К теории упорядоченных полей и групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Пестов, Герман Гаврилович

• Пестов, Герман Гаврилович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пестов, Герман Гаврилович

Введение О

I ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ

Глава 1. Виды сечений в упорядоченном поле.

1.1 Об архимедовской эквивалентности элементов поля.

1.2 Алгебраические сечения.

1.3 Длинные и короткие берега. Симметричные сечения.

1.4 О заполнении сечений.

Глава 2. Внешние и внутренние определения типов сечений.

2.1 О внешних и внутренних определениях.

2.2 Внешние определения типов сечений.

2.3 Определимые сечения.

Глава 3. Некоторые множества, связанные с сечениями.

3.1 Определения и свойства множеств, порожденных сечением.

3.2 Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской группе.

Глава 4. О значениях многочлена в окрестности сечения.

4.1 Поведение многочлена в окрестности произвольного сечения.

4.2 Поведение многочлена в окрестности симметричного сечения.

Глава 5. Простые расширения упорядоченных полей.

5.1 О заполнении трансцендентных сечений.

5.2 О заполнении симметричных сечений.

Глава 6. Теорема об изоморфизме упорядоченных полей.

6.1 Конфинальность множеств и сечений.

6.2 Достаточные условия изотонного изоморфизма.

Глава 7. Об архимедовски замкнутых полях.

• 7.1 Первоначальные определения.

7.2 О сечениях в архимедовски замкнутых полях.

7.3 Некоторые алгебраические свойства а—полей.

7.4 Архимедовские замыкания.

7.5 О полях формальных степенных рядов.

7.6 Сечения в поле формальных степенных рядов.

Глава 8. Дальнейшая классификация сечений.

8.1 Типы берегов сечения.

8.2 Внутренние определения типов.

8.3 Типы сечений.

8.4 Примеры сечений четырех типов.

8.5 0 типах алгебраических сечений.

Глава 9. О подполях упорядоченного поля.

9.1 Второе отношение эквивалентности в упорядоченном поле.

9.2 Классы [а].

9.3 Г-подполя.

9.4 Признак плотности поля в своем вещественном замыкании.

9.5 Признак вещественной замкнутости поля.

Глава 10. О замыканиях упорядоченных полей.

10.1 Определения замыканий упорядоченных полей.

10.2 О построении замыканий упорядоченных полей.

Глава 11. Порядковые характеристики групп и полей.

11.1 Конфинальность сечений в упорядоченном поле и в его группе архимедовских классов.

11.2 г}а—множества, группы и поля.

Глава 12. Поля ограниченных формальных рядов.

12.1 Предварительные замечания.

12.2 Исследование сечений в поле ограниченных формальных рядов.

12.3 0 нестандартной вещественной прямой.

II ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.

Глава 14. ДВУМЕРНЫЙ ПОРЯДОК

14.1 К определению двумерного порядка.

14.2 Двумерный порядок как обобщение ориентации R2.

14.3 Функция 2-порядка.

14.4 Аксиоматика двумерного порядка.

14.5 О реализуемых четверках.

14.6 О прямых в 2-упорядоченном множестве.

Глава 15. ОБОБЩЁННО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

15.1 Определения и свойства.

15.2 Обобщенные степени и коммутант.

15.3 Множество обобщенно периодических элементов группы.

15.4 Представляющие подгруппы.

Глава 16. ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

16.1 Циклический порядок.

16.2 0 циклически упорядоченных группах.

16.3 Верхний конус группы.

16.4 0 классе циклически упорядочиваемых групп.

III 2-УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ.

Глава 17. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

17.1 Определение 2-упорядоченного поля. Примеры.

17.2 Стандартный 2-порядок в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль.

17.3 База 2-порядка.

17.4 Верхний конус порядка.

Глава 18. ВЕРХНИЙ КОНУС ПОЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ МНОЖЕСТВА

18.1 Верхний конус поля.

18.2 База верхнего конуса как упорядоченное поле.

18.3 Задание 2-порядка с помощью верхнего конуса.

18.4 Отношение частичного порядка в верхнем конусе.

Глава 19. ПРАВЫЙ КОНУС 2-УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ

19.1 Правый конус, определение и свойства.

19.2 Признаки принадлежности к правому конусу.

Глава 20. РОМБИЧЕСКИЕ ОКРЕСТНОСТИ

20.1 Предпорядки в 2-упорядоченном поле.

20.2 Ромбические окрестности.

20.3 Бесконечно малые в 2-упорядоченом поле.

Глава 21. ПОЛЯ БЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ НАД БАЗОЙ

21.1 Топология поля без бесконечно малых над базой.

21.2 Топологическое пополнение 2-упорядоченного поля.

21.3 Элементы, бесконечно близкие к базе.

Глава 22. ОТОБРАЖЕНИЯ фиф

22.1 Задание фиф.

22.2 Алгебраические сечения в подполях базы.

22.3 Поля, не допускающие 2-упорядочивания.

22.4 Об алгебраически замкнутых 2-упорядоченных полях.

ПРОБЛЕМЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории упорядоченных полей и групп»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хотя линейно упорядоченные множества встречаются в математике с древнейших времен, Кантор, по-видимому, первый подверг систематическому изучению понятие линейного порядка. В частности, он ввел понятие вполне упорядоченного множества и начал изучение кардиналов и ординалов [40]. Почти одновременно начинаются исследования упорядоченных алгебраических систем. Отметим, прежде всего, работу Хана 1907 года [1] Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grössensysteme. В этой работе Хан вводит ряд основополагающих понятий, вошедших затем в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, таких как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. Хан использует конструкцию обобщенных степенных рядов для получения структурных теорем об упорядоченных группах и телах. Работа Хана была, по необходимости, сложной, так как еще не был подготовлен комплекс теорем и понятий, относящихся к упорядоченным группам и телам.

L— - .: ■ ■ ■■.I .;. i 1901 году в своем знаменитом докладе на математическом "конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [68]. Работы по этой проблеме явились стимулом к изучению упорядоченных полей. Значитеьным шагом в этом направлении явились работы Артина и Шрайера [9](1925), [10](1927). Здесь было введено важнейшее понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемости поля. Для исследования линейно упорядоченных групп, тел и полей Хан использовал аппарат формальных степенных рядов. Капланский [11] получил структурные теоремы для линейно упорядоченного поля более продвинутыми методами, чем это было сделано Ханом. Он доказал, что каждое упорядоченное поле К вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов Е[[<?]], где G - группа архимедовских классов поля К.

Строение сечений в упорядоченном поле несет существенную информацию о свойствах самого поля. Поэтому логика исследования упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях. По-видимому, Дедекинд был первым математиком, использовавшим понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа ([3]). Каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [21]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями R. С этим связаны понятия дедекиндова и недедекиндова сечения или щели [63]. Изучение неархимедовских полей приводит к определению сечений Гёльдера [22], по другой терминологии: сечений нулевой ширины [95], фундаментальных сечений. В 80-х годах прошлого века возникло понятие алгебраического сечения [1п],[95]. В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Этому направлению посвящено много работ, среди наиболее значительных назовем работу Р. Бэра [14], Макай 1970 года [5]. Наиболее основательному изучению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Бэр исследовал еще и некоторые комбинации замыканий. Мак Лейн исследовал поля формальных степенных рядов К.[[С?]], М.[[С?,/3]] и доказал (1939), что эти поля вещественно замкнуты, если группа архимедовских классов (7 делима [28]. Эллинг (1962) исследовал мощности полей формальных степенных рядов [32].

Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Ар-тином и Шрайером [9] (1925). В [99] (1969) Ершовым Ю. Л. описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков. В [5] найдена мощность множества вещественно замкнутых подполей алгебраически замкнутого поля.

Упорядоченное поле естественно рассматривать, как топологическое пространство, наделенное интервальной топологией; интервальная топология т(К) согласуется с алгебраической структурой поля К; К есть равномерное отделимое пространство, пополнение К по топологии т(К) определено единственным образом, с точностью до изоморфизма [23]. Топологическое замыкание (пополнение) упорядоченного поля К может быть осуществлено различными способами:

1) с помощью множества минимальных фильтров Коши в К [II] . [2Я], 2) с помощью фундаментальных а—последовательностей [12], где а - конфинальный характер (тип конфинальности) упорядоченного поля, который всегда является регулярным кардиналом [90], 3) наконец, можно строить пополнение К, исходя из множества фундаментальных сечений в К [22].

Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [4]. Пусть (А, В) есть сечение в К. Продолжение порядка из К на поле К{Ь), удовлетворяющее условию А < Ь < В, в общем случае, не определено единственным образом [5].

Одним из центральных вопросов теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Значительным достижением здесь явилась теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена [30] (1955). В теории упорядоченных полей оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого поля [16]. В последние десятилетия новым стимулом для исследований в области упорядоченных полей явилось развитие нестандартного анализа [36], [37], [38], стимулировавшее в частности, исследования строения нестандартной вещественной прямой [93], [91], [92], [8]. Важной темой теории упорядоченных полей является построение упорядоченного поля с помощью той или иной конструкции. Известно, что фактор-структура кольца по максимальному идеалу есть поле. Для построение поля используются и простые идеалы: сначала строится фактор-кольцо непрерывных комплекснозначных функций на компакте по простому идеалу, а затем - его поле частных. При определённых, не слишком обременительных, условиях на исходное кольцо поле частных является упорядоченным полем [4].

Конвей построил алгебраическую систему, которую он назвал N0. система N0 удовлетворяет определению линейно упорядоченного поля, за одним исключением: ее носитель не множество, а собственный класс. Каждое линейно упорядоченная группа и каждое линейно упорядоченное поле вкладывается в N0 [97], [96]. Параллельно теории упорядоченных полей быстро развивалась теория упорядоченных групп. При этом изучались линейно упорядоченные группы [70], и их различные модификации прежде всего, частично упорядоченные группы [2], решеточно упорядоченные группы [17],[71]. Одним из направлений в теории упорядоченных групп явилась теория циклически упорядоченных групп (Ригер [74], Сверчковский [76], Желева [75]). Ригер исследовал топологию циклически упорядоченных групп, Сверчковский получил структурную теорему для циклически упорядоченных групп, Желева, в частности, предложила критерий циклической упорядочиваемости группы. Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля.

Полезность понятия линейного порядка в алгебре определяется его успешным использованием в теории упорядоченных групп, полей и других алгебраических систем. Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математикамми, начиная с Кантора [40], работы которого были продолжены Шварцем [41], Риссом [42], Вагнером [43].

Систематическое изучение обобщений понятия линейного порядка по размерности было предпринято в работах Шпернера по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положено свойство произвольной точки п—мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, располагаться по ту или другую сторону гиперплоскости.

Многие работы Шпернера: [44], [45], [46], а также Глока [47], Вахмана и Клингенберга [48], Карцеля [49],[50], [51], Джоуссена [52], Ленца[53] посвящены чисто геометрическим вопросам, связанным с функцией порядка.

Одновременно изучаются алгебраические структуры, оснащенные функцией порядка: Шпернер [55], [54], Карцель [56], Керби [57].

В последующем, при определении функции ориентации аффинного пространства Глок [58] использовал аксиоматический подход.

Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака и Г. Г. Пестова.[^~^пХ£^л1,[Д?л7, Новак строит аксиоматическую теорию п—упорядоченных множеств [59], [60],[61] и применяет ее для исследования поля комплексных чисел [62].

Терре А. И. развивает теорию двумерно упорядоченных полей [85], [84], а также двумерно упорядоченных колец [83] и тел [86], [87].

Обзоры различных разделов теории линейно упорядоченных полей имеются в [4] и [95]. Настоящая работа посвящена исследованию линейно упорядоченных полей с помощью развитого автором аппарата теории сечений, а также изучению двумерно упорядоченных систем, именно, циклически упорядоченных групп и двумерно упорядоченных полей.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной. Цель работы.

1) Развить теорию сечений в упорядоченных полях. Построить классификацию сечений в упорядоченном поле, исследовать поведение многочленов на сечениях различных типов, найти характеризацию различных замыканий упорядоченного поля в терминах сечений.

2) Получить новую теорему об изоморфизме, применимую к более широкому классу упорядоченных полей, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

3) Построить теорию циклически упорядоченных групп как часть теории двумерно упорядоченных групп. Найти критерий циклической упорядочиваемости группы. Найти новую структурную теорему для циклически упорядочиваемых групп.

4) Изучить топологию двумерно упорядоченного поля. Исследовать пополнение 2-упорядоченного поля. Доказать теорему о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории линейно упорядоченных полей, методы теории групп, методы теории моделей и нестандартного анализа, результаты из теории топологических колец и полей. В работе систематически используются введенные в диссертации результаты и понятия: классификация сечений, теоремы о связи между строением сечений и свойствами упорядоченного поля, понятие представляющей группы, понятия 2-упорядоченной группы и 2-упорядоченного поля.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:

1. Построена классификация сечений в линейно упорядоченном поле по признакам поведения многочленов на сечении и по признаку симметрии сечения.

2. Даны характеризации топологического (непрерывного) замыкания, вещественного замыкания, архимедовского замыкания упорядоченного поля через свойства сечений в поле.

3. Описаны трансфинитные процессы построения основных типов замыканий с помощью так называемого заполнения сечений.

4. Доказаны теремы о поведении многочленов на сечениях различных типов.

5. Получены формулировка и доказательство новой теоремы об изоморфизме упорядоченных полей, имеющей более широкую сферу применимости, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

6. Дано доказательство новой структурной теоремы для циклически, упорядоченных групп.

7. Доказана нормальность топологии 2-упорядоченного поля, исследовано топологическое пополнение 2-упорядоченного поля, доказана теорема о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого поля.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории упорядоченных полей, теории циклически упорядоченных групп, теории полей характеристики нуль.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1970 году, Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме 1971, Итоговой четвертой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1974 году, Пятой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева 1975, III Омской областной математической конференции 1982, XVI Всесоюзной алгебраической конференции 1981, XVII Всесоюзной алгебраической конференции 1983. IX Всесоюзном симпозиуме по теории групп 1984, XVIII Всесоюзной алебраической конференции 1985. XIX Всесоюзной алгебраической конференции 1987, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и идустриальной математике (ИНПРИМ-98), на Мальцевских чтениях-01 (2001 год), на Мальцевских чтениях-02 (2002 год), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича, С.-Петербург 2002, на Международной конференции по математике и механике 16-18 сентября 2003 г., г. Томск, на Мальцевских чтениях-03 (2003 год). Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, списка литературы из 13? наименования, указателя обозначений и указателя терминов. Каждая часть разбита на главы, главы состоят из параграфов. Диссертация изложена на 261 странице машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пестов, Герман Гаврилович, 2003 год

1. Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grössensysteme, S.-B. Akad. Wiss. Wien, IIa, 116 (1907), 601-655.

2. Fuchs L. Partially ordered algebraic systems.Pergamen Press.19633. . Dedekind R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Achte Auflage, Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967.

3. Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Clarenden Press.Oxford,1996, 356 p.

4. Macai E.Notes on real closed fields. Ann Univ. Sei. Budapest., Sectio mat., Xlll 1970, 35-55

5. Бурбаки H. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М., Наука, 1965.

6. Галанова Н. Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд-во ТГУ, Томск, 1998, 138-143.

7. Delay В. Coupures propres dans *R. Ann. Math. Blaise Pascal, Vol 4, N1, 1997, pp. 19-25

8. Artin E., Schreier 0. Algebraische Konstruktion Reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5, 1925, 85-99

9. Artin E., Schreier O. Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Habmb. Abh. 5 (1927), 100-115.

10. Kaplanski I. Maximal fields with valuations. Duke Math. J., 1942, 16, pp.399-418.

11. Hauschieid K. Cauchyfolgen von höheren Typus in angeordneter Körpern. Zeitschrift für mathematische logik und Grundlagen der Mathematic, v. 131, 55-66.

12. Massaza C. Sul completamento dei campi ordinati. Rendiconti del Seminario Matemático, Univ. e Politechnico di Torino, 1969-70, v. 29, 329-348.

13. Baer R. Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Körper, Math. Ann., 1970, 188, No.3, 165-205.

14. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры.М., Наука, 1967.

15. Tarski A.,McKinsey J. С. С. A Decision Method for elementary Algebra and Geometry.- 2 ed.- Berfkeley; Los Angeles, 1948.

16. Conrad, P., "Archimedean Extensions of Lattice-Ordered Groups," J. Indian Math. Soc., 30 (1966) 199-221

17. Larnel, M., Lattice-Ordered Groups, Marcel Dekker, Inc, 1994.

18. Scott D., On completing ordered fields, Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability (Internat. Sympos., Pasadena, Calif., 1967), Holt, Renehaart and Winston, New York, 1969, 274-278.

19. Zervos S. P., Une propriété des corps commutatifs de caractéristique zéro, Pract. Acad. Athenon, 36(1961), 139-143.

20. Pickert G. Einfürung in die Höere Algebra, Göttingen, 1951.

21. Hauschieid K.Uber die Konstruktion von Erweiterungskörpern zu nichtarchimedisch angeordneten Körpern mit Hilfe von Hölderschen Schnitten, Wiss. Z. Humboldt-Univ., Berlin Math.- Natur. Reihe 15(1966), 685-686.

22. Бурбаки H. Общая топология.Топологические группы.Числа и связанные с ними группы и пространства. М., Наука, 1969.

23. Бурбаки Н. Теория множеств. М., Мир, 1956.

24. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., Наука, 1968.

25. П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977.

26. Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. М., Мир, 1973.

27. Mac Lane S. The universality of formal power series fields. Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1939), 888-890

28. C.C.Chang and H.G.Keisler. Model theory, 3rd edn. North-Holland, Amsterdam, 1990.

29. Erdosh P., Gillman L., Henriksen M. An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. of Math., 1955, Ser. 2, 61, 542-554.

30. Хаусдорф. Теория множеств, Гостехиздат, М., 1937.

31. Ailing N.L. On the existence of real-closed fields, that are r)a—sets of power Ka. Trans. Amer. Math. Soc. 1962, 103, 341-352.

32. Н.Ю.Галанова. О строении нестандартной вещественной прямой. Избранные доклады международной конференции Всесибирские Чтения по Математике и Механике. Том 1.- Изд-во ТГУ, 1997, 63-78.

33. Справочная книга по математической логике, ред. Дж. Барвейс, Часть 1, Теория моделей.М.:Наука, 1982.

34. П. С. Урысон. О канторовых многообразиях, ч. 1., Труды по топологии и другим областям математики, том 1, Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1951.

35. Robinson А. Non-standard Analysis, North-HoHand, Amsterdam, 1966.

36. А. С. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Нестандартные методы анализа, Новосибирск, Наука, 1990.

37. С. Альбеверио, Й. Фенстад, Р. Хеэг-Крон, Т. Линдстрем. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математичееской физике, М.: Мир, 1990.

38. М. Дэвис. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.

39. G. Cantor. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. In: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, Springer, 1932, S. 165-205.

40. H. G. Schwarz. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnunstypen. Halle, 1888.

41. F. Riesz. Über mehrfache Ordnungstypen.- Math. Ann. ,1905, 61, S. 406-421.

42. K. Wagner. Uber nicht-archimedische Metrisierbarkeit in n-fach geordneter Mengen.- Maath. Ann., 1958, 134, No. 1, S. 33-40.

43. E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie.- Arch. Math., 1948, 1, S. 912.

44. E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie.- Arch. Math., 1949, 121, S. 107-130.

45. E. Sperner. Konvexität bei Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1949, 16, S. 140-154.

46. E. Glock. Ordnungsfunktionen, die auf Seiteneinteilungen besonderer Art führen. -Arch. Math., 1961, 12, No. 1, S. 71-77.

47. F. Bachmann, W. Klingenberg. Uber Seiteneinteilungen in affinen und Euklidischen Ebenen.- Math. Ann., 1951, 123, S. 288-301.

48. H. Karzel. Uber eine Ordnungsbeziehung am Dreieck.- Math. Z., 1956, 64, S.131-137.

49. H. Karzel, H. Lenz, Über Hilbrtsche und Spernersche Anordnung.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1962, 25, No. 1, S. 82-87.

50. H. Karzel. Zur Erweiterung affiner Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 17-22.

51. J. Joussen. Uber die projektive Erweiterungsfaigkeit affiner Ordnungsfunktionen.-Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 23-28.

52. H. Lenz, W. Pejas. Uber Hilbertsche und Spernersche Anordnung. II.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1967, 30, No. 1, S. 11-25.

53. E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. -Arch. Math., 1948, l,No. 2, S. 148-153.

54. E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung.- S.B. Heidelberger Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., 1949, No. 10, S. 413-448.

55. H. Karzel. Erzeugbare Ordnungsfunctionen.- Math. Ann., 1954, 127, S. 228-242.

56. W. Kerby. Angeordnete Fastkörper Ebenen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1969, 33, No. 1, S. 4-16.

57. E. Glock. Die orientierungsfunktionen eines affinen Raumes.- Math. Z., 1962, 78, No. 4, S. 319-360.

58. L. G. Novoa. On n—ordered sets and order completeness.- Pacific J. Math.,1965, 15, No. 4, p.1337-1345.

59. L. G. Novoa. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry.- Proc. Amer. Math. Soc., 1968, 19, p.146-152.

60. L. G. Novoa. Indépendance of a certain axiomatic system.- Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 22, p.470.

61. L. G. Novoa. Order characterization of the complex field.- Can. Math. Bull., 1978, 21, No.3, 313-318.

62. Мельников 0. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков JI. А., Шес-таков И. П. Общая алгебра, том 1, М.: Наука, 1990.

63. Гаусс К. Ф. Теория биквадратичных вычетов. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

64. Натансон И. П. Теория функций вещественной пременной. М.: ГИТТЛ, 1959.

65. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

66. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948

67. Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

68. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen, t.III, 1935, 290-329.

69. А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

70. Копытов В. М., Решёточно упорядоченные группы, М.: Наука, 1984.

71. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

72. Александров И. А., Соболев В. В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1984.

73. Rieger L.S., On the ordered and cyclically ordered groups I-III, Vestnik Krai. Ceske Spol. Nauk, 1946, No. 6, 1-31, 1947, No. 1, 1-33, 1948, No. 1, 11-26.

74. Желева С. Д., О циклически упорядоченных группах. Сиб. матем. ж., 1976, т. 17 (5), с. 1046-1051.

75. Swierczkowski S., On cyclically ordered groups. Fund. Math., 1953, 47, p. 161-167.

76. Levi F. W. Arithmetische Gesetze im Gebiete discreter Gruppen, Rend. Circolo mat. Palermo, 35 (1913), 225-236.

77. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

78. Daiji Kijima and Mieo Nishi. The pseudo-convergent sets and the cuts of an ordered field, Hiroshima Math. J. 19 (1989), 89-98.80. ван дер Варден Б. JI. Алгебра. М.: Наука, 1976.

79. Zheleva S. D.Lattice cyclically ordered groups, Math. Balkanica (N.S.) 12 (1998), no 1-2, 47-58.

80. Терре А. И., О классе двумерно упорядоченных ассоциативно-коммутативных колец, Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Кишинев, 1980, 100-101.

81. Терре А. И., Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей, Материалы Пятой научной конференции по математике и механике, Томск, 1975, 85-86.

82. Терре А. И., О классе двумерно упорядочиваемых полей.- Томск, 1983, 13с., Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., № 4681 83.

83. Терре А. И., Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел. Томск, 1983, 32с., Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., № 4680 - 83.

84. Терре А. И., Строение квазиархимедовых двумерно упорядоченных тел. XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. II, Минск, 1983.

85. Терре А.И. Двумерно упорядоченные тела и поля. Дис. .канд. физ.-мат. наук. Томск, 1984.

86. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Михалев А. В., Введение в теорию топологических колец и модулей, Кишинев, "Штиница", 1981.

87. Hafner Paul and Mazzola Guerino, The cofinal character of uniform spaces and ordered fields, Zetschr. f. math, Logik und Grundlagen d. Math., Bd.17, S. 377-384 (1971).

88. Kamo Sh. Nonstandard natural number systems with regular gaps, Tsukuba J. Math., vol. 5, No. (1981), 21-24.

89. Kamo Sh. Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb. Logic, vol. 46, No. 2 (Juin 1981), 365-376.

90. H. J. Keisler., J. H. Schmerl. Making the hyperreal line both saturated and complete, J. of Symb. Logik, vol. 56, № 3, (Sept. 1991), 1016-125.

91. Rautenberg Wolfgang. Elementare Schemata nichtelementare Axiome, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Vol.13 (1967), pp. 329366.

92. Delon Françoise. Plongement dense d'un corp ordonné dans sa clôture réelle, J. of Symb. Logic, vol. 56, No. 3 (Sept. 1991),pp. 974-980.

93. Conway, J. H. On numbers and games. London Mathematical Cociety Monographs, 6, Academic Press, London, 1976.

94. N. Ailing. Conway's field of surreal numbers, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 287 (1985), pp. 365-386.

95. T. Y. Lam. The theory of ordered fields, in Ring theory and algebra III, 55, (ed. B.R. McDonald), M. Dekker, New York, {Ж

96. Ю. JI. Ершов. О числе линейных порядков на поле.- Матем. заметки, 1969, 6, № 2, 201-211.