Каскадные модели спиральной турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Шестаков, Александр Владимирович

• Шестаков, Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шестаков, Александр Владимирович

Оглавление

Введение

1 Турбулентность и каскадные процессы

1.1 Каскадные процессы в развитой турбулентности

1.2 Численные и экспериментальные исследования развитой турбулентности

1.3 Каскадные модели турбулентности

1.4 Выводы по главе

2 Каскадные модели спиральной турбулентности

2.1 Особенности каскада спиральности

2.2 Спиральность в каскадных моделях типа Гледзера

2.3 Спиральность в каскадных моделях типа Новикова-Деснянского

2.4 Спектральные свойства спиральной турбулентности

2.5 Выводы по главе

3 Влияние вращения на каскадные процессы в турбулентности

3.1 Особенности турбулентности во вращающихся системах

3.2 Сила Кориолиса и эффекты вращения в моделях типа вОУ

3.3 Сила Кориолиса в каскадной модели типа Новикова-Деснянского

3.4 Свободное вырождение турбулентности во вращающихся системах

3.5 Выводы по главе

4 Каскадные процессы в турбулентности с распределенным источником спиральности

4.1 Постановка задачи

4.2 Расчеты для контролируемого распределенного внесения спиральности при различных значениях а и щ

4.3 Расчеты с контролируемым впрыском относительной спиральности

4.4 Обсуждение

4.5 Выводы по главе

Основные результаты работы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Каскадные модели спиральной турбулентности»

Введение

Объект исследования и актуальность темы. Актуальность исследования турбулентных течений обоснована их широким распространением в природе и технических устройствах. В исследованиях развитой турбулентности можно выделить два основных направления: первое берет начало в работах О.Рейнольдса и ставит своей целью расчет средних характеристик (полей скорости, завихренности, температуры, концентрации примеси) конкретных течений, второе сформировалось в значительной мере под влиянием работ А.Н.Колмогорова и направлено на выяснение общих свойств мелкомасштабной статистически однородной турбулентности. В обоих направлениях достигнут прогресс, в значительной степени обусловленный бурным развитием компьютеров и выходом на прямые численные расчеты течений, характеризуемых числом Рейнольдса до Re « 105. Однако, выход в прямых численных расчетах на существенно большие значения числа Рейнольдса (скажем, 106 - 107) в ближайшее десятилетие ожидать нельзя, что делает крайне привлекательными маломодовые модели развитой турбулентности, к которым относятся и каскадные модели турбулентности, независимо предложенные в начале 1970-х А.М.Обуховым и Е.Лоренцом. Каскадные модели (в английской литературе устоялся термин "shell models") используют так называемые коллективные переменные, характеризующие пульсации величин в заданном диапазоне (оболочке) волновых чисел и позволяют описать процессы спектрального переноса энергии, завихренности, концентрации примеси и других величин в широком диапазоне масштабов. В начале 1990-х было обнаружено, что каскадные модели с удивительной точностью воспроизводят свойства высших статистических моментов пульсаций скорости в реальных турбулентных потоках. Это вызвало рост интереса к каскадным моделям, который не снижается до настоящего времени, о чем свидетельствуют многочисленные публикации в научной периодической литературе. С помощью каскадных моделей были выяснены многие

свойства двумерной (квазидвумерной) и трехмерной турбулентности, турбулентной конвекции, МГД-турбулентности. При этом каскадным моделям доступны расчеты для чисел Рейнольдса Ие = 107 — 108 и выше.

В исследованиях свойств развитой турбулентности отдельное место занимают работы, связанные с изучением турбулентных течений с нарушенной отражательной симметрией. Такие течения называются спиральными, а мера, характеризующая степень нарушения симметрии, называется спиральностью и является наряду с энергией интегралом движения в идеальной трехмерной гидродинамике. Изучение спиральных течений важно для решения таких фундаментальных проблем, как проблема генерации космических магнитных полей, проблема зарождения и эволюции крупномасштабных структур в атмосфере и т.д.. На сегодняшний день остается много вопросов, касающихся поведения спиралыюсти и ее влияния на эволюцию турбулентных потоков.

Представляется, что в изучении спиральной турбулентности не достаточно внимания уделено возможностям каскадных моделей. Проблема состоит в том, что в рамках каскадных моделей само определение меры спиральности сталкивается с серьезными трудностями, связанными с особенностями данного инварианта. Поэтому, актуальной задачей является как построение каскадных моделей, пригодных для описания спиральной турбулентности, так и изучение с их помощью особенностей каскадных процессов в спиральных турбулентных потоках.

Целью работы является построение каскадной модели развитой трехмерной турбулентности, адекватно описывающей спектральный перенос обоих интегралов движения (энергии и спиральности), и изучение с её помощью особенностей развитой турбулентности при нарушении отражательной симметрии, причиной которого могут выступать, например, вращение или внешние силы специального вида. Научная новизна работы.

1. Рассмотрены способы описания спиральности в каскадных моделях различного типа. Показано, что каскадные модели, в которых спи-ральность однозначно связана с энергий пульсаций данного масштаба, не дают устойчивого спектрального потока при высоком уровне

спиральности. Построена новая каскадная модель турбулентности, в которой спиральность определяется как мера корреляции действительной и мнимой части каскадной переменной, и показано, что эта модель работает при любом уровне спиральности.

2. С помощью построенной модели исследованы инерционные интервалы переноса энергии и спиральности большой протяженности, недоступные ни в реальных экспериментах, ни в прямом численном моделировании.

3. Исследовано влияние вращения на каскадные процессы. Показано, что вращение приводит к подавлению каскадного процесса переноса энергии на больших масштабах, не оказывая существенного влияния на динамику переноса спиральности.

4. Исследованы особенности каскадных процесов в турбулентности с независимым подводом энергии и спиральности. Показано, что распределенный (в пространстве масштабов) впрыск спиральности существенно меняет характер процесса каскадного переноса энергии, влияя на спектральное распределение как спиральности, так и энергии.

Научная и практическая ценность работы определяется разработанной новой каскадной моделью спиральной турбулентности и результатами исследования с помощью этой модели свойств спиральной турбулентности в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Работа выполнена в рамках госбюджетных тем "Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости" (№ гос.рег. 01.2.007 00735), "Крупномасштабные поля и структуры в потоках проводящей и непроводящей жидкости" (№ гос.рег. 01200961901), проектов РФФИ-Урал 07-01-96007 "МГД-турбулентность и ее вклад в динамо средних полей", РФФИ-Урал 11-0196000 "Кризисные явления в крупномасштабной циркуляции при турбулентной конвекции в природных и технологических системах", РФФИ-Урал 11-01-96031 "Каскадно-сеточное численное моделирование многомасштабных турбулентных систем"

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в работе, основывается на всестороннем тестировании предлагаемых каскадных моделей и расчетных программ, сопоставлении полученных результатов, там, где это возможно, с результатами других авторов, полученными в экспериментальных работах и прямых численных расчетах для умеренных чисел Рейнольдса.

Апробация работы ООсновные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались: на всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в ествественных науках", Пермь, в 2005 году; на заседаниях 15-й, 16-й, 17-й Зимних школ по механике сплошных сред, Пермь, 2007, 2009, 2011 г; на конференции молодых ученых "Неравновесные переходы в сплошных средах", Пермь, 2006; на 14-й европейской конференции по турбулентности ЕТС2014, Лион, Франция, 2014; на семинарах института механики сплошных сред УрО РАН, Пермь.

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 2 статьи в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Автором диссертации выполнены построение модели, выбор расчетных методов, разработка и программная реализация расчетных алгоритмов, расчеты и анализ полученных данных.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех Глав, основных выводов и списка литературы (110 наименований). В диссертации приводится 59 рисунков. Общий объем информации составляет 122 страницы.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю П.Г. Фрику и P.A. Степанову за стимулирующие обсуждения и поддержку.

1. Турбулентность и каскадные процессы

1.1. Каскадные процессы в развитой турбулентности

Ламинарные течения жидкости при превышении некоторого критического числа Рейнольдса теряют устойчивость и переходят в турбулентные, состоящие из нестационарных вихрей, хаотически распределенных в пространстве. Размеры вихрей при этом изменяются в широких пределах. Масштаб самых крупных вихрей определяется размерами области, занимаемой течением, а размеры мелких вихрей определяются масштабами, на которых существенна вязкость.

Трехмерная турбулентности порождается вихрем большого масштаба, который под действием механизма растяжения вихревых трубок распадается на вихри меньших размеров, которые в свою очередь возбуждают ещё более мелкие вихри и т.д. Исходная анизотропия, присущая крупномасштабному вихрю, после нескольких дроблений на вихри меньшего масштаба исчезает, а статистических режим мелкомасштабных пульсаций становится квазистационарным и не зависит от конкретный свойств крупномасштабного потока. Начиная с таких масштабов турбулентность становится локально-изотропной. Процесс дробления вихрей сопровождается передачей энергии и называется каскадным. Количественной характеристикой процесса является скорость диссипации энергии е, которая равна спектральному потоку энергии от вихрей больших масштабов к мелким.

Поведение реальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса

В трехмерном случае, в пределе нулевой вязкости (и —> 0) уравнения (1.1)

дгу + = —-УР + г/ДгТ,

Р

— 0.

(1.1) (1.2)

сохраняют кинетическую энергию

(1.3)

Н = — [ (у- гоЩвУ.

I (у • гоЬ^вУ.

(1.4)

В отличии от энергии, спиральность не является положительно определенной величиной и отлична от нуля в том случае, если в течении присутствуют спиральные вихри и количество вихрей с правой закруткой больше (меньше), чем с левой. Таким образом, трехмерная турбулентность характеризуется двумя интегралами движения - энергией и спиральностыо. Направление каскада энергии в трехмерной турбулентности - от больших масштабов к малым. Вопрос о направлении каскада спиральности и её влияния на каскад энергии в настоящее время остается открытым.

Из размерных соображений в теории Колмогорова 41-го года для спектральной плотности кинетической энергии был получен знаменитый закон

В двумерном случае уравнения движения (1.1) в невязком пределе сохраняют энергию (1.3) и энстрофию, которая определяется в виде

Механизм растяжения вихревых трубок блокируется и процесс возбуждения малых вихрей большими вихрями оказывается невозможен. Наличие двух положительно-определенных интегралов движения приводит к тому, что в двумерной турбулентности картина каскадных процессов следующая: энергия переносится от малых масштабов к большим (обратный каскад), а энстрофия переносится от больших масштабов к малым. Скорость диссипации энергии связана с энстрофией соотношением

Е(к) ~ е2'гк~ъ'\

(1.5)

(1.6)

£ - ^Е -■- —Ь>{1

(1.7)

скорость диссипации энстрофии определяется

(1.8)

Из уравнения (1.8) следует, что энстрофия при конечной вязкости в свободной двумерной турбулентности может лишь убывать со временем из чего следует, что скорость диссипации энергии в свободной двумерной турбулентности также может только убывать со временем. В случае вынужденной двумерной турбулентности, при котором источник энергии находится на некотором масштабе к^ достаточно удаленно от диссипативного масштаба, реализуются два инерционных интервала. Для волновых чисел к < к[, определяющей величиной является скорость диссипации энергии е и соображения размерности приводят к закону (1.5). На масштабах к > к1 определяющей величиной является скорость диссипации энстрофии и соображения размерности приводят к соотношению

Е(к) ~ 4/3*Г3 (1.9)

Существование законов (1.5) и (1.9) в двумерной турбулентности была установлена в работах Бэтчелора [30] и Крейчнана [76] и подтверждена в численных экспериментах.

Исследования развитой турбулентности разделились на два основных направления. Первое направление связано с расчетом структуры конкретных течений (полей скорости, давления, завихренности). В основном это направление популярно в инженерных приложениях изучения турбулентности. Первая попытка в этом направлении связана с именем О. Рейнольд-са, который в 1895 году ввел идею разделения поля скорости и давления на среднее значение и пульсации и выводе уравнений для средних полей. Однако при этом возникает необходимость описать корреляцию пульсаций компонент скорости. Попытка написать эволюционное уравнение для этой корреляции известна как "проблема замыкания". Модели турбулентности, в которых эта корреляция, каким-то образом выражается через средние поля получили название полуэмпирических моделей турбулентности. Применение данных подходов описано в работах [22, 15]. При этом, полуэмпирические модели турбулентности, как правило, написаны для какого-то определенного типа течений и не могут быть применены в общем случае.

Второе направление в изучении турбулентности связано с рассмотрением мелкомасштабной турбулентности и поиска неких универсальных

характеристик турбулентности, не зависящих от способа её возбуждения и граничных условий. Для этого рассматривается однородная, изотропная, изотермическая турбулентность на масштабах, меньших масштаба существования течения I < L. В то же время, рассматриваемые масштабы не должны быть близки к масштабам вихрей Л, на которых становиться существенной вязкая диссипация.

Пионером в изучении свойств мелкомасштабной турбулентности был А.Н. Колмогоров, который в своей знаменитой серии работ 1941 года, известной как теория "К41" [7], заложил начало систематическому изучению мелкомасштабной турбулентности. Опираясь на 2 гипотезы, суть которых касается статистических свойств турбулентности в инерционном и диссипа-тивном интервале, А.Н. Колмогоров из соображений размерности сформулировал для двухточечных корреляционных моментов пульсаций скорости произвольного порядка закон

sq{i) = (<Ч> - (1-ю)

Функции Sq(l) называются структурными функциями и широко используются для описания статистических свойств развитой турбулентности, параметр е - средняя скорость диссипации энергии. Анализ размерности дает единственно возможное соотношение зависимости структурных функций от масштаба

ад ~ (1-п)

из которого в теории "К41" получены значения для степенных показателей структурных функций в виде соотношения

С? = <7/3. (1.12)

Из тех же соображений получен закон для спектральной плотности энергии в инерционном интервале развитой трехмерной турбулентности (1.5).

В 50-х годах 20-го века, было обнаружено, что закон Колмогорова (1.5) описывает реальную турбулентность лишь приблизительно. Измерения спектральной плотности энергии, проведенные в реальном эксперименте в 80-хх годах, показали, что последняя действительно следует степенному закону вида

Е(к) = к~а, (1.13)

однако показатель а ~ 1.71 ± 0.02, отличается от колмогоровского значения наклона спектра —1.67. Анализ статистических свойств структурных функций, измеренных в реальных экспериментах, подтвердил справедливость замечания Л.Д. Ландау, состоящего в том, что скорость диссипации энергии е, которая в "К41" считается универсальной константой течения, на самом деле есть случайная величина, имеющая собственную функцию распределения. Иными словами, скорость диссипации энергии имеет локальные вариации. Данный факт получил название "перемежаемости".

Первую попытку скорректировать закон (1.10) сделал сам А.Н. Колмогоров в 1962 году. Структурная функция была записана им в виде

ЗД = (<Ч> - (еф)1ф- (1.14)

Принимая логнормальное распределение к качестве функции распределения величины < £1 > (по нормальному закону распределен логарифм скорости диссипации энергии) Колмогоров получил выражение для показателей структурной функции

Яд = д/3 + м(3-д)/18, (1.15)

где ¡1 - коэффициент перемежаемости. С точностью до знака это показатель степени для момента второго порядка поля диссипации энергии 72 = —/2. Более подробно с теорией "К62" можно ознакомиться в книге [27]. Однако, впоследствии, гипотеза о логнормальном распределении величины £/ была опровергнута и экспериментально и теоретически. В то же время, выражение (1.14) для структурной функции используется в настоящее время. Однако, интерпретация его претерпела некоторые изменения, состоящие в том, что в качестве скорости диссипации энергии (е/) подразумевается поток энергии (77/) через соответствующий масштаб. Для функции в работе [27] доказано два утверждения. Во-первых, функция (- выпуклая, во-вторых, > Кроме того, Со = 0, а уравнение Колмогорова, известное как закон "4/5", для показателя структурной функции третьего порядка дает точный результат (3 = 1.

В 1964 году в работе [14] была высказана идея использования фракталов - самоподобных объектов с дробной геометрической размерностью для

описания структуры поля скорости диссипации энергии. Представление о турбулентном потоке, как об однородном фрактале привели в появлению так называемой /^-модели. Подробное описание /^-модели приведено в [26]. /^-модель дает для показателей структурных функций выражение

<^/3+t3-cf-«>. (1.16)

Однако, выражение (1.16) не удовлетворяет требованию = 0. Попытки усовершенствовать /3-модель привели к появлению бифрактальной модель, суть которой состояла в рассмотрении турбулентного потока в виде двух фрактальных подмножеств с разными размерностями и законами скейлин-га. Логичным продолжением таких моделей стали мультифрактальные модели, в которых турбулентность рассматривается как непрерывная последовательность подмножеств с разными законами скейлинга.

В 90-хх годах 20-го века появились новые модели развитой турбулентности, идея которых основывалась на иерархической структуре турбулентного потока. Так в работе Ше и Левека [96], была описана модель, и приведена простая формула для скейлинговых показателей sq структурных функций

^ = <7/9 + 2(1-(2/3)*/3). (1.17)

В 1993 году в работе [35] исследовались структурные функции пульсаций скорости в аэродинамической трубе, и был обнаружен интересный факт, состоящий в том, что если при построении структурных функций в качестве оси абсцисс отложить структурную функцию третьего порядка, то видимый инерционный интервал значительно увеличивается, точность определения степенных показателей структурных функций возрастает. Данный факт получил название расширенной автомоделыюсти ESS "Extended Self Similarity". Значения скейлинговых показателей, определенные в эксперименте [35], удивительно хорошо совпали с формулой Ше -Левека (1.17).

В 1994 году, в работе [56] предложено обобщение модели Ше-Левека. Так, наряду с гипотезой об одинаковых статистических свойствах структурных функций поля скорости и структурных функций поля диссипации энергии, предложена гипотеза об иерархии моментов безразмерного потока

энергии

W Uirv ' (1Л8)

где в качестве безразмерного потока выступает величина

Щ /

и гипотеза о перемежаемости

Ы ~ (\un\Y- (1.20)

Величина Пп - поток энергии через соответствующий масштаб. Параметр А называется коэффициентом перемежаемости. Итогом работы [56] стала формула для определения скейлинговых показателей структурных функций с учетом перемежаемости и показателя иерархии моментов безразмерного потока (3.

= + (1.21)

Очевидно, что при значении коэффициента А = ¡3 = 2/3 формула (1.21) эквивалентна Ше-Левека (1.17). Формула Ше-Левека, как уже было сказано выше, замечательно воспроизводит экспериментальные данные и на сегодняшней день широко используется в качестве сравнения с данными, получаемыми в реальных и численных экспериментах. В 2002 году в работе [45] было рассмотрено обобщение гипотезы ESS, получившее название GESS "generalized extended self similarity" - обобщенной гипотезы подобия, и экспериментально показано, что гипотеза ESS не выполняется в течениях с сильной анизотропией, а также в пограничных слоях с сильными градиентами скорости.

1.2. Численные и экспериментальные исследования развитой турбулентности

Попытки проверить законы скейлинга, полученные в вышеперечисленных моделях предпринимались по нескольким направлениям. С появлением ЭВМ появились первые работы по прямому численному моделированию турбулентности, DNS-методы (direct numerical simulation). Однако, невысокая производительность первых ЭВМ не позволяла применять

расчетные сетки небольшого шага, необходимые для расчета трехмерных течений, поэтому первые работы по моделированию турбулентности были выполнены для двумерной (2Б) турбулентности.

Первыми работами по прямому численному моделированию двумерной турбулентности были работы [34], [68], [104]. В данных работах использовались расчетные сетки, которые позволяли моделировать турбулентность при числах Рейнольдса 11е < 102, что давало диапазон рассматриваемых масштабов к < 100. С появлением более высокопроизводительных ЭВМ, применялись расчетные сетки с большим пространственным разрешением, так в работе [80] каскад энергии и энстрофии в квазидвумерной турбулентности рассчитывался уже на сетке40692. В работе [71], изучалось влияние перемежаемости на статистические характеристики, при этом использовалась сетка 20482. Получены значения скейлинговых показателей и спектральная плотность энстрофии. Диапазон рассматриваемых масштабов 1 < к < 1000. В работе [42] численно исследовали турбулентность в вертикальной мыльной пленке, турбулентность которой поддерживалась пропусканием пленки через сетку. В работе сравнивали данные численных расчетов с экспериментальными данными, полученными при измерении поля скорости лазерным доплеровским анемометром. В расчетах использовалась сетка 640 х 2560. Кроме того, в работе [42] удалось и в эксперименте и в прямом численном моделировании получить два инерционных интервала, характерных для 2Б-турбулентности: инерционный интервал обратного каскада энергии, со степенным законом спектральной плотности энергии (1.5), а также инерционный интервал переноса энстрофии, со степенным законом спектральной плотности энергии (1.9). С дальнейшим увеличением производительности ЭВМ для расчетов стали применять расчетные сетки с большим разрешением, что позволило выйти на диапазон рассматриваемых масштабов к ~ 103 и числа Рейнольдса Ие ~ 103. Так в работе [41] применялась уже расчетная сетка 327682, при которой исследовались каскадные режимы, спектральные потоки энергии и энстрофии, а также поведение структурных функций. При этом, диапазон рассматриваемых масштабов составлял уже 4 порядка (ктах = 104). В работе [91] с помощью прямого численного моделирования исследовался физический механизм развития

обратного каскада энергии в 2Б-турбулентности. Для этого моделировалась турбулентность в области с периодическими свойствами на расчетной сетке 20482. Подробно рассмотрен механизм обратного каскада энергии с точки зрения вязких напряжений поля скорости. Свободное вырождение 2Б-турбулентности в областях с круговой геометрией, а также образование и влияние когерентных вихрей на процесс вырождения рассматривалось в работе [94]. Устойчивость обратного каскада в 2Б-турбулентности изучалась в работе [95].

Первые попытки смоделировать ЗБ-турбулентность с помощью прямых численных методов были предприняты ещё в 90-х годах ХХ-го века. Однако, невысокая производительность ЭВМ в то время не позволяла воспроизводить протяженный диапазон возбуждаемых масштабов и достигать больших чисел Рейнольдса. Тем не менее, были попытки описать крупномасштабную структуру течения, а также динамику поведения интегралов движения. Так в работе [66] изучалось влияние вращения на свойства турбулентного течения. Для этого моделировалась турбулентность в периодической области (27г)3 на расчетной сетке З23. Минимальные масштабы, достигнутые в расчетах, соответствуют волновому числу к ~ 100, что позволило достичь максимальных чисел Рейнольдса 11е = 500. Показано, что сильное вращение приводит к эффекту двумеризации течения на больших масштабах и развитию обратного каскада энергии от масштаба возбуждения турбулентности к большим масштабам. Спектральные распределения энергии в области двумеризации течения следует закону к~3, а в области, где турбулентность трехмерна, стандартному колмогоровскому распределению А;-5/3. При этом, вращение приводит к сильной кореляции компонент скорости в различных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, т.е. развитию действительно двумерной турбулентности на больших масштабах.

В 2000-х годах для ЭВМ стали доступны расчеты З-О-турбулентности с более высоким пространственным разрешением, и помимо исследований вынужденной турбулентности, появились работы по исследованию турбулентности сложных систем: турбулентной конвекции, МГД-турбулентности, турбулентности во вращающихся системах. Так в работе

[87], изучалось влияние нелокальных взаимодействий на процессы каскадного переноса энергии. Для этого проводилось прямое численное моделирование турбулентности на расчетных сетках 2563 20483 в диапазоне чисел Рейнольдса Re = 675 -f- 9970. В результате численных расчетов показано, что рост числа Рейнольдса вызывает рост завихренности со в потоке. Кроме того, были получены скейлинговые показатели C,q. В работе [81] с применением гипотезы расширенной автомодельности ESS изучались локальные скейлинговые свойства в однородной изотропной турбулентности. Свойства турбулентности моделировались в диапазоне чисел Рейнольдса 50 < Re < 495 в кубической области с максимальной сеткой 10243. Показано, что степень перемежаемости имеет максимум в определенном диапазоне масштабов, который не зависит от числа Рейнольдса. В работе [100] исследуется влияние вращения и спиральности на свободное вырождение турбулентности. Моделируется турбулентность в области с периодическими свойствами. Для расчетов используется сетка 2563 и 5123. Максимальное число Рейнольдса, достигнутое в работе, составляет Re = 1750, минимальный масштаб, соответствуют волновому числу к = 100. При этом, в работе показано, что спиральность снижает скорость вырождения турбулентности, как в случае с вращением, так и без него. Кроме того, в работе показано, что вращение ведет к анизотропии на больших масштабах, показатель которой достигает максимума в определенный момент времени с начала вырождения, а затем переходит к устойчивому состоянию. В работе [48], [69] исследуются статистические характеристики трехмерной турбулентности, с применением вейвлетов. Вопросу влияния вращения была посвящена работа [101], в которой с помощью прямого численного моделирования свободно вырождающейся и вынужденной турбулентности во вращающейся системе был подтвержден эффект двумеризации течения на больших масштабах, и связанные с этим изменения статистических свойств. Расчетные сетки, используемые в работе, составляли 5123 для вынужденной турбулентности и 2563 для свободно вырождающейся турбулентности. Максимальные числа Рейнольдса, достигнутые в работе, составляют Re = 4000. Получены значения скейлинговых показателей в диапазоне волновых чисел, где существенно влияние вращения а также

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шестаков, Александр Владимирович, 2014 год

Литература

1. Гледзер, Е. Б. Системы динамического типа, допускающая два квадратичных интеграла движения / Е. Б. Гледзер // Доклады АН СССР. - 1973. Vol. 209, по. 5. - Р. 1046-1048.

2. Гледзер, Е. Б. Эффекты вращения и спиральности в каскадных моделях турбулентности / Е. Б. Гледзер // Доклады АН. — 2008. — по. 4. — Р. 488-492.

3. Гледзер, Е. Б. Системы гидродинамического типа и их применение / Е. Б. Гледзер, Ф. Б. Должанский, А. М. Обухов. — М. Наука., 1981.

4. Деснянский, В. Н. Моделирование каскадных процессов в турбулентных течениях / В. Н. Деснянский, Новиков Е. А. // Прикладная математика и механика. — 1974. — Vol. 38, по. 3. — Р. 507-513.

5. Зимин, В. Д. Турбулентность: Учебное пособие по спецкурсу / В. Д. Зимин. - Пермский государственный университет. Пермь, 1986.

6. Колесников, Ю. Б. Экспериментальное исследование двумерной турбулентности за решеткой / Ю. Б. Колесников, А. Б. Цинобер // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1974.

7. Колмогоров, А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах рейнольдса / А. Н. Колмогоров // Доклады АН СССР. - 1941. - Vol. 30. - Р. 9-13.

8. Копров, Б. М. Измерение турбулентной спиральности и ее спектра в пограничном слое атмосферы / Б. М. Копров, В. М. Копров, В. М. Пономарев // Доклады РАН. - 2005. - Vol. 2005, по. 5. - Р. 627-630.

9. Ландау, Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — М. Наука, 1988.

10. Левина, Г. В. О первом исследовании спиральной природы тропического циклогенеза / Г. В. Левина, М. Т. Монтгомери // Доклады Академии Наук. - 2010. - Vol. 434, по. 3. - Р. 401-406.

11. Ложкин, С. А. Моделирование каскадных процессов в турбулентности при экстремальных числах Прандля / С. А. Ложкин, П.Г. Фрик // Математическое моделирование систем и процессов. — 1996. — по. 4. — Р. 53-60.

12. Ложкин, С. А. Инерционный интервал Обухова-Болджиано в каскадных моделях конвективной турбулентности / С. А. Ложкин, П.Г. Фрик // Известия РАН. МЖГ. - 1998. - по. 6. - Р. 37-46.

13. Моффат, Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде / Г. Моффат. М. Мир, 1980.

14. Новиков, Е. А. Перемежаемость турбулентности и спектр диссипации энергии / Е. А. Новиков, Р. В. Стыоарт // Изв. АН СССР: серия геофизическая. - 1964. - Vol. 3. - Р. 408-413.

15. Рейнольде, А. Турбулентные течения в инженерных приложениях / А.Дж. Рейнольде. — М. Энергия, 1979.

16. Степанов, Р. А. Сопряжение уравнений динамо средних полей и каскадной модели турбулентности на примере задачи галактического динамо / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, Д. Д. Соколов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2008. — Vol. 1, по. 4. — Р. 97-108.

17. Степанов, Р. А. Каскадные модели турбулентности во вращающейся жидкости / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, А. В. Шестаков // Гидродинамика. Межвузовский сборник научных трудов. — 2005. — Vol. 15. — Р. 159-170.

18. Степанов, Р. А. Построение аналога гидродинамической спиральности в каскадных моделях турбулентности / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, А. В. Шестаков // Конференция молодых ученых Неравновесные переходы в сплошных средах. — 2006. — Р. 94-96.

19. Степанов, Р. А. Моделирование каскадных процессов в спиральной турбулентности / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, А. В. Шестаков // 15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Сборник статей. Пермь. — 2007.

20. Степанов, Р. А. О спектральных свойствах спиральной турбулентности / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, А. В. Шестаков // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2009. — по. 5. — Р. 33-43.

21. Степанов, Р. А. Влияние вращения на каскадные процессы в спиральной турбулентности / Р. А. Степанов, П. Г. Фрик, А. В. Шестаков // Вычислительная механика сплошных сред. — 2012. — по. 2. — Р. 193— 198.

22. Турбулентность. Принципы и применения. / Под редакцией У. Фро-ста. Т. Моулдена. — М. Мир, 1980.

23. Фрик, П. Г. Иерархическая модель двумерной турбулентности / П. Г. Фрик // Магнитная гидродинамика. — 1983.— no. 1.— Р. 6066.

24. Фрик, П. Г. Иерархическая модель двумерной мгд-турбулентности / П. Г. Фрик // Магнитная гидродинамика. — 1984. по. 20. — Р. 262267.

25. Фрик, П. Г. Моделирование каскадных процессов в двумерной турбулентной конвекции / П. Г. Фрик // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1986. — по. 2. — Р. 71-79.

26. Фрик, П. Г. Турбулентность: Подходы и модели / П. Г. Фрик. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.

27. Фриш, У. Турбулентность. Наследие Колмогорова / У Фриш. — М. Фазис, 1998.

28. Bardina, J. Effect of rotation on isotropic turbulence - Computation and modelling / J. Bardina, J. H. Ferziger, R. S. Rogallo // Journal of Fluid Mechanics. - 1985. - Vol. 154. - P. 321-336.

29. Baroud, C. N. Anomalous self-similarity in a turbulent rapidly rotating fluid / C. N. Baroud, B. B. Plapp, Z.-S. She // Physical Review Letters. — 2002. - Vol. 88, no. 11.- P. 114501.

30. Batchelor, G. K. Computation of the Energy Spectrum in Homogeneous Two-Dimensional Turbulence / G. K. Batchelor // Physics of Fluids. — 1969. - Vol. 12. - P. 233.

31. Bell, T. L. Time-dependent scaling relations and a cascade model of turbulence / T. L. Bell, M. Nelkin // Journal of Fluid Mechanics.— 1978. - Vol. 88. - P. 369-391.

32. Benzi, R. Dynamical scaling and intermittency in shell models of turbulence / R. Benzi, L. Biferale, M. Sbragaglia // Physical Review E. — 2005. Vol. 71, no. 6. P. 0G5302.

33. Benzi, R. (l+l)-dimensional turbulence / R. Benzi, L. Biferale, Tripiccione // Physics of Fluids. - 1997. - Vol. 9. - P. 2355-2363.

34. Benzi, R. Extended self-similarity in the dissipation range of fully developed turbulence / R. Benzi, S. Ciliberto, C. Baudet // EPL (Europhysics Letters). - 1993. - Vol. 24. - P. 275.

35. Benzi, R. Extended self-similarity in turbulent flows / R. Benzi, S. Ciliberto, R. Tripiccione // Physical Review E.- 1993.- Vol. 48.-P. 29.

36. Benzi, R. Magnetic Reversals in a Simple Model of Magnetohydrodynamics / R. Benzi, J.-F. Pinton // Physical Review Letters. - 2010. - Vol. 105, no. 2. - P. 024501.

37. Biferale, L. Probability distribution functions in turbulent flows and shell models / L. Biferale // Physics of Fluids. - 1993. - Vol. 5. - P. 428-435.

38. Biferale, L. Inverse Energy Cascade in Three-Dimensional Isotropic Turbulence / L. Biferale, S. Musacchio, F. Toschi // Physical Review Letters. - 2012. - Vol. 108, no. 16. - P. 164501.

39. Boffetta, G. Effects of friction on 2D turbulence: An experimental study of the direct cascade / G. Boffetta, A. Cenedese, S. Espa // EPL (Europhysics Letters). - 2005. - Vol. 71. - P. 590-596.

40. Boffetta, G. Shell model for quasi-two-dimensional turbulence / G. Boffetta, F. de Lillo, S. Musacchio // Physical Review E.- 2011.-Vol. 83, no. 6. - P. 066302.

41. Boffetta, G. Evidence for the double cascade scenario in two-dimensional turbulence / G. Boffetta, S. Musacchio // Physical Review E. — 2010. — Vol. 82, no. 1. - P. 016307.

42. Bruneau, C. H. Experiments and direct numerical simulations of two-dimensional turbulence / C. H. Bruneau, H. Kellay // Physical Review E. 2005. Vol. 71, no. 4. P. 046305.

43. Chakraborty, S. On two-dimensionalization of three-dimensional turbulence in shell models / S. Chakraborty, M. H. Jensen, A. Sarkar // European Physical Journal B. - 2010. - Vol. 73. - P. 447-453.

44. Chen, Q. The joint cascade of energy and helicity in three-dimensional turbulence / Q. Chen, S. Chen, G. L. Eyink // Physics of Fluids. - 2003. -Vol. 15. - P. 361-374.

45. Ching, E. S. Extended self-similarity and hierarchical structure in turbulence / E. S. Ching, Z.-S. She, W. Su // Physical Review E.-2002. - Vol. 65, no. 6. - P. 066303.

46. Ching, E. S. C. Ultimate-state scaling in a shell model for homogeneous turbulent convection / E. S. C. Ching, T. C. Ko // Physical Review E. — 2008. - Vol. 78, no. 3. - P. 036309.

47. Chkhetiani, O. G. Helicity spectra and dissipation / O. G. Chkhetiani, E. Golbraikh // Physics Letters A. - 2008. Vol. 372. P. 5603-5604.

48. Coherent vortex simulation of 3D homogeneous isotropic turbulence / N. Okamoto, K. Yoshimatsu, K. Schneider et al. // APS Division of Fluid Dynamics Meeting Abstracts. — 2009. - P. 6P.

49. Constantin, P. Energy Spectrum of Quasigeostrophic Turbulence / P. Constantin // Physical Review Letters. — 2002.— Vol. 89, no. 18.— P. 184501.

50. Couder, Y. Two-dimevsional grid turbulence in thin liquid film / Y. Couder // J. Phys. Lett. - 1984.

51. Cuypers, Y. Vortex Burst as a Source of Turbulence / Y. Cuypers, A. Maurel, P. Petitjeans // Physical Review Letters. — 2003.— Vol. 91, no. 19. - P. 194502.

52. Deardorff, J. W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers / J. W. Deardorff // Journal of Fluid Mechanics. -- 1970. - Vol. 41. - P. 453-480.

53. Deardorff, J. W. The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence / J. W. Deardorff // Journal of Fluid Mechanics. - 1973. - Vol. 9. - P. 429-438.

54. Ditlevsen, P. D. Cascades of energy and helicity in the goy shell model of turbulence / P. D. Ditlevsen // Physics of Fluids. - 1997. - Vol. 9. — P. 1482-1484.

55. Ditlevsen, P. D. Cascades in helical turbulence / P. D. Ditlevsen, P. Giuliani // Physical Review E. - 2001. - Vol. 63, no. 3. - P. 036304.

56. Dubrulle, B. Intermittency in fully developed turbulence: Log-Poisson statistics and generalized scale covariance / B. Dubrulle // Physical Review Letters. - 1994. - Vol. 73. - P. 959-962.

57. Frick, P. Scaling properties of a class of shell models / P. Frick, B. Dubrulle, A. Babiano // Physical Review E. -- 1995. - Vol. 51. - P. 5582-5593.

58. Frick, P. Large-and small-scale interactions and quenching in an a2 -dynamo / P. Frick, R. Stepanov, D. Sokoloff // Physical Review E. — 2006. - Vol. 74, no. 6. - P. 066310.

59. Giuliani, P. Critical "dimension" in shell model turbulence / P. Giuliani, M. H. Jensen, V. Yakhot // Physical Review E. - 2002. - Vol. 65, no. 3. -P. 036305.

60. Glukhovskii, A. B. The effect of the value of the scale splitting coefficient on the stability of chain-type nonlinear systems / A. B. Glukhovskii // Akademiia Nauk SSSR Fizika Atmosfery i Okeana. — 1975.— Vol. 11.— P. 1323-1326.

61. Golbraikh, E. Different spectra formation in the presence of helical transfer / E. Golbraikh, S. S. Moiseev // Physics Letters A. — 2002.— Vol. 305. - P. 173-175.

62. Grossmann, A. Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape / A. Grossmann, J. Morlet // siam Journal on Mathematical Analysis. - 1984. - Vol. 15, no. 4. - P. 723-736.

63. Hattori, Y. Shell model for rotating turbulence / Y. Hattori, R. Rubinstein, A. Ishizawa // Physical Review E.— 2004.— Vol. 70, no. 4. - P. 046311.

64. Helical shell models for three-dimensional turbulence / R. Benzi, L. Biferale, R. M. Kerr, E. Trovatore // Physical Review E. — 1996.— Vol. 53. - P. 3541-3550.

65. Homogeneous turbulence in the presence of rotation / L. Jacquin, O. Leuchter, C. Cambon, J. Mathieu // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. - Vol. 220. - P. 1-52.

66. Hossain, M. Reduction in the dimensionality of turbulence due to a strong rotation / M. Hossain // Physics of Fluids. - 1994. - Vol. 6. - P. 10771080.

67. Improved shell model of turbulence / V. S. L'vov, E. Podivilov, A. Pomyalov et al. // Physical Review E. - 1998.- Vol. 58.- P. 18111822.

68. Intermittency and coherent structures in two-dimensional turbulence / R. Benzi, G. Paladin, S. Patarnello et al. // Journal of Physics A Mathematical General. - 1986. - Vol. 19. - P. 3771-3784.

69. Intermittency and scale-dependent statistics in fully developed turbulence / K. Yoshimatsu, N. Okamoto, K. Schneider et al. // Physical Review E. - 2009. Vol. 79, no. 2. - P. 026303.

70. Intermittency in the joint cascade of energy and helicity / Q. Chen, S. Chen, G. L. Eyink, D. D. Holm // Physical Review Letters. - 2003. -Vol. 90, no. 21.- P. 214503.

71. Intermittency in two-dimensional ekman-navier-stokes turbulence / G. Boffetta, A. Celani, S. Musacchio, M. Vergassola // Physical Review E. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 026304.

72. Jullien, M.-C. Intermittency of a passive tracer in the inverse energy cascade / M.-C. Jullien, P. Castiglione, P. Tabeling // Physical Review E. - 2001. - Vol. 64, no. 3. - P. 035301.

73. Kato, S. Unstable periodic solutions embedded in a shell model turbulence / S. Kato, M. Yamada // Physical Review E. — 2003. — Vol. 68, no. 2. - P. 025302.

74. Kholmyansky, M. Large-scale intermittency in the atmospheric boundary layer / M. Kholmyansky, L. Moriconi, A. Tsinober // Physical Review E. - 2007. - Vol. 76, no. 2. - P. 026307.

75. Kockelkoren, J. Fixed points, stability and intermittency in a shell model for advection of passive scalars / J. Kockelkoren, M. H. Jensen // eprint arXiv:chao-dyn/9911028. - 1999. - P. 11028.

76. Kraichnan, R. H. Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence / R. H. Kraichnan // Physics of Fluids. - 1967. - Vol. 10. - P. 1417-1423.

77. Kurien, S. Cascade time scales for energy and helicity in homogeneous isotropic turbulence / S. Kurien, M. A. Taylor, T. Matsumoto // Physical Review E. - 2004. - Vol. 69, no. 6. - P. 066313.

78. Lessinnes, T. Energy transfers in shell models for magnetohydrodynamics turbulence / T. Lessinnes, D. Carati, M. K. Verma // Physical Review E. - 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 066307.

79. Levina, G. Helical features of tropical cyclogenesis / G.V. Levina, M.T. Montgomery // 29th Conference on Hurricanes and Tropical Meteorology. — 2010.

80. Lindborg, E. The kinetic energy spectrum of the two-dimensional enstrophy turbulence cascade / E. Lindborg, K. Alvelius // Physics of Fluids. - 2000. - Vol. 12. P. 945 947.

81. Local properties of extended self-similarity in three-dimensional turbulence / D. Fukayama, T. Nakano, A. Bershadskii, T. Gotoh // Physical Review E. 2001. Vol. 64, no. 1. P. 016304.

82. Lorenz, E. N. Investigating the predictability of turbulent motion / E. N. Lorenz // Statistical Models and Turbulence / Ed. by M. Rosenblatt & C. van Atta. — Vol. 12 of Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag. - 1972. - P. 195-204.

83. Melander, M. Inertial Range Similarity in Isotropic Turbulence / M. Melander // APS Division of Fluid Dynamics Meeting Abstracts.— 2005. - P. A6.

84. Melander, M. V. Helicity causes chaos in a shell model of turbulence / M. V. Melander // Physical Review Letters. - 1997. - Vol. 78. - P. 14561459.

85. Melander, M. V. Self-similar enstrophy divergence in a shell model of isotropic turbulence / M. V. Melander, B. R. Fabijonas // Journal of Fluid Mechanics. - 2002. - Vol. 463. - P. 241-258.

86. Melander, M. V. Transients in the decay of isotropic turbulence / M. V. Melander, B. R. Fabijonas // Journal of Turbulence. - 2003. — Vol. 4. - P. 14.

87. Mininni, P. D. Nonlocal interactions in hydrodynamic turbulence at high Reynolds numbers: The slow emergence of scaling laws / P. D. Mininni, A. Alexakis, A. Pouquet // Physical Review E. - 2008. - Vol. 77, no. 3. — P. 036306.

88. Müller, W.-C. Scaling and energy transfer in rotating turbulence / W.-C. Müller, M. Thiele // EPL (Europhysics Letters). - 2007. - Vol. 77. -P. 34003.

89. Multiscaling in Models of Magnetohydrodynamic Turbulence / A. Basu, A. Sain, S. K. Dhar, R. Pandit // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 81. - P. 2687-2690.

90. Obukhov, A. Some general characteristic equations of the dynamics of the atmosphere / A. Obukhov // Atmos. Oceanic Europhys. 1971. Vol. 7, no. 41.

91. Physical Mechanism of the Two-Dimensional Inverse Energy Cascade / S. Chen, R. E. Ecke, G. L. Eyink et al. // Physical Review Letters.— 2006. - Vol. 96, no. 8. - P. 084502.

92. Reshetnyak, M. The shell model approach to the rapidly rotating liquid bodies / M. Reshetnyak //In proceedings of The 5th International Conference "Problems of the Geocosmos". 2004.

93. Scaling and Dissipation in the GOY Shell Model / L. Kadanoff, D. Lohse, J. Wang, R. Benzi // eprint arXiv:chao-dyn/9409001. - 1994.- P. 9001.

94. Schneider, K. Decaying Two-Dimensional Turbulence in a Circular Container / K. Schneider, M. Farge // Physical Review Letters. — 2005. — Vol. 95, no. 24. - P. 244502.

95. Scott, R. K. Nonrobustness of the two-dimensional turbulent inverse cascade / R. K. Scott // Physical Review E. - 2007. - Vol. 75, no. 4. -P. 046301.

96. She, Z.-S. Universal scaling laws in fully developed turbulence / Z.-S. She, E. Leveque // Physical Review Letters. - 1994. - Vol. 72. - P. 336-339.

97. Sommeria, J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box / J. Sommeria // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. - Vol. 170. - P. 139-168.

98. Stepanov, R. A multi-scale disk dynamo model / R. Stepanov, P. Frick, D. Sokoloff // Astronomische Nachrichten. — 2006. - Vol. 327. - P. 481.

99. Tabeling, P. Forced and Decaying 2D Turbulence: Experimental Study / P. Tabeling, A. E. Hansen, J. Paret // Chaos, Kinetics and Nonlinear Dynamics in Fluids and Plasmas / Ed. by S. Benkadda Sz G. M. Zaslavsky. — Vol. 511 of Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag. - 1998. - P. 145.

100. Teitelbaum, T. Effect of helicity and rotation on the free decay of turbulent flows / T. Teitelbaum, P. D. Mininni // Physical Review Letters. 2009. - Vol. 103, no. 1. - P. 014501.

101. Thiele, M. Structure and decay of rotating homogeneous turbulence / M. Thiele, W.-C. Müller // Journal of Fluid Mechanics. - 2009.- Vol. 637. - P. 425.

102. Transition to chaos in a shell model of turbulence / L. Biferale, A. Lambert, R. Lima, G. Paladin // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1995. - Vol. 80. - P. 105-119.

103. Velocity gradient distributions in fully developed turbulence: An experimental study / F. Belin, J. Maurer, P. Tabeling, H. Willaime // Physics of Fluids. - 1997. - Vol. 9. - P. 3843-3850.

104. Vorticity and passive-scalar dynamics in two-dimensional turbulence / A. Babiano, C. Basdevant, B. Legras, R. Sadourny // Journal of Fluid Mechanics. - 1987. - Vol. 183. - P. 379 397.

105. Wigeland, R. A. Grid generated turbulence with and without rotation about the streamwise direction: Ph. D. thesis / Illinois Inst, of Tech., Chicago. - 1978.

106. Yamada, M. Goy shell model / M. Yamada, K. Ohkitany //J. Physical Society of Japon. - 1987. - Vol. 56. - P. 4210-4219.

107. Zeman, 0. A note on the spectra and decay of rotating homogeneous turbulence / O. Zeman // Physics of Fluids. - 1994. - Vol. 6. - P. 32213223.

108. Zhou, Y. A phenomenological treatment of rotating turbulence / Y. Zhou // Physics of Fluids. - 1995. - Vol. 7. - P. 2092-2094.

109. Zimin, V. Wavelet based model for small-scale turbulence / V. Zimin, F. Hussain // Physics of Fluids. - 1995. - Vol. 7. - P. 2925-2927.

110. Zimin, V. D. A hierarchical turbulence model / V. D. Zimin // Akademiia Nauk SSSR Fizika Atmosfery i Okeana. - 1981. - Vol. 17. - P. 1265-1273.