Качественное и численное моделирование процесса использования и сохранения природных ресурсов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Икума Иссомбо Ян

• Икума Иссомбо Ян
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Икума Иссомбо Ян

Введение

Глава 1. Модель использования и сохранения природных ресурсов.

1.1 Описание.

1.1.1 Принцип максимума Понтрягина.

1.2 Задача оптимального управления с фазовыми ограничениями для модели использования и сохранения природных ресурсов.

1.3 Задача оптимального управления с нефиксированным временем для модели использования и сохранения природных ресурсов.

1.3.1 Общая теория.

1.3.2 Применение к задаче для модели использования и сохранения природных ресурсов.

Глава 2. Имитационный подход к проблеме оптимального использования природных ресурсов с учетом их сохранения.

2.1 Задача об использовании и сохранении природных ресурсов с постоянной функцией затрат.

2.2 Задача об использовании и сохранении природных ресурсов с переменной функцией затрат.

2.3 Особое оптимальное управление.

Глава 3. Численная реализация решения задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

3.1 Дискретная аппроксимация непрерывной задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

3.2 Алгоритм метода штрафных функций.

3.3 Анализ влияния параметров на решеиие задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

Глава 4. Модель оптимизации функции полезности.

4.1 Функция полезности. Задача потребительского выбора.

4.1.1 Краткие сведения теории потребления. Понятие функции полезности.

4.1.2 Линия (кривая) безразличия функции полезности.

4.1.3 Норма замены. Предельная норма замены.

4.1.4 Эластичность функции полезности.

4.1.5 Примеры некоторых функций полезности и виды их кривых безразличия.

4.1.6 Задача потребительского выбора.

4.1.7 Общее решение задали потребительского выбора.

4.1.8 Численная реализация некоторых конкретных задач потребительского выбора.

Глава 5. Алгоритм вычисления темпа роста цен в случае динамического равновесия экономической системы.

5.1 Конечные равновесные траектории.

5.2 Существование равновесных траекторий.

5.3 Алгоритм вычисления темпа роста равновесных цен.

5.4 Некоторые численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественное и численное моделирование процесса использования и сохранения природных ресурсов»

Современная наука неотделима от математического моделирования, сущность которого состоит в замене исходного объекта его "образом математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод конструирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью даёт возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства, и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования.

В настоящее время математическое моделирование вступает в важный этап своего развития, "встраиваясь"в структуры так называемого информационного общества. Прогресс средств переработки, передачи и хранения информации способствует усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными "ресурсами" нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако "информация как таковая, мало что даёт для анализа и прогноза, для принятия решения и контроля за их исполнением. Нужны падежные способы переработки информационного "сырья"в готовый "продукт т.е. в точное знание.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, не всегда поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долг, дорог, часто либо опасен, либо просто невозможен, так как многие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока.

Модель создается на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта. Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа, предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф. Кепэ (1978 г., "Экономическая таблица"), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики -теории игр, математического программирования, математической статистики.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экологических, экономических, медицинских, биологических и других явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экологической, экономической или иной жизни, прогнозировать поведение экологических, экономических или других субъектов и экологическую, экономическую или другую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экологической, экономической или другой теории, одинаково понятным для ученых всех стран мира.

Природные ресурсы являются важным компонентом в окружающем человека мире, и их нерациональное использование может привести к разрушению различных составляющих окружающей среды.

Возобновляемые ресурсы имеют особую специфику вследствие естественного восстановления продуктивности природных объектов. Однако воспроизведение ресурса в будущем существенным образом зависит от объема, ресурса в настоящий момент времени. Поэтому проблема эффективной добычи возобновляемых природных ресурсов становится особо актуальной, ей посвящено большое число работ.

В 1992 г. (3 - 14 июня) в Рио-де-Жанейро (Бразилия) на уровне глав государств и правительств состоялась Всемирная конференция Окружающая среда и развитие (The United Nations Conference on Environment and Development). Была проведена огромная работа, и в результате встречи в Рио были заключены два международных соглашения, приняты два заявления о принципах и план основных действий в целях всемирного устойчивого развития. Принципы и правила охраны природы. Хозяйственная деятельность вызывает в природе многочисленные изменения, последствия которых необходимо уметь прогнозировать. В процессе длительного использования природных ресурсов были разработаны общие принципы и правила рационального использования и охраны природы. В связи с этим представляют интерес задачи оптимального управления об использовании и сохранении природных ресурсов, в которых управлением является скорость добычи, не только с целью максимизации прибыли, а также сохранения ресурсов.

В предлагаемой первой главе на примере общая модель использования и сохранения природных ресурсов рассматривается общий подход к исследованию детерминированных управляемых динамических систем и построению оптимального управления.

На первом этапе динамическая система исследуется с точки зрения особенностей поведения её траекторий, устойчивости, наличия положений равновесия в зависимости от параметров динамической системы.

Следующий этап состоит в анализе необходимых условий оптимальности, применении принципа максимума Л.С. Понтрягипа. Наиболее часто динамика модели описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальными уравнениями с запаздыванием, с разрывной правой частью и др. Использование принципа максимума позволяет построить краевую задачу принципа максимума, понять структуру оптимального управления, исследовать возможность существования особого оптимального управления, скользящих режимов, минимизирующих последова,тельностей. В ряде случаев удается, используя достаточные условия оптимальности двойственный метод или принцип оптимальности, построить синтез оптимального управления.

Третий этап заключается в выборе аппроксимации непрерывной задачи оптимального управления дискретной задачей управления. Этот переход связан с необходимостью построения приближенного оптимального решения с использованием численных методов оптимизации. Здесь важной задачей является выбор точности аппроксимации (а соответственно и схемы) и оценка скорости сходимости метода. Записываются необходимые условия оптимальности в дискретной задаче оптимального управления, которая может рассматриваться как частный случай задачи нелинейного программирования большой размерности. При этом для её решения можно использовать численные методы нелинейного программирования. Необходимо исследовать, как зависит решение дискретной задачи оптимального управления от точности аппроксимации. Требуется показать, что решение дискретной задачи сходится к решению непрерывной задачи с заданной точностью, используя свойства функции Понтрягина, функции переключения.

Четвертый этап состоит в выборе метода оптимизации и исследовании влияния параметров метода на оптимальное решение, возможности существования локальных решений, поиске глобального оптимального решения. Заметим, что при выборе метода оптимизации необходимо исследовать влияние параметров метода оптимизации необходимо исследовать влияние параметров метода (таких, как выбор начального приближения, шага градиентного спуска, штрафных коэффициентов, точности вычислений) на вычисление оптимального управления.

Вторая глава заключается в анализе полученного оптимального решения в зависимости от начальных данных, параметров задачи оптимального управления и целевого функционала. Этот этап может приводить к коррекции исходной динамической системы, учету дополнительных факторов, влияющих па решение задачи, необходимости учета случайных возмущений и способов управления. Во многих задачах об использовании и сохранении ресурсов минимизируемый (максимизируемый) функционал является по существу сверткой двух или более функционалов, например, максимизируемых прибыль и ограничения па использование ресурсов. Полученные результаты необходимо описать не только на «формальном» математическом языке, по и придать им «физический» реальный смысл.

Во третьей главе рассматривается тот факт, что современная экономическая теория, как на микро-, так и на макро уровне, включает естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать се понятия и выводы.

Задачи экономической теории, связанные с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства и потребления, приводят к математическим проблемам оптимизации и принятия решения. Предметом изучения в данной главе является поведение отдельного участника экономики, как потребителя товаров. Эта проблема рассматривается с точки зрения рационального распределения личного бюджета (дохода) потребителя, которая в конечном счете сводится к решению вопроса о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе, и математическая модель такого его поведение называется моделью потребительского выбора или моделью максимизации функции полезности при заданных (линейных или нелинейных) бюджетных ограничениях, относящейся к задачам математического программирования. В главе исследуются функции полезности и производные функции, приводятся примеры некоторых функций полезности и конструирования некоторых производственных функций.

Рассматривая в последнем этапе данной главе сравнение аналитического решения (методом проекции градиента) с численным решением (методом штрафных функций) задачи потребительского выбора с линейными бюджетными ограничениями с одной стороны и численное решение задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями (методом штрафных функций) с другой стороны проблема относится к задачам линейного с одной стороны и нелинейного с другой стороны, программирования.

В работе исследуются разные способы задания функции полезности и различные способы задания бюджетных ограничений (линейных и нелинейных). Автором разработана компьютерная программа, позволяющая с заданной точностью получать оптимальное решение задачи, исследовать влияние параметров методов и самой задачи на оптимальное решение.

Четвертая глава данной диссертации посвящена исследованию моделей динамического равновесия рыночной экономики, а именно вальрасовского типа при исследовании равновесных траекторий. Основная задача в дайной главе разработать алгоритм построения тестовых классов моделей динамического равновесия и алгоритм вычисления оценок роста цен для равновесных траекторий. В связи с поставленной задачей рассматривается следующая лемма [1]: для всякого 7 > 1 найдется такая констант,а Г(7); что для любой конечной равновесной траектории {р/, С/, х^, ус}, £ = 0,1,2,., Г, выполнены неравенства \\ptW < 1X7)7'||уо||-1; I = 0,1, 2,., Т; причем Г(7) не зависит ни от Т, ни от т/о- Исследование условий существования равновесных траекторий п доказательства данной леммы позволяет построить класс тестовых динамических моделей равновесия, при этом вычислить числовую характеристику Г(7).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Икума Иссомбо Ян

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана управляемая динамическая модель добычи природных ресурсов с учетом их сохранения, в которой критерием оптимальности вступает либо прибыль, либо функция полезности каждого предпринимателя при добыче ресурсов, либо их комбинации.

2. Реализованы эффективные численные методы построения оптимального решения в задаче об использовании и сохранении природных ресурсов.

3. Проведено комплексное исследование решения оптимального управления в зависимости от параметров интенсивности взаимодействия между областями, функции цепы, стоимости, скорости, прироста природных ресурсов.

4. Показано, что полученные результаты можно исследовать для прогнозирования допустимого объема добычи ресурсов.

5. Разработаны численные методы и алгоритмы, позволяющие решать задачу потребительского спроса для различных функций полезности и стоимости.

6. Разработаны алгоритмы и методика построения тестовых классов моделей динамического равновесия и для расчета темпа роста равновесных цен, и разработана компьютерная программа, позволяющая реализовать работу данных алгоритмов и получить расчет темпа роста равновесных цен.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Икума Иссомбо Ян, 2011 год

1. Андреева ЕА. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: ТвГУ, 1999.

2. Андреева Е.А., Цирулсва В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации Тверь 2003.

3. Андреева Е.А., Семыкина H.A. Оптимальное управление Тверь: 2006.

4. Андреева Е.А., Венке X. Оптимизация управляемых систем. Тверь: ТвГУ, 1996.

5. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. -М.: Наука, 1984.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

8. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

12. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, 1974.

13. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

14. Гноенский A.C., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Экстремальные задачи при наличии ограничений. ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. С. 393 453.

16. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

17. Гурман В.И. Модели управления природными ресурсами. М. Наука. 1981.

18. Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации. Учеб. пособие. Таганрог: 2004.

19. Громов Ю.Ю., Земской H.A., Лагутин A.B., Иванова О.Г., Тютюнник В.М. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Тамбов: ТГТУ, 2007.

20. Подииовский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

21. Карманов В.Г. Математическое программирование. -М.: Физматлит, 2000.

22. Корбут A.A., Финкелынтейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

23. Орёл E.H., Орёл Т.Я., Моделирование процессами управления проектами при ресурсных ограничениях И/ИЛИ//Эволюционная информатика и моделирование. -М.: Ин-т физ.-техн. Проблем РАН 1995. С. 165 - 185.

24. Сысоев В.В., Сербулов Ю.С., Меренова Е.А., Баркалов A.B., Информационные технологии замещения ресурсов. Воронеж: Воронеж. Гос. технол. акад. 2001. - 111 с.

25. Розенберг Г.С., Рянский Ф.Н. Теоретиче-ская и прикладная экология. -Нижневартовск: Изд-во Нижневартовского пед. института, 2004. 294 с.

26. Холина В.Н. Основы экономики природопользования. -СПб.: Питер, 2005

27. Голуб A.A., Струкова Е.Б. Экономика природных ресурсов. -М., Аспект-Пресс, 2001.

28. Арбузов В.В. Основы экономики природопользования и природоохраны. М.: Экология, 2003 - 261 с

29. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. -М.: Физматлит, 2001.

30. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. 2-е изд., персраб. и доп. -М.: Финансы и статистика, 2006.

31. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. -М.: Наука, 1978.

32. Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. -К.: Выща школа, 1985.

33. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. -М.: Из-во У РАО, 1998.

34. Терехов JI.JI. Экономико- математические методы. -М.: Статистика, 1988.

35. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. -М.: Экономика, 1987.

36. Андрийчук В.Г. Наконечный С.Н. математическое моделирование экономических процессов сельскохозяйственного произв. -К.: КНИХ, 1982.

37. Жданов С. Экономические модели и методы управления. -М.: Эльта, 1998.

38. Скурихин Н.П. Математическое моделирование. -М.: Высшая школа, 1989.

39. Советов Б. Моделирование систем. -М.: Высшая школа, 1999.

40. Дрогобыцкий Андрей. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов. -М.: Экзамен, 2006.

41. Авдии В.В. Математическое моделирование экосистем. Учебное пособие. -Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004.

42. Багоцкий С.В., Базыкин А.Д., Монастырская Н.П. Математические модели в экологии. Библиографический указатель отечественных работ. -М.: ВИНИТИ, 1981.

43. Быков A.A., Мурзин Ii.В. Проблемы анализа безопасности человека, общества и природы. -СпВ.: Наука, 1997.

44. Виленкин Б.Я. Взаимодействующие популяции // Математическое моделирование в экологии. -М.: Наука, 1978.

45. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.

46. Петросян H.A., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. -JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.

47. Романова Э.П., Куракова Л.И., Ермаков Ю.Г. Природные ресурсы мира. -М.: Изд-во МГУ, 1993.

48. Ашманов С.А. Введение в матемактическую экономику. М.: Наука, 1984.

49. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

50. Ашмапов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

51. Замков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике М. 2004.

52. Колемаев В.А. Математическая экономика М. 1998.

53. Иитреллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория М.: Айрис Пресс 2002.

54. Аллеи Р. Математическая экономика. М.: Ил, 1963.

55. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Ил, 1963.

56. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979

57. Вагнер Г. Основы исследования операций. Тома I-III. -М.: Мир, 1972-73гг.

58. Карлин С. Математические методы в теории игр, программирование и экономика. М.: Мир, 1964

59. Математическая экономика на персооиальном компьютере (под. ред. Ку-бонивы М.) . М.: ФиС, 1991

60. Лотов A.B. Введение в экопомико-математическос моделирование. М.: Наука, 1984.

61. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972

62. Столерю А. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974

63. Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1979

64. Математический аппарат экономического моделирования (Под. ред. Голыптейна Е. Г.) . М.: Наука, 1983

65. Leitman G.J., Stalford H. A sufficiency theorem for optimal control// J. Op-tim. Theory Appl. 1971. N. 8 P. 169-174.

66. Angell T.S. On the Optimal Control of Systems Governed by Nonlinear Equations// Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 19, №1, 1976.

67. Y. Cherruault, J. Gallego, "Introduction to optimal control theory"// Kyber-netes, Vol. 14 Tss: 3, 1985, pp.151 156

68. E. B. Lee, L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory// John Waley and Sons, New-York, 1967.

69. J. M. Coron, Quelques résultats sur la commandabilité et la stabilsation des systèmes non linéaires// cours donné dans "Les journées mathématiques X-UPS en 1999". http://math.polytechnique.fr/xups/vol99.htrnl

70. E. Trélat, Contrôle optimal: théorie & applications// Vuibert, Collection Mathématiques Concrètes, 2005.

71. Gérard Grancher, Olivier Guibé Modélisation mathématique. Usage des équations difféerentielles : de la théorie à la pratique.//Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem. CNRS-Université de Rouen, 2006.