Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами: вопросы существования периодических решений и их устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Жукова, Анна Александровна

• Жукова, Анна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жукова, Анна Александровна

Введение

1 Уравнение Хилла и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе

1.1 Уравнение Хилла

1.2 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе.

1.3 Связь сильной устойчивости и сильной неустойчивости уравнения Хилла с числом вращения и гомеоморфизмом Пуанкаре для уравнения Прюфера.

1.4 Устойчивые по Плиссу числа вращения.

1.5 Уравнение Хилла с постоянными коэффициентами

1.6 Связь мультипликаторов с числом вращения.

1.7 Критерий устойчивости Жуковского.

1.8 Неоднородное уравнение Хилла.

2 Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

2.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения

2.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения

2.3 Нелинейное обобщение критерия Жуковского

2.4 Маятник с колеблющейся точкой подвеса.

3 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре

Данжуа дифференциальных уравнений на торе

3.1 Каноническое уравнение с постоянным гамильтонианом

3.2 Каноническое уравнение с произвольным периодическим гамильтонианом

3.3 Достаточные условия неустойчивости.

3.4 Достаточные условия устойчивости по Дирихле.

3.5 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

3.6 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе.

3.7 Вспомогательные леммы.

3.8 Вещественные мультипликаторы.

3.9 Невещественные мультипликаторы.

3.10 Устойчивые по Плиссу числа вращения.

3.11 Один пример линейной канонической системы.

4 Нелинейная каноническая система с периодическими коэффициентами

4.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения

4.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами: вопросы существования периодических решений и их устойчивости»

Уравнение Хилла [41] хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле [7].

Устойчивость по Дирихле означает, что из малости решения и его производных в какой-то момент времени вытекает его малость на всей числовой прямой, а не только в положительном направлении, как в теории Ляпунова. Из устойчивости по Дирихле вытекает, конечно, устойчивость в смысле Ляпунова. Для изучаемых в диссертации канонических систем, к которым стандартным образом может быть приведено уравне-ни Хилла, верно и обратное.

Устойчивость в смысле Дирихле берет свое начало от теоремы Дирихле в аналитической механике, называемой также теоремой Лагранжа.

Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что по числу вращения можно судить не только об устойчивости уравнения Хилла (или канонической системы), но и указать номер области устойчивости или неустойчивости.

Еще больший интерес представляет нелинейное уравнение Хилла и каноническая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь возникает отображение Пуанкаре, которое позволяет привлекать для изучения устойчивости по Дирихле дискретные динамические системы. Эта теория связана с именами А. Пуанкаре, Д. Биркгофа и Э. Хопфа. Здесь представляет интерес не только получение условий существования и единственности периодического решения, но и вопросы устойчивости или неустойчивости получающихся периодических решений.

Целью работы при изучение уравнения Хилла и линейной канонической системы является определение связи между их устойчивостью с соответствующими свойствами уравнения Прюфера. Для нелинейного уравнения Хилла и нелинейной канонической системы целью является получение условий существования и единственности, а также обсуждение их устойчивости и неустойчивости.

В работе используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории динамических систем и систем с интегральным инвариантом.

При изучении отдельных вопросов применяются вариационные методы [28], а также результаты теории дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями [38].

Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:

1. Для изучения уравнения Хилла привлечена теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.

2. Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости.

3. Для изучения линейных канонических систем с периодическими коэффициентами применяется теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.

4. Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.

Ценность работы теоретическая. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля, на которых читается теория нелинейных колебаний.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно - практической конференции "Из режима функционирования - в режим развития "(Воронеж, 2007), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008 (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Стратегии развития - инновационно-инвестиционную активность" (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарные аспекты" (Воронеж, 2009), на научном семинаре кафедры нелинейных колебаний под руководством профессора А.И. Перова (ВГУ, 2006-2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Из совместных публикаций [32], [23], [24] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору. Работы [44], [45] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Жукова, Анна Александровна

Заключение

В диссертации впервые изучаются свойства сильной устойчивости и сильной неустойчивости линейного уравнения Хилла (линейной канонической системы) с позиции теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе. Приведенное исследование показывает, что дифференциальное уравнение на торе адекватно описывает многие важные свойства изучаемого уравнения Хилла (канонической системы), включая возможность по одному только числу вращения сказать сильно устойчиво уравнение или нет, и если оно устойчиво, то сказать, какой именно области устойчивости принадлежит соответствующий коэффициент p(t) (гамильтониан H(t)).

Получена формула, связывающая мультипликаторы уравнения Хилла с нецелым числом вращения для уравнения Прюфера.

Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости.

Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю профессору Перову Анатолию Ивановичу за постановку задачи, полезные рекомендации и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жукова, Анна Александровна, 2009 год

1. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М.: Физматиз, 1959, - 916 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1974, - 432 с.

3. Боровских А.В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.В. Боровских, А.И. Перов. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004, - 540 с.

4. Борисович Ю.Г. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близнеков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980, - 296 с.

5. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве /Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970, -536 с.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967, - 472 с.

7. Дирихле Л. (Dirichlet L.) Uder die Stabilitat des Gleichgewichts / Л. Дирихле //J. reine angewandte Math., 1846, - № 32.

8. Жуковский H.E. Условия конечности интегралов уравнения d2y/dx2 +ру = 0 / H.E. Жуковский // Матем. сб., 1892, - 16, вып.З, - С.582-591.

9. Жужома Е.В. Топологическая классификация слоений, задаваемых одномерными формами Пфаффа на т-мерном торе /Е.В. Жужома // Дифференциальные уравнения, 1981, - т. 17, - JV2 8, - С.1385-1393.

10. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. М.: ИЛ, 1961, -780 с.

11. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А.Коддингтон, Н. Левинсон. М.: Из-во ин.лит., 1958, -476 с.

12. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975, - 512 с.

13. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. М.: Физ-матиз, 1963, - 248 с.

14. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Мир, 1966, -332 с.

15. Красносельский М.А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений /М.А. Красносельский, А.И. Перов // Доклады АН СССР, 1959, - т. 126, №1, - С. 15-18.

16. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967, - 464 с.

17. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. М.: Наука, 1978, -280 с.

18. Левитан Б.М. Почти-периодические функции / Б.М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953, - 396 с.

19. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1949, - 552 с.

20. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков / И.И. Ольховский. М.: Наука, 1970, - 448 с.

21. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975 - 560 с.

22. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: изд-во ВГУ, 1981, - 196 с.

23. Перов А.И. Признаки неустойчивости периодических решений двумерных канонических систем с периодическими коэффициентами / А.И. Перов, А.А. Жукова. Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, Препринт № 31 (сентябрь 2009), - 27 с.

24. Перов А.И Об устойчивости в смысле Дирихле периодических решений канонических систем двух нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.А. Жукова. Воронеж, Научно-исследовательский институт математики ВГУ, Препринт № 32 (октябрь 2009), - 56 с.

25. Перов А.И. К теории Пуанкаре-Данжуа многомерных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, И.Ю. Эгле // Дифференциальные уравнения, 1972, - т.8, - № 5, - С.801-810.

26. Перов А.И. О вариационном подходе при исследовании периодических решений гамильтоновых систем / А.И. Перов, В.Л. Хацкевич

27. Теория операторов в функциональных пространствах, Воронеж, 1983, - С. 72-79.

28. Перов А.И., Классы регулярности билинейных форм и нелинейных эллиптических граничных задач / А.И. Перов, B.JI. Хацкевич // Дифференциальные уравнения, 1988, - том 24, - №3, - С. 464-476.

29. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов //IX Межвузовская конференция по нелинейным колебаниям, Киев, - 1981, - т.2, Качественные методы в теории нелинейных колебаний. Киев, Наукова думка, - 1984, - С.310-315.

30. Перов А.И. Об одном обобщении критерия устойчивости Жуковского на нелинейный случай / А.И. Перов // Черноземный альманах научных исследований. Воронеж, - 2007, - №1(5), - С.12-24.

31. Перов А.И. Вариационный подход к задаче о периодических решениях / А.И. Перов, Т.И. Смагина, Т.И. Хацкевич // Сибирский математический журнал, 1984, - t.XXV, - № 1, С. - 106-119.

32. Перов А.И. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса: Методические указания по спецкурсу для студентов 4 курса дневного отделения / А.И. Перов, , И.Д. Коструб. Воронеж: из-во ВГУ, 2002, - 37 с.

33. Перов А.И. Вынужденные колебания нелинейной следящей системы / J1.A. Полякова , А.А. Жукова // Труды молодых ученых ВГУ, -2006, вып. 1-2, - С.34-37.

34. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. Москва - Линенград: Наука, 1964, - 368 с.

35. Понтрягин JI.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.- М.: Наука, 1969, 384 с.

36. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том II / Дж. Сансоне. М.: Из-во ин. лит., 1954, - 416 с.

37. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов.- М.: Физматгиз, 1958, 468 с.

38. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: изд-во ин. лит., 1962, - 352 с.

39. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников,А.И. Перов. Минск: Наука и техника, 1986, - 200 с.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970, - 608 с.

41. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970, - 720 с.

42. Hill G. Acte math, 1886, v.8, p.l.

43. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964, 480 с.

44. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. М.: Наука, 1972, - 720 с.

45. Жукова А.А. Число вращения как полная характеристика устойчивости уравнения Хилла / А.А. Жукова // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия, №2(68), - 2009, - С. 26-33.

46. Жукова А.А. Признаки существования, единственности и устойчивости периодических решений нелинейных канонических систем / А.А. Жукова // Известия Тульского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2009. - вып.2. - С. 32-37

47. Жукова А.А. Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе / А.А. Жукова // Вестник ВГУ, серия Физика. Математика, 2008, - №2, С.88-91.

48. Жукова А.А. Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка типа Хилла / А.А. Жукова // Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна, 2008: Тез. Докл Воронеж, - 2008, — С. 56-57.

49. Жукова А.А. Некоторые условия существования единственного периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений; случай неустойчивости/ А.А. Жукова // Вестник факультета ПММ, 2009, - вып. 7, - С. 34-41.