Характеризация данных обратной задачи для одномерной двухскоростной динамической системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Пестов Андрей Леонидович

• Пестов Андрей Леонидович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Пестов Андрей Леонидович

Введение

Глава 1. Начально-краевая задача

1.1. Постановка

1.2. Разрешимость

1.3. Фундаментальное решение

1.4. Оператор реакции

1.5. Медленные волны

Глава 2. Динамическая система

2.1. Атрибуты

2.2. Управляемость

2.3. Амплитудная формула

Глава 3. Характеризация оператора Я2Т

3.1. Основной результат

3.2. Система

3.3. Система 5Т

3.4. Представления для Ли В

3.5. Система с нулевой функцией отклика

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеризация данных обратной задачи для одномерной двухскоростной динамической системы»

Введение

В работе изучается обратная задача для одномерной двухскоростной динамической системы, и дается характеристическое описание ее данных. Особенность двухскоростных систем состоит в том, что в них имеются волны двух типов, распространяющиеся с различными скоростями и взаимодействующие между собой. Это взаимодействие приводит к интересным физическим эффектам и, в то же время, осложняет исследование системы.

Многоскоростные системы встречаются в важных приложениях: геофизике, акустике, механике, теории упругости. Примерами из последней области служат балка Тимошенко (см. [16], [23]), стержень с остаточными напряжениями (см. [27], [28]), слоистые анизотропные среды (см. [22], [33]), композитная балка (см. [29], [30]). В качестве примера из электротехники упомянем систему взаимодействующих кабельных линий. В оптике двухскоростной системой является двулучепреломляющее оптическое волокно (см. [32]). Соответствующие обратные задачи состоят в определении параметров таких систем по той или иной информации о решении, извлекаемой из внешних наблюдений (например, по измерениям на конце балки или оптического волокна).

В работе используется метод граничного управления (boundary control method или ВС-метод). Он основан на связях обратных задач с теорией управления. ВС-метод был предложен М. И. Белишевым в 1986 году для решения многомерной обратной задачи о восстановлении плотности (см. [3]). Это подход комплексного характера, использующий результаты теории управления и теории систем, асимптотические методы для уравнений в частных производных (геометрическую оптику), функциональный анализ и др.

Цель и результаты работы. Рассматривается начально-краевая задача

putt - (чих)х + Аих + Ви = 0 , ж > 0, 0 <t<T , (1)

ult=0 = Utlt=0 = 0 , х ^ 0 , (2)

u[x=o = f, 0 ^ t ^ T, (3)

. I u{(x, t) \

(0 < T < ж). Ее решение и = и*(x,t) = I I описывает волну, ипици-

\uf2 (x,t))

ироваппую граничным управлением, f и распространяющуюся вдоль полуоси х ^ 0. Здесь р, j, А, В суть гладкие вещественные 2 х 2 матрицы-функции от х ^ 0 Р = diag {pi, р2} , 7 = diag {71,72} — матрицы с положительными элементами. Матрицы А и В удовлетворяют соотношениям Atr = —A, = В — Вtr, (tr — транспонирование). Кроме того выполнены условия

Обратная задача состоит в восстановлении параметров (матричных коэффициентов) р, j, А, В системы по ее оператору реакции

R2T : f^ 7(0)4U=o,

который описывает реакцию системы на действие граничных управлений. Главная цель работы — дать характеристическое описание оператора

R2T,

т. е. привести необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

В рассматриваемой обратной задаче неизвестные матричные коэффициенты р, j, А, В описываются восемью независимыми скалярными функциями, в то время как оператор R2T задается набором, содержащим три функции и шесть чисел. В этой ситуации ожидать однозначного определения всех коэффициентов не приходится, и встает вопрос о ее разрешимости: при каких условиях па R2T существует хотя бы одна система с таким оператором реакции?

Ответ дает Теорема 4 (см. раздел 3.1), которая устанавливает необходимые и достаточные условия на оператор R2T, гарантирующие существование системы с таким оператором реакции. Доказательство Теоремы 4 следует схе-

ме работы [7]. Однако оно проводится в более сложной ситуации: при наличии большего числа свободных параметров, задающих динамическую систему1. Доказательство достаточности конструктивно: предложена процедура, восстанавливающая систему по оператору реакции В2Т. В процедуре предусмотрен выбор свободных параметров, за счет чего восстанавливаются все системы этого вида, обладающие заданным оператором реакции. Основная проблема (и трудность) состояла в их непротиворечивом выборе. Процедура использует красивый физический эффект — существование медленных волн. Эти волны суть смеси быстрой и медленной мод, распространяющиеся (несмотря на взаимодействие мод) со скоростью медленной моды. Главный фрагмент процедуры — т. п. амплитудная формула, основной инструмент решения обратных задач методом граничного управления (см. [7], [24]).

Известные результаты. Задачи подобного типа изучались ранее. В качестве примеров классических одномерных задач упомянем следующие:

• восстановление плотности неоднородной струны;

• восстановление коэффициента д = д (ж) в уравнении струны ии — ихх + ди = 0.

Впервые различные вариации этих задач были решены в 60-70 гг. А. С. Благовещеским (см. [13], [26]). В качестве главного инструмента решения обратной задачи использовались аналоги уравнений Крейна и Гельфинди Левитина. которые выводились в рамках чисто динамических рассмотрений, без привлечения преобразования Фурье по времени и спектральной техники. Позже эти задачи были решены и ВС-методом (см. [4], [1]), первоначально предложенным для решения многомерных обратных задач.

В работе [25] изучалась обратная задача для одномерной двухскоростной динамической системы, в которой распространение волн описывается гипербо-

1 В частности, в отличие от [7] скорости мод не предполагаются постоянными.

лической системой уравнений

рии — ихх + Аих + Ви =: Си = 0

с 2 х 2 матричными коэффициентами, постоянной положительной матрицей р

С

—

1 d

R2T = 2 ii+

г (t — s) (•) (s)ds

с симметрической матрицей-функцией г.

Данная матрица, в силу самосопряженности оператора задается тремя функциями Гц, г 12, г22, в то время как искомые матрицы А и В описываются четырьмя функциями. Правило подсчета параметров требует добавления в данные задачи еще одного параметра. В [25] было установлено существование волн, распространяющихся с медленной скоростью. Оказалось, что такие волны генерируются управлениями /, первая компонента которых выражается через

( (1 * /2)(£)

свертку второй компоненты с некоторой функцией I : / (£) =

V /2(0

Поэтому в набор данных помимо матрицы г была включена функция I. Такая постановка согласуется с правилом подсчета параметров, и было показано, что А и В могут быть найдены по г и I.

Далее, в [7], также в случае самосопряженного было показано, что необходимым и достаточным условием разрешимости обратной задачи является положительная определенность связывающего оператора

т

1

С1 := р2I+

о

2T—t—s

1

2

Ml

r(r}) drj

(•)(s) ds

при любом Т > 0. При этом функция I может быть выбрана произвольно (с некоторыми условиями согласования при £ = 0).

Отметим, что положительная определенность оператора Ст и его аналогов типична для условий разрешимости динамических обратных задач (см. [13], [18], [19], [21]).

В связи с тем, что функция I экспериментально не измерима, в работе [8] для системы с А = 0 задача восстановления коэффициента В только по матрице г решена «в малом».

Используя этот результат, A. Morassi, G. Nakamura и М. Sini в работе [29] решили ту же задачу «в большом».

Помимо этого, работа [29] решает прикладную задачу для композитной балки, состоящей из двух однородных балок: бетонной и стальной.

В 2009 году Rackesh и P. Sacks в [31] рассмотрели ту же модельную систему (как и в [7], [8], [25]), но без требования самосопряженности оператораВ этой работе доказана устойчивость решения обратной задачи для такой системы. В ходе доказательства устанавливались два вспомогательных результата: корректность прямой задачи и существование медленных волн (т. е. существование функции /). Способ доказательства второго результата, как видится авторам, проще ВС-метода, хотя и использует идеи работы [25]. Доказательство первого результата аналогично приводимому в первой главе настоящей диссертации и опубликованному в статье [11]. Однако в диссертации и статье [11] доказательство проводится в более общем и сложном случае: коэффициенты в главной части уравнения, а следовательно, и скорости распространения двух мод являются переменными.

Система с переменными скоростями рассматривалась М. И. Белишевым и А. В. Зуровым в работе [10]. В ней исследовались эффекты, связанные с совпадением скоростей для системы риц — ихх + qu = 0, где оба (матричных) коэффициента предполагаются переменными. Показано, что совпадение скоростей в отдельных «резонансных» точках приводит к переходу сингулярностей волновых мод из одного канала в другой.

В работах А. С. Благовещенского [15] и В. Г. Романова [22] изучалась обратная задача для слоисто-неоднородных сред модели Ламе, которая также является двухскоростной системой.

Содержание диссертации по главам.

Глава 1. Начально-краевая задача. В первой главе рассматривается начально-краевая задача

putt — (7их)х + Аих + Ви = 0 , ж > 0, 0 <t<T, (4)

u\t=0 = Ut\t=0 = 0 , х ^ 0, (5)

и\х=о = f, 0 ^ t ^ Т, (6)

в которой р, j, А, В суть вещественные 2 х 2 матрицы-функции от х ^ 0; Т < ж — финальный момент; р = diag{pi,p2}, 7 = diag{71,72} — матрицы

f f™ (h(A

с положительными элементами; j = j (t) = I — граничное управление.

Ш)

u{(x, t) u[ (x,t)

Решение и = u{(x,t) = I 'I описывает волну, инициированную управ-

лением f и распространяющуюся вдоль полуоси х ^ 0. Функции Сг :=

о

__/7»м

Л^ИИ ОI -

называются скоростями, на которые накладываются условия:

0 < с2(х) < с\(х) , х ^ 0.

Расходимость интеграла

с»

<1х

—— = оо С\ (х)

обеспечивает корректность задачи при любом Т > 0. Соотношения

ЙЛ

А'г(х) = -А(х), — (х) = В(х) - В11(х), ж ^ 0 ^г — транспонирование) обеспечивают самосопряженность оператора

У ^ (1Ух)х - Аух - Ву

по Лагранжу, то есть его симметричность в Ь2 ((0, о); К2) на функциях с компактным носителем.

Функции

x

ds

Ti(x) :=

I

ds =

ж > 0, i = 1, 2,

называются эйконалами. Это монотонные, строго возрастающие неотрицательные функции. С физической точки зренияTi(x0) — это время, за которое волна, инициированная на конце х = 0 и распространяющаяся вдоль полуоси х ^ 0 со скоростью Q, заполняет отрезок [0,ж0]. Эйконалы определяют характеристики, системы — кривые {(x,t)l t ± ъ(х) = const}. Характеристики t = Т\(х) и t = т2(х) мы называем быстрой и медленной соответственно. Функции Xi(r), обратные к эйконаламможно представить в виде

хг(т) =

/

/1г(Хг(8)) ds =

Pi(Xi(s))

Ci(xi(s))ds, т ^ 0;

они также суть строго возрастающие, и х\(т) > х2(т) при г > 0.

В разделе 1.2 рассматривается прямая задача. Для управлений класса Ь2 ((0, Т); К2) определяется обобщенное Ь2-решенне задачи и дается точное описание пространств, в которых она оказывается корректной. Метод исследования вполне традиционный: задача сводится к системе интегральных уравнений вольтеровского типа, затем устанавливается разрешимость последней в подходящем пространстве вектор-функций.

Последующие разделы главы подготавливают исследование динамической обратной задачи.

В разделе 1.3 вводится фундаментальное решение исходной системы как решение матричной начально-краевой задачи

риы - Ьих)х + Аих + ви = 0, ж > 0, 0 <КТ,

и|*=0 = Щь=о = 0, ж ^ 0,

и и=0 = ад | 10 I , 0 ^ г ^ т,

где 5 — дельта-функция Дирака. Представление фундаментального решения дается в подразделе 1.3.3 в виде суммы анзаца и невязки, определенных при помощи стандартной схемы лучевого метода (см., например, [2]). В том же подразделе детально исследуются главные особенности фундаментального решения и выводятся соотношения, связывающие матрицы ^Вс (матричными) амплитудами членов первого и второго порядков в разложении лучевого анзаца.

В разделе 1.4 вводится оператор реакции

(Ят/) (*):= 7(0) и{(0,*) , 0 ^ I ^ Т,

который в дальнейшем играет роль данных обратной задачи.

Изучение прямой задачи завершает раздел 1.5, где описывается физический эффект, свойственный двухскоростным системам и состоящем в следующем. При определенной связи между компонентами управления ¡\{Ъ) и /2(£) волна (смесь мод) распространяется со скоростью медленной модыс2. Возможно, впервые этот эффект был обнаружен в [25]; там же и в более поздних работах [7], [9] он был использован для решения обратных задач. Эти работы относились к системам с постоянными скоростями; здесь рассматривается более общий случай переменных разделенных С1 и с2.

Результаты полученные в первой главе опубликованы в статье ([11]).

Глава 2. Динамическая система. В этой главе изучаемая начально-краевая задача рассматривается как динамическая система 5Т. Она наделяется стандартными атрибутами теории управления.

В разделе 2.1 вводятся связанные с системой пространства и операторы. Гильбертово пространство управлений Тт := Ь2 ([0,Т];К2) называется внешним пространством, системы зТ. Пространство %Х1(Т) := Ь2^р ([0,ж1(Т)]; К2) называется внутренним,.

Соответствие «вход ^ состояние» реализуется оператором управления WТ : ^ %Х1(Т\ Wт/ := и?(^,Т). Помимо операторареакции Ят : ^ , описывающего соответствие «вход ^ выход» в системе5Т, определяется так па-

и

зываемыи расширенным оператор реакции

Я2Т -.Т'2Т Т'

2Т

(Я2Т/) (*):= 7(0)и{(0,1), 0 ^ г ^ 2Т,

который определяется матричными коэффициентами р,^,А,В ет представление

и име-

(Я2Т/) (*) = -^Г(1)+ ш}(*) +

г(ъ - в) /(в) ^, 0 < г < 2Т,

с постоянными матрицами V, ш и гладкой симметрической матрицей-функцией г (г), 0 < г < 2Т.

Оператор Ст : ^ , От := * Wт называется связывающим.

Определяющее его соотношение

{СТ/, д) тт = /, Wт д)Пх1(т) = {и1 (;Т (;Т ))НХ1(Т)

связывает метрики внешнего и внутреннего пространств. Оператор Ст ограничен (по ограниченности Wт), самосопряжен и неотрицателен.

Ключевым для ВС-метода фактом является простая и явная связь оператора Ст с расширенным оператором реакции (см. [5], [7], [24]). Эта связь приводит к представлению

-

Ст/(*) := и/(*) +

1 2

2Т-г-в

г(г}) (1г1

\t-sl

/(в) йз, 0 < г < т.

В разделе 2.2 обсуждается свойство управляем,ост,и системы (4)-(б). Множества (подпространства) вида

Ы* := {и1 (•,£) \ / } С ПХ1(0 , 0 < £ < Т,

называются достижимыми (в момент Ь = £). С ростом множества Ы^ расширяются. Их структура и свойства составляют предмет теории граничного управления. Достижимые множества образованы всеми состояниями системы

(здесь — волнами), которые можно создать, оперируя данным классом управлений. В ситуации, когда эти состояния исчерпывают содержащее их пространство, говорят об управляемости системы.

Особенностью двухскоростной системы является отсутствие управляемости: подпространство Ыт имеет нетривиальное ортогональное дополнение в %Х1(Т) при люб ом Т > 0.

Оказывается, что если компоненты управления / удовлетворяют соотношению

№ =

l(t — s) /2(s) ds, 0 ^ t ^ T — n(x2(T)),

о

с некоторой гладкой функцией I = ОД, то волна и{, инициированная таким управлением, распространяется с медленной скоростью. Подпространство таких управлении мы обозначаем jf, а волны, инициированные такими управлениями, называем медленными волнами.

_ гр гр

В системе медленным волнам отвечает подсистема sj, описываемая на-чальпо-краевой задачей

putt — (jux)x + Аих + Ви = 0 , 0 < ж < Х2(Т), 0 <t<T,

u\t<T2(x) = 0 ,

и\х=о = f, 0 ^ t ^ т,

которая корректна, при f G Tf. Важной отличительной чертой подсистемы sf от самой системы является ее управляемость:

UT := {и{(^,Т) \ f GTj} = НХ2(Т).

В разделе 2.3 выводится представление волн, так называемая амплитудная, формула — один из основных инструментов решения обратных задач методом граничного управления (см. [5], [7], [24]). Вывод использует особенности распространения разрывов в системе sT, а само представление по существу является формулой геометрической оптики.

Глава 3. Характеризация оператора R2T. В обратных задачах оператор реакции динамической системы играет роль данных, по которым требуется восстановить ее параметры. В рассматриваемой задаче оператор R2T определяется коэффициентами р, j, А, В, которые содержат восемь независимых скалярных функций р\, р2, 7i, 72, 2, 1, 2, В22, в то время как oneратор R2T задается набором из двух постоянных матриц v, и, содержащих шесть чисел, и матричной функцией отклика г, содержащей три функции: г\ 1, Г\2, г22. В этой ситуации ожидать единственности решения обратной задачи, т. е. однозначного определения всех коэффициентов, не приходится, и встает вопрос о ее разрешимости: при каких условиях па v, и, г существует хотя бы одна система с такими данными? Характеристическое описание данных доставляет необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Как будет показано, применительно к системе sT эти условия состоят в следующем.

Теорема. Оператор П2Т : Ь2 ([0, 2Т]; R2) ^ Ь2 ([0, 2Т]; R2) , вида,

(П2Тf) (t) = -vft(t) + ш/(t) +

r(t - s)f (s) ds, 0 < t < 2T,

с постоянными матрицами и = diag {и1,и2}, ш и гладкой матрицей-функци-

Су I СУ

ей г\0^^2т является расширенным оператором, реакции, некоторой системы 5Т, если и только если выполнены условия:

1. v1,v2 > 0 ш12 = -аш21 с каким-либо а > 1;

2. [r(t)]tr = r(t), 0 < t < 2Т;

3. оператор СТ, действующи,й, в L2 ([0,Т]; R2) по правилу

-

(CTf )(t) := Kf(i) +

2T-t-s

r(r}) drj

\ts\

f (s) ds, 0 < t < T

является положительным изоморфизмом.

Доказательство достаточности конструктивно: предложена процедура, восстанавливающая систему по V, и, г. В процедуре предусмотрен выбор свободных параметров, а именно функций с1,с2, р1, р2 € Са также функции I и продолжение функции отклика г|о^<2т на больший интервал. Параметры выбираются согласованно, удовлетворяя определенным условиям. В последующих разделах определяются матрицы йВи доказывается, что построенная система обладает оператором реакции Я2Т, совпадающим с V,21.

Данный результат опубликован в работе [12].

В разделе 3.4 дается пошаговая процедура определения матриц А и В, пригодная для численной реализации. Кроме того, предлагается второй способ определения А и В по формулам полученным в работе [20].

В разделе 3.5 строится динамическая система вида (4)-(6) с ненулевыми матрицами А и В, обладающая оператором реакции вида

А

(Я2Т/)(*) = --/(*), 0 ^ I ^ 2Т. (7)

Заметим, что таким же оператором реакции обладает система вида (4)-(6) с А = В = 0 при соответствующем выборе констант: Рг(0), р\(0), 7^(0), 7г'(0), г = 1, 2. В ней распространяются две не взаимодействующие между собой волны, эволюция которых описывается двумя независимыми уравнениями:

Рг(иг)и - (ъ(иг)х)х = 0, г =1, 2.

Для внешнего наблюдателя системы с одним и тем же В,2Т неразличимы. Наш пример показывает, что установить сам факт взаимодействия разных волновых мод по оператору реакции возможно не всегда.

Автор признателен М. И. Белишеву за руководство работой и помощь в подготовке диссертации.

15

Глава 1

Начально-краевая задача

1.1. Постановка

Рассматривается задача

рии - (7их)х + Аих + Ви = 0 ^=о = щ1ь=о = 0 ,

И|х=0 = f ,

х > 0, 0 <г<т, (1.1)

ж ^ 0 , (1.2)

0 < г < т, (1.3)

описывает волну, инициированную граничное управлением, / = /(^ =

Л(0 Л(0

и распространяющуюся вдоль полуоси х ^ 0 р, А, В суть гладкие вещественные 2 х 2 матрицы-функции от х ^ 0 Т < ж — финальный момент; р = diag {р]_, р2} , 7 = diag {71,72} — матрицы с положительными элементами;

граничное управление. Решение и = и?(х,{)

и{ м

щ (х,г)

описывает волну,

инициированную управлением / и распространяющуюся вдоль полуоси ж ^ 0. Функции := у/, г = 1, 2, называются скоростям,и.

Всюду в работе предполагаются выполненными условия

00

0 < с2(х) < с1 (х), х ^ 0;

<1х С1(ж)

=

(1.4)

и соотношения

&А

Аи(х) = -А(х), — (х) = В(х) - Ви(х), х ^ 0 ^г — транспонирование), равносильные равенствам

(1.5)

А(х) =

0 -а(х) а(х) 0

В21(х) - В12(х) = а'(х), х ^ 0.

Расходимость интеграла в (1.4) обеспечивает корректность задачи (1.1)—(1.3) при любом Т > 0. В силу (1.5) оператор у ^ (^ух)х — Аух — Ву самосопряжен по Лагранжу, т. е. симметричен в Ь2((0, то); К2) па функциях с компактным носителем.

Функции

тг(х) :=

/

P'(s) ds =

-

ds

х > 0,

Ci(sY

0

называются эйконалами. Это монотонные, строго возрастающие положительные функции. С физической точки зрения Ti(x0) — это время, за которое волна, инициированная на конце х = 0 и распространяющаяся вдоль полуоси х ^ 0 со скоростью Ci, заполняет отрезок [0,ж0]. Согласно (1.4) имеем: т2(х) > т1(х), х > 0; Тг(ж) = то. Эйконалы определяют характеристики системы (1.1) — кривые {(x,t)\t ± Ti(x) = const}. Характеристики t = r1(x) и t = т2(х) мы называем быстрой и медленной соответственно (см. рис. 1.1). Функции Xi(r), обратные к эйконалам,, можно представить в виде

хг(т) =

*(*(*)) ds =

Ci(xi(s))ds, т ^ 0;

Рг(Хг(8))

0

они также возрастают, и выполнено х1(т) > х2(т) при т > 0.

1.2. Разрешимость

В этом разделе решается прямая задача для системы (1.1)—(1.3) с матричными коэффициентами, удовлетворяющими следующим условиям гладкости1:

р,1 е С1 ([0, то); М2) , Л е С?ос ([0, то); М2) , В е С?ос ([0, то); М2) . (1.6)

Для управлений класса Ь2 ((0,Т); К2) определяется обобщепное Ь2-решенпе задачи (1.1)—(1.3) и дается описание пространств, в которых задача оказывается

Здесь и ниже в работе М2 — множество 2 х 2 матриц, снабженное евклидовой нормой.

1

х,(т) х

Рис, 1.1. Характеристики

корректной. Метод исследования вполне традиционный: задача сводится к системе интегральных уравнений вольтеровского типа, затем устанавливается разрешимость последней в подходящем пространстве вектор-функций2. Вводится фундаментальное решение задачи и исследуются его главные особенности.

Для дальнейшего удобно принять

Соглашение 1. (а) Все функции, зависящие от времени, предполагаются продолженными нулем при Ь < 0.

(Ь) Пусть П С К2 есть прямоугольник или полуполоса со сторонами, параллельными координатным осям. Функцию мы называем гладкой в П вне кривых 51 ,...,БР С П7 если она является гладкой в каждой из компонент связности множества П\ и^=1 и продолжается до гладкой функции в окрестности этой компоненты.

2 Заметим, что такой подход делает ненужным применение спектральной техники (преобразования Фурье по £), не вполне адекватной гиперболическим задачам на конечном интервале времени.

(с) Для скалярных, векторных и матричных функций будем обозначать

y(s) := У(s + 0) - y(s - 0) , z (х, (t)) := z(x, t + 0) — z(x, t — 0), 2 ((x) ,t) := 2(x + 0,t) — z(x — 0,t).

1.2.1. Скалярное интегральное уравнение

(1.7)

(1.8) (1.9)

Рассмотрим вспомогательную задачу для скалярного волнового уравнения

putt —ихх = -, u\t=0 = u\t=0 = 0,

UU=o = f,

x> 0, 0 <t<T, x ^ 0, 0

где p = p(x) > 0 есть функция класса С2ос ([0, то); M2), f = f(t) — граничное управление. Эйконал

X

т(х) := yfp(s)ds о

определяет семейство характеристик t ± т(х) = const; через

Т К

x( ) :=

^ШГ)

обозначим функцию, обратную к эйконалу. Такая задача стандартным образом (с помощью замены переменных х ^ т, формулы Даламбера и обратной замены т ^ ж)3 сводится к интегральному уравнению типа Вольтерра

и(*, = (Ш)1/(4 - г(ж))

+

2р 1 (x)

К (x,t)

h(C, rj) ^ , d2

+U(^, Л)—2

Р4 (О

(

(i).

(1.10)

Детали см., например, в [17].

1

1

з

Т

t

о

Рис, 1.2. Область интегрирования

в полуполосе {(x,t)l х ^ 0, 0 ^ t ^ Т}; область интегрирования есть «трапеция» К(x,t), ограниченная характеристиками

Ц + г (С) = t + т {x), ц - г (£ ) = t — г {x), ц + г (£ ) = t — г (х)

(на рис. 1.2). В записи уравнения (1.10) используется пункт (а) Соглашения 1. Соответственно, слагаемое f (t — т(ж)) в правой части понимается как функция от (х, t\ аннулирующаяся при t < т(х).

Отметим существенную особенность уравнения (1.10): если его правая часть h аннулируется при t < т(х), то и решение обладает тем же свойством. Это следует из того, что определяющий уравнение интегральный оператор не нарушает указанного свойства функций. В этом случае при исследовании уравнения можно вместо рассмотрений в полосе ограничиться прямоугольником {(x,t)l 0 ^ х ^ х(Т), 0 ^ t ^ Т}, а интегрирование проводить по части области К(х, t)7 расположенной выше характеристики t = т(х).

1.2.2. Векторное интегральное уравнение

Сведем задачу (1.1)—(1.3) к интегральному уравнению. Для г = 1, 2 примем обозначение

_ 1, если г = 2,

* = < (1.И)

I 2, если г = 1.

С учетом определения а := - А12 = А21 система уравнений (1.1) в покомпонентной записи имеет вид:

Рг{иг)и — 1г (иг)хх — (7г)х{иг)х + (-1)'а(щ)х + ^ Вг]Щ = 0. (1.12)

3=1,2

Для дальнейшего удобно удалить слагаемые (гУ')х(и')х. Вводя новые неизвестные функции V1' соотношениями

иг(х,1)=(2 уг(х,1), (1.13)

после подстановки в (1.12) получаем систему для^:

Р'(ъ')и - 7'Ыхх + аг(п;)х = 0 ,

3=1,2

где

2 2 2 /^ПП2

Р, := 2 Р„ 7. :=(7.(0))2Ы2, а, := (-1)' (^ «,

а (т.(0Л2 и 1( (0))2 -2 ( ')2 +1 (т.(0Л2 »

В'.' := —j в,,- 4 Ы0)) 22 г,2 (7.) + 2 [—) 1',

в. .= ^2 вь - (-1)'2 (7г(0))2 7-3а. (1.14)

Окончательно, начально-краевая задача для V. принимает вид системы

Г'(у.)ы - (у.)хх = Ы, х > 0, 0 <г<т,

= (У')г\г=о = 0, х ^ 0,

^'|х=0 = I, 0 ^ I ^ Т,

в которой

Pi -2 Г! := г=с-

/г /г ^=1,2

ijV j.

Применяя формулу (1.10) для каждой из компонент v¡, i = 1, 2, получаем систему интегральных уравнений в полуполосе {(х, t)\ х ^ 0, 0 ^ t ^ Т}:

Vг(X, t) = ^f( - Тг(х)) -

2ГJ(х)„

К i(x,t)

+ ^ M

3=1,2

ijV 3

d^drj,

где

N :=

(1г

Mu : =

Вц

С?)*,

M :=

(1.15)

ЪЧ ъч \Г1/ ^ цг-

а области интегрирования Кг(х, £) определяются неравенствами

1 + Тг(0 ^ 1+ п(х), V- Тг(0 < г- п(х) ^ Т] + тг(0

и по форме аналогичны «трапеции» на рис. 1.2. Далее, интегрируя по частям в слагаемых, содержащих (^ имеем:

ЩщЛг] -

где контур дКг(х, £) обходится в положительном направлении. В результате, приходим к системе

уг(х, t) =

г*(0Л4 f(+ ( )) 1

—Г\ f( - тЛх))--1—

л(х); 2rj(х)

Nmdv

дК i(x,t)

2г } (х)

К i(x,t)

3=1,2

d^drj.

(1.16)

Подставляя в (1.16) значения коэффициентов М^, Щ (см. (1.15), (1.14)) и возвращаясь к компонентам вектор-функции и7 получаем для последней интегральное уравнение

и(х, t) - (Фи)(х, t) = /(х, t), х ^ 0 , 0 ^t^T,

(1.17)

1

4

1

Рис, 1,3, Области интегрирования

с правой частью

где

р,(х) :=

/(х,г) := ц,(х)

^1(х) 0

0 №(х)

и интегральным оператором Ф:

- Г1(х)) ¡2(1 - Т2(Х))

\Р'(х)^'(х);

(1.18)

где

Фи :=

(Фи\ (фМ)2

Ф := дМ + М,

(дМи)' (х,г) := ф'(х)

Щщ(1г},

ж4 (х,г)

(Ми)' (х,г) := ф'(х)

V' :=

1 1 4 Р 4

к

^ := (-1)

Е м'

.3=1,2

'з из

'+1

а

Мц :=

М" :

2^4 р4

Ы)2 я и

7? Р?

4ъ

Р? 7'?

+ -

7?,

(-1)'^« - В"

7? Р4

+ (-1)

1-2

1'

Итерируя уравнение (1.17), имеем:

(и - /) - Ф (и - /) =Ф/.

Для функции и) := и - / получаем уравнение

ы - Фw = Ф/ ,

(1.19)

которое тоже используется в работе.

4

1

е

1.2.3. Оператор Ф

Разрешимость уравнений (1.17) и (1.19) определяется свойствами оператора Ф. Оба они суть уравнения в полуполосе {(х, t)| х ^ 0, 0 ^ £ ^ Т}, но следующее наблюдение4 позволяет свести их к уравнениям в прямоугольнике {(х, £)| 0 ^ х ^ Х\(Т), 0 ^ £ ^ Т}: правая часть / аннулируется ниже быстрой характеристики Ь = т\(х)5, а оператор не нарушает этого свойства вектор-функций. Иными словами, включение вирру С Пт, где

Пт := {(х, г)1 0 < ж < хг(Т), п(х) ^г^Т} ,

влечет виррФу С Пт, что легко усматривается из определений операторов М и дМ, составляющих Ф. При этом интегрирование в (1.16) фактически сведется к интегрированию по частям областей К\ попадающим в Пт (па рис. 1.3

К

разумениям.

Введем пространство управлений Ь2 ([0, Т]; К2) с нормой

1/1

Ь2([0,т ];М2)

т

(1х

(Л(*)Г + (ЛМ)

.0

и пространство вектор-функций С (Пт; К2), заданных и непрерывных в прямоугольнике {(х, £)| 0 ^ х ^ Х\(Т), 0 ^ £ ^ Т} и аннулирующихся при £ ^ ^(х), с нормой

\\у\\с(пт;М2) = гт=ах ||Уг\\с(п^) = шах тах 1 yг(x, £)| .

ъ—1,2 ъ —1,2 (х,ъ)£П

Теорема 1. Отображение / ^ Ф/ непрерывно из Ь2 ([0,Т]; К2) в С (Пт;К2).

Доказательство. Доказательство состоит из двух лемм, в которых устанавли-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пестов Андрей Леонидович, 2016 год

Литература

1. Авдонин С. А., Белишев М. И., Иванов С. А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения уи - уХХ + у(х)у = 0 // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 3. С. 307-331.

2. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн // Москва: Наука. 1972.

3. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // Докл. Акад. Наук СССР. 1987. Т. 297. № 3. С. 524-527.

4. Белишев М. И. Граничное управление и обратные задачи: Одномерный вариант ВС-метода // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2008. Т. 354. С. 19-80.

5. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн // СПб: С.-Пб Государственный Университет. 1999.

6. Белишев М. П., Иванов С. А. Граничное управление и канонические реализации двухскоростной динамической системы // Зап. научи, сем. ПОМИ. 1995. Т. 222. С. 18-44.

7. Белишев М. И., Иванов С. А. Характеризация данных динамической обратной задачи для двухскоростной системы // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1999. Т. 259. С. 19-45.

8. Белишев М. И., Иванов С. А. Единственность в малом в динамической обратной задаче для двухскоростной системы // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2001. Т. 275. С. 41-54.

9. Белишев М. И., Иванов С. А. Восстановление параметров системы связанных балок по динамическим граничным измерениям // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2005. Т. 324. С. 20-42.

10. Белишев М. И., Зуров А. В. Эффекты, связанные с совпадением скоростей в двухскоростной динамической системе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000. Т. 264. С. 44-65.

11. Белишев М. И., Пестов А. Л. Прямая динамическая задача для балки Тимошенко // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2009. Т. 369. С. 16-47.

12. Белишев М. И., Пестов А. Л. Характеризация данных обратной задачи для одномерной двухскоростной динамической системы // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. № 3. С. 89-130.

13. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 115. С. 28-38.

14. Благовещенский А. С. О несамосопряженной обратной краевой задаче в матричной форме для гиперболического дифференциального уравнения // Проблемы Математической Физики. 1971. Т. 5. Р. 38-61.

15. Благовещенский А. С. Обратная осесимметричная задача Лэмба // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1992. Т. 203. С. 51-67.

16. Григолюк Э. И., Селезов И. Г. Неклассические модели теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Москва: Итоги Науки и Техники, сер. Механика твердых деформируемых тел. 1973. Т. 5.

17. Зуров А. В. Эффекты, связанные с совпадением скоростей в двухскоростной динамической системе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2003. Т. 297. С. 49-65.

18. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. Акад. Наук СССР. 1954. Т. 95. № 6. С. 767-770.

19. Нижник Л. П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений // Киев: Изд. Наукова Думка. 1991.

20. Пестов А. Л. Об обратной задаче для одномерной двухскоростной динамической системы // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2014. Т. 426. С. 150-188.

21. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики // Москва: Наука. 1984.

22. Романов В. Г. О задаче определения параметров упругой слоистой среды и импульсного источника // Сиб. матем. журн. 2008. Т. 49. № 5. С. 1157-1183.

23. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids // Amsterdam:

North-Holland Publishing Company. 1987.

24. Belishev M. I. Boundary Control Method in Dynamical Inverse Problems - An Introductory Course // Dynamical Inverse Problems: Theory and Application. 2011. Vol. 529. P. 85-150.

25. Belishev M. I., Blagovestchenskii A. S., Ivanov S. A. Erratum to «The two-velocity dynamical system: boundary control of waves and inverse problems» // Wave Motion. 1997. Vol. 25. P. 83-107. - Wave Motion. Vol. 26. 1997.

26. Blagovestchenskii A. S. Inverse problems of wave processes // Netherlands: VSP. 2001.

27. Chadwick P. and Ogden R. W. On the definition of elastic moduli // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1971. Vol. 44. № 1. P. 41-53.

28. Chadwick P. and Ogden R. W. A theorem of tensor calculus and its application to isotropic elasticity // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1971. Vol 44. № 1. P. 54-68.

29. Morassi A., Nakamura G., Sini M., An inverse dynamical problem for connected beams // Euro. Jnl. of Applied. Mathematics. 2005. Vol. 16. № 1. P. 83-109.

30. Morassi A., Rocchetto L. A Damage Analysis of Steel-Concrete Composite Beams Via Dynamic Methods: Part 1. Experimental Results // Journal of Vibration and Control. 2003. Vol. 9. P. 507-527.

31. Rakesh, Sacks P. Stability for an inverse problem for a two speed hyperbolic pde in one space dimension // Inverse Problems. 2010. Vol. 26. № 2. 025005. P. 20

32. Rakesh, Tang J., Lacey A. Determining the twist in an optical fiber // arXiv:1512.02631vl [math.AP], accepted for publishing in Inverse Problems. 2015.

33. Sacks P., Yakhno V. The inverse problem for a layered anisotropic half space // Journal of Mathematical Analysis and Application. 1998. Vol. 228. № 2. P. 377-398.