Изучение иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат наук Емелин, Александр Викторович

• Емелин, Александр Викторович
• кандидат наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат наук Емелин, Александр Викторович

Оглавление

Введение

Глава I. Теоретические основы изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей

§1.1. Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников

§1.2. Обоснование целесообразности изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей

§1.3. Методическая модель визуализации иррациональных чисел в курсе

алгебры средней школы с использованием самоподобия

Выводы по главе I

Глава II. Методические аспекты изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей

§2.1. Методические особенности введения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей

§2.2. Специфика обучения учащихся действиям с иррациональными чис лами в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных ви

зуальных моделей

§2.3. Изучение иррациональных чисел на факультативных занятиях по алгебре с использованием самоподобных визуальных моделей

§2.4. Постановка и результаты педагогического эксперимента

Выводы по главе II

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей»

Введение

Актуальность исследования. С переходом на новую образовательную парадигму возникает необходимость использования новых средств обучения, обеспечивающих более интенсивное интеллектуальное развитие школьников. Одним из таких средств в обучении математике выступают визуальные модели, позволяющие представлять объект изучения в наглядной форме. Понятие визуализации появилось в методике обучения математике сравнительно недавно, однако, вопросы, связанные с повышением наглядности процесса обучения математике в школе и развитием образного мышления учащихся, интересуют исследователей на протяжении довольно длительного времени. К работам, имеющим особо важное значение в исследовании наглядности процесса обучения школьников математике, следует отнести, прежде всего, труды П.А. Карасева [74], И.Ф. Шарыгина [143], В.А. Крутецкого [83], И.С.Якиманской [154; 155; 156; 157], В.Г. Болтянского [27], А.Г. Гайштута [39], Э.Ю. Красса [107], П.Я. Дорфа [54], А.Я. Цукаря [136; 137; 138], Л.М. Фридмана [131; 132] и др.

Визуализация при обучении математике необходима, в первую очередь, там, где познавательная деятельность школьника предполагает работу с материалом, предметная (а, значит, и визуальная) основа которого является трудной для восприятия, а само знание - весьма абстрактным. Исследованием визуализации математических знаний занимались такие ученые, как В.А. Далингер [48], М.И. Башмаков, H.A. Резник [20], A.B. Пче-лин [113], Е.В. Никольский [104] и др.

Особую методическую ценность визуализация имеет при изучении иррациональных чисел в школьном курсе алгебры. Это объясняется тем, что их полноценное усвоение предполагает преодоление учащимися высокого уровня абстрактности и объективной сложности содержания учебного материала, требует наличия знаний, скрытых от непосредственного восприятия, оперирования понятиями, не имеющими не только наглядных ин-

терпретаций в учебно-методической литературе по математике, но и аналогов в опыте человека.

Значительный вклад в развитие учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры был сделан такими известными учеными, как И.К. Андронов [11], В.М.Брадис [30], К.С. Барыбин [17], Ю.М. Колягин [94], Ю.Н. Макарычев [1], A.A. Столяр [125], Н.Я. Виленкин [35], А.Г. Мордкович [96; 102], В.В. Репьев [115], С.Е. Ляпин [93], В. Серпинский [121] и др.

Работы этих и других авторов, касающиеся учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры, посвящены преимущественно вопросам совершенствования методов приближенного вычисление корней и преобразования выражений, состоящих из них, и направлены на раскрытие способов упрощения иррациональных выражений путем использования формул сокращенного умножения и некоторых других приёмов. При этом почти не затрагивается образная составляющая преобразований иррациональных выражений и, прежде всего, самих иррациональных чисел, а также визуальная основа арифметических действий с ними, в результате чего знания, которые получают школьники, нередко являются формальными.

В методической литературе по математике, несмотря на наличие научных работ и рекомендаций по изучению иррациональных чисел, проблема эффективных визуальных средств обучения, которые способствовали бы формированию правильных представлений школьников об иррациональных числах, не нашла достаточно полного решения, что, по-видимому, и является причиной недостаточности образной составляющей учебного материала школьных учебников.

Как следствие из данного обстоятельства, вопрос об исследовании методов и механизмов визуализации иррациональных чисел, которые позволили бы наглядно интерпретировать понятия, определяющие во взаимосвязи их природу, также является открытым.

Отдельные вопросы визуализации иррациональных чисел отражены

в работах таких отечественных ученых, как А.Я. Хинчин [135], В.И. Арнольд [12], М.И. Зайкин [69, 70], В.В. Вавилов [34], а также в работах зарубежных ученых: А. Нивена [160], Д.М. Борвейна и П.М. Борвейна [159], С. Рамануджана [158] и др. Но специальных исследований, посвященных визуализации иррациональных чисел в школе, практически нет.

Другими словами, в условиях отсутствия эффективных визуальных средств обучения школьникам достаточно сложно усвоить сам базис теории иррационального числа, необходимый для понимания его сущности, дальнейшего изучения материала, связанного с иррациональными числами, и формирования понятия действительного числа.

На основании проведенного анализа методической литературы по математике, посвященной проблеме изучения иррациональных чисел в средней школе, и практики математического образования школьников было определено противоречие между необходимостью визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы и отсутствием методических средств, позволяющих наглядно представлять иррациональные числа, производить действия с ними и использовать полученные визуальные модели в процессе обучения.

Из этого противоречия логически вытекает проблема исследования: каким образом осуществлять визуализацию иррациональных чисел в школьном курсе алгебры, чтобы облегчить восприятие школьниками иррациональных чисел, обеспечить видимость скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, способствовать пониманию учащимися сущности иррациональных чисел и их полноценному усвоению?

Объектом исследования является процесс обучения учащихся алгебре в средней школе.

Предметом исследования являются цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.

Цель исследования заключается в теоретическом обосновании и

разработке методического обеспечения изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей.

Гипотеза исследования заключается в том, что облегчение восприятия школьниками иррациональных чисел, видимости скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, понимание учащимися сущности иррациональных чисел и их полноценное усвоение в курсе алгебры средней школы могут быть обеспечены, если:

- изучение иррациональных чисел осуществлять с использованием визуализации учебного материала, обогащающей его образную составляющую и способствующей активизации мышления учащихся;

- разработать и задействовать в процессе обучения модель методической системы визуализации иррациональных чисел, включающую цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства их наглядного представления, являющиеся самоподобными визуальными моделями иррациональных чисел;

- в качестве основных математических объектов, составляющих самоподобные визуальные модели иррациональных чисел и способствующих их визуализации, использовать десятичные дроби, вложенные радикалы и логарифмы.

В соответствии с целью и гипотезой исследования были определены следующие задачи исследования:

1. Проанализировать проблему изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с целью определения путей совершенствования методики обучения.

2. Обосновать необходимость использования самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы как средства, позволяющего усилить образную составляющую учебного материала.

3. Раскрыть цели, объекты, формы, методы и механизмы визуализа-

ции иррациональных чисел и разработать модель методической системы визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.

4. Разработать методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.

5. Проверить экспериментально эффективность разработанного методического обеспечения.

Методологической основой диссертационного исследования являются исследования визуального мышления и восприятия (Р. Арнхейм, В.П. Зинченко, И.С. Якиманская и др.); научные работы, касающиеся наглядности математических знаний (В.Г. Болтянский, И.Ф. Шарыгин, П.А. Карасев и др.); фундаментальные положения фрактальной геометрии (Б.Б. Мандельброт, А.Д. Морозов, C.B. Божокин и др.); а также положения системного и личностно-деятельностного подходов и общефилософские положения об объективности причинно-следственных связей и законов природы.

Теоретической основой исследования являются

- философские исследования знаково-символьной информации (A.B. Славин, К.А. Свасьян, М.К. Мамардашвили и др.);

- математические работы, раскрывающие различные подходы к трактовке понятия иррационального числа (Евклид, Г. Кантор, Р. Дедекинд и

др-);

- работы педагогов-математиков по методике обучения алгебре в средней школе (Ю.М. Колягин, Н.Я. Виленкин, Ю.Н. Макарычев и др.);

- исследования по визуализации математических знаний в процессе обучения (В.А. Далингер, H.A. Резник, A.B. Пчелин и др.).

Методы исследования: изучение и анализ методической, математической, психолого-педагогической и философской литературы; наблюдение, анкетирование, тестирование; анализ контрольных и самостоятельных работ школьников по алгебре; методы математической статистики.

Этапы исследования:

1) 2008 - 2009 гг. - изучение и анализ методической, математической, психолого-педагогической и философской литературы, а также школьной практики обучения математике; определение темы и проблемы диссертационного исследования; разработка структуры диссертации;

2) 2009 - 2010 гг. - дальнейшее изучение проблемы исследования; разработка теоретических основ диссертационного исследования и модели визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры; формулирование основных положений;

3) 2010 - 2011 гг. - разработка методического обеспечения к изучению иррациональных чисел на основе предложенной модели и его экспериментальная проверка; апробация предложенной модели; анализ и систематизация результатов исследования; оформление диссертационной работы.

Научная новизна исследования заключается в том, что к изучению иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы предложен новый подход, основанный на расширении образной составляющей учебного материала с помощью самоподобных визуальных моделей, облегчающих восприятие школьниками иррациональных чисел, обеспечивающих видимость скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, способствующих пониманию школьниками сущности иррациональных чисел и их полноценному усвоению.

Теоретическая значимость исследования:

- обоснована целесообразность использования в качестве основного средства визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры самоподобных визуальных моделей;

- раскрыта сущность понятия самоподобной визуальной модели иррационального числа;

- разработана модель визуализации иррациональных чисел, изучаемых в школьном курсе алгебры, включающая цели, объекты, формы, мето-

ды, механизмы и средства наглядного представления учебного материала.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанное методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел может быть непосредственно применено в практике математического образования. Данное методическое обеспечение может быть использовано на уроках алгебры в 8-11 классах средней школы, а также на факультативных занятиях по математике.

Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результативность и выводы обусловлены опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, совокупностью задействованных методов исследования, а также положительными результатами проведенного эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Облегчение восприятия школьниками иррациональных чисел, видимости учениками скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, понимание сущности иррациональных чисел и их полноценное усвоение могут быть обеспечены в обучении благодаря визуализации учебного материала, которая обогащает его образную составляющую и способствует активизации мышления учащихся.

2. Визуализацию иррациональных чисел в школьном курсе алгебры целесообразно осуществлять на основе целостной методической системы, включающей цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства их наглядного представления, предметную основу которой образуют самоподобные визуальные модели иррациональных чисел.

3. В качестве основных математических объектов, составляющих самоподобные визуальные модели иррациональных чисел и способствующих их визуализации в школьном курсе алгебры, могут быть использованы десятичные дроби, вложенные радикалы и логарифмы.

На защиту выносится также методическое обеспечение к использо-

ванию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел, действий с иррациональными числами, а также при изучении иррациональных чисел на факультативных занятиях в курсе алгебры средней школы.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в виде обсуждений на заседаниях кафедры математики, теории и методики обучения математике АГПИ им. А.П. Гайдара; а также в виде выступлений на: Всероссийской научной конференции «Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования» (Саранск; 2009); VII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные технологии в образовании и профессиональной деятельности» (Арзамас, 2010); Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современный учитель сельской школы России» (Арзамас, 2010); VIII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные технологии организации обучения: на пути к новому качеству образования» (Арзамас, 2011); VI Межрегиональной научно-практической конференции «Современные проблемы информатизации образования, науки и техники» (Арзамас, 2009).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, выводов по главам, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 140 страницах машинописного текста. Список литературы включает 160 источников.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 12 статей.

11

Глава I

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ САМОПОДОБНЫХ ВИЗУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

§ 1.1. Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников

Проблема изучения иррациональных чисел в школьном курсе алгебры не является новой: ее содержание отражено в книгах по методике преподавания математики, пособиях для учителей, школьных учебниках и довольно значительном числе методических публикаций. Однако, несмотря на большое количество материала, связанного с изучением иррациональных чисел в средней школе, непериодичность десятичной записи иррациональных чисел и специфическая символика, которая введена для их обозначения, по-прежнему являются главными препятствиями для школьника при их изучении, определяя основу обозначенной выше проблемы.

Решение этой проблемы, хотя бы даже в некоторых частных вопросах, обусловлено необходимостью полноценного усвоения школьниками иррациональных чисел, предполагаемого учебной программой, формирования у них верных представлений о действительных числах в курсе алгебры средней школы, а также особым значением иррациональных чисел в математике.

Открытие иррациональных чисел способствовало развитию всей математики, т.к. «одной из первых побудительных причин к созданию математических теорий явилось открытие иррациональности, вначале в виде установления геометрического факта несоизмеримости двух отрезков» [116, с. 27]. Открытие существования несоизмеримых отрезков определило не только новое направление развития математики, но и затронуло ее фун-

даментальные основы: в частности, возникла необходимость пересмотреть важнейшее математическое понятие - число.

Для полноценного усвоения учащимися иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы необходимо, чтобы они,

- во-первых, знали причину непериодичности и определение иррационального числа, приведенное в учебниках;

- во-вторых, умели пользоваться этим определением, т.е. идентифицировать иррациональные числа во множестве всех десятичных дробей, приводить примеры иррациональных чисел и сравнивать различные иррациональные числа (иррациональные и рациональные числа), непосредственно руководствуясь данным определением;

- в-третьих, могли оперировать иррациональными числами в рамках четырех известных им арифметических операций;

- в-четвертых, имели правильные представления об алгебраических иррациональных числах, изучаемых в школе, для того, чтобы у них была возможность применить полученные знания при дальнейшем изучении математики и решении конкретных практических задач (формирование правильных представлений школьников об алгебраических иррациональных числах во многом зависит от их соответствия требованиям первых трех пунктов; обеспечивается изучением иррациональных чисел в их связях с рациональными отношениями и между собой и предупреждением возможных типичных ошибок);

- в-пятых, имели более широкие представления о способах происхождения иррациональных чисел, не выходя за пределы содержания учебной программы по алгебре.

Перейдем к анализу проблемы изучения иррациональных чисел курса алгебры средней школы в методической литературе и практике математического образования школьников в соответствии с пятью перечисленными выше основными требованиями к усвоению иррациональных чисел, попытаемся раскрыть ее содержание более подробно и выяснить, каковы

ее причины и следствия.

Обратим внимание, прежде всего, на то, как формулируется определение иррационального числа в различных научно-методических источниках.

В математической энциклопедии приводится следующее определение: «иррациональное число - число, не являющееся рациональным (т.е. целым или дробным) числом» [91, с. 666]. Такое определение иррационального числа является самым простым, именно с ним школьники знакомятся в первую очередь. Но вряд ли его стоит считать даже удовлетворительным, поскольку такая формулировка способствует пониманию только единственного факта: кроме рациональных чисел есть еще «нерациональные» числа, о природе которых ничего не говорится. Следовательно, такое определение нуждается в уточнении.

Рассмотрим еще одно определение: «действительное число а называется иррациональным, если оно отлично от всех рациональных чисел,

т.е. а Ф — при всех целых а и Ь» [33, с. 67]. Такая формулировка, казалось Ъ

бы, является более полной, т. к. в ней говориться о том, что иррациональное число является действительным и не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Но в данном определении ничего не сказано о том, что же все-таки представляет собой иррациональное число; причем, важно учесть и тот факт, что понятие действительного числа может быть введено только при условии, что школьники уже знакомы и с рациональными, и с иррациональными числами.

Формулировка определения иррационального числа, которая приводится в школьных учебниках, такова: «иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь» [100, с. 171], или «бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами» [1, с. 62]; при этом в учебниках для углубленного изучения алгебры оно форму-

лируется и вводится аналогичным образом [101, с. 40; 9, с. 113]. Но даже это определение иррационального числа не является таким простым и понятным учащимся, как может показаться. Это подтверждают и полученные экспериментальные данные: школьники быстро забывают определение иррационального числа, воспроизводят его неверно или неточно, что свидетельствует о том, что их знания по данному вопросу носят преимущественно формальный характер.

Так, 40% учащихся 9-х классов с углубленным изучением математики, принявших участие в тестировании, не смогли правильно сформулировать данное определение; а среди школьников 10-х классов, обучающихся по обычной программе, этот показатель практически равен 100%.

Попробуем разобраться, в чем заключается причина формального усвоения школьниками определения иррационального числа.

Как известно, понятие десятичной дроби вводится в 5-м классе как результат деления числителя обыкновенной дроби на ее знаменатель; в частности, первое определение десятичной дроби, с которым знакомятся учащиеся, формулируется так: «любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби» [89, с. 180]. В дальнейшем это определение становится более обобщенным; в 6-м классе вводится понятие бесконечной десятичной периодической дроби [90, с. 199-200], посредством которого определяются все рациональные числа, после чего в 8-м классе изучаются иррациональные числа как бесконечные десятичные непериодические дроби.

Школьники, приступающие к изучению иррациональных чисел, должны знать и уметь пользоваться тем, что любое рациональное число можно записать конечной или бесконечной периодической десятичной

дробью: например, 0,125 = 0,1250000... = 0,125(0); i = 0,33333... = 0,(3). Такое представление достигается с помощью известного алгоритма «деления

углом». В частности, если число является целым, то после запятой в десятичной записи такого числа записывается нуль в периоде. Например, -7 = -7,00000... = -7,(0). С другой стороны, какое бы иррациональное

число мы не рассматривали (скажем,«2,2360679...), его десятичная запись также бесконечна по определению. Бесконечность препятствует восприятию учащимися иррациональных чисел.

Определяющая же сложность заключается в том, что иррациональное число имеет такую бесконечную запись, в которой нет повторяющейся группы цифр - периода; а это значит, что бесконечную непериодическую дробь нельзя представить в виде какого-либо другого числа или отношения так, как это возможно для бесконечных периодических дробей. Поэтому при изучении иррациональных чисел школьник уже не может пользоваться периодом как визуальной опорой, а истинная причина непериодичности остается для него не всегда понятной и тем более не наглядной.

Причина непериодичности десятичного представления иррациональных чисел, как известно, состоит в том, что в записи бесконечной непериодической дроби можно обнаружить последовательности, состоящие из одних и тех же групп цифр, повторяющиеся бесконечное число раз и имеющие конечную длину, которая возрастает с возрастанием номера разряда дроби. Это означает, что какой бы предполагаемый период мы не выбрали, в записи иррационального числа всегда можно будет указать отрезок, который состоит из какой-либо повторяющейся группы цифр или, в частности, одной цифры и целиком содержит этот период, который по предположению включает и другие цифры; что в итоге приводит к противоречию с предположением о том, что исходная дробь является периодической.

Но данный факт не всегда просто увидеть в десятичном представлении непериодических дробей, поскольку для тех иррациональных чисел, с которыми школьники работают на уроках алгебры, - а это, как правило, алгебраические иррациональные числа, - потребовалось бы изучать записи, состоящие из миллионов и миллиардов цифр, зная при этом, какие

цифры повторяются бесконечное число раз, а какие - конечное, пусть даже и очень большое.

Поэтому для демонстрации причины непериодичности десятичной записи иррациональных чисел необходимо использовать такие числа, причина непериодичности которых может быть установлена визуально без рассмотрения их рациональных приближений с многомиллионными порядками точности. Такие иррациональные числа встречаются в школьном курсе алгебры довольно редко, причем, только лишь в качестве рядовых примеров, а не тех, которые можно задействовать при введении самих иррациональных чисел.

Поскольку причина непериодичности десятичного представления иррациональных чисел не рассматривается в курсе алгебры средней школы, то учащиеся могут иметь представления о самом понятии непериодичности только на формальном и интуитивном уровне.

Как показал опрос, проведенный в 9-х классах с углубленным изучением математики и 10-х классах, обучающихся по обычной программе, большинство школьников связывают непериодичность либо только с бесконечностью десятичной записи иррациональных чисел; либо с отсутствием закономерности цифр в их десятичных представлениях, что действительно имеет место при рассмотрении рациональных приближений тех иррациональных чисел, с которыми они работают; либо совсем не могут ответить на этот вопрос.

Таким образом, нераскрытая причина непериодичности десятичной записи иррациональных чисел на уроках алгебры в средней школе не позволяет понять учащимся их сущность, препятствуя усвоению определения иррационального числа. Но из данного обстоятельства следуют и другие факты.

Каждый школьник, знакомый с натуральными, целыми и рациональными числами, легко может привести множество примеров таких чисел. Но привести пример бесконечной непериодической дроби, следуя только

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Емелин, Александр Викторович, 2012 год

Список литературы

1. Алгебра [Текст]: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского- 4-е изд. -М.: Просвещение, 1996. - 239 с.

2. Алгебра [Текст]: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников, A.B. Шевкин. - 3-е изд. -М.: Просвещение, 2006. - 255 с.

3. Алгебра [Текст]: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под. ред. С.А. Теляковского - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 272 с.

4. Алгебра [Текст]: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.-223 с.

5. Алгебра для 9 класса [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, A.C. Симонов, А.И.Кудрявцев; под ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1996.-384 с.

6. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др. - 15-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 384 с.

7. Алгебра и начала анализа. 10 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2006. - 364 с.

8. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы [Текст]. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, JI.O. Денищева, Т.А. Корешкова и др.; под ред. А.Г. Мордковича. - 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. -239 с.

9. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учрежде-

ний / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистова. - 10-е изд., испр. -М.: Мнемозина, 2010. - 384 с.

10. Ананьев, Б.Г. Человек как предмет познания [Текст] / Б.Г. Ананьев. - 2-е изд.- СПб.: Питер, 2001. - 288 с. - («Мастера психологии»).

П.Андронов, И.К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами [Текст]: пособие для фак-та нач. шк. пед. ин-тов и пед. училищ / И.К. Андронов. - М.: Госучпедгиз, 1959. - 360 с.

12. Арнольд, В .И. Цепные дроби [Текст] / В.И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2000. - 40 с. - (Библиотека «Математическое просвещение»).

13. Арнхейм, Р. Искусство и визуальное восприятие [Текст] / Р. Арнхейм; сокр. пер. с англ. В.Н. Самохина, общ. ред. и вст. ст. В.П. Шестакова; науч. ред. JI.B. Блинников. -М.: Издательство «Прогресс», 1974. - 392 с.

14. Арнхейм, Р. Новые очерки по психологии искусства [Текст] / Р. Арнхейм; пер. с англ. Т.Е. Крейдлина; науч. ред. и вступ. ст. проф. В.П. Шестакова. - М.: Прометей, 1994. - 352 с.

15. Архипкин, В.Г. Естественно-научная картина мира [Текст]: учеб. пособие / В.Г. Архипкин, В.П. Тимофеев. - Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 2002. - 320 с.

16.Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад [Текст] / И.Л. Бабин-ская. - М.: Наука, 1975. - 112 с.

17.Барыбин, К.С. Методика преподавания алгебры [Текст]: пособие для учителей восьмилетней школы / К.С. Барыбин. - М.: Просвещение, 1965.-343 с.

18. Барышкин, А.Г. Основные параметры визуализации учебной информации [Текст] / А.Г. Барышкин, H.A. Резник // Компьютерные инструменты в образовании. - 2005. - №7. - С. 38-44.

19. Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ [Текст] / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; под ред. Д.К. Фаддеева. -Вып. 22. - М.: Наука, 1982. - 192 с. - (Библиотечка «Квант»).

20. Башмаков, М.И. Информационная среда обучения [Текст] / М.И. Башмаков, С.Н. Поздняков, H.A. Резник. - СПб.: СВЕТ, 1997. - 400 с.

21.Берталанфи, K.JI. Общая теория систем - обзор проблем и результатов [Текст] / K.JI. Берталанфи // Системные исследования: ежегодник. - М.: Наука, 1969. - С. 30-54.

22.Бескин, Н.М. Замечательные дроби [Текст] / Бескин, Н.М. - Минск: «Вышэйшая школа», 1980. - 125 с.

23.Богданов, A.A. Тектология: Всеобщая организационная наука [Текст]. В 2-х кн. Кн. 1. / Богданов, A.A.; редкол. Л.И. Абалкин (отв. ред.) и др.; Отд-ние экономики АН СССР. Ин-т экономики АН СССР. - М.: Экономика, 1989. - 304 с. - (Экон. наследие).

24. Богданов, A.A. Тектология: Всеобщая организационная наука [Текст]. В 2-х кн. Кн. 2. / Богданов, A.A.; редкол. Л.И. Абалкин (отв. ред.) и др.; Отд-ние экономики АН СССР. Ин-т экономики АН СССР. - М.: Экономика, 1989. - 351 с. - (Экон. наследие).

25.Божокин, C.B. Фракталы и мультифракталы [Текст]: учебное пособие / C.B. Божокин, Д.А. Паршин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.

26.Болтянский, В.Г. Беседы о математике [Текст]. Книга 1. Дискретные объекты / В.Г. Болтянский, А.П. Савин. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. -368 с.

27. Болтянский, В.Г. Наглядная топология [Текст] / В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. - Вып. 21. - М.: Наука, 1983. - 160 с. - (Библиотечка «Квант»).

28. Болтянский, В.Г. Сборник задач московских математических олимпиад [Текст] / В.Г. Болтянский, A.A. Леман. - М.: Просвещение, 1965. - 384 с.

29.Борвейн, Д.М. Рамануджан и число к [Текст] / Д.М. Борвейн, П.Б. Бор-вейн // В мире науки. - 1988. - №4. - С. 58-66.

30.Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе

[Текст] / В.М. Брадис; под ред. А.И. Маркушевича. - М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

31. Брадис, В.М. Методы и формы обучения математике [Текст] / Брадис В.М. // Хрестоматия по методике математике. Методы обучения. В 3 т. Т.2. - Арзамас: АГПИ, 2008. - С.189 - 191.

32.Бугров, Я. С. Высшая математика [Текст]: задачник / Я. С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Наука, 1982. - 192 с.

33.Бухштаб, A.A. Теория чисел [Текст] / A.A. Бухштаб. - 2-е изд., испр. -М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

34. Вавилов, В.В. Итерации радикалов [Текст] / В.В. Вавилов. - 2-е изд., испр. - М.: Школа имени А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 2000. -20 с.

35.Виленкин, Н.Я. Метод последовательных приближений [Текст] / Н.Я. Виленкин. - 2-е изд., перераб. и доп., вып. 35. - М.: Наука, 1968. - 108 с. - («Популярные лекции по математике»).

36. Винер, Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине [Текст] / Н. Винер; пер. с англ. И.В. Соловьева и Т.Н. Поварова; под ред. Т.Н. Поварова. - 2-е изд. - М.: Наука, 1983. - 344 с.

37.Воробьев, H.H. Числа Фибоначчи [Текст] / H.H. Воробьев. - 4-е изд., доп, вып. 6. - М.: Наука, 1978. - 144 с. - («Популярные лекции по математике»).

38.Газале, М. Гномон. От фараонов до фракталов [Текст] / М. Газале; пер. с англ. А.Р. Логунова. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 272 с.

39.Гайштут А.Г. Математика в логических упражнениях [Текст] / А.Г. Гайштут. - К.: Рад. шк., 1985. - 192 с.

40.Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре [Текст]: учеб. пособие для 89 кл. с углубл. изучением математики / М.Л. Галицкий, A.M. Гольдман, Л.И. Звавич. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 271 с.

41.Галкин, В.Я. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел [Текст]:

учебное пособие для абитуриентов и школьников / В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов, Е.В. Хорошилова. - М.: факультет ВМиК МГУ, 2002. - 180 с.

42.Галкин, Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра [Текст]: учеб. пособие для учащихся 7-11 классов / Е.В. Галкин. - Челябинск: Изд-во «Взгляд», 2004. - 448 с.

43.Гальперин, П.Я. Лекции по психологии [Текст]: учебное пособие для студентов вузов / П.Я. Гальперин; науч. ред. и вступ. проф. А.И. Подольского. - М.: Книжный дом «Университет»: Высшая школа, 2002. -400 с.

44.Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст]: пособие для учителей / Г.И. Глейзер; под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

45.Гнеденко, Б.В. Математика и математическое образование в современном мире [Текст] / Б.В. Гнеденко. - М.: Просвещение, 1985. - 192 с. -(Библиотека учителя математики).

46.Гонин, Е.Г. Теоретическая арифметика [Текст]: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов / Е.Г. Гонин. - М.: Учпедгиз, 1959. - 232 с.

47. Далингер, В.А. Когнитивно-визуальный подход и его особенности в обучении математике [Электронный ресурс] / В.А. Далингер // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета». - Вып. 2006 г. - Омск: ОГПУ, 2006. - Режим доступа: http://omsk.edu.

48. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений [Текст]: книга для учителя / В. А. Далингер. -М.: Просвещение, 2006. - 256 с. - (Библиотека учителя).

49. Далингер, В.А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при обучении геометрии [Текст]: учебное пособие / В.А. Далингер. - Омск: ОГПИ, 1992. - 96 с.

50.Даль, В.И. Толковый словарь русского языка. Современная версия

[Текст] / В.И. Даль. - М.: Изд-во «Эксмо», 2002. - 736 с.

51. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа [Текст] / Р. Деде-кинд; перев. с нем. проф. С.О. Шатуновского. - 4-е изд., испр. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с. - (Библиотека классиков точного знания).

52. Дорофеев, Г.В. Может ли Iii быть «выражен» через 4l ? [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 2006. - №2. - С. 78-80.

53. Дорф, П. Введение иррациональных чисел [Текст] / П. Дорф // Математика в школе. - 1939. - №3. - С. 61-65.

54. Дорф, П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения в средней школе [Текст]: пособие для учителей / П.Я. Дорф. - М.: Учпедгиз, 1960. - 160 с.

55.Дынкин, Е.Б. Математические соревнования. Арифметика и алгебра [Текст] / Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, A.JI. Розенталь. - Вып.З. - М.: Наука, 1970. - 96 с. - (Библиотечка физико-математической школы).

56. Емелин, A.B. Визуализация некоторых иррациональных уравнений с помощью Mathcad и Maple [Текст] / A.B. Емелин // Инновационные технологии в образовании и профессиональной деятельности. Материалы VII Всероссийской научно-практической конференции. Арзамас, 29 января 2010 г. -М.: Изд-во СГУ, 2010. - С. 147-155.

57. Емелин, A.B. Модель методической системы визуализации иррацио-нальностей в школьном курсе алгебры [Текст] / A.B. Емелин, М.И. Зай-кин // Мир науки, культуры, образования. - 2011. - № 5(30). - С. 25-27 (авт. 50%).

58. Емелин, A.B. О визуализации иррациональностей в математической подготовке студентов педвузов [Текст] / A.B. Емелин // Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования: материалы Всерос. науч. конф. г. Саранск , 7-9 октября 2009 г. Часть II / под ред. Г.И. Саранцева; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2009. - С. 161-163.

59. Емелин, A.B. О применении самоподобия при визуализации иррацио-

нальных выражений с использованием программы Mathcad [Текст] / A.B. Емелин // Инновационные технологии организации обучения на пути к новому качеству образования: сборник материалов VIII Всероссийской научно-практической конференции. Арзамас, 2011 г. - М.: Изд-во СГУ, 2011.-С. 338-343.

60. Емелин, A.B. О расширении представлений школьников об иррациональных числах [Текст] / A.B. Емелин // Международный научный альманах. Выпуск 7. Сборник статей преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов / Под ред. В.И. Журко, A.A. Калюжного. - Галле; М.; Минск; Бишкек; Актобе, 2010. - С. 346-352.

61.Емелин, A.B. О самоподобии в иррациональных выражениях и его дидактической ценности [Текст] / A.B. Емелин // Международный научный альманах. Выпуск 4. Сборник статей преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов / Под ред. В.И. Журко, A.A. Калюжного. -Галле; М.; Минск; Бишкек, Актобе, 2009. - С. 296 - 303.

62. Емелин, A.B. Об одном наглядном способе вычисления приближенных значений некоторых иррациональных чисел [Текст] / A.B. Емелин // Математическое образование лицеистов: сборник научно-методических работ. Вып.2. Индивидуальные творческие работы по математике / Науч. ред. М.И. Зайкин, АГПИ, МБОУ «Лицей». - Арзамас: АГПИ, 2012. - С. 90-95.

63.Емелин, A.B. Об одном приеме символьной визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры [Текст] /A.B. Емелин // Мир науки, культуры, образования. - 2011- № 4(29).Часть 1. - С. 87-89.

64. Емелин, A.B. Об оценке значений иррациональных выражений вида

тельные технологии в системе математического образования. Часть II: материалы Международной научно-практической конференции (Ко-ряжма, 16-18 октября 2008 г.) / сост. C.B. Мясникова; Поморский гос. ун-т им. М.В.Ломоносова. - Архангельск: Изд-во Поморского универ-

[Текст] / A.B. Емелин // Современные образова-

ситета, 2008. - С. 410 - 416.

65.Емелин, A.B. Об эвристической ценности визуализации значений иррациональных выражений компьютерными средствами [Текст] / A.B. Емелин, М.И. Зайкин // Современные проблемы информатизации, науки и техники: сборник VI Межрегиональной научно-практической конференции. Арзамас, январь 2009 г. - М.: Изд-во СГУ, 2009. - С. 214 -219 (авт. 50%).

66. Емелин, A.B. Учителю математики о различных подходах к трактовке иррационального числа [Текст] / A.B. Емелин // Современный учитель сельской школы России: Сборник статей участников Всероссийской научно-практической конференции с международным участием / Науч. ред. М.И. Зайкин: АГПИ им. А.П. Гайдара. - Арзамас: АГПИ, 2010. - С. 393-397.

67. Ермольев, В. Что должно быть в основе прохождения периодических дробей [Текст] / В. Ермольев // Математика в школе. - 1940. - №5. - С. 56-57.

68. Жуков A.B. О числе л [Текст] / A.B. Жуков. - М.: МЦНМО, 2002. - 32 с. - (Библиотека «Математическое просвещение»).

69. Зайкин, М. И. Преобразование сложных радикалов: элективный курс по математике [Текст]: учебное пособие для старшеклассников и студентов / М.И. Зайкин. - Арзамас: АГПИ, 2008. - 131 с.

70. Зайкин, М.И. Когда решать задачи интересно [Текст] / М.И. Зайкин // Математика в школе. - 2009. - №4. - С. 3-11.

71. Заочные математические олимпиады [Текст] / Н.Б. Васильев, B.JI. Гу-тенмахер, Ж.М. Раббот, A.JI. Тоом. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1987. -176 с.

72. Зинченко, В.П. Формирование зрительного образа. Исследование деятельности зрительной системы [Текст] / В.П. Зинченко, Н.Ю. Вергилес. - М.: Изд-во МГУ, 1969. - 106 с.

73.Изучение алгебры в 7-9 классах [Текст]: кн. для учителя / Ю.М. Коля-

гин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - М.: Просвещение, 2002. - 287 с.

74.Карасев, П.А. Элементы наглядной геометрии в школе [Текст]: пособие для учителей / П.А. Карасев. - М.: Учпедгиз, 1955. - 212 с.

75.Карп, А.П. Даю уроки математики... [Текст]: кн. для учителя: из опыта работы / А.П. Карп. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.

76.Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб. изуч. математики / А.П. Карп. - М.: Просвещение, 1995. - 176 с.

77. Когнитивная психология [Текст]: учебник для вузов / под. ред. В.Н. Дружинина, Д. В. Ушакова. - М.: Изд-во «ПЕР СЭ», 2002. - 480 с.

78.Козубовский, В.М. Общая психология: познавательные процессы [Текст]: учебное пособие / В. М. Козубовский. - 3-е изд. - Минск: Амалфея, 2008. - 368 с.

79. Колере, П. Распознавание образов. Исследование живых и автоматических распознающих систем [Текст] / П. Колере, М. Иден; пер. с англ. канд. техн. наук Л.И. Титомира; предисл. к русск. изд. д-ра техн. наук. И.Ш. Пинскера. - М.: Изд-во «Мир», 1970. - 288 с.

80. Колмогоров, А.Н. Математика - наука и профессия [Текст] / А.Н. Колмогоров; сост. Г.А. Гальперин. - Вып. 64. - М.: Наука, 1988. - 288 с. -(Библиотечка «Квант»).

81.Кострикина, Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов [Текст]: книга для учителя / Н.П. Кострикина. - М.: Просвещение, 1991. - 239 с.

82.Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории [Текст] / P.M. Кроновер; пер. с англ. Т.Э. Кренкеля и А.Л. Соловейчика; под. ред. Т.Э. Кренкеля. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

83.Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий; под. ред. Н.И. Чуприковой. - М.: Изд-во «Институт практической психологии»; Воронеж: Изд-во НПО «МО-

ДЭК», 1998. - 416 с. - («Психологи отечества»).

84. Кудрявцев, Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении [Текст] / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1977. - 112 с.

85. Курант, Р. Что такое математика? [Текст] / Р. Курант, Г. Роббинс. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с.

86. Мамардашвили, М.К. Символ и сознание. Метафизические рассуждения о сознании, символики и языке [Текст] / М.К. Мамардашвили, A.M. Пятигорский; под ред. Ю. П. Сенокосова. - М.: Школа «Языки русской культуры», 1997. - 224 с.

87. Мандельброт, Б. Б. Фрактальная геометрия природы [Текст] / Б.Б. Ман-дельброт; пер. с англ. А.Р. Логунова. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

88. Мандельброт, Б.Б. Фракталы и возрождение теории итераций [Текст] / Б.Б. Мандельброт // Красота фракталов. - М.: Мир, 1993. - С. 131-140.

89.Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург. - 17-е изд., пе-рераб. - М.: Мнемозина, 2005. - 280 с.

90.Математика [Текст]: учеб. для 6 кл. сред. шк. / Н.Я. Виленкин, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург, В.И. Жохов. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994.-256 с.

91. Математическая энциклопедия [Текст]. В 5 т. Т.2. Д'Аламбера оператор - Кооперативная игра / глав. ред. академик И. М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1977. - 552 с.

92.Матышук, В. Учение об иррациональных числах в средней школе [Текст] / В. Матышук // Математика в школе. - 1935. - №5. - С. 54-60.

93.Методика преподавания математики в восьмилетней школе [Текст] / С.А. Гастева, Б.И. Крелыптейн, С.Е. Ляпин, М.М. Шидловская; под общ. ред. С.Е. Ляпина. - М.: Просвещение, 1965. - 744 с.

94. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики [Текст]: учеб. пос. для студ-в физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Ко-

лягин, Г. Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин, В.А. Оганесян. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

95.Методика преподавания математики. Частная методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец / А .Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.-416 с.

96.Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. пособие для подгот. отд. вузов / А.Г. Мордкович. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1987. - 416 с.

97. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс [Текст]. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 424 с.

98.Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс [Текст]. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2007. - 287 с.

99. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст]. В 2 ч. 4.2. Задачник для об-щеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 5-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2003. - 239 с.

100.Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001.-223 с.

101.Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. - 4-е изд., перераб. - М.: Мнемозина, 2008. - 240 с.

102. Мордкович, А.Г. Кое-что о радикалах [Текст] / А.Г. Мордкович // Квант. - 1970. - №3. - С. 53-57.

103. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов [Текст] / А.Д. Морозов. -2-е изд., доп. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.

104. Никольский, E.B. Визуализация функциональных зависимостей компьютерными средствами в курсе математики средней школы [Текст]: дис. на соиск. учен. степ. канд. пед. наук: 13.00.02 / Никольский Евгений Владимирович. - Арзамас, 2000. - 205 с.

105. Никольский, С.М. Элементы математического анализа [Текст] / С.М. Никольский. - М.: Наука, 1981. - 160 с.

106. Новейший философский словарь [Текст] / глав. науч. ред. и сост. A.A. Грицанов. - Мн.: Изд. В.М. Скакун, 1998. - 896 с.

107. Оборудование кабинета математики [Текст]: пособие для учителей / В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, Э.Ю. Красс и др. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Просвещение, 1981. - 191 с. - (Б-ка учителя математики).

108. Осипов, H.H. Об упрощении вложенных вещественных радикалов [Текст] / H.H. Осипов // Программирование. - 1997. - № 3. - С. 31-35.

109. Остапенко, Р.И. Математические основы психологии [Текст]: учебно-методическое пособие / Р.И. Остапенко. - Воронеж: ВГПУ, 2010. - 76 с.

110. Педагогическая энциклопедия [Текст]. В 4 т. Т.1. / под ред. И.А. Каи-рова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964 - 832 с.

111. Пойа, Дж. Сборник задач по математике Стэндфордского университета: с подсказками и решениями [Текст] / Дж. Пойа, Д. Килпатрик. -М.: НО Научный Фонд «Первая исследовательская Лаборатория имени академика В.А. Мельникова», 2002. - 96 с.

112. Потемкина, О.Ф. Психологический анализ рисунка и текста [Текст] / О.Ф. Потемкина, Е.В. Потемкина. - СПб.: Речь, 2006. - 524 с.

ПЗ.Пчелин, A.B. Визуализация процессов, зависимостей и отношений величин сюжетов задач на движение курса математики основной школы [Текст]: дис. на соиск. учен. степ. канд. пед. наук: 13.00.02 / Пчелин Андрей Валентинович. - Арзамас, 2008. - 144 с.

114. Пышкало, A.M. Средства обучения - один из важнейших компонентов методики обучения математики [Текст] / A.M. Пышкало // Средства

обучения математике: сб. статей. - М.: Просвещение, 1980. - С. 3 - 12.

115. Репьев, В.В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе [Текст]: пособие для учителей / В.В. Репьев. - М.: Просвещение, 1967. - 276 с.

116. Рыбников, К.А. История математики [Текст]. В 2 т. Т.1. / К.А. Рыбников. -М.: Изд-во Московского университета, 1960. - 191 с.

117. Салмина, Н.Г. Знак и символ в обучении [Текст] / Н.Г. Салмина. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 288 с.

118. Саранцев, Г.И. Современный урок математики / Г.И. Саранцев // Математика в школе. - 2006. - №7. - С. 50 - 55.

119. Саранцев, Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях [Текст] / Г.И. Саранцев // Математика в школе. -1999.-№6.-С. 36-41.

120.Свасьян, К.А. Проблема символа в современной философии [Текст]: Критика и анализ / Свасьян, К.А; отв. ред. A.B. Гулыга. - Ер.: Изд-во АН АрмССР, 1980. - 226 с.

121. Серпинский, В. Сечение. Введение в теорию иррациональных чисел [Текст] / В. Серпинский // Математика в школе. - 1935. - №4. - С. 1427.

122. Славин, A.B. Наглядный образ в структуре познания [Текст] / A.B. Славин. - М.: Политиздат, 1971.-271 с.

123. Смирнова, И.М. Об измерении интереса на уроках математики [Текст] / И.М. Смирнова // Математика в школе. - 1998. - №5. - С. 56-58.

124. Степанов, В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе [Текст]: книга для учителя: из опыта работы / В.Д. Степанов. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

125. Столяр, A.A. Педагогика математики [Текст]: курс лекций / A.A. Столяр. - 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Изд-во «Вышэйшая школа», 1974.-384 с.

126. Супрун, В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математи-

ке [Текст] / В.П. Супрун - Мн.: Полымя, 1998. - 108 с. - («В помощь абитуриентам и студентам»).

127. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология [Текст]: учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. Заведений / Н.Ф. Талызина. - М.: Издательский центр «Академия», 1998.-288 с.

128.Уфнаровский, В.А. Математический аквариум [Текст] / В.А. Уфнаров-ский; под ред. д-ра физ.-мат. наук Ю.М. Рябухина. - Кишинев: Изд-во «Штиинца», 1987. - 216 с.

129. Философский энциклопедический словарь [Текст] / глав. ред. JI. Ф. Ильичев, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалев, В. Г. Панов. - М.: Сов. Энциклопедия, 1983. - 840 с.

130.Финкелыптейн, В.М. Что делать, когда решить задачу не удается [Текст] / В.М. Финкелынтейн. - 4-е изд., перераб. - М.: ИЛЕКСА, 2008. - 74 с.

131. Фридман, Л.М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст] / Л.М. Фридман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.

132. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст]: учителю математики о пед. психологии / Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

133. Фомин, C.B. Системы счисления [Текст] / C.B. Фомин. - 5-е изд. - М.: Наука, 1987. - 48с. - («Популярные лекции по математике»).

134. Хинчин, А.Я. Введение иррациональных чисел / А.Я. Хинчин // Математика в школе. - 1939. - №3. - С. 32-34.

135. Хинчин, А.Я. Цепные дроби [Текст] / А.Я. Хинчин. - 3-е изд., стер. -М.: Физматлит, 1960. - 112 с.

136.Цукарь, А. Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления [Текст]: дис. на соиск. учен. степ. д-ра. пед. наук: 13.00.02 / Цукарь Анатолий Яковлевич. -Новосибирск, 1999. - 430 с.

137. Цукарь, А.Я. Упражнения на развитие пространственного воображе-

ния [Текст] / А.Я. Цукарь // Математика в школе. - 2000. - №9. - С. 14 -18.

138. Цукарь, А.Я. Уроки развития воображения [Текст] / А.Я. Цукарь. -Новосибирск: РИФ-плюс, 1997. - 167 с.

139. Черняев, М. К вопросу о методике иррациональных чисел в средней школе [Текст] / М. Черняев // Математика в школе. - 1939. - №3. - С. 26-32.

140. Чичигин, В.Г. Методика преподавания арифметики [Текст]: пособие для учительских институтов / В.Г. Чичигин. - 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1952.-312 с.

141.Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (планиметрия) [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - Вып. 17. - М.: Наука, 1982. - 160 с. - (Библиотечка «Квант»).

142. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (стереометрия) [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - Вып. 31. - М.: Наука, 1984. - 160 с. - (Библиотечка «Квант»).

143.Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия [Текст]: учебное пособие для учащихся V-VI классов / И.Ф. Шарыгин, E.H. Ерганжиева - М.: МИ-РОС, КПЦ «МАРТА», 1992 - 208 с.

144. Шахно, К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности [Текст] / К.У. Шахно. - 2-е изд., стер. - Минск: Изд-во «Высшая школа», 1965. - 523 с.

145. Шевелев, И.Ш. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии [Текст] / И.Ш. Шевелев, М.А. Марутаев, И.П. Шмелев, науч. ред. И.Ш. Шевелев. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с.

146. Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: пособие для учителей средней школы / С.И. Шохор-Троцкий; под ред. В.И. Сина-кевича. - 5-е изд., перераб. - М. - Л.: Учпедгиз, 1935. - 344 с.

147.Штейнгарц, Л.А. Любое целое - через любое действительное [Текст] / Л.А. Штейнгарц // Математика в школе. - 1986. - №2. - С. 76.

148.Штейнгауз, Г. Математический калейдоскоп [Текст] / Г. Штейнгауз; пер. с польского. - Вып. 8. - М.: Наука, 1981. - 160 с. - (Библиотечка «Квант»).

149.Щедровицкий Г. П. Проблемы методологии системного исследования [Текст] / Г.П. Щедровицкий. - М.: Знание, 1964. - 48 с.

150. Эрдниев, О.П. От задачи к задаче - по аналогии. Развитие математического мышления [Текст] / О.П. Эрдниев; под. ред. П.М. Эрдниева. -М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1998. - 288 с.

151. Юдин, Э. Г. Методология науки. Системность. Деятельность [Текст] / Э.Г. Юдин. - М.: УРСС, 1997. — 444 с.

152. Юдин, Э.Г. Системный подход и принцип деятельности [Текст] / Э.Г. Юдин. - М., 1978.-392 с.

153.Яглом, A.M. Неэлементарные задачи в элементарном изложении [Текст] / А.М. Яглом, И.М. Яглом. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1954. - 544 с.

154. Якиманская, И.С. Наглядные представления и их функции в обучении [Текст] / И.С. Якиманская // Среднее специальное образование. - 1976. № 8. - С. 48-52.

155. Якиманская, И.С. Образное мышление и его место в обучении [Текст] / И.С. Якиманская // Советская педагогика. - 1968. - № 12. - С. 62-71.

156. Якиманская, И.С. Психологические особенности овладения учебными умениями в курсе математики [Текст] / И.С. Якиманская // Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике: сб. статей / сост. С.И. Демидова, Л.О. Денищева. - М.: Просвещение, 1985. - С. 519.

157. Якиманская, И.С. Развитие пространственного мышления школьников [Текст] / И.С. Якиманская; Науч.-исслед. ин-т общей и пед. психологии Акад. пед. наук СССР. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

158.Berndt, B.C. Ramanujan's Notebooks. Part III [Text] / Bruce С. Berndt. -New York: Springer-Verlag, 1991. - 510 p.

159.Borwein, J.M. Pi and the AGM [Text] / Jonathan M. Borwein, Peter M. Borwein. - New York: Wiley, 1987. - 414 p.

160. Niven, I. Numbers: rational and irrational [Text] / Ivan Niven. - New York: RANDOM HOUSE, 1961.-200 p.

141