К нелинейной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Панов, Евгений Юрьевич

• Панов, Евгений Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Панов, Евгений Юрьевич

Оглавление

Введение

1. Актуальность темы

2. Краткое содержание

Глава 1. Обобщенные энтропийные решения

§ 1. Существование обобщенных энтропийных решений

§ 2. Одно достаточное условие единственности

§ 3. О единственности обобщенного решения с одной допустимой строго выпуклой энтропией

§ 4. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого

порядка на многообразии

Глава 2. Мерозначные решения

§ 5. Понятие мерозначного решения. Принцип максимума

§ 6. Условия регулярности мерозначных решений

§ 7. Сильные мерозначные решения

Глава 3. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений

§ 8. Понятие Н-меры, соответствующей ограниченной последовательности мерозначных функций

§ 9. Последовательности мерозначных решений

§ 10. Принцип локализации для Н - меры, соответствующей последовательности мерозначных решений. Сильная предкомпактность ограниченных множеств мерозначных решений в невырожденном случае

Глава 4. Кинетическая формулировка мерозначных решений

§ 11. Функции распределения мерозначных решений как обобщенные решения задачи Коши для "кинетического"

уравнения

§ 12. Случай сильных мерозначных решений

§ 13. Аппроксимационная схема, связанная с кинетической интерпретацией. Исследование аппроксимирующей

задачи

§ 14. Сходимость аппроксимаций

Глава 5. Об одном классе гиперболических систем квазилинейных законов сохранения

§ 15. Системы, порожденные оператором функционального исчисления на пространствах эрмитовых и симметричных матриц. Гиперболичность таких систем

§ 16. Энтропии

§ 17. Постановка задачи Коши. Понятие обобщенного энтропийного решения. Принцип максимума

§ 18. Сингулярные энтропии. Понятие и некоторые свойства о.э.р

§ 19. Сильные о.э.р

§ 20. Обоснование метода исчезающей вязкости

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К нелинейной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка»

Введение.

1. Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена проблемам нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка и гиперболических систем таких уравнений, изучение которых имеет не только важное прикладное значение, но и стимулирует развитие идей и методов нелинейного анализа в целом. Основу диссертации составляет исследование задачи Коши для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка

<£>(«) = (<¿>1, ...,</?„), и = в полупространстве П = 1+ х М" ,

= (0, +оо) с начальным условием

Уравнения вида (1) известны как законы сохранения и играют важную роль в естественных науках. Конкретные модели, которые приводят к уравнениям вида (1), можно найти, например, в [6, 56, 8].

Хорошо известно, что в случае и0 Е С1(Мгг), ^ 6 С'(М), г = 1,... ,п задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости I = О единственное гладкое решение. Однако даже при бесконечно дифференцируемых м0 , ^pi у решения задачи (1), (2) с ростом £ могут появляться разрывы, что связано с явлением пересечения характеристик. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило значительно превосходит время существования гладкого решения, то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко -о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределений ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно оказываются неединственными. В связи с этим одним из основных вопросов теории о.р. задачи Коши (1), (2) является описание тех дополнительных условий на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для рассматриваемой задачи при различных предположениях о начальной функции щ и вектор-функции потока (р.

Приведем краткий обзор результатов по теории задачи (1), (2) в случае </э (Е (С^®.))" . Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.Олейник, А.Н.Тихонова,

щ + <Иух<р(и) = 0,

(1)

м(0, х) = щ(х).

(2)

А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской и других. Со времени опубликования фундаментальной работы Э.Хопфа [86] основным методом исследования задачи Коши (1), (2) является метод "исчезающей вязкости". Метод "исчезающей вязкости" основан на идее предельного перехода при е —> 0 по решениям задачи Коши для параболического уравнения

ut + di vx(p(u) = eAu. (3)

С помощью метода "исчезающей вязкости" можно не только доказывать существование о.р., но и выявлять те дополнительные условия, которые обеспечивают единственность этого решения ( о необходимости таких условий см. [32], [56] ). В 50-х годах наиболее подробно изучался случай п — 1с выпуклой функцией <р(и). В работах [29, 32, 33, 58, 91] для этого случая построена теория о.р. задачи (1), (2) при произвольной ограниченнной измеримой начальной функции м0 • В [15] рассмотрены о.р. задачи Коши (1), (2) с обобщенными начальными данными типа производной полунепрерывной снизу функции ( в частности, начальной функцией может быть 6-функция ). В работе [6] И.М.Гельфанд сформулировал условия допустимости и дал принципиальное решение задачи Римана о распаде разрыва ( подробно изложенное также в [20] ) для случая невыпуклой функции потока. Этот случай исследовался также в работах [13, 34, 118]. В частности, в работе О.А.Олейник [34] ( см. также [6] ) было сформулировано условие единственности о.р. задачи Коши в классе кусочно-гладких функций. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах BV исследованы в работах [3, 72, 28] ( наиболее полно - в [3] ). Общая теория этой задачи для уравнения

ut + divx(p(t,x,u) + ф{Ь,х,и) = 0 (4)

в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н.Кружкова [17]-[19], где введено понятие обобщенного энтропийного решения ( коротко - о.э.р. ), естественно вытекающее из идеи метода "исчезающей вязкости" ( элементарное введение в теорию о.э.р. можно найти в пособиях [20, 8] ). Приведем определение о.э.р. применительно к уравнению (1):

Определение 1.1. Ограниченная измеримая функция и = u(t,x) называется о.э.р. задачи (1), (2), если: а) \fk £ К.

|и — k\t + diva;(sign(u — к)(ср(и) — (р(к)) < 0 (5)

в смысле распределений на П ( в Т>'(П) );

b) ess limw(i, •) = ?/,() в Ц0С(Шп), то есть существует множество

нулевой меры Лебега Е С Ш.+ такое, что u(t, ■) G -L/or(IRn) , t ^ S и u(t,-j^uoB bi0C(En) при t 0+ , t ££ .

Условие (5) означает, что для любой пробной функции

/ = /(*,ес0~(П), / > о

/ [|м - *|Д + sign(w - к)(<р(и) - <p(k), Vxf)]dtdx > 0, Jn

здесь (■,•) - скалярное произведение в 1". В случае общего уравнения (4) следует заменить (5) на условие

|и — k\t + divj:(sign(u — k)((p(t, х, u(t, x)) — Lp(t, x, &)) -f sign(w — k)(divx(p(t, x, k) + ijj(t, x, u)) <0 в D'(II).

Известно, что условие (5) эквивалентно условию: для любой выпуклой функции г](и) G С1 (M) ( энтропии )

rj(u)t + divxi/j(u) < 0 в 1)'(П),

где ф(и) — (ip1(u),...,фп(и)) - соответствующий вектор потока энтропии, определяемый равенством: ф'(и) = т]'(и)(р'(и) .

Из (5) при к = ¿ЦиЦоо следует, что ut + divx<p(u) < 0 в Р'(П) и u(t,x) удовлетворяет уравнению (1) в смысле распределений. В частности, если u(t,x) - кусочно гладкое решение, то u(t,x) удовлетворяет (1) в классическом смысле в областях гладкости, а на разрывах выполняется соотношение Ранкина-Гюгонио:

п

(■и+ - м_)г/0 + - <pi(uJ))vi = 0,

i=1

где и+ = u+(t,x) , == U-(t,x) - граничные значения на поверхности разрыва, а и = (Vo5 •••,1/п) ~ вектор нормали к поверхности разрыва. Из (5) можно вывести дополнительное условие на разрывы: если в направлении вектора v решение на поверхности разрыва претерпевает положительный скачок ( вектор v направлен от к и+ , < и+ ), то \/к 6 [и_,гг+]

п

(и+ - к)щ + Y2(lPi(u+) ~ 4>№))щ < i-1

Последнее условие соответствует условию возрастания энтропии на разрывах ( ударных волнах ) в газовой динамике.

В [19] доказана однозначная разрешимость задачи Коши (1), (2) для любой ограниченной измеримой начальной функции Мо и установлено, что о.э.р. есть предел ( в L¡0C(IÍ) ) при е —> 0+ решений соответствующей задачи Коши для параболического уравнения (3).

Отметим также, что о.э.р. С.Н. Кружкова совпадают с "полугрупповыми" решениями задачи (1), (2), построенными в [73] на основе "нелинейного" обобщения известной теоремы Хилле-Иосиды ( см. [14, 74] ).

Определение 1.1 распространяется и на более широкие классы решений. В частности, в работах [76, 100] рассмотрены обобщенные решения из класса конечных борелевских мер. Широко изучаются мерозначные решения задачи (1), (2), к которым мы вернемся чуть позже. В работах [4, 5] введены решения в среднем и функциональные решения ( некоторые важные приложения таких решений рассмотрены в статье [57] ). Отметим также, что задача (1), (2) может рассматриваться как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в подходящем локально выпуклом пространстве. Основные результаты теории таких уравнений содержатся, например, в обзоре [30].

Определение 1.1 имеет смысл и в случае, когда функции <pi(u), i = 1,..., п лишь непрерывны ( заметим, что негладкие функции потока часто возникают в приложениях, например, в теории дорожного движения ). В этом случае возможность появления характеристик со сколь угодно малыми наклонами к пространству Rn(x) приводит в общем случае к нехарактерному для гиперболических уравнений эффекту бесконечной скорости распространения возмущений. В частности, может нарушаться свойство конечности области зависимости решения от начальных данных. Например, в случае п = 1, <р\(и) = \и\а/а, 0 < а < 1 о.э.р. задачи (1), (2) с финитной

о , ~ ( ч Г 1, х е [-1,0],

начальной функцией щ(х) = j q х ^ [_1 0] имеет ВИД

4 '\ 0 , x<l(t),

т/ ч ( t/a — 1 , t < т = а/(1 — а), , где l(t) = | ¿(t/T)1/" , t>r ( как легко проверить,

линия разрыва х = l(t) удовлетворяет условиям допустимости ) и при всех ¿>0 функция имеет неограниченный носитель.

Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор-функции (р(и) было положено работами [21, 22, 63]. Что касается теорем существования в естественных классах о.э.р., то они справедливы без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока. Основанная на априорных оценках техника аппроксимации непрерывных <£>г- гладкими, позволяет устанавливать существование в тех же классах, что и для гладких функций потока. Впервые эта техника была применена в статье С.Н.Кружкова и Ф.Хильдебранда [21] для класса о.э.р. из (Пт) О Ь1 (Пт), П^ = (0,Т] х 1", Т > 0 - произвольно, где доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) для произвольной ограниченной суммируемой начальной функции и0(х).

Проблема единственности - гораздо более трудная, что связано с эффектом бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п > 1 к неединственности о.э.р. задачи (1), (2) ( соответствующие примеры можно найти в работах [25, 27, 39, 90] ). Поэтому, одной из главных проблем теории о.э.р. является выявление достаточных ( и необходимых ) условий единственности о.э.р.

Первое достаточное условие единственности в класе о.э.р. из Ь°°(Т1т) Г\ Ь1 (Пт) приведено в [21]. Это условие формулируется в виде ограничений на рост функций потока вблизи нуля и заключается в том, что для % ■= 1,...,п должны быть справедливы оценки |(р^и) — <^г(0)| < Ф(Н), и е М, где функция Ф(сг) определена и выпукла кверху на , причем для С(сг) = Ф_1(с7")

( при п — 1 никаких ограничений на функцию щ не налагается ). Условие (6) аналогично условию единственности Осгуда, возникающему в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты работы [21] обобщены в статье [22], где рассмотрен класс 2 + Ь1{Х1т), 2 = г(1;,х) - некоторая фиксированная ограниченная функция. В работе [114] методами теории мерозначных функций установлены существование и единственность о.э.р. из класса ¿^(М+^ЧИГ) П Ьр(Шп)) при условии, что - <¿¿(0)1 < |и|а, г = 1,..., п , где (п — 1)/п < а < 1.

Методы работ [18]-[20], [63, 21, 22] были развиты в кандидатской диссертации автора ( см. [39] и [24, 25], [35]-[38] ), где продолжено исследование задачи Коши (1), (2) в случае непрерывных функций потока срг в классах локально суммируемых ( здесь предполагается

(б)

равномерная непрерывность функций потока ) и мерозначных функций.

, В [39] ( см. также [25, 38] ) установлено существование о.э.р. для любой локально суммируемой начальной функции щ(х) . Более точно, доказано существование отображения F : Ц0С(Ш.п) Ц0С(П), сопоставляющего начальным данным щ о.э.р. F(uq) = и = u(t,x) задачи (1), (2) так, что справедливы свойства:

F1) если щ(х) < vq(x) п.в. на Мп и и = F(uo), v = F(v0), то u(t,x) < v(t,x) п.в. на П ( монотонная зависимость решения от начальных данных );

F2) если w0 - v0 G L1 (Mn) , и = F(u0), v = F(v0) , то для п.в. t G E+ верна оценка f |u{t,x) — v{t,x)\dx < ||w0 — i>o||i ( устойчивость решений no L1 -норме ).

Единственность о.э.р. ( более строго - монотонная зависимость о.э.р. от начальных данных ) установлена в [39] для п = 1 и в многомерном случае п > 1 при условии:

С1) существует строго возрастающая выпуклая кверху функция Ф(<т) на Ш+, такая, что lim Ф(сг) = 0; Mu,v G К. |f{u) — <*?(г>)| <

<т—>0+

Ф(|?1 — г>|), г = 1,... , п и для обратной функции G = Ф-1 выполнено интегральное условие (6).

Заметим, что последнее условие "изотропно": функция Ф - одна и та же для всех функций потока cpi.

Первый анизотропный результат о единственности о.э.р. был установлен в [25] ( см. также [1, 39, 64] и обзор [88] ) при выполнении следующего условия:

С2) Vit,v еШ

\(fi{u) - (fi(v)\ < LOi(\u - v\), г = 1,... , гг, (7)

где LOi(r) - субаддитивные функции на 1R+ , u>i(r) > 0 при г > 0 и

п

liminf г1_пП(г) < оо, где П(г) = Дш,-(г). (8)

¿=1

Заметим, что требование С2) всегда выполнено при п = 1. Ясно также, что в случае о.э.р. из класса £°°(П) достаточно потребовать, чтобы (7) выполнялось для u,v G [—М, М], где М > 0 - произвольно. В определенном смысле поведение функции П(г) вблизи точки г = 0 характеризует "суммарную" гладкость функций потока <fi, % = 1,..., п . Если = const • rai , то условие (8) означает, что

oi\ + • • • + ап > п — 1;

в [25, 39] примером показана точность этого условия для единственности ограниченного неотрицательного решения в случае п = 2, — и(У' . Более обще, при выполнении условия (8) можно доказать принцип сравнения для обобщенных энтропийных суб- и суперрешений ( коротко - о.э.суб.-р. и о.э.супер.-р. ) задачи (1), (2) ( см. [1, 27, 64, 90] ). Приведем соответствующие определения.

Обозначим /+ = тах(/, 0), = тах(—/, 0) ;

Определение 2.1. Ограниченная измеримая функция ь{у,,х) на П называется о.э.суб-р. задачи (1), (2) с начальной функцией г>(0,ж) = Уо(х) , если:

1) \/к £ К. справедливо неравенство

((г; - *)+)< + - кУ)'у(ф) ~ ¥>(*))] < 0 в 2>'(П)

( здесь можно положить ((у — к)+)'„ = sign(г; — к)+ );

2) выполнено предельное соотношение

евзИтМ*,*) - и0(*))+ = 0 в

Определение 2.2. Ограниченная измеримая функция т(1;,х) на П называется о.э.супер-р. задачи (1), (2) с начальной функцией ги(0,.т) = и)о(х), если:

1) Ук 6 К справедливо неравенство

((ю - *)"), + ^[((«7 - *)")'«, (*>М - < 0 в 2>'(П)

( здесь можно положить ((гс — к)~)'и} = — sign(w — к)~ );

2) выполнено предельное соотношение

еззИтМ*,*) - т0(х)У = 0 в Ь1с(Шп).

Определение 2.3. Будем говорить, что выполнен принцип сравнения для задачи Коши (1), (2), если для любого о.э.суб-р. ь(1:,х) и любого о.э.супер-р. задачи (1), (2) из условия Уо(х) < и)о(.х)

п.в. на Мп следует, что < п.в. на П.

При выполнении условия (8) принцип сравнения для о.э.суб.-р. и о.э.супер.-р. распространен в работах [1, 64] на случай неоднородного уравнения щ + <Иух(р(и) = / и установлен также для соответствующего стацинарного уравнения и + <И\х(р(и) = / . Кроме того, в [1, 64] рассмотрены некоторые специальные случаи единственности о.э.р.

Среди результатов, справедливых без каких-либо предположений о характере непрерывности функций (р{ следует отметить следующее утверждение о невозрастании I/- нормы о.э.р. с ростом I: если 1 < р < +оо и ио £ ^(Е"), то для п.в. ^ > О

иЦ, ■) £ ЩЖп) и ||«(*, ОН^СК») < \Ы\р (9)

( так что при р — оо получаем "принципа максимума" ). При р > п соотношение (9) было доказано в [39], в общем случае р > 1 - в [1, 64] и, для более широкого класса мерозначных решений, в [48].

Для консервативных гиперболических систем квазилинейных уравнений

^ + 1(и)х = о, и = их) е мт, (г, х) е п - м+ х м, (ю)

построение нелокальной теории обобщенных решений находится в стадии развития.

Условие гиперболичности означает ( см. [55, 56] ), что для всех II £ М.т имеется базис, состоящий из собственных векторов г*., к = 1,... , га линейного оператора А(17) = <1}{и) с соответствующими вещественными собственными числами ( характеристическими направлениями ).

Начиная с фундаментальной работы Лакса [92] наиболее интенсивно изучался случай строго гиперболических ( когда характеристические направления ^ попарно различны ) систем законов сохранения, истинно нелинейных по Лаксу. Условие истинной нелинейности означает, что при всех V 6 К™

О^ьПь) Ф О, А; = 1,... ,т

и в одномерном случае т = 1 соответствует условию выпуклости функции потока /(и).

Естественно, о.р. задачи Коши для системы (10) должны удовлетворять этой системе в смысле распределений. Дополнительное условие устойчивости кусочно гладких о.р. введено впервые в [92] и формулируется в виде ограничений на расположение характеристических направлений по отношению к линиям разрыва. Последнее условие тесно связано с так называемым энтропийным условием Кружкова-Лакса ( см. [19, 93] ), которое легко получить на основе метода исчезающей вязкости

р(иЪ + д(17)я< 0 в2Г(П), (11)

где функция р(11) - строго выпукла и связана с функцией д(и) соотношением ( А(и)* - сопряженный к А(17) оператор )

Уq{U) = А{иуУр{и).

(12)

Традиционно функцию р(11) называют энтропией, а q{U) - соответствующим потоком энтропии. В случае систем, возникающих в газовой динамике эти понятия имеют конкретное физическое содержание.

Заметим, что условие (11) имеет смысл для произвольных измеримых ( и, скажем, локально ограниченных ) функций и и по аналогии со скалярным случаем естественно определить обобщенное решение задачи Коши для систем (10) тем требованием, чтобы (11) выполнялось для всех энтропий р(17). В общем случае, однако, условие (12) сводится к переопределенной системе дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции р{11) и нелинейные энтропии для общих систем (10) могут вообще отсутствовать. Это одно из обстоятельств, препятствующих построению содержательной теории о.р. для общих систем (10).

В работе [92] доказано существование о.р. задачи Рима-на о распаде разрыва, когда начальное условие имеет вид

11_ . На базе этого результата Глимм доказал в [85] существование о.р. в случае начальных данных из пространства ВУ , имеющих достаточно малую норму в этом пространстве. До сих пор этот результат является единственным достаточно общим результатом о существовании о.р. ( различные варианты схемы Глимма рассматривались также в работах [98, 99, 67] ). В последнее десятилетие получен ряд результатов, связанных с построением о.р. методом компенсированной компактности ( [70, 71, 78, 79, 81, 97, 110, 112, 113] ), касающихся в основном случая т — 2 .

Единственность о.р. установлена лишь в некоторых частных

Подробные сведения о гиперболических системах квазилинейных уравнений можно найти в монографии [56]. Современное состояние теории о.р. для таких систем отражено в обзоре [75].

Начиная с работы В1Регпа [80] активно исследуется класс ме-розначных решений для квазилинейных законов сохранения и систем таких уравнений. Понятие мерозначной функции ( синонимы -мера Янга, параметризованная мера ) базируется на понятиях об-

в случае достаточно малого вектора 11+

случаях ( [68, 69, 77, 94, 95] ).

общенных кривых и поверхностей, введенных Янгом и Макшейном [119]-[122], [102, 103].

Пусть - некоторая область в Шм. Мерозначная функция со значением в М.т - это слабо измеримое отображение х —> vx области Г2 в пространство Prob0(Mra) вероятностных борелевских мер с компактным носителем на IRm . Слабая измеримость vx означает, что Vp( А) Е C(lRm) функция жи f p[X)dvx (А) измерима на Q .

Мерозначная функция их называется ограниченной, если существует М > 0 такое, что для п.в. х Е П suppz/^A) лежит в шаре ||А|| < М. Минимальное из таких М будем обозначать Цг^Цоо-

Наконец, мерозначные функции вида: = S(А — ?/(.?;)) ,

и(х) Е L°°(Q,Mm) ( 6(А - и) - мера Дирака в точке и £ Rm ) называются регулярными и отождествляются с соответствующими функциями и(х). Таким образом, имеется естественное вложение L°°(0,IRm) С MV(Q,Mm) , где обозначено: MV(Q, Rm) - множество ограниченных мерозначных функций на О со значениями в IRm . Заметим, что множество MV(STü,IRm) является выпуклым подмножеством линейного пространства слабо измеримых отображений О в пространство конечных борелевских зарядов с компактным носителем на Rm.

Ниже нам потребуются понятия сильной и слабой топологии на MV(Q,Rm), которые зададим секвенциально:

Определение 5.1. Пусть ^ Е MV(ft,IRm), к Е N; vx Е МУ(П,Мт). Будем говорить, что

1) последовательность ь>к ограничена, если для некоторой константы М > 0 при всех натуральных к Ц^Цоо < М\

2) последовательность сходится к их слабо, если

V/(A) Е С(М.т) [ f(\)dvkx{\) -»■ [ f(\)dvx{\) * -слабо в

JMm к^ОО J^m

3) последовательность и* сходится к их сильно, если

V/(A) G С(Г) / /(A)di/£(A) [ f(X)dux(X) вЬ1с(П).

Jr™ «Умm

Мерозначные функции естественно возникают как слабые пределы ограниченных последовательностей из Z/°°(Q,IRm) в смысле следующего результата Тартара ( см. [115] ):

Теорема 5.1. Пусть Uk(x), А; Е N - ограниченная в 1/°°(П,Мт) последовательность, Цг^Цоо 5: М. Тогда существует ограниченная мерозначная функция vx Е MV(f2,Rm), Ц^-Цоо < М и подпоследовательность ur(x) = Ukr{x) последовательности щ , такие, что

УДА) е С{жт)

/М / ДА)^Ж(А) * -слабо в Ь°°(П)

( то есть последовательность иг сходится к их слабо в смысле определения 5.1 ); при этом мерозначная функция их регулярна: 7у.с(А) = 6(\ — и) , и = и(х) € , тогда и только тогда, когда

иг —> и в Цос(0,^Шт) ( сильно ).

В дополнение к теореме 5.1 заметим, что, обратно, любая ограниченная мерозначная функция может быть получена как слабый предел ограниченной последовательности из Ь°°(0,Мт).

Обобщая утверждение теоремы 5.1, можно также доказать, что любое ограниченное множество в МУ(!Г2,Мт) слабо предкомпактно.

Полезной особенностью пространства МУ(Г2,Мт) является то обстоятельство, что нелинейные отображения и —► ¡[и) допускают единственные слабо непрерывные продолжения на МУ(0,Кт): "х /(А)^х(А).

Основные результаты теории мерозначных функций можно найти в работах [65, 66, 115] ( см. также обзор [9] ).

Мерозначные функции часто используются как вспомогательный объект при применении метода компенсированной компактности для обоснования сильной ( в Ь)ос ) сходимости последовательности решений, получающейся при аппроксимации исходного уравнения или системы. По поводу метода компенсированной компакт-

ности см. работы [9, 78, 79, 82, 104, 105, 112, 113, 114, 115, 116].

Мерозначные решения квазилинейных уравнений и систем естественно возникают при предельном переходе по последовательностям решений аппроксимирующих уравнений или систем. Например, если рассмотреть последовательность решений и^^х) задачи Коши для параболического уравнения (3) с £ = , —> 0 при к —» оо и начальным условием (2), то по принципу максимума последовательность и^^х) ограничена в £°°(П) и в силу теоремы 5.1, может быть после выделения подпоследовательности, эта последовательность сходится слабо в МУ(О) = МУ(Г2,Е) к некоторой скалярной мерозначной функции .

Известно ( см., например, [19] ), что для выпуклой функции Т}(и) 6 СХ(М) ( энтропии ) Г](ик)г + (Иухф(ик) < £к(у(ик))хх , где ф(и) = (^1 («),..., фп(и)) - соответствующий вектор потока энтропии. Отсюда в пределе при к —» сю получаем, что

?/(А)^,ж(А) + сНуж ф{Х)<1^х{\) < 0 в Х)'(П).

X

Это соотношение лежит в основе определения мерозначного решения ( коротко - м.р. ) задачи Коши для уравнения (1). При этом, так же как и в случае обычных о.э.р. из класса Ь°°(П), мы можем в соответствующем энтропийном условии взять порождающее семейство энтропий Кружкова г]к(и) = \и — , ^ 6 Е с потоками фк(и) = (<р(и) — (р(к)) sign(и — к). В постановке задачи Коши начальные данные будем предполагать также мерозначными:

1/0.« = е МУ(ИГ). (13)

Определение 5.2. Ограниченная мерозначная функция у1х на П называется м.р. задачи (1), (13), если: а) для всех к 6 М.

^ /|Л - ¿|^>ж(Л)+сЦуж /(^(А) - <р{к)) sign(Л - *)<Ч*(Л)< 0 (14)

b) esslimz/tj. = vl сильно в MV(Rr

в Р'(П);

b) ess

Легко видеть, что в регулярном случае определение 5.2 согласуется с определением 1.1, то есть функция u(t,x) Е 1/°°(П) является о.э.р. задачи (1), (2) в смысле определения 1.1 тогда и только тогда, когда регулярная мерозначная функция utiX(\) = <5(А — u(t,x)) является м.р. задачи (1), (13) с регулярной начальной функцией v»(\) = 6(\-u0(x)).

Можно интерпретировать м.р. как случайное поле u(t,x), где при фиксированном (¿, х) G П значение u(t, х) - случайная величина с распределением vtjX . Тогда требование (14) означает, что u(t,x) удовлетворяет условию (5) "в среднем", то есть

Е(\и - k\)t + divxE(((p(u) - <р(к)) sign(w - к)) < 0 в Р'(П),

здесь Е - знак математического ожидания.

Полагая в (14) к = ±М, где М = Н^Цоо , получим, что

д_ di

J \dvitX{\) + div, J ip(\)dvtjX{\) =0 в V'{U),

то есть соответствующее случайное поле х) удовлетворяет уравнению (1) "в среднем".

В случае регулярных начальных данных м.р. задачи Коши для уравнения (1) и для консервативных систем таких уравнений были определены Б1Регпа в [80] и рассматривались далее в работах

многих авторов [36, 37, 38, 39, 111, 114]. В работе [80] DiPerna установил регулярность м.р. i>tjX задачи (1), (13) в случае регулярной начальной функции щ(х) Е 'L°°(Rn) П ЩЩ и лр(и) Е С!(М,ЕП) при дополнительном предположении f \\\dvtiX(\) Е L°°(IR+, L^M"')) В общем случае «о (я) Е Ь°°(Шп) теорема регулярности любого м.р. задачи (1), (13) с регулярными начальными данными была доказана в [36, 39] при лишь непрерывных функциях (¿ч , удовлетворяющих условиям С1) или С2). Заметим, что из теоремы регулярности немедленно следует, что при выполнении условий этой теоремы о.э.р. задачи (1), (2) единственно. Действительно, если ui(t,x), w2(t,.x) -два различных о.э.р. задачи (1), (2), то ограниченная мерозначная функция vtjX(\) = (6(Х — Ui(t,x)) + <5(А — u2(t,ж)))/2 является нерегулярным м.р. задачи (1), (13) с регулярной начальной функцией и0(х), что приводит к противоречию.

В [39] доказана регулярность изэнтропических м.р., характеризующихся тем, что условие (14) выполнено со знаком равенства, приведен критерий изэнтропичности и найдена явная формула для изэнтропического решения в случае абсолютно непрерывных функций потока.

Некоторые достаточные условия регулярности рассматривались также в [114] для одного класса неограниченных м.р.

Итак, при разумных ограничениях м.р. задачи Коши (1), (13) с регулярными начальными данными также регулярно и, тем самым, является о.э.р. ( при этом, единственным ). В этом смысле больший интерес представляет случай нерегулярных начальных данных i/J , исследование которого было начато в работах автора [38, 39].

Известно ( см. [38, 39] ), что м.р. задачи Коши (1), (13) всегда существует и заведомо неединственно, если начальная функция vGx нерегулярна. Пусть, например, = v, где мера v на Ж не является мерой Дирака, а = f Xdv(X) - среднее значение меры v, 8а - мера Дирака в точке а. Тогда мерозначные функции, определяемые равенствами vtjX = v при t < т, utjX = 6а при t > т, где г > 0 - произвольно, образуют бесконечное семейство м.р. задачи Коши (1), (13) для простейшего уравнения щ = 0.

Среди положительных результатов отметим следующее обобщение соотношения (9): пусть vt>x - м.р. задачи Коши (1), (13). Тогда, если р > 1 , то 1) для п.в. t Е IR+

2) если М = Ц/уОЦоо , то supp^ С [—М,М] п.в. на П ( принцип мак-

(15)

симума ).

Соотношение (15) при р > п и принцип максимума доказаны в [39], в общем случае р > 1 (15) установлено в [48] и доказывается ниже в § 5.

2. Краткое содержание.

В настоящей диссертации продолжено исследование обобщенных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка и гиперболических систем таких уравнений. Диссертацию условно можно разделить на три части, В первой части ( глава 1 ) исследуются о.э.р. задачи (1), (2). Вторая часть ( главы 2-4 ) посвящена исследованию мерозначных решений. Наконец, в последней части ( глава 5 ) излагается нелокальная теория обобщенных энтропийных решений для гиперболических систем законов сохранения специального вида.

В 1-й главе излагаются новые результаты теории о.э.р. задачи (1), (2) в общем случае лишь непрерывных функций потока.

В § 1 приводится доказательство существования о.э.р. задачи (1), (2) в классе ограниченных измеримых функций ( подробно опубликованное в [48] ). Как сказано выше, существование о.э.р. доказано в общем классе локально суммируемых функций еще в [39]. В ограниченном случае доказательство из [39] упрощается. При этом, так же как в [39], мы строим отображение Г : Ь°°(Ш.п) I—► Ь°°{П), сопоставляющее начальным данным щ о.э.р. -Р(«0) = и = задачи (1), (2) и удовлетворяющее свойствам Е1), Р2). Отметим, что данный результат о существовании о.э.р. активно используется в диссертации.

В § 2 приводится следующее новое достаточное условие единственности о.э.р., которое, как показывается, слабее условия (8):

где 0(г) определена так же как в (8), а функции ш^г) удовлетворяют дополнительному требованию

Более обще, в § 2 доказано, что при выполнении условий (17), (16) для задачи (1), (2) справедлив принцип сравнения ( в смысле определения 2.3 ).

(16)

гш[(г) > сш{(г), с = сопэ! > 0.

(17)

В § 2 также показано, что условие (16) в определенном смысле близко к необходимому. Так, если п = 2 и функции потока удовлетворяют некоторым дополнительным предположениям технического характера, то условие (16) является необходимым и достаточным для единственности о.э.р. задачи (1), (2) с произвольной ограниченной измеримой начальной функцией.

Результаты § 2 содержатся в статьях [27, 90].

В работе [23] С.Н.Кружковым была поставлена проблема единственности обобщенного решения задачи Коши для уравнения щ + ср(и)х = 0, (р(и) £ С2(М), <р"(и) > 0, удовлетворяющего одному энтропийному условию 1]{и)1-\-ф{и)х <0 с некоторой строго выпуклой энтропией г](и).

В § 3 дается положительное решение этой проблемы ( подробно опубликованное в [41, 44] ). Идея доказательства единственности решения я) заключается в переходе к потенциалу V = ?/(£,ж), определяемому условиями: = — (р(и^,х)) , их^,х) — и(1,х) .

По построению, II удовлетворяет п.в. уравнению Гамильтона-Якоби £/г + ¡(их) = 0 . Основной объем доказательства занимает вывод оценки ( на основе энтропийного условия для и^, х) ): \//г > 0

А 1ии,х) = --V---< сош^/г.

пА

Известно ( см., например, [16, 20] ), что в классе функций, удовлетворяющих оценке указанного вида, задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби разрешима однозначно, откуда и следует единственность решения х) = £4(2, ж) исходной задачи.

В § 4 рассмотрены о.э.р. задачи Коши для квазилинейного уравнения на гладком многообразии М

щ + (а(х,и),и) — 0, и = х) £ П = М+ х М,

и(о,ж) = щ(х) е ь°°(м).

Здесь и а{х,и) , и £ К. - параметризованное семейство векторных полей на М, С1-гладкое по совокупности переменных.

В § 4 дано инвариантное ( без использования локальных координат ) определение о.э.р. и с помощью техники трубчатых окрестностей доказано, что исходная задача может быть сведена к некоторой "классической" задаче Коши вида (1), (2) в полупространстве

х Мп при достаточно большом п £ N. Из последнего результата непосредственно вытекают теоремы существования и единственности о.э.р. исходной задачи Коши.

Отметим, что другие методы исследования линейных и квазилинейных систем первого порядка, записываемых с помощью инвариантных дифференциальных операторов на римановых многообразиях рассматривались в монографии A.A. Дезина [10].

В главах 2-4 продолжено исследование м.р. задачи (1), (13).

В § 5 приводится доказательства соотношения (15) ( в общем случае р > 1 ) и принципа максимума. В § 6 устанавливается регулярность м.р. задачи (1), (13) с регулярными начальными данными при выполнении условия (16). Как отмечено выше, м.р. задачи (1), (13) с нерегулярными начальными данными всегда неединственно, что побуждает сузить класс допустимых м.р. В § 7 введено понятие сильного мерозначного решения ( коротко - с.м.р. ) и показано, что всегда существует единственное с.м.р. задачи (1), (13).

Определение 7.1. Ограниченная мерозначная функция vt<x называется с.м.р. задачи (1), (13), если для всех Л (Е (0,1) функция u(t, х. А) = inf{ ¡11 ^((/л, +оо)) < Л } является о.э.р. задачи (1), (2) с начальной функцией и0(.т, Л) = inf{ ц \ гл£((/л, +оо)) < Л } .

Для регулярного м.р. vt)X{А) = <5(Л — u(t,x)) имеем u(t,x,\) = u(t,x) и vtx является с.м.р. Заметим далее, что при фиксированных (t,x) Е П образ меры Лебега d\ на (0,1) при отображении Л i—> u(t,x, А) совпадает с мерой ut,x '■ = u(t,x,-)*d\ ( аналогично,

— u0(x,-)*d\ ). Это позволяет представить неравенство (14) в форме

Таким образом, в определении 7.1 содержится усиление условия (14), а именно требуется, чтобы подынтегральное выражение в (18) было неположительным ( в Х>'(П) ) при всех А 6 (0,1) . В частности, любое с.м.р. является м.р. в смысле определения 5.2. Из однозначной разрешимости задачи (1), (2) легко следует существование и единственность с.м.р. задачи (1), (13). Точнее, справедлива

Теорема 7.1. а) С.м.р, задачи (1), (13) существует.

b) С.м.р. щ>х задачи (1), (13) с постоянной мерозначной функцией V® = V постоянно: — V п.в. в П .

c) При выполнении условия единственности о.э.р. задачи Коши (1), (2) с любой ограниченной измеримой начальной функцией ( например, условия (17), (16) ) с.м.р. единственно ( мерозначные функции.

divx(((p(u(t, х, А)) — <p(k)) sign (и (t, х, А) — k))]dX < 0.

(18)

отличающиеся на множестве нулевой меры значений аргументов отождествляются ).

В § 7 исследуется также поведение последовательностей м.р. ( слабых и сильных ); в частности, установлена сильная замкнутость множества с.м.р. Результаты, содержащиеся § 7 опубликованы в [42] ( подробно - в [48] ).

В 3-й главе диссертации устанавливается сильная предкомпакт-ность ограниченных множеств м.р. ( без начальных ограничений ) для уравнения

áivx(p(u) + ф(х, и) = 0, (19)

и = и(х) , х = (#1,..., хп) Е П , Ос М" - открытое множество, ip(x,u) = ... ,<р„(ж,и)), функции (pi(u) Е C(R), г=1,...,п;

ф(х,и) - ограниченная на любом компакте А' С П х I борелевская функция.

В § 10 доказана теорема 10.2 о сильной предкомпактности ограниченных множеств м.р. уравнения (19) при выполнении следующего условия невырожденности:

V£ Е Кп , £ Ф 0 функция и i(<р(и),£) не постоянна ни на каком невырожденном интервале.

В регулярном случае в частности получаем, что любое ограниченное в L°°(Q) множество о.э.р. невырожденного уравнения (19) предкомпактно в топологии Lfoc(Q) ( причем, условие невырожденности является также и необходимым для сильной предкомпактности любого ограниченного множества о.э.р. ).

Заметим, что результат о сильной предкомпактности ограниченных множеств о.э.р. доказан также в [96] при следующем более жестком ограничении: <р(и) Е С2,а , ft>0nV(GKn,(/0

mes{ А Е М | КУ(А)) = 0 } = 0.

Результат теоремы 10.2 при п = 2 можно установить, используя метод компенсированной компактности, в духе работы [115]. Однако при п > 2 метод компенсированной компактности не работает и для доказательства основных теорем мы используем вариант принципа локализации для Л"-меры, порожденной ограниченной последовательностью мерозначных функций. Понятие ií-меры, ассоциированной с последовательностью вектор-функций, введено в работе Тартара [117]. В § 8 мы расширяем это понятие, определяя Н -меру ( с "непрерывными" индексами ) по последовательности мерозначных функций и устанавливаем с использованием резз^льтатов § 8,

§ 9 принцип локализации для Я-меры в случае последовательности м.р.

Материал 3-й главы подробно опубликован в [40, 43], где рассмотрен более общий случай, когда вектор потока зависит от х: (р = у), ив [46].

В работах [83, 84] был предложен метод решения задачи (1),

/ о \ «-» «-» 55 «-»55

(2), основанный на так называемой кинетическои интерпретации о.э.р. Этот метод был развит позднее в [96] ( см. также [87, 97, 108, 109] ). В [96] показано, что функция и — u(t,x) является о.р. задачи (1), (2) тогда и только тогда, когда функция / = f(t,x,v) = Xu(t,x)(v), где при u,v еШ

Xu(v) = в (и — v) — 0(—v) , в{Х) = д ^ Ц - функция Хевисайда,

является о.р. ( в смысле распределений ) соответствующей задачи для кинетического уравнения

jtf + (v'(v),yj) = ~m (20)

( (•,•) - скалярное умножение на R" ) с некоторой неотрицательной локально конечной мерой т = m(t,x,v) на П х Е, финитной по переменной v , и начальным условием

f(0,x,v) = f0(x,v), (21)

где f0(x,v) = Xu0(x)(v) .

Термин "кинетическое уравнение" используется всвязи с тем, что уравнение (20) аналогично уравнению Больцмана, возникающему в кинетической теории газов.

Кроме того, в [96] ( см. также [109] ) приведена следующая ап-проксимационная схема.

Рассмотрим при £ > 0 решение ( в Р'(ПхЕ) ) /е = fe(t,x,v) задачи Коши для уравнения

f£{t,x}v) = Xpt(t,x){v), Pe(t,x)= / f£(t,x,v)dv

Jm

с начальным условием f£(0,ж,1>) = fQ(x,v) . Тогда, как показано в [96], при е —> 0 fe{t1 x,v) —»• f(t,x,v) в L}0C(Il х М), где f{t.,x,v) = Xu{t,x)(v) - о.р. задачи (20), (21).

В главе 4 мы распространяем приведенные выше результаты на случай мерозначных решений. В § 11, § 12 доказано, что ограниченная мерозначная функция utjX является м.р. задачи (1), (13) тогда и только тогда, когда соответствующая функция распределения f(t,x,v) = vtjX((v,+oo)) является обобщенным решением задачи Ко-ши (20), (21) с начальным условием fo(x, v) = vx((v, +оо)). При этом, i/t,x является с.м.р. задачи (1), (13) тогда и только тогда, когда для любой неубывающей функции s(u) £ С1([0,1]) функция s(f(t,x,v)) является о.р. задачи (20), (21) с начальной функцией s(fo(x,v)).

Используя кинетическую формулировку, мы можем распространить на мерозначный случай предложенную в [96] аппроксимаци-онную схему. Для этого требуется более тонкая аппроксимация правой части соответствующего кинетического уравнения. Рассмотрим задачу

ft + (v'(v),Vxf) = r-(g-f), (22)

f(0,x,v) = f0(x,v), (23)

/ = /(£, х, v) £ L°°(П xl), г = const > 0 , нелинейный оператор / ь-» Ff = д определяется равенством

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Панов, Евгений Юрьевич, 1997 год

Литература

Бенилан Ф., Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка с непрерывными нелинейностями// Доклады РАН. 1994. Т. 339. Ш 2. С. 151-154.

Берг И, Лёфстрём И. Интерполяционные пространства. М.: Мир, 1980.

Волъперт А.И. Пространства BV и квазилинейные уравнения// Мат. сборник. 1967. Т. 73. № 115. С. 255-302.

Галкин В. А., Тупчиев В.А. О разрешимости в среднем системы квазилинейных законов сохранения// ДАН СССР. 1988. Т. 300. № 6. С. 1300-1304.

Галкин В.А. Функциональные решения законов сохранения// ДАН СССР. 1990. Т. 310. № 4. С. 834-839.

Гелъфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// УМН. 1959. Т. 14. JVs 2. С. 87-158.

Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.; Наука, 1969.

Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. М.: МГУ. 1997.

Дакоронья Б. Слабая непрерывность и слабая полунепрерывность снизу нелинейных функционалов// УМН. 1989. Т. 44. № 4. С. 35-98.

Дезин A.A. Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990.

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. 2-е изд. М. Наука, 1986.

Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

Калашников A.C. Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условий выпуклости как пределов решений параболических уравнений с малым параметром// ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 27-30.

[14] Клемент, Ф., Хейманс XАнгенент С., ван Дуйн К., де Пах-тер Б. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир. 1992.

[15] Кружков С.Н. Задача Коши в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 1. С. 36-89.

[16] Кружков С.Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными. Ч. I// Мат.сборник. 1966. Т. 70. № 3. С. 394-415.

[17] Кружков С.Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения// Мат. заметки. 1969. Т. 6. № 1. С. 97-108.

[18] Кружков С.Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 1. С. 29-32.

[19] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Мат.сборник. 1970. Т. 81. № 2. С. 228-255.

[20] Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными. 4.2 Уравнения первого порядка. М.: МГУ. 1970.

[21] Кружков С.Н., Хилъдебранд Ф. Задача Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в случае, когда область зависимости от начальных данных бесконечна// Вестник Моск. ун-та. 1974. № 1. С. 93-100.

[22] Кружков С.Н., Андреянов П.А. К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций// ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 1. С. 23-26.

[23] Кружков С.Н. и др. Некоторые нерешенные задачи теории дифференциальных уравнений и математической физики// УМН. 1989. Т. 44. № 4. С.191-202.

[24] Кружков С.Н., Панов Е.Ю. Консервативные законы с бесконечной областью зависимости от начальных данных// УМН. 1989. № 4. С. 222-223.

[25] Кружков С.Н., Панов Е.Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 79-84.

[26] Кружков С.Н., Панов Е.Ю. Условия типа Осгуда в проблеме единственности обобщенного энтропийного решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка при наличии эффекта бесконечной скорости распространения возмущений (тезисы)// УМН. 1995. Т. 50. № 4. С. 77.

[27] Кружков С.Н., Панов Е.Ю. Условия типа Осгуда в проблеме единственности обобщенного энтропийного решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка// Вестник РУДН, сер. Математика. 1996. № 3. Вып. 1. С. 72-91.

[28] Кузнецов H.H. О слабом решении задачи Коши для многомерного квазилинейного уравнения// Мат. заметки. 1967. Т. 2. № 4. С. 401-410.

[29] Ладыженская O.A. О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений как пределов решений соответствующих параболических уравнений, когда коэффициент вязкости стремится к нулю// ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 2. С. 291-294.

[30] Лобанов С.Г., Смоляное О.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах// УМН. 1994. Т. 49. Вып. 3. С. 93-168.

[31] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

[32] Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений// УМН. 1957. Т. 12. № 3. С. 3-73.

[33] Олейник O.A. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций// ДАН СССР. 1954. Т. 95. № 3. С. 451-455.

[34] Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения// УМН. 1959. Т. 14. № 2. С. 165-170.

[35] Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций// УМН. 1988. Т. 43, № 1. С. 205-206.

[36] Панов Е.Ю. Мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с неограниченной областью зависимости от начальных данных// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1988. Т. 88. С. 102-108.

[37] Панов Е.Ю. Мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с неограниченной областью зависимости от начальных данных// Тезисы докладов 14-й школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород. 1989.

[38] Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классах локально-суммируемых и мерозначных функций// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1990. Т. 98. С. 61-66.

[39] Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения// Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1991.

[40] Панов Е.Ю. О компактности ограниченной последовательности мерозначных решений для квазилинейного уравнения первого порядка// Деп. в ВИНИТИ. 1992. № 3741-В92.

[41] Панов Е.Ю. О единственности г) -решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Деп. в ВИНИТИ. 1992. № 3742-В92.

[42] Панов Е.Ю. Сильные мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с ограниченной мерозначной начальной функцией// Вестник Моск. Унив-та, Сер.1, Математика. Механика. 1993. № 1. С. 20-23.

[43] Панов Е.Ю. О последовательностях мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1994. Т. 185. № 2. С. 87-106.

[44] Панов Е.Ю. О единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с одной допустимой

строго выпуклой энтропией// Математ. заметки. 1994. Т. 55. № 5. С. 116-129.

[45] Помов Е.Ю. О компактности ограниченного множества обобщенных решений квазилинейного уравнения первого порядка в топологии поточечной сходимости ( тезисы )// УМН. 1994. Т. 49. № 4. С. 84.

[46] Панов Е.Ю. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 103-114.

[47] Панов Е.Ю. Мерозначные решения квазилинейных законов сохранения// Вестник Моск. Ун-та. Серия 1 мат-ка, мех-ка. 1995. № 6. С. 20.

[48] Панов Е.Ю. О мерозначных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Известия РАН. 1996. № 2. С. 107-148.

[49] Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Тезисы докладов конференции "Современные методы в теории краевых задач ( Понтрягинские чтения-VII )". Воронеж. 1996. С. 139.

[50] Панов Е.Ю. Об одной аппроксимационной схеме для мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Тезисы докладов конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 1996. С. 77-79.

[51] Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка на многообразии// Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 257-266.

[52] Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для некоторых классов гиперболических систем первого порядка// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 6. С. 7577.

[53] Панов Е.Ю. Об одной аппроксимационной схеме для мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1997. Т. 188, № 1. С. 83-108.

[54] Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Математ. сборник. 1997. Т. 188. № 5. С. 85-112.

[55 [56

[57

[58

[59

[60

[61 [62 [63

[64

[65

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1961.

Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-е изд. М.: Наука, 1978.

Склобовский Н.К., Тупчиев В.А. Функциональные решения законов сохранения и разностные схемы// Матем. модел. 1991. Т. 3. № 7. С. 78-100.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О разрывных решения квазилинейного уравнения первого порядка// ДАН СССР. 1954. Т. 99. JV» 1. С. 27-30.

Триб ель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

Харди Г.Г., Литтлъвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: 1948.

Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

Эйделъман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

Benilan Ph. Equation d'évolution dans un space de Banach quelconque et applications. These de Doctorat d'Etat. Centre d'Orsey. Université de Paris-Sud. 1972.

Benilan Ph., Kruzhkov S.N. Conservation laws with continuous flux fonctions// NoDEA. 1996. V. 3. P. 395-419.

Berliocchi H., Lasry J.M. Intégrandes normales et measures paramétrées en calcul des variations// C. R. Acad. Sci. Paris. 1971. У. 274. P. 839-842.

[66] Berliocchi H., Lasry J.M. Intégrandes normales et measures paramétrées en calcul des variations// Bull. S. M. F. 1973. V. 101. P. 129-184.

[67] Bressan A. Global solutions to systems of conservation laws by wave-front tracking// J. Math. Anal. Appl. 1992. V. 170. P. 414-432.

Bressan A. The Unique limit of the Glimm scheme// Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V 130. P. 205-230.

Bressan A., Colombo R. M. Unique solutions of 2 x 2 conservation laws with large data// Indiana Univ. Math. J. 1995. V. 44. N 3. P. 677-725.

Chen G.-Q. The compensated compactness method and the system of izentropic gaz dinamics// preprint MSRI-00527-91. Berkeley. 1990.

Chen G.-Q., Kan P.T. Hyperbolic conservation laws with umbilic degeneracy// Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V 130. P. 231-276.

Conway E., Smoller J. Global solutions of the Cauchy problem for quasi-linear first-order equations in several space variables// Comm. Pure Appl. Math. 1966. V 19. N 1. P. 95-105.

Cranda.ll M.G. The semigroup approach to first order quasilinear equations in several space variables// Israel J. Math. 1972. V. 12. P. 108-132.

Crandall M.G., Liggett T.M. Generation of semigroups of nonlinear transformations on general Banach spaces// Am. J. Math. 1971. V. 93. P. 265-298.

Dafermos C.M. Hyperbolic systems of conservation laws// Proc. Int. Congr. of Math. Zurich. 1994. V. 2. P. 1096-1107.

Demengel F., Serre D. Nonvanishing singular parts of measure valued solutions for scalar hyperbolic equations// Commun. in Partial Differential Equations. 1991. V. 16. P. 221-254.

DiPerna R.J. Uniqueness of solutions to hyperbolic conservation laws// Indiana Univ. Math. J. 1979. V. 28. N 1. P. 137-188.

DiPerna R.J. Convergence of approximate solutions to conservation laws// Arch. Rat. Mech. Anal. 1983. V. 82. P. 27-70.

DiPerna R.J. Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics// Commun. Math. Physics. 1983. V. 91. P. 1-30.

DiPerna R.J. Measure-valued solutions to conservation laws// Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V. 88. P. 223-270.

[81] DiPerna R.J. Compensated compactness and general systems of conservation laws// Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 292. P. 383420.

[82] Evans L. C. Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations// American Mathematical Society. Providence. 1990.

[83] Gig a Y., Miyakawa T. A kinetic construction of global solutions of first order quasilinear equations// Duke Math. J. 1983. V. 50. N 2. P. 505-515.

[84] Giga Y.} Miyakawa T., Oharu S. A kinetic approach to general first order quasilinear equations// Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 287. N 2. P. 723-743.

[85] Glimm J. Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws// Comm. Pure Appl. Math. 1965. V. 18. P 695-715.

[86] Hopf E. The partial differential equation ut -f uux = ¡iuxx j/ Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3. N 3. P. 201-230.

[87] James F., Peng Y.-J., Perthame B. Kinetic formulation for chromatography and some other hyperbolic systems// J. Math. Pures Appl. (9). 1995. V. 74. N 4. P. 367-385.

[88] Kruzhkov S.N. Conservation laws with the infinite domain of dependence on initial data, in Differential Equations and Control Theory, edited by V. Barbu. Pitman Research Notes in Mathematics. 1991. V 250. P. 149-162.

[89] Kruzhkov S.N., Panov E.Yu. Uniqueness and regularity of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear first order equations (abstract)// Int. Conf. "Nonlinear Differential Equation". Kiev. 1995.

[90] Kruzhkov S.N.; Panov E. Yu. Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order// Annali Univ. Ferrara-Sez. 1994-1995. V. XL. P. 31-53.

[91] Lax P. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations// Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. N 1. P. 159-193.

100

101

102

Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws// Comm. on diff. equat. 1957. V.10. P.537-566.

Lax P.D. Shock waves and entropy, contributions to Nonlinear Functional Analysis ( E.A. Zarantonello, ed. ). Academic Press. 1971. P. 603-634.

LeFloch P.G. An existence and uniqueness result for two nonstrictly hyperbolic systems// IMA Volumes in Math, and its Appl., "Nonlinear evolution equations that change type". 1990. V. 27, ed. B. Keyfitz and M.Shearer, Springer Verlag. P. 126-138.

LeFloch P.G., Xin Z.-P. Uniquness via the adjoint problems for systems of conservation laws// Comm. Pure Appl. Math. 1993. V 46. P. 1499-1533.

Lions P.L., Perthame B., Tadmor E. A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations// J. Amer. Math. Soc. 1994. V. 7. N 1. P. 169-191.

Lions P.L., Perthame B., Tadmor E. Kinetic formulation of the isentropic gas dynamics and p -systems// Comm. Math. Physics. 1994. V. 163. P. 415-431.

Liu T.P. The deterministic version of the Glimm scheme// Comm. Math. Physics. 1975. V. 57. P. 135-148.

Liu T.P. Admissible solutions of hyperbolic conservation laws// Mem. Amer. Math. Soc. 1981. V. 240.

Liu T.P., Pierre M. Source solutions and assimptotic behavior in conservation laws// J. of Differential Equation. 1984. V. 51. P. 419441.

Liu T. P., Wang C. H. On a nonstrictly hyperbolic system of conservation laws// J. Diff. Equat. 1985. V. 57. P. 1-15.

MacShane E. Generalized curves// Duke Math. J. 1940. V. 6. P. 513536.

MacShane E. Necessary conditions in the generalized curve problem of the calculus of variations// Duke Math. J. 1940. V. 7. P. 1-27.

Moravetz C. An alternative proof of DiPerna's theorem// Comm. Pure and Appl. Math. 1991. V. 44. P. 1081-1090.

[105] Murât F. Compacité par compensation// Ann. Scuola Norm. sup. Pisa. 1978. V. 5. P. 489-507.

[106] Panov E. Yu. On compactness theorem for bounded sets of generalized solutions of a first order quasilinear equation (abstract)// Int. Congr. of Math. Zurich. 1994.

[107] Panov E. Yu. On strong precompactness of bounded sets of measure valued solutions for first order quasilinear equations (abstract)// Int. Congr. on Industrial and Applied Mathematics. Gamburg. 1995.

[108] Perthame B. Kinetic equations and hyperbolic systems of conservation laws// Proc. Int. Congr. of Math. Zurich. 1994. V. 2. P. 1118-1125.

[109] Perthame B., Pulvirenti M. On some large systems of random particles which approximate scalar conservation laws// Asymptotic Analysis. 1995. V. 10. P. 263-278.

[110] Rubino B. Compactness framework and convergence of Lax-Friedrichs and Godunov schemes for a 2x2 nonstrictly hyperbolic system of conservation laws// Quartely of Appl. Math. 1995. V. LUI. N 3. P. 401-421.

[111] Schochet S. Examples of measure-valued solutions// Comm. on Part. Diff. Eq. 1989. V. 14. N 5. P. 545-575.

[112] Serre D. La compacité par compensation pour les systèmes hyperboliques non linéaires de deux équations à une dimension d'espace// Jour, de Math. Pures et App. 1986. V. 65. P. 423-468.

[113] Serre D. Oscillations non linéaires des systèmes hyperboliques: méthodes et résultats qualitatifs// Ann. Inst. H. Poincaré, Analyse non linéaire. 1994. V. 8. N 3-4. P. 351-417.

[114] Szepessy A. An existence result for scalar conservation laws using measure valued solutions// Comm. in Part. Diff. Equat. 1989. V 14(10). P. 1329-1350.

[115] Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations// Research notes in mathematics, nonlinear analysis, and mechanics. Heriot-Watt Symposium. 1979. V. 4. P. 136212.

[116] Tartar L. The compensated compactness method applied to systems of conservation laws// Systems of Nonlinear PDB. J.M.Ball ed. Reidel, Dordrecht, 1983.

[117] Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenisation, oscillations and concentration effects in partial differential equations// Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1990. V. 115A. N 3-4. P. 193-230.

[118] Wu Zhuo-qun. On the existence and uniqueness of the generalized solutions of the Cauchy problem for quasi-linear equations of first order without convexity conditions// Chinese Math. 1964. V 4. P. 561-577.

[119] Young L.C. Generalized curves and the existence of an attained absolute minimum in the calculus of variations// C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie, Classe III. 1937. V. 30. P. 212-234.

[120] Young L. C. Generalized surfaces in the calculus of variations I// Ann. Math. 1942. V. 43. P. 84-103.

[121] Young L.C. Generalized surfaces in the calculus of variations II// Ann. Math. 1942. V. 43. P. 530-544.

[122] Young L.C. Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory. Philadelphia. W. B. Saunders. 1969.

[123] Zhu C., Zhao H. Existence of global smooth solutions for two important nonstrictly quasilinear hyperbolic systems// Acta math, sci. 1995. V. 15. N 1. P. 48-57.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций// УМП. 1988. Т. 43, № 1. С. 205-206.

2. Панов Е.Ю. Мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с неограниченной областью зависимости от начальных данных// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1988. Т. 88. С. 102-108.

3. Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классах локально-суммируемых и мерозначных функций// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1990. Т. 98. С. 61-66.

4. Кружков С.П., Панов Е.Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 79-84.

5. Панов Е.Ю. Сильные мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с ограниченной мерозначной начальной функцией// Вестник Моск. Унив-та, Сер.1, Математика. Механика. 1993. № 1. С. 20-23.

6. Панов Е.Ю. О последовательностях мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1994. Т. 185. № 2. С. 87-106.

7. Панов Е.Ю. О единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с одной допустимой строго выпуклой энтропией// Математ. заметки. 1994. Т. 55. № 5. С. 116-129.

8. Панов Е.Ю. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 103-114.

9. Kruzhkov S.N., Panov Е. Yu. Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order// Annali Univ. Ferrara-Sez. 1994-1995. V. XL. P. 31-53.

10. Панов Е.Ю. О мерозначных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Известия РАН. 1996. № 2. С. 107-148.

11. Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для некоторых классов гиперболических систем первого порядка// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 6.

С. 75-77.

12. Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка на многообразии// Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 257-266.

13. Панов Е.Ю. Об одной аппроксимационной схеме для мерознач-ных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1997. Т. 188, № 1. С. 83-108.

14. Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Математ. сборник. 1997. Т. 188. № 5. С. 85-112.

15. Панов Е.Ю. О кинетической интерпретации мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Фундам. и прикл. математ. 1998. Т. 4. № 1. С. 317-332.

16. Панов Е.Ю. О компактности ограниченного множества обобщенных решений квазилинейного уравнения первого порядка в топологии поточечной сходимости ( тезисы )// УМН. 1994. Т. 49. № 4. С. 84.

17. Panov Е. Yu. On compactness theorem for bounded sets of generalized solutions of a first order quasilinear equation (abstract)// Int. Congr. of Math. Zurich. 1994.

18. Panov E. Yu. On strong precompactness of bounded sets of measure valued solutions for first order quasilinear equations (abstract)// Int. Congr. on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995.

19. Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Тезисы докладов конференции " Современные методы в теории краевых задач ( Понтрягинские чтения-VII )". Воронеж. 1996. С. 139.

20. Панов Е.Ю. Об одной аппроксимационной схеме для мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Тезисы докладов конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 1996. С. 77-79.

21. Panov E.Yu. On special hyperbolic systems of conservation laws (enlarged abstract)// Conference on differential equations and their applications, Brno, 1997. P. 157-158.