К теории полудистрибутивных решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Владимировна

• Семенова, Марина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Владимировна

Введение.

Глава 1. Решетки подпорядков и ограниченные снизу решетки.

1. Свойства, близкие к ограниченности снизу.

2. Ограниченные снизу решетки подпорядков.

3. Теорема о вложении в решетки подпорядков.

4. Решетки подпорядков, представимые в виде решеток квазимногообразий.

Глава 2. Разложения в решетках.

1. Существование разложений.

2. Несократимые разложения со свойством замены.

3. Минимальные разложения.

4. Единственные несократимые разложения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории полудистрибутивных решеток»

Решетка Ь называется полудистрибутивной вверх, если для любых элементов х,у,г £ Ь х V у = х V -г влечет х V у = х V (у А г).

Двойственным образом определяются полудистрибутивные вниз решетки. Теория полудистрибутивных решеток наряду с теорией модулярных решеток занимает особое положение в общей теории решеток. Понятие полудистрибутивной (вверх) рештеки, как и понятие модулярной решетки, является одним из важных обобщений понятия дистрибутивной решетки. Причем свойства полудистрибутивных вверх решеток во многом противоположны свойствам модулярных решеток.

Определение полудистрибутивной решетки впервые появилось в работе Б. Йонссона [31] о подрешетках свободной решетки. Полудистрибутивные вверх решетки естественным образом возникают при изучении многих вопросов, как сформулированных в рамках теории решеток, так имеющих значение и для универсальной алгебры в целом, что отражено в монографии В. А. Горбунова [6]. Полудистрибутивные вверх решетки уже сыграли ведущую роль при изучении свободных решеток (см. монографию Р. Фриза, Я. Ежека и Дж. Б. Ней-шна [29]), решеток подквазимногообразий квазимногообразий алгебраических систем [6], разложений в решетках и независимой аксиоматизируемости [5, 35]. Заметное место занимают полудистрибутивные вверх решетки и в теории многообразий решеток [30], теории ручных конгруэндий [9].

Следует упомянуть еще об одном естественном комбинаторном приложении теории полудистрибутивных вверх решеток, которое наиболее отчетливо высвечивает как тесную связь упомянутого классса решеток с классом модулярных решеток, так и некоторую оппозиционность этих двух классов по отношению друг к другу. Известно (см. книгу Г. Гретцера [8]), что любую модулярную решетку с дополнениями можно вложить в модулярную геометрическую решетку. С другой стороны, класс модулярных геометрических решеток совпадает с классом так называемых проективных геометрий. Таким образом, любая модулярная решетка с дополнениями вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторого пространства замыкания со свойством замены Штейница-Маклейна (или комбинаторной геометрии). Следует также отметить, что в решетке замкнутых подмножеств произвольной проективной геометрии несократимые разложения обладают свойством замены. Антиподами комбинаторных геометрий являются выпуклые геометрии (то есть пространства замыкания со свойством антизамены). Причем, согласно теореме Р. П. Дилуорса [35], решетка замкнутых подмножеств любой конечной выпуклой геометрии полудистрибутивна вверх.

Для комбинаторных геометрий к настоящему времени была построена глубокая структурная теория, развитие которой было инициировано работами Г. Виркгофа [16], О. Фринка [26], Р. П. Дилуорса и М. Холла [25]. Однако изучение выпуклых геометрий ограничивалось лишь конечным случаем (см. [33] и обзорную работу [35]). Определение бесконечной выпуклой геометрии было дано в работе К. В. Адаричевой, В. А. Горбунова и В. И. Туманова [14]. Там же были получены первые фундаментальные результаты о таких геометриях.

Одним из основных характеристческих свойств конечной выпуклой геометрии является существование ровно одного несократимого разложения для каждого элемента решетки ее замкнутых подмножеств. Проблема описания решеток, обладающих этим свойством была сформулирована в 40-х годах Р. П. Ди-луорсом. Тогда же он показал [23], что конечная решетка обладает указанным свойством тогда и только тогда, когда она полудистрибутивна вверх и полу-модулярна вниз. Полудистрибутивные вверх решетки оказались также полезными и при описании решеток с каноническими разложениями, которое было получено В. А. Горбуновым [5]. Отметим также связь теории разложений с вопросами базируемости для классов алгебраических систем. К примеру, вопрос о существовании независимого базиса тождеств (квазитеждеств) может быть переформулирован в терминах существования несократимых разложений в решетках многообразий (квазимногообразий) (см. [6]).

Первым примером полудистрибутивных решеток оказались подрешетки свободных решеток [31]. Впоследствии выяснилось, что полудистрибутивными вверх являются также решетки квазимногообразий [6] и решетки выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств [15].

Еще один важный подкласс в классе полудистрибутивных вверх решеток образуют ограниченные снизу решетки. Начало исследованию ограниченых снизу решеток было положено в работе Р. Маккензи [34]. (Наиболее полно теория ограниченных снизу решеток изложена в монографии [29], см. также [11, 13, 21].)

Данная работа посвящена изучению полудистрибутивных вверх решеток. В частности, изучается класс решеток подпорядков частично упорядоченных множеств, которые играют большую роль при изучении ограниченных снизу решеток. Кроме того, большое внимание уделено изучению разложений в полных решетках. Получены результаты о существовании различных типов разложений в таких решетках.

В работе получены следующие основные результаты:

1) Найдено описание ограниченых снизу решеток подпорядков.

2) Доказано, что любая решетка, удовлетворяющая условию минимальности Фриза — Нейшна и не содержщая бесконечных ^-циклов вложима в полудистрибутивную вверх решетку подпорядков, что обобщает теорему Сивака.

3) Определено понятие минимального разложения и показано, что все известные классы решеток с единственными несократимыми разложениями являются, в действительности, классами решеток с минимальными разложениями. Кроме того, получена характеризация решеток с минимальными разложениями.

4) Описано несколько новых классов решеток с единственными несократимыми разложениями.

В работе используются теоретико-решеточные методы, в частности, методы теории разложений, развитые в работах В. А. Горбунова [5, 6], Р. П. Дилуорса и П. Кроули [23, 24, 20].

Результаты работы были представлены на Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997-1998 гг.), Международной конференции, посвященной 60-летию акад. Ю. Л. Ершова (Новосибирск, 2000) и IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию проф. Ю. И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000), а также на семинарах "Универсальная хорнова логика" и "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета.

Все основные результаты диссертации опубликованы в [41]—[44].

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Утверждения нумеруются тремя цифрами: первая обозначает номер главы, вторая — номер параграфа в этой главе, а третья — номер утверждения в параграфе. Нумерация выносных формул сквозная. Список литературы содержит 44 наименования. Объем диссертации составляет 67 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Владимировна, 2000 год

1. К. В. Адаричева, Строение конечных решеток подполурешеток, Алгебра и логика, 30 (1991), No 4, 385-404.

2. К. В. Адаричева, В. А. Горбунов, Оператор эквазамыкания и запрещенные полудистрибутивные решетки, Сиб. Матем. ж., 30 (1989), No б, 7-25.

3. К. В. Адаричева, В. А. Горбунов, В. Дзёбяк, Алгебраические точечные решетки квазимногообразий, Алгебра и логика, 36 (1997), No 4, 363-386.

4. Г. Биркгоф, Теория решеток, М.: Наука, 1984.

5. В. А. Горбунов, Канонические разложения в полных решетках, Алгебра и логика, 17 (1978), No 5, 495-511.

6. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий, Новосибирск, Научная книга, 1999.

7. В. А. Горбунов, В. И. Туманов, Об одном классе решеток квазимногообразий, Алгебра и логика, 19 (1980), No 1, 59-80.

8. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М.: Мир, 1982.

9. Д. Хобби, Р. Маккензи, Строение конечных алгебр, М.: Мир, 1993.

10. М. Е. Adams, Ж Dziobiak, (^-universal quasivarieties of algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 120 (1994), No 4, 1053-1059.

11. К. V. Adaricheva, Two embedding theorems for lower bounded lattices, Algebra Univers., 36 (1996), No 4, 425-430.

12. К. V. Adaricheva, Dziobiak and V. A. Gorbunov, Finite atomistic lattices that can be represented as lattices of quasivarieties, Fund. Math., 142 (1993), 19-43.

13. K. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov, On lower bounded lattices, Algebra Univers., to appear.

14. K. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov and V. I. Tumanov, Join semidistributive lattices and convex geometries, to appear.

15. M. K. Bennett, G. Birkhoff, The convexity lattice of a poset, Order, 2 (1985), No 2, 223-242.

16. G. Birkhoff, Abstract linear dependence and lattices, Amer. J. Math., 57 (1935), 800-804.

17. G. Birkhoff, Rings of sets, Duke Math. J., 3 (1937), No 2, 442-454.

18. D. Bredikhin, B. Schein, Representation of ordered semigroups and lattices by binary relations, Colloq. Math., 39 (1978), 1-12.

19. P. Crawley, Decomposition theory for nonsemimodular lattices, Trans. Amer. Math. Soc., 99 (1961), No 1, 246-254.

20. P. Crawley, R. P. Dilworth, Algebraic theory of lattices, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1973.

21. A. Day, Characterization of finite lattices that are bounded-homomorphic images or sublattices of free lattices, Can. J. Math., 31 (1979), No 1, 69-78.

22. V. Duquenne, On the core of finite lattices, Discrete Math., 88 (1991), No 2-3, 133-147.

23. R. P. Dilworth, Lattices with unique irreducible decompositions, Ann. Math., 41 (1940), No 4, 771-776.

24. R. P. Dilworth, P. Crawley, Decomposition theory for lattices without chain conditions, Trans. Amer. Math. Soc., 96 (1960), No 1, 1-22.

25. R. P. Dilworth, M. Hall, The embedding problem for modular lattices, Ann. Math., 45 (1944), 450-456.26. 0. Frink, Complemented modular lattices and projective spaces of infinite dimension, Trans. Amer. Math. Soc., 60 (1946), 452-467.

26. P. H. Edelman, R. E. Jamison, The theory of convex geometries, Geom. Ded-icata, 19 (1985), No 2, 247-270.

27. M. Erne, On the existence of decompositions in lattices, Algebra Univers., 16 (1983), No 3, 338-343.

28. R. Freeze, J. Jezek, and J. B. Nation, Free Lattices, AMS, Providence, Rhode Island, 1995.

29. P. Jipsen, H. Rose, Varieties of Lattices, Lect. Notes in Math., 1533, Springer Verlag, Berlin, 1992.

30. B. Jonsson, Sublattices of a free lattice, Can. J. Math., 13 (1961), 256-264.

31. B. Jonsson, J. B. Nation, A report on sublattices of a free lattice, Contrib. Universal Algebra (Szeged, 1975), Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 17 (1977), 233-257.

32. B. Körte, L. Loväszaiid R. Schräder, Greedoids, Springer Verlag, Berlin, 1991.

33. R. McKenzie, Equational bases and nonmodular lattice varieties, Trans. Amer. Math. Soc., 174 (1972), No 1, 1-43.

34. G. Richter, The Kuros Ore theorem, finite and infinite decompositions, Stud. Sci. Math. Hung., 17 (1982), No 1-3, 243-250.

35. B. Sivak, Representation of finite lattices by orders on finite sets, Math. Slovaca, 28 (1978), No 2, 203-215.

36. A. Walendziak, Meet decompositions in complete lattices, Period. Math. Hung., 21 (1990), No 3, 219-222.

37. A. Walendziak, Join decompositions in lower continuous lattices, Stud. Sci. Math. Hung., 28 (1993), No 1-2, 131-134.

38. A. Walendziak, Unique irredundant decompositions in upper continuous lattices, Czech. Math. J., 45 (1995), No 2, 193-199.Работы автора по теме диссертации

39. М. В. Семенова, Решетки подпорядков, Сиб. Матем. ж., 40 (1999), No. 3, 673-682.

40. М. В. Семенова, Решетки с единственными несократимыми разложениями, Алгебра и логика, 39 (2000), No 1, 93-103.

41. М. В. Семенова, Единственные несократимые разложения в полных решетках, Логика и приложения, издательство ИДМИ, 2000, стр. 140.

42. М. В. Семенова, Разложения в полных решетках, препринт No 53, издательство ИДМИ, 2000, 23 стр.