Кинетическая теория неравновесных процессов в системах диссипативных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бодрова, Анна Сергеевна

• Бодрова, Анна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бодрова, Анна Сергеевна

Введение

1 Методы описания систем диссипативных частиц

1.1 Основные характеристики диссипативных газов.

1.2 Кинетическое уравнение Больцмана.

1.3 Оператор бинарных соударений

1.4 Модель вязкоупругих частиц.

1.5 Гидродинамика гранулярных газов.

1.6 Численные методы.

1.7 Выводы.

2 Эволюция однородного гранулярного газа

2.1 Функция распределения вязкоупругих частиц по скоростям

2.1.1 Разложение по полиномам Сонина.

2.1.2 Область высоких скоростей.

2.1.3 Диссипативный газ в термостате.

2.2 Особенности диффузионного движения.

2.2.1 Коэффициент диффузии вязкоупругих частиц

2.2.2 Влияние свойств поверхности частиц на диффузию

2.3 Выводы.

3 Броуновское движение в диссипативном газе

3.1 Общие характеристики броуновского движения

3.2 Вывод уравнения Фоккера-Планка.

3.3 Гранулярная температура броуновских частиц.

3.3.1 Вывод уравнения эволюции температуры из уравнения Фоккера-Планка.

3.3.2 Вычисление гранулярной температуры методом оператора бинарных соударений.

3.4 Новые режимы движения броуновских частиц в остывающем гранулярном газе.

3.5 Броуновское движение в стационарном гранулярном газе

3.6 Выводы.

4 Система гранулярных частиц с баллистической агрегацией и фрагментацией

4.1 Исследования агрегации и фрагментации.

4.2 Бимодальная система: крупные частицы и пыль.

4.3 Полидисперсная система частиц.

4.3.1 Описание модели.

4.3.2 Фрагментация на две части.

4.3.3 Распад на мономеры.

4.3.4 Степенное распределение фрагментов.

4.3.5 Распределение частиц по размерам в кольцах Сатурна

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетическая теория неравновесных процессов в системах диссипативных частиц»

Диссипативные системы представляют собой системы частиц, полная механическая энергия которых (сумма кинетической и потенциальной) убывает в процессе их эволюции, переходя в теплоту, иными словами, в энергию молекулярного движения. В качестве примера можно привести движение одного из тел по поверхности другого при наличии силы трения или движение тела в вязкой среде. Данные системы являются открытыми в термодинамическом смысле и процессы в них часто происходят вдали от термодинамического равновесия.

Диссипативные потери также наблюдаются при соударении двух макроскопических тел, так как характер их взаимодействий не является абсолютно упругим. Между ними действуют вязкие, адгезивные силы и силы трения. В результате часть кинетической энергии макроскопических тел переходит в возбуждение их внутренних степеней свободы.

Рассмотрим совокупность большого числа макроскопических тел. Подобная система носит название гранулярной. Гранулярные вещества широко распространены как в природе, так и в промышленности, например, в строительной, пищевой и химической. В качестве примеров подобных систем можно привести песок, гравий, пудры, порошки, соль. В отличие от сред, рассматриваемых в термодинамике, которые состоят из отдельных атомов и молекул, составными компонентами гранулярных веществ являются макроскопические частицы: например, песок состоит из отдельных песчинок. Между характерными состояниями гранулярной среды и агрегатными состояниями вещества можно провести известную аналогию. Совокупность камней в земных условиях при приложении небольшой нагрузки сохраняет форму и объем подобно твердым телам за счет действия сил трения. Однако, если величина внешней силы превышает определенный порог, камни приходят в движение, аналогичное потоку жидкости. В случае, если расстояние между гранулярными частицами существенно больше их размеров, а движение происходит по баллистическим траекториям между отдельными столкновениями, носящими дис-сипативный характер, данная система носит название гранулярный или диссипативный газ [1-5].

Из-за силы тяжести для поддержания гранулярного вещества в газообразном состоянии в земных условиях требуется воздействие внешней г силы. В лаборатораных исследованиях эту роль выполняют вибрирующие стенки сосуда [6-10]. В естественных условиях гранулярные газы образуются при движении вещества с большим градиентом скоростей: при сходе лавин или при увлечении частиц пыли и песка воздушными массами в ядре смерча или торнадо. Другими примерами гранулярных газов являются космические объекты: это планетные кольца (например, кольца Сатурна), протопланетарные диски, а также межзвездные пылевые облака [11].

Таким образом, гранулярный газ является существенно неравновесной системой, и для его описания неприменимы стандартные методы равновесной статистической механики, такие как метод ансамбля Гибб-са, термодинамических потенциалов и другие. Существующие теории слабонеравновесных процессов также не могут быть использованы. Тем не менее, естественным способом построения теории гранулярных газов представляется обобщение кинетических уравнений неравновесной статистической физики, используемых для описания молекулярных газов, с учетом диссипации кинетической энергии при соударениях частиц.

В предыдущих исследованиях диссипативных газов был обнаружен ряд необычных эффектов, таких как отклонение функции распределения по скоростям от распределения Максвелла, аномальная диффузия, спонтанное образование пространственных неоднородностей - кластеров и вихрей, нарушение флуктуационно-диссипационных соотношений и равнораспределения энергии по степеням свободы [1,12].

Однако, несмотря на значительные успехи, теория гранулярных сред все еще далека от завершения. В частности, в современных теоретических исследованиях используется предположение постоянства коэффициента восстановления, равного отношению модулей относительных скоростей после и до соударения, что существенно упрощает расчеты, однако противоречит экспериментальным данным и детальному теоретическому анализу соударения двух частиц. Использование подобного предположения зачастую может приводить к ошибочным выводам.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке кинетической теории гранулярных газов. В первой главе описаны методы неравновесной статистической механики, применяемые для изучения разреженных диссипативных сред, дан краткий обзор исследований в этой области.

Вторая глава посвящена исследованию эволюции функции распределения частиц однокомпонентного гранулярного газа по скоростям с коэффициентом восстановления, зависящим от скорости соударяющихся частиц. Также изучаются особенности диффузионного движения в дис-сипативном газе, в частности, влияние свойств поверхности соударяющихся частиц на диффузию.

В третьей главе рассматривается простейший случай двухкомпонент-ной гранулярной системы, состоящей из массивных броуновских частицы, помещенных в окружающий газ более мелких и легких частиц. В исследовании учитывается зависимость коэффициента восстановления от скорости соударяющихся частиц. Найдено необычное поведение температуры броуновских частиц, а также сложный режим их диффузии, в частности, установлено существование режимов супердиффузии, локализации и обычной диффузии.

В четвертой главе построена теория системы гранулярных тел с одновременной баллистической агрегацией и фрагментацией, рассмотрены различные модели ударной фрагментации. Показан универсальный вид функции распределения частиц гранулярного газа по размерам в широком диапазоне параметров: степенная зависимость от размера с экспоненциальным спадом для крупных тел. Распределение частиц по размерам в планетарных кольцах может быть объяснено с помощью указанной зависимости.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бодрова, Анна Сергеевна

4.4 Выводы

1. Построена теория баллистической агрегации и фрагментации в бимодальной системе, состоящей из крупных и пылевых частиц. При движении пылевые частицы могут либо оседать на поверхности крупных, либо покидать поверхность. Показано, что все частицы размером больше некоторого критического радиуса находятся в свободном состоянии, а частицы меньшего размера покрывают поверхность крупных.

2. Впервые исследована аггрегации и фрагментации в полидисперсной системе частиц с дискретным распределением по массам. Изучены различные модели фрагментации. Получена и решена система кинетических уравнений, описывающая эволюцию концентраций компонент системы с различными массами. При фрагментации на две равные части в зависимости от величины энергетических порогов агрегации и фрагментации наблюдаются два режима эволюции системы: рост кластера бесконечного размера либо образование стационарного распределения по массам. При степенной фрагментации и разделении на мономеры система стремится к стационарному распределению при любом соотношении параметров.

3. Для различных моделей фрагментации вид стационарного распределения носит универсальный характер щ ~ к~а ехр (—Хк), согласующееся с распределением по размерам, полученным при анализе данных рассеяния радиоволн в кольцах Сатурна.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для газа гранулярных частиц с реалистичным коэффициентом восстановления, зависящим от скорости согласно модели вязкоупругих частиц, впервые детально исследована функция распределения по скоростям, представленная в виде разложения по ортогональным полиномам Сонина. Показана сложная немонотонная зависимость от времени первых коэффициентов разложения, отвечающая немонотонной эволюции функции распределения.

2. Впервые построена теория броуновского движения в газе вязко-упругих частиц. Получено уравнение Фоккера-Планка, описывающее эволюцию функции распределения броуновских частиц по скоростям. Показано нарушение флуктуационно-диссипационного соотношения в случае остывающего газа и его выполнение для газа с внешним стохастическим воздействием.

3. Обнаружено нарушение равнораспределения средней кинетической энергии между броуновскими частицами и окружающим газом. Показано, что отношение гранулярных температур различных частиц немонотонным образом меняется с течением времени, что приводит к появлению новых режимов движения броуновской частицы: супердиффузионного и субдиффузионного, отвечающего эффективной локализации частицы.

4. На основе общей кинетической теории гранулярных газов разработана модель баллистической агрегации и фрагментации. Изучены различные модели фрагментации. Для ряда моделей получены аналитические результаты для распределения частиц по размерам. Развитая теория применялась для ряда астрофизических систем. В частности, было показано, что распределение частиц по размерам хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым в кольцах Сатурна.

Благодарности

Автор глубоко благодарен профессору Н.В. Бриллиантову за постановку научных задач, рассматриваемых в данной диссертации и их обсуждение.

Автор выражает искреннюю признательность сотрудникам Лаборатории Нелинейной Динамики А.Ю. Лоскутову, А.Р. Джаноеву и С.Д. Рыбалко за обсуждение данной работы и создание приятной научной атмосферы, И.Н. Павловой за сотрудничество, всему коллективу Кафедры Физики Полимеров и Кристаллов за замечательные лекции, а также зарубежным коллегам Н. Hayakawa, К. Saitoh, F. Spahn, J. Schmidt, S. Puri, A. K. Dubey, C. Saluena, T. Poeschel, P. Krapivsky за плодотворные дискуссии, способствовавшие созданию диссертации.

Автор благодарен оппонентам Г.Э. Норману и В.В. Белому, а также сотрудникам Института Космических Исследований, прежде всего, Л.М. Зеленому и Х.В. Маловой за рассмотрение данной диссертационной работы и ценные замечания.

Автор признателен также родителям за помощь и поддержку, родственникам и друзьям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бодрова, Анна Сергеевна, 2010 год

1. Brilliantov N. V., Poschel T. Kinetic theory of Granular Gases. — Oxford: Oxford University Press, 2004.

2. Goldhirsch I., Zanetti G. Clustering instability in dissipative gases.— Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 11.- P. 1619-1622.

3. Hinrichsen H., Wolf D. E. The Physics of Granular Media. — Berlin: Wiley, 2004.

4. Poschel T., Luding S. Granular Gases.— Berlin: Springer, 2001.— Vol. 564 of Lecture Notes in Physics.

5. Poschel T., Brilliantov N. V. Granular Gas Dynamics.— Berlin: Springer, 2003. — Vol. 624 of Lecture Notes in Physics.

6. Wildman R. D., Parker D.J. Coexistence of two granular temperatures in binary vibrofluidized beds. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 6.- P. 064301.

7. Feitosa K., Menon N. Breakdown of energy equipartition in a 2d binary vibrated granular gas. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 18. — P. 198301.

8. Aranson I. S. Olafsen J. S. Velocity fluctuations in electrostatically driven granular media. — Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66, no. 6. — P. 061302.

9. Rouyer F., Menon N. Velocity fluctuations in a homogeneous 2d granular gas in steady state. — Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 17. Pp. 3676-3679.

10. Losert W., Cooper D. G. W., Delour J., Kudrolli A., Gollub J. P. Velocity statistics in excited granular media. — Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 3. Pp. 682-690.

11. Greenberg R., Brahic A. Planetary Rings. — The University of Arizona Press, 1984.

12. Barrat A., Trizac E., Ernst M. H. Granular gases: dynamics and collective effects.— J. Phys.: Condens. Matter.— 2005.— Vol. 17, no. 24. P. S2429-S2437.

13. Huthmann M., Zippelius A. Dynamics of inelastically colliding rough spheres: Relaxation of translational and rotational energy. — Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 56, no. 6. - Pp. 6275 6278.

14. Luding S., Huthmann M., McNamara S., Zippelius A. Homogeneous cooling of rough, dissipative particles: Theory and simulations. — Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58, no. 3. - Pp. 3416-3425.

15. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. — М.: Мир, 1980.

16. Schram P. P. J. М. Kinetic Theory of Gases and Plasmas. — AA Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1991.

17. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.

18. Carnahan N. F., Starling К. Е. Equation of state for nonattractive rigid spheres. J. Chem. Phys. — 1969. — Vol. 51, no. 2. — Pp. 635-637.

19. Deltour P., Barrat J.-L. Quantitative study of a freely cooling granular medium. — J. Physique I. — 1997. Vol. 7, no. 1. - Pp. 137-152.

20. Poschel T., Brilliantov N. V., Schwager T. Violation of Molecular Chaos in dissipative gases. — Int. J. Mod. Phys. C. — 2002. — Vol. 13, no. 9. — Pp. 1263-1272.

21. Ernst M. H., Dorfman J. R., Hoegy W. R., van Leeuwen J. M. J. Hard-sphere dynamics and binary-collision operators. — Physica A. — 1969. Vol. 45, no. 1. - Pp. 127-146.

22. Ernst M. H., Dorfman J. R. Non-analytic dispersion relations in classical fluids. I. The hard-sphere gas. — Physica A. — 1972. — Vol. 61, no. 2,- Pp. 157-181.

23. Chandler D. Rough hard sphere theory of the self-diffusion constant for molecular liquids. — J. Chem. Phys. — 1975. — Vol. 62, no. 4. — Pp. 1358-1363.

24. Brilliantov N. V., Revokatov O. P. Relation between momentum and angular momentum correlation times: Analysis of the uncorrelated successive binary collision approximation.— Chem. Phys. Lett.— 1984. Vol. 104, no. 5. - Pp. 444-447.

25. Goldsmit W. The Theory and Physical Behavior of Colliding Solids. — London: Arnold, 1960.

26. Bridges F. G., Hatzes A., Lin D. N. C. Structure, stability and evolution of saturn's rings. — Nature. — 1984. — Vol. 309, no. 5966. — Pp. 333335.

27. Taguchi Y. Powder turbulence: Direct onset of turbulent flow. — J. Phys. II France. 1992. - Vol. 2, no. 12. - Pp. 2103-2114.

28. Kuwabara G., Kono K. Restitution coefficient in a collision between two spheres. J. Appl. Phys. Part 1. - 1987. - Vol. 26, no. 8. - Pp. 12301233.

29. Ramirez R., Poschel T., Brilliantov N. V., Schwager T. Coefficient of restitution of colliding viscoelastic spheres. — Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60, no. 4. P. 4465-4472.

30. Brilliantov N. V., J.-M. Hertzsch F., Spahn and, Poeschel T. Model for collisions in granular gases. — Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, no. 5. — P. 5382-5392.

31. Morgado W. A. M., Oppenheim I. Energy dissipation for quasielastic granular particle collisions. — Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 55, no. 2. — Pp. 1940-1945.

32. Brilliantov N. V., Poschel Т. Velocity distribution in granular gases of viscoelastic particles. — Phys. Rev. E.— 2000,— Vol. 61, no. 5,— P. 5573-5587.

33. Brilliantov N. V., Poschel T. Hydrodynamics and transport coefficients for dilute granular gases. — Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 67, no. 6.— P. 061304.

34. Brilliantov N. V., Saluena C., Schwager Т., Poeschel T. Transient structures in a granular gas. — Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 93, no. 13,- P. 134301.

35. McNamara S. Hydrodynamic modes of a uniform granular medium. — Physics of Fluids A. 1993. - Vol. 5, no. 12. - Pp. 3056-3070.

36. Brilliantov N. V., Albers N., Spahn F., Poeschel T. Collision dynamics of granular particles with adhesion. — Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76, no. 5.- P. 051302.

37. Schwager Т., Poschel T. Coefficient of normal restitution of viscous particles and cooling rate of granular gases. — Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 57, no. 1.- P. 650-654.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория упругости. — M.: Физматлит, 2007.

39. Schwager Т., Poschel Т. Coefficient of restitution for viscoelastic spheres: The effect of delayed recovery. — Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 78, no. 5. P. 051304.

40. Johnson K.L., Kendall K. Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids. — Proc. Roy. Soc. London A. — 1971.— Vol. 324, no. 1558.- Pp. 301-313.

41. Sorace С. М., Louge М. Y., Crozier М. D., С. Law V. Н. High apparent adhesion energy in the breakdown of normal restitution for binary impacts of small spheres at low speed. — Mechanics Research Communications. — 2009. — Vol. 36, no. 3. — Pp. 364-368.

42. Brey J. J., Dufty J. W., Kim C. S., Santos A. Hydrodynamics for granular flow at low density. — Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58, no. 4. — Pp. 4638-4653.

43. Pöschel Т., Schwager Т. Computational Granular Dynamics. — Berlin: Springer, 2005.

44. Smit B. Frenkel D. Understanding molecular simulation from algorithms to applications. — San Diego: Academic Press, 2002.

45. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Метод классичекой молекулярной динамики: вклад в основания статистической физики. — Вестник Харковского национального университета — 2009. — Vol. 870, по. 17.- Pp. 11-51.

46. Kuksin А. Y., Morozov I. V., Norman G. E., Stegailov V. V., Valuev I. A. Standards for molecular dynamics modelling and simulation of relaxation.— Molecular Simulation.— 2005.— Vol. 31, no. 14-15.— P. 1005-1017.

47. Подлипчук В.Ю. Валуев A.A., Норман Г.Э. Метод молекулярной динамики: теория и приложения в сб. Математическое моделирование. Физико-химические свойства веществ под. ред. Самарского A.A., Калиткина H.H. М.: Наука, 1989. — Pp. 5-40.

48. Филинов B.C. Замалин В.М., Норман Г.Э. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. — М.: Наука, 1977.

49. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics. — Oxford: Clarendon Press, 1976.

50. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В. Кинетика охлаждения гранулярного газа вязкоупругих частиц. — Вестник МГУ. Физика. Астрономия.— 2009. — по. 2. — Pp. 25-28.

51. Bodrova A. S., Brilliantov N. V. Granular gas of viscoelastic particles in a homogeneous cooling state. — Physica A. — 2009. — Vol. 388, no. 17.- Pp. 3315-3324.

52. Noskowicz S. H., Bar-Lev O., Serero D., Goldhirsch I. Computer-aided kinetic theory and granular gases. — Europhys. Lett. — 2007. — Vol. 79, no. 6. P. 60001.

53. Huthmann M., Orza J. A., Brito R. Dynamics of deviations from the gaussian state in a freely cooling homogeneous system of smooth inelastic particles. Granular Matter. — 2000. — Vol. 2, no. 4. — Pp. 189-199.

54. Brilliantov N. V., Poschel T. Breakdown of the sonine expansion for the velocity distribution of granular gases. — Europhys. Lett. — 2006. — Vol. 74, no. 3. Pp. 424-430.

55. Esipov S. E., Poschel T. The granular phase diagram.— J. Stat. Phys. 1997. - Vol. 86, no. 5-6. - Pp. 1385-1395.

56. Poschel Т., Brilliantov N. V., Formella A. Impact of high-energy tails on granular gas properties. — Phys. Rev. E. — 2006. — Vol. 74, no. 4. — P. 041302.

57. Poschel Т., Brilliantov N. V., Formella A. Granular gas cooling and relaxation to the steady state in regard to the overpopulated tail of the velocity distribution. Int. J. Mod. Phys. C. - 2007. - Vol. 18, no. 4. — Pp. 701-711.

58. Montanero J. M., Santos A. Computer simulation of uniformly heated granular fluids. — Granular Matter. — 1998. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 5364.

59. Brilliantov N. V., Poschel T. Self-diffusion in granular gases: Green-kubo versus chapman-enskog. — Chaos.— 2005.— Vol. 15, no. 2. P. 026108.

60. Brilliantov N. V., Poschel Т., Kranz W. Т., Zippelius A. Translations and rotations are correlated in granular gases. — Phys. Rev. Lett. — 2007. Vol. 98, no. 12. - P. 128001.

61. Бриллиантов H.B., Ревокатов О.П. Молекулярная динамика неупорядоченных сред. — М.: Издательство Московского Университета, 1996.

62. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В., Лоскутов А.Ю. Броуновское движение в гранулярных газах вязкоупругих частиц,— ЖЭТФ.— 2009,-Vol. 136, по. 6,- Pp. 1094-1104.

63. Lebowitz J. L., Resibois P. Microscopic theory of brownian motion in an oscillating field; connection with macroscopic theory. — Phys. Rev. — 1965.-Vol. 139, no. 4A.-P. 1101-1111.

64. Bocquet L., J.-P. Hansen Dynamics: Models and kinetic methods for non-equilibrium many body systems. — NATO ASI Series. — 2000.— Vol. 371,- P. 1.

65. Brey J. J., Ruiz-Montero M. J., Garcia-Rojo R., Dufty J. W. Brownian motion in a granular gas. — Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60, no. 6. — Pp. 7174-7181.

66. Dufty J. W., Brey J. J. Brownian motion in a granular fluid. — New J. of Phys. 2005. - Vol. 7. - P. 20.

67. Santos A., Dufty J. W. Nonequilibrium phase transition for a heavy particle in a granular fluid. — Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, no. 5. — P. 051305.74. ван Кампен H. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990.

68. Belyi V. V. Fluctuation-dissipation dispersion relation and quality factor for slow processes. — Phys. Rev. E. — 2004. Vol. 69, no. 3. — P. 017104.

69. Belyi V. V. Fluctuation-dissipation relations for a nonlocal plasma. — Phys. Rev. Lett. — Jun 2002. Vol. 88, no. 25. - P. 255001.

70. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Krapivsky P.L. A model of ballistic aggregation and fragmentation. — J. Stat. Mech.— 2009. — P. P06011.

71. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems. — Proceedings of АРМ. — 2008. — Pp. 151-159.

72. Dominik C., Tielens A. G. G. The physics of dust coagulation and the structure of dust aggregates in space. — Astrophys. J . — 1997. — Vol. 480, no. 2. Pp. 647-673.

73. Spahn F., Albers N., Sremcevic M., Thornton C. Kinetic description of coagulation and fragmentation in dilute granular particle ensembles. — Europhys. Lett. 2004. - Vol. 67, no. 4. - Pp. 545-551.

74. Longaretti P.-Y. Saturn's main ring particle size distribution: An analytic approach. — Icarus. — 1989. — Vol. 81, no. 1. — Pp. 51-73.

75. Ben-Naim E., Krapivsky P., Leyvraz F., Redner S. Kinetics of ballistically-controlled reactions. — J. Phys. Chem. — 1994. — Vol. 98, no. 30. Pp. 7284-7288.

76. Carnevale G. F., Pomeau Y., Young W. R. Statistics of ballistic agglomeration.— Phys. Rev. Lett.— 1998.— Vol. 64, no. 24.— Pp. 2913-2916.

77. Trizac E., Hansen J.-P. Dynamic scaling behavior of ballistic coalescence. — Phys. Rev. Lett. — 1995. — Vol. 74, no. 21.— Pp. 41144117.

78. Frachebourg L. Exact solution of the one-dimensional ballistic aggregation. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82, no. 7.— Pp. 15021505.

79. Trizac E., Krapivsky P. L. Correlations in ballistic processes. — Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91, no. 21. - P. 218302.

80. Brilliantov N. V., Spahn F. Dust coagulation in equilibrium molecular gas. — Mathematics and Computers in Simulation. — 2006. — Vol. 72, no. 2-6. Pp. 93-97.

81. Cheng Z., Redner S. Kinetics of fragmentation. — J. Phys. A: Math. Gen. — 1990. — Vol. 23, no. 7,- Pp. 1233-1258.

82. Krapivsky P., Ben-Naim E. Shattering transitions in collision-induced fragmentation. Phys. Rev. E. - 2003. — Vol. 68, no. 2. - P. 021102.

83. Hidalgo R. C., Pagonabarraga I. Driven fragmentation of granular gases. Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 77, no. 6. - P. 061305.

84. Marsili M., Zhang Yi.-C. Probabilistic fragmentation and effective power law. — Phys. Rev. Lett. — 1996,— Vol. 77, no. 17.— Pp. 35773580.

85. French R. G., Nicholson P. D. Particle sizes inferred from stellar occultation data. Icarus. - 2000. — Vol. 145, no. 2. — Pp. 502-523.

86. Garzo V., Dufty J. W. Dense fluid transport for inelastic hard spheres. Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 59, no. 5. - P. 5895-5911. .

87. Gillespie D. T. A general method for numerically simulating the stochastic time evolution of coupled chemical reactions. — J. Comput. Phys. 1976. - Vol. 22, no. 4. - Pp. 403-434.

88. Poeschel T., Brilliantov N., Frommel C. Kinetics of prion growth.— Biophysical Journal. — 2003. — Vol. 85, no. 6. — Pp. 3460-3474.

89. Cheng Z., Redner S. Scaling theory of fragmentation. — Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 60, no. 24. - Pp. 2450-2453.

90. Leyvraz F. Scaling theory and exactly solved models in the kinetics of irreversible aggregation. — Physics Reports. — 2003. — Vol. 383, no. 2-3. Pp. 95-212.

91. TafF L.G., Savedoff M.P. The mass distribution of objects undergoing collisions with applications to interstellar hi clouds. — Mon. Not R. astr. Soc. 1973. - Vol. 164, no. 1,- Pp. 357-379.

92. Hartmann W.K. Terrestrial, lunar and interplanetary rock fragmentation. Icarus. — 1969. - Vol. 10, no. 2. — Pp. 201-213.

93. Zebker H. A., Marouf E. A., Tyler G. L. Saturn's rings: Particle size distributions for thin layer models. — Icarus. — 1985. — Vol. 64, no. 3. — Pp. 531-548.1. Список публикаций1. Статьи

94. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В., Лоскутов А.Ю. Броуновское движение в гранулярных газах вязкоупругих частиц. — ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136. № 6. - Стр. 1094-1104.

95. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Krapivsky P.L. A model of ballistic aggregation and fragmentation. Journal of Statistical Mechanics. — 2009. — P06011.

96. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. Granular gas of viscoelastic particles in a homogeneous cooling state. Physica A. — 2009. — Vol. 388. — No. 17. — Pp. 3315-3324.

97. Бодрова А.С., Бриллиантов H.B. Кинетика охлаждения гранулярного газа вязкоупругих частиц. Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2009. - № 2. - Стр. 25-28.

98. Brilliantov N.V.j Bodrova A.S., Spahn F. Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems. Proceedings of the XXXVI Summer School Advanced Problems In Mechanics АРМ. 2008. — Pp. 151-159.1. Тезисы конференций

99. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Model of ballistic aggregation and fragmentation". — XXXVII Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2009". Book of abstracts. - Pp. 30. - 2009.

100. Бодрова А.С. — Эволюция гранулярного газа вязкоупругих частиц. — Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых "ВНКСФ-15". — Сборник тезисов. — Стр. 41-42. — Екатеринбург-Кемерово: Издательство АСФ России, 2009.

101. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. — "Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. — Pp. 22-23. — 2008.

102. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Translational and rotational diffusion of rough granular particles". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. Pp. 22. - 2008.