Кинетические баллонные моды в плазме токамака и стелларатора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Алейникова Ксения Олеговна

• Алейникова Ксения Олеговна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Алейникова Ксения Олеговна

в плазме

0.3.1. Жидкостные модели

0.3.2. Кинетические модели и гирокинетика

0.3.3. Гибриды кинетических и жидкостных моделей и "гирожидкост-

ная" модель

0.4. Структура диссертации

0.5. Цели исследования

0.6. Основные задачи

0.7. Научная новизна и практическая ценность

0.8. Основные положения, выносимые на защиту

ГЛАВА 1. Кинетические баллонные моды в упрощенной геометрии тока-мака19

1.1. Введение

1.2. Уравнение КБМ с учетом высоких в

1.3. Численная верефикация

1.3.1. Локальный анализ

1.3.2. Магнитный шир

1.3.3. Подробности численного моделирования

1.3.4. Код GENE

1.3.5. Сравнение результатов кодов GENE и GS2

1.3.6. Результаты: большие температурные градиенты

1.3.7. Результаты: умеренные температурные градиенты

1.4. Заключение

ГЛАВА 2. Кинетические баллонные моды в токамаке и стеллараторе

2.1. Введение

2.2. Кинетические баллонные моды в общей геометрии

2.3. Численные результаты для W7-X

2.3.1. Подробности численного моделирования и код GENE

2.3.2. Роль продольных флуктуаций магнитного поля

2.3.3. Варьирование по радиальному волновому числу

2.3.4. Влияние градиентов температуры в W7-X

2.3.5. Пороги развития КБМ неустойчивости и идеальной МГД моды

в W7-X

2.4. Заключение

ГЛАВА 3. Линейный анализ плазмы после срывов на МГД устойчивость

3.1. Введение

3.2. Моделирование срывов в помощью кода DINA

3.3. Численный линейный анализ плазмы на МГД устойчивость

3.3.1. Код MISHKA-1

3.3.2. Код CASTOR

3.3.3. Результаты

3.4. Заключение

Заключение 99 Список иллюстраций

Список использованных источников

107

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетические баллонные моды в плазме токамака и стелларатора»

0.1. Актуальность проблемы

Решение задачи магнитного удержания плазмы токамака или стелларато-ра связано напрямую с изучением условий достижения термоядерного синтеза. На данном этапе появляется большое число экспериментальных установок по всему миру. Некоторые из них еще только проходят стадию разработки и будут введены в эксплуатацию в ближайшее время. Другие уже были запущены, что позволяет проводить не только теоретические и численные исследования, но и получать экспериментальные данные о поведение и физических параметрах плазмы в условиях, близких к термоядерным.

Актуальным и важным вопросом при изучении высокотемпературной плазмы является задача увеличения времени удержания при повышении давления плазмы. А именно: неизбежное повышение давления плазмы может являться причиной дестабилизации кинетических баллонных мод, а возникновение и эволюция подобных неустойчивостей увеличивают потери энергии из плазмы, что в свою очередь ограничивает время жизни плазмы. Таким образом, вопрос о предельной величине параметра в = 8пр/Б2 (отношение двух давлений: плазменного и магнитного), при котором могут появляется неустойчивости, является критическим для создания термоядерного реактора.

Некоторую информацию о параметрах плазмы можно получить, используя расчетные методики, опирающиеся на накопленные экспериментальные данные. Так же возможна экстраполяция таких экспериментальных данных до параметров, соответствующих установкам большого размера. Однако стоит учитывать ограниченность подобного рода методик. Поэтому актуальным является теоретическое исследование кинетических баллонных мод, а также численное моделирование плазмы на устойчивость с учетом влияния про-

филей давления плазмы, а также зависимостью от них инкремента роста соответствующих неустойчивостей.

0.2. История исследования баллонных мод

Главной темой представленной диссертационной работы являются кинетические баллонные моды (КБМ). Однако же, чтобы полностью понимать современные исследования и теорию данного вида микронеустойчивостей, следует сначала ознакомиться с историей исследования идеальных баллонных мод.

Фурф, Киллин, Розенблют и Коппи [1] в своей работе положили начало исследованию баллонных мод. В данной работе, авторы показали, что при достижении давлением критической величины, плазма становится неустойчивой, несмотря на то, что критерий Сайдема выполняется [2]. Однако критерий на устойчивость баллонных мод для геометрии токамака, включающий в себя баллонный эффект, все еще оставался открытым вопросом. Кадомцев и Погуце разработали метод [3], основанный на малом параметре - отношении двух магнитных полей: поля тока и тороидального поля. Таким образом был получен первый критерий для круглого токамака:

1 2 8ш <1р а2 тт

452 + В02 I - Т + аи> (1)

Здесь б - магнитный шир, д = , где В0 - тороидальное поле, В - поле тока , Я и г - большой и малый радиусы тора, соответственно, а = — 8жр Яд2/В02 ~ е2в2, и - магнитная яма, в = 8^< р >/В2, е = г/Я. В данном уравнении присутствуют и члены, полученные ранее Сайдемом для геометрии цилиндра-первые два. В них стабилизирующие влияние шира ослабляется градиентом давления. Два последующих, новых члена, связанных с тороидальностью, -баллонный ( ~ а2) и магнитная яма, - являются дестабилизирующим и стабилизирующим, соответсвенно. Дальнейшие, более детальные вычисления,

выполненные Шафрановым и Юрченко, привили к упрощению вида данного критерия [4]:

4«2 + Б0Г(1 - ^ > а (2)

Приблизительно в то же время, независимо от Шафранова и Юрченко, Ур.2 было получено Уаром и Хаазом [5].

Таким образом, на данном этапе изучения баллонных мод предполагалось, что они не представляют угрозы, ввиду того, что во втором критерии [Ур. 2] отсутствовало ограничение по параметру давления. Как показали в своей работе Погуце и Юрченко, это ограничение естественным образом снималось, из-за сокращения баллонного эффекта при наличии конечного значения давления плазмы, которое увеличивало магнитную яму [6]. Позднее была предпринята попытка получить данное ограничение. Это было сделано в работе Шафранова и Юрченко, где авторы решили учесть, при разложении по параметру ев<< 1 [7], члены более высокого порядка. Однако в своей работе [8], Михайловский показал, что члены, связанные с таким разложением, оказывают стабилизирующий эффект.

Однако позднее, после опубликования экспериментальных работ, где было показано, что баллонные моды имеют пороговое значение давления, при достижении которого в плазме начинает развиваться данная неустойчивость, стало ясно, что критерий на пограничную устойчивость данных мод нужно получить аналитически. Подобная теоретическая работа могла бы пролить свет на природу данного явления. Существенный вклад в изучение баллонных мод в это время связан с именами Коннера, Хасти и Тейлора и с принципиально новым подходом, ими разработанным [9]. Подобная работа была также независимо проделана Ли и Ван Дамом [10], приблизительно в тот же период времени. Данный подход, снимал достаточно жесткое ограничение, присутствующее в предыдущих работах и связанное с локализацией возму-

щений, которые рассматривались. Таким образом, теперь, при поиске решения на устойчивость, решался не набор уравнений в частных производных,а только лишь одно, дифференциальное, но в фурье-пространстве. Коэффициенты данного уравнения были периодическими и непериодическими, поэтому решение данного уравнения было сперва получено численно [9]. Однако затем, в работе [11], Погуце и Юрченко исследовали данное уравнение аналитически, и новый критерий на развитие баллонных мод в круговой геометрии магнитного поля был получен. Так появилась первая зона устойчивости баллонных мод. В дальнейших работах, изучающих баллонные моды (Мер-сье [12] и Захаров [13]), авторами было установлено, что если продолжать повышать давление после достижение порогового значения, то плазма опять будет устойчивой. Этот эффект был связан с открытием Михайловским и Шафрановым явления самостабилизации при достижении плазмой высоких давлений [14]. Новый критерий, учитывающий зависимость от магнитного шира, был получен Михайловским и Юрченко и описывал уже обе кривые устойчивости [15]. Аналитическая диаграмма устойчивости, приведенная в этой работе, представлена для наглядности на Рис. 1. Пунктирная кривая на данном графике соответствует случаю, когда отсутствует стабилизация за счет магнитной ямы. Область неустойчивости заштрихована. Видно, что при наличии стабилизации за счет магнитной ямы существует порог по величине а, выше которого возможна неустойчивость.

До сих пор мы обсуждали идеальные баллонные моды. Как уже говорилось выше, тороидальные неустойчивости с высоким числом п впервые были успешно изучены с использованием баллонного преобразования в рамках идеальной магнитогидродинамической (МГД) модели в работе Коннера, Хасти и Тейлора [9]. Добавление кинетических эффектов в данную теорию делает ее более полной и приводит к изучению, так называемых, кинетических баллонных мод (КБМ) [16,17]. Уравнения, описывающие кинетические баллонные моды, были впервые описаны в работах Антонсена и Лейна [16],а

Рис. 1. Аналитическая диаграмма устойчивости ского и Юрченко [15].

Взята из работы Михайлов-

также Танга, Коннора и Хасти [17]. Однако сложная структура этих уравнений, препятствует аналитическому изучению КБМ неустойчивости. Таким образом, естественным и необходимым является продолжение изучения данного вида неустойчивостей, как аналитически, так и численно.

0.3. Физические модели для численного исследования неустойчи-востей в плазме

Для изучения неустойчивостей, возникающих в плазме, используется несколько различных физических моделей. Все эти модели можно получить, начиная с шестимерного кинетического уравнения и сделав ряд приближений. Во всех случаях присутствует компромисс между физической полнотой модели и ее практичностью для использования в численном моделировании. Модели могут быть в целом классифицированы как: жидкостные модели, кинетические модели и гибридные модели.

0.3.1. Жидкостные модели Простейшей моделью является одно-жидкостная модель. В ней электроны (или ионы) описываются в терминах плотности, температуры и средней скорости. В основе данной модели лежат: уравнение баланса плотности, уравнение сохранения импульса, уравнение баланса энергии электронов. В двухжидкостной модели таким же образом, дополнительно к первому виду частиц, рассматривается второй. Отметим, что простейшие модели жидкости, такие как идеальная магнитная гидродинамика (МГД), не учитывают явления малого масштаба, необходимые для точного описания микронеустойчивостей (обратите внимание, однако, что кинетические эффекты могут быть добавлены к моделям типа МГД, как, например, диамагнитный член в Главе 1 данной работы). Соответственно, необходимо использовать более подробные модели, например, такие как уравнения Брагинского [18]

Жидкостные модели достаточно легко поддаются численному моделированию, так как в трехмерном пространстве необходимо решить лишь небольшое число уравнений. Обычно, также, предлагается набор аналитических приближений, чтобы ограничить модель характерными пространственными и временными масштабами, которые соответствуют рассматриваемой неустойчивости.

Раннее гидродинамическое моделирование плазменных микронеустойчи-востей проводилось с использованием упрощенных уравнений, часто в локальных координатах, двух измерениях или в плоской геометрии с широм, например [19]. Моделирование в тороидальной геометрии впервые было осуществлено после разработки баллонного представления [20] и его распространения на нелинейные задачи [21,22]

Подобные упрощенные подходы позволили многое узнать о качественном характере микронеустойчивостей в плазме. Однако эти модели не могут обеспечить количественно точного описания, поскольку они не учитывают важные кинетические эффекты. И только вблизи края плазмы, где большое число столкновений подавляет кинетические эффекты, такие модели могут быть применены.

0.3.2. Кинетические модели и гирокинетика Признание важности кинетических эффектов плазмы в процессах дестабилизации и насыщения микронеустойчивостей привело к вопросу о решении полного кинетического уравнения.

Наиболее общее кинетическое уравнение является шестимерными (три измерения в реальном пространстве и три в пространстве скоростей), что делает прямое численное моделирование в реалистичной геометрии трудным. Однако несколько достижений привели к большому прогрессу в кинетическом моделировании. Первое - развитие гирокинетического уравнения [23-25]. Гирокинетика усредняет по гировращению частиц вокруг сильного магнит-

ного поля, что приводит к пятимерному уравнению (для И,^ и д, где И описывает положение гироцентра в реальном пространстве, и для координат пространства скоростей мы выбрали параллельную скорость и магнитный момент д), описывающему дрейфовое движение заряженных колец. Учитываются как все временные масштабы медленнее, чем ионная (электронная) гирочастота, так и пространственные масштабы порядка ионного (электронного) гирорадиуса.

Полученное гирокинетическое уравнение по-прежнему было трудно решить напрямую, и применялись различные методы, в том числе метод "частиц в ячейках" [24,26,27]. В дальнейшем, эффективность значительно воз-расла, когда был разработан метод 5 Г [28-30], который устраняет равновесное распределение и связанные с ним шумы из моделирования. Гироки-нетическое 5Г моделирование методом частиц в настоящее время является основным инструментом для исследования микронеустойчивостей плазмы. Впервые, для трубки магнитного потока этот метод был реализован в работе Димитса [31], и для геометрии полного тора в работе Паркера [32].

Также был предпринят прямой подход к решению гирокинетического уравнения на пятимерной сетке, но это оказалось сложным с вычислительной точки зрения. Однако, в связи с улучшением в вычислительной мощности и алгоритмах, появляется все больше работ, использующих этот метод, например [33].

0.3.3. Гибриды кинетических и жидкостных моделей и "гиро-жидкостная" модель Вычислительные преимущества жидкостных моделей в сочетании с признанием необходимости учета кинетических эффектов для изучения микронеустойчивостей стимулировали разработку моделей, которые бы включали кинетические эффекты в улучшенную жидкостную модель. Один из подходов состоит в том, чтобы разделить плазму на несколько компонентов и описывать один компонент (например, основную плазму)

гидродинамическими уравнениями, а другой компонент (например, пучок быстрых ионов) с помощью кинетического моделирования. И хотя этот метод эффективен для некоторых проблем, его применимость ограничена из-за необходимости учета кинетических эффектов в объеме основной плазмы при расчете микронеустойчивостей.

Другой подхо заключается в том, чтобы включать кинетические эффекты в физическую модель, основанную на МГД уравнениях. Для получения упрощенных моделей кинетических эффектов были предложены: искусственные вязкость [34] и теплопроводность [35,36].

Модели "гирожидкости" ("§угоАш^'), названные так, потому что они используют моменты гирокинетического уравнения и включают кинетические эффекты, отсутствующие в традиционных уравнениях текучей среды, были разработаны сначала в плоской геометрии [37], затем были реализованы в тороидальной геометрии [38,39].

Позже, используя моменты нелинейного тороидального гирокинетическо-го уравнения, был выведен набор нелинейных гирожидкостных уравнений для моделирования микронеустойчивостей в плазме токамака. Замыкание было осуществлено аппроксимациями, которые моделируют кинетические эффекты, такие как: затухания Ландау, линейные и нелинейные эффекты конечного ларморовского радиуса [37,40], и тороидальные дрейфовые резо-нансы (путем добавления поправок более высокого порядка при раскладывании резонансных знаменателей) [41].

0.4. Структура диссертации

В первой главе, кинетические баллонные моды (КБМ) изучаются аналитически в геометрии токамака и численно с помощью гирокинетического моделирования. Показывается, что при соответствующих малых параметрах, найденных в данной главе, классическое уравнение кинетических баллонных

мод можно значительно упростить. Вводится вариационный подход, который позволяет получить явное дисперсионное соотношение в интегралах квадратичных форм с использованием численных собственных функций. Обнаружено, что при больших градиентах давления, инкремент нарастания и частота неустойчивости, рассчитанные гирокинетическим кодом GENE, отлично согласуются со значениями, полученными с использованием диамагнитной модификации идеального МГД уравнения для КБМ. Это верно только если члены уравнения, связанные с дрейфами, учитывают соответствующие равновесные градиенты давления. Для умеренных градиентов давления предлагается новая теория КБМ, учитывающая конечность малого параметра ß. В этом случае также найдено хорошее согласие между численным моделированием и аналитической теорией.

Во второй главе, кинетические баллонные моды исследуются с помощью линейного гирокинетического моделирования в геометрии стелларатора Вандельштайн 7-X (Wendelstein 7-X, W7-X) для плазмы с высокими ß. Расчеты показывают подавление ионной температурно-градиентной (ITG, Ion Temperature Gradient) моды и моды запертых электронов (TEM, Trapped Electron Mode) с увеличением значения ß и дестабилизацию КБМ при высоких ß. Эти результаты, полученные для стелларатора, сравниваются с результатами в геометрии токамака. Также, представлено уравнение КБМв геометрии стелларатора, обобщенное для магнитной силовой трубки на случай произвольной магнитной поверхности. Мы показываем, что для больших градиентов давления частота КБМ, в геометрии стелларатора W7-X, оцененная кодом GENE, согласуется со значением частоты, аналитически предсказанной идеальным МГД уравнением с диамагнитной поправкой. Пороговые значения ß для дестабилизации КБМ прогнозируются для различных равновесных конфигураций W7-X. Мы обсудим связь этих порогов с идеальными МГД свойствами устойчивости соответствующих равновесий. В данной главе также показано, что во всех численных расчетах необходимо, чтобы геомет-

рия магнитного равновесия соответствовала меняющемуся градиенту давления. Была разработана методика анализа плазмы на различные неустойчивости, заключающаяся в согласованном использовании кодов равновесия плазмы с кодами, рассчитывающими устойчивость плазмы. В третьей главе, проводится верификация данного метода согласованного анализа плазмы на примере анализа неуправляемого движения шнура плазмы в камере токамака при срывах разряда и последующего возникновения МГД неустойчивостей. Мы оцениваем влияние возможных параметров затравки тока убегающих электронов (УЭ) на начало МГД-неустойчивости в плазме строящегося тока-мака ИТЭР. Во время срывов плазмы в ИТЭР возможно, что большая часть плазменного тока может быть заменена током убегающих электронов. МГД-активность такой плазмы будет влиять на генерацию и удержание убегающих электронов и динамику положения плазмы (вертикального смещения), ограничивая временные рамки для подавления срыва шнура УЭ в подобной плазме. Изменяя профиль затравки тока УЭ, мы анализируем дальнейшую эволюцию плазмы с точки зрения возникающей в ней МГД-активности. Эта информация может быть применена к разработке желаемого сценария срыва в ИТЭР.

В заключение будут сформулированы основные результаты диссертационной работы.

0.5. Цели исследования

Цели настоящего исследования:

1. Разработка упрощенной теории классических баллонных мод (КБМ, Kinetic Ballooning Modes).

2. Найти пределы, в которых гирокинетическое моделирование кинетической баллонной неустойчивости, дает результаты, сопоставимые с теорией идеальных баллонных мод.

3. Выполнить последовательное численное исследование кинетической баллонной моды в геометрии в стелларатора Вандельштайн 7-X

4. Определить критические значения параметра в для дестабилизации КБМ в разных конфигурациях стелларатора Вандельштайн 7-X.

5. Выяснить, следует ли ожидать появления КБМ неустойчивости раньше, чем появится соответствующая идеальная МГД неустойчивость.

6. Рассмотреть эволюцию различных сценариев VDE (Vertical Displacement Event, вертикальное смещение плазмы) в ИТЭР и проанализировать возникающую в них МГД активность.

0.6. Основные задачи

Основными задачами диссертационной работы являются:

1. Поиск малых параметров, позволяющих значительно упростить классическое уравнение баллонных мод.

2. Исследование пределов полученного упрощенного уравнения кинетических баллонных мод.

3. Верификация результатов, полученных с помощью кода GENE [42,43] с результатами кода GS2 [44,45].

4. Разработка программного модуля для расчета инкремента роста и частоты КБМ неустойчивости на основе полученного уравнения и сравнение полученных результатов с результатами гирокинетических кодов GENE и GS2.

5. Изучение влияния параметров плазмы на КБМ неустойчивость.

6. Сравнение порога возникновения КБМ неустойчивости для разных конфигураций стелларатора Wendelstein 7-X (W7-X).

7. Изучение и сравнение поведения ионной температурно-градиентной (ITG, Ion Temperature Gradient) моды, моды запертых электронов (TEM, Trapped Electron Mode) и КБМ в геометриях токамака и стел-ларатора.

8. Обобщение теории, полученной для магнитной силовой трубки на случай произвольной магнитной поверхности, что позволило теоретически рассмотреть КБМ в геометрии стелларатора.

9. Анализ неуправляемого движения шнура плазмы в камере токамака при срывах разряда (вертикальной неустойчивости) с генерацией убегающих электронов и последующее возникновение магнитогидродина-мических неустойчивостей.

0.7. Научная новизна и практическая ценность

1. Новая методика решения общего уравнения кинетических баллонных мод была продемонстрирована и режимы ее применимости найдены.

2. Было выполнено последовательное численное исследование влияния параметров плазмы на кинетическую баллонную моду в геометрии тока-мака и стелларатора.

3. Впервые пороговые значения ß для дестабилизации кинетической баллонной моды были получены и проанализированы для стелларатора W7-X.

4. Аналитически и численно было показано, что появление КВМ неустойчивости возможно раньше, чем дестабилизация соответствующей идеальной МГД неустойчивости.

5. Для численных расчетов КВМ, продемонстрирована необходимость учета согласованности равновесия с параметрами исследуемой плазмы.

6. Разработана методика анализа плазмы на МГД устойчивость, заключающаяся в согласованном использовании кодов равновесия плазмы с кодами, рассчитывающими МГД устойчивость. Также разработаны наборы кодов, позволяющие применять данный подход.

Практическая значимость: разработанная теория позволяет значительно сэкономить временные затраты на анализ плазмы на KBM устойчивость и обозначить границы поиска данной неустойчивости. Эта работа может быть востребована при планировании экспериментов и интерпретации диагностических данных.

0.8. Основные положения, выносимые на защиту

1. Новый метод решения общего уравнения кинетической баллонной моды, в пределах как малых, так и больших в, позволяющий рассмотреть данное уравнение в двух режимах: c «высокими» и «умеренными» температурными градиентами.

2. Для геометрии токамака с малым широм аналитически показано, что дестабилизация КВМ может происходить как до, так и после дестабилизации соответствующей идеальной МГД неустойчивости.

3. Пороговые значения в для дестабилизации кинетической баллонной моды в геометрии стелларатора W7-X.

4. В стеллараторе W7-X, численно показано, что КВМ неустойчивость может возникнуть раньше, чем появится соответствующая идеальная МГД неустойчивость.

5. Продемонстрирована необходимость учета продольных флуктуаций магнитного поля в численных расчетах КВМ.

6. Продемонстрирована необходимость согласованного анализа плазмы на КВМ и МГД устойчивость.

Личный вклад автора. Автором лично или при его непосредственном участии выполнены все теоретические изыскания. Все численные расчеты выполнены и проанализированы непосредственно автором.

В заключении введения мы выражаем огромную благодарность всем тем, кто принял участие в подготовке и обсуждении представленной диссертации!

В первую очередь позвольте выразить искреннюю признательность и благодарность научному руководителю Коновалову Сергею Владимировичу,а также Алессандро Зокко за помощь на всех этапах выполнения диссертации.

Во-вторых, хотелось бы выразить слова благодарности в адрес Пера Хе-ландера, Павлоса Ксантополоса, Каролин Нюрнберг, Дж.В. Коннора, М. Барнса, Т. Герлера,Х . Доерка, Ф. Зонка, Ф. Дженко и Ю. Туркина за высококвалифицированные советы и отзывы на той или иной стадии проекта, позволившие развить, улучшить и завершить представленную работу, а также за общую положительную оценку данной диссертации.

Отдельную благодарность выражаем Владимиру Дмитриевичу Пустови-тову за объективные советы, которые позволили выявить недостатки и глубже понять значение выполненной работы, а также Андрею Алексеевичу Пше-нову за рекомендации и помощь в организационных вопросах.

И наконец, хотелось бы подчеркнуть неоценимое значение в написании данной работы таких организаций, как: Московский Физико-Технический Институт (Государственный Университет), Москва, Россия; Национальный Исследовательский Центр "Курчатовский Институт" , Москва, Россия; Институт Физики Плазмы им. Макса Планка, Грайсфальд, Германия.

ГЛАВА1

КИНЕТИЧЕСКИЕ БАЛЛОННЫЕ МОДЫ В УПРОЩЕННОЙ

ГЕОМЕТРИИ ТОКАМАКА

1.1. Введение

В тороидальном термоядерном устройстве кривизна ограничивающего магнитного поля и градиент давления плазмы вызывают дестабилизацию гидромагнитных мод с большими длинами волн вдоль и малыми длинами волн поперек магнитного поля. Характер дестабилизации данного типа неустойчивостей, неразрывно связанный с магнитным полем и градиентами давления, делает такие неустойчивости весьма распространенными. Тороидальные неустойчивости с высоким числом n впервые были успешно изучены в рамках идеальной магнитогидродинамической (МГД) модели с использованием баллонного преобразования [9]. Добавление кинетических эффектов в данную теорию делает ее более полной и приводит к изучению, так называемых, кинетических баллонных мод (КБМ) [16,17]. Уравнения, описывающие кинетические баллонные моды, были впервые описаны в работах Антонсена и Лейна [16], а также Танга, Коннора и Хасти [17]. Однако сложная структура этих уравнений, препятствует аналитическому изучению КБМ неустойчивости.

Кинетические баллонные моды обычно наблюдаются при конечных (не малых) значениях в в гирокинетическом численном моделировании при тех же условиях (за исключением в), которые обеспечивали бы дестабилизацию электростатической ионной температурно-градиентной (ITG, Ion Temperature Gradient) моды [46-48].

В этом контексте параметр в = 8np/B2, отношение плазменного к магнитному давлению, является важной мерой электромагнитных эффектов. Типичная в-зависимость этих неустойчивостей проиллюстрирована на Рис.1.1,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алейникова Ксения Олеговна, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Stabilization by Shear and Negative V" / HP Furth, J Killeen, MN Rosen-bluth, B Coppi // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research Vol. I. Proceedings of a Symposium on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. — 1966.

2. Suydam, BR. Peaceful Uses of Atomic Energy Proc. 2nd Int / BR Suy-dam // Conf.(Geneva, 1958) Vol. — Vol. 31. — 1958. — P. 157.

3. Кадомцев, Борис Борисович. О желобковой неустойчивости плазмы в тороидальной геометрии / Борис Борисович Кадомцев, Олег Павлович Погуце // Доклады Академии наук / Российская академия наук. — Vol. 170. — 1966. — Pp. 811-814.

4. Шафранов, ВД. Критерий желобковой неустойчивости плазмы в тороидальной геометрии / ВД Шафранов, ЭИ Юрченко // ЖЭТФ. — 1967. — Vol. 53, no. 3. — P. 1157.

5. Ware, Ax A. Stability of a circular toroidal plasma under average magnetic well conditions / Ax A Ware, FA Haas // The Physics of Fluids. — 1966. — Vol. 9, no. 5. — Pp. 956-964.

6. Погуце, ОП. Беспороговые диссипативные баллонные моды/ ОП Погуце, ЭИ Юрченко // Письма в ЖЭТФ. — 1980. — Vol. 31, no. 8. — Pp. 479-482.

7. Шафранов ВД, Юрченко ЭИ. Удержание плазмы в токамаке/ Юрченко ЭИ Шафранов ВД // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, IAEA. — 1971. — Vol. 2. — P. 519.

8. Михайловский, АБ. Эффект самостабилизации плазмы высокого давления в тороидальных ловушках / АБ Михайловский, ВД Шафранов// Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1974. — Vol. 66, no. 1. — P. 190.

9. Connor, JW. Shear, periodicity, and plasma ballooning modes / JW Connor, RJ Hastie, JB Taylor // Physical Review Letters. — 1978. — Vol. 40, no. 6. — P. 396.

10. Lee, YC. Tech. Rep.: / YC Lee, JW VanDam: 1977.

11. Погуце ОП, Юрченко ЭИ. Дестабилизирующее влияние шира и предельное давление плазмы в токамаке / Юрченко ЭИ Погуце ОП // Письма в ЖЭТФ. — 1978. — Vol. 28, no. 6. — P. 344.

12. Mercier, CLAUDE. Un critere necessaire de stabilite hydromagnetique pour un plasma en symetrie de revolution / CLAUDE Mercier // Nucl. Fusion. — 1960. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 47-53.

13. Zakharov, LE. High-wave-number MHD-mode stability in high-pressure tokamaks / LE Zakharov // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 1978, Volume 1. — Vol. 1. — 1979. — Pp. 689-699.

14. Михайловский АБ, Шафранов ВД. Эффект самостабилизации плазмы высокого давления в тороидальных ловушках/ Шафранов ВД Михайловский АБ // КЭТФ. — 1974. — Vol. 66, no. 1. — P. 190.

15. Михайловский АБ, Юрченко ЭИ. Аналитическая теория идеальной индуцируемой широм баллонной моды токамака/ Юрченко ЭИ Михайловский АБ // Препринт ИАЭ-3505/6. — 1981.

16. Antonsen, Thomas M. / Thomas M. Antonsen, Barton Lane // Phys. Fluids. — 1980. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 1205-1214.

17. Tang, WM. Kinetic-ballooning-mode theory in general geometry / WM Tang, JW Connor, RJ Hastie // Nuclear Fusion. — 1980. — Vol. 20, no. 11. — P. 1439.

18. Braginskii, SI. Transport processes in a plasma / SI Braginskii // Reviews of plasma physics. — 1965. — Vol. 1. — P. 205.

19. Horton, W. Fluid simulation of ion pressure gradient driven drift modes / W Horton, RD Estes // Plasma Physics. - 1980. - Vol. 22, no. 7. - P. 663.

20. Connor, JW. High mode number stability of an axisymmetric toroidal plasma / JW Connor, RJ Hastie // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1979. - Vol. 365, no. 1720. - Pp. 1-17.

21. Cowley, Steven C. Considerations of ion-temperature-gradient-driven turbulence / Steven C Cowley, RM Kulsrud, R Sudan // Physics of Fluids B: Plasma Physics. - 1991. - Vol. 3, no. 10. - Pp. 2767-2782.

22. Beer, Michael Alan. Field-aligned coordinates for nonlinear simulations of tokamak turbulence / Michael Alan Beer, Steven Charles Cowley, GW Ham-mett // Physics of Plasmas. - 1995. - Vol. 2, no. 7. - Pp. 2687-2700.

23. Frieman, EA. Nonlinear gyrokinetic equations for low-frequency electromagnetic waves in general plasma equilibria / EA Frieman, Liu Chen // The Physics of Fluids. - 1982. - Vol. 25, no. 3. - Pp. 502-508.

24. Lee, WW. Gyrokinetic approach in particle simulation / WW Lee // The Physics of Fluids. - 1983. - Vol. 26, no. 2. - Pp. 556-562.

25. Nonlinear gyrokinetic equations / Daniel HE Dubin, John A Krommes, C Oberman, WW Lee // The Physics of fluids. - 1983. - Vol. 26, no. 12.

- Pp. 3524-3535.

26. Birdsall, Charles K. Particle-in-cell charged-particle simulations, plus Monte Carlo collisions with neutral atoms, PIC-MCC / Charles K Birdsall // IEEE Transactions on Plasma Science. - 1991. - Vol. 19, no. 2. -Pp. 65-85.

27. Lee, WW. Gyrokinetic particle simulation model / WW Lee // Journal of Computational Physics. - 1987. - Vol. 72, no. 1. - Pp. 243-269.

28. Dimits, AM. Partially linearized algorithms in gyrokinetic particle simulation / AM Dimits, Wr W Lee // Journal of Computational Physics. - 1993.

- Vol. 107, no. 2. - Pp. 309-323.

29. Kotschenreuther, M. M. Kotschenreuther, Bull. Am. Phys. Soc. 34, 2107 (1988) / M Kotschenreuther // Bull. Am. Phys. Soc. — 1988. - Vol. 34. - P. 2107.

30. Parker, SE. A fully nonlinear characteristic method for gyrokinetic simulation / SE Parker, WW Lee // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1993. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 77-86.

31. Tech. Rep.: / AM Dimits, JA Byers, TJ Williams et al.: Lawrence Livermore National Lab., CA (United States), 1994.

32. Parker, SE. Gyrokinetic simulation of ion temperature gradient driven turbulence in 3D toroidal geometry / SE Parker, WW Lee, RA Santoro // Physical review letters. — 1993. — Vol. 71, no. 13. — P. 2042.

33. Jenko, Frank. Effect of nonlinear electron landau damping in collisionless drift-wave turbulence / Frank Jenko, Bruce D Scott // Physical review letters. — 1998. — Vol. 80, no. 22. — P. 4883.

34. Lee, GS. Theory of ion-temperature-gradient-driven turbulence in toka-maks / GS Lee, PH Diamond // The Physics of fluids. — 1986. — Vol. 29, no. 10. — Pp. 3291-3313.

35. Waltz, RE. Three-dimensional global numerical simulation of ion temperature gradient mode turbulence / RE Waltz // The Physics of fluids. — 1988. — Vol. 31, no. 7. — Pp. 1962-1967.

36. Hamaguchi, S. Effects of sheared flows on ion-temperature-gradient-driven turbulent transport / S Hamaguchi, W Horton // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1992. — Vol. 4, no. 2. — Pp. 319-328.

37. Dorland, W. Gyrofluid turbulence models with kinetic effects / W Dorland, GW Hammett // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1993. — Vol. 5, no. 3. — Pp. 812-835.

38. Waltz, RE. Gyro-Landau fluid models for toroidal geometry / RE Waltz, RR Dominguez, GW Hammett // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1992. — Vol. 4, no. 10. — Pp. 3138-3151.

39. Developments in the gyrofluid approach to tokamak turbulence simulations / GW Hammett, MA Beer, W Dorland et al. // Plasma physics and controlled fusion. — 1993. — Vol. 35, no. 8. — P. 973.

40. Hammett, GW. Fluid models of phase mixing, Landau damping, and nonlinear gyrokinetic dynamics / GW Hammett, W Dorland, FW Perkins // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1992. — Vol. 4, no. 7. — Pp. 20522061.

41. Beer, Michael Alan. Toroidal gyrofluid equations for simulations of tokamak turbulence / Michael Alan Beer, Gregory Wayne Hammett // Physics of Plasmas. — 1996. — Vol. 3, no. 11. — Pp. 4046-4064.

42. Electron temperature gradient driven turbulence / Frank Jenko, W Dorland, M Kotschenreuther, BN Rogers // Physics of Plasmas. — 2000. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 1904-1910.

43. Dannert, Tilman. Gyrokinetic simulation of collisionless trapped-electron mode turbulence / Tilman Dannert, Frank Jenko // Physics of Plasmas. — 2005. — Vol. 12, no. 7. — P. 072309.

44. Kotschenreuther, Mike. Comparison of initial value and eigenvalue codes for kinetic toroidal plasma instabilities / Mike Kotschenreuther, G Rewoldt, WM Tang // Computer Physics Communications. — 1995. — Vol. 88, no. 2-3. — Pp. 128-140.

45. Electron temperature gradient turbulence / W Dorland, F Jenko, M Kotschenreuther, BN Rogers // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 85, no. 26. — P. 5579.

46. Waltz, R. E. / R. E. Waltz, R. L. Miller // Phys. Plasmas. — 1999. — Vol. 6, no. 11. — P. 4265.

47. Attaining neoclassical transport in ignited tokamaks / M Kotschenreuther, W Dorland, QP Liu et al. // Nuclear fusion. — 2000. — Vol. 40, no. 3Y. — P. 677.

48. Belli, EA. Fully electromagnetic gyrokinetic eigenmode analysis of highbeta shaped plasmas / EA Belli, J Candy // Physics of Plasmas. — 2010.

— Vol. 17, no. 11. — P. 112314.

49. Cheng, CZ. Kinetic theory of collisionless ballooning modes / CZ Cheng // The Physics of Fluids. — 1982. — Vol. 25, no. 6. — Pp. 1020-1026.

50. Hastie, RJ. Kinetic modifications to the MHD ballooning mode / RJ Hastie, KW Hesketh // Nuclear Fusion. — 1981. — Vol. 21, no. 6. — P. 651.

51. Coppi, B. Self-healing of confined plasmas with finite pressure / B Coppi, A Ferreira, Jesus J Ramos // Physical Review Letters. — 1980. — Vol. 44, no. 15. — P. 990.

52. Hirose, Akira. Higher order collisionless ballooning mode in tokamaks / Akira Hirose, L Zhang, M Elia // Physical review letters. — 1994. — Vol. 72, no. 25. — P. 3993.

53. Hirose, Akira. Ion temperature gradient-driven ballooning mode in tokamaks / Akira Hirose, L Zhang, M Elia // Physics of Plasmas. — 1995. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 859-875.

54. Tsai, Shih-Tung. Theory of kinetic ballooning modes excited by energetic particles in tokamaks / Shih-Tung Tsai, Liu Chen // Physics of Fluids B: Plasma Physics. — 1993. — Vol. 5, no. 9. — Pp. 3284-3290.

55. Chen, Liu. Theory of Alfven waves and energetic particle physics in burning plasmas / Liu Chen, F Zonca // Nuclear Fusion. — 2007. — Vol. 47, no. 10.

— P. S727.

56. Bierwage, Andreas. Pressure-gradient-induced Alfven eigenmodes: I. Ideal MHD and finite ion Larmor radius effects / Andreas Bierwage, Liu Chen, Fulvio Zonca // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2009. — Vol. 52, no. 1. — P. 015004.

57. Bierwage, Andreas. Pressure-gradient-induced Alfven eigenmodes: II. Kinetic excitation with ion temperature gradient / Andreas Bierwage,

Liu Chen, Fulvio Zonca // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2009.

— Vol. 52, no. 1. — P. 015005.

58. Beer, M. A. / M. A. Beer, S. C. Cowley, G. W. Hammett // Phys. Plasmas.

— 1995. — Vol. 2, no. 7. — P. 2687.

59. Pueschel, Moritz J. Gyrokinetic turbulence simulations at high plasma beta / Moritz J Pueschel, M Kammerer, F Jenko // Physics of Plasmas. — 2008. — Vol. 15, no. 10. — P. 102310.

60. Kotschenreuther, M. Compressibility effects on ideal and kinetic ballooning modes and elimination of finite Larmor radius stabilization / M Kotschenreuther // The Physics of fluids. — 1986. — Vol. 29, no. 9. — Pp. 2898-2913.

61. Simulating gyrokinetic microinstabilities in stellarator geometry with GS2 / JA Baumgaertel, EA Belli, W Dorland et al. // Physics of Plasmas. — 2011.

— Vol. 18, no. 12. — P. 122301.

62. Mishchenko, Alexey. Global particle-in-cell simulations of Alfvenic modes / Alexey Mishchenko, Roman Hatzky, Axel Konies // Physics of Plasmas. — 2008. — Vol. 15, no. 11. — P. 112106.

63. Linear gyrokinetic particle-in-cell simulations of Alfven instabilities in toka-maks / A Biancalani, A Bottino, S Briguglio et al. // Physics of Plasmas.

— 2016. — Vol. 23, no. 1. — P. 012108.

64. Zocco, A. Magnetic compressibility and ion-temperature-gradient-driven mi-croinstabilities in magnetically confined plasmas / A Zocco, P Helander, JW Connor // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2015. — Vol. 57, no. 8. — P. 085003.

65. Roberts, KV. Magnetohydrodynamic equations for finite Larmor radius / KV Roberts, JB Taylor // Physical Review Letters. — 1962. — Vol. 8, no. 5. — P. 197.

66. Chen, Liu. Kinetic theory of geomagnetic pulsations: 1. Internal excitations by energetic particles / Liu Chen, Akira Hasegawa // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 1991. — Vol. 96, no. A2. — Pp. 1503-1512.

67. Comparisons and physics basis of tokamak transport models and turbulence simulations / Andris M Dimits, G Bateman, MA Beer et al. // Physics of Plasmas. - 2000. - Vol. 7, no. 3. - Pp. 969-983.

68. Electromagnetic gyrokinetic simulation of turbulence in torus plasmas / A Ishizawa, S Maeyama, T-H Watanabe et al. // Journal of Plasma Physics.

- 2015. - Vol. 81, no. 2.

69. Threshold for the destabilisation of the ion-temperature-gradient mode in magnetically confined toroidal plasmas / A Zocco, P Xanthopoulos, H Doerk et al. // Journal of Plasma Physics. - 2018. - Vol. 84, no. 1.

70. Gyrokinetic global three-dimensional simulations of linear ion-temperature-gradient modes in Wendelstein 7-X / V Kornilov, R Kleiber, R Hatzky et al. // Physics of Plasmas. - 2004. - Vol. 11, no. 6. - Pp. 3196-3202.

71. Nonlinear gyrokinetic simulations of ion-temperature-gradient turbulence for the optimized Wendelstein 7-X stellarator / P Xanthopoulos, F Merz, T Gorler, F Jenko // Physical review letters. - 2007. - Vol. 99, no. 3. -P. 035002.

72. Riemann, J. Effects of radial electric fields on linear ITG instabilities in W7-X and LHD / J Riemann, R Kleiber, M Borchardt // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2016. - Vol. 58, no. 7. - P. 074001.

73. Xanthopoulos, P. Gyrokinetic analysis of linear microinstabilities for the stellarator Wendelstein 7-X / P Xanthopoulos, F Jenko // Physics of plasmas. - 2007. - Vol. 14, no. 4. - P. 042501.

74. TEM turbulence optimisation in stellarators / JHE Proll, HE Mynick, P Xanthopoulos et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. - 2015.

- Vol. 58, no. 1. - P. 014006.

75. Proll, Josefine Henriette Elise. Collisionless microinstabilities in stellarators. II. Numerical simulations / Josefine Henriette Elise Proll, Pavlos Xanthopoulos, Per Helander // Physics of Plasmas. - 2013. - Vol. 20, no. 12.

- P. 122506.

76. Global linear gyrokinetic particle-in-cell simulations including electromagnetic effects in shaped plasmas / A Mishchenko, M Borchardt, M Cole et al. // Nuclear Fusion. — 2015. — Vol. 55, no. 5. — P. 053006.

77. Aleynikova, Ksenia. Quantitative study of kinetic ballooning mode theory in simple geometry / Ksenia Aleynikova, Alessandro Zocco // Physics of Plasmas. — 2017. — Vol. 24, no. 9. — P. 092106.

78. A geometry interface for gyrokinetic microturbulence investigations in toroidal configurations / P. Xanthopoulos, W. A. Cooper, F. Jenko et al. // Phys. Plasmas. — 2009. — Vol. 16, no. 8.

79. Boozer, Allen H. Establishment of magnetic coordinates for a given magnetic field / Allen H. Boozer // The Physics of Fluids. — 1982. — Vol. 25, no. 3. — Pp. 520-521.

80. Connor, J. W. High Mode Number Stability of an Axisymmetric Toroidal Plasma / J. W. Connor, R. J. Hastie, J. B. Taylor // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1979. — Vol. 365, no. 1720. — Pp. 1-17.

81. Hastie, R.J. Validity of ballooning representation and mode number dependence of stability / R.J. Hastie, J.B. Taylor // Nucl. Fusion. — 1981. — Vol. 21, no. 2. — P. 187.

82. Cooper, A. Variational formulation of the linear MHD stability of 3D plasmas with noninteracting hot electrons / A Cooper // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1992. — Vol. 34, no. 6. — P. 1011.

83. Hirshman, SP. Three-dimensional free boundary calculations using a spectral Green's function method / SP Hirshman, P Merkel et al. // Computer Physics Communications. — 1986. — Vol. 43, no. 1. — Pp. 143-155.

84. A geometry interface for gyrokinetic microturbulence investigations in toroidal configurations / Pavlos Xanthopoulos, W Anthony Cooper, Frank Jenko et al. // Physics of Plasmas. — 2009. — Vol. 16, no. 8. — P. 082303.

85. Structure of micro-instabilities in tokamak plasmas: Stiff transport or plasma eruptions? / D Dickinson, CM Roach, JM Skipp, HR Wilson // Physics of Plasmas. — 2014. — Vol. 21, no. 1. — P. 010702.

86. Kleiber, R. Fluid simulations of edge turbulence for stellarators and axisym-metric configurations / R Kleiber, B Scott // Physics of plasmas. — 2005.

— Vol. 12, no. 10. — P. 102507.

87. Stellarator and tokamak plasmas: a comparison / Per Helander, CD Beidler, TM Bird et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2012. — Vol. 54, no. 12. — P. 124009.

88. Niihrenberg, C. Free-boundary ideal MHD stability of W7-X divertor equilibria / C Niihrenberg // Nuclear Fusion. — 2016. — Vol. 56, no. 7. — P. 076010.

89. Pueschel, MJ. Transport properties of finite-^ microturbulence / MJ Pueschel, F Jenko // Physics of Plasmas. — 2010. — Vol. 17, no. 6. — P. 062307.

90. Equilibrium and stability of low-shear stellarators / J Niihrenberg, A Bon-deson, R Zille et al. // Theory of Fusion Plasmas. — 1988. — Pp. 3-23.

91. Resilience of quasi-isodynamic stellarators against trapped-particle instabilities / Josefine Henriette Elise Proll, Per Helander, John William Connor, GG Plunk // Physical review letters. — 2012. — Vol. 108, no. 24. — P. 245002.

92. Rosenbluth, M. Finite-^ Stabilization of the Collisionless Trapped Particle Instability / M Rosenbluth, ML Sloan // The Physics of Fluids. — 1971.

— Vol. 14, no. 8. — Pp. 1725-1741.

93. MHD stability, operational limits and disruptions / TC Hender, JC Wesley, J Bialek et al. // Nuclear fusion. — 2007. — Vol. 47, no. 6. — P. S128.

94. Rosenbluth, MN. Theory for avalanche of runaway electrons in tokamaks / MN Rosenbluth, SV Putvinski // Nuclear Fusion. — 1997. — Vol. 37, no. 10. — P. 1355.

95. Status of research toward the ITER disruption mitigation system / EM Hollmann, PB Aleynikov, Tünde Fülop et al. // Physics of Plasmas. — 2015.

- Vol. 22, no. 2. — P. 021802.

96. Disruptions in ITER and strategies for their control and mitigation / Michael Lehnen, K Aleynikova, PB Aleynikov et al. // Journal of Nuclear materials. — 2015. — Vol. 463. — Pp. 39-48.

97. Current dynamics during disruptions in large tokamaks / L-G Eriksson, P Helander, F Andersson et al. // Physical review letters. — 2004. — Vol. 92, no. 20. — P. 205004.

98. Kinetic modeling of runaway electrons and their mitigation in ITER / P Aleynikov, K Aleynikova, B Breizman et al. // International Atomic Energy Agency 25th Fusion Energy Conference, Saint Petersburg, Russia.— 2014. — Pp. 13-18.

99. Breizman, Boris N. Marginal stability model for the decay of runaway electron current / Boris N Breizman // Nuclear Fusion. — 2014. — Vol. 54, no. 7. — P. 072002.

100. Optimization of computational MHD normal-mode analysis for tokamaks / AB Mikhailovskii, GTA Huysmans, WOK Kerner, SE Sharapov // Plasma Physics Reports. — 1997. — Vol. 23, no. 10. — Pp. 844-857.

101. Mikhailovskii, AB. Generalized MHD for numerical stability analysis of high-performance plasmas in tokamaks / AB Mikhailovskii // Plasma physics and controlled fusion. — 1998. — Vol. 40, no. 11. — P. 1907.

102. CASTOR: Normal-mode analysis of resistive MHD plasmas / W Kerner, JP Goedbloed, GTA Huysmans et al. // Journal of computational physics.

— 1998. — Vol. 142, no. 2. — Pp. 271-303.

103. Resistive stability of a plasma with runaway electrons / P Helander, D Gras-so, RJ Hastie, Anna Perona // Physics of Plasmas. — 2007. — Vol. 14, no. 12. — P. 122102.

104. Khayrutdinov, RR. Studies of plasma equilibrium and transport in a toka-mak fusion device with the inverse-variable technique / RR Khayrutdinov, VE Lukash // Journal of Computational Physics. — 1993. — Vol. 109, no. 2. — Pp. 193-201.

105. Lukash, VE. Numerical simulation of halo currents in tokamaks / VE Lukash, RR Khairutdinov // Plasma Physics Reports. — 1996. — Vol. 22, no. 2. — Pp. 91-96.

106. Non-linear simulations of MHD instabilities in Tokamaks including Eddy current effects and perspectives for the extension to Halo currents / M Hoel-zl, GTA Huijsmans, P Merkel et al. // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Vol. 561. — 2014. — P. 012011.

107. Huysmans, GTA. CP90 Conf. on Computational Physics. — 1991.

108. http://fusion.gat.com/theory/Efitgeqdsk.

109. Large amplitude quasi-stationary MHD modes in JET / JA Snipes, DJ Campbell, PS Haynes et al. // Nuclear fusion. — 1988. — Vol. 28, no. 6. — P. 1085.

110. Cai, Huishan. Influence of resistive internal kink on runaway current profile / Huishan Cai, Guoyong Fu // Nuclear Fusion. — 2015. — Vol. 55, no. 2. — P. 022001.

111. Runaway electron generation in tokamak disruptions / HM Smith, Tamas Feher, Tünde Fülop et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2009. — Vol. 51, no. 12. — P. 124008.