Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры gl1 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Мутафян, Георгий Семенович

• Мутафян, Георгий Семенович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Мутафян, Георгий Семенович

Оглавление

Введение

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цели и задачи диссертационной работы

Положения, выносимые на защиту

Научная новизна

Теоретическая значимость

Методология и методы исследования

Апробация работы

Публикации

Структура и объем диссертации

Глава 1. Об алгебре

1.1. Ж-алгебры, происхождение

1.2. Определение алгебры

1.3. Представления Мак-Магона

1.4. Характеры представлений Мак-Магона

Глава 2. Комбинаторная часть

2.1. Алгоритм МПл

2.2. Доказательство основной комбинаторной теоремы

Глава 3. Некоторые сведения из теории представлений

3.1. Представления алгебры базис Гельфанда-Цетлина

3.2. Представления алгебры

3.3. Двойственность Хау

Глава 4. Вычисление характера для к = 0

4.1. Функция дт^п как след в главной градуировке

4.2. Алгебра Ф 0 © и её представление

4.3. Комплекс Кошуля

4.4. Вычисление окончательного результата

Глава 5. Вычисление характера при произвольных к,т,п

5.1. Кратность старшего вектора в представлении алгебры д1п

5.2. Вычисление окончательного результата

Глава 6. Вычисление характера при т = п

6.1. Представления алгебры

6.2. Двойственность Хау

6.3. Вычисление окончательного результата

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Примеры к главе 2

Пример 1. Алгоритм ЯБК^

Пример 2. Отображение (р

Приложение Б. Комбинаторное вычисление х(^одЬ°)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры gl1»

Введение

Актуальность темы исследования. 1У-алгебры активно изучаются в последние десятилетия в связи с их широким применением во многих физических и геометрических вопросах. Возникли они изначально как попытки построить достаточно широкий класс примеров конформных теорий поля. На современном языке большая часть структуры конформных теорий поля задаётся т.н. вертекс-операторной алгеброй, т.е. алгеброй, снабжённой операторным произведением, и УК-алгебры, будучи частным случаем вертекс-операторных алгебр, позволяют такие теории строить.

Первоначально W-алгебры возникли как результат редукции аффиной алгебры Ли по подалгебре нильпотентных токов. Большинство известных на сегодняшний день W-алгебр построены именно так. Самый изученный случай — W-алгебры, ассоциированные с QÍn или sín ([1], [2], [3]).

Квантовая тороидальная алгебра характеры которой вычисляются в настоящей работе, может рассматриваться как деформация таких VF-алгебр.

x-v

Классификация представлений алгебры д[1 является очень сложной задачей. В 2011 г. B.JI. Фейгину с соавторами в работе [4] удалось выделить класс представлений (названных представлениями Мак-Магона), которые можно явно описать в терминах комбинаторных объектов, известных как плоские разбиения. По сути конструкция этих представлений напоминает реализацию представлений алгебры 0Ín в терминах базиса Гельфанда-Цетлина. В дальнейшем [5] эта конструкция была обобщена на алгебру gln и её представления. Возникла естественная задача - вычислить характеры этих представлений как производящие функции соответствующих плоских разбиений. Отметим, что вычисление характеров является первым и важным шагом в изучении представлений в конформной теории поля. Знание характеров позволяет сравнивать конформные теории с теориями, построенными другими способами (скажем, с решётчатыми теориями), поскольку через характер в них выражаются статистические суммы.

Также отметим, что для Ж-алгебр характер их модуля Верма (получающегося редукцией из модулей Верма для алгебры токов) равен 77—, где (¿оо =

Цоо

оо

П(1 — дг), и поэтому можно предположить, что искомые характеры будут вы-

г=1

ражаться в виде , т.е. в виде разложения но базису из характеров модулей Верма (иначе говоря будут иметь вид, аналогичный формуле Вейля). В диссертации вычисляются характеры некоторых построенных представлений алгебры

«"О»

и тем самым доказывается, что такие формулы действительно имеют место. Степень разработанности темы исследования. Интерес к квантовым тороидальным алгебрам возрос, когда выяснилось, что они возникают в геометрических вопросах, а также в топологической теории поля. Ввиду этого они активно изучаются последние примерно 10 лет.

В работе [6] алгебра реализована как эллиптическая алгебра Холла. В этой работе она появляется геометрически как алгебра, построенная по категории когерентных пучков эллиптической кривой.

В работе [7] изучается действие алгебры на пространстве когерентных когомологий пучков на А2.

В работе [8] доказано, что квантовые тороидальные алгебры изоморфны двойным вЬиШе-алгебрам Фейгина-Одесского, что позволило в дальнейшем доказать гипотезу Кузнецова о К-теории.

В работах Накаджимы [9,10] по колчанным многообразиям было показано, что на когомологиях К-теории таких многообразий действуют обёртывающие алгебры разнообразных квантовых групп. В частности многообразия инстанто-нов в топологической теории Янга-Миллса - это частный случай колчанных многообразий, и на их эквивариантных К-теориях действуют квантовые тороидальные алгебры. Поэтому теория представлений тороидальных алгебр нашла свои применения в теории поля и геометрии. С другой стороны геометрия истан-тонных многообразий позволяет понять многое о представлениях. В частности оказывается, что в некоторых представлениях имеются естественные базисы,

/

в которых действия образующих тороидальных алгебр даются явными матрицами. Базисные вектора с геометрической точки зрения — это неподвижные точки действия тора на инстантонных многообразиях. (См. [11], [12], [13], [14]).

Цели и задачи диссертационной работы: Цель работы - вычислить характеры некоторых представлений алгебры как производящие функции плоских разбиений. Описание самих представлений можно найти в главе 1. Здесь мы приведём сразу комбинаторную формулировку задачи в том виде, как она решается в диссертации.

Будем обозначать Щ множество наборов из п нестрого убывающих целых чисел. Т.е. если к £ "Щ, то к = (к\,..., кп), к\ > > • • • > кп, к^ 6 Z. Подмножество множества состоящее из наборов неотрицательных чисел, будем обозначать Набор (0,0,..., 0) будем иногда обозначать 0. (Количество нулей, там, где оно имеет значение, будет всегда ясно из контекста.)

Определение 1. Обобщённым плоским разбиением с граничным условием^ = (/?!,..., кп) е называется набор целых неотрицательных чисел аг,^ е удовлетворяющих условиям:

2. а^ > к( при ^ > 0, 1 < г < п,

3. |а| < со,

где величина \а\, называемая весом разбиения, определяется следующим образом:

При заданных целых т,п > 0 и заданном к Е обозначим множество всех плоских разбиений с граничным условием к и дополнительным условием

1. \/г,> 0 : а^ > а^+г, а^ >

(1)

ап+1,т+1 — 0.

(2)

/ \

Множество 21^ индексирует базис представлений алгебры обозначаемых Л^оо° и соответствющих резонансному случаю (см. и. 1.3 диссертации). Характер таких представлений может быть записан как производящая функция

Ат\я) = £ (з)

а€<т)

Вычисление этой производящей функции и является целью диссертации. Положения, выносимые на защиту.

Перечислим основные научные положения и результаты диссертации.

1. Получена формула характера для случая к = (0,0,..., 0) = 0 (без потери общности подразумевается п > га):

X

t€Z£|_ V 1<г<^'<то 1<г<^'<п

(4)

оо

где мы считаем tj = 0, если j > т, \Ь\ = + .. Лт и (^ю = П (1 —

г=1

2. Получена формула характера для случая произвольного к € и га = п:

4%) = х(Л/К?) =

п

/п /+оо \\

= £(£)5- Е -«»м П (в-ц1^-^0»^ (5)

вебп 4.7=1 \ г=0

Здесь бп - симметрическая группа.

3. Получена формула характера для произвольных п, га, к €

=Е ввп(-)с«к)(в)

где 5 - оператор Ъп —> Zn, определённый следующим образом: № = (щ,..., уп) е Zn : (ё(1/))г = у8(:1) - й(г) + г,

ш = П

г=1

4. Алгоритм ИБК сформулирован в виде, отличном от традиционно применяемого в комбинаторике. В новой формулировке алгоритм напрямую применяется к плоским разбиениям и позволяет явно отслеживать изменение плоского разбиения при пошаговом преобразовании в М-матрицу.

5. Предложен подход к вычислению производящих функций, основанный на частичном преобразовании плоского разбиения: в отличие от традиционного алгоритма ЯБК, последнее приводится не к нулю, а к паре (плоское разбиение, Л^-матрица), что позволяет разложить искомую производящую функцию в произведение двух других производящих функций (формула (2.3)), одна из которых является хорошо известной, а другая может быть найдена методами теории представлений.

Отдельно следует прокомментировать три формулы для производящих функций (4), (5), (6). При подстановке к = (0,..., 0) в формулу (6) получается выражение, отличное от (4), хотя обе формулы задают производящие функции одного и того же множества. Точно так же при подстановке т = п в формулу (6) получается выражение, отличное от (5). По-видимому, совпадение этих формул, которое можно проверить прямым раскрытием скобок, является нетривиальным комбинаторным фактом даже при малых значениях индексов. Автору неизвестно прямое арифметическое доказательство этого факта.

Для наглядности приведём явный вид всех трёх формул при подстановке т = п = 2, к = (0,0).

т +£ - 1 772—1

Формула (4):

формула (6) после несложных преобразований:

формула (5):

(<Зоо)4

1

2

д 1 Д-1)^ ^

Научная новизна.

• Формула (4) была высказана в [4] в качестве гипотезы, однако её доказательство не было известно. Оно было получено в работе [15] сочетанием комбинаторно-алгебраических методов.

• Формула (5) впервые в явном виде получена в работе [16], хотя идеи её получения и доказательства излагались в той же работе [4]. В этом случае (при га = п) искомая производящая функция может быть вычислена только методами теории представлений, без вмешательства комбинаторики.

• Формула (6) впервые получена и доказана в работе [16]. В доказательстве используется обобщение комбинаторного подхода, применявшегося при доказательстве (4), и методов теории представлений, применявшихся при доказательстве (5).

Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории представлений, топологической теории поля и в геометрии пространств модулей.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы перечислительной комбинаторики (алгоритм ЯБК) и теории представлений (представления алгебры и двойственность Хау и др.)

Для получения формулы (5) достаточно методов теории представлений: искомая производящая функция выражается как характер некоторого представления алгебры 01^, затем с помощью двойственности Хау это представление выражается как пространство старших векторов веса к некоторого представления алгебры д1п, затем используется формула, выражающая кратность вхождения старшего вектора веса к как знакопеременную сумму коэффициентов характера.

Для доказательства формул (4) и (6) был разработан комбинаторно-алгебраический подход (методов только теории представлений оказалось недостаточно).

Вначале с помощью комбинаторного алгоритма ЯБК доказывается вспомогательная формула (2.3), сводящая вычисление требуемой производящей функции к вычислению другой производящей функции д^п\д). Затем функция д^ (д) выражается как характер представления алгебры в неглавной градуировке и вычисляется методами теории представлений.

Отдельно следует сказать о попытках решения задачи чисто комбинаторными методами. При взгляде на формулу (4) видно, что комбинаторно она представляет собой формулу включений-исключений. Явное комбинаторное доказательство этой формулы позволило бы яснее понять структуру представлений алгебры Попытки найти такое доказательство предпринимались и нужную формулу удалось получить для частого случая представления Л/^оо°- Поскольку результат является слишком частным, он не был опубликован. Однако применявшиеся там рассуждения представляют интерес и оставляют надежду на возможность обобщения для т> 1, поэтому они приведены в приложении.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре русско-янонской школы по математике, Киото, 2011 г.;

• на семинаре факультета математики НИУ ВШЭ, Москва, 2013 г.;

• на семинаре «Интегрируемые структуры в статистических и полевых моделях» ИППИ РАН (руководители семинара: д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН A.A. Белавин, д.ф.-м.н. A.B. Замолодчиков), 2014 г.;

• на международной конференции «Комбинаторика пространств модулей, кластерные алгебры и топологическая рекурсия», Москва, 2014 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 2 печатных работах в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК: [15, 16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка обозначений, библиографии и двух приложений. Общий объем диссертации 79 страниц, из них 66 страниц текста, включая 14 рисунков. Библиография включает 27 наименований на 2 страницах.

Глава 1 является продолжением введения: в ней более подробно рассказано об алгебре даётся точное определение самой алгебры и её представлений, характеры которых вычисляются.

Глава 2 содержит всю комбинаторную часть доказательства. Вначале подробно излагается алгоритм RSK. Отметим, традиционно этот алгоритм излагается применительно к парам таблиц Юнга. Для наших целей удобно переформулировать этот алгоритм так, чтобы он применялся напрямую к плоским разбиениям. В такой формулировке алгоритм излагается в п. 2.1, после чего в п. 2.2 доказывается основной результат комбинаторной части — формула (2.3).

В главе 3 излагаются известные факты из теории представлений, необходимые в дальнейших вычислениях: представления алгебры gl^ и двойственность Хау.

В главах 4 и 5 вычисляется функция g^\q) (см. уравнение (2.3)), и доказываются соответственно формулы (4) и (6).

В главе б доказывается формула (5). Эта глава не использует результатов комбинаторной главы 2.

В заключении обсуждаются итоги работы и перспективы дальнейших исследований.

Приложение 1 является иллюстрацией к главе 2. Оно содержит подробные примеры применения алгоритма ЯБК в том виде, как он применяется в диссертации.

Приложение 2 содержит чисто комбинаторное (без теории представлений) доказательство формулы (4) для частного случая т = 1.

Глава 1

л

Об алгебре

/ч

1.1. Ж-алгебры, происхождение ТУ-алгебры, ассоциированные с $1п

А

Пусть = д\п <8> С[£, £ ] -+- С К - аффинная алгебра Ли (центральное расширение алгебры токов 0 С[£,£-1], см. [17]), и(д1п) — её универсальная

л л

обертывающая. Рассмотрим фактор С4(01„) = и(д1п)/(К — к), где к - произвольное комплексное число. В конформной теории поля рассматривается рас» /ч

ширенная алгебра £4(д 1П), в которой допускаются также бесконечные суммы (тем не менее корректно определённые на тех представлениях, которые там рассматриваются). Пусть далее и — максимальная нильпонентная подалгебра в т = - подалгебра нильпонентных токов в д[п<8>С[£, £-1], и задан

общий характер х т —ь С. Тогда [3] существует конструкция редукции алгебры йк(в1п) по х • В результате получается алгебра п = 1,2,..., к £ С. (Отметим, что является вертекс-операторной алгеброй. Определение и основные свойства вертекс-операторных алгебр см. в [18]). Было замечено, что соотношения для образующих алгебры \Ущк зависят от п алгебраически, поэтому оказалось возможным осуществить аналитическое продолжение семейства алгебр \¥п,к по параметру п. Таким образом было получено семейство алгебр 2Иг,к, зависящее от двух комплексных параметров £, к. При целых положительных п алгебра \¥щк получается как фактор алгебры 2по некоторому идеалу.

Алгебра ид,с(Т>)

Другой способ построения Ж-алгебр, (приводящий, однако, к тому же семейству 2Пг,А;) - деформация алгебры дифференциальных операторов. А имен-

но, рассмотрим алгебру V дифференциальных операторов на С* с базисом 2к{дг)11 к Е Ъ, I € Её можно превратить в алгебру Ли с коммутатором [а, Ъ] = аЪ — Ъа. У этой алгебры Ли есть центральное расширение V = Т> ф С С. Так же, как и выше, можно определить фактор (пополненный бесконечными суммами) исф) = иф)/(С - с), се С.

У алгебры ис(Т>) бывает 1-параметрическая деформация иЧгС(Т>) (ситуация здесь близка к деформации и(д1п) до ид(д 1П)). Оказывается (впервые было замечено Захаревичем), что получившееся семейство алгебр (зависящее от двух комплексных параметров д, с) совпадает с семейством ОД^. Иначе говоря алгебра ид,с(Т>) оказывается изоморфна алгебре 23?^ при некоторой замене Ь = ¿(<7, с), к = &(<?, с).

Более того, на семействе алгебр имеется коумножение \УП1+П2^ —> (здесь <8> — пополненное тензорное произведение, т.е. допустимы также бесконечные комбинации, которые на представлении действуют конечным образом), откуда следует, что \¥Пгк является биалгеброй.

01х: происхождение

Квантовая тороидальная алгебра 01ь характеры которой вычисляются в настоящей работе, может рассматриваться как деформация алгебр, описанных выше (ОВ 1,к или (/^ ("£>)). Она возникает в результате квантования универсальной обертывающей С/(Т), где Т - алгебра разностных операторов, являющаяся в свою очередь деформацией алгебры дифференциальных операторов Т>. Поясним смысл сказанного подробнее.

Пусть Т — алгебра функций на квантовом торе Z~l, И, -О-1], DZ = qZD. Пространство полиномов С[г, г~г] — представление этой алгебры, в котором И действует сдвигом 2 ■ч дг, а 2 - умножением на 2, поэтому Т также называют алгеброй разностных операторов. Алгебру Т можно рассматривать как алгебру Ли с коммутатором [а, Ь] = аЪ — Ьа. В дальнейшем везде иод Т мы подразумеваем алгебру Ли. В базисе гп, п 6 Ъ, действие Z и И выражает-

ся бесконечными матрицами с конечным количеством ненулевых диагоналей, поэтому можно считать, что Т - подалгебра некоторого расширения алгебры Ли Алгебра Т может рассматриваться как деформация алгебры Ли дифференциальных операторов Т>, описанной выше (в том смысле что при д —> 1 оператор переходит в оператор дифференцирования д2).

Определим след 1г : Т —>■ С так, что ^(а;) есть коэффициент при единице в х Е Т. Этот след равен нулю на коммутаторе: 1г([а, 6]) = 0 Уа, Ъ € Т. Тогда на Т есть инвариантная форма /(а, Ь) = 1;г(а • Ъ). Далее, на Т, рассматриваемой как алгебра Ли, есть ещё треугольное разложение:

т = т~ е с[г, я-1] е т+,

Т~ = С[2а2Г1], Т+ = С[£а£>], aeZ.

Далее, у алгебры Ли Т имеется 2-мерное центральное расширение Т, которое при д —> 1 переходит в одномерное центральное расширение алгебры Ли Т>. Описанную выше конструкцию (инвариантную форму и треугольное разложение) можно обобщить и на случай алгебры Ли Т, после чего к универсальной обертывающей II (Т) можно применить стандартную процедуру квантования, аналогичную таковой для 1п) (см. [19]). В результате получим [20]. В итоге имеем следующее соотношение между введёнными выше алгебрами:

- Т> - центральное расширение алгебры Ли дифференциальных операторов,

- ~ квантование алгебры £4(Х>) по параметру <71,

- Т - деформация алгебры V по параметру <72,

Л л

- - квантование и(Т) по параметру <71.

/Ч л*

Таким образом может рассматриваться как деформация алгебры 11дик(Т>) но параметру <72 • Наглядно сказанное можно представить в виде следующей диаграммы:

16 Я2

91

41

и.

42

дьк

01!

Здесь уместно будет отметить, что при квантовании алгебры 2Пупомянутой выше, получается так называемая эллиптическая И^-алгебра. Поэтому в силу изоморфизма 2Пг,/с ~ ид,с(Т>) алгебра д1ь будучи квантованием изоморфна эллиптической И^-алгебре (и может быть явным образом преобразована в неё путём выбора некоторой системы образующих).

Впервые алгебра была введена Мики [20] естественным образом при развитии теории \У-алгебр. В дальнейшем эта конструкция была обобщена на матричные алгебры Мп <8> Т, где Мп - матрицы п х п. Как алгебра Ли, этот объект при <? —» 1 стремится к функциям на торе С* х С* —> Мп (точнее к их центральному расширению).

При применении к Мп ® Т процесса квантования, аналогичного таковому для Т, возникает квантовая тороидальная алгебра Интерес к таким алгебрам возрос, когда выяснилось, что они появляются в геометрических вопросах, а также в топологической теории ноля. Ввиду этого они активно изучаются последние примерно 10 лет. (Обзор последних результатов см. во введении.)

1.2. Определение алгебры

Пусть <71, <72) Яз £ С — комплексные числа, удовлетворяющие соотношению Я1Я2Яз = 1 и не являющиеся корнями из единицы. Обозначим

д{г, ии) = (г - - -

Квантовая тороидальная алгебра определяется как ассоциативная алгебра, порождённая образующими е^, , г £ тр±г, г 6 и обратимыми элементами ^о", С, удовлетворяющими некоторым алгебраическим соотношениям. В представлениях, которые будут рассматриваться далее, элемент С действует единицей, т.е. фактически рассматриваются представления факторалгебры 0^/(С - !)• В этой факторалгебре соотношения между образующими выглядят следующим образом:

ГМГМ = ГНГН (м, * € {+, -}), (1.1)

д(г, ьз^фе^) = -р(гу, ^(«О^М» (1.2)

д(и>, = -д(г, ю^ги)^), (1.3)

[е(г)'/Н] = ^м^- (Ы)

д(г, ги)е(г)е(ги) = -д(у), г)е(у))е(г), (1.5)

9(и>, = 1п)/(1и)/(г), (1.6)

[еоЛе1,е_1]] = [/о,[/1,/-1]] = 0. (1.7)

Здесь 6(г) = Х^пег2^ — формальная дельта-функция,

¿ег ¿ег ±г>о

Алгебра является

-градуированной, градуировка задаётся равенствами

с!еёе; = (1,г), с!её/г- = (-М), аеё^ = (0,г), (1еёС = (0,0).

Пусть обозначает однородную компоненту степени (У, А;). Будем говорить, что д[1-модуль V = фпечУп является Z-гpaдyиpoвaнным, если С УпЛгде ^ = Пусть ф±{г) Е С[[гт]] — формальные степенные ряды от с ненулевым свободным членом, ^градуированный ¿/-модуль назовём модулем со старшим весом (ф+(г), ф~{х)), если он порождён ненулевым вектором V и выполняются равенства

¡(г)у = 0, ф±(г)у = ф±(г)у.

Как показано в [20], представления старшего веса существуют и однозначно определяются своим старшим весом. Все представления, построенные ниже, являются представлениями старшего веса.

1.3. Представления Мак-Магона

Мы опишем представления, построенные в [4] и называемые представлениями Мак-Магона. В конце этого параграфа мы отдельно опишем резонансный случай.

Определение 2. Разбиением целого неотрицательного числа N называется последовательность целых неотрицательных чисел А = {Аг}, г = 1,2 ..., такая, что Аi > Аг+1, Аi = N. В частности \ = 0 при достаточно больших

i

г.

Обобщённым разбиением называется последовательность А = {Аг}, г = 1,2..., где каждое Aj — целое неотрицательное число или оо, и выполняется условие Aj > Аг+1. Условие lim \ = 0 не подразумевается.

г—» оо

Последовательность разбиений А называется плос-

ким разбиением, если для каждого i выполнено условие

Пусть имеются три разбиения а, ß, 7. Последовательность обобщённых разбиений А = {А^, ... } называется обобщённым плоским разбиением с граничными условиями (а, ß,~/), если выполнены условия:

> Af+1),

lim A-fc) = afc,

г—>oo

Аг-^ -- оо при 1 < г < ßk, lim \\k) = 7i.

k—> 00

Мы обозначим V[a, ft, 7] множество обобщённых плоских разбиений с граничными условиями (а,/?, 7).

Каждому плоскому разбиению (в том числе обобщённому) Л мы поставим в соответствие подмножество Yj С (Z>i)3, так что (i,j,k) Е Yj если j < \\k\ Для обычных плоских разбиений это множество конечно, для обобщённых оно может быть бесконечным. Будем отождествлять Л и Yj, и называть Yj тоже плоским разбиением.

Определение 3. Пусть А — обобщённое плоское разбиение. Будем называть тройку (i,j,k) £ (^>i)3 вершиной (соотв. впадиной) этого разбиения, если выполнены условия

(г, j, k) е Yj (соотв. (i,j, к) Ух)

и

(г + 1, j, к), (г, j + 1 ,к), (г, j, к + 1) £ Гх (соотв. (i-l,j,k),(i,j -l,k),(i,j,k-l) eYj) Множество всех вершин (соотв. впадин) обозначим V(\) (соотв. С(Х)).

Плоское разбиение можно представлять как набор единичных кубов, аналогичный плоским диаграммам Юнга, так что если (г, j, к) £ Yj, то куб с координатами (г, j, к) присутствует в наборе. (Отсчёт координат начинается с 1). На рис. 1.1 показана такая диаграмма плоского разбиения для а = (2,1,1), /3 = (3,3,1), 7 = (3,3,2,1). Стрелками показаны множества V(a), С (а).

Пусть Л4ад7 — векторное пространство, порождённое базисом, индексируемым множеством V[ct,/З^]. Т.е. = 0С|А), Л е V[a,(3,7] (будем

_ А

называть базис векторов |А) базисом плоских разбиений). Представление Мак-

Магона Лia!pn(u, К) определяется на пространстве -Мад7 и зависит от двух

комплексных параметров и, К. В базисе плоских разбиений действие элементов

к

алгебры может быть выписано явно. Для описания этого действия нам понадобятся ещё несколько обозначений.

Пусть Л — обобщённое разбиение. Обозначим

_ тт (1 - дхГХк&-к-1)(\ - д^Хк+1дЪ~к+1) 1 - ^+1"А<+1<?з (1 - д^~х*+1дкГ+1)(1 ~ ЯХГЧ~*)'

1 - ^ (1 - 91ЛУ3х)(1 - д^ЛГМ

где мы полагаем д^ = 0. Несложно проверить, что бесконечные произведения, встречающиеся здесь и далее, корректно определены, т.к. лишь конечное количество сомножителей отличны от единицы.

Далее, пусть Л — обобщённое плоское разбиение. Обозначим

к-1

= Д ^(дГ'х),

т= 1

N

/'(*)/ \ V ТТ / ( ш-1 N 1 - -Уд ТТ 1 ~ Яг 12 0зх

*у{х)=Ът х)'-л-—II:-7+] 7Г7

а лг-юо ** 1 - о/о, ж 1 - а!3+лаУсг{х

= V* V). ^ = чС4^-V).

00 1 А« 00 „ А<1}

= (1-8)

1 - 911 XI i=ll-q11 Хц.1 3=1 1 -

д(1+1) . А(0

х П П ^ ~91' ~

________Л(»+1) . д(«)

<=1 ¿=1 (1 - д^1 ¿аг,-+1)(1 - йвз^)

где хт = чТпФ?~1Я.17Пх-

Теперь мы можем дать определение действия е(г), /(г), ф±(г) на пространстве МаЛУ-

Ф)|А> = £ + (1-9)

((¿,к)ес(\) 1

ф±(г)\\)=ф-х(и/г)\Х), (1.10)

т\Х) = £ - 1{Л)>. (1.И)

((¿,к)еУ(\) 1

Представление А4а,р,-у{и, К) является Z-гpaдyиpoвaнным представлением со старшим весом. Старшим вектором является вектор из базиса плоских разбиений, соответствующий «минимальному» разбиению. А именно, пусть У = У^ произвольное плоское разбиение. Если У содержит вершину, удалим её и получим диаграмму другого плоского разбиения У = У^. Если она содержит вершину — тоже удалим. Так будем продолжать, пока возможно. В конце концов мы получим некое минимальное плоское разбиение £¡7, такое, что У& не имеет вершин. Если а = /3 = 7 = 0, тоУ^т — пустое множество. В общем случае из задаётся следующим образом:

ал I оо при г < вь,

из¡к) = 1 V -НК, (1л2)

I тах(7г, а^) иначе.

На рис. 1.2 изображено с теми же а, /3,7, что и на рис. 1.1. Оно может быть получено из разбиения на рис. 1.1 удалением кубов, выделенных розовым цветом. Равенство ¡(¿)Ъз = 0 следует непосредственно из определения действия

т-

^градуировка также легко задаётся в базисе плоских разбиений. Пусть — подпространство .Мад7, порождённое векторами |А) такими, что

где и^ определено равенством (1.12), и мы считаем оо —оо = 0. Непосредственно из определения следует, что

е(г)Ма,0„(п) С М

(п + 1), 1(г)М

I

Ф±Ма,р^(п) С Ма,13,7(П)' Подводя итог, мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 1. Формулы (1.9)-(1.11) определяют Ъ-градуированное представление алгебры Это представление со старшим весом, где старший вектор определяется формулами (1.12), а старший вес является рациональной функцией и задаётся формулой (1.8), где х = ^, А = ш.

Рассмотрим теперь резонансный случай. При общих значениях параметров /Г, построенное выше представление неприводимо. Если же К = д™дз

при некоторых га, п G Z, то в этом представлении выделяется бесконечная последовательность подмодулей

Мал,, = э MZi э о...

Опишем конструкцию этих модулей. Заметим, что если К = q^q™, то К = q[q 2#з для любой тройки (г,.;, /г) = (m + t, п + i), ¿GZ. Для произвольного t G Z>i обозначим Л^'™^ линейную оболочку векторов |А) из базиса плоских разбиений, таких, что (га + ¿, t, п + ¿) G Yj. Очевидно, инвариатно от-

носительно действия e(z), ift(z). Обратимся к формуле (1.11). Предположим, множество V(A) содержит вершину (i,j,k) = (m + ¿,i, п + ¿). Действие f(z) на |А) не удаляет эту вершину, поскольку множитель 1 — Кх становится равен 0 при х = q[3q2kq^%. Т.е. при действии f(z) на |А) получается линейная комбинация векторов, в каждом из которых (г, j, к) также является вершиной. Таким образом A4инвариантно также относительно действия f(z), т.е. является подмодулем представления Л1а,/з)7. Таким образом можно определить факторпредставление ^ = , t = 0,1,2... (мы полагаем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мутафян, Георгий Семенович, 2014 год

Список литературы

1. Замолодчиков А. Б. Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля // ТМФ 1985. Т. 65(3). С. 347-359.

2. Fateev V. A., Lukyanov S. L. The models of two-dimensional conformal quantum field theory with Zn symmetry // Int. J. Mod. Phys. A. 1988. Vol. 3. P. 507-520.

3. Feigin B. L., Frenkel E. Quantum W-algebras and elliptic algebras // Comm. Math. Phys. 1996. Vol. 178. P. 653-678.

4. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa Т., Mukhin E. Quantum toroidal algebra: plane partitions // Kyoto Journal of Mathematics. 2012. Vol. 52. P. 621-659.

5. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa Т., Mukhin E. Representations of quantum toroidal Qln // J. Algebra. 2013. Vol. 380. P. 78-108.

6. Schiffmann O., Vasserot E. The elliptic Hall algebra and the K-theory of the Hilbert scheme of A2 // Duke Mathematical Journal. 2013. Vol. 162. P. 279-366.

7. Schiffmann O., Vasserot E. Cherednik algebras and the equivariant cohomology of the moduli space of instantons on A2 // arXiv:1202.2756v2.

8. Negut A. An isomorphism between the quantum toroidal and shuffle algebras, and a conjecture of Kuznetsov // arXiv: 1302.6202.

9. Nakajima H. Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras // Duke Math. J. 1994. Vol. 76. P. 365-416.

10. Nakajima H. Quiver varieties and Kac-Moody algebras // Duke Math. J. 1998. Vol. 91. P. 515-560.

11. Feigin B. L., Tsymbaliuk A. Equivariant K-theory of hilbert schemes via shuffle algebra // Kyoto J. Math. 2011. Vol. 51. P. 831-854.

12. Carlsson E., Nekrasov N., Okounkov A. Five dimensional gauge theories and Vertex operators // arXiv:1308.2465.

13. Nekrasov N., Okounkov A. Seiberg-Witten Theory and Random Partitions // arxiv.org/abs/hep-th/0306238.

14. Nekrasov N., Shatashvili S. Quantization of Integrable Systems and Four Di-

mensional Gauge Theories // arXiv: 0908.4052.

15. Мутафян Г. С., Фейгин Б. Л. Квантовая тороидальная алгебра вычисление характеров некоторых представлений как производящих функций плоских разбиений // Функц. анализ и его прил. 2013. Т. 47:1. С. 62-76.

16. Мутафян Г. С., Фейгин Б. Л. Характеры представлений квантовой торой-дальной алгебры плоские разбиения с трибуной // Функц. анализ и его прил. 2014. Т. 48:1. С. 46-60.

17. Кас V. G. Infinite dimensional Lie algebras. Birkhauser, Boston: Progress in mathematics 44, 1983.

18. Кац В.Г. Вертексные алгебры для начинающих. М.: МЦНМО, 2005.

19. Демидов Е. Е. Квантовые группы. М.: Факториал Пресс, 1998.

20. Miki К. A (q, 7) analog of the W1+OQ algebra 11 J. Math. Phys. 123520 (2007). Vol. 48.

21. Стэнли P. Перечислительная комбинаторика, том 2. M.: Мир, 2005.

22. Goodman R., Wallach N. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, 1998.

23. Кас V., Radul A. Representation theory of the vertex algebra Wi+OQ // Transf. Groups. 1996. Vol. 1. P. 41-70.

24. Стэнли P. Перечислительная комбинаторика, том 1. M.: Мир, 1990.

25. Feigin В. L., Feigin Е. В., Jimbo М. et al. Quantum continuous gl^: Semi-infinite construction of representations // Kyoto Journal of Mathematics. 2011. Vol. 51. P. 337-364.

26. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa Т., Mukhin E. Quantum continuous 0^: Tensor product of Fock modules and Wn characters // Kyoto J. Math. 2011. Vol. 51. P. 365-392.

27. Molev A. I. Gelfand-Tsetlin bases for classical Lie algebras // Handbook of Algebra. 2006. Vol. 4. P. 109-170.