Кинетический подход к рассмотрению процессов ионизации, рекомбинации и поляризуемости в статистической модели атома тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кравец, Екатерина Михайловна

• Кравец, Екатерина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кравец, Екатерина Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ФОТОПОГЛОЩЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АТОМА. МОДЕЛЬ НЕЗАВИСИМЫХ ЭЛЕКТРОНОВ И ВЛИЯНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ.

1.1. Сечение фотопоглощения атома Томаса-Ферми без учета поляризации.

1.1.1. Общие формулы.

1.1.2. Правило сумм.

1.1.3. Излучение электрона при финитном движении в центральном поле.

1.1.4. Распределение сил осцилляторов нейтрального атома Томаса-Ферми.

1.1.5. Метод численного расчета.

1.1.6. Результаты численного расчета.

1.1.7. Высокочастотный предел распределения сил осцилляторов.

1.1.8. Низкочастотный предел распределения сил осцилляторов в отсутствие поляризации.

1.2. Сечение фотопоглощения атома Томаса-Ферми с учетом поляризации.

1.2.1. Основные уравнения.

1.2.2. Метод численного расчета. а) Рождение частиц. б) Движение частиц и решение уравнения Пуассона. в) Электрическое поле падающей волны.

1.2.3. Результаты численного расчета.

1.2.4. Низкочастотный предел распределения сил осцилляторов с учетом поляризации. а) Упрощения в низкочастотном пределе. б) Метод численного расчета. в) Результаты числениого расчета.

1.3. Обсуждение результатов и их практическое использование.

1.3.1. Обсуждение результатов расчетов сечения фотопоглощения.

1.3.2. Применение распределения сил осцилляторов в нейтральном атоме для определения излучательных свойств плотного вещества.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетический подход к рассмотрению процессов ионизации, рекомбинации и поляризуемости в статистической модели атома»

Решение многих квантовомеханических задач для многоэлектронных атомов, таких как получение сечений их взаимодействия с фотонами и электронами, сопряжено со значительными трудностями, поскольку для получения точного результата необходимо решать проблему многих тел. Поэтому обычно для решения этих задач используются различные упрощения и приближения, которые зачастую не имеют последовательного теоретического обоснования, и применение которых не основано на использовании тех или иных малых параметров, а мотивируется либо необходимостью упростить вычисления, либо использовать разумные или полуэмпирические интерполяции с правильными предельными зависимостями. В то же время для атомов и ионов с большим числом электронов N » 1 можно попробовать применить статистическую модель атома и использовать для описания кинетики имеющийся в ней малый параметр - обратную величину характерного квантового числа п, поскольку для многоэлектронных атомов характерные квантовые числа п ~ N1'3 также велики. При этом движение электронов можно описывать квазиклассически, а для описания совокупности электронов в ионе использовать модель электронного газа. Конечно, точность расчетов в рамках этого подхода не является очень высокой и даже для самых тяжелых атомов с N ~ 90 может быть не лучшей, чем 20 % (фактически, как показывают расчеты, она оказывается еще более низкой), однако для многих задач такая точность оказывается достаточной, и к тому же этот подход позволяет определять общие зависимости и примерные величины, что особенно важно для тех явлений, для которых в настоящее время нет более точных моделей.

Такой подход развивается в настоящей диссертации на примере двух задач: 1) расчете сечений фотопоглощения многоэлектронных атомов и 2) расчетах свойств малоплотной корональной плазмы, включая скорости ионизации и рекомбинации, определение равновесного состояния корональной плазмы и ее излучения. В дальнейшем этот подход может быть применен и к другим кинетическим задачам для многоэлектронных систем, включая кинетику неравновесной плазмы (когда могут быть существенны переходы между возбужденными состояниями ионов, вызванные столкновениями и излучением), кинетику кластерной плазмы и многие другие явления. Естественным обобщением задачи о расчете сечений фотопоглощения многоэлектронных атомов является ее распространение на многоэлектронные ионы, что необходимо для определения радиационных свойств плазмы, состоящей из этих ионов, включая такие ее характеристики, как интенсивность излучения в равновесном и неравновесном случаях и росселандовы пробеги в условиях локального термодинамического равновесия.

Сечения фотопоглощения атомов в ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах являются одной из важнейших характеристик, определяющих процессы взаимодействия излучения с веществом, и необходимы для многих областей науки и техники, таких, как описание процессов в плазме со всеми ее приложениями, диагностика плазмы с помощью рентгеновского излучения, физика и техника получения и применения рентгеновского излучения.

Сразу же после создания статистической модели атома Томасом и Ферми [1, 2] возник вопрос об использовании этой модели для описания динамических свойств сложного многоэлектронного атома, в частности для описания его оптических характеристик. Упрощающим обстоятельством при этом являлось то, что, поскольку движение атомных электронов является нерелятивистским, для рассматриваемых характерных атомных частот длины волн электромагнитного излучения оказываются много большими, чем характерные размеры атома. Поэтому можно считать, что на атом действует переменное во времени электрическое поле, а отклик атома на воздействующее поле описывается только одной величиной - дипольной динамической поляризуемостью атома а(а)), действительная и мнимая часть которой связаны соотношением Крамерса-Кронига [3]. Таким образом, для нахождения реакции атома на поле произвольной электромагнитной волны достаточно определить всего одну действительную функцию частоты, например, мнимую часть поляризуемости.

Попытки решения задачи об использовании модели Томаса-Ферми для описания оптических характеристик многоэлектронного атома начались с работы Блоха [4], предложившего гидродинамический подход к описанию вырожденного электронного газа атома. Однако представление о вырожденном электронном газе атома как о среде, обладающей гидродинамическими характеристиками, такими как давление и скорость звука, и описание колебаний электронного газа с помощью этих характеристик являются чисто модельными и не имеют последовательного теоретического обоснования, кроме того, что они дают разумное поведение сечения фотопоглощения и удовлетворяют правилу сумм. Для применимости гидродинамического подхода требовалось бы, чтобы характерные расстояния, которые проходят электроны во время колебаний пространственного заряда (эффективный пробег), были малы по сравнению с характерными расстояниями (расстояние от ядра). Но область частот, в которую дают вклад электроны, находящиеся на некотором расстоянии г от ядра, как раз определяется соотношением 0)~v/r (v - скорость электронов), и, таким образом, их путь при движении с частотой со порядка характерного расстояния. Из-за неприменимости гидродинамического подхода к электронному газу, например, гидродинамическая скорость звука оказывается в л/з раз меньшей скорости нулевого звука в ферми-газе [5].

Тем не менее, основываясь на этом подходе, в работе [6], использующей дополнительные модельные представления о локальном отклике электронной плотности на действующее поле, и работе [7], последовательно для всего атома проводящей подход Блоха, проводились расчеты динамических свойств атома, которые в случае атома Томаса-Ферми представляются в универсальной автомодельной форме, пригодной для любых тяжелых атомов. Для предельных случаев частот, низких и высоких по сравнению с характерной 4 те частотой обращения большинства электронов в тяжелых атомах Z—— [8] (Z - атомный h номер), эти работы определяют правильные для томас-фермиевского атома степенные зависимости <т(<у = 0) = const, а (а) —»~ 1/аг, однако коэффициенты при этих зависимостях, вообще говоря, неправильны. К универсальной автомодельной форме зависимости от частоты и атомного номера приводит также плазменный подход к теории фотопоглощения и поляризуемости тяжелых атомов [9], в котором в электронный газ предполагается диэлектрической средой с локальной диэлектрической проницаемостью, определяемой плазменной формулой. Обзор поляризационных эффектов в атомных переходах представлен в работе [10], а обзор плазменных моделей атома - в работе [11].

Одновременно развивался подход, не учитывающий автомодельность характеристик тяжелых атомов и использующий статическое приближение, т. е. предполагающий, что потенциал, в котором движется каждый из электронов, является постоянным, и пренебрегающий экранировкой поля из-за динамической поляризации других электронов. Каждый из электронов описывался при этом своей волновой функцией, которая определялась с помощью численного решения уравнения Шредингера в потенциале Томаса-Ферми или Хартри-Фока-Слэтера (см., например, [12] и ссылки там). При этом для частот (О, меньших или порядка Z-^-, ошибка составляет величину порядка единицы, хотя в задаче h имеется малый параметр Z-1, используемый для приближения Томаса-Ферми или Хартри-Фока.

В работе [13] был предложен метод расчета сечения фотопоглощения на сложных атомах, основанный на решении кинетического уравнения методом частиц (прямой метод частиц, ПМЧ) с учетом поляризации. Используя последовательный, основанный на параметре малости Z-' квазиклассический подход, были найдены правильные низкочастотная и высокочастотная асимптотики сечения фотопоглощения атома Томаса-Ферми. В работе [14] развивался подход, представленный в [13], что позволило рассчитывать сечение фотопоглощения не только в низкочастотном пределе, но и во всем томас -фермиевском диапазоне частот.

Следует отметить, что в настоящее время для многих элементов имеются довольно точные экспериментальные и теоретические данные по сечениям фотопоглощения с учетом конкретных деталей электронной структуры этих элементов. Проведенный нами анализ позволяет универсальным образом описывать сечения для любых тяжелых элементов, хотя в конкретных случаях точность описания сечений может оказаться не очень высокой. Тем не менее, для понимания общих зависимостей и примерных величин сечений необходимо иметь общую основу описания сечений, опираясь на которую можно было бы изучать конкретные детали. Полученные результаты могут помочь в оценках сечений в тех диапазонах частот, где важную роль играют эффекты поляризации, поскольку в настоящее время не существует методов их учета в прямых квантовомеханических расчетах.

Наряду с расчетами сечения фотопоглощения, статистическое описание атомов может быть использовано при рассмотрении процессов столкновительных ионизации и рекомбинации и излучательных переходов для сложных атомов и ионов. Излучательные свойства атомов высокотемпературной малоплотной плазмы представляют большой интерес, как для термоядерного синтеза, так и для многих астрофизических задач. Линейчатое излучение примесей тяжелых элементов может приводить к значительному остыванию водородной плазмы в установках термоядерного синтеза (в частности в экспериментах МАГО, см., напр., [15]), поэтому необходимо знание интенсивностей его излучения. Кроме того, необходимо уметь рассчитывать излучаемые спектры, для того чтобы судить о свойствах плазмы по измерениям этих спектров.

Для заселенностей состояний ионов в малоплотной плазме несправедливо локальное термодинамическое равновесие, поэтому их состояние должно описываться кинетикой переходов электронов и их излучательными характеристиками. Низкоплотная плазма, не находящаяся во внешних потоках излучения и прозрачная к собственному излучению, обычно находится в состоянии «коронального равновесия», когда скорость электронной столкновительной ионизации уравновешивается скоростью рекомбинации, которая для частично ионизованных ионов является, в основном, диэлектронной. Обычные подходы к описанию излучательных свойств корональной плазмы (см., напр., [16-19] и литературу там) предполагают использование многочисленных квантовых состояний ионов и радиационных и столкновительных переходов между ними, описание которых для сложных атомов затруднено. В результате этого модели, описывающие корональное равновесие, сложны и ненадежны, так как нет уверенности, что в них учтены и правильно описаны все квантовые состояния ионов, а также переходы между ними. С другой стороны, возможен подход, основанный на функции распределения электронов, использующий статистическое описание 7 электронов в атомах и ионах. Для описания кинетики в этом подходе применяется малый параметр - обратная величина характерного квантового числа, а для описания электронов в ионе - модель электронного газа, основанная на этом параметре. В этом подходе точность может быть не очень велика из-за погрешностей статистической модели, но, так как количество рассматриваемых здесь процессов ограничено, этот подход является надежным, должен правильно описывать основные эффекты, и с его помощью можно получить результаты, имеющие правильное поведение и асимптотики.

Этот подход был предложен в работе [20], где с его помощью были получены скорости ионизации и рекомбинации и ионизационное равновесие в плазме с любыми многозарядными ионами при условии Z»N>> 1. В работе [21] на основе этого подхода был рассмотрен оже-эффект и построен спектр излучения плазмы с многозарядными ионами.

Диссертация состоит из двух глав.

В разделе 1.1 главы 1 представлен квазиклассический метод описания динамического отклика многоэлектронного атома (или любой многоэлектронной системы: иона, сжатого атома и т. д.) на действие электромагнитной волны без учета поляризации атома (модель независимых электронов, МНЭ). В ходе разработки этого метода, основанного на рассмотрении движения электронов по поверхности Ферми в заданном потенциале, была одновременно решена задача о классическом излучении заряженной частицы при движении в произвольном центрально-симметричном потенциале. С использованием этого метода вычислено распределение сил осцилляторов df I da) нейтрального атома Томаса-Ферми для всего томас-фермиевского диапазона частот 27 эВ « ha) « 27Z эВ. С учетом асимптотической формулы для потенциала в атоме Томаса-Ферми на больших расстояниях отдельно найден низкочастотный предел ha)«27Z эВ величины df/do). С помощью квазиклассических формул для сечения фотопоглощения на электронных оболочках в кулоновском потенциале получена асимптотика распределения сил осцилляторов при высоких частотах hco » 27Z эВ.

В разделе 1.2 учтена поляризация атома и вычислено сечение фотопоглощения атома Томаса-Ферми, решая кинетическое уравнение методом частиц (ПМЧ), для произвольной частоты излучения. Как и в случае отсутствия поляризации, низкочастотный предел сечения фотопоглощения рассмотрен отдельно.

В разделе 1.3 проведено сравнение результатов, найденных методом МНЭ, с результатами, полученными с учетом поляризации, что позволило оценить величину эффектов поляризации. При учете поляризации, как и в случае ее отсутствия, сечение фотопоглощения является немонотонной функцией частоты излучения. Влияние поляризации заметно сказывается только на низких частотах, а на средние характеристики, в том числе на логарифмическую среднюю энергию возбуждения, поляризация влияет не сильно. При учете поляризации эта величина получается равной /=8Z3B и находится вблизи экспериментально найденного диапазона. Проведено сравнение результатов расчетов сIf Ida) с экспериментальными данными.

Знание распределения сил осцилляторов для холодного атома позволяет не только находить его сечение фотопоглощения, но также определять излучательные свойства плотного вещества. Это также показано в разделе 1.3.

В главе 2 представлен статистический подход к рассмотрению плазмы в случае коронального равновесия. Движение электронов в тяжелом атоме квазиклассично, и образование дырок в электронных оболочках атомов, оже-эффект, ионизацию и рекомбинацию в этом приближении можно представлять как процессы парных столкновений электронов, а электроны в атоме - как электронный газ. Число столкновений в единицу времени находится из кинетического уравнения.

Раздел 2.1 посвящен рассмотрению процессов ионизации и рекомбинации в плазме при столкновениях ионов со свободными электронами. Получено выражение для скорости ионизации в зависимости от потенциала ионизации / и температуры Т. Эта формула показывает, что при 1»Т скорость ионизации пропорциональна exp (-I/T). В предлагаемом подходе удается вычислить скорость рекомбинации для иона с большим Z, а при произвольных Z делается оценка скорости рекомбинации. Рассматриваемая в работе модель дает объяснение низких по сравнению с уравнением Саха значений I IT, получаемых в корональной модели плазмы, и уменьшения этой величины по мере увеличения Z. Значения величины I IT и среднего заряда иона, полученные из уравнения баланса для многоэлектронных ионов с использованием одного подгоночного коэффициента, согласуются с табличными данными, полученными в многоуровневой корональной модели.

В разделе 2.2 рассмотрен оже-эффект для атомов и ионов на основе статистической модели атома. Получены формулы для оже-ширины уровней в потенциальной яме и в ионе. Эти формулы показывают, что вблизи порога оже-эффекта ширина уровней зависит от энергии квадратично, а при больших по сравнению с потенциалом ионизации энергиях дырки (незаполненного электронами состояния) оже-ширина растет линейно с ростом энергии.

В разделе 2.3 построен спектр излучения плазмы с многозарядными ионами. Тормозная и рекомбинационная части спектра найдены, используя квазиклассические формулы из [22]. Рассмотрено характеристическое излучение, возникающее после выбивания свободным электроном связанного из глубокого уровня атома и заполнения образовавшейся дырки в результате радиационного перехода электрона с более высоких уровней, и вычислена его интенсивность при высоких частотах. Спектральная интенсивность характеристического излучения экспоненциально спадает с ростом частоты, а полная его интенсивность по порядку величины совпадает с тормозным и рекомбинационным излучением.

Рассмотрен один из каналов столкновений свободных электронов с многозарядным ионом, в результате которого происходит возбуждение иона и последующая радиационная релаксация, дающая вклад в низкочастотную часть линейчатого спектра hax I. Этот канал должен давать основной вклад в полную интенсивность излучения. Можно ожидать, что полученные спектры линейчатого излучения при этом правильно передают зависимости от основных параметров задачи (они зависят от степени квазиклассичности, определяемой главным квантовым числом п электронов на уровне потенциала ионизации рассматриваемых ионов, и отношения I/T). Полная интенсивность излучения рассматриваемого канала достаточно хорошо совпадает с расчетами интенсивности излучения, полученными по многоуровневой корональной модели.

Найденные спектры корональной плазмы применены к анализу результатов, полученных в одном из экспериментов МАГО.

Основные результаты данной работы, выносимые на защиту:

1. Разработаны два подхода к описанию динамического отклика многоэлектронного атома на действие электромагнитной волны: квазиклассический расчет спектра поглощения с помощью нахождения компонент Фурье дипольного момента электронов без учета поляризации атома и метод расчета сечения фотопоглощения на сложных атомах, основанный на решении кинетического уравнения методом частиц с учетом поляризации. Использование этих подходов дает возможность описывать любые оптические свойства (сечения фотопоглощения, рассеяния и т.д.) произвольных многоэлектронных атомов и ионов.

2. Решена задача о классическом излучении заряженной частицы при финитном движении в произвольном центрально-симметричном потенциале.

3. Найдено распределение сил осцилляторов (сечение фотопоглощения) нейтрального атома Томаса-Ферми для всего томас-фермиевского диапазона частот 27 эВ « flO)« 27Z2 эВ, а также низкочастотная и высокочастотная асимптотики как с учетом, так и без учета поляризации атома. Получено, что влияние поляризации заметно сказывается только на низких частотах.

4. Разработан статистический подход к рассмотрению плазмы в случае коронального равновесия. С помощью этого подхода:

Получена формула для скорости ионизации в зависимости от потенциала ионизации I и температуры Т. Сделана оценка для скорости рекомбинации. Вычислены средние значения степени ионизации корональной плазмы. Найденные значения скоростей ионизации и рекомбинации и степени ионизации корональной плазмы находятся в разумном согласии с имеющимися данными.

Найден спектр излучения произвольной многозарядной плазмы в случае коронального равновесия для всего диапазона энергий квантов. Полная интенсивность излучения достаточно хорошо совпадает с расчетами интенсивности излучения, полученными по многоуровневой корональной модели. Использование полученных спектров для описания данных эксперимента МАГО-IX показало, что расчетные сигналы диодов согласуются с экспериментальными, если в расчетах предполагается загрязнение плазмы примесями меди и легких элементов со стенок.

На протяжении всей диссертации, кроме некоторых окончательных формул, мы будем использовать атомные единицы е = h = m — 1.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кравец, Екатерина Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлен статистический подход к рассмотрению тяжелых атомов и ионов. Движение электронов описывается квазиклассически, а при рассмотрении совокупности электронов в атоме используется модель электронного газа. С помощью этого подхода решаются две задачи - рассчитываются сечения фотопоглощения многоэлектронных атомов и находятся свойства малоплотной корональной плазмы.

В рамках первой задачи рассмотрены два метода описания динамического отклика многоэлектронного атома на действие электромагнитной волны: квазиклассический расчет спектра поглощения с помощью нахождения компонент Фурье дипольного момента электронов без учета поляризации атома (модель независимых электронов, МНЭ) и метод расчета сечения фотопоглощения на сложных атомах, основанный на решении кинетического уравнения методом частиц с учетом поляризации (прямой метод частиц, ПМЧ).

В ходе разработки метода МНЭ, основанного на рассмотрении движения электронов по поверхности Ферми в заданном потенциале, была одновременно решена задача о классическом излучении заряженной частицы при движении в произвольном центрально-симметричном потенциале.

Используя методы МНЭ и ПМЧ, было вычислено распределение сил осцилляторов нейтрального атома Томаса-Ферми для произвольной частоты излучения, как без учета, так и с учетом поляризации. Получено, что влияние поляризации заметно сказывается только на низких частотах. Найдено, что на логарифмическую среднюю энергию возбуждения поляризация влияет не сильно. Сравнение результатов расчетов dfldco с экспериментальными данными показывает, что полученные результаты позволяют описывать распределение сил осцилляторов тяжелых атомов.

При разработке статистического подхода к рассмотрению плазмы в случае коронального равновесия найдены каналы, по которым происходит ионизация и рекомбинация в результате выбивания из иона связанного электрона свободным. Получена формула для скорости ионизации в зависимости от потенциала ионизации / и температуры Т. Эта формула показывает, что при I »Т скорость ионизации пропорциональна ехр(—I /Т). В предлагаемом подходе удается вычислить скорость рекомбинации для иона с большим Z, а при произвольных Z делается оценка скорости рекомбинации. Найденные значения скорости ионизации и рекомбинации находятся в разумном согласии с имеющимися данными.

Значения величины s = IIT и среднего заряда иона, полученные из уравнения баланса для многоэлектронных ионов с использованием одного подгоночного параметра в формуле для вероятности радиационной релаксации, согласуются с табличными данными, полученными в многоуровневой корональной модели.

Рассмотрен оже-эффект для атомов и ионов на основе статистической модели атома. Получены формулы для оже-ширины уровней в потенциальной яме и в ионе.

Найден спектр излучения произвольной многозарядной плазмы в случае коронального равновесия для всего диапазона энергий квантов. Для тормозного излучения использована квазиклассическая формула. Рекомбинационное излучение найдено с помощью квазиклассической формулы для эффективного сечения захвата.

Рассмотрено характеристическое излучение, возникающее после выбивания свободным электроном связанного из глубокого уровня атома и заполнения образовавшейся дырки в результате радиационного перехода электрона с более высоких уровней, и вычислена его интенсивность при высоких частотах. При рассмотрении характеристического излучения существенно использовались полученные формулы для оже-ширин уровней. Спектральная интенсивность характеристического излучения экспоненциально спадает с ростом частоты, а полная его интенсивность по порядку величины совпадает с тормозным и рекомбинационным излучением.

Рассмотрен наиболее существенный для генерации излучения канал столкновений свободных электронов с многозарядным ионом, в результате которого происходит возбуждение иона и последующая радиационная релаксация, дающая вклад в низкочастотную часть линейчатого спектра (Q)< I). Полная интенсивность излучения этого канала достаточно хорошо совпадает с расчетами интенсивности излучения, полученными по многоуровневой корональной модели.

Использование полученных спектров для описания данных эксперимента МАГО-1Х показало, что расчетные сигналы диодов согласуются с экспериментальными, если в расчетах предполагается загрязнение плазмы примесями меди и легких элементов со стенок.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. Ф. Гаранину за руководство работой и помощь в написании диссертации. Также автор благодарит П. Д. Гаспаряна, В. И. Мамышева, В. А. Токарева за помощь в- работе, А. И. Голубева, В. А. Жмайло, С. Д. Кузнецова, В. А. Разуваева, В. Б. Якубова за полезные обсуждения, и участников семинара теоретического отдела, на котором обсуждались материалы, вошедшие в диссертацию. Кроме того, автор благодарит В. П. Соловьева и' В. П. Незнамова за поддержку темы работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кравец, Екатерина Михайловна, 2010 год

1. L. Н. Thomas, The Calculation of Atomic Fields, Proc. Camb. Philos. Soc., v. 23, p. 524, 1926.

2. E. Fermi, Eine statistiche Methode zur Bestimming einiger Eigenchaften des Atoms und ihre Anwendung auf die Theorie des periodishen Systems der Elemente Z. Phys., v. 48, p. 73, 1928.

3. JT. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982.

4. F. Bloch, Bremsvermogen von Atomen mit mehreren Electronen, Z. Phys., v. 81, p. 363, 1933.

5. E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кинетика, М.: Наука, 1979.

6. W. Brandt and S. Lundqvist, Atomic Oscillations in the Statistical Approximation, Phys. Rev. A, v. 139, p. 612, 1965.

7. J. A. Ball, J. A. Wheeler, and E. L. Firemen, Photoabsorption and Charge Oscillation of the Thomas-Fermi Atom, Rev. Mod. Phys., v. 45, p. 333, 1973.

8. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика, M.: Наука, 1974.

9. А. В. Виноградов, О. Н. Толстихин, Плазменный подход к теории фотопоглощения и поляризуемости сложных атомов, ЖЭТФ, т. 96, с. 1204, 1989.

10. В. А. Астапенко, Л. А. Буреева, В. С. Лисица, Поляризационные эффекты в атомных переходах, УФН, т. 172, с. 155, 2002.

11. V. A. Astapenko, L. A. Bureyeva and V. S. Lisitsa, "Plasma models of atom and radiative -collisional processes", Review of Plasma Physics, edit, by V. D. Shafranov, v. 23 (Klower/Publishing Corporation), 2003.

12. А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, В. Б. Уваров, Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы, М.: Наука, 2000.

13. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Сечение фотопоглощения на атоме Томаса-Ферми, ЖЭТФ, т. 125, с. 1258, 2004.

14. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Фотопоглощение в статистической модели атома. Модель независимых электронов и влияние поляризации, ЖЭТФ, т. 131, с. 594, 2007.

15. S. F. Garanin, V. I. Mamyshev, V. В. Yakubov, The MAGO System: Current Status, IEEE Trans. Plasma Sci., v. 34, № 5, p. 2273, 2006.

16. D. E. Post, R. V. Jensen, С. B. Tarter et al., Steady-State Radiative Cooling Rates for Low-Density High-Temperature Plasmas, Atom. Data and Nucl. Data Tables, v. 20, № 5, p. 397, 1977.17.