Кинетические закономерности роста морфологически сложных диссипативных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Терентьев, Павел Сергеевич

• Терентьев, Павел Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Терентьев, Павел Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СКОРОСТЬ НАРАЩИВАНИЯ МАССЫ ПРИ РОСТЕ КРИСТАЛЛОВ И ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ

1.1 Рост кристаллических структур

1.1.1 Математические методы описания кристаллизации из раствора в кинетическом и диффузионном режимах

1.1.2 Результаты исследования морфологии индивидуальной структуры

1.1.3 Результаты исследования скорости массовой кристаллизации

1.2 Особенности роста массы в процессе онтогенеза живых организмов

1.2.1 Рост кристаллов и живых организмов в природе. Сходства и отличия

1.2.2 Обзор моделей роста массы

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ МАССЫ РАСТУЩЕГО КРИСТАЛЛА

2.1 Постановка и проведение эксперимента

2.2 Алгоритмы сегментации экспериментальных снимков и расчета площади кристалла

2.3 Методика оценки погрешности обработки экспериментальных снимков

2.4 Программный модуль автоматического сегментирования и расчета площадей по хронологическим снимкам, отображающих рост кристалла44

ГЛАВА 3. РОСТ И СОСУЩЕСТВОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОРФОЛОГИЙ В ПЕРЕОХЛАЖДЕННОМ ВОДНОМ РАСТВОРЕ ]ЧН4СЬ

3.1 Предпосылки универсального характера удельного прироста массы одновременно растущих кристаллов

3.2 Результаты определения площади дендритных структур но опытным данным и их анализ

3.3 Результаты восстановления скорости роста нерегулярных структур и их анализ

3.4 Сравнение кинетики роста дендритных и нерегулярных структур

3.5 Оценка качества аппроксимаций удельного прироста массы аналитическими функциями. Бв-модель

4.1 Обоснование применимости ВЭ-моделн для биологических объектов75

ГЛАВА 4. ОПИСАНИЕ СКОРОСТИ НАРАЩИВАНИЯ МАССЫ В ПРОЦЕССЕ ОНТОГЕНЕЗА БЗ-МОДЕЛЫО

75

4.2 Сопоставление предлагаемой модели с опытными данными

79

4.3 Связь развиваемой модели с другими результатами

84

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

87

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АППРОКСИМАЦИЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ МАССЫ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ОНТОГЕНЕЗЕ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ АППРОКСИМАЦИЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МАССЫ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ОНТОГЕНЕЗЕ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетические закономерности роста морфологически сложных диссипативных структур»

ВВЕДЕНИЕ

Неравновесные процессы в природе часто сопровождаются образованием пространственно-временных структур, фазовый состав которых отличен 01 окружающей среды. Трещина в твердом теле, снежинка в облаке, разряд молнии, растущее дерево - вот лишь некоторые примеры. Возникновение и развитие подобных структур сопровождается сложнейшими процессами по переносу и диссипации энергии, импульса, массы, как на фазовой границе структуры, так и во всем объеме. Происходящие процессы затрагивают большой диапазон пространственных и временных масштабов, а также сопровождаются разнообразными обратными связями. Все это обычно приводит к нелинейной кинетике развития структуры и ее сложной морфологии, причем первое и второе являются взаимосвязанными. Как следствие, изучение подобных систем, иногда называемых самоорганизующимися, является очень сложным и чрезвычайно многообразным.

Особой ценностью при фундаментальных исследованиях являе1ся не перечисление и изучение специфических свойств у конкрешых самоорганизующихся систем, а поиск общих закономерностей, присущих структурообразованию в целом. В качестве таких закономерностей могли бы выступать величины, остающиеся инвариантными при росте у отличающихся по своей природе структур (или их частей).

Подобные закономерности можно искать на основе различных физических характеристик процесса. В настоящей работе их выбрано две: масса (объем, площадь) возникающей структуры и время её роста. Такой выбор сделан по следующим причинам: 1) эти величины можно ввести для любой возникающей в среде структуры, имеющей фазовую границу, и их практически всегда можно определять экспериментально; 2) эти величины являются основными для

характеристики как морфологии, так и кинетики роста; 3) производная от массы по времени непосредственно связана с производством энтропии, являющимся, как-хорошо известно, важнейшей характеристикой любого неравновесного процесса.

Отметим, что исследованию массы от времени при структурообразоваиии в различных физико-химических системах посвящено огромное число рабо 1. Однако анализ литературы показывает, что попыток нахождения на ее основе универсальных (инвариантных) величин, ранее не проводилось. Интересно отметить, что попытки движения в данном направлении имеют место при изучении биологического структурообразования. В настоящей диссертации эти работы анализируются и существенно обобщаются.

Данная диссертационная работа в большей своей части является экспериментальным исследованием. В связи с этим, важнейшим вопросом являлся для нас выбор объекта исследования. Исходя из изложенного выше, в принципе, любая структурообразующая система с фазовой границей может быть взята за основу исследования. Мы остановили свой выбор на дендритном кристаллизации из раствора. Это связано со следующими причинами: 1) дендритная кристаллизация является одним из простейших и очень распространенным примером структурообразования в природе, которым сравнительно хорошо изучен; 2) временные и пространственные масштабы процессов, происходящих при подобной кристаллизации, позволяют использовать простейшее оборудование и методы; 3) оптические характеристики объекта позволяют напрямую (а не косвенно) наблюдать и измерять как весь дендрит, так и любую его часть.

Цель настоящей работы: поиск общих закономерностей, связанных с изменением массы со временем при образовании структур с фазовой границей в неравновесных условиях на основе экспериментальных данных.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Формулировка термодинамических предпосылок, указывающих на возможность существования инвариантных величин, связанных с массой при

неравновесном росте кристаллов; формулировка модели, описывающей кристаллический рост.

2. Постановка и проведение эксперимента по неравновесной нестационарной кристаллизации из водного пересыщенного раствора. Написание программного модуля по обработке видеоизображений, полученных в опыте.

3. Анализ экспериментальных данных, проверка применимости модели для их описания.

4. Поиск и отбор достоверных экспериментальных зависимостей в литературе, определяющих рост неравновесных систем, отличных 01 кристаллических, их количественный анализ и сравнение с кинетикой роеча кристаллических структур.

Научная новизна:

1. Впервые измерена зависимость массы (т) от времени (/) у отдельных квазидвумерных кристаллов хлористого аммония и их частей, нестационарно растущих в пересыщенном водном растворе и имеющих сложную нерегулярную границу фаз.

2. На основании результатов измерений и их анализа предложена единая простая двухпараметрическая модель (ОБ-модель) для описания зависимости удельного изменения площади (массы) дендрита или его ветвей от времени (га'(/)/я?(/)). Впервые показано, что т'^)/т(/) меняется по степенному закон) аИ-Ъ, где коэффициент а имеет универсальный характер для различных исследованных структур, а коэффициент Ь определяется продолжительностью их нестационарного роста. Проведено сравнение предсказательных возможностей ОБ-модели и традиционных зависимостей.

3. Впервые обнаружено, что нормировка найденного степенного закона на полное время нестационарного роста структуры и её массу т{С), позволяет получить универсальный закон, описывающий удельный прирост массы со временем. Универсальность выполняется как для одновременно растущих кристаллических структур КН4С1, так и для структур, растущих в разных временных диапазонах и при отличающихся начальных пересыщениях раствора.

4. Показана возможность количественного описания с помощью ЭБ-модели изменения массы от времени у растущих живых организмов разных видов и обнаружена связь ОБ-модели с моделью Шмальгаузена. Для растущих и 5 раствора кристаллов и для живых организмов параметр модели а имеет близкие значения. Для частного случая показана согласованность 08-модели с принципом онтогенетической аллометрии, это является дополнительным доводом для применения ЭЗ-модели к описанию кинетики роста живых организмов.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы, связанные с кинетикой кристаллического роста могут найти применение в технологиях, связанных с неравновесным затвердеванием, в частности, в металлургии. Результаты, полученные при исследовании изменения массы живых организмов от времени роста, могут оказаться важными для экономико-хозяйственных расчетов и прогнозов в сельском хозяйстве и при решении природоохранных задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В замкнутой системе для сосуществующих кристаллов хлористого аммония (или их частей), неравновесно формирующихся в перенасыщенном водном растворе, удельный прирост массы в каждый момент времени совпадаем.

2. Степенная зависимость а/7-6 (ОБ-модель) описывает удельный прирос! массы от времени кристаллов хлористого аммония (или их частей) и ряда исследованных живых организмов не хуже ранее существующих эмпирических моделей, при этом она является существенно более простой и более теоретически обоснованной.

3. Для исследованных кристаллических структур значение параметра а 08-модели равно 1.8±0.1 и не зависит от пересыщения, морфологии кристалла, его изучаемой части (ветвь или их совокупность) и стадии роста, при этом оно попадает в интервал значений, полученных при исследовании с помощью Ой-модели живых организмов.

Личный вклад автора. Постановка задачи и определение направлении исследований выполнены совместно с научным руководителем и консультантом.

Проведение эксперимента по кристаллизации из водного раствора выполнено совместно с научным консультантом. Разработка алгоритма сегментации экспериментальных снимков, создание на его основе программного модуля для автоматической обработки экспериментальных данных, а также сама обработка выполнены лично соискателем. Анализ результатов эксперимента и подготовка материалов для публикации в журналах проведены совместно с руководителем и научным консультантом.

Апробация работы. Результаты исследования были представлены и обсуждены на Семнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-17, г.Екатеринбург, 2011); Twenty-third conference on Crestal Growth and Epitaxy (USA, 2012); Конференция стран СНГ по росту кристаллов (г. Харьков, 2012); Девятые Курдюмовские чтения. Синергетика в общественных и естественных науках(г. Тверь, 2013); Международная конференция молодых ученых (г. Пущино, 2013); The 19th American Conference on Crystal Growth and Epitaxy(USA, 2013); I Международная молодежная научная конференция, посвященная 65-летию основания Физико-технологического института (г. Екатеринбург, 2014).

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 102 страницах машинописного текста; состоит из введения; четырёх глав: "Глава 1. Скорое и> наращивания массы при росте кристаллов и живых организмов", "Глава 2. Методика проведения измерений массы растущего кристалла"; "Глава 3. Рост и сосуществование различных кристаллических морфологии в переохлажденном водном растворе NH4C1", "Глава 4. Описание скорости наращивания массы в процессах онтогенеза DS-моделью"; заключения; списка литературы, включающего 121 источник отечественных и зарубежных авторов; 2 приложении на 9 страницах. Работа содержит 35 рисунков и 5 таблиц.

ГЛАВА 1. СКОРОСТЬ НАРАЩИВАНИЯ МАССЫ ПРИ РОСТЕ КРИСТАЛЛОВ И ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ

1.1 Рост кристаллических структур

Если в достаточно пересыщенном растворе/паре (или переохлажденном расплаве) самопроизвольно или из-за внешних воздействий возникнут зародыши новой кристаллической фазы, то со временем, при релаксации системы, из них вырастают различные неравновесные регулярные (дендритные) и нерегулярные (водорослеобразные) структуры, пример которых показан на Рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Морфологические типы, возникающие при кристаллизации из переохлажденного расплава Хп: а - дендритная структура; Ь - нерегулярная

структура(водоросли)[1]

Известно, что при кристаллизации могут возникать как монокристаллы, так и поликристаллы. Монокристаллы наблюдаются, как в процессах, которые протекают квазиравновесно, так и вдали от равновесия. В первом случае кристаллы имеют правильные геометрические формы, во втором кристаллизация сопровождается усложнением геометрии, образующихся структур, например, у дендритных фрактальных структур разные части растут с различными скорое[ями (первичная и многочисленные боковые ветви). Поликристаллы возникают при массовой кристаллизации, когда сосуществующие кристаллы сталкиваются друг с другом, прекращая расти в месте соприкосновения, в результате этого образуется твердая фаза, состоящия из множества соприкасающихся монокристаллов.

При получении материалов с заданными свойствами, нередко именно дендритоподобные структуры ответственны за повышенную прочность твердых тел и для реализации управления получения таких структур необходимо иметь исчерпывающее представление о кинетике таких процессов.

1.1.1 Математические методы описания кристаллизации из раствора в кинетическом и диффузионном режимах

Очевидно, что для изучения кристаллических структур важно иметь их математическое описание. Рассмотрим постановку задачи роста кристалла. Предположим, что кристалл представляет собой однородный шар с радиусом /?, для поверхности которого определен кинетический коэффициент роста /У. 11оле концентрации вокруг кристалла описывается зависимостью с(г,1) от расстояния г до центра кристалла и от времени Квазистационарная функция с(г) изображена на Рисунке 1.2.

г

Рисунок 1.2 - Квазистационарное распределение поля концентрации рас твора вокруг растущего шарообразного кристалла с радиусом Я. 1 - кинетический режим Д/?/2>« 1; 2 - диффузионный режим РЯЮ» 1 [2]

Функция с{г,() подчиняется диффузионному уравнению:

В случае, если на бесконечном удалении от кристалла поддерживается постоянная концентрация с«,, отличная от равновесной Со, то краевые условия на бесконечности запишутся в виде:

Краевые условия на фронте кристаллизации удовлетворяют закону сохранения вещества:

где р - плотность кристалла, V - скорость движения границы фазы, зависящая о I ориентации нормали п и степени неравновесности А/и, д/дп - производная по нормали к фронту кристаллизации, которая для изотропной среды и растущего шарообразного кристалла совпадает с радиальной производной (д1дп=д1дг). Характерное время, за которое происходит изменение концентрации вокруг

(1.1)

= сх при Г ->оо.

(1.2)

(1.3)

кристалла, есть Л/у, поэтому левая часть (1.1) оценивается как у(ст10Н-с^)/Л, а правая - как О{сП0ъ-с^)1Л , где с1ЮВ=с(7?). Если у«0/Л, то в системе существуе'1 очень малый перепад концентрации и диффузионное поле успевает изменяться в соответствии с изменением размера самого кристалла, поэтому уравнение (1.1) превращается в уравнение Лапласа:

Ас = 0 . (1.4)

Полагая, что у=рО.(с„ов-со), где О. - средний объем, занимаемый частицей вещества в своем кристалле, при стационарном режиме на фронте кристаллизации справедливо:

дс

0— = Р(1 -Псии)(с:иов-с0). (1.5)

дп

Если имеют место равенства (1.2) и (1.4) а также Псион«1, то (1.5) примет вид:

ч вяю я

с = - - с0) -——-- (1.6)

1 + ря / В г '

и для скорости роста будем иметь:

ПД^-Со)

у= -— (1.7)

1 + ■

Из всего вышесказанного вытекает существование двух режимов роста кристалла. При Щ/0«\ саов~Сао, в этом случае наблюдается линейный рост и скорость определяется кинетикой поверхностных процессов и не зависит от размера кристалла. Второй режим - когда ¡ЗЛЮ» 1, определяется диффузией в растворе, в этом случае С-Са,-^«,. Со)Л/г, при этом скорость будет вести себя как

у^ВО,(соо-с0)/Я, а размер кристалла будет варьироваться как Л = л;200.(су: -с0)/ .

Режимы именуются как кинетический и диффузионный, соответственно.

Имея представление о скорости движения фронта границы раздела двух фаз можно получить зависимость изменения массы от времени.

1.1.2 Результаты исследования морфологии индивидуальной структуры

При обзоре работ, изучающих морфологию растущих кристаллов, нельзя не упомянуть [3-6], в которых изучается рост трехмерного кристалла ксенона Хс из переохлажденного расплава. Контур дендрита определялся по цифровым кадрам отснятого видео, показывающего рост структуры. В отличие от исследований, которые проводились ранее, основное внимание в этих работах было отведено изучению вершины дендрита. Исследование также затрагивает развитие боковых ветвей и морфологические особенности дендрита в областях вдали от его вершины.

Параметры, которые используются для характеристики боковых ветвей: радиус кривизны Я вершины дендрита, расстояние хбв между вершиной и расположением первой боковой ветви с амплитудой примерно равной 1 амплитуда гр боковых ветвей как функция расположения ребер вдоль дендрита хр. на изгибах которых формируются боковые ветви кристалла. Эти величины графически приведены на Рисунке 1.3. Измерения были проведены при переохлаждениях в диапазоне 0.025К< АТ <0.150К. В качестве параметров, характеризующих боковые ветви и не учитывающих их взаимодействие через диффузионное поле, предложен набор интегральных переменных: длина контура Ь, площадь проекции 5 и объем дендрита V. В этом случае измерения проводились при переохлаждении в диапазоне 0.025К<ДГ<0.170К.

Проделанные измерения показывают, что параметры, отнормированные на радиус Я, обладают следующими свойствами:

• Позиция первой боковой ветви хбс примерно равна 18/? при любом переохлаждении.

• Межветвевые промежутки / вблизи вершины, отнормированные на Я (1/Я) не зависят от степени переохлаждения и численно равны ///?=3.2±0.4.

1 78

• Амплитуда гр возрастает с расстоянием хр как (хр/Я)~~(г^Я) ' .

• Площадь проекции пропорциональна длине контура Ь с коэффициентом пропорциональности 4Я.

3 ^

• Фактор заполненности К/[(4л/3 )ЬХ] сферы с объемом (4л/3)1х пропорционален Я (Ьх - характерный размер дендрита).

Рисунок 1.3 - Контур дендрита, растущего из переохлажденного расплава Хе и величины, измеряемые в эксперименте [12]. Я - радиус кривизны вершины вегви дендрита; Ь - длина контура; 5 - площадь проекции; хр -расположение боковой ветви на родительской; гр - амплитуда боковой ветви; хбв - расстояние между вершиной дендрита и первой боковой ветвью с радиусом кривизны вершины Я

Работа [4] установила, что форма вершины кристалла не является осесимметричной, при этом 4 ребра, возникающие вдоль дендрита, имею! контуры которые описываются степенной зависимость у=а\х\ь {хиу - координаты, а и Ь - эмпирические коэффициенты). Экспериментально установлены значения коэффициентов а=0.58±0.04 и 6=1.67±0.05.

Последующее изучение темы авторами расширило область изучения образования дендритов [5] - при кристаллизации наблюдалось формирование боковых ветвей разных типов. Выделено два типа ветвей, которые возникают в результате теплового шума (TV-тип) и которые возникают в результате макроскопических возмущений (Р-тип). Под макроскопическими возмущениями понимается механическая вибрация или удары, воздействующие на систему. Боковые ветви типа N начинают расти на расстоянии (3+-7)R от вершины.

2/5

Установлено, что амплитуда боковых ветвей растёт экспоненциально z . Ветви типа Р начинают расти на вершине и их амплитуда значительно выше, чем амплитуда ветвей типа N. Помимо этого установлено, что вершина ветви типа Р отличаются от формы вершины дендрита целиком на расстоянии около 5R, в то время как для Утипа оно 10.fi.

Помимо регулярной дендритной морфологии внимание уделялось нерегулярным структурам [6]. На свободно растущий дендрит производилось 2 типа воздействий: механическая вибрация и нагрев до температуры плавления. Во время механического воздействия обнаруживается периодическое разделение вершины дендрита на несколько ветвей, что влечет к повышению плотности размещения ветвей структуры. С другой стороны, нагрев влечет к контролируемому образованию боковых ветвей и характерным изменениям формы вершины дендрита. Вместе эти два вида воздействий дают возможность контролируемого воспроизводства формы кристаллов во время их роста.

Очевидно, что для всех этих заключений необходимо из исходных экспериментальных данных (видео запись) получить зависимости R, а также геометрическое расположение боковых ветвей, которые представляли исследовательский интерес. Для достижения этого, исходная видео запись фрагментировалась на кадры, после чего геометрические характеристики определялись отдельно на каждом снимке - с помощью программных средств выделялся контур, и из результатов такой обработки извлекалась необходимая информация. Детально механизм работы со снимками изложен в [7]. По утверждению авторов метод хорош тем, что минимизирует вмешательства со

стороны экспериментатора, поскольку нет необходимости производить выравнивание фона или определения начальной области для распознания границы кристалла.

В настоящее время считается, что связь внешней формы дендрита (или его морфологии) и скорости роста дендрита (или его кинетики) носит универсальный характер при стационарном росте. Вершина дендрита имеет форму близкую к параболе. С увеличением переохлаждения/пересыщения дендрит увеличивает свою скорость роста v и становится более острым (радиус вершины дендрита R уменьшается). При этом показано, что в первом приближении величина vR" не зависит от переохлаждении/пересыщения, а определяется справочными параметрами кристаллизующейся системы. Приведенные результаты получили и экспериментальное, и теоретическое подтверждение [8-11] и являются важными достижениями, однако, множество вопросов до сих пор остается. Прежде всего, перечисленные факты относятся к стационарному росту дендрита. Однако выделение этого этапа роста дендрита может оказаться очень приблизительным (особенно для дендритов, образующихся в естественных, природных условиях, а не в лабораторно-контролируемых условиях, когда фактор роста искусственно поддерживается). Действительно, дендритный кристалл должен иметь три стадии роста: возникновение, более или менее стационарный рост и стадия остановки (когда переохлаждение/пересыщение в результате кристаллизации оказывается снятым). При уменьшающемся переохлаждении/пересыщении, R увеличивается, стремясь к некоторой константе, а скорость уменьшается до нуля, а. следовательно, постоянство vR2 для всего интервала роста дендрита будеч нарушено. Вторым недостатком является то, что полученные результаты оказываются неприменимыми для вторичных ветвей. Вторичные ветви растут при несколько более низких переохлаждениях/пересыщениях и имеют меньшую скорость, чем первичная ветвь. Согласно критерию vR~ они должны иметь более тупые вершины. Однако в действительности их вершины типично имеют существенно меньший радиус кривизны, по сравнению с первичной ветвью. В результате, желая подтвердить/проверить постоянство vR , исследователи

вынуждены достаточно искусственно расчленять дендрит на первичную ветвь (растущую в согласии с теорией) и вторичные ветви (с теорией не согласующиеся). Это приводит к некоторой потере универсальности и практической важности результатов. Действительно, если мы наводим наш микроскоп на произвольное место раствора и находим дендрит, мы не можем заранее сказать, что перед нами. Это может быть первичная ветвь с вторичными ветвями, либо это может достаточно большая и обособившаяся (благодаря укрупнению межветвевых промежутков при удвоении периода) вторичная ветвь с образующимися третичными ветвями. Во втором случае вторичная ветвь можеч быть принята исследователем в качестве первичной при работе па другом пространственном масштабе (при большем увеличении микроскопа).

1.1.3 Результаты исследования скорости массовой кристаллизации

При описании массовой кристаллизации как функции времени, широкое распространение получило уравнение Колмагорова-Аврами [15]. Зависимость была получена для случая массовой спонтанной кристаллизации, когда выведенная из равновесия система (перенасыщенный раствор пли переохлажденный расплав) переходила в свое равновесное состояние. Предполагалось, что количество зарождающихся кристаллических ядер в промежуток времени между т и т+ск будет равно /ус1т в единице объема исходной фазы (а-фаза). Обозначим линейную скорость роста как у„ где / - одно из 3 взаимноперепендикулярных направлений, тогда в силу анизотропности скорости (в общем случае) объем новой зародившейся фазы (|3-фаза) Ур в указанный

промежуток времени определяется выражением r¡vxvyvz(jt-т)3, где // - фактор, определяющий геометрию новой фазы.

В момент времени t объем всех кристаллов, зародившихся в промежуток времени т и т+dx определится как:

Vpr =Iv(r)Vi1vxvyv::{t-T)idT, (1.8)

а объемная доля всех кристаллов от общего объема V, образовавшихся за время V.

i

(p = Vfl/V = r¡vxvyvz ¡Iv(z)(t -rfcír (1.9)

о

Очевидно, что в случае свободного роста, когда неравновесная система предоставлена самой себе /у(т) должно учитывать взаимодействие между кристаллами растущего массива. Когда области кристаллов по мере роста пересекаются друг с другом, то возникает общая поверхность раздела, на которой рост прекращается. Это было учтено Аврами[16-17], которым было введено понятие 'продолженного' объема Крс, математически выглядящего как:

t

У Ре = Vrp>xvyvz J/v {t-zfdz (1.10)

о

Отличия от реального объема Vp, такое определение объема предполагает, что в него входят зародыши-'призраки' кристаллов, которые могли бы зародиться в тех областях системы, которые заняты Р-фазой. Важно обратить внимание, что в (1.10) Iv не зависит от т , тем самым кристаллы рассматриваются так, как если бы отсутствовало их взаимодействие между собой и удельное количество новообразующихся зародышей зависит только от концентрации раствора. Другими словами сделано такое допущение, как если бы кристаллы росли сквозь друг друга. Данный подход позволяет отличить кинетическую задачу от задачи столкновения геометрических областей Р-фазы.

Пусть объемная доля 1-Fp/V зафиксирована в момент времени t в кристаллизующейся системе, не находящейся в равновесии. Очевидно, что в последующий временной интервал dt ожидается прирост dí^ и &Уре. Какая-то

часть новообразованного продолженного объема dFpc будет лежать в области, ещё не занятой фактически формирующимся кристаллом dFß. Из соотношения:

dVß={\-VßIV)dVße (i.ii)

получаем:

Vße=-V\n{\-Vß/V). (1.12)

Выполняя подстановку (1.9) и (1.12) в (1.10) будем иметь:

t

ln(l -ф) = 7]VxVyVz \lv(t-T)3dT (1.13)

0

В случае постоянной скорости формирования зародышей Д-const получим:

(р = 1 - exp(-rjvxvyvjvt4 / 4). (1.14)

В более общем случае, при допущении, что к моменту начала наблюдения /=0 в системе уже имеются кристаллические зародыши N и что скорость зарождения определяется степенным законом Iv-Ctq, кинетическое уравнение запишется в виде:

<р = 1- exp [-rjvxvyvz (М3 + а4+£/)]. (1.15)

Аврами были рассмотрены только два случая: постоянной скорое in зарождения и фиксированного количества мест образования зародышей кристалла. Из его работ заключено, что все остальные варианты описываются уравнением:

(p = \-QXp(-Kt"), (1.16)

где п - коэффициент, определяющий режим, а коэффициент К целиком и полностью определяет кинетику процесса. Это уравнение получило широкое распространение на практике при изучении процессов кристаллизации.

Несмотря на то, что модель получена для описания массовой кристаллизации, аналитический вид функции оказался применимым для решения задач в масштабах индивидуальной структуры. Так в работе [18] проводились аппроксимации несколькими аналитическими зависимостями кинетики

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Терентьев, Павел Сергеевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]. Stalder, I. Morphology of structures in diffusional growth in three dimensions / 1. Stalder, J.H. Bilgram // Europhysics Letters(EPL). - 2001. - Vol.56. - №6. P.829-835.

[2]. Чернов, A.A. Совреенная кристаллография. Том Третий. / A.A. Чернов, Е.И. Гиваргизов, Х.С. Багдасаров, В.А. Кузнецов, Л.Н. Демьянец, А.П. Лобачев. -М.: Наука, 1980,- 407 с.

[3]. Hurlimann, Е. Integral parameters of xenon dendrites / E. Hurlimann, R. Trittibach, U. Bisang, J.H. Bilgram // Physical Review A. - 1992. - Vol.46. -№10. - P.6579-6595.

[4]. Bisang, U. Shape of the tip and the formation of sidebranches of xenon dendrites / U. Bisang, J.H. Bilgram // Physical Review Letters. - 1995. - Vol.75. - №21. P.3898-3901.

[5]. Wittwer, O. Three-dimensional xenon dendrites: characterization of sidebranch growth / O. Wittwer, J.H. Bilgram // Physical Review E. - 2006. - Vol.74. P.041604.

[6]. Fell, M. Dendrite engineering on xenon crystals / M. Fell, J. Bilgram // Physical Review E. - 2007. - Vol.75. - P.061603.

[7]. Singer, H.M. Extraction contours of crystals / H.M. Singer, J.H. Bilgram // Journal of crystal growth. - 2004. - Vol.261. - P. 122-134.

[8]. Langer, J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth / J.S. Langer " Reviews of Modern Physics. - 1980. - Vol.52. - P. 1-28.

[9]. Kessler, D. Pattern selectin in fingered growth phenomena / D. Kessler, J. Koplik. H. Levine // Advances in Physics. - 1988. - Vol.37. - P.255-339.

[10]. Berner, E.A. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth / E.A. Berner. V.l. Melnilov // Advances in Physics. - 1991. - Vol.40. - P.53-97.

[11]. Glicksman, M.E. Handbook of crystal growth, Vol.1, edited by D.T.J. Hurlc / M.E. Glicksman, S.P. Marsh. - Amsterdam: Elsevier, 1993. - 1081 p.

[12]. Bisang, U. Shape of the tip and the formation of sidebranches of xenon dendrites / U. Bisang, J.H. Bilgram // Physical Review E. - 1996. - Vol.54. - №5. -P.5309-5326.

[13]. Koss, M.B. Dendritic growth tip velocities and radii of curvature in microgravitv / M.B. Koss, J.C, Labombe, L.A. Tennenhouse, M.E. Glicksman, E.A. Winsa !> Metallurgical and Materials Transactions. - 1999. - Vol.30A. - P.3 179-3190.

[14]. Melendez, R. A J. PhD dissertation, [Электронный ресурс] / R. A. J. Melende/ // University of Iowa. - 2009. Режим доступа: http://ir.uiowa.edu/etd/407'', свободный. - Яз. англ.

[15]. Канн, Р. Фазовые превращения. Металлография / Р. Кап. - М.: Мир, 1968. 490 с.

[16]. Avrami, М. Kinetics of phase change. I. / M. Avrami // Journal of Chemical Physics. - 1939.-Vol.7.-P. 1103.

[17]. Avrami, M. Kinetics of phase change. II Transformation - time relations for random distribution of nuclei / M. Avrami // Journal of Chemical Physics - 1940. -Vol.8.-P.212.

[18]. Martyushev, L.M. From dendrites and S-shaped growth curves to the maximum entropy production principle / L.M. Martyushev, E.G. Axelrod // Pis'ma v ZETF. - 2003. - Vol.78. - №8. - P.948-951.

[19]. Belen'kii, V.Z. Geometric and Probabilistic Models of a Crystallization. Phenomenological Approach / V.Z. Belen'kii. - Moscow :Nauka, 1980.

[20]. Mandelkern, L. Crystallization of Polymers / L. Mandelkem. - NY: McGray Hill. 1964.

[21]. Christian, J.W. Physical Metallurgy / J.W. Christian; ed. Cahn, R.W. - Moscow: Mir, 1968. -227-346p.

[22]. Langer, J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth / J.S. Langer / Reviews of Modern Physics. - 1980. - Vol.52. - P. 1-28.

[23]. Sawada, Т. Effect of gravity on a free dendrite of NH4C1 grown by dynamic-pressure control / T. Sawada, K. Takemura, K. Shigematsu, S. Yoda, K. Kowasaki // Journal of Crystal Growth - 1998. - Vol. 191.- P.225-233.

[24]. Huxley, J. Problems of relative growth / J. Huxley - London: Methuen. - 1932.

[25]. Kliber, M. Body size and metabolism / M. Kliber // Journal of Agricultural Science (JAS). - 1932. - Vol.6 - №11. - P.315-353.

[26]. West, G.B. A general model for ontogenetic growth / G.B. West, J.H. Brown, B.J. Enquist // Nature. - 2001. - Vol.413. - P.628-631.

[27]. Chan, S.-K. On the stationary growth shapes of NH4C1 dendrites / S.-K. Chan. H.-H. Reimer, M. Kahlweit // Journal of Crystal Growth. - 1976. - Vol.32. -P.303-315.

[28]. Knight, W. Asymptotic growth: an example of nonsense disguised as mathematics / W. Knight // Journal of the Fisheries Research Board of Canada. -1968. - Vol.25. - №.6. - P.1303-1307.

[29]. Kruger, F. Das asymptotische Wachstum der Fische-ein Nonsens? / F. Kruger // Helgolander wiss. Meeresuntersuch. - 1969. - Vol.19. -№.2. - P.205-215.

[30]. Шмальгаузен, И.И. Определение основных понятий и методик исследования роста / И.И. Шмальгаузен // Рост животных. М.: сборник научных трудов. Биомедгиз. - 1935. - С.8-60.

[31]. Bertalanffy, L. von. Quantitative laws in metabolism and growth / L.von. Bertalanffy // The Quantitative Review of Biology. - 1957. - Vol.32. - №3. -P.217-231.

[32]. Bertalanffy, L. von. Principles and theory of growth / L. von. Bertalanffy // Fundamental aspects of normal and malignant growth. Amsterdam. - 1960. -P.137-259.

[33]. Taylor, C.C. Growth equations with metabolic parameters / C.C. Taylor // Journal du Conseil. - 1962. - Vol.27. - №2. - P.270-286.

[34]. Мина, M.B. Рост животны. Анализ на уровне организма / М.В. Мина, Г.А. Клевезаль. -М.: Наука, 1976. - 291 с.

[35]. Количественные аспекты роста организмов / Сборник науч. трудов под ред. А.И. Зотина, В.А. Грудницкого, Г.А. Клевезаля. - М.: ИМ, 1975. - 290 с.

[36]. Verhust, P.F. A note on the law of population growth / Verhust P.F. 4 Correspondance mathématique et physique. - 1838. - Vol. 10. - P. 113-121.

[37]. Brody, S. Bioenergetics of growth lsl ed/ S. Brody -NY: Reinhold, 1945. - 1023 P-

[38]. Gompertz, B. On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies / B. Gompertz // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1825. -Vol.115.-P.513-585.

[39]. Laird, A.K. Growth and time: an interpretation of allomety / A.K. Laird, A.D. Barton, S.A. Tyler // Growth. - 1968. - Vol.32. - №4. - P.347-354.

[40]. Silliman, R.P. Comparison between Gompertz and von Bertalanffy curves for expressing growth n weight of fishes / R.P. Silliman // Journal of the Fisheries research Board of Canada. - 1969. - Vol.26. - № 1. - P. 161 -165.

[41]. Шмальгаузен, И.И. Определение основных понятий и методик исследования роста / И.И. Шмальгаузен // Рост животных. М.: сборник-научных трудов. Биомедгиз. - 1935. - С.8-60.

[42]. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.innovaterussia.rU/project/gallery/current/l 6948 свободный.

[43]. Bertalanffy, L. von. Quantitative laws in metabolism and growth / L.von. Bertalanffy // The Quantitative Review of Biology. - 1957. - Vol.32. - №3. P.217-231.

[44]. Benedict, F.G. Vital energetics: a strudy in comparative basal metabolism / F.G. Benedict - Washington D.C.: Carnegie Institute of Washington, 1938. - 215 p.

[45]. Шмидт-Ниельсен, К. Размеры животны: почему они так важны / К. Шмидт -Ниельсен. - М.:Мир, 1987. - 259 с.

[46]. Rubner, M. Die gesetze des energieverbrauchs bei der ernahrung / M. Rubner -Berlin and Wien: Springer, 1902.

[47]. Hou, С. Energy uptake and allocation during ontogeny / C. I-Iou, W. Zuo, M.H. Moses, W.H. Woodruff, J.H. Brown, G.B. West // Science. - 2008. - Vol.322. -P.736-739.

[48]. Honjo, H. New experimental findinf in two-dimensional dendritic crystal growth / H. Honjo, S. Ohta, Y. Sawada // Physical Review Letters. - 1985. - Vol.55. P.841-844.

[49]. Sawada, Y. Transition of growth form from dendrite to aggregate/ Y. Sawada h Physica A. - 1986. - Vol. 140. - P. 134.

[50]. Raz, E. Dendritic growth of ammonium chloride crystals: measurements of the concentration field and a proposed nucleation model for growth / E. Rax. S.G.Lipson, E. Polturak // Physical Review A. - 1989. - Vol.40. - №2. - P. 10881095.

[51]. Honjo, H. Dense-branching morphology of an NH^Cl crystal / H.Honjo, S. Ohta // Physical Review A. - 1992. - Vol.45. - №12. - P.8332-8335.

[52]. Jun-Ming, L. In-situ observations of dendritic growth of ammonium chloride crystals from and aqueous solution system / L. Jun-Ming, L. Zhi-Guo, W. Zhuang-Chun // Scripta Metallurgica et Materialia. - 1995. - Vol.32 - №3. P.445-450.

[53]. Aksel'rod, E.G. Kinetic growth characteristics of a single dendrite during crystallization from a solution / E.G.Aksel'rod, L.M. Martyushev, E.V. Levkina П Technical Physics Letters. - 1999. - Vol.25 -№10. - P.830-832.

[54]. Dougherty, A. Shape of ammonium chloride dendrite tips at small supersaluration / A. Dougherty, M. Lahiri // Journal of Crystal Growth. - 2005. - Vol.274. P.233-240.

[55]. Dougherty, A. The transient growth of ammonium chloride dendrites / A. Dougherty, T. Nunnally // Journal of Crystal Growth. - 2007. - Vol.300. - P.467-472.

[56]. Гонзалес, P. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB / Р. Гонзалес, Р. Вудс, С. Эддинс - М.: Техносфера, 2006. - 615 с.

[57]. MATLAB v.7.5.0.342 (R2007b) User Guide

[58]. Тереньтев, П.С. Измерение площади кристалла на основе видеоданных микроскопических исследований / П.С. Тереньтев, J1.M. Мартюшев /7 Физические технологии и их информационное обеспечение III научно-практическая конференция студентов и молодых ученых кафедры технической физики. Сб. трудов. - Екатеринбург: ГОУ ВПО УРФУ, 2011.— С.62-70.

[59]. Ziegler, H. An introduction to thermomechanics / II. Ziegler - Amsterdam: North-Holland, 1983. - 360 p.

[60]. Non-equilibrium Thermodynamics and the Production of Entropy in Life, Earth, and Beyond / Eds. Kleidon A. and Lorenz R. D. - Heidelberg: Springer Verlag. 2004.-382 p.

[61]. Martyushev, L.M Maximum entropy production in physics, chemisty and biology / L.M. Martyushev, V.D. Seleznev // Physics Reports - 2006. - Vol. 426. - №1. - P. 1-45.

[62]. Martyushev, L.M. Entropy production and morphological transitions in nonequilibrium processes. [Электнонный ресурс] / 2010. Режим доступа: http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/101 1/101 1.4137.pdf, свободный. - Яз. англ.

[63]. Sawada, Y. A thermodynamic variational pricnciple in nonlinear systems far from equilibrium / Y. Sawada // Journal of Statistical Physics - 1984. - Vol.34. -P.1039-1045.

[64]. Kirkaldy, J.S. Spontaneous evolution of spatiotemporal patterns in materials / J.S. Kirkaldy // Reports on Progress in Physics. - 1992. - Vol.55. - P.723-795.

[65]. Hill, A. Entropy production as the selection rule between different growth morphologies / A. Hill // Nature. - 1990. - Vol.348. - P.426-428.

[66]. Ben-Jacob, E. The formation of patterns in non-equilibrium growth / E. BenJacob, P. Garik // Nature. - 1990. - Vol.343. - P.523-530.

[67]. Martyushev, L.M. Some interesting consequences of the maximum entropy production principle / L.M. Martyushev // Journal of Experimental and Theoretical Physics (JETP). - 2007. - Vol. 104. - №4. - P.651 -654.

[68]. Martyushev, L.M. On the problem of the metastable region at morphological instability / L.M. Martyushev, E.A. Chervontseva // Physics Letters A. - 2009. Vol.373.-P.4206-4213.

[69]. Martyushev, L.M. Coexistence of acially disturbed spherical particles during their nonequilibrium growth / L.M. Martyushev, E.A. Chervontseva // Europhysics Letters (EPL). - 2010. - Vol.90. - P. 10012-10017.

[70]. Martyushev, L.M. Thermodynamic model of nonequilibrium phase transitions / L.M. Martyushev, M.S. Konovalov // Physical Review E. - 201 1. - Vol.84. -№1. — P.011113-011119.

[71]. Mandelkern, L. Crystallization of polymers / L. Mandelkem. - NY: MCGraw-Hill Book Comp.- 1964.

[72]. Chernov, A.A. Modern Crystallography III: Crystal Growth. Part I / A.A. Chernov. - Berlin: Springer-verlag, 1984. - 517 p.

[73]. Makarieva, A.M. Mean mass-specific metabolic rates are strikingly similar across life's major domains: evidence for life's metabolic optimum / A.M. Makarieva. V.G. Gorshkov, B.-L. Li, S.L. Chown, P.B. Reich, V.M. Gavrilov // PNAS. -2008. - Vol.105. -№44. - P. 16994-16999.

[74]. Martyushev, L.M. Normalized increment of crystal mass as a possible universal parameter for dendritic growth / L.M. Martyushev, P.S. Terentiev // Physical Review E. - 2012. - Vol.85. - P.041604.

[75]. Martyushev, L.M. Specific mass increment and nonequilibrium crystal growth / L.M. Martyushev, P.S. Terentiev//Physica A. - 2013. - Vol.392. - P.3819-3826.

[76]. Tsoularis, A. Analysis of logistic growth models / A. Tsoularis // Res. Lett. Math. Sci.-2001.-Vol.2.-P.23.

[77]. Banks, R.B. Growth and diffusion phenomena, mathematical frameworks and applications / R.B. Banks - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 463 p.

[78]. Makarieva, A.M. Ontogenetic growth: models and theory / A.M. Makarieva. V.G. Gorshkov, B.-L. Li // Ecological Modelling. - 2004. - Vol. 176. - P. 15-26.

[79]. Bridgman, P. W. Dimensional Analysis / P. W. Bridgman - New Haven :Yale Univ. Press, 1922.

[80]. Stahl, W. R. Similarity and Dimensional Methods in Biology/ W.R. Stahl // Science. - 1962. - Vol.137. - P.205-212.

[81]. Günther, B. Dimensional Analysis and Theory of Biological Similarity/ B. Günther // Physiological Reviews. - 1975. - Vol.55. - P.659-699.

[82]. du Noüy, P.L. Biological time / P.L. du Noüy. - NY: Macmillan, 1937.

[83]. Schmalhausen, I., 1927. Beiträge zur quantitativen Analyse der Formbildung. 11. Das Problem des proportionalen Wachstums. Roux' Archive für Entwicklungsmechanik der Organismen 110(1), 33-62.

[84]. Schmalhausen, I. Das Wachstumsgesetz und die Methode der Bestimmung der Wachstumskonstante. / I. Schmalhausen // Roux' Archive für Entwicklungsmechanik der Organismen - 1928. - Vol.l 13. - №3. - P.462-519.

[85]. Schmalhausen, I. Das Wachstumsgesetz als Gesetz der progressiven Differenzierung. / I. Schmalhausen // Roux' Archive für Entwicklungsmechanik der Organismen. - 1930. - Vol. 123. - № 1. - P. 153 -178.

[86]. Schmalhausen, I. Über Wachstumsformen und Wachstumstheorien / i. Schmalhausen // Biologisches Zentralblatt. - 1930. - Vol.50. - №5. - P.292-307.

[87]. Backman, G. Wachstum und organische zeit / G. Backman - Leipzig: Barth. 1943.- 195 p.

[88]. Kolokotrones, T. Curvature in metabolic scaling/ T. Kolokotrones, V. Savage. E.J. Deeds, W. Fontana // Nature. - 2010. - Vol.464. - P.753-756.

[89]. Medawar, P.B. The 'Laws' of Biological growth / P.B. Medawar // Nature. -1941.-Vol.148.-P.772-774.

[90]. Naroll, R.S. The Principle of Allometry in Biology and the Social Sciences / R.S. Naroll, L. von Bertalanffy // General Systems. - 1956. - Vol. 1. - P.76-89.

[91]. Gould, S. J. Allometry and Size in Ontogeny and Phylogeny / S.J. Gould // Biological Reviews. - 1966. - Vol.41. - №4. - P.587-638.

[92]. Gould, S. J. Geometric Similarity in Allometric Growth: A Contribution to the Problem of Scaling in the Evolution of Size / S.J. Gould // American Naturalist -1971.-Vol.105.-№.942.-P.l 13-136.

[93]. Gayon, J. History of the Concept of Allometry. / J. Gayon // American Zoologist. - 2000. - Vol.40. - №5. - P.748-758.

[94]. Shipley, B. Regression smoothers for estimating parameters of growth analyses / B. Shipley, R. Hunt//Annals of Botany. - 1996. - Vol.78. - P.569-576.

[95]. Pratt, H.K. Chinese gooseberry: seasonal patterns in fruit growth and maturation, ripening, respiration and the role of ethylene / H.K. Pratt, M.S. Reid // J. Sci. Fd Agric. - 1974. - Vol.25. - P.747-757.

[96]. Gier, H.T. Growth rate in the cockroach periplaneta Americana / II.T. Gier // Annals Entomological Society of America. - 1947. - Vol. XL. - P.303-317.

[97]. Katz, S.L. Ontogenetic scaling of jump performance in the African deser locust (schistocerca gregaria) / S.L. Katz, J.M. Gosline // J. exp. Biol. - 1993. -Vol.177.-P.8Mll.

[98]. Specziar, A. Feeding strategy and growth of ceprinids in the littoral zone of Lake Balaton / A. Specziar, L. Tolg, P. Biro // Journal of Fish Biology. - 1997. -Vol.51.-P.1109-1124.

[99]. McGarvey, R. Spatial variation in mean growth rates at size of southern rock lobster, Jasus edwardsii, in South Australian waters / R. McGravey, G.J. Ferguson, J.H. Prescott // Mar. Freshwater Res. - 1999. - Vol.50. - P.333-342.

[100]. Smith, I.P. Dynamics of closed areas in Norway lobster fisheries / I.P. Smith, A.C. Jensen // ICES Journal of Marine Science. - 2008. - Vol.65. - P. 1600-1609.

[101].Dmi'el, R. Studiew on reproduction, growth and feedinf in the snake spalerosophis cliffordi (coluvridae) / R. Dmi'el // Copcia. - 1967. - Vol.1967. -No.2. - P.332-346.

[102]. Wilbur, H.M. A growth model for the turtle chrysemys picta / H.M. Wilbur // Copeia. - 1975. - Vol.1975. - No.2. -P.337-343.

[103].Zach, R. Weight and geather growth of nestling tree swallows / R. Zach, K.R. Mayoh // Can. J. Zool. - 1982. - Vol.60. - P. 1080-1090.

[104].Thoresen, A.C. The Breesind behavior of the cassin auklet / A.C. Thoresen // The Condor. - 1964. - Vol.66. - P.456-476.

[105]. Nelson, J.B. Factors influencing clutch-size and chick growth in the borth atlantic gannet, sula bassana / J.B. Nelson // IBIS. - 1964. - Vol. 106. - P.63-77.

[106]. Ricketts, C. Comparison of growth of albatrosses / C. Ricketts, P.A. Prince // Ornis Scandinavica. - 1981. -Vol.12. -No.2. -P.120-124.

[107]. Forsyth, D.J. A field study of growth and development of nestling masked shrews (sorex cinereus) / D.J. Forsyth // Journal of Mammalogy. - 1976. - Vol.57. -No.4. - P.708-721.

[108]. Short, H.L. Growth and development of Mexican free-tailed bats / H.L. Short // The Southwestern Naturalists. - 1961. - Vol.6. - No.3/4. - P. 156-163.

[109]. Yosida, Т.Н. Experimental breeding and cytogenetics of the soft-furred rat, millardia meltada / Т.Н. Yosida // Laboratory Animals. - 1978. - Vol.12. - P.73-77.

[110]. Sorensen, M.F. Reproductino and development in confined swamp rabbits / M.F. Sorensen, J.P. Rogers, T.S. Baskett // The Journal of Wildlife Management. -1968. - Vol.32. - No.3. - P.520-531.

[111].Zillinger, E.M. Fitting sigmoidal equations to mammalian growth curves / E.M. Zullinger, R.E. Ricklefs, K.H. Redford, G.M. Mace // Journal of Mammolgy. 1984. - Vol.65. - No.4. - P.607-636.

[112]. Payne, M.R. Growth in the Antarctic fur seal arctocephalus gazelle / M.R. Payne // Journal of Zoology. - 1979. - Vol.187. - P. 1-20.

[113]. Тереньтев, П.С. Нахождение площади квазидвумерных кристаллов но видеоданным низкого качества / П.С. Тереньтев, JI.M. Мартюшев // Семнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург, 25 марта - 1 апреля 2011. Материалы конференции. - 2011. - С.545.

[114]. Terentiev, P.S., Martyushev L.M. Mass increment for unsteady ammonium chloride dendrite growth in quasi-two-dimensional capillary. Twenty-third conference on Crystal Growth and Epitaxy. Stanford Sierra Camp, Fallen Leaf Lake, CA, USA. June 3rd-6th 2012.

[115]. Терентьев, П.С., Мартюшев JI.M. Закономерности роста кристаллов NI I4C1 различных морфологий при свободном неравновесном росте / П.С. Терентьев, JI.M. Мартюшев //Конференция стран СНГ по росту кристаллов. Харьков, 1-5 октября 2012. Тезисы докладов. - 2012. - С. 13.

[116]. Терентьев, П.С. Кинетика неравновесной кристаллизации хлористого аммония из водного раствора / П.С. Терентьев, JI.M. Мартюшев //Девятые Курдюмовские чтения. Синергетика в общественных и естественных науках. Тверь, 17-21 апреля 2013. Материалы Международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Тверь 2013. - С.133.

[117].Terentiev P., Martyushev L. Growth kinetics of seaweeds and dendrites during non-equilibrium crystallization. [Электронный ресурс] / 2013. Режми доступа: http://crystalgrowth.us/accgel9/Prelim Abstract Display.php?ElD=682 свободный. - Яз. англ.

[118].Терентьев, П.С. Новая модель для описания массы растущего организма oi времени / П.С. Терентьев, JI.M. Мартюшев // Международная конференция молодых ученых. Экспериментальная и теоретическая биофизика '13 21-23 октября 2013г. Сборник тезисов и программа конференции. - Пущино, 2013. - С.87-88.

[119].Тереньтев, П.С. Измерение площади кристалла на основе видеоданных микроскопических исследований / П.С. Терентьев, JI.M. Мартюшев Ч "Физические технологии и их информационное обеспечение" III научно-практическая конференция студентов и молодых ученых кафедры технической физики. Сб. трудов. Екатеринбург, 2011. стр. 62-70.

[120].Терентьев, П.С. Универсальный характер изменения массы со временем у неравновесных систем / П.С. Терентьев, Л.М. Мартюшев // 1 Международная молодежная научная конференция, посвященная 65-летию основания Физико-технологического института. Тезисы докладов. -Екатеринбург 2014. - С.244-245.

[121]. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2014614311(RU). Программный модуль для автоматического расчета площади кристаллов на сегментированных бинарных снимках Image Autoprocessing Tool (IAT) / П.С. Терентьев, JT.M. Мартюшев - Зарег. 2014.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АППРОКСИМАЦИЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ МАССЫ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ОНТОГЕНЕЗЕ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ РАЗНЫХ ТАКСОНОМИЧЕСКИХ ГРУПП

Рисунок П1.1 — Кривая роста крыжовника (АсИтсНа сЫпетгъ)

I (ДШ1)

Рисунок П1.2 - Кривая роста бухарника шерстистого (Но1сш 1апаШя)

t(ДНИ)

Рисунок П1.4 - Кривая онтогенеза пустынной саранчи (Schistocerca gregaria)

Рисунок П1.3 - Кривая онтогенеза американского таракана (Periplaneta americana)

коо|-

с 6001 4(КН

15(1 200 I (ДНЮ

15 20 t(недели)

t(года)

Рисунок П1.5 - Кривая онтогенеза леща обыкновенного {Abramis brama)

I(года)

Рисунок П1.8 - Кривая онтогенеза норвежского омара (Nephrops norvegicus)

t(года)

Рисунок П1.6 - Кривая онтогенеза густеры (Blicca bjoerkna)

I (года)

Рисунок П1.9 - Кривая онтогенеза змеи клиффорда (Spalerosophis cliffordi)

Рисунок П1.7 - Кривая онтогенеза лангуста {Jasus edwardsii)

Рисунок П1.10 - Кривая онтогенеза расписной черепахи (Chrysemys pida)

1 -1

^ ----

5 /

t(дни)

Рисунок П1.11 - Кривая онтогенеза древесной американской ласточки (Iridoprocne bicolor)

Рисунок П 1.12 - Кривая онтогенеза алеутского пыжика (Ptychoramphus aleuticus)

Рисунок П 1.13 - Кривая онтогенеза северной олуши (Sula bassana)

Рисунок П1.14 - Кривая онтогенеза чернобрового альбатроса (Thalassarche melanophris)

Рисунок П1.15 - Кривая онтогенеза землеройки (Cinereus ohioensis)

Рисунок П1.16 - Кривая онтогенеза мексиканской летучей мыши (Tadarida brasiliensis mexicana)

I (ДНИ)

I(дни)

Рисунок П1.19 - Кривая онтогенеза козы (Сарга Ыгст)

111\>да)

Рисунок П 1.20 - Кривая онтогенеза морского котика (Агс1осерИа/ш ^теИа)

Рисунок П1.17 - Кривая онтогенеза мягкошерстной крысы (Millardia те liada)

I(дни)

Рисунок П1.18 - Кривая онтогенеза водяного кролика (Sylvilagus ациайст)

1(недели)

Рисунок П1.21 - Кривая онтогенеза коровы (Bos Taurus)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ АППРОКСАМАЦИЙ ЭКПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МАССЫ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ОНТОГЕНЕЗЕ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ

Таблица П2.1 - ссылки на исходные экспериментальные данные

Название Латинское название Ссылка

Бухарник шерстистый Holcus lanatus В. Shipley (1996) [94]

Крыжовник Actinidia chinensis U.K. Pratt (1974) [95]

Американский таракан Periplaneta americana H.T. Gicr (1947) [96]

Саранча пустынная Schistocerca gregaria S.I,. Katz (1993) [971

Обыкновенный лещ Abrantis brama A. Specziar (1997) |98]

Густера Blicca bjoerkna A. Specziar (1997) [98]

Лангуст Jasus edwardsii R. McGarvey (1999) [99]

Норвежский омар Nephrops norvegicus LP. Smith (2008) [100J

Змея Клиффорда Spalerosophis cliffordi R. Dmi'el (1967) [101]

Расписная черепаха Chrysemys picta H.M. Wilbur (1975) [102]

Древесная ласточка Iridoprocne bicolor R. Zach (1982) [ 103 ]

Алеутский пыжик Ptychoramphus aleuticus A.C.Thoresen (1964) [1041

Северная олуша Sula bassana J.B. Nelson (1964) [ 105]

Чернобровый альбатрос Thalassarche melanophris C. Ricketts (1981) [106]

Землеройка Cinereus ohioensis D.J. Forsyth (1976) [107|

Летучая мышь Tadarida brasiliensis mexicana ILL. Short (1961) 1108]

Мягкошерстная крыса Millardia meltada Т.П. Yosida (1978) [109]

Водяной кролик Sylvilagus aqualicus М.Г. Sorensen (1968) LI 10|

Коза Capra hircus E.M. Zillingcr (1984) [111]

Морской котик Arctocephalus gazella M.R. Payne (1979)[112]

Корова Bos Taurus S. Brody (1945) [37]

Таблица П2.2 - численные значения коэффициентов при аппроксимации экспериментальных значений DS- моделью:

mit) = Cta ехр(-Ы)

Вид С а ъ

Бухарник шерстистый 2.5±0.5 • 10"6 [мг/день"] 5.3±0.8 0.17±0.03 [ 1 /день ]

Крыжовник 7±5 [г/неделяа] 0.9±0.3 0.04±0.02 [1/неделя |

Американский таракан 1±1 • 10'4[мг/деньа] 2.75±0.06 0

Саранча пустынная 0.0 №0.009 [мг/день"] 4.5±0.1 0.12±0.04 11/дни]

Обыкновенный лещ 2±1 [ г/год" | 4.1±0.9 0.4±0.1 [ 1 / год]

Густера 7±2 [г/год"] 1.79±0.07 0

Лангуст 0.25±0.01 [кг/года] 1.11±0.03 0.05±0.05| 1 /год]

Норвежский омар 0.005±0.001 [кг/года] 1.46±0.09 0

Змея Клиффорда 15±2 [г/год"] 1.18±0.06 0

Расписная черепаха 43±9 [г/года] 1.5±0.4 0.20±0.07[1/год]

Древесная ласточка 0.5±0.1 [г/деньа] 2.5±0.3 0.20±0.03 [1/день]

Алеутский пыжик 0.8±0.2 [г/деньа] 1.9±0.1 0.043±0.006 [1/день|

Северная олуша 0.7±0.7 [г/денья] 2.7±0.3 0.039±0.007 [1/день]

Чернобровый альбатрос 0.010±0.005 [кг/деньп] 1.7±0.2 0.016±0.003 [1/день]

Землеройка 0.07±0.04 [г/денья] 2.1±0.4 0.11±0.03 [1/день]

Летучая мышь 0.1±0.1 [г/деньа] 1.4±0.8 0.013±0.009 [1/дни]

Мягкошерстная крыса 6.0±0.8 [г/неделя"] 1.6±0.1 0.13±0.02 [1/неделя]

Водяной кролик 7±4 [г/деньа] l.liO.l 0.003±0.001 [1/день]

Коза 0.2±0.1 [кг/день"] 0.90±0.09 6±1 • 10"4 [1/день]

Морской котик 8±8 [кг/года] 2±\ 0.1 ±0.2 [ 1 /год]

Корова 0.4±0.4 [кг/денья] 1. 1±0.2 6±4 ■ 104 [1/день]

Таблица П2.3 - численные значения коэффициентов при аппроксимации экспериментальных значений моделью Берталанфи:

m(t) =

(

а

V

а с --тг

Ъ

о

Qxp(-Cbt)

с

при то=0

Вид С а ъ

Бухарник шерстистый 3±2 • 10"2 7±4 [мгс/день] 7±4 [1/день]

Крыжовник 0.9±0.7 б±8 [гс/неделя] 0.2±0.3 |1/неделя]

Американский таракан 0.40±0.06 0.11 ±0.01 [мгс/день] 0.002±0.003 [ 1 /дни 1

Саранча пустынная 0.10±0.07 2.86±1.21 [мгс'/день] 1±1 [ 1 /дни]

Обыкновенный лещ 0.2±0.1 6±1 [гс/год] 2±1 f 1 / год]

Густера 0.6±0.1 6±1 [г^/год] -0.1 ±0.1 f 1 / год 1

Лангуст 0.87±0.05 0.35±0.03 [кг^ /год] 0.14±0.02 [ 1 /год]

Норвежский омар 0.4±0.1 0.3±0.3 [кгс/год] 0.5±0.5 11 /год]

Змея Клиффорда 0.6±0.3 6.3±0.5 [г^ /год] 0.14±0.04 Ll/i од]

Расписная черепаха 0.4±0.1 13±2 [гс/год] 0.4±0.1 Г1 /год]

Древесная ласточка 0.3U0.09 2.5±0.5 [гс/день] 0.9±0.5 [1/день]

Алеутский пыжик 0.48±0.06 1.63±0.09 [гс/день] 0.15±0.04 [1/день]

Северная олуша 0.23±0.08 1.8±0.2 [г( /день] 0.3±0.1 [1/день]

Чернобровый альбатрос 0.49±0.07 0.15±0.02 [кгс/день] 0.07±0.03 [1/день]

Землеройка 0.4±0.2 0.9±0.7 [гс/день] 0.6±0.6 11/депь]

Летучая мышь 0.1±0.2 1±2 [гс/день] 1±2 [1/день)

Мягкошерстная крыса 0.52±0.07 4.8±0.3 [гс/неделя] 0.5±0.1 [1/неделя]

Водяной кролик 0.8±0.1 5±3 [гс/день] 0.008±0.003 [1/день]

Коза 1.0±0.2 0.14±0.05 [кгс/депь] 0.002±0.0009 [1/день]

Морской котик 0.7±0.6 6±7 [кгс/год] 0.7±0.6 [ 1 /год]

Корова 0.7±0.1 0.19±0.06 [кгс/день] 0.004±0.001 [1/день]

Таблица П2.4 - численные значения коэффициентов при аппроксимации экспериментальных значений моделью Гомпертца:

т(/) = Сехр(-дехр(-АО)

Вид С а ъ

Бухарник шерстистый 1.0Ш.02 [мг] 32±13 0.22±0.03 [1/день]

Крыжовник 47±3 [г] 3±1 0.25±0.08 |1/неделя]

Американский таракан 6932±2683 [мг] 7.7±0.4 4.2±0.7 • 10"3 [1/дни]

Саранча пустынная 2591±182 [мг] 16±11 0.15±0.03 [1/дни]

Обыкновенный лещ 616±88 [г] 1.4±0.2 1.1 ±0.2 [1/год]

Густера 732±198 [г] 5.1±0.2 0.21 ±0.04 [1/год]

Лангуст 2.2±0.2 [кг] 2.9±0.4 0.29±0.04 [1/год]

Норвежский омар 1±5 [кг] 5±4 0.1 ±0.2 11/год]

Змея Клиффорда 382±30 [г] 3.9±0.3 0.20±0.02 [1/год]

Расписная черепаха 195±8 [г] 3.9±0.9 0.7±0.1 [1/год]

Древесная ласточка 22.0±0.8 [г] 5.0±0.6 0.36±0.03 [1/день]

Алеутский пыжик 147±4 [г] 4.0±0.2 0.11±0.01 [1/день]

Северная олуша 3993±183 [г] 6±1 0.07±0.01 [ 1/день)

Чернобровый альбатрос 5.2±0.2 [кг] 3.8±0.4 0.05±0.01 [1/день]

Землеройка 3.4±0.3 [г] 4±2 0.25±0.06 [1/день]

Летучая мышь 9.7±0.8 [г] \2±\1 0.95±0.05 [1/день]

Мягкошерстная крыса 78±3 [г] 3.7±0.4 0.37±0.04 [1/неделя]

Водяной кролик 2033±185 [г] 3.1±0.6 0.015±0.004 [1/день]

Коза 56.3±4.5 [кг] 2.6±0.6 4±1 • 10"3 [1/день]

Морской котик 173±67 [кг] 4±1 0.3±0.2 11/год]

Корова 384±16 [кг] 3.1±0.5 0.004±0.001 [1/день]

Таблица П2.5 - численные значения коэффиц^нтов при'аппроксимации

экспериментальных значений Логистической моделью:

=

С

1 + аехр(-^0

Вид С а Ъ

Бухарник шерстистый 0.98±0.02 [мг] 337±216 0.33±0.04 [день]

Крыжовник 47±3 [г] 7.06±5.57 0.4±0.1 [неделя]

Американский таракан 1759±372 [мг] 171±44 0.017±0.002 [день]

Саранча пустынная 2489±132 [мг] 139±137 0.24±0.05 [день]

Обыкновенный лещ 503±20 [г] 2.6±0.2 2.3±0.2 [год]

Густера 376±71 [г] 43±12 0.6±0.1 [год]

Лангуст 2.Ш.2 [кг] 9±4 0.5±0.1 [год)

Норвежский омар 3±130 [кг] 277±13690 0.3±0.3 [год]

Змея Клиффорда 314±29 [г] 19±6 0.4±0.7 [год]

Расписная черепаха 189±9 [г] 15±12 1.1 ±0.4 [год]

Древесная ласточка 20.4±0.5 [г] 26±5 0.61±0.05 [день]

Алеутский пыжик 134±4 [г] 18±3 0.18±0.01 [день]

Северная олуша 3797±129 [г] 30±11 0.11 =±=0.01 [день]

Чернобровый альбатрос 4.9±0.2 [кг] 16=1=5 0.8±0.1 [день)

Землеройка 3.3±0.2 [г] 19±13 0.4±0.1 [день]

Летучая мышь 9.5±0.7 [г] 140±343 0.16±0.06 [неделя]

Мягкошерстная крыса 73±5 [г] 15±7 0.6±0.1 [день)

Водяной кролик 1911±200 [г] 11±7 0.024±0.007 [день]

Коза 55±6 [кг] 8±5 0.007±0.003 [день]

Морской котик 143±26 [кг] 18±12 0.5±0.2 [год]

Корова 375±26 [кг] 10±5 0.006±0.002 [день]