Калибровочные теории с высшими производными и несвободно-порождёнными симметриями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Абакумова Виктория Александровна

• Абакумова Виктория Александровна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Абакумова Виктория Александровна

Введение

1 Устойчивые взаимодействия в теориях с высшими производными

1.1 Теории производного типа

1.1.1 Симметрии и законы сохранения с высшими производными

1.1.2 Построение устойчивых взаимодействий

1.2 Расширенная теория Черна-Саймонса с высшими производными

1.2.1 Сохраняющиеся тензоры

1.2.2 Расширенная теория Черна-Саймонса п-го порядка

1.2.3 Мультигамильтонова формулировка

1.3 Устойчивые взаимодействия в расширенной теории Черна-Саймонса с заряженным скалярным полем с высшими производными

1.3.1 Лагранжева формулировка

1.3.2 Гамильтонова формулировка

2 Гамильтонов формализм теорий с несвободно-порождённой калибровочной симметрией

2.1 Особенности несвободно-порождённой калибровочной алгебры

2.2 Гамильтонов формализм со связями для теорий поля с несвободно-порождённой калибровочной симметрией общего вида

2.3 Гамильтонов БФВ-БРСТ формализм теорий с несвободно-порождённой калибровочной симметрией

2.4 Связь несвободно-порождённой и приводимой калибровочной симметрии

2.4.1 Лагранжев формализм

2.4.2 Гамильтонов формализм

2.4.3 Гамильтонов БФВ-БРСТ формализм

2.5 Примеры теорий с несвободно-порождённой калибровочной симметрией

2.5.1 Линеаризованная унимодулярная гравитация

2.5.2 Максвеллоподобная теория симметричного тензорного поля

2.5.3 Теория калибровочного поля бесследового безмассового спина в

3 Дуальные формулировки в теориях с приводимой симметрией Штюкельберга

3.1 Метод включения полей Штюкельберга с приводимой калибровочной симметрией

3.2 Калибровочная симметрия топологической подсистемы и дуальные формулировки

3.3 Построение действия Штюкельберга для дуальной формулировки

3.4 Примеры построения дуальных формулировок

3.4.1 Дуальные формулировки для массивных полей спина 1 и

3.4.2 Калибровочная симметрия линеаризованного уравнения Нордстрёма

и дуальная теория поля безмассового спина

Заключение

Список литературы

Приложение А Подсчёт числа степеней свободы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Калибровочные теории с высшими производными и несвободно-порождёнными симметриями»

Введение

Актуальность темы исследования. Калибровочные теории составляют основу современной теоретической физики высоких энергий, а также играют важную роль во многих областях математической физики. Общий формализм калибровочных теорий хорошо разработан [1] и применим для систематического решения различных задач квантовой теории поля, включая квантование калибровочных систем, а также построение совместных взаимодействий, однако он имеет ограничения на класс допустимых моделей. Данная диссертация посвящена обобщению этого формализма на случай двух классов калибровочных теорий поля, а именно теорий с высшими производными и теорий с несвободно-порождённой калибровочной симметрией.

Теории с высшими производными, лагранжианы которых содержат вторые и более высокие производные полей по времени, составляют важный класс моделей современной теоретической физики. Расширения с высшими производными известны для широкого класса моделей физики высоких энергий, включая электродинамику Подольского [2], теорию Янга-Миллса [3], конформные и другие модифицированные теории гравитации [4-8]. Во многих случаях, теории с высшими производными обладают более широкой симметрией и лучшими свойствами сходимости как на классическом, так и на квантовом уровне по сравнению с их аналогами без высших производных. Также включение высших производных обсуждается как один из возможных путей к построению перенормируемой квантовой теории гравитации [9,10].

Известная трудность теорий с высшими производными состоит в неустойчивости их динамики, проявляющейся при построении канонического гамильтонова формализма [11,12], в котором все высшие производные полей рассматриваются как новые независимые переменные. Как известно, если лагранжиан теории содержит высшие производные, соответствующий гамильтониан представляет собой, вообще говоря, неограниченную функцию переменных фазового пространства. На квантовом уровне неустойчивость проявляется в наличии духовых полюсов в пропагаторе и приводит к неограниченному снизу спектру энергии. Проблема устойчивости наиболее актуальна на уровне взаимодействий. В частности, в нелинейной теории могут возникать коллапсирующие траектории, даже если соответствующая свободная теория является устойчивой [13,14], по причине отсутствия ограниченной сохраняющейся величины на взаимодействующем уровне. В случае калибровочных теорий с высшими производными допустимые взаимодействия ограничены как условием устойчивости, так и требованием калибровочной инвариантности.

Теории с несвободно-порождённой калибровочной симметрией характеризуются тем, что их калибровочные параметры не являются произвольными функциями пространства-времени, а подчинены системе дифференциальных уравнений. Отличительной чертой рассматриваемого класса моделей является существование функций пополнения, зависящих от полей и их производных, которые обращаются в нуль на уравнениях движения, но при этом не являются их дифференциальными следствиями [15]. Связи на калибровочные параметры и функции пополнения представляют собой существенные компоненты калибровочной алгебры, вклад которых должен учитываться при квантовании теории, а также её деформации при включении взаимодействий. Однако, общий

формализм калибровочных теорий, включая БРСТ/БВ/БФВ-методы, не учитывает существование данных структур. Наиболее известным примером несвободно-порождённой калибровочной симметрии является диффеоморфизм, сохраняющий объём в модели унимодулярной гравитации [16,17]. Также к примерам теорий с несвободно-порождённой калибровочной симметрией относятся различные аналоги линеаризованной унимодулярной гравитации [18,19] для полей высших спинов [20,21], калибровочные параметры которых ограничены условием бездивергентности.

Дуальные формулировки, представляющие собой различные теоретико-полевые реализации неприводимого представления одной и той же массы и спина, в настоящее время широко изучаются. Одним из возможных способов построения дуальных формулировок являются преобразования тензорных полей путём дуализации Ходжа по различным подмножествам индексов в калибровке светового конуса с последующим восстановлением соответствующих тензоров в й измерениях. Таким образом, например, получаются альтернативные описания неприводимого представления безмассового спина 2 в терминах тензоров третьего ранга с симметрией, описываемой диаграммой Юнга типа «крюк» [22-24], которые однако совместны только в пространстве размерности й > 5. Другой возможный способ построения дуальных формулировок состоит в том, что дуальные поля могут быть связаны друг с другом дифференциальными соотношениями типа напряжённостей и их потенциалов, которые необратимы на локальном уровне даже при фиксации калибровки. Например, известно дуальное описание линеаризованной гравитации в терминах тензора Фирца с симметрией типа «крюк» [25], который можно рассматривать как напряжённость поля с метрикой в качестве его потенциала. Существует дуальное описание гравитации в терминах тензора Ланцоша [26,27], представляющего собой тензор третьего ранга с симметрией типа «крюк», рассматриваемый как потенциал для тензора Вейля. Также существует формулировка гравитации в виде теории поля в плоском пространстве-времени с числом измерений больше четырёх [28,29], функцию вложения которой можно рассматривать в качестве потенциала для метрики. Теория Редже-Тейтельбойма [30], вообще говоря, не эквивалентна общей теории относительности, так как допускает и другие решения, помимо эйнштейновских. Однако позднее стали известны модификации этой модели, эквивалентные общей теории относительности Эйнштейна после частичной фиксации калибровки либо при переопределении метрики [31].

Несмотря на то, что по определению все дуальные формулировки эквивалентны на классическом уровне, их деформации, в том числе при включении взаимодействия в свободную теорию, необязательно эквивалентны. Так, например, минимальное электромагнитное взаимодействие дираковских спиноров с векторным потенциалом электромагнитного поля не может быть локально переформулировано в терминах напряжённости поля, подчинённого уравнениям Максвелла. Наборы безмассовых полей спина 1 не допускают взаимодействия Янга-Миллса, если они описываются в терминах тензоров напряжённости, а не потенциалов. Также известно, что дуальное описание безмассового спина 2 [22] не допускает включения совместных взаимодействий [32]. Можно также упомянуть киральную формулировку для полей высших спинов [33], допускающую другие вершины взаимодействия по сравнению с описаниями в терминах симметричных

тензоров. Таким образом, интерес к изучению дуальных формулировок во многом обусловлен тем, что их неэквивалентность на взаимодействующем уровне открывает возможности для нахождения ранее неизвестных вершин взаимодействия.

Степень разработанности темы исследования. Устойчивость динамики с высшими производными изучалась на протяжении нескольких десятилетий. В частности, было показано, что устойчивость некоторых теорий с высшими производными может быть связана с ограниченностью канонической энергии вследствие наличия сильных связей второго рода как, например, в моделях f (Я)-гравитации [6,7]. В работе [34] было продемонстрировано, что широкий класс теорий с высшими производными допускает альтернативные ограниченные сохраняющиеся величины, стабилизирующие динамику. Наличие в теории энергии, отличной от канонической, предполагает существование альтернативной гамильтоновой формулировки, что означает мультигамильтоновость теории. Процедура построения альтернативных гамильтоновых формулировок заключается в выборе наиболее общего закона сохранения в качестве гамильтониана теории и нахождении соответствующих скобок Пуассона. Таким образом, теория является устойчивой, если она допускает ограниченный интеграл движения. Отметим, что рассматриваемые ранее на предмет мультигамильтоновости теории, например, в работах [35-38], относились к классу механических. Таким образом, несмотря на то, что предпринимались попытки преодоления проблемы устойчивости в конкретных (механических) моделях, её общего и систематического решения до сих пор не было предложено. Что касается устойчивости взаимодействий в различных конкретных моделях, в работах [34, 39] были разработаны методы включения взаимодействий, применимые к теориям с высшими производными, устойчивым на свободном уровне. Согласно методу собственной деформации [39], деформация сохраняющихся величин, связанных с симметриями лагранжева якоря, концепция которого была впервые предложена в работе [40] для БРСТ-квантования необязательно лагранжевой динамики, позволяет согласованно включать взаимодействия, причём если лагранжев якорь связывает симметрию с ограниченной сохраняющейся величиной, система при включении взаимодействия остаётся устойчивой. В данной диссертации предлагается более простая схема включения взаимодействий, не обращающаяся явным образом к концепции лагранжева якоря.

Несмотря на то, что конкретные модели с несвободно-порождённой калибровочной симметрией известны в течение продолжительного времени, общая теория для данного класса калибровочных систем начала развиваться относительно недавно. В работе [15] описана общая структура несвободно-порождённой калибровочной симметрии в лагранжевом формализме и разработано обобщение метода Фаддеева-Попова, учитывающее связи на калибровочные параметры. В работе [41] для рассматриваемого класса систем построен БВ-БРСТ формализм. Однако то, как несвободно-порождённая калибровочная симметрия проявляет себя на гамильтоновом уровне по-прежнему оставалось неясным. Даже в столь хорошо изученной конкретной модели, как унимодулярная гравитация, не было известно, каким образом уравнения на калибровочные параметры могут быть объяснены с точки зрения алгебры гамильтоновых связей.

Идея о включении дополнительных полей в действие с целью получения калибровочно-инвариантной теории, эквивалентной исходной, впервые предложенная Штюкельбергом в работе [42] по-прежнему остаётся актуальной [43, 44]. Так, например, широко применяется так называемый «трюк Штюкельберга», заключающийся в разделении действия на калибровочно-инвариантную и неинвариантную части, которое однако является произвольным. На идее Штюкельберга также основан метод конверсии связей первого рода в связи второго рода в гамильтоновом формализме [45,46], который, в отличие от «трюка Штюкельберга», представляет собой систематическую процедуру. В работе [47] была предложена систематическая итеративная процедура включения полей Штюкельберга в лагранжевом формализме, которая исходит из пополнения системы лагранжевых уравнений всеми возможными следствиями более низких порядков, т. е. построения инволютивного замыкания. Инволютивное замыкание может содержать также следствия более высокого порядка, которые, вообще говоря, могут быть приводимыми. В случае пополнения исходных лагранжевых уравнений приводимыми следствиями, метод включения полей Штюкельберга [47] нуждается в модификации. Представляет интерес тот факт, что включение полей Штюкельберга в приводимом случае может служить инструментом для построения дуальных формулировок рассматриваемых теорий, так как при определённых условиях все физические степени свободы могут быть представлены полями Штюкельберга, в то время как исходные поля могут быть полностью откалиброваны. Получаемые таким образом дуальные формулировки не будут иметь ограничений на размерность пространства-времени.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка новых методов исследования калибровочных теорий с высшими производными и несвободно-порождёнными симметриями.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. разработка процедуры нахождения законов сохранения, неканонически связанных с симметриями системы, а также общих методов построения устойчивых взаимодействий в теориях поля с высшими производными;

2. нахождение законов сохранения и построение мультигамильтоновой формулировки расширенной теории Черна-Саймонса с высшими производными;

3. нахождение с помощью предложенных методов новых устойчивых вершин взаимодействия в расширенной теории Черна-Саймонса с заряженным скалярным полем с высшими производными;

4. разработка гамильтонова формализма со связями, а также соответствующего гамильтонова БВФ-БРСТ формализма, учитывающих особенности несвободно-порождённой калибровочной алгебры;

5. нахождение связи между несвободно-порождённой калибровочной симметрией и альтернативной формой приводимой калибровочной симметрии без связей на калибровочные параметры;

6. исследование несвободно-порождённой калибровочной симметрии гамильтоновыми методами в конкретных моделях;

7. разработка метода включения полей Штюкельберга в теориях с приводимой калибровочной симметрией;

8. разработка процедуры построения дуальных формулировок с высшими производными в терминах потенциалов исходных полей, а также нахождения соответствующего действия Штюкельберга;

9. построение с помощью предложенных методов дуальных формулировок массивных полей спина 1 и 2, а также безмассового спина 2.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. Так, например, впервые продемонстрирована мультигамильтоновость ряда полевых теорий с высшими производными. Также была разработана общая процедура включения устойчивых взаимодействий между двумя теориями с высшими производными, одна из которых является калибровочной. Найдены новые вершины взаимодействий в расширенной теории Черна-Саймонса с заряженным скалярным полем с высшими производными, совместные с требованиями устойчивости, в том числе и на гамильтоновом уровне. Был разработан гамильтонов формализм со связями для систем общего вида с несвободно-порождённой калибровочной симметрией, в том числе были впервые получены общие гамильтоновы правила построения как калибровочных преобразований, так и уравнений, ограничивающих калибровочные параметры. Также было разработано обобщение гамильтонова БФВ-БРСТ формализма с учётом особенностей несвободно-порождённой калибровочной алгебры. Впервые установлена связь между несвободно-порождённой калибровочной симметрией и альтернативной ей приводимой симметрией более высокого порядка с точки зрения гамильтонова формализма со связями, а также связь между соответствующими этим двум формам калибровочной симметрии БРСТ комплексами. Получены ранее неизвестные аналоги космологической постоянной в теориях безмассовых полей высших спинов, а также предложена систематическая процедура получения данных глобальных сохраняющихся величин исходя из уравнений на калибровочные параметры. Также общая итеративная процедура включения полей Штюкельберга впервые обобщена на случай приводимой калибровочной симметрии. С помощью предложенного в работе метода построения дуальных формулировок получены неизвестные ранее дуализации массивных представлений спина 1 и 2, а также безмассового спина 2.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации представляют интерес для специалистов в области квантовой теории поля и математической физики. Теоретическая значимость результатов обусловлена тем, что разработанные в диссертации методы для исследования теорий с высшими производными и несвободно-порождёнными симметриями, а также построения нового типа дуальных формулировок с высшими производными либо не имеют альтернативы, либо дают преимущества по сравнению с ранее использовавшимися подходами.

Практическая значимость обусловлена применением предложенных методов для ряда актуальных теорий поля с высшими производными и несвободно-порождёнными симметриями. Также были построены ранее неизвестные дуальные формулировки для полей различных спинов, совместные в пространстве любой размерности и перспективные

с точки зрения включения взаимодействий. Результаты, полученные в работе, являются общими и впоследствии могут быть применены к широкому классу физически значимых теоретико-полевых моделей.

Методология и методы исследования. В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс новых ковариантных и гамильтоновых методов исследования структуры калибровочной алгебры, в том числе позволяющих находить вершины, контролировать совместность и устойчивость взаимодействий в теориях с высшими производными. Также в работе общий формализм калибровочных теорий обобщается на случай систем с несвободно-порождённой калибровочной симметрией. Построение нового типа дуальных формулировок с высшими производными связано с использованием общей ковариантной процедуры включения полей Штюкельберга, опирающейся на метод инволютивного замыкания системы полевых уравнений.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Процедура построения устойчивых взаимодействий в теории с высшими производными двух полей, волновые операторы которых представляют собой полиномы от некоторого другого дифференциального оператора первого или второго порядка.

2. Процедура построения мультигамильтоновых формулировок для теорий поля с высшими производными. Устойчивость теорий с высшими производными в гамильтоновом формализме, связанная с наличием ограниченного представителя семейства гамильтонианов. Построение мультигамильтоновой формулировки расширенной теории Черна-Саймонса.

3. Построение устойчивых взаимодействий в расширенной теории Черна-Саймонса с заряженным скалярным полем с высшими производными.

4. Гамильтонова формулировка со связями любого конечного поколения для теорий поля общего вида с несвободно-порождённой калибровочной симметрией, в том числе общая гамильтонова процедура получения дифференциальных уравнений, ограничивающих калибровочные параметры. Обобщение гамильтонового БФВ-БРСТ формализма для теорий поля с несвободно-порождённой калибровочной симметрией.

5. Систематический способ получения глобальных сохраняющихся величин, значения которых определяются асимптотиками полей и их производных, исходя из уравнений связей на калибровочные параметры. Построение аналогов космологической постоянной, являющейся простейшим примером глобальной сохраняющейся величины, для безмассовых полей высших спинов с несвободно-порождённой калибровочной симметрией.

6. Связь несвободно-порождённой калибровочной симметрии с альтернативным описанием той же системы в терминах приводимой симметрии с параметрами, не ограниченными связями, с точки зрения гамильтонова формализма, а также связь между соответствующими БРСТ комплексами, неэквивалентность которых обусловлена различным статусом глобальных сохраняющихся величин по отношению к различным вариантам БРСТ симметрии.

7. Общая ковариантная процедура включения полей Штюкельберга с приводимой калибровочной симметрией, опирающаяся на метод инволютивного замыкания системы полевых уравнений.

8. Метод построения дуальных формулировок в терминах потенциалов исходных полей для свободных теорий поля, инволютивное замыкание которых содержит топологическую подсистему. Систематическая процедура построения порождающего действия, содержащего как исходные поля, так и их потенциалы, из которого различные дуальные формулировки получаются соответствующей фиксацией калибровки.

9. Дуальные описания с высшими производными для массивных полей спина 1 и 2, а также для безмассового спина 2.

Степень достоверности результатов исследования. Достоверность результатов обеспечивается их внутренней самосогласованностью, совпадением в частных случаях с уже известными результатами, а также применением современных методов исследования калибровочных теорий поля.

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертации докладывались на 24-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (ВКНСФ-24) (г. Томск, 2018 г.), международной летней школе по теоретической физике JOINT FAR/ANSEF-ICTP and RDP-VW summer school in theoretical physics (г. Ереван, Армения, 2018 г.), международной школе Trans-Siberian School on High Energy Physics (г. Томск, 2019 г.), международной конференции The XXIII International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2019) (г. Дубна, 2019 г.), международной конференции The XXIV International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2020) (г. Дубна, 2020 г.), Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020» (г. Москва, 2020 г.), международной конференции The XXV International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2021) (г. Алматы, Казахстан, 2021 г.), Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2022» (г. Москва, 2022 г.), Московской международной школе физики MISP 2022 (г. Дубна, 2022 г.), VII Всероссийском молодёжном научном форуме «Наука будущего - наука молодых» (г. Новосибирск, 2022 г.), международной конференции The XXVI International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2022) (г. Дубна, 2022 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 14 статей в журналах, включённых в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 8 статей в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science, 3 статьи в российских научных журналах, переводные версии которых входят в Web of Science, 1 статья в переводной версии российского научного журнала, входящей в Web of Science), 3 статьи в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Scopus.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 139 страницах, состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 170 наименований и 1 приложения.

В первой главе предлагается общая схема включения устойчивых взаимодействий для широкого класса теорий с высшими производными, волновые операторы которых представляют собой полиномы от некоторого другого дифференциального оператора первого или второго порядка. В качестве примера теории с высшими производными рассматривается расширенная теория Черна-Саймонса, для которой находятся симметрии, законы сохранения и соответствующие им гамильтоновы формулировки, а также строятся взаимодействия с заряженным скалярным полем с высшими производными как в лагранжевом, так и в гамильтоновом формализме, совместные с требованиями устойчивости.

Во второй главе рассматриваются основные особенности несвободно-порождённой калибровочной алгебры, приводится систематическое гамильтоново описание несвободно-порождённой калибровочной симметрии общего вида, допускающее связи произвольного конечного поколения. Кроме того, гамильтонов БФВ-БРСТ формализм обобщается на случай несвободно-порождённой калибровочной симметрии, изучается связь между несвободно-порождённой и приводимой калибровочной симметрией с точки зрения лагранжева, гамильтонова, а также гамильтонова БФВ-БРСТ формализма. Предложенный общий формализм проиллюстрирован на примере конкретных моделей с несвободно-порождённой калибровочной симметрией, включая линеаризованную унимодулярную гравитацию.

В третьей главе рассматривается общая процедура включения полей Штюкельберга в случае приводимой калибровочной симметрии, приводится общая схема построения дуальных формулировок для теории, допускающей топологическую подсистему, а также процедура построения соответствующего действия Штюкельберга. На примере моделей массивного спина 1 и 2, а также безмассового спина 2 с помощью предложенных процедур дуализации демонстрируется, что различные представления одного и того же спина могут быть получены из единого действия Штюкельберга соответствующей фиксацией калибровки.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

В приложении приводится формула для ковариантного подсчёта числа степеней свободы, используемая в работе для проверки полученных результатов, в частности корректности предложенных дуальных формулировок.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ляховичу Семену Леонидовичу за постановку задач и помощь в создании этой работы, Капарулину Дмитрию Сергеевичу, Каратаевой Инне Юрьевне и Шарапову Алексею Анатольевичу за помощь в работе и плодотворные обсуждения, а также всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики ТГУ.

1 Устойчивые взаимодействия в теориях с высшими производными

Классическая динамика и квантование различных теорий с высшими производными широко изучаются на протяжении нескольких десятилетий. Среди наиболее известных моделей рассматриваемого класса следует упомянуть осциллятор Пайса-Уленбека [48], электродинамику Подольского [2] и Ли-Вика [49,50], расширенную теорию Черна-Саймонса с высшими производными [51], теорию Янга-Миллса с высшими производными [3], конформную гравитацию [4], теории полей высших спинов с высшими производными [52-54], модифицированные теории гравитации [55-57], включая критическую гравитацию [8]. Теории с высшими производными обладают некоторыми замечательными свойствами по сравнению с их аналогами без высших производных. Так, например, для многих моделей включение высших производных улучшает их сходимость как на классическом, так и на квантовом уровне. Также часто наличие высших производных обусловлено требованиями конформной симметрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абакумова Виктория Александровна, 2023 год

Список литературы

1. Henneaux M. Quantization of gauge systems / M. Henneaux, C. Teitelboim. - Princeton University Press, 1992. - 520 p.

2. Podolsky B. A generalized electrodynamics. Part I - non-quantum // Physical Review. -1942. - Vol. 62, is. 1-2. - P. 68-71.

3. Faddeev L. D. Gauge Fields: An Introduction To Quantum Theory / L. D. Faddeev, A. A. Slavnov // Frontiers in Physics. - Benjamin/Cummings, Advanced Book Program, 1980. - Vol. 50. - 240 p.

4. Fradkin E. S. Conformal supergravity / E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin // Physics Reports. -1985. - Vol. 119, is. 4-5. - P. 233-362.

5. Buchbinder I. L. Canonical quantisation and local measure of R2 gravity / I. L. Buchbinder, S. L. Lyakhovich // Classical and Quantum Gravity. - 1987. - Vol. 4, № 6. - P. 1487-1501.

6. Sotiriou T. P. f (R) theories of gravity / T. P. Sotiriou, V. Faraoni // Reviews of Modern Physics. - 2010. - Vol. 82, is. 1. - P. 451-497.

7. De Felice A. f (R) theories / A. De Felice, S. Tsujikawa // Living Reviews in Relativity. -

2010. - Vol. 13. - P. 3.

8. Lu H. Critical gravity in four dimensions / H. Lu, C. N. Pope // Physical Review Letters. -

2011. - Vol. 106, is. 18. - P. 181302.

9. Tomboulis E. T. Renormalization and unitarity in higher derivative and nonlocal gravity theories // Modern Physics Letters A. - 2015. - Vol. 30. - P. 1540005.

10. Ketov S. V. Quantizing with a higher time derivative / S. V. Ketov, G. Michiaki, T. Yumibayashi // Advances in Quantum Field Theory: ed. by S. Ketov. - InTech, 2012. - P. 49-73.

11. Ostrogradski M. V. Memoires sur les equations differentielles relatives au probleme des isoperimetres // Memoirs de l'Academie imperiale des sciences de St. Petersburg. - 1850. -Vol. 6. - P. 385-517.

12. Gitman D. M. Hamilton formulation of a theory with high derivatives / D. M. Gitman, S. L. Lyakhovich, I. V. Tyutin // Soviet Physics Journal. - 1983. - Vol. 26. - P. 730-734.

13. Smilga A. V. Comments on the dynamics of the Pais-Uhlenbeck oscillator // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2009. - Vol. 5. - P. 017.

14. Pavsic M. Pais-Uhlenbeck oscillator and negative energies // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. - 2016. - Vol. 13, № 9. - P. 1630015.

15. Kaparulin D. S. A note on unfree gauge symmetry / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // Nuclear Physics B. - 2019. - Vol. 947. - P. 114735.

16. Percacci R. Unimodular quantum gravity and the cosmological constant // Foundations in Physics. - 2018. - Vol. 48. - P. 1364.

17. Gielen S. Gravity with more or less gauging / S. Gielen, R. de Leon Ardon, R. Percacci // Classical and Quantum Gravity. - 2018. - Vol. 35, № 19. - P. 195009.

18. Alvarez E. Transverse Fierz-Pauli symmetry / E. Alvarez, D. Blas, J. Garriga, E. Verdaguer // Nuclear Physics B. - 2006. - Vol. 756, is. 3. - P. 148-170.

19. Bias D. Gauge symmetry and consistent spin-two theories // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - Vol. 40. - P. 6965.

20. Skvortsov E. D. Transverse invariant higher spin fields / E. D. Skvortsov, M. A. Vasiliev // Physics Letters B. - 2008. - Vol. 664, is. 4-5. - P. 301-306.

21. Campoleoni A. Maxwell-like Lagrangians for higher spins / A. Campoleoni, D. Francia // Journal of High Energy Physics. - 2013. - Vol. 1303. - P. 168.

22. Curtright T. Generalized gauge fields // Physics Letters B. - 1985. - Vol. 165, is. 4-6. - P. 304-308.

23. Hull C. M. Duality in gravity and higher spin gauge fields // Journal of High Energy Physics.

- 2001. - Vol. 09. - P. 027.

24. Casini H. Dual theories for mixed symmetry fields. Spin two case: (1,1) versus (2,1) Young symmetry type fields / H. Casini, R. Montemayor, L. F. Urrutia // Physics Letters B. - 2001.

- Vol. 507, is. 1-4. - P. 336-344.

25. Toth G. Z. Energy-momentum tensor and duality symmetry of linearized gravity in the Fierz formalism // Classical and Quantum Gravity. - 2022. - Vol. 39. - P. 075003.

26. Lanczos C. Lagrangian multiplier and Riemannian spaces // Reviews in Modern Physics. -1949. - Vol. 21, is. 3. - P. 497-502.

27. Lanczos C. The splitting of the Riemann tensor // Reviews in Modern Physics. - 1962. -Vol. 34., is. 3 - P. 379-389.

28. Пастон С. А. Гравитация как теория поля в плоском пространстве-времени // Теоретическая и математическая физика. - 2011. - Т. 169, № 2. - С. 285-296.

29. Пастон С. А. Гравитация как теория вложения / С. А. Пастон. - Lambert Academic Publishing, 2012. - 144 с.

30. Regge T. General relativity a la string: a progress report / T. Regge, C. Teitelboim // Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975. - Amsterdam, North Holland. - 1977. - P. 77-88.

31. Пастон С. А. Каноническая формулировка вложенной теории гравитации, эквивалентная общей теории относительности Эйнштейна / С. А. Пастон, В. А. Франке // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 153, № 2. - С. 271-288.

32. Bekaert X. Consistent deformations of dual formulations of linearized gravity: A No go result / X. Bekaert, N. Boulanger, M. Henneaux // Physical Review D. - 2003. - Vol. 67, is. 4. - P. 044010.

33. Krasnov K. Actions for self-dual Higher Spin Gravities / K. Krasnov, E. Skvortsov, T. Tran // Journal of High Energy Physics. - 2021. - Vol. 08. - P. 076.

34. Kaparulin D. S. Classical and quantum stability of higher-derivative dynamics /

D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // European Physical Journal C. -2014. - Vol. 74, is. 10. - P. 3072.

35. Bolonek K. Hamiltonian structures for Pais-Uhlenbeck oscillator / K. Bolonek, P. Kosinski // Acta Physica Polonica B. - 2005. - Vol. 36. - P. 2115.

36. Damaskinsky E. V. Remarks on quantization of Pais-Uhlenbeck oscillators /

E. V. Damaskinsky, M. A. Sokolov // Journal of Physics A: Mathematical and General.

- 2006. - Vol. 39, № 33. - P. 10499.

37. Masterov I. An alternative Hamiltonian formulation for the Pais-Uhlenbeck oscillator // Nuclear Physics B. - 2016. - Vol. 902. - P. 95-114.

38. Masterov I. The odd-order Pais-Uhlenbeck oscillator // Nuclear Physics B. - 2016. - Vol. 907. - P. 495-508.

39. Kaparulin D. S. Stable interactions via proper deformations / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. -2016. - Vol. 49, № 15. - P. 155204.

40. Kazinski P. O. Lagrange structure and quantization / P. O. Kazinski, S. L. Lyakhovich,

A. A. Sharapov // Journal of High Energy Physics. - 2005. - Vol. 07. - P. 076.

41. Kaparulin D. S. Unfree gauge symmetry in the BV formalism / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // European Physical Journal C. - 2019. - Vol. 79, is. 8. - P. 718.

42. Stueckelberg E. C. G. Interaction energy in electrodynamics and in the field theory of nuclear forces // Helvetica Physica Acta. - 1938. - Vol. 11. - P. 225-244.

43. Ruegg H. The Stueckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz-Altaba // International Journal of Modern Physics A. - 2004. - Vol. 19, № 20. - P. 3265-3348.

44. Boulanger N. Consistent deformations of free massive field theories in the Stueckelberg formulation / N. Boulanger, C. Deffayet, S. Garcia-Saenz, L. Traina // Journal of High Energy Physics. - 2018. - Vol. 07. - P. 021.

45. Faddeev L. D. Realization of the Schwinger term in the Gauss law and the possibility of correct quantization of a theory with anomalies / L. D. Faddeev, S. L. Shatashvili // Physics Letters B. - 1986. - Vol. 167, is. 2. - P. 225-228.

46. Batalin I. A. Operator quantization of dynamical systems with irreducible first and second class constraints / I. A. Batalin, E. S. Fradkin // Physics Letters B. - 1980. - Vol. 180, is. 1-2. - P. 157-162.

47. Lyakhovich S. L. General method for including Stueckelberg fields // European Physical Journal C. - 2021. - Vol. 81, is. 5. - P. 472.

48. Pais A. On field theories with non-localized action / A. Pais, G .E. Uhlenbeck // Physical Review. - 1950. - Vol. 79, is. 1. - P. 145-165.

49. Lee T. Negative metric and the unitarity of the S matrix / T. Lee, G. Wick // Nuclear Physics B. - 1969. - Vol. 9, is. 2. - P. 209-243.

50. Lee T. Finite theory of quantum electrodynamics / T. Lee, G. Wick // Physical Review D. - 1970. - Vol. 2, is. 6. - P. 1033-1048.

51. Deser S. Higher derivative Chern-Simons extensions / S. Deser, R. Jackiw // Physics Letters.

B. - 1999. - Vol. 451, is. 1-2. - P. 73-76.

52. Francia D. Generalised connections and higher-spin equations // Classical and Quantum Gravity. - 2012. - Vol. 29, № 24. - P. 245003.

53. Joung E. A note on higher-derivative actions for free higher-spin fields / E. Joung, K. Mkrtchyan // Journal of High Energy Physics. - 2012. - Vol. 1211. - P. 153.

54. Joung E. Higher-derivative massive actions from dimensional reduction / E. Joung, K. Mkrtchyan // Journal of High Energy Physics. - 2013. - Vol. 1302. - P. 134.

55. Clifton T. Modified gravity and cosmology / T. Clifton, P. G. Ferreira, A. Padilla, C. Skordis // Physics. Reports. - 2012. - Vol. 513, is. 1-3. - P. 1-189.

56. Salvio A. Quadratic gravity // Frontiers in Physics. - 2018. - Vol. 6. - P. 77.

57. Belenchia A. Higher-order theories of gravity: diagnosis, extraction and reformulation via non-metric extra degrees of freedom - a review / A. Belenchia, M. Letizia, S. Liberati, E. Di Casola // Reports on Progress in Physics. - 2018. - Vol. 81, № 3. - P. 036001.

58. Woodard R. P. Ostrogradsky's theorem on Hamiltonian instability // Scholarpedia. - 2015.

- Vol. 10. - P. 32243.

59. Smilga A. V. Classical and quantum dynamics of higher-derivative systems // International Journal of Modern Physics A. - 2017. - Vol. 32, № 33. - P. 1730025.

60. Andrzejewski K. Canonical formalism and quantization of perturbative sector of higherderivative theories / K. Andrzejewski, K. Bolonek, J. Gonera, P. Maslanka // Physical Review A. - 2007. - Vol. 76, is. 3. - P. 032110.

61. Chen T. Higher derivative theories with constraints: exorcising Ostrogradski's ghost / T. Chen, M. Fasiello, E. A. Lim, A. J. Tolley // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2013. - Vol. 02. - P. 042.

62. Bergshoeff E. A. A spin-4 analog of 3D massive gravity / E. A. Bergshoeff, M. Kovacevic, J. Rosseel, P. K. Townsend, Y. Yin // Classical and Quantum Gravity. - 2011. - Vol. 28, № 24. - P. 245007.

63. Nitta M. Topological couplings in higher derivative extensions of supersymmetric three-form gauge theories / M. Nitta, R. Yokokura // Journal of High Energy Physics. - 2019. - Vol. 05.

- P. 102.

64. Kaparulin D. S. Rigid symmetries and conservation laws in non-Lagrangian field theory / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of Mathematical Physics. -2010. - Vol. 51, is. 8. - P. 082902.

65. Kaparulin D. S. Higher derivative extensions of 3d Chern-Simons models: conservation laws and stability / D. S. Kaparulin, I. Yu. Karataeva, S. L. Lyakhovich // European Physical Journal C. - 2015. - Vol. 75, is. 11. - P. 552.

66. Капарулин Д. С. О стабильности нелинейного осциллятора с высшими производными / Д. С. Капарулин, С. Л. Ляхович // Известия высших учебных заведений. Физика. -2014. - Т. 57, № 11. - С. 96-99.

67. Kaparulin D. S. Energy and stability of Pais-Uhlenbeck oscillator / D. S. Kaparulin,

5. L. Lyakhovich // Geometric Methods in Physics XXXIII Workshop, Bialowieza, Poland, June 29 - July 5, 2014. - Birkhauser Basel. - 2015. - P. 127-134.

68. Kaparulin D. S. On the equivalence of two approaches to the construction of interactions in higher-derivative theories // Russian Physics Journal. - 2017. - Vol. 59, № 12. - P. 2041-2047.

69. Дирак П. Лекции по квантовой механике / П. Дирак. - М.: Наука, 1998. - 148 с.

70. Sundermeyer K. Constrained dynamics / K. Sundermeyer. - Springer-Verlag, 1982. - 318 p.

71. Гитман Д. М. Каноническое квантование полей со связями / Д. M. Гитман, И. В. Тютин.

- М.: Наука, 1986. - 216 с.

72. Kluson J. Hamiltonian analysis of curvature-squared gravity with or without conformal invariance / J. Kluson, M. Oksanen, A. Tureanu // Physical Review D. - 2014. - Vol. 89, is.

6. - P. 064043.

73. Ohkuwa Y. On the canonical formalism of f (R)-type gravity using Lie derivatives / Y. Ohkuwa, Y. Ezawa // European Physical Journal Plus. - 2015. - Vol. 77. - P. 130.

74. Kaparulin D. S. BRST analysis of general mechanical systems / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of Geometry and Physics. - 2013. - Vol. 74. - P. 164-184.

75. Bender C. M. No-ghost theorem for the fourth-order derivative Pais-Uhlenbeck oscillator model / C. M. Bender, P. D. Mannheim // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, is. 11.

- P. 110402.

76. Bender C. M. Giving up the ghost / C. M. Bender, P. D. Mannheim // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. - Vol. 41, № 30. - P. 304018.

77. Mostafazadeh A. A Hamiltonian formulation of the Pais-Uhlenbeck oscillator that yields a stable and unitary quantum system // Physics Letters A. - 2010. - Vol. 375, is. 2. - P. 93-98.

78. Smilga A. V. Benign vs malicious ghosts in higher-derivative theories // Nuclear Physics B.

- 2005. - Vol. 706, is. 3. - P. 598-614.

79. Pavsic M. Stable self-interacting Pais-Uhlenbeck oscillator // Modern Physics Letters A. -2013. - Vol. 28, № 36. - P. 1350165.

80. Avendano-Camacho M. A perturbation theory approach to the stability of the Pais-Uhlenbeck oscillator / M. Avendano-Camacho, J. A. Vallejo, Yu. Vorobiev // Journal of Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 58, № 9. - P. 093501.

81. Boulanger N. Higher-derivative harmonic oscillators: stability of classical dynamics and adiabatic invariants / N. Boulanger, F. Buisseret, F. Dierick, O. White // European Physical Journal C. - 2019. - Vol. 79, is. 1. - P. 60.

82. Kaparulin D. S. Conservation laws and stability of field theories of derived type // Symmetry.

- 2019. - Vol. 11, is. 5. - P. 642.

83. Bufalo R. Renormalizability of generalized quantum electrodynamics / R. Bufalo, B. M. Pimentel, G. E. R. Zambrano // Physical Review D. - 2012. - Vol. 86, is. 12. -P. 125023.

84. Ghasemkhani M. Higher derivative Chern-Simons extension in the noncommutative QED3 / M. Ghasemkhani, R. Bufalo // Physical Review D. - 2015. - Vol. 91, is. 12. - P. 125013.

85. Nogueira A. A. Reduction of order and Fadeev-Jackiw formalism in generalized electrodynamics / A. A. Nogueira, C. Palechor, A. F. Ferrari // Nuclear Physics B. - 2019. -Vol. 939. - P. 372-390.

86. Lu H. Conformal gravity and extensions of critical gravity / H. Lu, Yi Pang, C. N. Pope // Physical Review D. - 2011. - P. 84, is. 6. - P. 064001.

87. Lii H. Black holes in six-dimensional conformal gravity / H. Lii, Yi Pang, C. N. Pope // Physical Review D. - 2013. - Vol. 87, is. 10. - P. 104013.

88. Abakumova V. A. Stable interactions in higher derivative field theories of derived type / V. A. Abakumova, D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // Physical Review D. - 2019. - Vol. 99, is. 4. - P. 045020.

89. Abakumova V. A. Conservation laws and stability of higher derivative extended Chern-Simons / V. A. Abakumova, D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1337. - P. 012001.

90. Abakumova V. A. Multi-Hamiltonian formulations and stability of higher-derivative extensions of 3d Chern-Simons / V. A. Abakumova, D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // European Physical Journal C. - 2018. - Vol. 78, is. 2. - P. 115.

91. Абакумова В. А. Ограниченный гамильтониан в расширенной теории Черна-Саймонса четвертого порядка / В. А. Абакумова, Д. С. Капарулин, С. Л. Ляхович // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2017. - Т. 60, № 12. - С. 40-47.

92. Абакумова В. А. Устойчивые взаимодействия между расширенной теорией Черна-Саймонса и заряженным скалярным полем: гамильтонов формализм / В. А. Абакумова, Д. С. Капарулин, С. Л. Ляхович // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2019. - Т. 62, № 1. - С. 13-21.

93. Abakumova V. A. Stable interactions between higher derivative extended Chern-Simons and charged scalar field / V. A. Abakumova, D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich // AIP Conference Proceedings. - 2019. - Vol. 2163, is. 1. - P. 090001.

94. DeWitt B. Dynamical theory of groups and fields / B. Dewitt. - New York: Gordon and Breach, 1965. - 248 p.

95. Kaparulin D. S. Consistent interactions and involution / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich,

A. A. Sharapov // Journal of High Energy Physics. - 2013. - Vol. 01. - P. 097.

96. Kaparulin D. S. Third order extensions of 3d Chern-Simons interacting to gravity: Hamiltonian formalism and stability / D. S. Kaparulin, I. Yu. Karataeva, S. L. Lyakhovich // Nuclear Physics B. - 2018. - Vol. 934. - P. 634-652.

97. Kaparulin D. S. Resonance and stability of higher derivative theories of a derived type / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, O. D. Nosyrev // Physical Review D. - 2020. - Vol. 101, is. 12. - P. 125004.

98. Trigiante M. Gauged supergravities // Physics Reports. - 2017. - Vol. 680. - P. 1-175.

99. Barnich G. Deformations of vector-scalar models / G. Barnich, N. Boulanger, M. Henneaux,

B. Julia, V. Lekeu, A. Ranjbar // Journal of High Energy Physics. - 2018. - Vol. 02. - P. 064.

100. Barnich G. A note on local BRST cohomology of Yang-Mills type theories with free Abelian factors / G. Barnich, N. Boulanger // Journal of Mathematical Physics. - 2018. - Vol. 59, is. 5. - P. 052302.

101. Townsend P. K. Self-duality in odd dimensions / P. K. Townsend, K. Pilch, P. van Nieuwenhuizen // Physics Letters B. - 1984. - Vol. 136, is. 1-2. - P. 38-42.

102. Deser S. "Self-duality"of topologically massive gauge theories / S. Deser, R. Jackiw // Physics Letters B. - 1984. - Vol. 139, is. 5-6. - P. 371-373.

103. Deser S. Topologically massive gauge theories / S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton // Annals of Physics. - 1982. - Vol. 140, is. 2. - P. 372-411.

104. Deser S. Three-dimensional massive gauge theories / S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton // Physical Review Letters. - 1982. - Vol. 48, is. 15. - P. 975-978.

105. Banerjee R. Polarization vectors, doublet structure and Wigner's little group in planar field theory / R. Banerjee, B. Chakraborty, T. Scaria // International Journal of Modern Physics A. - 2001. - Vol. 16, № 24. - P. 3967-3989.

106. Deser S. Massive, topologically massive, models / S. Deser, B. Tekin // Classical and Quantum Gravity. - 2002. - Vol. 19. - P. 97-100.

107. Капарулин Д. С. Расширение теории Черна-Саймонса: законы сохранения, лагранжевы структуры и устойчивость / Д. С. Капарулин, И. Ю. Каратаева, С. Л. Ляхович // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2016. - Т. 59, № 11. - С. 172-177.

108. Ehrgardt T. Resultant matrices and inversion of Bezoutians / T. Ehrgardt, K. Rost // Linear algebra and its applications. - 2013. - Vol. 439. - P. 621-639.

109. Kaparulin D. S. Extended Chern-Simons model for a vector multiplet / D. S. Kaparulin, S. L. Lyakhovich, O. D. Nosyrev // Symmetry. - 2021. - Vol. 13, is. 6. - P. 1004.

110. Barvinsky A. O. Darkness without dark matter and energy - generalized unimodular gravity / A. O. Barvinsky, A. Yu. Kamenshchik // Physics Letters B. - 2017. - Vol. 774. - P. 59-63.

111. Barvinsky A. O. Dynamics of the generalized unimodular gravity theory / A. O. Barvinsky, N. Kolganov, A. Kurov, D. Nesterov // Physics Review D. - 2019. - Vol. 100, is. 2. - P. 023542.

112. Francia D. On the gauge symmetries of Maxwell-like higher-spin Lagrangians / D. Francia, S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Nuclear Physics B. - 2014. - Vol. 881. - P. 248-268.

113. Anderson J. L. Constraints in covariant field theories / J. L. Anderson, P. G. Bergmann // Physical Review - 1951. - Vol. 83, is. 5. - P. 1018.

114. Utiyama R. Theory of invariant variation and the generalized canonical dynamics // Progress of Theoretical Physics Supplements. - 1959. - Vol. 9. - P. 19-44.

115. Mukunda N. Generators of symmetry transformations for constrained Hamiltonian systems // Physica Scripta. - 1980. - Vol. 21, № 6. - P. 783.

116. Castellani L. Symmetries in constrained Hamiltonian systems // Annals of Physics. - 1982. - Vol. 143, is. 2. - P. 357-371.

117. Abakumova V. A. Unfree gauge symmetry in Hamiltonian formalism / V. A. Abakumova, I. Yu. Karataeva, S. L. Lyakhovich // Physics Letters B. - 2020. - Vol. 802. - P. 135208.

118. Abakumova V. A. Hamiltonian constraints and unfree gauge symmetry / V. A. Abakumova, S. L. Lyakhovich // Physical Review D. - 2020. - Vol. 102, is. 12. - P. 125003.

119. Abakumova V. A. Reducible gauge symmetry versus unfree gauge symmetry in Hamiltonian formalism / V. A. Abakumova, I. Yu. Karataeva, S. L. Lyakhovich // Nuclear Physics B. -2021. - Vol. 973. - P. 115577.

120. Абакумова В. А. Гамильтонов формализм со связями для теорий поля с несвободно-порождённой калибровочной симметрией общего вида / В. А. Абакумова, С. Л. Ляхович // Учёные записки физического факультета Московского университета. - 2021. - № 1. -С. 2111503.

121. Abakumova V. A. Hamiltonian BFV-BRST quantization for the systems with unfree gauge symmetry / V. A. Abakumova, S. L. Lyakhovich // AIP Conference Proceedings. - 2021. -Vol. 2377, is. 1. - P. 090001.

122. Abakumova V. A. Global conserved quantities and unfree gauge symmetry / V. A. Abakumova, S. L. Lyakhovich // Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei Letters. - 2022. - Vol. 19, № 5. - P. 451-453.

123. Batalin I. A. Generalized canonical quantization of nonstationary dynamical systems subject to constraints / I. A. Batalin, S. L. Lyakhovich // Symmetries and algebraic structures in physics. Pt. 1: Quantum field theory, quantum mechanics and quantum optics. Proceedings,

18th International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Moscow, USSR, June 4-9, 1990. - Nova Science. - 1991. - P. 57-63.

124. Dragon N. Quantization of restricted gravity / N. Dragon, M. Kreuzer // Zeitschrift fur Physik C: Particles and Fields. - 1988. - Vol. 41. - P. 485-488.

125. Alvarez E. Unimodular gravity with external sources / E. Alvarez, M. Herrero-Valea // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2013. - Vol. 01. - P. 014.

126. Batalin I. A. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories / I. A. Batalin, E. S. Fradkin // Physics Letters B. - 1983. - Vol. 122, is. 2. - P. 157-164.

127. Катанаев М. О. Лоренц-инвариантные вакуумные решения в общей теории относительности // Труды математического института им. В. А. Стеклова. - 2015. -Т. 290. - С. 149-153.

128. Karataeva I. Yu. Gauge symmetry of unimodular gravity in Hamiltonian formalism / I. Yu. Karataeva, S. L. Lyakhovich // Physical Review D. - 2022. - Vol. 105, is. 12. - P. 124006.

129. Francia D. Cubic interactions of Maxwell-like higher spins / D. Francia, G. L. Monaco, K. Mkrtchyan // Journal of High Energy Physics. - 2017. - Vol. 068. - P. 1704.

130. Fronsdal C. Massless fields with integer spin // Physical Review D. - 1978. - Vol. 18, is. 10. - P. 3624.

131. Jirousek P. Losing the trace to find dynamical Newton or Planck constants / P. Jirousek, K. Shimada, A. Vikman, M. Yamaguchi // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. -2021. - Vol. 04. - P. 028.

132. Elfimov B. M. Lie and Leibniz Algebras of Lower-Degree Conservation Laws / B. M. Elfimov, A. A. Sharapov // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2022. - Vol. 55, №. 6. - P. 065201.

133. Bekaert X. On geometric and duality for free higher spins / X. Bekaert, N. Boulanger // Physics Letters B. - 2003. - Vol. 561, is. 1-2. - P. 183-190.

134. Boulanger N. A note on spin-s duality / N. Boulanger, S. Cnockaert, M. Henneaux // Journal of High Energy Physics. - 2003. - Vol. 06. - P. 060.

135. Bekaert X. Tensor gauge fields in arbitrary representations of GL(D, R): Duality and Poincare lemma / X. Bekaert, N. Boulanger // Communications in Mathematical Physics -2004. - Vol. 245. - P. 27-67.

136. Campoleoni A. Unconstrained higher spins of mixed symmetry. I. Bose fields / A. Campoleoni, D. Francia, J. Mourad, A. Sagnotti // Nuclear Physics B. - 2009. - Vol. 815, is. 3. - P. 289-367.

137. Boulanger N. Higher spins from exotic dualisations / N. Boulanger, V. Lekeu // Journal of High Energy Physics. - 2021. - Vol. 03. - P. 171.

138. Boulanger N. Higher dualisations of linearised gravity and the A+++ algebra / N. Boulanger, P. Paul, J. A O'Connor, P. West // Journal of High Energy Physics. - 2022. - Vol. 12. - P. 152.

139. Ogievetskii V. I. The notoph and its possible interactions / V. I. Ogievetskii, I. V. Polubarinov // Soviet Journal of Nuclear Physics. - 1967. - Vol. 4, № 1. - P. 156161.

140. Batalin I. A. Operatorial quantization of dynamical systems subject to second class constraints / I. A. Batalin, E. S. Fradkin // Nuclear Physics B. - 1987. - Vol. 279, is. 3-4. -P. 514-528.

141. Egorian E. S. Quantization of dynamical systems with first and second class constraints / EE. S. Egorian, R. P. Manvelyan // Theoretical and Mathematical Physics. - 1993. - Vol. 94. -P. 173-181.

142. Batalin I. A. Existence theorem for the effective gauge algebra in the generalized canonical formalism with Abelian conversion of second class constraints / I. A. Batalin, I. V. Tyutin // International Journal of Modern Physics A. - 1991. - Vol. 6, № 18. - P. 3255-3282.

143. Batalin I. Non-Abelian conversion and quantization of non-scalar second-class constraints / I. Batalin, M. Grigoriev, S. Lyakhovich // Journal of Mathematical Physics. - 2005. - Vol. 46, is. 7. - P. 072301.

144. Abakumova V. A. Reducible Stueckelberg symmetry and dualities / V. A. Abakumova, S. L. Lyakhovich // Physics Letters B. - 2021. - Vol. 820. - P. 136552.

145. Abakumova V. A. Dualisation of free fields / V. A. Abakumova, S. L. Lyakhovich // Annals of Physics. - 2023. - Vol. 453. - P. 169322.

146. Абакумова В. А. Дуальные формулировки в теориях с приводимой симметрией Штюкельберга / В. А. Абакумова, С. Л. Ляхович // Учёные записки физического факультета Московского университета. - 2022. - № 4. - С. 2241506.

147. Abakumova V. A. Gauge symmetry of linearised Nordstrom gravity and the dual spin two field theory / V. A. Abakumova, D. Frolovsky, H.-C. Herbig, S. L. Lyakhovich // European Physical Journal C. - 2022. - Vol. 82, is. 9. - P. 780.

148. Абакумова В. А. Дуальная формулировка теории безмассового спина два / В. А. Абакумова, С. Л. Ляхович // Краткие сообщения по физике Физического института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук. - 2023. - Т. 50, № 3. - С. 48-52.

149. Lyakhovich S. L. BRST theory without Hamiltonian and Lagrangian / S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of High Energy Physics. - 2005. - Vol. 03. - P. 011.

150. Eisenbud D. The geometry of syzygies. A second course in algebraic geometry and commutative algebra // Graduate Text in Mathematics. - Springer-Verlag New York, 2005. -Vol. 229. - 260 p.

151. Henneaux M. Gauge invariance and degree of freedom count / M. Henneaux, C. Teitelboim, J. Zanelli // Nuclear Physics B. - 1990. - Vol. 332, is. 1. - P. 169-188.

152. Barnich G. Consistent couplings between fields with a gauge freedom and deformations of the master equation / G. Barnich, M. Henneaux // Physics Letters B. - 1993. - Vol. 311, is. 1-4. - P. 123-129.

153. Henneaux M. Consistent interactions between gauge fields: The Cohomological approach // Contemporary Mathematics - 1998. - Vol. 219. - P. 93-110.

154. Fierz M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W. Pauli // Proceedings of the Royal Society A. - 1939. - Vol. 173. - P. 211-232.

155. Lyakhovich S. L. Normal forms and gauge symmetries of local dynamics / S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of Mathematical Physics. - 2009. - Vol. 50, is. 8. - P. 083510.

156. Lyakhovich S. L. Gauge symmetries in 2D field theory / S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Journal of Geometry and Physics. - 2015. - Vol. 97. - P. 227-242.

157. Grayson D. R. Macaulay2, a software system for research in algebraic geometry /

D. R. Grayson, M. E. Stillman. - URL: http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/ (access date: 16.05.2023).

158. Takeno H. On the spintensor of Lanczos // Tensor. - 1964. - Vol. 15. - P. 103-119.

159. Jezierski J. Localizing energy in Fierz-Lanczos theory / J. Jezierski, J. Kijowski, M. Wiatr // Physical Review D. - 2020. - Vol. 102, is. 2. - P. 024015.

160. Gopal R. Lanczos potential of Weyl field: interpretations and applications // European Physical Journal C. - 2021. - Vol. 81, is. 2. - P. 194.

161. Edgar S. B. The Lanczos potential for Weyl candidate tensors exists only in four-dimensions / S. B. Edgar, A. Hoglund // General Relativity and Gravitation. - 2000. - Vol. 32. - P. 2307-2318.

162. Edgar S. B. A Local potential for the Weyl tensor in all dimensions / S. B. Edgar, J. M. M. Senovilla // Classical and Quantum Gravity. - 2004. - Vol. 21, № 22. - P. L133.

163. Berghoeff E. A. On higher derivatives in 3D gravity and higher spin gauge theories /

E. A. Berghoeff, O. Hohm, P. K. Townsend // Annals of Physics. - 2010. - Vol. 325, is. 5. - P. 1118-1134.

164. de Rham C. Resummation of massive gravity / C. de Rgam, G. Gabadadze, A. J. Tolley // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106, is. 23. - P. 231101.

165. Boulware D. G. Can gravity have a finite range? / D. G. Boulware, S. Deser // Physical Review D. - 1972. - Vol. 6, is. 12. - P. 3368-3382.

166. van Dam H. Massive and massless Yang-Mills and gravitational fields / H. van Dam, M. Veltman // Nuclear Physics B. - 1970. - Vol. 22, is. 2. - P. 397-411.

167. Zakharov I. V. Linearized gravitation theory and the graviton // JETP Letters. - 1970. -Vol. 12, is. 9. - P. 312-314.

168. Koiso N. A decomposition of the space M of Riemannian metrics on a manifold // Osaka Journal of Mathematics. - 1979. - Vol. 16, is. 2. - P. 423-429.

169. Besse A. L. Einstein Manifolds / A. L. Besse. - Springer-Verlag, 1987. - 510 p.

170. Cvitanovic P. Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups / P. Cvitanovic. -Princeton University Press, 2008. - 280 p.

Приложение А Подсчёт числа степеней свободы

Рассмотрим набор полей фг, подчиняющихся системе линейных уравнений,

Таг(д)фг = 0 , (A.1)

где элементы матрицы волнового оператора Таг(д) представляют собой полиномы по д. Так как классическая динамика полностью описывается данными полевыми уравнениями, структура полиномов Таг(д) содержит в себе всю необходимую информацию о рассматриваемой теории, включая число степеней свободы.

Система (A.1) предполагается инволютивно-замкнутой, то есть не допускающей дифференциальных следствий более низких порядков. Это предположение не ограничивает общности, как как любая неинволютивная система путём добавления всех её следствий более низких порядков может быть приведена к инволютивной форме. Так, например, уравнения Прока второго порядка для массивного поля спина 1 не инволютивны, так как имеют следствие первого порядка, представляющее собой условие трансверсальности, добавляя которое к уравнениям Прока, получаем инволютивно-замкнутую систему,

((□ - m2)nßv - д,ди)AV = 0 , ш2д^ = 0 ■ (A.2)

Подсчёт степеней свободы осуществляется исходя из инволютивной формы уравнений.

Каждое уравнение (A.1), помеченное индексом а, имеет порядок ta, под которым понимается максимальный порядок полиномов Таг для всех i,

ta = max{ord(ТагН . (A.3)

г

Например, инволютивное замыкание системы Прока (A.2) в четырёхмерном пространстве Минковского содержит четыре уравнения второго порядка и одно уравнение первого порядка.

Матрица волнового оператора Таг(д) может допускать левые и правые нуль-векторы,

ЬАа(д) Таг(д) = 0 , (A.4)

Таг(д)Яга(д) =0 , (A.5)

где L,R - полиномы по д. Предполагается, что ЬАа, R%a образуют порождающий набор для левого и правого ядра матрицы Таг (д). Соотношения (A.4) представляют собой калибровочные тождества между уравнениями (A.1) с генераторами тождеств L. Соотношения (A.5) соответствуют преобразованиям калибровочной симметрии с генераторами R,

5sфг = R^а(д) Eа} Таг(д) 5£фг = 0, ЧEa . (A.6)

Порядки тождеств Нётер и калибровочных симметрий подсчитываются следующим образом. Порядок a-ой компоненты тождества (A.4) определяется как сумма t(i (A.3) и порядка полинома La( (д). Полный порядок калибровочного тождества с генератором La определяется как

Ia = max На + ord^A^ } . (A.7)

а

Полный порядок калибровочной симметрии (A.6) представляет собой максимальный порядок полиномов Ra для всех i,

Га = max (ord^a)} . (A.8)

Так, например, в теории Прока имеется одно тождество третьего порядка,

дД(От2)^ - д,ди] + т2д,Л» = 0 , (А.9)

и система не обладает калибровочной симметрией.

Калибровочные тождества (А.4) и преобразования калибровочной симметрии (А.5) могут быть, в общем случае, приводимы, то есть существуют соотношения

Ьм л(д)ЬАа(д) = 0, (А.10)

Пга(д)Каа1 (д) = 0, (А.11)

которые, в свою очередь, могут допускать дальнейшую приводимость,

Ьлкь А^-1 (д)Ьлкь-1(д) = 0 , (А.12)

Как*-2«кя-1 (д)Яак*-\кя (д) = 0 , (А.13)

где кь = 2,... , ть, Л0 = Л, и кд = 2,... , тд, а0 = а. Полные порядки калибровочных тождеств и калибровочных симметрий к-й стадии приводимости определяются следующим образом:

1лк =шах{ 1лк-1 + сга(ЬлкАк-1)} , к =1,..., Ло = Л, (А.14)

Ак-1

гак =шах{так_ 1 + ога(Д"к-1 ак)} , к =1,..., ао = а. (А.15)

ак-1

Число степеней свободы для уравнений с приводимыми калибровочными симметриями и/или тождествами определяется формулой

n = £ - £(-1)к (X А + £ Так) . (А.16)

а к Ак ак

Здесь 1лк определяются выражениями (А.7) и (А.14), Л0 = Л, а так - выражениями (А.8) и (А.15), а0 = а.

Из соображений удобства, формула (А.16) для подсчёта числа степеней свободы может быть записана в форме [95]:

N = £п(гп - £(-1Г(С + С))

¡т + с)), (А.17)

где Ьп - количество уравнений порядка п, ¡Щ и тЩ - количество калибровочных тождеств и калибровочных симметрий полного порядка п и порядка приводимости т, соответственно. Порядок уравнения определяется максимальным порядком входящих в него производных. Под полным порядком калибровочного тождества нулевого порядка приводимости понимается сумма порядка генератора тождества и порядка уравнений. Полный порядок тождества порядка приводимости т определяется как сумма порядка генератора тождества и порядка тождества предыдущего порядка приводимости. Аналогично полный порядок калибровочной симметрии порядка приводимости т представляет собой сумму порядка генератора калибровочной симметрии, а также порядка калибровочной симметрии

предыдущего порядка приводимости. Например, для системы Прока (А.2), ¿2 = 4, ¿1 = 1,

0 3

¡0 = 1

N =1 ■ 1 + 2 ■ 4 - 3 ■ 1 = 6 , (А.18)

что даёт корректное число степеней свободы по счёту фазового пространства и соответствует трём степеням свободы по счёту конфигурационного пространства.

Покажем также, что уравнение (3.67) действительно представляет собой топологическую подсистему уравнений Прока в ^-мерном пространстве Минковского. Имеется одно уравнение первого порядка (¿1 = 1). Калибровочные параметры

преобразований (3.69), (3.71)-(3.72) представляют собой полностью антисимметричные

в!

тензоры с числом независимых компонент равным -г-—.-гг, где г - ранг тензора,

г!(а — г).

в - размерность пространства-времени. Таким образом, количество независимых калибровочных преобразований порядка п и порядка приводимости п — 1 составляет

1 в.

гП = (П+Ща—П—гу.' (А.19)

Применяя формулу (А.17) получаем, что система не имеет физических степеней свободы,

N =1 — У (—1)п-1~,-^-тгг = 0 . (А.20)

7 (п + 1)!(в — п — 1)!

Убедимся, на примере четырёхмерного пространства Минковского, что дуальные уравнения (3.82) действительно описывают массивный спин 1. Так как имеется четыре уравнения третьего порядка (3.82) (¿3 = 4), одно калибровочное тождество четвёртого порядка (3.85) (¡0 = 1), четыре калибровочных преобразования первого порядка нулевого порядка приводимости (3.83) (г0 = 4) и одно калибровочное преобразование второго порядка первого порядка приводимости (3.84) (г1 = 4),

N = 3 • 4 — 4 • 1 — 1 • 4 + 2 • 1 = 6 , (А.21)

что даёт корректное число степеней свободы для массивного спина 1 по счёту фазового пространства, см. (А.18).

Покажем теперь, что уравнения (3.99)-(3.100), обладающие полной калибровочной симметрией (3.106), (3.109), (3.111), образуют топологическую подсистему уравнений (3.98), описывающих массивный спин 2 в четырёхмерном пространстве Минковского. Число калибровочных симметрий для преобразований нулевого порядка приводимости определяется числом независимых компонент бесследового тензора четвёртого ранга с

(а — з)в(а + 1)(а + 2)

диаграммой Юнга типа «окно» -—-, для первого порядка приводимости

- числом независимых компонент бесследового тензора четвёртого ранга с диаграммой

(а + 2)в(а — 1)(а — з)

Юнга типа «крюк» -, для второго порядка приводимости - числом

8

независимых компонент полностью антисимметричного бесследового тензора третьего

а(а — 1)(а — 2) , т

ранга -, где а - размерность пространства-времени [170]. Таким образом,

6

¿1 = 4, г0 = 10, т'1 = 9, г2 = 4, и

N =1 • 4 — 2 • 10 + 4 • 9 — 5 • 4 = 0 . (А.22)

В случае дуальной формулировки для массивного спина 2 имеем девять уравнений четвёртого порядка (3.121), ¿4 = 9, четыре неприводимых тождества пятого порядка (3.125), ¡50 = 4, девять преобразований второго порядка нулевого порядка приводимости (3.123), г0 = 9, а также четыре преобразования третьего порядка первого порядка приводимости (3.124), г1 = 4. Таким образом,

N =4 • 9 — 5 • 4 — 2 • 9 + 3 • 4=10 , (А.23)

что даёт корректный результат для массивного представления спина 2 (пять степеней свободы по счёту конфигурационного пространства).

Рассмотрим теперь линеаризованную гравитацию Нордстрёма, определяемую уравнением второго порядка (3.137), ¿2 = 1. Калибровочные параметры определяются следовыми тензорами с симметрией типа «крюк», так что количество преобразований

калибровочной симметрии (3.152), (3.156), (3.159) совпадает с числом независимых компонент соответствующих тензоров. Например, в случае четырёхмерного пространства-времени (й = 4), имеется 20 преобразований симметрии первого порядка нулевого порядка приводимости, т10 = 20, 15 преобразований второго порядка первого порядка приводимости, т1 = 15, а также 4 преобразования третьего порядка второго порядка приводимости, т2 = 4. Таким образом, применяя формулу (А.17), получаем корректное число степеней свободы,

N =2 - 1 ■ 20 + 2 ■ 15 - 3 ■ 4 = 0 . (А.24)

В случае пространства произвольной размерности й, число преобразований калибровочной симметрии порядка п и порядка приводимости п - 1 соответствует числу независимых компонент следового тензора с симметрией типа «крюк» с п + 2 индексами, то есть

тп-1 = (П +1)(й + 1)! (А 25)

'п (п + 2)!(й - п - 1)! , 1 ;

где п = 1,. . . , й - 1. Формула (А.17) имеет вид

N =2 - £(-1)п, п(п + 1)(й +1)' , = 0 . (А.26)

^ 7 (п + 2)!(й - п - 1)! 1 7

п=1 ч / ч /

Таким образом, линеаризованное уравнение Нордстрёма действительно представляет собой топологическую подсистему уравнений Эйнштейна.

Для дуальной формулировки теории безмассового спина 2 (3.176), формула (А.17) даёт корректное число степеней свободы по счёту фазового пространства, N = й2 - 3й. В частности, в случае четырёхмерного пространства-времени (й = 4), ¿3 = 9, ¡° = 4, т° = 15, т1 = 4 (см. (3.176), (3.179), а также (3.177)-(3.178)), и

N =3 ■ 9 - 4 ■ 4 - 1 ■ 15 + 2 ■ 4 = 4 , (А.27)

что соответствует двум степеням свободы по счёту конфигурационного пространства.