Характеризация устойчивости решения задач о внешней и равномерной оценке выпуклого компакта шаром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Дудова, Анастасия Сергеевна

• Дудова, Анастасия Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дудова, Анастасия Сергеевна

Введение.

Глава 1. Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы.

§1. Постановка задачи о внешней оценке, вспомогательные сведения.

§2. Свойства строго и сильно квазивыиуклых норм.

§3. Свойства целевой функции R(x).

§4. Свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклого множества.

§5. Критерии решения задачи о внешней оценке.

§6. Характеризация устойчивости решения задачи о внешней оценке.

Глава 2. Задача о равномерной оценке выпуклого компакта евклидовым шаром.

§7. Постановка задачи о равномерной оценке, вспомогательные сведения.

§8. Свойства вспомогательной функции Rq(x).

§9. Оценки для производной но направлениям функции расстояния.

§10. Свойства целевой функции Ф(х).

§11. Характеризация устойчивости решения задачи о равномерной оценке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеризация устойчивости решения задач о внешней и равномерной оценке выпуклого компакта шаром»

1. Интерес математиков к оценке и аппроксимации достаточно сложных множеств множествами простой геометрической структуры во шик очень давно (см., например, монографии Т.Боннезена, В.Фенхеля [2], Л.Ф.Тота [21] и библиографии в них). Ныне эю направление активно поддерживается в рамках негладкого анализа и недифференцируе-мой оптимизации, основы которых заложены в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Н.З.Шора, Б.Т.Поляка, М.С.Никольского, Е.С.Половинкина ([20], [17J-I18], [5]-[7], [9], [13]-[14], [24], [19], [12], [15]-[16]) и других математиков. Именно негладкий анализ дает эффективные необходимые математические инструменты для успешного исследования таких задач.

Задачи по оценке множеств находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике. Известны многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (напр., работы Н.З. Шора [24], Ф.Л. Черноусько [23], А.Б. Куржанского и др.). Можно также указать на работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениями (см., напр., [1]). Е.С. Половинкиным в [15] рассматривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпуклых множеств.

Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и но числу задающих параметров, относится шар любой нормы.

Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт, рассматривались Б.Н. Пшеничным в [17].

Задача о наилучшем приближении (равномерной оценке) в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта евклидовым шаром была поставлена и изучалась в работе М.С. Никольского и Д.Б. Силина [12].

Основная цель диссертации - исследование устойчивости решения этих двух задач относительно погрешности задания оцениваемого (приближаемого) компакта.

2. Приведем математическую формализацию задачи о внешней оценке, которую также называют задачей об описанном шаре или задачей о чебышевском центре множества.

Пусть D заданный компакт из конечномерного действительною пространства Ер, а функция п(х) удовлетворяет на Жр аксиомам нормы. Тогда задачу о внешней оценке компакта D шаром нормы л(-) можно записать в виде

R(x) = тахп(ж — у) —> min. (0.1) yeD хек?

Значение функции R(x) выражает радиус наименьшего шара с центром в точке х, содержащего в себе компакт D. Точка х*, доставляющая минимальное значение функции R(x), является центром искомого описанного шара, a R* = R(x*) - его радиус.

Известно([2]), что для случая, когда п(х) = ||х|| - евклидова норма, решение задачи (0.1) единственно. При этом центр описанного шара принадлежит выпуклой оболочке точек, одновременно принадлежащих границе компакта D и поверхности описанного шара (то есть его граничной сферы). Верно и обратное, а именно, шар, содержащий компакт и обладающий указанными выше точками множества D на его границе, есть описанный шар. Следовательно центр описанного шара всегда принадлежит выпуклой оболочке компакта D.

Диаметр компакта D d* = max Цж — % x,yeD и радиус описанного евклидова шара R* связаны неравенством, полученным Г. Юнгом (см. [И, с.73]).

R* < 4/ , Р „сГ.

2(р+1)

Как показывают примеры, если п(х) не является евклидовой нормой, то задача (0.1) может иметь неединетвенное решение, а центр описанного шара может не принадлежать выпуклой оболочке компакта D.

В практических ситуациях информация об оцениваемом компакте D может носить приближенный характер, ю есть вместо компакта D нам может быть известен некоторый компакт D£ такой, что h(D, D£) < е.

Здесь е > 0 - известная погрешность задания компакта D, а h(A, В) = max{sup inf п(а — b), sup inf n{a — 6)} сел ьев icii аел

- расстояние Хаусдорфа между множествами А и В в норме п(-).

И, таким образом, о решении задачи (0.1) мы можем судить по решению приближенной задачи

R£(x) = та.хп(х — у) min. (0.2) yeDt xGRp

Получение условия устойчивости и оценка характера устойчивости задачи (0.1) относительно оптимального значения целевой функции R(x) и центра описанного шара - один из вопросов, решаемых в диссертации.

Любая норма, как следует из ее аксиом, является выпуклой функцией на всем пространстве. Поэтому, легко видегь, и функция R(x), являющаяся результатом операции максимума от выпуклых функций, также выпукла на Следовательно задача (0.1) является задачей выпуклого программирования. Известно (см. [10, с.42]), что вопрос о характериза-ции устойчивости задачи выпуклого программирования легко решается, если целевая функция является сильно выпуклой ([3, с. 181]). Однако ни при каких условиях на компакт D и используемую норму п(-) функция R(x) не является сильно выпуклой не только на W, но и любом выпуклом множестве с непустой внутренностью. Именно это обстоятельство затрудняет исследование устойчивости задачи (0.1).

3. Приведем математическую формализацию второй задачи, исследуемой на устойчивость решения.

Пусть D непустой выпуклый компакт из ЕУ', h(A, В)- расстояние Ха-усдорфа между множествами А и В в евклидовой норме,

- евклидов шар с центром в точке х и радиусом г.

Тогда задачу о наилучшем приближении эюго выпуклого компакта D евклидовыми шарами в метрике Хаусдорфа можно записать в виде h(D, B(x,r)) -> min . (0.3)

4 4 " хеш, г>о 4 '

Задача (0.3) впервые была поставлена и рассматривалась в работе М.С.Никольского и Д.В.Силина [12]. В ней доказаны существование и единственность решения, получено необходимое условие решения. Отметим, что задача (0.3) рассматривалась авторами [12] в рамках более общей задачи о наилучшем приближении элемента пространства непустых выпуклых компактов с метрикой Хаусдорфа элементами его подпространства, которое представляет собой всевозможные линейные комбинации фиксированного набора элементов данного пространства. Очень важным обстоятельством, установленным в [12], оказалось то, что центр шара наилучшего приближения xq для компакта D в задаче (0.3) является одновременно единственным решением задачи

R(x)~pn(x) min. (0.4) xei)

Здесь

R(x) = max||a? - y\\, pn{x) = min \\x - г/||, ft = W>\D. yeD ye fi

При этом радиус шара наилучшего приближения есть

ЯЫ + РпЫ ro =-J-' а кроме того

• ит Pit \\ RM ~ min h[D, D [х. г)) =---. xe№,r>o v ' v ' JJ 2

Поэтому задачи (0.3) и (0.4) являются эквивалентными. Значение R(x) выражает радиус наименьшего шара с центром в ючке х, содержащего компакт D. Значение функции рп(х) для х е D выражает радиус наибольшего шара с центром в точке х, содержащегося в выпуклом компакте D. Таким образом, величина R(x) - рп(х) есть толщина минимального шарового слоя с центром в точке х G D, содержащего границу компакта

Задача (0.4) о построении шарового слоя наименьшей толщины, содержащего границу выпуклого компакта D известна давно. Впервые близкая но постановке задача рассматривалась М.Оканем в [25], где был предложен способ построения кругового кольца наименьшей ширины, содержащего заданное конечное семейство точек. А.Лебегом в [2G] рассматривалась задача о построении кольца "наименьшей толщины содержащего границу 2-мерного выпуклого множества. Позднее Т. Боннезен и [27] для задачи на плоскости и Н. Критикос в [31] для задачи в трехмерном пространстве получили необходимое и досипочное условие решения и доказали единственность решения.

Свойства минимального по ширине кольца, содержащего границу двумерного выпуклого компакта изучались в связи с другими экстремальными задачами по оценке того же компакта (см. [29]-[32]). Так в работе I.Vincze ([30]) оценивается соотношение минимального радиуса круга, содержащего выпуклый компакт D С 3R2 и внешнего радиуса кольца "наименьшей толщины содержащего границу компакта D, а также соотношение максимального радиуса круга, содержащегося в D, и внутреннего радиуса кольца "наименьшей толщины". Получены следующие оценки

Для задачи (0.4) в пространстве произвольной размерности р необходимое и достаточное условие было получено уже в 1988 в работе I.Barany ([32]). Заметим, что в этой работе существенным образом были задействованы средства выпуклого анализа. Дело в том, что функция R(x) является выпуклой на всем пространстве Rp, а функция рп(х) - вогнутой

D. mm{R(x) :xGD] л/3 r{xq) maх{рп{х) :хе D} < РпЫ)

2. на выпуклом компакте D. Поэтому целевая функция Ф(ж) = R{x) —рп(ж) задачи (0.4) является выпуклой на D.

В работе [32] также доказано, что при р > 3 имеет место точная оценка: min {R(x) :х е D] ^ 1, * „ 1 N

- п/ ч-- > ~(cos а0 + cosа0 - Н--),

R{x о) 2 cosa о где ао € [0,7г/2] и является решением уравнения sin2 а — 2 cos3 а = 0, а величина тах{/зп(ж) : х 6 D] Рп(х о) может быть сколь угодно большой.

Ввиду эквивалентности задач (0.3) и (0.4) на них всегда интересно смотреть в сравнении с задачей о внешней оценке

R(x) min и с задачей о внутренней оценке

Рп(х) max

XdD выпуклого компакта D евклидовым шаром. В связи с этим задачи (0.3) и (0.4) можно назвать задачами о равномерной оценке выпуклого компакта D евклидовым шаром.

Как и для задачи (0.1), ставится цель получить характеристику устойчивости задачи (0.3) относительно погрешности приближаемого компакта.

4. Диссертация состоит из двух глав, содержащих И параграфов. Нумерация параграфов сквозная. При изложении, кроме уже введенных, используются следующие обозначения:

A, intA, соА - соответственно замыкание, внутренность, выпуклая оболочка множества А,

А + В = {а + Ь:аеА,ЪеВ},А-В = {а-Ь:аеА,ЬеВ}

- алгебраическая сумма и разность множеств А и В,

А - В = {с: с+ В С А}

- разность Минковского ([7]) или JI.C. Понтрягина множеств Aw В xhx2] = co{xhx2}

- отрезок, соединяющий точки х\ и х2, и=d>w)2),/2

1=1 евклидова норма элемента х Е Жр, р х,у>=^х{г)у{г) 1=1

- скалярное произведение элементов х, у Е

Вп(х, г) = {уеШр: п(х -у) < г}, Sn(x, г) = {у Е : п(ж - у) =

- шар и сфера нормы п(-) с центром в точке х и радиусом г,

Qp(x,D) = {yeD : рдОг) = п(® - у)}

- проекция точки х на множество D в норме п(-),

Qr(x, D) = {у Е D : Д(®) = п(® - у)}

- множество точек касания множества D и шара B(x,R(x)),

К (А) = {г; Е : За > 0, а Е A, v = аа}

- конус, натянутый на множество А,

K+ = {we Rp :< v, w >> 0, Vu Е К}

- конус, сопряженный к конусу Я",

К(х,А) - конус возможных направлений множества А в точке х Е то есть К(х, А) = 7(2, А), где

7(а?, Л) = {д Е Rp : < 0 : х + ад Е Д а Е (0, ад)},

W(x, A) = sup < x, a > a£A

- опорная функция множества A,

A/(z) = inf {a > 0 : x £ aM}

- функция Минковского множества А, df(x) - субдифференциал выпуклой функции /(•) в точке х, f\x,g) = \lma-1[f{x + ag) - f{x)}

Q| О

- производная функции /(•) в точке х по направлению д.

Первая глава диссертации содержит §§1-G, ее главная цель - характе-ризация устойчивости решения задачи (0.1) о внешней оценке.

В §1, кроме постановки задачи о внешней оценке, даются сведения из истории ее исследования, некоторые из которых используются далее.

В §2 приводятся некоторые вспомогательные факты, главные из которых касаются свойств строго и сильно квазивынуклых норм. Эги свойства использовались далее при исследовании свойств целевой функции R(x) в задаче (0.1) и функции расстояния, также играющей важную роль. Если понятие строго квазивыпуклой нормы и ее свойства использовались в выпуклом анализе ранее (см. напр. [34]), то понятие г-сильно квазивыпуклой нормы, как нормы, обладающей r-сильно выпуклым ([15]) единичным шаром, вводится впервые.

Следующий факт позволяет сравнивать поведение таких норм на отрезках с поведением сильно выпуклых функций.

Лемма 2.8. Если тг(-) является r-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых точек х\ и Х2, отличных от 0;„ и a G [0,1] выполняется неравенство n(axi + (1 - а)х2) < an(xi) -I- (1 — а)п(хг)— Cia(l — а)п(х{)п(х2) " 2

2r(an{x\) + (1 - а)п(х2))

Х\ X2 п(х i) п(х 2) где константа С\ - полоэ/ситпелъная константа, для которой

CilMI<rcM, v®eRp. (0.5)

10

Для сильно квазивыпуклой нормы, единичный шар ко юрой имеет представление

Bn{Op,l) = f]B{a,r), (0.G) аел где А - симметричный относительно 0;, компакт, получена конкретная формула, ее выражающая.

Лемма 2.9. Если единичный шар нормы п(-) имеет вид (0.6) при условии А С intB(Qp,r), то саму норму можно выразить следующей формулой п(х) = шах а,® >| + у/< а,х >2 +||я||2(г2 — ||а||2) аел г2 - ||а|'2

В §3 исследуются свойства функции R(x), являющейся целевой в экстремальной задаче (0.1). Очень важным для характеризации устойчивости решения является следующий факт

Теорема 3.1. Если п(-) является г-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых х\ и x<i из а € (0,1) найдется точка уа е Sn(x 1, R(xi)) р| Sn{x2, R(x2)) такая, что выполняется неравенство

R{axi + (1 - а)х2) < aR(xi) + (1 - oi)R{x2)

Cia(l-ot)R{xi)R(x2)

-Уа ®2 - Уа

R{x i) R{x2) 1

2r(aR{xi) + (1 - a)R{x2)) где C\ - полоэ/сительпая константа, для которой выполняется (0.5)

При исследовании задач (0.1) и (0.2) важную вспомогательную роль играет функция расстояния. В §4 изучаются свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклых множеств, а также до множеств, которые являются их дополнениями. Нетрудно видеть, что функция расстояния

Ра(х) — штп(х — у) у ел не может быть строго, и тем более сильно выпуклой или вогнутой на любом выпуклом множестве с непустой внутренностью при любом множестве А и любой используемой норме. Однако строгая (сильная) выпуклость множества А или его дополнения и строгая (сильная) квазивыпуклость нормы п(-) дают возможность сравнивать поведение функции ра< -стояния на некоторых отрезках с поведением строго (сильно) выпуклой или строго (сильно) вогнутой функции, а в некоторых случаях говорить о ее строгой квазивыпуклости или строгой квазивогнутости.

Для случая, когда D - строго выпуклое множество доказана

Теорема 4.1. Если D является строго выпуклым множеством и точки х\ и Х2 из D таковы, что

PtiM < рп(х2) < pq{xi) + п{х 1 - х2), то для любого a 6 (0,1) выполняется строгое неравенство рп(ахi + (1 - а)х2) > арп(хi) + (1 - а)рп(х2).

Описание поведения функции рп(х) сразу на всем множестве D даег

Теорема 4.2. Если D является строго выпуклым мноэюеством, то функция рп(х) является строго квазивогнутой па D.

Нижние лебеговы множества функции рр{х)

G(\, D) = {х GW : pD{x) < \] характеризует

Теорема 4.3. Если D является строго выпуклым мпоясеством, а гс(-) - строго квазивыпуклой нормой, то для любого А > О мноэюество G{A, D) является строго выпуклым.

По аналогии с теоремой 4.1, получены также условия, при которых функция pd{%) ведет себя на некоторых отрезках как строго выпуклая функция.

Теорема 4.5. Пусть D - строго выпуклое мнооюество, а п(-) - строго квазивыпуклая норма. Если точки х\ и х2 из Ер удовлетворяют неравенству

Pd{XI) < ря(®2) < Pd(X\) + п{х\ - х2), причем х2 D, то для любых а £ (0,1) выполняется pD(ax 1 + (1 - а)х2) < apD(xi) + (1 - a)pD{x2).

Нижеследующие два факта говорят о том, насколько усиливаются соответствующие свойства функции рп{х), зафиксированные в теоремах 4.3 и 4.5, если D - сильно выпуклое множество, а п(-) - сильно квазивы-иуклая норма.

Теорема 4.6. Если D является г\-сильпо выпуклым мпоэюеством, а п(') — Г2-сильио квазивыпуклой нормой, то для любого А > 0 мпоэ/сество G(X,D) является (п + Аг2)-сильно выпуклым.

Теорема 4.7. Пусть D является г\-сильпо выпуклым мпоэюеством, а п(-) - Г2-сильно квазивыпуклой нормой, и точки х\ и %2 таковы, что xhx2]f]D = l

Тогда для любых точек у\ € Qp(x 1, D), У2 Е Qp{x2, D) и любого а £ [0,1] справедливо неравенство: с pD(ax 1 + (1 - а)х2) < apD(x\) + (1 - a)pD(x2) - у0^1 ~ <*)*

У1~У2\\2 , PD(X\)pd(X2)

-г

Х\ ~У\ х2 - У2

PD{X 1) PD{? 2) n r2[apD(xi) + (1 - a)pD(x2)]

В некоторых относительно простых ситуациях, а именно, на отрезках, концы которых равноудалены от множества О или Г}, функция расстояния может вести себя как сильно выпуклая или сильно вогнутая функция.

Теорема 4.9. Пусть D - г\-сильпо выпуклое Mnooicecmeo, п(-) -сильно квазивыпуклая норма, а точки х\ и Х2 таковы, что pD(x 1) = pD(x2) = р > 0, {хих2} р| D = 0.

Тогда для всех значений a G [0,1] справедливо неравенство pD(axi + (1 - а)х2) <Р~ НЖ1 ~ ж2||2, где С\ - положительная константа, удовлетворяющая (0.5)

Теорема 4.10. Пусть D является г-сильно выпуклым мноэюеством. Тогда для любых точек xi и х2 из D таких, что

Pn(®i) = РпМ = Р 13 и любых значений a £ [0,1] выполняется неравенство рп(ах 1 + (1 - а)х2) >р+ Cl0£^r НЖ1 ~

Следует отметить, что важную роль в исследовании свойств функции R(x) и функции расстояния, касающихся случаев с сильно выпуклым множеством D или сильно квазивыпуклой нормой, сыграли факты из сильно выпуклого анализа (см. [15]-[16]).

Свойства функции R(x) и функции рассюяния использованы далее в §5, где сформулирован и доказан критерий решения задачи (0.1) в форме, связывающий ее с задачей о внутренней оценке нижнего лебегова множества функции R(x) шаром используемой нормы.

Теорема 5.1. Точка х* является решением задачи (0.1) тогда и только тогда, когда для любого А > R* она является центром вло-оюенного в мноэюеетво GR(А) = {х Е Ш.р : R(x) < А} шара наибольшего радиуса, то есть решением задачи где Q(A) = MP\GR(А). При этом радиус вложенного шара есть рщ л)М = А-Я*.

Эта теорема является самым трудным но доказательству результатом первой главы.

Основным в первой главе является §6, где собраны и доказаны факты, касающиеся устойчивости решения задачи (0.1).

Выяснилось, что устойчивость задачи (0.1) относительно оптимального значения целевой функции R(x) имеет место всегда, причем справедлива

Теорема 6.1. Справедливо неравенство

R* - Щ\ < С2е, где

R* = min R(x), Rt = min R£(x). zeip v h £ v " а С2 - полоэюителъная константа, для которой п{х) < С2\\х\\, Vx е W.

0.7)

Каждому выпуклому компакту D, как элементу пространства всех выпуклых компактов Kv(W), можно сопоставить X(D) - множество решений задачи (0.1), то есть множество цен i ров описанных шаров. Поэтому можно рассматривать многозначное оюбражение

Его характеризует

Теорема 6.2. Многозначное отобраоюение Х(-) является полунепрерывным сверху всюду на Kv(Rp).

Приведенный пример 6.1 говорит о том, что в некоторых ситуациях многозначное отображение Х(-) может не обладать свойством полунепрерывное™ снизу.

Основным результатом главы является

Теорема 6.3. Пусть п(-) является г-сильно квазивыпуклой нормой. Если точка х* является решением задачи (0.1), а точка х£ - решением задачи (0.2), то справедливо неравенство где полоэюителъные константы С\ и С2 удовлетворяют неравенствам (0.5) и (0.7) соответственно.

5. Вторая глава диссертации содержит §§7-11, ее цель - исследование устойчивости задачи (0.3). В §7 дается постановка этой задачи и формулировки результатов из работы М.С.Никольского и Д.Б.Силина [12], которые в значительной мере далее используются.

В §8 приводятся некоторые свойства вспомогательной функции

Х{-) : ЩШР) 2КР.

Ло(я) = max Ця-у||, y€D0 где

DQ = B{xhR{xl))f]B{x2,R{x2)) для некоторых фиксированных точек х\ ф хч

В §9 получены верхние и нижние оценки производной по направлениям функции расстояния при некоторых дополнительных условиях на выбор направления.

В §10 рассматриваются некоторые свойства целевой функции

Ф(х) = R{x) - рп(х) в экстремальной задаче (0.4).

Во первых, получена оценка снизу для ее производной по направлению через значение производной но этому направлению функции R(х).

Теорема 10.1. Если intD ф 0, точка х £ intD, а единичное направление g £ Ер таково, что я// ч с . рп(х) то рЫхУ

Я2(х) j'

Во вторых, дается характеристика устойчивости оптимального значения целевой функции задачи (0.4).

Теорема 10.2. Пусть Д- - выпуклый компакт такой, что h(D, De) < е, где е > 0. Если точка хо - решение задачи (0.3), а х£ - решение прибли-оюенной задачи h(De,B(x,r))-* min (0.8) xCKp,r>0 то справедливо неравенство ф{х0)-ф(х£)\<4£.

Вспомогательные результаты §§8-10, а также работы [12] и первой главы диссертации применяются в §11 для получения основных результатов - характеризации устойчивости задачи (0.3).

Наиболее принципиальной и трудной но доказательству во всей диссертации является

Теорема 11.1. Пусть хо - центр шара наилучшего приближения в задаче (0.3), а хе - в приближенной задаче (0.8). Тогда справедливо асимптотическое неравенство где о(1) -)• 0 при £ | 0.

Ее следствием, но сути, является получаемая далее оценка устойчивости радиуса шара наилучшего приближения

Теорема 11.2. Если го - радиус гиара наилучшего приближения в задаче (0.3), а г£ - в приблиэ/сеннной задаче (0.8), то справедливо асимптотическое неравенство где о(1) 0 при с 4- 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в [35]-[40].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А.П.Хромову за помощь и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дудова, Анастасия Сергеевна, 2006 год

1. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. М.: Наука, 1976.

2. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

4. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971.

5. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

6. Демьянов В.Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

7. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1986.

10. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986 И. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

11. Никольский М.С., Силин Д.Б. О наилучшем приближении вып) лого компакта элементами аддиала // Труды матем. института им В.А. Стеклова. 1995. Т.211, с.338-354.

12. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: М ip, 1988.

13. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

14. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ //Матем. сборник. 1996. т. 187, №2. с. 102-130.

15. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

16. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.М.: Наука, 1980.

17. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

18. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

19. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

20. Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 1958.

21. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериме!-рии. М.: Наука, 1966.

22. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового сосюяния динамических систем: Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

23. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979.

24. D'Ocagne М. Sur certaine figures minimales //Bull. Soc. Math. France 1884. v.12. P.168-177.

25. Lebesgue H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapports avec le calcul des variations //J. Math. Pures Appl. 1921. V.4. p 67-96.

26. Bonnesen T. Uber das isoperimetrusche Defizit ebener Figuren //Math. Ann. 91 (1924). S. 252-268.

27. Bonnesen Т., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin: Springer-Verlag, 1934.

28. Vincze St. Uber den Minimalkreisring einer Eiline//Acta Sci. Math. (Szeged). 1947. V.ll. №3. P. 133-138.

29. Vincze I. Uber Kreisringe, die eine Eiline einbchlissen //Studia Sci. Math. Hungar. 1974. V.9. №1/2. P. 155-159.

30. Kriticos N. Uber konvexe Flachen und einschlissende Kugeln //Math Ann. 1927. V.96. P.583-586.

31. Barany I. On the minimal ring containing the boundary of convex body // Acta Sci. Math. (Szeged). 1988. V.52. №1/2. P.93-100.

32. Zucco A. Minimal shell of a typicall convex body //Proc. Airier. Math. Soc. 1990. V.109. №3. P.797-802.

33. Dudov S.I., Zlatorunskaya I.V. Best approximation of a compact convexset by a ball in an arbitrary norm // Advances in mathematics research. 2002. V.2. Nova Science Publishers, Inc. New York, P.81-114.

34. Дудова А.С. Об устойчивости задачи о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы. Саратов. Изд-во Гос УНЦ "Колледж'2004, с.75-76.

35. Дудова А.С. Об устойчивости решения задачи внешней оценки компакта шаром произвольной нормы // Математика. Механика: Сб. научн.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. - выи.6. С.54-56.

36. Дудова А.С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранником //Материалы 7-й междунар. Казанской летней научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанскою матем. общества, 2005,с. 68-69.

37. Дудова А.С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранником //Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та. 2005.- вып.7. с.45-47.

38. Дудова А С. Об одном критерии решения задачи о внешней оценке компакта шаром // Тез. докл. 13-ой Саратовской зимней школы. Саратов. Изд-во "Научная книга2006, с.65-66.