К теории сечений в упорядоченных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Галанова, Наталия Юрьевна

• Галанова, Наталия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галанова, Наталия Юрьевна

Введение.

Список обозначений.

Глава I. Сечения в полях формальных степенных рядов.

1. Основные понятия теории сечений

2. Симметричность и фундаментальность сечений поля щ[с,т.

Глава II. Конфинальность и симметричность сечений упорядоченных полей.

1. Конфинальность сечения.

2. Конструкция поля.

Глава III. Следствия для *Я.

1. О нестандартной вещественной прямой.

2. Изоморфизм нестандартной вещественной прямой и поля ограниченных формальных степенных рядов.

Перечень доказанных результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории сечений в упорядоченных полях»

В диссертации проводится исследование линейно упорядоченных неархимедовых полей с помощью теории сечений.

Под теорией сечений мы подразумеваем классификацию сечений в линейно упорядоченном поле, теоремы о сечениях различного вида, наконец, теоремы о связи строения сечений в линейно упорядоченном поле со свойствами этого поля.

Исследование строения сечений в линейно упорядоченных полях является плодотворным методом изучения и классификации упорядоченных полей. Так, упорядоченное поле вещественно замкнуто в точности тогда, когда все сечения в нем трансцендентны [5]; топологически замкнуто, если и только если все сечения в нем фундаментальны (дедекиндовы)[23]; архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в нем несимметричны [18].

Изучение симметричных сечений представляет особый интерес, так как симметрия сечений существенно используется при доказа-тельтве изоморфизма вещественно замкнутых упорядоченных полей (теорема об изоморфизме [8],Пестов Г.Г.,1997).

Основная цель данной работы - получить необходимые и достаточные условия симметричности сечений и фундаментальности симметричных сечений в полях ограниченных формальных степенных рядов, а также перенести полученные результаты для формальных степенных рядов на другие классы полей.

Формальные степенные ряды являются эффективным инструментом исследования упорядоченных полей, поскольку каждое упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в некоторое поле формальных степенных рядов [27].

В диссертации изучение строения симметричных сечений позволило доказать изоморфизм поля нестандартных вещественных чисел и некоторого поля ограниченных формальных степенных рядов. Как следствие, получены новые результаты о строении сечений поля нестандартных вещественных чисел и о его подполях, полных по Деде-кинду.

Понятие сечения впервые появилось в работах Дедекинда, рассматривавшего сечения в поле рациональных чисел.

Следуя Дедекинду [20], сечением (А, В) упорядоченного поля ^ будем называть разбиение этого поля на подмножества А и Б, удовлетворяющие следующим условиям:

1. А и В = Г

2. V ж £ А V у б В(х < у)

После работ Дедекинда теория сечений получила существенное развитие. Созданы различные классификации сечений. Алгебраические и трансцендентные сечения рассматриваются в работах [6], [9], [5]. В [5],[7] вводятся и изучаются симметричные и несимметричные сечения.

В диссертации ключевыми понятиями являются: симметричное, несимметричное сечение; фундаментальное, нефундаментальное сечение; конфинальность сечения; полнота упорядоченного поля по Де-декинду; архимедовская полнота упорядоченного поля.

Сечение (А, В) упорядоченного поля ^ называется симметричным^], если выполнены условия:

Мх Е А Зу Е в\/г е В (г < у (х+ у - г) е А) и

Уу Е В Зх Е АУг Е А (х < г => (у - г + ж) Е В).

Понятия фундаментального сечения (сечение Коши, Дедекиндово сечение) связано еще с работами Коши и Дедекинда.

Сечение (А, В) называется фундаментальным в Р [5] (сечением Гельдера [23], дедекиндовым сечением [24], собственно дедекиндовым сечением [22]), если для каждого положительного £ £ Р существуют х Е А , у Е В такие, что \у — х\ < е.

Например, в поле вещественных чисел В, все сечения фундаментальные и несимметричные. Простейший пример симметричного фундаментального сечения - сечение в поле рациональных чисел, порожденное вещественным числом л/2.

Симметричные фундаментальные сечения (таковыми являются такие фундаментальные сечения (А, В), что А не имеет последнего, а В первого элемента) интенсивно рассматриваются в [2],[11],[13],[14].

Пусть М- упорядоченное множество. Говорят, что подмножество

Н множества М конфинально М [21], если Мх е М Зу £ Н (х < у). Наименьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфиналь-ных М, называется конфинальностью М и обозначается с{{М). Конфинальность множества есть регулярный кардинал.[19]

Пусть Р - упорядоченное поле. Говорят [2], что сечение (А, В) поля Р имеет конфинальность (ск, (5) (или (А, В) имеет тип если с£(Л) = а, со\(В) = (3.

В этой работе мы будем иметь дело в основном с вещественно замкнутыми полями, которые являются обобщением поля вещественных чисел Я [25]. По определению [9], поле называется вещественно замкнутым, если каждое упорядоченное алгебраическое расширение этого поля совпадает с самим полем.

С каждым упорядоченным полем Р связано понятие его группы архимедовых классов С?[1]. Она получается как фактор-группа мультипликативной группы по следующему отношению архимедовой эквивалентности [1]: х архимедовски эквивалентен у, если

3п е N71 \х\ > \у\ ип\у\ > |ж|

Упорядоченное поле Р называется архимедовски полным (архимедовски замкнутым) [18], если в каждом упорядоченном расширении поля Р содержатся элементы, которые не эквивалентны архимедовски никакому элементу из Р.

В Главе I данной работы исследуется симметрия сечений полей ограниченных формальных степенных рядов R[[G,(3]] [2].

Пусть G-линейно упорядоченная абелева группа. Следуя [1], обозначим через Д[[<2]] поле формальных степенных рядов х = Y, rg9i гЭе гд £ R, supp(z) = {56 G\rg Ф 0}, supp(a;) - вполне антиупорядоченное подмножество линейно упорядоченной группы G. Если я = Е г9д, gzG то полагаем х > 0 тогда и только тогда, когда г7 > 0, гЭе 7 — max supp(x).

Термин: 'вполне антиупорядоченное множество'- подразумевает, что каждое подмножество данного множества имеет наибольший элемент, в отличие от вполне упорядоченного множества. Антиупорядоченность используется для того, чтобы большим элементам поля соответствовали и большие архимедовы классы.

Пусть /3-кардинал, < Р < через R[[G,/3]] мы обозначаем подполе поля -R[[(j]] таких формальных степенных рядов х, что card(supp(a;)) < (3.

Будем называть такие поля- полями ¡3—ограниченных формальных степенных рядов.

Формальные степенные ряды [26] были введены Ханом в 1907 г. Как было доказано Капланским (1942,[27]), каждое линейно упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов i2[[G]], где G-группа архимедовых классов данного поля. Поэтому строения каждого линейно упорядоченного поля тесно связано со свойствами соответствующего поля формальных степенных рядов. Изучению полей формальных степенных рядов уделялось большое внимание: вещественную замкнутость полей формальных степенных рядов и их подполей для линейно упорядоченной делимой группы G доказал Mac Lane (1939, [29]); принимая ОКГ, Alling(1962,[28]) нашел мощность поля ограниченных формальных степенных рядов; архимедова замкнутость поля -R[[G]] получена Пестовым Г.Г.(1982,[18]). Обзор результатов о полях формальных степенных рядов можно найти в книге [2] (Woodin Н.,Dales H.J,1996) В диссертации доказан следующий критерий симметричности сечения в поле вида R[[G, (3]]:

Теорема 1.2.1

Каждое симметричное сечение в R[[G,(3]\ производится некоторым элементом из i?[[G]]\i?[[G, ¡3]]. Наоборот, каждый элемент из i2[[G]]\i2[[G, ¡3]} производит некоторое симметричное сечение в R[[G,(3]}.

Для симметричных сечений полей вида R[[G, (3]] получен следующий критерий фундаментальности Теорема 1.2.2

Симметричное сечение (А, В) в фундаментально если, и только если Зж0 € /3}] такое, что А < хо < В, зирр(жо) инверсно подобен /3 и коинициален С.

Множество М называется у- насыщенным [19], если пересечение любого центрированного семейства X подмножеств М, такого что сагс!(Х) строго меньше 7, не пусто.

В диссертации найдена мощность множества всех симметричных сечений в поле ограниченных формальных степенных рядов.

Теорема 1.2.3

Пусть £ есть линейно упорядоченная абелеве группа. a)Пустьсы:&{0) = с£(С) = 7. Тогда мощность множества всех фундаментальных симметричных сечений Щ[С, 7]] равна 27 ; b)ПустьсгиЗ.(С) = со\{д £ д > 1} = 7. Тогда мощность множества всех нефундаментальных симметричных сечений 7]] равна V.

Найдена следующая оценка конфинальности симметричного сечения поля Д[[<3, (3}]

Теорема 1.2.4

Если (А, В)-симметричное сечение в то

5 < с£(А) = ал (В) < сагс!(<2).

В Главе II дается ответ на вопрос : в какой мере конфинальность сечения характеризует его симметричность. Если сечение {А, В) симметрично, то с£(Л) = ал (В). Обратное утверждение неверно, как показывает

Теорема 2.2.1

Для каждого регулярного кардинала ^ > ^о существует вещественно замкнутое поле F, такое что

1) card(F) = К,

2) для любых кардиналов a,ß меньших К в поле F есть несимметричные сечения конфинальности (a,ß).

При доказательстве теоремы используется конструкция поля из [6].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галанова, Наталия Юрьевна, 1999 год

1. Фукс J1. Частично упорядоченные алгебраические системы.-М.:Мир, 19

2. Dales H.J., Woodin Н.Super real fields. Clarenden Press. Oxford,1996,356i

3. Кейслер Г., ЧэнЧ. Теория моделей.-М.:Мир,1977.-6Цс.

4. Девис М. Прикладной нестандартный анализ.-М.:Мир, 1980.-236с.

5. ПестовГ.Г. Строение упорядоченных полей.Изд. ТГУ. Томск,1980,80с.

6. Macai Е.Notes on real closed fields. Ann Univ.Sci.Budapest., Sectio mat.,XI11 1970,35-55

7. ПестовГ.Г.Симметрия сечений в упорядоченном поле //Избранные доклады международной конференции Всесибирские чтения по математике и механике, т.Шатематика.Изд. ТГУ,1997,с.198-203

8. ПестовГ.Г.Об архимедовской полноте и об изоморфизме упорядоченных полей. Там же с. 203-208

9. Бурбаки Н.Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы.-М.: Наука, 1965

10. Като Sh. Nonstandard natural number systems with regular gaps, TSUKUBA J. Math; Vol. 5, N1 (1981),p. 21-24

11. Delay B.Coupures propres dans *R. Ann.Math.Blaise Pascal, Vol 4, N1, 1997,pp. 19-25

12. Artin E.,Schreier 0. Algebraische Konstruktion Reeller Korper, A bh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5,1925,85-99

13. В.Л.ван дер Варден.Алгебра.-M.-.Наука,1979,624c.

14. Като Sh. Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb.logic;Vol46,N2(Juin 1981),p.365-376

15. H.J.K eisler ,J.H.Schmerl.Making the hyperreal line both saturated and complete, J.of Symb.logic;Vol56,N3(Sept.l991),p. 1016-1025

16. Бурбаки H. Общая топология. Основные структуры.-М.: Наука,1965,275с.

17. Мальцев А.И.Алгебраические системы.-М.: Наука,1970,392с.

18. Пестов Г.Г. Об архимедовски полных полях и теореме вложения Хана// Труды ш Омской областной математической конференции.-N1983 Деп., 1982

19. Справочная книга по математической логиге, 4.1., Теория моделей.-М.: Наука, 1982

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислеь М.:Наука, 1966, 607с.

21. К.Куратовский,А.Мостовский. Теория множеств.-М.: Мир, 1970

22. Baer R.Dichte, Archimedizität und Starrheit geordner Körper, Math. Am 205

23. Jacobson N.V. Lectures in abstract algebra, Vol.III., D. Van Nostrand, Princeton-Toronto-London-New York, 1964

24. Hahn H. Uber die nicht archimedischen Grössensysteme.S.B.Akad. Wiss IIa, 1907,116,601-655

25. Kaplansky I. Maximal fields with valuations .Duke Math. J., 1942,9,303321.

26. Alling N. L.On the existence of real-closed fields that are rja-sets of power Na. Trams.Amer.Math.Soc. 1962,103,341-352.