Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Асташова, Ирина Викторовна

• Асташова, Ирина Викторовна
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Асташова, Ирина Викторовна

Введение

Общая характеристика работы.

Обозначения.

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы

Основные результаты Главы б

Основные результаты Главы

1 Равномерные оценки положительных решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Оценки для решений уравнений (5) и (6)

1.2 Представление линейного дифференциального оператора в виде оператора квазипроизводной.

1.3 Оценки решений уравнения (1)

2 Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств

2.1 Оценки для решений неравенства (7).

2.2 Оценки для решений неравенств (8)—(11).

3 Критерий колеблемости всех решений квазилинейных дифференциальных уравнений

4 Асимптотическое поведение знакопостоянных решений нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка

4.1 Существование при п ^ 2 решений, имеющих вертикальную асимптоту, со степенной асимптотикой.

4.2 Кнезеровские решения при п ^ 2.

4.3 Решения с вертикальной асимптотой при п = 3 и п = 4.

4.4 Кнезеровские решения при п = 3 и п = 4.

4.5 Поведение знакопостоянных решений при убывании аргумента.

5 Знакопеременные решения

5.1 Существование колеблющихся решений для любого п > 2.

5.2 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 3-го порядка при возрастании аргумента.

5.3 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнения 3-го порядка при убывании аргумента.

5.4 Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 4-го порядка при yyw > 0.

5.5 Асимптотическое поведение решений уравнений 4-го порядка при yylv ^ 0.

6 Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков

6.1 Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков в случае регулярной нелинейности

6.2 О существовании решения с заданной областью определения уравнения третьего порядка.

6.3 Случай сингулярной нелинейности (0 < к < 1).

7 Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера

7.1 Фазовое пространство

7.2 Динамическая система на фазовом пространстве для постоянной р(х).

7.3 Случай щ = ±г. Замкнутые траектории.

7.4 Случай комплексных ро

7.5 Случай непостоянной р(х).

7.6 Оценки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка.

Исследуются следующие дифференциальные уравнения: уМ(х) =р {х,у(х),у'{х),. .,у(п-х\х)) \у(х)\к^у{х), (2)

П— 1

1)

У{п) = Ро\у{х)\к~1у{х)

3) у^+р(х) \у\к~1у = О,

4) М* = 0, (5) к = О (6) и неравенства: х)Тх(--Тх{Г1{х)1Ых)у))---) ы к

7)

71-1 уЫ+ V® > Р*\у\к 1 (8)

7=0

71—1 71-1

У{п)+ >(Ю)

7=0 п-1

3=о

Уравнения (1) - (6) являются обобщениями хорошо известного уравнения Эмдена - Фаулера у" + х" Ы^у = 0, (12) которое впервые появилось в работе Р. Эмдена [78] в начале XX века в связи с изучением политропной (степенной) модели газа, которая, в частности, описывает равновесные конфигурации звезд, подчиняющиеся политропному уравнению состояния [9]. При этом уравнение (12) получалось заменой переменных из уравнения в котором переменная £ обозначает величину, пропорциональную расстоянию от центра звезды, а функция (9(£))к — величину, пропорциональную плотности звезды.

Подобные уравнения встречаются также в теории физики плазмы, газовой динамике и при описании поперечников Колмогорова (см., например, [5]).

Асимптотические свойства решений уравнения (12) при различных значениях а и к подробно изучены в монографиях Р. Беллмана

2], Дж. Сансоне [53] и Ф. Хартмана [54]. В эти монографиях описываются также асимптотические свойства решений уравнения (4) при п = 2.

Для уравнений более общего вида (4) при п > 2 и (2) вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостью, оценки продолжаемых и непродолжаемых решений изучались в работах И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33], В. А. Кондратьева [43], Н. А. Изобова [10], В. А. Рабцевича [11], В. А. Козлова [90], А. А. Конькова [44], [45],

A. Д. Мышкиса [50] и др. Результаты, полученные до 1990 года, и подробная библиография содержатся в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [16]. В этой работе описано также асимптотическое поведение всех возможных решений этого уравнения при п = 2. В частности, И. Т. Кигурадзе доказано, что для уравнения (2) существует решение с любой наперед заданной вертикальной асимптотой, а при п = 2 доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику. В той же работе была выдвинута гипотеза (задача 16.4): доказать, что при п > 2 все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику.

Полная асимптотическая классификация решений уравнения (4) при п — 2 и р(х) < 0 была получена В. А. Кондратьевым и

B. А. Никишкиным [42].

Следует отметить также монографию А. Д. Брюно [3], в которой разработаны алгоритмы локального и асимптотического анализа решений дифференциальных уравнений.

В качественной теории дифференциальных уравнений наряду с задачами об описании асимптотического поведения решений данного уравнения, представляют интерес задачи об оценках решений. Так, в работе В. А. Кондратьева [41] получены интегральные оценки решений полулинейных эллиптических уравнений. В [15] приводятся оценки решений уравнения (4), обладающих некоторыми общими свойствами, например, решений, имеющих вертикальную асимптоту.

Получение оценок решений с общей областью определения интересно не только с точки зрения получения качественных характеристик решения, но и в связи с тем, что они дают возможность доказать отсутствие глобально определенных нетривиальных решений. В монографии Э. Митидиери, С. И. Похожаева [49] получены, в частности, условия отсутствия глобальных решений дифференциального неравенства у^ ^ Яо\у\к , к > 1, qo = const.

В [55] аналогичный результат доказан для неравенства у^ ^

Qi(t)\y\kl +q2{t)\y\k2 Н-----\-Qm{t)\y\кт- В [44] получены априорные оценки уравнения (4) с нелинейностью более общего вида.

Проблема существования неколеблющихся решений и колеблемости всех решений дифференциального уравнения - одна из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Она была подробно изучена для уравнения (1) в случае qj(x) = О, j = 0,., п — 1. Для п — 2 F. Atkinson [70] доказал следующий критерий колеблемости всех решений.

Теорема (F. Atkinson).Пусть f(x) непрерывная и положительная при х ^ 0 функция. Пусть к целое число, большее 1. Тогда все решения уравнения y" + f(x)y2k~l=0 являются колеблющимися тогда и только тогда,когда оо

J х f(x) dx = оо. о

Заметим, что в линейном случае последнее условие является необходимым, но не достаточным. Свойства колеблемости решений линейных уравнений исследовались в работах Т. А. Чантурия [60, 65, 67], В. А. Кондратьева [38, 39], D. L. Lovelady [93, 94], и

И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [33] (глава I), где содержится подробная библиография вопроса.

Для нелинейных уравнений второго порядка более общего вида

У"+рШ(у) = 0 и у" + д(х,у) = О, теоремы, подобные теореме F. Atkinson, были получены в работах S. A. Belohorec [71], И. Т. Кигурадзе [18], J. W. Masci and J. S. W. Wong [96], [101], [103, 104].

Для нелинейных уравнений 3-го и 4-го порядка вопросы колеблемости исследовали И. В. Асташова [110, 122], В. А. Кондратьев и В. С. Самовол [43], Т. Kusano и М. Naito [91], D. L. Lovelady [95], V. R. Taylor, Jr. [99], P. Waltman [102].

Результат F. Atkinson был обобщен на уравнения высокого порядка

У{п) +p{x)\y(x)\ksgny = О

И. Т. Кигурадзе [21], см. также [33] (глава IV).

Уравнения вида (1) с некоторыми из коэффициентов qj{x) ^ О были изучены в [81, 29, 91, 93, 95, 99, 102], при этом некоторые из приведенных работ содержали нелинейности более общего вида.

Основной целью данной работы является

• для уравнений (1), (5) и (6) получение равномерных оценок положительных решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов уравнения и не зависящих от самих коэффициентов;

• получение критерия колеблемости всех решений уравнений (1) и (5);

• для квазилинейных неравенств (8)—(11) получение равномерных оценок модулей решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов неравенств и не зависящих от самих коэффициентов;

• для уравнения (2) произвольного порядка доказательство существования решения с вертикальной асимптотой, имеющего степенную асимптотику, а для уравнений четного порядка — кнезеровских решений, имеющих степенную асимптотику; для уравнений третьего и четвертого порядков доказательство того, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (гипотеза И. Т. Кигурадзе), а для уравнений четвертого порядка — что все кнезеровские решения имеют степенную асимптотику;

• для уравнения (4) третьего и уравнения (3) третьего и четвертого порядков получение асимптотической классификации всех решений в случаях регулярных и сингулярных нелинейностей;

• исследование асимптотического поведения решений и получение равномерных оценок модуля и аргумента решений нелинейного одномерного уравнения Шредингера.

В работе используются следующие методы получения результатов. Для получения равномерных оценок решений уравнения (1) в главе 1, неравенства (8) в главе 2 и доказательства критерия колеблемости всех решений уравнения (1) в главе 3 используется представление оператора в виде оператора квазипроизводной.

В работах G. Polya [97], Ch. I. de la Vallée-Poussin [100], A. Левина [48] приводятся некоторые достаточные условия такого представления линейных дифференциальных операторов, но для получения результатов данной работы требуется, чтобы данное представление имело коэффициенты, обладающие специальными свойствами. В главе 2 данной работы потребовалось доказать существование такого оператора квазипроизводной, коэффициенты которого на отрезке имеют соответствующие оценки. В главе 3 данной работы коэффициенты квазилинейного оператора строятся таким образом, что их пределы при х —► +оо равны 1, что используется в доказательстве теоремы 3. (см.также [124]). Для доказательства основных результатов глав 4-7 в работе применяется замена переменных, позволяющая свести исходное уравнение гг-го порядка к динамической системе на (п — 1)-мерной компактной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере дает возможность исследовать асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения.

Обозначения

В работе используются следующие обозначения. Верхний индекс в квадратных скобках Ц] обозначает оператор квазипроизводной: где г^х) — достаточно гладкие положительные функции. Таким образом,

УЩ{х) = г0(х)у(х), а при j > 0 имеем уЩх) = ф) (у[1~1])'(х) .

В выражениях, содержащих оценки коэффициентов rj(x), используются обозначения з т{ = : х Е [а,6]|,

1=1 з

М\ = Цвир |гч(я) : х в М]

1=1

Таким образом,

О < mj ^ М/, pi ^ 1.

Для заданного на отрезке [а, 6] линейного дифференциального оператора

3=о положим

Г fb-a\degL~j

Ql = sup < | qj(x)| • ( —— ) '■ x € la> 0 ^ j < degL

Будем также использовать обозначения а = ^ (15) и

Ynk — 2 (16)

Основные результаты Главы 1

В главе 1 рассматривается дифференциальное уравнение (1): п-1 г=0 где п ^ 1, к > 1, а р(х) и — непрерывные функции, причем \р{х)\ ^ р* > 0, а также его частные случаи (соответственно, (5) и (6)) у[п] + \vtly = О, уН \y\k-ly = О, где верхний индекс в квадратных скобках [7] обозначает оператор 7-й квазипроизводной: с достаточно гладкими положительными функциями г^(х).

Получены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и не зависящие от самих коэффициентов. Доказаны следующие теоремы.

Теорема (1.1). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (5) или (б). Тогда для всех х £ (а, Ъ) справедлива оценка у{х) ^ С\ • 61 п к-1 где

1 I ■ Ф+^+тг^) г=О

Л • / ь Ъ'а

01 = тш < х — а, о — х, 3

Следствие (1.1.1). Пусть функции г^(х), ] = 0,.,п, определены на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам

О < 772* < Г^(х), у = 0, . ,71 — 1,

Гу(х) < М* < +оо, у = 0,. ,п.

Тогда не существует заданных на всей прямой отличных от нуля знакопостоянных решений уравнений (5) и (6).

Теорема (1.2). Для любого заданного на отрезке [а, 5] положительного решения у(х) уравнения (5) справедлива оценка п у(х) ^ С2 • (х - а) хе (а, 6],

Сг = (3- v:k MS)*I ( 0 • E V*г=0 г=0

Следствие (1.2.1). Для любого заданного на, отрезке [а, Ь\ положительного решения у(х) уравнения (б) с нечетным п справедлива оценка п у(х) х Е [а, 6), где константа С2 та же, что и в теореме 1.2.

Следствие (1.2.2). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (5) с четным п справедлива оценка п п у{х) < 2 • С2 • [Ь — о) для всех х Е [а, 6], где константа Ci та же, что и в теореме 1.2.

Пример. Заметим, что при нечетных п равномерная оценка общей константой для положительных решений уравнения (5), вообще говоря, невозможна. Пусть е > 0. Тогда заданные на [0,1] функции п у£(х) = (х + е) являются при нечетном п положительными решениями уравнения nG' + jfcTi)"1 • + Ы^у = 0.

При ЭТОМ у£(0) —iу +00 при £ —> 0.

Следствие (1.2.3). Пусть функции гj(x), j = 0,., п, определены на неограниченном слева интервале и удовлетворяют на нем неравенствам из следствия 1.1.1. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5).

Пример. Заметим, что условие г3(х) < М* < +ос является существенным. Уравнение

I I & I ^г» | 1 I к н!-+ = п\ которое является частным случаем уравнения (5), не удовлетворяющим этому условию, допускает определенное на неограниченном слева интервале (—сю, —1) положительное решение у(х) = 1 + 1/ж.

Следствие (1.2.4). Пусть функции у — 0,., п, удовлетворяют неравенствам из следствия 1.1.1 на неограниченном справа интервале. Тогда на этом интервале не существует отличных от нуля знакопостоянных решений уравнения (5) с четным п и уравнения (6) с нечетным п.

Пример. Заметим, что вместе с тем на неограниченном справа интервале могут существовать отличные от нуля знакопостоянные решения уравнения (5) с нечетным и уравнения (6) с четным п. Так, уравнение

П-1 / ч -1

Пи + ггт) ■ *(п) + (-1Г1 • = имеет положительное решение у(х) = определенное на неограниченном справа интервале (0, оо).

Приведем результаты об оценках решений уравнения (1).

Теорема (1.4). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, 6] положительное решение уравнения (1), в котором р(х)\>р* И j = 0,. ,п — 1, при некоторых р* > 0 и $ > 0.

Тогда для всех х £ (а, Ь) справедлива оценка у{х) < Съ • 53 к-1 -Е2 [ 7 Ь - а 2~п2-п+1 дз = тш < ж-а, Ь-х, —-, ———

Теорема (1.5). Пусть у(х) — заданное на отрезке [а, Ь] положительное решение уравнения (1), в котором при некоторых р* > 0 и > 0.

Тогда для всех х Е (а, Ь] справедлива оценка у(х) ^ С4 • где

С4 = 16 А . ^ 2г(Н1+й) , g Р* / Л • л х ' г=0 г=0

4 = тт < х — а,

2-п2-гг+1 Я

Следствие (1.5.1). Для любого заданного на отрезке [а, Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с нечетным п при р(х) < —р* < 0 и справедлива оценка п у{х) ^ С±-8Ъ к~\ хе [а, Ь)} где

Ь-х, --а константа С\ та же, что и в теореме 1.5.

16

Следствие (1.5.2). Для любого заданного на отрезке [а:Ь] положительного решения у(х) уравнения (1) с четным п при р(х) ^ р* > 0 и а константа С\ та же, что и в теореме 1.5.

Пример. Так как оценки в теоремах 1.4 и 1.5 используют ограниченные сверху и ¿>4, получить для уравнения (1) следствия, аналогичные следствиям 1.1.1, 1.2.3 и 1.2.4 для уравнений (5) и (6), нельзя. Наоборот, можно привести примеры уравнений типа (1) произвольного порядка со сколь угодно малыми qj(x), имеющих положительные решения с неограниченной областью определения. Так, уравнения у^ — е2у + уъ = 0 и у^ + е2у — у3 = 0 имеют определенное на всей числовой прямой положительное решение у{х) = е.

Основные результаты Главы 2

В главе 2 рассматривается дифференциальное неравенство (8):

Эя-'} = 0,., п — 1, справедлива оценка где п-1 к где а^х) — непрерывные функции, а также его частный случай (7): гп[х)тх {■■■£{п{х)£(го{х) у))■•■) Ы к где все Vj(x) — достаточно гладкие положительные функции. Получены равномерные оценки модулей решений, имеющих общую область определения.

Теорема (2.1). Для любого заданного на отрезке [a,b] решения у(х) неравенства (7) справедлива оценка у(х)\ ^ Ci • min{:r -a,b- x}~n/{-k~l\ x G (a, b), где

Ci — Ci ( n, k, inf гДж), sup гДж) ), причем inf Vj(x) берется по всем x G [a, 6] и j = 0,., п — 1, а sup rj(x) — по всем x G [a, 6] я j = 0,., п.

Следствие (2.1.1). Пусть функции Tj(x), j = 0,. заданы на всей прямой и удовлетворяют на ней неравенствам О < m* < rj(x) < M* < +00. Тогда не существует заданных на всей прямой нетривиальных решений неравенства (7).

Теорема (2.2). Для любых k > 1, р* > О, Q > 0, n ^ 1 существуют такие Ö > 0 и С2 > 0, что для любых непрерывных функций ciq(x), ., ani(x), заданных на произвольном отрезке [a, Ь] и удовлетворяющих условию sup{ |а,(:r)|1/(n~j) :а:€ [0,6], j = 0,., n - 1 } ^ Q , и любого заданного на [а, Ь] решения неравенства (8) справедлива оценка у(х)\ ^ Ci min {(5, x — g, b — x J-™/^-1) 5 x G (a, 6).

Так как любое решение неравенства (9) — это взятое с обратным знаком некоторое решение неравенства (8) и наоборот, имеет место аналогичное утверждение и для неравенства (9) (следствие 2.2.1).

Замечание 1. Отметим, что для теоремы 2.2 не существует следствия, аналогичного следствию 2.1.1. В качестве контрпримера приведем неравенство у^ +еу ^ \у\к, которое имеет определенное на всей прямой решение у(х) =

Замечание 2. Для неравенств (10) и (11): п-1

V{i) ^ Р* lfl*> 0 п-1 у*"'+ £>(*) y{i)>-p, \у\к i=0 при тех же условиях на а^ж), п и А; не существует оценок, аналогичных оценкам, приведенным для неравенств (8) и (9).

Основные результаты Главы 3

В главе 3 исследуется уравнение (1), коэффициенты qj(x) которого таковы, что сходятся интегралы оо

J хп^-г\ф)\ dx, j = 0,., п — 1. х

В этом случае для функции р(х) получены достаточные условия, при которых уравнение (1) имеет неколеблющееся решение с ненулевым пределом при х —> +оо. При р(х) > 0 доказано, что эти условия являются необходимыми. Для четных п этот результат имеет следствие, являющееся обобщением критерия F. Atkinson колеблемости всех решений уравнения (1).

Теорема (3.1). Пусть в уравнении (1) функции р(х) и qj(x), j=0,l,.,n — 1, удовлетворяют условиям оо оо, (17) оо хп~:>-1\д0(х)\(1х < оо. (18)

Тогда для любого к ^ О уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое при х —> оо стремится к к, а его производные удовлетворяют условиям оо

3-1 X у^\х) ¿х < оо, 7 = 1 ,.,71. (19) ж

Теорема (3.3). Пусть в уравнении (1) функция р(х) положительна, а функции ([¡(х), ] = 0,. — 1, удовлетворяют условиям (18).

Тогда следующие условия равносильны: ([) функция р(х) удовлетворяет неравенству (17), (И) уравнение (1) имеет определенное в некоторой окрестности +оо неколеблющееся решение у(х), которое при х —> оо не стремится к нулю.

Следствие (Критерий колеблемости). Пусть в уравнении (1) четного порядка п функцияр(х) положительна, а функции ^-(сс), 3 = 0,., 71 — 1, удовлетворяют условиям (18). Тогда следующие условия равносильны:

0) оо оо, X и) все решения уравнения (1), определенные в окрестности +оо, являются колеблющимися.

Основные результаты Главы 4

В главе 4 исследуются асимптотические свойства знакопостоянных решений уравнения (2). Для произвольного п ^ 2 и к > 1 доказывается существование решений уравнения с вертикальной асимптотой, имеющих степенную асимптотику. При 2 ^ п ^ 13 доказывается существование (п — 1)-параметрического семейства таких решений. В случае четного п доказывается существование однопараметрического семейства кнезеровских решений, стремящихся к нулю на бесконечности, имеющих степенную асимптотику. При п = 3,4и/с>1 доказывается, что все решения, имеющие вертикальную асимптоту, имеют степенную асимптотику, а при п = 4 — что степенную асимптотику имеют и все кнезеровские решения.

Рассматривается уравнение (2), в котором к > 0, а непрерывная положительная функция 2/о,2/1, • • • >2/71-1) удовлетворяет условию Липшица по 2/о, 2/1 > • • •> Уп-ь

В этом разделе предполагается, что непрерывная положительная функция р(х, ■ • •, Уп-1) в уравнении (2) имеет предел ро > 0 при х —» х* — 0, уо —» оо, ., Уп-1 оо, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение

РО, 2/о, • • -, 2/71-1) -ро = 0 п—1 V

7=0

-т

20)

Кроме того, в окрестности точки х* для достаточно больших Уо, • • •; Уп-1-, -^о, ■ • •> ^п-1 предполагается выполненным соотношение р(х, 2/о, , Уп-1) - рО, 20, • • •, 2п1) К\ шах з

1»Г" для некоторых > 0 и ¡л > 0.

В случае, когда р = = const > 0, то есть когда уравнение (2) принимает вид (3), непосредственными вычислениями проверяется, что функция у(х) = С(х* — х)"а, х < х*, является его решением при п „. /а(ck + 1). (а + п — 1)\ ^ 1 а С к - Г \ ро

Доказывается, что уравнение (2) имеет решение вида у(х) = С(х* - (1 + о(1)), х -> ж* - О,

22)

23) где константы а и С задаются формулами (22).

Доказыватся также, что при 3 ^ п ^ 13 существует (п — ^-параметрическое семейство решений уравнения (2) с такой асимптотикой.

Далее рассматривается уравнение (2) при четных значениях п. Предполагается, что функция р(х, ?/о, • • • ,уп-1) непрерывна и стремится к пределу ро = const > 0 при х —> оо, у q —> О,., уп-\ —> 0, причем для некоторого 7 > 0 выполнено соотношение р{х, 2/0, • • • ,2/n-i) = О п-1 Ж

-7 V

3=0 7

24)

Кроме того, при ж —► оо, j/o —► 0, ., уп-1 —> 0, ^о —> 0, . —> 0 предполагается выполненным соотношение р(х, 2/0) • • ■, Уп-i) - z0, ., ^n-l) max j для некоторых К2 > 0 и ¡i > 0.

Уравнение (3) при четных значениях п имеет решение у(х) = С{х - х*)~а, х > х*, (26) где константы а и С определяются формулами (22). Это решение определено на интервале (ж*, сю) и стремится к нулю вместе со всеми своими производными при х —> сю.

Доказывается, что существует однопарараметрическое семейство решений уравнения (2) с асимптотикой у(х) = СаГа(1 + о(1)), х-^оо, (27) где константы а и С определяются формулами (22).

Теорема (4.1). Пусть в уравнении (2) непрерывная положительная функция р(х, уо, ■ • •, уп-1) имеет при х —> х* — О, Уо —> оо, ., уп-1 —»■ сю предел ро = const > 0, причем выполняются условия (20), (21). Тогда для такого х* существует решение уравнения (2) с асимптотикой (23)-(22).

Теорема (4.2). Пусть 3 ^ п ^ 13, а непрерывная функция р(х, Уо, ., Уп-1) при X х* - 0, Уо оо, ., Уп-1 оо имеет предел ро > 0, удовлетворяющий условиям (20), (21). Тогда существует (п — 1)-параметрическое семейство решений уравнения (2), имеющих асимптотику (23)-(22).

Ненулевое решение у(х) уравнения (2), определенное на интервале [яд, оо) будем называть кнезеровским, если оно удовлетворяет условиям

-1)У0(ж) > 0, г = 0,., п — 1.

Теорема (4.3). Если при х —> оо, г/о —> 0, ., уп-1 —»■ 0 непрерывная положительная функция р(х, уо, . ,yn-i) стремится к пределу pq > 0, причем выполняются условия (24) и (25), то уравнение (2) при четном п имеет кнезеровское решение с асимптотикой (27), где константы а и С определяются формулами (22).

Для п = 3 и п = 4 при некоторых предположениях на функцию р(х, уо,., уп-\) доказывается, что описанное выше асимптотическое поведение кнезеровских решений и решений с вертикальной асимптотой является для них единственно возможным.

Теорема (4.5). Пусть в уравнении (2) п = 3 или п = 4, а положительная непрерывная функция р(х, ., уп-\) удовлетворяет условию Липшица по уо,., уп~\ и имеет предел ро > 0 при х —> х* — 0, уо —> оо, ., уп-1 —> оо. Тогда любое положительное решение уравнения (2) с вертикальной асимптотой х = х* имеет асимптотику (23) с константами а и С, заданными формулами (22).

Описаны все возможные случаи поведения знакопостоянных решений уравнения (2) при выполнении условия о < Ршт < р(х, 2/0, - - - , Уп~\) ^ Ртах < +00. (28)

Теорема (4.6). Все решения уравнения (2), знакопостоянные, начиная с некоторого момента, имеют вертикальную асимптоту, либо стремятся к нулю вместе со всеми своими производными до порядка п. Второй случай может иметь место только для четныхп, при этом функции у^\х), 3 = 1,., п — 1 на всей области определения имеют тот же знак, что и у(х), если j четно, и противоположный, если з нечетно.

Теорема (4.7). Пусть в уравнении (3) п = 4. Тогда все кнезеровские решения уравнения (3) имеют вид у(х) = С(х — х*)~а, х>х*, где С и а определяются формулами (22), а х* — произвольная константа (играющая роль параметра в однопараметри-ческом семействе кнезеровских решений).

Теорема (4.8). Пусть в уравнении (2) п = 4, а положительная непрерывная функцияр(х, уо, 2/1, г/25 Уз) удовлетворяет по 2/0» 2/1 ? 2/2,2/3 условию Липшица. Тогда существует кнезеров-ское решение уравнения (2).

Теорема (4.9). Пусть п = 4, а функция ;£>(£, 2/о> Уъ 2/2, Уз) удовлетворяет условиям теоремы 4-8 и условию (28). Кроме того, пусть при х —>• +оо; уо —> 0; • • •; Уз —* 0 существует предел функции р(х, уо?2/1? 2/2,Уз)> равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у{х) = Сх~а (1 + о(1)), х —> -f-oo, где С и а определяются формулами (22).

Далее рассматривается поведение решений уравнения (2) при убывании аргумента х.

При четных п замена независимой переменной х' — — х переводит уравнение (2) в уравнение того же типа, поэтому справедливы результаты, которые были получены выше для поведения решений при возрастании х.

Теорема (4.10). При п = 4 в предположении, что непрерывная положительная функция р(х, уо, Уъ • • • > Уп-i) имеет положительный предел р$ > 0 при х х* + 0, (—1 )гу^ —» +оо, г' = 0,1,.,п — I, и удовлетворяет условию Липшица по г/о, 2/ъ 2/2; 2/3; любое положительное решение уравнения (2), заданное на интервале и имеющее вертикальную асимптоту

00 ОС *, удовлетворяет соотношению у{х) = С(х - гс*)-а(1 + о( 1)), х х* + 0, где С и а определены в (22).

Заметим, что при нечетных п у уравнения (2) с непрерывной положительной функцией р(.г, уо, ., уп-г) нет решений, имеющих вертикальную асимптоту и определенных справа от нее.

Перейдем к кнезеровским решениям уравнения (2). Среди решений, определенных на интервале (—оо,жо], кнезеровскими естественно назвать положительные решения, все производные которых до порядка п включительно также положительны.

Теорема (4.11). При п = 3 или п = 4 все кнезеровские (при убывании аргумента) решения уравнения (3) имеют вид у(х) = С(х* — х < где С и а определяются формулами (22).

Теорема (4.12). Пусть п = 3 или п = 4, а р(х, уо,., уп-\) — непрерывная положительная функция, удовлетворяющая условию Липшица по уо, уп-\. Тогда существует кнезе-ровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2).

Теорема (4.13). Пусть п — 3 или п = 4. Кроме того, пусть функция р(х, у о,. ,уп-1) удовлетворяет условиям теоремы выполняется условие (28) и существует предел функции р{х,у0,. .,уп-\) при х -оо, уо -> 0, .уп 1 О, равный ро > 0. Тогда любое кнезеровское (при убывании аргумента) решение уравнения (2) стремится к нулю с асимптотикой у(х) = С \х\~а , х —> —оо, где константы С и а определены в (22).

Основные результаты Главы 5

В этой главе доказано существование колеблющихся решений для любого п > 2 и исследуется асимптотическое поведение колеблющихся решений уравнения (2) при п — 3,4. Решение будем называть колеблющимся если оно имеет бесконечную последовательность нулей (ограниченную или неограниченную).

Теорема (5.1). При п > 2 уравнение (2), в котором непрерывная функция р(х, уд> • • • > Уп-\) удовлетворяет условию (28) и условию Липшица по .уп 1} имеет знакопеременные решения.

Для случая п = 3, для уравнения (3) имеют место следующие резльтаты.

Пусть х\ < Х2 < ••• < XI < . — такая последовательность точек, что у(хг) = 0, г = 1, 2,., и у(х) ф 0 при х Е (х^, х^+х), а х^ < х'2 < • • • < х- < . — такая последовательность, что у'(х[) = 0, а на интервалах (х^, х^+1), г = 1,2,., функция у(х) монотонна.

Теорема (5.2). Лр-гг п — 3 существует такая константа В Е (0, 1), зависящая только отр$ и к, что любое знакопеременное решение у(х) уравнения (3) удовлетворяет условиям:

1) ^ ^ = В~\ г = 2, 3,., (29)

2) = ¿ = 1,2, 3,., (30) г/№)

4) |у(^)| = М(®;-х.)"а. ¿ = 1.2, з,. (32) для- некоторых М > 0 и х*; причем константа М зависит только от ро и то.

Теорема (5.3). Пусть функция р(х,уо,у1,у2) > 0 является непрерывной, удовлетворяет условию Липшица по У0,У\,У2 и равномерно по уо, У\,У2 стремится кро > 0 при х —» оо. Пусть кроме того у(х) — колеблющееся решение уравнения (2), а х\ < Х2 < . и х[ < х'2 <. — введенные выше последовательности точек обращения в нуль решения и точек локального экстремума решения. Пусть В Е (0,1) — константа, существование которой утверждается в теореме 5.2. Тогда при г —> оо справедливы соотношения:

1) > В, 2) хг+2 ~ хг+1 У\хг) з) - -Ва+\ 4) \У(ХГ)\ = (^Г+°(1)

У Vхi)

Под знакопеременными решениями уравнения (2) при убывании аргумента будем понимать решения этого уравнения, определенные на интервале (ж*,жо), гДе ^ х* < ^о ^ и не являющиеся знакопостоянными ни на каком интервале вида (ее*, xi), где ж* < CCi < Жо

Теорема (5.4). Пусть непрерывная функция р(х, уо, г/i, ?/г) удовлетворяет условию Липшица по переменным уо, у\, у2-Кроме того, пусть р{х,уо,у\,у2) —► Ро > 0 пРи х х* + О равномерно по уо, у\, У2

Тогда для п = 3 существует такая постоянная В Е (0,1), что любое знакопеременное решение уравнения (2), определенное на интервале (x*,xq), —оо ^ х* < xq < оо, удовлетворяет условиям

--> г -» оо,

З^г хг+1 v Щ;г~ва+Х>

4) у{х'г) = \х, - х[\'а+^\ i-oo, где х\ > Х2 > . > Х{ > . и х[ > х'2 > . > х\ > . — такие последовательности, что у(х{) = 0, у(х) -ф О при < х < Х{, у'(х\) = О у'(х) Ф О пРи х]+1 < х < х\.

Теорема (5.5). Пусть п = 4. Тогда для любого знакопеременного решения у(х) уравнения (3) найдутся такие положительные постоянные Лтщ и Атах, что расстояние между двумя соседними точками, где решение у(х) обращается в нуль, больше, чем Ат1П и меньше, чем Атах

Теорема (5.6). Для любого Н > 0 существует периодическое решение уравнения (3) с п = 4, все локальные экстремумы которого равны по модулю к.

Заметим, что для каждого Н > 0 такое периодическое решение единственно с точностью до сдвига вдоль оси ОХ.

Теорема (5.7). Пусть у{х) — знакопеременное при возрастании аргумента, максимально продолженное вправо решение уравнения (3) при п = 4. Пусть х\ < х2 < . < < . — последовательность точек обращения в ноль знакопеременного решения у{х), такая что у(х{) = О, г = 1, 2,. и у(х) ф О при X £ (Хг, Хг+1), I — 1, 2, . . а х[ < х'2 < . ■ . < х\ < . . . — ПОследовательность локальных экстремумов знакопеременного решения у(х), такая что у'(х[) = 0 и у(х) монотонна при х £ (х{, Х{+\), г = 1,2,.

Тогда существуют конечные, отличные от нуля пределы последовательностей (х{+1 — Х{), \у(х[)\, \у'(х^\, \у"{х'^\ и \у"'(х^\, а последовательности у"(хг) и у"'(х\) стремятся к нулю.

Основные результаты Главы 6

В главе 6 приведена асимптотическая классификация решений дифференциальных уравнений (3) и (4) при п = 3,4. При этом рассматриваются как регулярные нелинейности (к > 1), так и сингулярные (0 < к < 1).

Теорема (6.1). Пусть к > 1, а р(х) — заданная на всей числовой прямой непрерывная положительная функция, имеющая положительные пределы р* и р* соответственно при х —»• —оо и х —» -Ьоо. Тогда все максимально продолженные решения уравнения у"' + р(х) \у\к~1у = О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие шесть типов (см. рис. 6.1).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1-2. Заданные на полупрямой (6,-Ьоо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у{х) = ±Сзк{р(Ь)) (х - Ь)-*5т (1 + 0(1)), я Ь + О, у(х) = ±Сзк(р*) х~А (1 + 0(1)), ж +оо, где

3. Заданные на полупрямой (—оо,Ь) решения, колеблющиеся вблизи обеих границ области определения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании.

Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт у^\х) = 0, Нт х—>Ь

У{з)(х) х—>—оо а в точках локального экстремума з оо, =0,1,2, у{х')\ = \х-\у{х')\ = \Ь-х X х' — оо, 6 + 0.

4~5. Заданные на ограниченном интервале Ь") решения, колеблющиеся вблизи правой границы области определения и соответственно положительные или отрицательные в некоторой окрестности левой границы. При убывании аргумента они имеют степенную асимптотику (с совпадающими знаками ± ): у(х) = ±Сф(Ь')) {х - (1 + о(1)), ж Ь' + О, а при возрастании — удовлетворяют соотношениям

УЬ)(х)

Нт оо,

7=0,1,2, причем в точках локального экстремума з у(х')\ = IЬ" - , X

0.

Теорема (6.2). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения гЛ(®)+ро \УТ~1У — о в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.2).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение к-1, у(х) = 0.

1. Заданные на полупрямой (—оо, Ъ) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при убывании аргумента и стремится к нулю при его возрастании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт г) = 0, х-^—оо

Нт х-^Ь уСй(х) оо,

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума —

С\ \х - ^ \у(х)\ <:с2\х

33) с зависящими только от к и ро положительными константами С\ и С2

2. Заданные на полупрямой (6, +оо) колеблющиеся решения. Расстояние между соседними нулями у них неограниченно возрастает при возрастании аргумента и стремится к нулю при его убывании. Сами решения и их производные удовлетворяют соотношениям

Нт х-^Ъ

У(з\х) оо,

Нт уМ(х) = 0, ¿ = 0,1,2,3, х—»+оо а в точках локального экстремума — соотношениям (33) с зависящими только от к и ро положительными константами Сх и С2.

3. Колеблющиеся решения, заданные на ограниченном интервале (Ь',Ъ"). Для них и их производных выполняются соотношения

Нт х^Ъ' у^\х)

Нт х^Ъ"

Уи\х)

3 = 0,1,2,3, а в точках локального экстремума, достаточно близких к какой-либо границе интервала — соотношения (33) соответственно с Ь — Ь' или Ь = Ь" и с зависящими только от к и ро положительными константами С\ и С^.

Теорема (6.3). При к > 1 и ро > 0 все максимально продолженные решения уравнения ylV(x)~Po \y\k~ly — О в соответствии с их асимптотическим поведением делятся на следующие четыре типа (см. рис. 6.3).

0. Заданное на всей числовой прямой тривиальное решение у{х) = 0.

1-2. Заданные на полупрямой (6,+оо) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у{х) = ±CAk(p(b)) (я - Ь)~А (1 + 0(1)), я - Ъ + О, у(х) = ±Сф*) х~А (1 + о(1)), я -> +00, где

4(fc + 3)(2fc + 2)(3fc + 1)\ ^

P(k~ I)4 J '

3-1 Заданные на полупрямой (—оо,Ь) кнезеровские (с точностью до знака) решения со степенной асимптотикой вблизи обеих границ области определения (с совпадающими знаками ± ): у(х) = ±САк{р*) (1 + о(1)), х -> -оо, у(х) = ±Сф{Ь)) (Ъ - (1 + о(1))? ж - Ъ - 0.

5. Заданные на всей числовой прямой периодические колеблющиеся решения. Все они могут быть получены из одного, скажем, z(x), с помощью соотношения у(х) = \4z(Xk~1x + х0) caiap) с произвольными А > 0 и xq. Следовательно, существуют такие решения с произвольным максимумом h > О и с произвольным периодом Т > О, но не с произвольной парой (/i, Т).

6-9. Заданные на ограниченном интервале (&', Ъ") решения со степенной асимптотикой вблизи каждой границы области определения (с независимыми знаками ±): у(х) = ±Cik(p(b')) (Я - &'ГА (1 + 1)), + О, у(х) = ±Cik(p(b")) (Ь" - (1 + о(1)), я - Ь" - 0.

10-11. Заданные на полупрямой (—оо, Ь) решения, колеблющиеся при х —> —оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи правой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у(х) = ±СиШ) (ь - х)-А (1 + о(1)), х^Ь-О.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —» —оо.

12-13. Заданные на полупрямой (ft, +оо) решения, колеблющиеся при х —» +оо и сохраняющие положительный или отрицательный знак вблизи левой границы области определения, где они имеют степенную асимптотику: у{х) = ±C4k(p{b)) {х - (1 + о( 1)), + 0.

У каждого решения существует предел модуля локального экстремума при х —» +оо.

Для уравнения yl" + p(x,y,y',y") \у\к~1у = 0, (34) где к > 1, а функция р : R х Е3 —> Е непрерывна, удовлетворяет условию Липшица по последним трем аргументам и

О < т ^ р(х, у0, yh у2) < М < оо, (35) доказывается непрерывная зависимость положения асимптот от начальных условий решения, а также существование максимально продолженных решений с любой областью определения.

Будем говорить, что функция у(х) имеет резонансную асимптоту х — ж*, если lim у(х) - +оо, lim у(х) = —оо.

Теорема (6.4). Пусть к > 1, функция р(х, г/о, у\, г/2) не~ прерывна, удовлетворяет неравенствам

О < т ^ р(х, г/о, 2/1, 2/2) ^ М < оо и условию Липшица по последним трем аргументам. Пусть у(х) — решение уравнения у"' + р(х,у,у',у") \у\к1у = 0, (36) имеющее резонансную асимптоту х = х*. Тогда положение асимптоты х = х* непрерывно зависит от данных Коши решения в любой точке его области определения.

Теорема (6.6). При выполнении условий теоремы 6.4 для любых конечных или бесконечных значений х* < х* существует максимально продолженное решение уравнения (36), определенное на интервале (хх*).

Аналогичные результаты об асимптотическом поведении решений уравнения (36) получены в случае 0 < k < 1.

Основные результаты Главы 7

В главе 7 рассматривается дифференциальное уравнение у"(х)=р(х)\у(х)Гу(х), (37) где т > 0, х Е Ж, а р(х) — непрерывная комплекснозначная функция.

Получены асимптотические формулы для модуля и аргумента решений и равномерные оценки решений.

При р(х) = ро = const £ С \ R существует решение Y{x)) определенное на (0, +оо), которое имеет вид

Y{x)\ = arg У{х) = С2\пх с постоянными

1+4/га c2 = -q

Impo

-Rep0 + W(Repo)2 + ^^.^(Impo)2

Q =---• 2 Теорема (7.1). Пусть m > 0 и p(x) = po = const eC\R. Тогда все нетривиальные решения уравнения (37) исчерпывающе описываются следующим образом:

1. Все непродолжаемые решения, определенные на полуоси (—оо, xq) или (жо, +оо), которые имеют точный вид: у(х)I = I Y(\x ~ жо|) | , wgy(x) - arg У(|ж - х0\) + с произвольными вещественными xq и

2. Для любого непродолжаемого решения, определенного на ограниченном интервале (х\, Х2), справедливо представление у(х)\ = \У(\х- а*|)|(1 + 0(1)), argу(х) = argy(|x - xk\) (1 + о(1)) где х —> Xk, k = 1, 2.

Теорема (7.2). Пусть р(х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, m > 0 и р(х0) — ро Е С \ М. Пусть у(х) — не-продолжаемое решение уравнения (37), определенное на (xi, xq) или (х0, Х2) при —оо < х\ < xq < Х2 ^ +оо. Тогда у(х)\ = №-^о|)| (1 + 0(1)), argу(х) = aigY(\x - ж0|) (1 + о(1)), при X —> Xq.

Теорема (7.3). Пусть р(х) —непрерывная комплекснознач-ная функция, е = ±1, m > 0, р(х) —» Е С \ Ж при х —> еоо. Пусть у(х) — решение уравнения (37), определенное в окрестности еоо. Тогда y(x)\ = \Y(\x\)\(l + o(l)): argу(х) — arg Y(|:r|) (1 + о(1)), при X —> £00.

Теорема (7.4). Пусть Rep(x) > р* > 0. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на (xq — е, xQ + с) и такого, что у(хо) 0, справедлива оценка г2 < -ЬЫГт

Р* с постоянной С > 0, зависящей только от т.

Следствие (7.4.1). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на [a,b], выполнено для всех х Е [а + е, 6 — е].

Следствие (7.4.2). Пусть для функции р(х) выполняются условия теоремы 7.4. Тогда для любого решения у(х) уравнения (37), определенного на (—оо, Хо) или (хо, +оо), на всей области определения выполняется неравенство у(х)\ <\х — \fcjp~f

Следствие (7.4.3). Если Кер(х) > д*х~г, д* > 0, г > О, то для любого решения у{х) уравнения (37), определенного на (О, +оо), для всех х > 0 выполнено

Во всех случаях С зависит только от т и совпадает с соответствующей постоянной из теоремы 7.4.

Следствие (7.4.4). Если функция р(х) удовлетворяет условиям теоремы 7.4, то единственным решением уравнения (37), определенным на (—оо,+оо), является тривиальное решение у(х) ЕЕ 0.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Асташова, Ирина Викторовна, 2007 год

1. Беклемишева J1. А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. — Матем. сб., 1962, т. 56, № 2, с. 207-236.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Иностранная литература. 1954.

3. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгбраических и дифференциальных уравнениях. — М.: Наука. Физматлит, 1998, 288 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Наука, 1975.

5. Буслаев А. ПТихомиров Б. М. Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов. — Матем сб., 1990, т. 181, № 12, с. 1587-1606.

6. Дж. У. Бик. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО. 2005.

7. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 474476.

8. Евтухов В. М., Костин А. В. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — ДАН СССР, 1976, т. 231, № 5, с. 1059-1062.

9. Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. — Москва, МГУ, 1981.

10. Изобов Н. А. Об уравнениях Эмдена Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 189-199.

11. Изобов Я. А., Рабцевич В. А. О неулучшаемости условия И. Т. Кигурадзе Г. Г. Квиникадзе существования неограниченных правильных решений уравнения Эмдена-Фаулера. — Дифф. уравнения, 1987, т. 23, № 11, с. 1872-1881.

12. Изюмова Д. В., Кигурадзе И. Т. Некоторые замечания о решениях уравнения и" + a(t)f(u) = 0. — Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 4, с. 589-605.

13. Квиникадзе Г. Г. Некоторые замечания о решениях задачи Кнезера. — Дифф. уравнения, 1978, т. 14, № 10, с. 1775-1783.

14. Квиникадзе Г. Г. О монотонных правильных и сингулярных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф. уравнения, 1984, т. 20, № 2, с. 360-361.

15. Квиникадзе Г. Г., Кигурадзе И. Т. О быстро растущих решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 465-468.

16. И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, (1990) 432 с.

17. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1962, т. 144, № 1, с. 33-36.

18. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений уравнения и" + a(t)|ii|nsgnw = 0. — Cas. pëst. mat., 87 (1962), № 4, 492-495.

19. Кигурадзе И. Т. Об асимптотических свойствах решений уравнения и" + a{t)un = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1963, т. 30, № 2, с. 129-136.

20. Кигурадзе И. Т. О неколеблющихся решениях уравнения uff + a{t)\u\nsgiiu = 0. — Сообщ. АН ГССР, 1964, т. 35, № 1, с. 15-22.

21. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений уравнения dmu/dtm + a{t)\u\nsgnu = 0 — Мат. сб., 65 (1964), № 2, 172-187.

22. Кигурадзе И. Т. К вопросу о колеблемости решений нелй-нейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 8, с. 995-1006.

23. Кигурадзе И. Т. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения типа Эмде-на Фаулера. — Известия АН СССР, мат., 1965, т. 29, № 5, с. 965-986.

24. Кигурадзе И. Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. — Известия АН СССР, мат., 1969, т. 33, № 6, с. 1373-1398.

25. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, № 8, с. 1387-1398 и № 9, с. 1586-1594.

26. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Тбилиси: ТГУ, 1975.

27. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 3-103.

28. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. — В сб.: «Современные проблемы математики. Новейшие достижения», т. 30 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/, М.: 1987, с. 105-201.

29. Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф.уравнения. 1992. т. 28, № 2. с. 207-219.

30. Кигурадзе И. Т. О взрывных кнезеровских решениях нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифф.уравнения, 2001, т. 37, № 6, с. 735-743.

31. Кигурадзе И. Т., Рахункова И. О. О разрешимости нелинейной задачи типа Кнезера. — Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 10, с. 1754-1765.

32. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Замечании об асимптотическом поведении решений уравнения и" + а(1)и = 0. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 1115-1117.

33. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990, 432 с.

34. Кигурадзе И. Т., Мухигулашвили С. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем. — Дифференц. уравнения, 2004, т. 40, № 6, с. 747-755.

35. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

36. Кондратьев В. А. Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. — Успехи мат. наук, 1957, т. 12, вып. 3 /75/, с. 159-160.

37. Кондратьев В. А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р(х)у = 0. — ДАН СССР, 1957, т. 113, № 4, с. 742-745.

38. Кондратьев В. А. О колеблемости решений лйнейных уравнений третьего и четвертого порядка. — Труды ММО, 1959, т. 8, с. 259-281.

39. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения уМ р(х)у - 0. — Труды ММО, 1961, т. 10, с. 419-436.

40. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков. — ДАН СССР, 1968, т. 118, № 1, с. 22-24.

41. Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1991, т. 16, с. 186-190.

42. Кондратьев В. А., Никишкин В. А. О положительных решениях уравнения у" = р(х)ук. — В сб. «Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением», Саранск: 1980, с. 134-141.

43. Кондратьев В. А., Самовол В. С. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена Фау-лера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 4, с. 749-750.

44. Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, сер. Математика, 2001, т.65, № 2, с. 81-126.

45. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. — Современная математика. Фундаментальные направления, т. 7 (2004), с. 3-158.

46. Костин А. В. К вопросу о существовании у системы обыкновенных дифференциальных уравнений ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при t —*■ оо. — Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 5, с. 585-604.

47. Костин А. В. Об асимптотике непродолжаемых решении уравнений типа Эмдена Фаулера. — ДАН СССР, 1971, т. 200, № 1, с. 28-31.

48. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ +• • • + рп(г)х = 0. — УМН, 1969, т. 24, вып. 2 (146), с. 43-96.

49. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. — М.: Наука, 2001, Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 234, 383 с.

50. Мышкис А. Д. Пример непродолжимого на всю ось решения дифференциального уравнения второго порядка колебательного типа. — Диф. уравнения, 1969, т. 5, № 12, с. 22672268.

51. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.

52. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.

53. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. — М.: Иностранная литература, 1954.

54. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

55. Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка. — Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 3, с. 362-368.

56. Чантурия Т. А. О неколеблющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. -— Со-общ. АН ГССР, 1969, т. 55, № 1, с. 17-20.

57. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. — Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 6, с. 948-961.

58. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении решений уравнения и" Л- ansignu^0j~Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № 7, с. 1195-1206.

59. Чантурия Т. А. О некоторых асимптотических свойствах решений обыкновенных, дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1977, т. 235, № 5, с. 1049-1052.

60. Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 3, с. 470-482 и № 4, с. 635-644.

61. Чантурия Т. А. О колеблемости всех решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка. — Матем. заметки, 1980, т. 28, № 4, с. 565-569.

62. Чантурия Т. А. О монотонных и колеблющихся решениях обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. — Ann. Polon. Math, 1980, т. 37, № 1, с. 93-111.

63. Чантурия Т. А. Об асимптотическом представлении колеблющихся решений уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 6, с. 1035-1040.

64. Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений некоторых классов неавтономных дифференциальных уравнений. — Матем. заметки, 1982, т. 32, № 4, с. 577-588.

65. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. — Докл. семинара Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та, 1982, т. 16, с. 3-72.

66. Чантурия Т. А. О неограниченных решениях линейннх обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 231-242.

67. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференцпального уравнения общего вида. — Дифференц. уравнения, 1986, т. 22, № 11, с. 1905-1915.

68. Чантурия Т. А. О существовании сингулярных и неограниченных колеблющихся решений дифференциальных уравнений типа Эмдена Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, № 6, с. 1009-1022.

69. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений. — Матем. сб., 1951, т. 28, вып. 70, с. 217-240.

70. Atkinson F. V. On second order nonlinear oscillations. — Pacif. J. Math., 1955, 5, № 1, p. 643-647

71. Belohorec S. A criterion for oscillation and nonoscillation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 20, p. 75-79.

72. Belohorec S. Two remarks on the properties of solutions of a nonlinear differential equation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 22, p. 19-26.

73. Belohorec S. Monotone and oscillatory of solutions of a class of nonlinear differential equation. — Math. Casop., 1969, 19, № 3, 169-187.

74. M. F. Bidaut- Véron, Local and global behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations of Emden-Fowler type. — Arch. Rat. Mech. Anal. v. 107 (1989) 293-324.

75. H. Brezis, T. Kato, Remarks on the Shrôdinger operator with singular complex potential. — J. Math, pures et appl., v. 58 (1979) 137-151.

76. P. Constantin, Decay estimates of Schrôdinger equations. — Commun. Math. Phys., v. 127 (1990) 101-108.

77. S. Doi, On the Cauchy problem for Schrôdinger type equations and the regularity of solutions. — J. Math. Kyoto Univ., v. 34 (1994) 319-328.

78. R. Emden, Gaskugeln. — Leipzig, 1907.

79. B. Guerch, L. Véron, Local properties of stationnary solutions of some nonlinear singular Schrôdinger equation. — Rev. Mat. Iberoamericana v. 7 (1991) 65-114.

80. N. Hayashi, Global existence of small solutions to quadratic nonlinear Schrôdinger equations. — Comm. P. D. E., v. 18 (1993) 1109-1124.

81. Kartsatos A. G. N th order oscillations with middle terms of order N 2 — Pacific J. Math., 67 (1976), № 2, 477-488.

82. T. Kato, Shrôdinger operators with singular potentials. — Israël Jl. Math., v. 13 (1972) 135-148.

83. T. Kato, On some Shrôdinger operators with a singular complex potential. — Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, v. 5 (1978) 105114.

84. I. Т. Kiguradze. On asymptotic behaviour of solutions of nonlinear non-autonomous ordinary differential equations. — Col-loq. Math. Soc. Janos Bolyai. 30. Qualitative theory of differetial equations, Szeged (Hungary), 1979, p. 507- 554.

85. I. T. Kiguradze. On Kneser solutions of the Emden-Fowler differential equation with a negative exponent. — Tr. In-ta matem-atiki NAN Belarusi 4 (2000), 69-77.

86. I. T. Kiguradze., T. A. Chanturia. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations. — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993.

87. I. T. Kiguradze., T. Kusano. On periodic solutions of even-order ordinary differential equations. — Ann. Mat. Рига Appl., 180 (2001), № 3, 285-301.

88. A. J. Kneser. Untersuchung und asymptotische Darstellung der Integrale gewisser Differentialgleichungen beigrosser reden. — Wethen der Arguments, I. J. Reine und angew. Math., 1898, 116, p. 173-212.

89. V. Kondrat 'ev, M. Shubin, Discreteness of spectrum for the Schrödinger operators on manifolds of bounded geometry. — Operator Theory: Advances and Applications, v. 110, Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland (1999).

90. Kozlov V. A. On Kneser solutions of higher order nonlinear ordinary differential equations. — Ark. Mat., 1999, v. 37, № 2, p. 305-322.

91. Kusano Т., Naito M. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations. — Canad. J. Math., 28 (1976), № 4, 840-852.

92. Kusano Takasi, Trench William F. Global existence of nonoscillatory solutions of perturbed genral disconjugate equations. — Hiroshima Math. J., 17 (1987), 415-431.

93. Lovelady D. L. On the oscillatory behavior of bounded solutions of higher order differential equations. — J. Diff. Equations, 19, (1975), № 1, 167-175.

94. Lovelady D. L. An asymptotic analysis of an odd order linear differential equation. — Pacif. J. Math., 57 (1975), № 2, 475-480.

95. Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differential equation. — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 58 (1975), № 4, 531536.

96. MasciJ. W.j Wong J. S. VF. Oscillation of solutions to second-order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math., 24 (1968), № 1, 111-117.

97. G. Polya On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. — Trans. Amer. Math. Soc. 24 (1924), 312-324.

98. Rozov N. Kh. Duck trajectories of three-dimensional sigularly perturbed systems. — Georgian Math. J., 14 (2007), № 2, 341350.

99. Taylor W. E., Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations. — Internat. J. Math., 6 (1983), № 3, 551-557.

100. Ch. I. de la Vallée-Poussin Sur l'équation différentielle linéaire du second ordre. Détermination d'une intégrale par deux valeurs assignées. Extension aux équations d'ordre n. — Journ. Math. Pur. et Appl., 1929, v. 9, № 8, p. 125-144.

101. Waltman P. Some properties of solutions of u" + a(t)f(u) = 0. — Monatsh. Math., 67 (1963), 50-54.

102. Waltman P.Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. — Pacif. J. Math, 18 (1966), 385-389.

103. Wong J. S. W. A note on second order nonlinear oscillation. — SIAM Review, 10 (1968), 88-91.

104. Wong J. S. W. On second-order nonlinear oscillation. — Funk-cialaj Ekvacioj, 11 (1968), 207-234.Список основных работ автора по теме диссертации

105. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — В сб. Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И. Н. Векуа, Тбилиси: ТГУ, т. 1, № 3, 1985. с. 9-11.

106. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — УМН, 1985, т. 40, вып. 5 (245), с. 197.

107. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 6152-85Деп, 16 с.

108. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений. — Диф. уравнения, 1986, т. 22, № 12, с. 2185.

109. И. В. Асташова. Асимптотическое поведение решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. — Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 7284-В86, 25 с.

110. И. В. Асташова. О некоторых свойствах знакопеременных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1990, т. 5, № 3, с. 17-20.

111. И. В. Асташова. Об асимптотическом поведении знакопостоянных решений одного нелинейного дифференциального уравнения. — 1990, ЦНТИ «Информсвязь», Деп. ВИНИТИ № 10, 12 с.

112. И. В. Асташова. О существовании решения с заданной областью определения одного уравнения третьего порядка. — В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ имени И. Н. Векуа, Тбилиси, ТГУ, 1992, т. 7, № 3, с. 16-19.

113. И. В. Асташова. О качественных свойствах решений уравнений типа Эмдена Фаулера. —УМН, 1996, т.51, № 5, с. 185.

114. И. В. Асташова. Об одномерном уравнении Шредингера с комплекснозначным потенциалом. — Дифференц. уравнения, 1998, т. 34, № 6, с. 847.

115. Асташова И.В., Кондратьев В.А., Муравей Я.А., Филинов ский А.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — Москва, МАТИ, 2001, 147 с. (монография)

116. I. V. Astashova, А. V. Filinovskii, V. A. Kondratiev, L. A. Muravei. Some Problems in the Qualitative Theory ofDifferential Equations. — Journal of Natural Geometry. Jnan Bhawan. London. 2003. v. 23. № 1-2. p. 1-126. (монография)

117. I. V. Astashova. Estimates of Solutions to One-dimensional Schrodinger Equation. — World Scientific: Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress. Singapore, 2003, v. II, p. 955-960.

118. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка. — Дифференц. уравнения, т. 40, №11, 2004, с. 1570.

119. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, 2005, т. 41, № 11, с. 1579-1580.

120. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Доклады РАН, 2006, т. 409, № 5, с. 586-590.

121. И. В. Асташова. О равномерных оценках положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений с отрицательным потенциалом. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 852.

122. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Дифференц. уравнения, т. 42, № 6 (2006), с. 855-856.

123. И. В. Асташова. О равномерных оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 5, с. 3-9.

124. И. В. Асташова. Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2007, вып. 26, с. 29-38.

125. И. В. Асташова. О колеблемости решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Дифференц. уравнения, т. 43, № 6 (2007), с. 852.

126. I. V. Astashova. On Existence of Non-oscillatory Solutions to Quasi-linear Differential Equations. — Georgian Mathematical Journal, № 2, v. 14 (2007) p. 223-238.

127. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. — Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 261, 2008,с. 26-36.

128. И. В. Асташова. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, т. 72, № 6, 2008, с. 103-124.