистские уравнения Власова и Больцмана, на основе которых также может быть построена соответствующая гидродинамика. Получено точное решение линеаризованного слаборелятивистского уравнения Власова, описывающего поведение системы на малых временах по сравнению с временем гидродинамической релаксации. Запаздывание взаимодействия в этом приближении приводит к тому, что дисперсионное уравнение, определяющее частоты собственных колебаний системы, из алгебраического становится интегральным уравнением Фредгольма с вырожденным ядром. Найденное решение применяется затем к нахождению поправок для слаборелятивистского электронного газа и для системы тяготеющих масс.

7. Для произвольного линейного квантования из рассматриваемого класса квантований выведено уравнение эволюции квазивероятности для слаборелятивистских систем. Показано, что среди линейных эрмитовых квантований гамильтониана только для квантования Вейля выполняются следующие свойства: а) существует взаимно-однозначное соответствие между матрицей плотности системы и квазивероятностью; б) существует стационарное решение для квазивероятности в первом приближении по теории возмущений; в) существует равновесное распределение для квантового гармонического осциллятора. Эти результаты могут служить косвенным аргументом в пользу физической реализуемости именно этого квантования. Также выведено уравнение эволюции маргинального распределения и показано, что это распределение сохраняет свою неотрицательность только для квантования Вейля.

8. Проведено исследование спектра гамильтонианов полиномиального типа, которые применяются в квантовой оптике для моделирования взаимодействия излучения с веществом. Дана классификация таких гамильтонианов по числу законов сохранения, линейных по операторам числа квазичастиц. Построена эффективная процедура нахождения всех линейных инвариантов и получены достаточные условия полной интегрируемости. Как следствие, аналогичная классификация имеет место и для соответствующих классических систем.

9. В случае полностью интегрируемых квантовых систем указанного выше класса исследована асимптотика спектра гамильтониана при больших числах заполнения. Свойство полной интегрируемости является важным, т.к. оно позволяет изучать неограниченный, в принципе, оператор Гамильтона на одномерном конечном инвариантном подпространстве. Предложен метод нахождения главной асимптотики спектра на основе теоремы о спектральном радиусе ограниченных операторов. Получено аналитическое представление асимптотической функции распределения собственных значений гамильтониана.

10. Построены собственные функции полиномиальных квантовых гамильтонианов в случае их полной интегрируемости. Показано, что собственные функции образуют систему ортогональных неклассических специальных полиномов, для которых получены рекуррентные соотношения. Для исследования асимптотики собственных функций проводится процедура нормировки собственных значений гамильтониана, зависящая от порядка полинома. Интервал ортогональности системы собственных функций есть спектральный радиус оператора Гамильтона, а весовой функцией системы является асимптотическая функция распределения его собственных значений.

11. Построено представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. Показано, что для произвольного квазибозонного правила коммутации существует взаимно-однозначное преобразование матричных элементов нормально упорядоченных операторов в пространстве Фока в комплекснозначные аналитические функции. Введено понятие обобщенно-переполненной системы векторов, порожденной заданным коммутационным соотношением канонически сопряженных операторов, и получены формулы действия операторов в этом базисе. С помощью обобщенных когерентных состояний получено обобщение комплексной 8 -функции как контравараиантного символа единичного оператора. Показано, что обобщенные когерентные состояния, как и традиционные когерентные состояния системы бозонов, обладают свойством минимальной неопределенности.

12. Показано, что кинетические уравнения типа химической кинетики можно классифицировать по линейным (в терминах функций распределения) законам сохранения аналогично тому, как это сделано для квантовых гамильтонианов. Это обобщение выделяет класс уравнений химической кинетики, для которых справедлива Н - теорема, и устанавливает соответствие «квантовые гамильтонианы - кинетические уравнения».

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику B.C. Владимирову, на чьих семинарах автор имел возможность неоднократно выступать с докладами и обсуждать полученные результаты, а также академику A.M. Тер-Крикорову и члену-корреспонденту РАН Г.Н. Яковлеву, предоставивших автору возможность выступать на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ. Автор благодарит профессоров А.В. Бобылева, Ю.Е. Лозовика и М.В. Масленникова за внимание к работе и многочисленные плодотворные дискуссии, а также своих коллег-соавторов проф. В.В. Веденяпина, проф. И.П. Павлоцкого и к.ф.-м.н. В.М. Суслина, без участия которых работа не могла бы состояться. Большую благодарность автор выражает также всем студентам и аспирантам МФТИ, общение с которыми во время чтения лекций по соответствующему спецкурсу несомненно способствовало улучшению качества изложения результатов. Часть результатов диссертации была получена в рамках гранта РФФИ № 01-01-00407, финансовая поддержка которого обеспечила необходимый технический уровень исследований.

192

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Орлов, Юрий Николаевич, 2006 год

1. Амбарцумян В.А. К вопросу о динамике открытых звездных скоплений. Избранные труды. Ереван, 1960.

2. Amossov S.A. Discrete kinetic models of relativistic Boltzmann equation for mixtures. // Physica A. 2001. V.301. P. 330-340.

3. Аптекарев А.И. Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности концов интервала ортогональности. // Мат. сборник. 1992. Т. 183. №5.

4. Аптекарев А.И., Буяров В.В. и др. Асимптотика энтропийных интегралов для ортогональных многочленов.//Доклады РАН. 1996. Т.346. №4.

5. Arefieva I. Y., Parthasarathy R., Viswanathan К. S., Volovich I. V. Coherent states, dynamics and semiclassical limit on quantum groups. / SFU-HEP 108-93.

6. Arzelies H. Fluides relativistes. Paris, 1971.

7. Arzelies H. Nouvelles bases pour la thermodinamique relativiste. // Nucleus. 1965. V. 6. No. 4. P. 250.

8. Базаров И.П., Николаев П.Н. Теория систем многих частиц. М.: Изд-во МГУ, 1984.

9. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1967.

10. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978.

11. Balescu R. Relativistic statistical thermodynamics. // Physica. 1968. V.40. No. 3. P. 309.

12. H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions. N.-Y., Toronto, London McGraw-Hill Book Company, Inc. 1953.

13. Беляев C.T., Будкер Г.И. Релятивистское кинетическое уравнение. // ДАН СССР. 1956. Т. 107. С. 807.

14. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986.

15. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. М.: Наука, 1968.

16. Блажиевский Л.Ф. Интегралы по путям в конфигурационном пространстве слаборелятивиской теории многих тел. // ТМФ. 1986. Т.66. №3. С. 409-421.

17. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.

18. Боголюбов Н.Н. Уравнения гидродинамики в статистической механике. Сб. трудов Института математики АН УССР. 1948. Т. 10. № 41.

19. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. М.: Наука, 1984.

20. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990.

21. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998.

22. Вайслеб Э.Е., Самойленко Ю.С. Представление операторных соотношений неограниченными операторами и многомерные динамические системы. // Украинский математический журнал. 1990. Т.42. №8. С.1011 1019.

23. Вайслеб. Э.Е. Представление соотношений, связывающих набор коммутирующих самосопряженных операторов с одним несамосопряженным. // Украинский математический журнал. 1990. Т.42. № 9. С.1258 1262.

24. Vaisleb Е.Е., Samoilenko Yu.S. Representation of the relations AU=UF(A) by Unbounded Self-adjoint and Unitary Operators. // Selecta Mathematica Formaly Sovietica. 1994. V.13. No.l. P.35 54.

25. Vedenyapin V.V. Velocity Inductive Construction for Mixtures. // Transport Theory and Statistical Physics. 1999. V.28. No.7. C.727-742.

26. Веденяпин B.B., Амосов C.A. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. №7. С.925 929.

27. Веденяпин В.В., Мингалев О.В. Представления общих соотношений коммутации. Асимптотика спектра трех квантовых гамильтонианов. // Доклады РАН. 1997. Т.352. №2. С. 155158.

28. Веденяпин В.В., Мингалев И.В., Мингалев О.В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана. // Математический сборник. 1993. Т.184. №11. С.21 38.

29. Веденяпин В.В., Мингалев О.В., Мингалев И.В. Представления общих соотношений коммутации. // ТМФ. 1997. Т.113. №3. С.369 383.

30. Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантовых гамильтонианов. // Доклады РАН. 1996. Т.351. №4. С.444-447.

31. Веденяпин В.В., Орлов Ю.Н. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана. // ТМФ. 1999. Т.121. №2. С.307 315.

32. Westera К., Cowley E.R. Self-cluster expansion for an anharmonic solid. // Phys.Rev. 1975. B11. №10. P. 4008-4016.

33. Власов A.A. Статистические функции распределения. M.: Наука, 1966.

34. Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978.

35. Wigner Е.Р. Phys.Rev. 1932. V.40. Р.749.

36. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975.

37. Гайда Р.П. Квазирелятивистские системы взаимодействующих частиц. ЭЧАЯ. 1982. Т. 13. №2.

38. Гайда Р.П., Ключковский Ю.Б., Третяк В.И. Формы релятивистской динамики в классическом лагранжевом описании системы частиц. // ТМФ. 1983. Т.55. №1. С.88.

39. Gaida R.P., Tretyak V.I. Single-time form of Fokker-Plank relativistic dynamics. // Acta Phisica Polonica. V.B11.P.509.

40. Gallavotti G., Lanford O.E., Lebovitz J. L. Thermodynamic Limit of Time-Dependent Correlation Functions for One-Dimensional Systems. // JMP. 1970. V. 11. No9. P.2898-2905.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M.: Наука, 1966.

42. Glauber R.J. Physics of Quantum Electronics, eds. P.L. Kelley, B. Lax, P.E. Tannenvald. N.-Y.: McGraw-Hill, 1966.

43. Glauber R.J. Quantum Optics, ed. R.J. Glauber. N.-Y.: Academic Press, 1969.

44. Greenberg P.J. The Post-Newtonian equations of hydrodynamics for a thermally conducting viscous compressible fluids in general relativity. // Astrophys.J. 1971. V.164. No. 3. P. 569.

45. Гриффите Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986.

46. Де Грот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982.

47. Де Гроот С.Р., ван Леувен В., ван Верт X. Релятивистская кинетическая теория. М.: Мир, 1983.

48. Darwin C.G. Phil. Mag. 1920. V.39. Р.357.

49. Диковский M.B., Орлов Ю.Н. Асимптотика спектра квантового ангармонического осциллятора. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1995. №46.

50. Доброхотов С.Ю., Шафаревич А.И. Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем. Сб. / Топологические методы в теории гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1998.

51. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. // Phys. Lett. 1965. V.16. P. 124.

52. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.

53. Yvon J. La Therie Statistique des Fluides et l'Equation d'Etat. Act. scient. et. ind., No. 203. Hermann, Paris, 1935.

54. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. Эволюция функциональной гипотезы. // ЭЧАЯ. 1987. Т. 18. №4.

55. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. Нелокальные гидродинамические уравнения и преобразование ББГКИ-иерархии для твердых сфер. // ТМФ. 1999. Т. 120. №3. С. 394-399.

56. Caianiello E.R., Feoli A., Gasperini М. and Scarpetta G. Quantum Corrections to the Spacetime Metric from Geometric Phase Space quantization. // Int. J. of Theoretical Physics. 1990. V.29. No.2. P. 131-139.

57. Caianiello E.R., Gasperini M. and Scarpetta G. Phenomenological Concequence of a Geometric Model with Limited Proper Acceleration. // IL Nuovo Cimento. 1990. V. 105 B. No.3. P.259-278.

58. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

59. Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование. //УМН. 1984. Т. 39. №6. С. 115-173.

60. Kennedy F.J. Approximately Relativistic Interactions. // AJP. 1972. V.40. P.63-74.

61. Kirkwood J.G., Maun E. K., Alder B.J. Radial Distribution Functions and the Equation of States of a Composed of Rigid Spherical Molecules. // J. Chem. Phys. 1950. V.18. No. 8. P. 1040-1047.

62. Климонтович Ю.Л. Кинетические уравнения для релятивистской плазмы. // ЖЭТФ. 1959. Т.37. С. 735.

63. Cohen Е. Fundamental Problems in Statistical Mechanics. North Holland, Amsterdam, 1966.

64. Козлов B.B. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.

65. Колесников Е.К., Мануйлов А.С., Филиппов Б.В. Динамика пучков заряженных частиц в газоплазменных средах. Издательство СПбГУ, 2002.

66. Cornille Н., Cercignani С. A class of planar discrete velocity models for gas mixtures. // J. Stat. Phys. 2000. V.99. Nos 3/4. P.967-991.

67. Krizant J.E. and Havas P. Relativistic Corrections in the Statistical Mechanics of Interacting Particles. // Phys. Rev. 1962. V.128. No.6. P.2916-2924.

68. Currie D.G., Jordan T.F., Sudarschan E.C. Relativistic Invariance and Hamiltonian Theories of Interacting Particles. // Rev. Mod. Phys. 1963. V.35. P.350.

69. Лавенда Б. Статистическая физика. М.: Мир, 1999.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.Н. Теория поля. М.: Наука, 1973.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, T.III. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, T.V. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.Х: Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

75. Lapiedra R., Santos Е. Classical relativistic statistical mechanics: the case of a hot delute plasma. // Phys. Rev. D. 1981. V.23. No. 10. P.2181.

76. Lichnerowicz A., Marrot R. Compt. Rend., 1940, V.210. P. 759.

77. Лозовик Ю.Е., Никитков M.B. // ЖЭТФ. 1999. №10. С. 1440.

78. Yu.E. Losovik, A.V. Filinov. Tunneling times of wave packets: the method of quantum trajectories in the Wigner representation. / Workshop Kadanoff-Baym Equations. Rostock, October 20- 24,1999.

79. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Different realizations of the tomographic principle in quantum state measurement. // J. of Modern Optics. 1997. V.44. Nos. 11-12. P.2281-2292.

80. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Classical-Like Description of Quantum Dynamics by Means of Symplectic Tomography. // Found, of Phys. 1997. V. 27. No.6. P. 801-824.

81. Манько В.И. Когерентные состояния в квантовой теории. М.: Мир, 1972.

82. Манько В.И., Сафонов С.С. Затухающий квантовый осциллятор и классическое представление квантовой механики. // ТМФ. 1997. Т. 112. №3. С. 467-478.

83. Маслов В.П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование. М.: Институт компьютерных исследований, 2001.

84. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и в квантовой теории поля. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

85. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978.

86. Mingalev O.V., Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Conservation laws for polynomial quantum Hamiltonians. // Phys. Lett. A. 1996. V.223. P. 246 250.

87. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

88. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Связь между слаборелятивистскими уравнениями Вигнера и Власова при различных квантованиях //ДАН СССР. 1988. Т.298. № 4. С. 837-840.

89. Orlov Yu. N., Pavlotsky I.P. BBGKY Hierarchies and Vlasov Equation in Postgalilean Approximation//Physica A. 1988. V. 151. P. 318-340.

90. Orlov Yu. N., Pavlotsky I.P. Quantum BBGKY Hierarchies and Wigner Equation in Postgalilean Approximation // Physica A. 1989. V. 158. P. 607-618.

91. Орлов Ю.Н. Метод кольцевых диаграмм в теории слаборелятивистской равновесной плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М.,1988. №179.

92. Орлов Ю.Н. Вывод уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. М.,1989. №36.

93. Орлов Ю.Н. Уравнения гидродинамики в постгалилеевом приближении. Препринт ИПМ АН СССР. М., 1989. №89.

94. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Равновесные цепочки ББГКИ в постгалилеевом приближении. //ДАН СССР. 1989. Т.304. № 2. С. 329-332

95. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. Уравнения слаборелятивистской вязкой гидродинамики // Мат. Мод. 1989. Т. 1. № 12. С. 31-43.

96. Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. The Postgalilean Equations of Hydrodynamics with Viscosity // Physica A. 1990. V. 167. P. 903-918.

97. Orlov Yu.N., Pavlotsky I.P. Equilibrium Correlation Function in Postgalilean Approximation of a Scalar Field // Physica A. 1992. V. 184. P.558-570.

98. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П., Суслин В.М. Динамика систем с лагранжианами, зависящими от ускорения. Движение в электрических и магнитных полях. Препринт ИПМ РАН. М., 1994. №39.

99. Орлов Ю.Н. Уравнения гидродинамики слаборелятивистской плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1995, №73.

100. Orlov Yu.N., Vedenyapin V.V. Special polynomials in problems of quantum optics. // Modern Phys.Lett. B. 1995. V.9. № 5. P. 291 298.

101. Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П., Суслин В.М. Динамика систем с лагранжианами, зависящими от ускорения. Задача Кеплера. Препринт ИПМ РАН. М., 1995. №43.

102. Орлов Ю.Н. Представление когерентных состояний для неклассических коммутационных соотношений. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1998. №64.

103. Орлов Ю.Н., Суслин В.М. Траектории на сфере, порождаемые лагранжианами с высшими производными. //Дифференциальные уравнения, 1999. Т.35. №12. С. 1624-1629.

104. Орлов Ю.Н. Линейное квантование динамических систем и квантовые кинетические уравнения: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 1999. №14.

105. Орлов Ю.Н. О линейном квантовании интегрируемых динамических систем. Сб. / Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М., 1999, С. 140-151.

106. Орлов Ю.Н. К выводу уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. // ТМФ. 2003. Т. 134. № 3. С. 501-512.

107. Ott Н. Lorentz-Transformation dr Warme und Temperatur. // Z.Physic. 1963. Bd.175. Num.1. S.70.

108. Павлоцкий И.П. Запаздывание взаимодействия в слаборелятивистской гидродинамике. // ДАН СССР. 1983. Т.269. №3. С.583-587.

109. Павлоцкий И.П. Введение в слаборелятивистскую статистическую механику. М.: Наука, 1987.

110. Pavlotsky I.P., Strianese М., Toscano R. Prolongation of the integral curve on the singular set via the first integral. // J. of Interdisciplinary Math. 1999. V.2. Nos.2-3. P.101-119.

111. Pavlotsky I.P., Vilasi G. Some peculiar properties of the relativistic oscillator in the post-Galilean approximation. // Physica A. 1995. V. 214. P. 68-81.

112. Parthasarathy R., Sridhar R. A Diagonal Representation of Quantum Density Matrix Using q-Boson Oscillator Coherent States. //J. Phys.A: Math. Gen. 1991. V.24. P.613-617.

113. Perelomov A.M. Generalized Coherent States and their Applications. Springer-Verlag, 1986.

114. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений. М.: Мир, 1987.

115. Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. М.: Мир, 1986.

116. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1983.

117. Radon J. Zum Problem von Lagrange. Hamburger Math. Einz. Teubner, Leipzig, 1928.

118. Rice S., Gray P. Statistical Mechanics of Simple Liquids. Willey-Interscience, N.-Y., 1965.

119. Resibois P. Electrolyte Theoiy. Harper&Row, N.-Y., 1968.

120. Рыков В.А. Макроскопические законы сохранения в кинетической теории. // ЖВМ и МФ. 1985. Т.25. № 12. С. 1902-1906.

121. Szego G. Orthogonal polynomials. N.-Y: The American Mathematical Society, 1959.

122. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971.

123. Славянов С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. JI.: Издательство Ленинградского университета, 1990.

124. Streater R. Statistical Dynamics. London: Imperial College Press, 1995.

125. Stoler D. //Phys. Rev. Dl. 1970. P.3217.

126. Sewell G.L. Quantum Theory of Collective Phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1986.

127. Татарский В.И. //ЖЭТФ. 1971. T.61. С. 1822.

128. Татарский В.И. //ЖЭТФ. 1983. Т.84. С.526.

129. Трубников Б.А., Косачев В.В. Термодинамика слаборелятивистской плазмы. // ЖЭТФ. 1968. Т.54. №3. С.939.

130. Трубников Б.А., Косачев В.В. Релятивистское обобщение лагранжиана Дарвина. //ЖЭТФ. 1974. Т.66. №4. С. 1311-1315.

131. Trubnikov В.A., Kosachev V.V. Generalization of the methods of Bogolubov and Mayer for the case of Darwin's Lagrangian with velocity dependent pair interaction. //Nuclear Fusion Letters. 1974. V.14. P.435.

132. Walker A.G. Proc. Edinburgh Math. Soc., 1934. V.2. P. 238.

133. Фейнман P. Статистическая механика. M.: Мир, 1978.

134. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.

135. Feoli A. String dynamics in Rindler space in a model with maximal acceleration. // Nuclear Physics B. 1993. V. 396. P. 261-269.

136. Фихтенгольц И.Г. Лагранжева форма уравнений движения во втором приближении теории тяготения Эйнштейна. //ЖЭТФ. 1950. Т. 20. С.233.

137. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ГИФМЛ, 1961.

138. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

139. Haar Тег D. Wergeland Н. Thermodynamics and Statistical Mechanics in Special Theoiy of Relativity. // Phys. Reports A, 1971. V. 1С, No 2.

140. Hall L. A theoiy of exact and approximate configuration invariant. // Physica D. 1983. V. 8. P. 90.

141. Холево A.C. Вероятностные аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1986.

142. Chandrasekhar S. Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. // Phys. Rev. 1965. V.14. P.241.

143. Celeghini E., Rasetti M., Tarlini M. and Vitiello G. SU(1,1) Squeezed States as Damped Oscillators. // Mod. Phys. Lett. B. 1989. V.3. No. 16. P. 1213-1220.

144. Chapman S., Cowling T. G. The Mathematical Theory of Non-uniform gases. Cambridge, 1939.

145. Черников H.A. Релятивистский интеграл столкновений. //ДАН СССР. 1956. Т. 107. С.807.

146. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.

147. Cercignani С., Bobylev A.V. Discrete velocity models: the case of mixtures. // Transport Theory and Statistical Physics. 2000. V.29. Nos 1/2. P.209 216.

148. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980.

149. Eckart С. // Phys.Rev. 1940. V. 58. Р.919.

150. Эмх Ж. Алгебраические методы в квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

151. Juttner F. Das Maxwellische Gezetz der Geschwindigkeitsverteilung und der Relativ Theorie. // Ann. Der Phys. 1911. Bd.34. S.856.

152. Juttner F. //Ann. Phys. Chem. 1911. V.34. P. 856.

153. Juttner F. // Zs. Phys. 1928. Bd. 47. S. 542.

154. Яремко Ю.Г. Релятивистская лагранжева динамика системы N частиц в терминах переменных центра масс. Препринт ИППМиМ АН Укр. ССР. 1988. №14.

155. Ярунин B.C. Низкотемпературная квазиклассика для квантовых макроскопических эффектов. //ТМФ. 1999. Т.119. №2. С. 308-331.