Канонические модели кубически параметризованных кривых и их использование в задачах изучения многомерных массивов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Прокопенко, Евгения Викторовна

• Прокопенко, Евгения Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прокопенко, Евгения Викторовна

Введение

1 Классификация кубически параметризованных кривых

1.1 Проблема классификации плоских и пространственных кубически параметризованных кривых и моделирования рельефа

1.2 Классификация двойничных кубических форм

1.3 Канонические модели кубически параметризованных кривых и 34 их геометрическое описание

2 Канонические модели В-сплайновых кривых

2.1 Канонические модели пространственных В-сплайновых кривых

2.2 Канонические модели плоских В-сплайновых кривых

2.3 О гипотезе Фокса-Пратта

3 Программный комплекс по обработке статистических данных

3.1 Использование пакета Maple V и средств Visual FoxPro в решении геоинформационных задач

3.1.1 Среда разработки программного комплекса: Maple V, Visual FoxPro

3.1.2 Сплайновый подход при восстановлении рельефа

3.2 Сплайновый подход в исследовании статистических данных 108 Заключение 117 Литература 121 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Канонические модели кубически параметризованных кривых и их использование в задачах изучения многомерных массивов»

Актуальность исследования

Диссертация посвящена разработке новых математических методов анализа, обработки и визуализации данных на основе изучения геометрических свойств и классификации кубически параметризованных кривых.

В настоящее время развитие геометрических исследований стимулируется не только внутренними проблемами и задачами геометрии и математики в целом, но и развитием информатики и информационных технологий. Компьютерная геометрия и графика, вычислительная геометрия, геоинформатика - вот некоторые разделы информатики, которые, с одной стороны, широко используют результаты геометрических исследований, а с другой, - подталкивают геометров к решению, казалось бы, абстрактных задач.

Так, например, одной из фундаментальных и бурно развивающихся проблем информатики является проблема обработки, оценивания и визуализации информации, представленной геоинформационными и статистическими данными.

Часто при обработке экспериментальных данных требуется найти функциональную зависимость между значениями измеряемой величины и значением некоторого параметра t (время, температура и т. д. и т. п.). В большинстве случаев зависимость предполагается линейной и в качестве графика рассматривается прямая, построенная с помощью метода наименьших квадратов. В то же время чаще всего эта зависимость нелинейная, что приводит к достаточно большим отклонениям теоретически расчетных значений от экспериментальных.

Для построения кривой молено использовать интерполяционный многочлен, однако при большом количестве экспериментальных точек он имеет большой порядок и в связи с этим очень неудобен в вычислениях. Кроме того, во многих случаях есть основания полагать, что искомая зависимость на разных диапазонах изменения параметра будет разной. Тогда искомую кривую можно рассматривать как составную и использовать для ее построения методику построения составных сплайновых кривых.

Одним из актуальных направлений в геоинформатике является построение математической модели рельефа по данным аэрофотосъемки или геодезических исследований. Построенная математическая модель рельефа является составной поверхностью.

С другой стороны, эффективность исследований в области математического моделирования и решения прикладных задач построения поверхностей в существенной степени зависят от стандартизации и формализации используемых описаний, методов их обработки, анализа и построения.

При этом естественным образом возникают задачи геометрического характера, позволяющие унифицировать подход к решению проблем построения, обработки и анализа геоинформационных данных.

Удачным подходом к решению сформулированных задач можно считать сплайновый подход к построению как составных поверхностей, так и кривых. Одним из главных его достоинств является то, что сплайновые поверхности и кривые однозначно определяются массивом точек (опорным массивом). Поэтому с геометрической точки зрения, исследуемые массивы данных можно во многих случаях трактовать как опорные массивы составных кривых или поверхностей.

Кубические сплайновые кривые (изучению которых посвящена диссертация) давно используются как инструмент решения многочисленных прикладных задач. При этом они мало изучены как геометрические объекты. В частности, до сих пор нет классификации таких кривых, аналогичной классификации кривых второго порядка. Это объясняется многочисленными причинами, среди которых не последнее место занимает то, что кубические сплайновые кривые задаются параметрически с помощью двух или трех уравнений третьего порядка, зависящих от параметра t е [0,l]. В то же время имеется классификация кубических форм от двух переменных, которую можно применить к классификации кубически параметризованных кривых.

Тем самым появляется возможность перейти от рассмотрения множества сплайновых кривых к ограниченному числу кривых канонического вида, названных в работе каноническими моделями.

Перечисленные выше проблемы, как практические, так и теоретические, определяют практическую значимость и актуальность темы настоящего исследования по изучению кубических сплайновых кривых и поверхностей и созданию новых методов обработки и визуализации данных.

Отметим, что проблемам обработки и анализа изображений посвящено множество зарубежных и отечественных журналов «Image and Vision Computing», «Pattern Recognition», «IEEE Image processing», «IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence», «Journal of mathematical imaging and vision», «Цифровая обработка сигналов», «Информационные технологии».

Исследованиями в области моделирования рельефа занимаются такие известные ученые, как Ю. Л. Костюк, Л. И. Чернова, М. В. Черноусов, В. В. Под-дубный, В. Я. Цветков, А. Л. Фукс, С. А. Жихарев. Вопросы геоинформатики рассмотрены в работах А. М. Берлянта, В. С. Тикунова, К. Л. Проворова, Е. Г. Карпова, А. А. Лютого, А. В. Кошкарева, В. Я. Цветкова, В. А. Коугия, В. П. Кулагина. Визуализацией в геоинформатике занимались: В. Я. Цветков, С. И. Матвеев, Б. А. Левин, У. Д. Ниясгулов, А. С. Масленников, А. М. Бедлянт, В. С. Тикунов, А. А. Лютый, А. В. Кошкарев, В. П. Кулагин.

Перечисленные выше проблемы, а так же необходимость их решения определили практическую значимость и актуальность создания новых методов обработки и визуализации данных и выбор темы настоящего исследования.

Целью исследования является разработка новых эффективных математических методов для анализа и обработки геоинформационных и статистических данных, моделирования рельефа и построения кривых на основе классификации и исследования геометрических характеристик сплайновых кривых и поверхностей.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- анализ геометрических характеристик и классификация кубически параметризованных кривых, определение свойств исходных кривых и соответствующих канонических моделей;

- классификация и свойства плоских и пространственных элементарных и составных В-сплайновых кривых на основе использования канонических моделей;

- разработка метода обработки и визуализации геоинформационных данных на основе использования сплайновых поверхностей;

- разработка метода обработки и визуализации медико-статистических данных на основе использования сплайновых кривых и их канонических моделей;

- создание программного комплекса для анализа геоинформационных данных, их сортировки и моделирования рельефа;

- создание программного комплекса для определения геометрических характеристик кубически параметризованных кривых, определения типа кривых, работы с медицинскими статистическими данными;

- экспериментальное апробирование разработанных средств и методов для оценки их эффективности и возможностей их использования при решении прикладных задач.

Объектом исследования являются геоинформационные и статистические данные, В-сплайновые кривые и поверхности, их свойства и характеристики, математические методы обработки полученной информации.

Предметом исследования являются математические методы анализа, построения и классификации сплайновых кривых и поверхностей, анализ данных и программные средства обработки информации.

Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследования осуществляется на основе комплексного использования методов математического анализа, дифференциальной геометрии, математической статистики и информационных технологий.

Основные положения, выносимые на защиту:

- классификация кубически параметризованных кривых, определение свойств исходных кривых и соответствующих канонических моделей;

- классификация плоских и пространственных элементарных и составных В-сплайновых кривых и изучение их свойств на основе использования канонических моделей;

- разработка метода обработки и визуализации геоинформационных данных и данных медицинской статистики;

- разработка программного комплекса для моделирования рельефа и обработки медико-статистических данных.

Научная новизна полученных результатов определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для работы с геоинформационными данными, статистическими медицинскими данными и получены следующие результаты:

- проведен анализ геометрических характеристик и предложена классификация кубически параметризованных кривых;

- даны классификация и свойства плоских и пространственных элементарных и составных В-сплайновых кривых на основе использования канонических моделей;

- предложены новые методы обработки и визуализации математических моделей геоинформационных и медико-статистических данных на основе использования сплайновых поверхностей и кривых;

- создан программный комплекс по моделированию рельефа;

- создан программный комплекс для определения геометрических характеристик кубически параметризованных кривых, определения типа кривых, работы с медицинскими статистическими данными.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, использованием математических методов, корректным использованием теорем и доказательств. Проведением экспериментов на модельных данных и апробацией моделей, алгоритмов и программ на реальных данных.

Практическая значимость. Предложенный в работе геометрический подход нахождения геометрических характеристик исследуемых объектов может быть использован при построении математического аппарата обработки геоин-формационпых данных и данных медицинской статистики.

Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для создания автоматизированных систем работы с геоинформационными данными, построения поверхностей, обработки данных медицинской статистики.

Полученные теоретические и практические результаты, а также разработанное программное обеспечение могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на российских и международных научно-практических конференциях: региональные конференции по математике на Алтае, «МОНА2006», «МОНА2007», «МО-НА2008», г. Барнаул; 7-я Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2006, Красноярск; Российская конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию института математики им. С. JI. Соболева, СО РАН, 2007, Новосибирск; Международная конференция «Геометрия в 0дессе-2008», 2008, Одесса; Международная конференция «Геометрия в Астрахани-2008», 2008, Астрахань; Всероссийская конференция «Всероссийская конференция по математике и механике с международным участием», 2008, г. Томск; VI и VII Молодежные школы-конференции «Лобачевские чте-ния-2007», «Лобачевские чтения-2008», г. Казань; Всероссийская молодежная школа-конференция «Проблема теоретической и прикладной математики» Институт математики и механики УрО РАН, 2009, г. Екатеринбург.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа, куда входят (в скобках указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе — объем, принадлежащий лично автору) 1 статья в издании, рекомендованном

ВАК (0,25/0,13 печ.л.), 8 — в трудах всероссийских и международных конференций (2,56/2,56 печ.л.), 12 — в тезисах всероссийских и международных конференций (2,31/2,1 печ.л.).

Личный вклад соискателя. При выполнении работ [1, 19], опубликованных совместно с научным руководителем, соискатель принимал участие в постановке задач, разработке численных алгоритмов, обсуждении научных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Подготовлена программная реализация всех разработанных вычислительных алгоритмов, проведены расчеты тестовых задач и получены результаты экспериментов. Результаты, изложенные в работе, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация содержит введение, 3 главы и заключение, изложенные на 181 странице машинописного текста. В работу включены 52 рис., 20 табл., список литературы из 80 наименований и 1 приложение, в котором представлены листинг программных модулей и результаты моделирования рельефа в программном комплексе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Прокопенко, Евгения Викторовна

Заключение

В ходе проведенного исследования решены поставленные задачи и достигнуты следующие результаты:

- проведен анализ геометрических характеристик и предложена классификация кубически параметризованных кривых, определены канонические модели таких кривых и описаны их свойства;

- предложена классификация и изучены свойства плоских и пространственных элементарных и составных В-сплайновых кривых на основе использования канонических моделей;

- предложена методика обработки геоинформационных данных, сортировки данных, переформировки массива, введения кратных точек и построения модели рельефа;

- предложена методика обработка медико-статистических данных наркозависимых больных на основе сплайновых поверхностей;

- создан программный комплекс для анализа геоинформационных данных, их обработки, а именно сортировки для удобства использования метода «кратных точек» и для моделирования рельефа;

- создан программный комплекс для определения геометрических характеристик кубически параметризованных кривых, определения типа кривых, построения кривых, работы с медицинскими статистическими данными.

Публикации по теме исследования

1. Прокопенко, Е. В. Составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей / Е. В. Прокопенко, В. Б. Ким // Вестник Поморского университета. Серия «Естественные и точные науки». — 2009. — № 2. - С. 83-86*.

2. Прокопенко, Е. В. О проблеме классификации В-сплайновых кривых / Е. В. Прокопенко // 6-я Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: материалы международной конференции. - Кемерово, 2005. — С. 24-25.

3. Прокопенко, Е. В. Об одном классе В-сплайновых кривых / Е. В. Прокопенко // Вестник КемГУ. - Кемерово, 2005. - № 4. - С. 182-186.

4. Прокопенко, Е. В. Сравнение кривизны кривых, построенных по методу закругленности с В-сплайновыми кривыми, на примере массива точек выбранного по базисным функциям и произвольному массиву точек / Е. В. Прокопенко // Труды СГУ. - М., 2006. - С. 91-97.

5. Прокопенко, Е. В. Инварианты двойничных кубических форм и сплайновые кривые / Е. В. Прокопенко // Математическое образование на Алтае «МОНА 2006»: тезисы региональной конференции. - Барнаул, 2006. -С. 30-31.

6. Прокопенко, Е. В. Сплайновый подход к результатам графической обработки эксперимента / Е. В. Прокопенко // 7-я Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых): тезисы всероссийской конференции. - Красноярск, 2006. - С. 26.

7. Прокопенко, Е. В. Об одной конструкции ассоциированной и В-сплайновой кривой / Е. В. Прокопенко // Наука и образование: материалы международной конференции. - Белово, 2006. - С. 516-520. Входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

8. Прокопенко, Е. В. Об одном свойстве кривой Безье / Е. В. Прокопенко // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы международной научно-практической конференции. - Кемерово, 2006. — Режим доступа: http://conference.kemsu.ru/conf/aprel2006/sect/index.dhtm7sec id=719.-C. 16.

9. Прокопенко, Е. В. Об оценке параметров, влияющих на форму сплай-новой кривой / Е. В. Прокопенко // Математика в современном мире: тезисы российской конференции, посвященной 50-летию института математики им. С. JI. Соболева, СО РАН. - Новосибирск, 2007. - Режим доступа: http://math.nsc.i-u /conference/conf50/Abstracts.pdf. - С. 88-89.

10. Прокопенко, Е. В. Зависимость формы В-сплайновой кривой от опорного массива / Е. В. Прокопенко // Образование, наука, инновации — вклад молодых исследователей: материалы международной научно-практической конференции. - Кемерово, 2007. - Режим доступа: http:// conference.kemsu.ru/conf/aprel2007 /sect/index.dhtm?secid=831- С. 70.

11. Прокопенко, Е. В. Классификация В-сплайновых кривых с использованием кубических матриц / Е. В. Прокопенко // Математическое образование в регионах России: труды региональной конференции. — Барнаул, 2007. — С. 39-44.

12. Прокопенко, Е. В. Канонические модели кубически параметризованных кривых / Е. В. Прокопенко // Геометрия в 0дессе-2008: тезисы международной конференции. - Одесса, 2008. - С. 120-122.

13. Прокопенко, Е. В. К вопросу о классификации кубических сплайновых кривых / Е. В. Прокопенко // Геометрия в Астрахани-2008: тезисы международной конференции. - Астрахань, 2008. — С. 4.5-48.

14. Прокопенко, Е. В. Канонические модели кубически параметризованных кривых / Е. В. Прокопенко // Исследовано в России. - Режим доступа: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2008/029.pdf. - С. 329-337.

15. Прокопенко, Е. В. Канонические модели сплайновых кривых / Е. В. Прокопенко // Всероссийская конференция по математике и механике с международным участием: тезисы всероссийской конференции. — Томск, 2008. — С. 109-110.

16. Прокопенко, Е. В. Плоская составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей / Е. В. Прокопенко // Математическое образование на Алтае, «МОНА 2008»: тезисы региональной конференции. — Барнаул, 2008. - С. 71-76.

17. Прокопенко, Е. В. Составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей / Е. В. Прокопенко // Лобачевские чтения-2008: тезисы VII международной школы-конференции. - Казань, 2008. - № 37. - С. 144-146.

18. Прокопенко, Е. В. Канонические модели плоских В-сплайновых кривых / Е. В. Прокопенко // Вестник КемГУ. - Кемерово, 2008. - № 3(35). - С. 13-19.

19. Прокопенко, Е. В. Составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей / Е. В. Прокопенко, В. Б. Ким // Проблема теоретической и прикладной математики: тезисы всероссийской молодежной шко-лы-конферен-ции / Институт математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 2009. С. 83-87.

20. Прокопенко, Е. В. Сплайновые кривые в медицинских исследованиях / Е. В. Прокопенко // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей, IV (XXXVI): тезисы международной научно-практической конференции. - Кемерово, 2009. - С. 179-183.

21. Прокопенко, Е. В. Канонические модели сплайновых кривых в медицинских исследованиях / Е. В. Прокопенко // МАК-2009: тезисы двенадцатой региональной конференции по математике. — Барнаул, 2009. — С. 106-108.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прокопенко, Евгения Викторовна, 2009 год

1. Аджемов, А. С. Метод аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразований на основе сплайн-интерполяции / А. С. Аджемов, И. С. Синева // Электросвязь. - 1998. - №2. - С. 37 - 39.

2. Ньюмен, У. Основы интерактивной машинной графики/ У. Ньюмен, Р. Спрулл. М. : МИР, 1976. - 576с.

3. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики/ Д. Роджерс, А. Адаме. — М.: Машиностроение, 1981. 604с.

4. Абламейко, С. В. Метод повышения точности моделирования рельефа местности / С. В. Абламейко // Геодезия и картография. 1993. — № З.-С. 42-45.

5. Алберг, Дж. Теория сплайнов и её приложения / Алберг Дж., Ниль-сон Э., Уолш Дж. М.: Мир, 1972.-314с.

6. Айфичер, Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход (2-е издание) / Э. Айфичер, Б. Джервис. М : Вильяме, 2004. - 992с.

7. Ашкеназы, В. О. Сплайн-поверхности и аппроксимационный поиск экстремума / В. О. Ашкеназы. ТвГУ, 1999. - С. 19 - 30.

8. Ашкеназы, В. О. Сплайн-поверхности: Основы теории и вычислительные алгоритмы: учебное пособие / В. О. Ашкеназы. Тверь, 2003. - 82с.

9. Бор, К. де. Практическое руководство по сплайнам / К. де Бор. — М.: Радио и связь, 1985. 304с.

10. Вагер, Б. Г. Сплайны при решении прикладных задач метрологии и гидрологии / Б. Г. Вагер, Н. К. Серков. JL: Гидрометеоиздат, 1987. - 160с.

11. Власов, JI. П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах / JI. П. Власов // Успехи математических наук.- 1973. Т. 28. - № 6. - С.3-66.

12. Говорухин, В. Maple Система аналитических вычислений для математического моделирования / В. Говорухин, Б. Цибулин. — Электрон, текстовые дан. - Режим доступа: http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/MME /courses /тар1ес/ свободный.

13. Говорухин, В. Компьютер в математическом моделировании/

14. B. Говорухин, Б. Цибулин. СПб.: Питер, 2001. - 620 с.

15. Гребенников, А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений / А. И. Гребенников. М.: МГУ, 1983. - 208с.

16. Григорьев, М. И. Полиномы Бернштейна и составные кривые Безье / М. И. Григорьев, В. Н. Малеземов, А. Н. Сергеев. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46. — № 11. —1. C.1962-1971.

17. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. JI. Мирошниченко. М.: Наука, 1980. - 352с.

18. Новосибирск, 2001. — С.36 — 37. Режим доступа: http://www.math.nsc.ru /conference/msf/abs.htm свободный.

19. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б. И. Квасов. М.: Физматлит, 2006. - 360с.

20. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближений / Н. П. Корнейчук. М.: Наука. - 1984. - 352с.

21. Костюк, Ю. JI. Представление рельефа земной поверхности в геоинформационных системах / Ю.Л. Костюк // Геоинформатика. Томск, 2000. - Вып. 1. - С. 12 - 17. - Режим доступа: http://www.inf.tsu.ru/library /Publications /2000/16.pdf свободный.

22. Костюк, Ю. Л. Приближённое вычисление оптимальной триангуляции / Ю. Л. Костюк, А. Л. Фукс // Международная конференция «Дискретный' анализ и исследование операций»: материалы конференции. — Новосибирск, 2000.-С. 152.

23. Костюк, Ю. Л. Построение и аппроксимация изолиний однозначной поверхности, заданной набором исходных точек / Ю. Л. Костюк, А. Л. Фукс // Геоинформатика. Теория и практика. Томск, 1998. - Вып.1.

24. С. 119 — 126. Режим доступа: http://www.inf.tsu.m/Library/Publications/1999 /Kostuk 19993.pdf свободный.

25. Костюк, Ю. JI. Представление рельефа земной поверхности в геоинформационных системах / Ю. JT. Костюк // Геоинформатика-2000: труды международной научно-практической конференции. — Томск, 2000. Вып.1. - С.12- 17.

26. Костюк, Ю. JI. Технология создания трехмерных моделей объектов по плоским проекциям и ее применение в геоинформатике / Ю. JT. Костюк, В. Г. Гриценко, А. С. Парамонов // Геоинформатика: Теория и практика. — Томск, 1998. -Вып.1.-С. 96- 106.

27. Лорд, И. А. Введение в дифференциальную геометрию и топологию. Математическое описание вида и формы / И. А. Лорд, С. Б. Уилсон; пер. с англ. -М.: Ижевск, 2003. 303с.

28. Люлька, В. А. О построении интерполяционных кривых / В. А. Люлька, И. Е. Михайлов // Вычислительная математика и математическая физика. 2003. - Т.43. - №10. - С.1448 - 1450.

29. Макаров, В. Л. Сплайн-аппроксимация функций: учебное пособие для втузов / В. Л. Макаров и др. . М.: Высш. школа, 1983. - 80с.

30. Мусин, О. Р. Цифровые модели для ГИС / О. Р. Мусин // Информ. бюл. ГИС Ассоциации. 1998. - № 4/5. - С. 28 - 29.

31. Пахнутов, И. А. Сплайны с начальными условиями / И. А. Пахну-тов. Свердловск: УНЦ АН СССР. - 1984. - 112с.

32. Поддубный, В. В. Приближение сложных поверхностей с помощью аппарата рестриктивных сплайнов / В. В. Поддубный, М. В. Черноусов// Геоинформатика: Теория и практика. Томск, 1998. - Вып.1. - С. 107 - 118.

33. Подобедов, Н. С. Полевая картография / Н. С. Подобедов. М.: Недра, 1970.-240 с.

34. Постон, Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: МИР, 1980. - 607с.

35. Приближение функций полиномами и сплайнами / Математический институт им. В.А. Стеклова, сб. ст. ред.: С. Б. Стечкин. Труды. Т.145 — М: Наука, 1980.-248с.

36. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адаме. М: Мир, 2001 - 604с.

37. Самарина, О. В. Геометрический подход к определению инвариантов изображения: автореф. дис. канд. наук: 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ / Самарина Ольга Владимировна; Ханты-Мансийск. - 2008. - 20с.

38. Скворцов, А. В. Алгоритмы построения и анализы триангуляции/ А. В. Скворцов, Н. С. Мирза. Томск, 2006. - 168с.

39. Скворцов, А. В. Структуры данных и алгоритмы обработки комплексной трёхмерной модели местности / А. В. Скворцов, Д. С. Сарычев // ИНПРИМ-2000: материалы Межд. конф. Ч. 4. Новосибирск, 2000. - С.73.

40. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения/ Н. П. Соколов. М.: ГИФМЛ, 1960. - 300с.

41. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стеч-кин, Ю. Н. Субботин. М.: Наука, 1976. - 248с.

42. Субботин, Ю. Н. Порядок наилучших сплайн приближений некоторых классов функций / Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных // Математические заметки. 1970.-Т. 7.-№ 1.-С.31 -42.

43. Терихова, Н. И. Кубические сглаживающие сплайны / Н. И. Тери-хова // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. — № 8. — С.112-118.

44. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. М.: МИР. - 1982. - 304с.

45. Фукс, A. JI. Кусочно-линейная интерполяция и графическое отображение поверхности, заданной нерегулярной системой отсчетов/ A. JI. Фукс // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. - 18с.

46. Хемминг, Р. В. Численные методы / Р. В. Хемминг. М.: Наука. -1972.-400с.

47. Шелевицкий, И. В. Интерполяционные сплайны в задачах цифровой обработки сигналов / И. В. Шелевицкий // Exponenta Pro. Математика в приложениях. 2003. - №4 - С.42-53.

48. Шикин, Е. В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения / Е. В. Шикин, А. В. Боресков. М.: Диалог-МИФИ, 1998. -288с.

49. Шикин, Е. В. Кривые и поверхности на экране компьютера/ Е. В. Шикин, А. И. Плис. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 237с.

50. Barsky, В. Computer Graphics and Geometric Modeling using Beta-splines / B. Barsky Springer Verlag. - 1988. - P.60-68.

51. Bartles, R. An introduction to splines for use in computer graphics and geometric modeling / R. Bartles, J. Beatty, B. Barsky.- Morgan Kaufmann. — 1987.-476p.

52. Dahmen, W. Cubicoids: modeling and visualization, Computer Aided Geometric Design / W. Dahmen, Thamm-Schaar T.-M. -1993. №10. - P.89-108.

53. Farin6 G. Curves and surfaces for computer aided geometric design / G. Farin //A practical guide. Academic Press. 1990. - P.215-236

54. Foley, J.D. Computer graphics. Principles and practice. / J.D. Foley, S.K.Feiner, J.F. Hugues // Addison-Wesley Pub. Com. 1991. - P. 1174.

55. Guo, B. Nonspliting macro patches for implicit cubic spline surfaces / B. Guo // EUROGRAPHCS'93. 1993. - vol. 12. - № 3. - P.433-445.

56. Schweikert, D.G. An interpolating curve using a spline in tension / D.G. Schweikert//J. Math. Phys. 1966. - V.45. - P.312-317.

57. Wang, R. Multivariate Spline and Geometry / Ren-Hong Wang //"AMS/JP Studies in Mathematics». 2003. - vol.34. - P. 195-199.

58. Zhao, G. A B-spline function in Д*2) / Zhao Guohui, Wang Ren-Hong //"AMS/JP Studies in Mathematics». 2003. - vol.34. - P.227-235.

59. Wilhelmson, R.B. A Study of Evolution of a Numerically Modelled Severe Storm, Intern / R.B. Wilhelmson // Journal of Supercomputer Applications. 1990. - vol. 4. - No.2 — P.20-36.