Изометрические и конформные преобразования в ассоциированных римановых пространствах второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Покась, Сергей Михайлович

• Покась, Сергей Михайлович
• 1984

Оглавление диссертации Покась, Сергей Михайлович

Введение

Глава I. Ассоциированные римановы пространства

§1. Ассоциированные римановы пространства

§2. Римановы пространства П^и ассоциированные с ними пространства 2-го порядка

§3. Римановы пространства П„ и ассоциированные с ними пространства 2-го порядка П*

Глава 11. Группы Ли движений в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка |/и

§4. Однопараметрические группы Ли аналитических движений в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка К?

§5. Бесконечно малые движения 2-ой степени в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка Ии

§6. t -параметрические группы Ли движений 2-ой степени в ассоциированном рима новом пространстве (/^.

Глава III. Бесконечно малые конформные преобразования в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка 1/и .бб

§7. Аналитические бесконечно малые конформные преобразования в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка ^

§8. Бесконечно малые конформные преобразования 2-ой степе

А' г. ни в ассоциированном пространстве (/^

§9. Бесконечно малые конформные преобразования 2-ой степени в римановом пространстве , ассоциированном с конформно евклидовым V^

§10. Группы Ли конформных преобразований 2-ой стпени в ассоциированном римановом пространстве ^

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изометрические и конформные преобразования в ассоциированных римановых пространствах второго порядка»

Актуальность темы. Рассмотрим риманово пространство V^ , отнесенное к произвольной системе координат х7",., х"1'о метрическим тензором gr- Сое) .В окрестности любой его фиксированной точки Uljx,) построим ассоциированное простА' Ъ ранство 2-го порядка , определив его метрический тензор cj'» (у) следующим образом: о где psj , % £е*егу - значения компонент метрического тензора и тензора Рима на пространства 1/^ в точке М0 . Если в перейти к римановой системе координат с началом в точке Мв и разложить метрический тенэор в ряд Тейлора в окрестности данной точки, то можно убедиться в том, что при у - х пространство К* реализует приближение 2-го порядка для 1/^ и потоцу отражает геометрические свойства исходного пространства с определенной отепеныо точности.

Идея изучения геометрических объектов в окрестности произвольной точки с точностью того или иного порядка довольно часто применялась в геометрии и приводила к более глубоко^ изучению этих объектов ([35] , [36]) . Так, например, в теории кривых в дифференциальной окрестности 1-го порядка возникает инвариантный вектор касательной. Это позволяет ввести понятие длины дуги кривой и выбрать ее в качестве параметра кривой. В дифференциальной окрестности 2-го порядка строится вектор главной нормали и крививна кривой. И, наконец, при рассмотрении дифференциальной окрестности 3-го порядка получаем кручение кривой. Аналогичные методы применялись и в теории поверхностей ([35]) : исследование поверхности в дифференциальной окрестности 1-го порядка приводит к первой квадратичной форме поверхности, с помощью которой определяются длина дуги кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь замкнутой области; в дифференциальной окрестности 2-го порядка возникают втр рае квадратичные формы поверхности, а на их основе строится теория кривизны поверхности.

При изучении выцуклых поверхностей и даже нерегулярных повер хностей - многообразий ограниченной кривизны - А.Д.Александров([ 1]) разработал приближенный метод исследования. Сущность этого метода состоит в приближении общей выцуклой поверхности выпуклым много' — гранником, а абстрактно заданной выцуклой метрики - многогранной метрикой. Применяя этот метод, А.Д.Александров распространил на случай общих выцуклых поверхностей основные теоремы классической теории поверхностей.

Использование приближенных методов в римановой геометрии связано с формулой Тейлора. Впервые эту форцулу для метрического тен-8ора симметрического риманова пространства, отнесенного к норшль-ной системе координат, применил ПА .Широков ([39]) . Ковариантная формулировка теоремы Тейлора несколько позже была дана fysoM ([48], [49] ) , который существенно использовал теорию нормальных координат, развитую в работах Томаса и Веблена (М , [52]) • Обобщение этих работ на случай финслеровых и более общих пространств тензорных опорных элементов можно найти в работах А.Рапчака ([46] , [47]) и Б Л Лаптева ([18]). Методы отыскания первых членов разложений некоторых геометрических обьектов в ковариантный ряд Тейлора, их приложение к решению целого рада релятивистских эадач рассматривались А ,3 .Петровым ([25]) , ДжЛ.Сингом([32]),2>е Witt и /3^<M*([54j),

Waid эд([45]) . В работе П.Гюнтера ([43]) в принципе дается представление членов ряда Тейлора для метрического тенэора риманова пространства 1/^ , отнесенного к нормальной системе координат через тенвор Римана и его ковариантные производные. Наиболее естественная и близкая к классической ковариантная формулировка теоремы Тейлора для тензорных полей на многообразии с аффинной связностью дана А .Н .Александровым и К .А .Пирагасом ([2],[3], [4], [5]). Ими найдено выражение для остаточного члена, исследованы алгебраические и дифференциальные свойства ковариантных тейлоровских рядов. При этом ранее игвеотные результаты получили обобщение и завершение.

Отметим, что приближенные методы исследований для решения раз ного рода задач разрабатываются и эффективно применяются в различных разделах математики: в теории дифференциальных уравнений([19], [20]), в краевых задачах и уравнениях математической физики ([ю] , [12]); в нелинейной механике и механике сплошной среды([24], [42]); в некоторых областях теоретической фиэики: прикладной астрономии и атмосферной оптике ([21], [42]), теории переноса излучений ([34j), динамике космических аппаратов, физике гравитации и общей теории относительности ([22], {24]).

В настоящей диссертации изучаются свойства ассоциированных ри-мановых пространств 2-го порядка, их изометрические и конформные преобразования, доказывается, что некоторые типы таких преобразований являются реализацией приближенных преобразований того или иного порядка в 1/^ . Пространства представляют также интерес в связи с задачей моделирования различных физических полей. Кроме того среди точных решений уравнений Эйнштейна имеются поля (плоскосимметрические, цилиндрически-симметрические, статические, ковформ-но-статичеокие и др.) , метрики которых имеют такое же строение,

Из оказанного выше следует, что тема данной диссертации является актуальной . как для ассоциированных пространств

Работа входит в качестве составной части в проблематику п Обобщенно-геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств и проблемы моделирования физических полей «* №01811010294 программы комплексных исследований Минвуза УССР ( постановление Минвуза УССР №378 от 24.07.81) и ресцубликанского пла на важнейших научных исследований в области естественных наук (постановление Президиума АН УССР №10 §127 от I3.07.8l) , над которой работает кафедра геометрии ОГУ.

Цель работы. Целью работы является изучение рима новых пространств и их изометрических и конформных преобразований в окрестности произвольной точки с точностью до 2-го породка.

Научная новизна. В данной работе:

1. Для риманова пространства У^ , отнесенного к произвольной системе координат, построено ассоциированное с в окрестности любой его точки М, пространство 2-го порядка кЛ , которое реализует для С приближение 2-го порядка. Выделены и в некоторой степени исследованы специальные классы рима новых пространств - П^и П^, для которых ассоциированные пространства доцускают эффективное изучение.

2. Впервые в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка исследованы группы Ли изометрических и конформных преобразований.

3. Впервые введены понятия приближенных бесконечно малых изометрических ( конформных ) преобразований 2-го порядка в римановом пространстве и бесконечно малых преобразований 2-ой отепени в

Л-'. пространстве , ассоциированном с % . Установлена взаимосвязь приближенных преобразований в i/*. с соответствующими преобразование ями 2-ой степени в ^ .

4. Изучен вопрос о распределении максимальных порядков групп Ли изометрических С конформных ) преобразований 2-ой степени в 1/и\ Доказано наличие лакун в распределении порядков данных групп. Пока

8 a но, что , ассоциированное с римановнм первой Г второй) лакунарности относительно групп Ли движений, является пространством второй (третьей ) лакунарности относительно групп Ли движений 2-ой степени.

Теоретическая и практическая ценность. Полученное в диссертации общее представление приближения 2-го порядка метрического тензора любого риманова пространства в окрестности произвольной точки, а также изометрических и коирормных преобразований представляет не только теоретический интерес о точки зрения развития приближенных методов в римановой геометрии, но и для теоретической физики и общей теории относительности.

Метод исследований. Исследования проводятся локально в классе вещественных аналитических функций о использованием представления геометрических объектов в окрестности данной точки по форвф-ле Тейлора с точностью того или иного порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждалиоь на заседаниях семинаров кафедры геометрии Одесского государственного университета ( руководитель - профессор Н.С.Синюков ) , Украинокого реоцубликанского центра метрологии и ставдарстизацыи (руководитель - доктор физико-математических наук К.А.Пирагас ) , кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического института (руководитель - профессор И.П.Егоров) , кафедры геометрии Казанского государственного университета (руководитель - профеосор А.П.Норден ) , на УП Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (минок, 1979) .

Публикации. Содержание диссертации отражается в шести оцубли-кованных работах (в том чиоле одна работа в соавторстве ) .

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит иэ введения, трех глав и описка литературы. Текст работы изложен на 105 страницах. Список литературы включает 55 наименования.

В кавдом параграфе ведется самостоятельная нумерация форцул, лемм и теорем. При ссылках на них в другом параграфе перед номером формулы, леммы или теоремы ставится номер параграфа, которому она принадлежит.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

В первой главе для риманова пространства , отнесенного к произвольной системе координат Xй" , в окрестности любой его фиксированной точки М в строится инвариантно связанное с т. ассоциированное пространство 2-го порядка с метрическим тенвором Jq ly) :

9и<у) + (1) о где J с/ > ^«-«t^j - значения компонент метрического тенвора и тензора Римана пространства 1/^ в точке М д . Если система координат {хй} в пространстве 1/^ является римановой с началом в точке М*, то при у - эс пространство реализует приближение 2-го порядка для 1С . Покавано, что система координат v пространстве 1/и является римановой с началом в точке М0 . Для римановых пространств специальной структуры кофршо евклидового l/^ f > 3 ) , пространства ненулевой постоянной кривизны, для полей тяготения V4 классификации А.З.Петрова ) построены ассоциированные пространства 2-го порядка . Доказана теорема.

Теорема 1.3. (стр. 24 / . Пространство , ассоциированное с пространством нецулевой постоянной кривиэны t/^ в окрестности его произвольной фиксированной точки М„ , является субпроективным.

Элементы $ 4 обратной матрицы для |( (1 в общем случае имеют сложцую структуру - являются дробно-рациональными функциями. Поэтому рассматривается случаей, когда J чу) также являются многочленами 2-ой степени относительно у*, .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы в точке М^ выполнялись уравнения

2)

•t ((

Римановы пространства, тензор кривизны которых в каждой точке удовлетворяет уравнениям (2) , обозначены через П^. . 1

Достаточными условиями выделен другой класс римановых пространств для которых тензор кривизны в каждой точке удовлетворяет условиям

Доказано, что Пи - полусимметрические римановы пространства.

2. л- л-*

Пространства 2-го порядка П^ , П* , ассоциированные с Пл,

Л z л

П^, в окрестности произвольной фиксированной точки М0 , доггуска . л' ют эффективное изучение. Для пространства П„ , Пи , в явном виде найдены компоненты обьекта связности и тензора Римана. Тензор кривизны пространства П* удовлетворяет уравнениям СЗ) . Скалярная крио 1 визна к пространства П^ постоянна и равна значению скалярной кривизны пространства Пи в точке Мв . Найдены уравнения геодезических линий пространства П^ : где 6 , I? - произвольные постоянные.

Во второй главе изучаются бесконечно малые аналитические движения в пространстве 2-го порядка ЬС , а также вводятся и исследуются однопараметрические и Т -параметрические группы Ли движений 2-ой степени.

Бесконечно малые преобразования в I/ называем аналитическими, если компоненты вектора смещения этих преобразований имеют вид

-t, Г? ь

I , к к. - о и h ег д. = ,

Ч f р р

Гб)

При исследовании уравнений Киллинга

- ° с) f Ц Л и л в окрестности точки - о) найдено выражение членов а^-2/ в разложении компонент аналитического вектора Киллинга Сб) черев , и обьвкты пространства в точке Мв :

V1 f8) t? = я > 1 р -t * tP • ц

В форме алгебраических уравнений на постоянные а е и члены рядов (б) получены необходимые и достаточные условия того, чтобы ша ряды определяли вектор смещения аналитических бесконечно малых движений:

0 , (9) о

Л оL

•<£&)(*,+ =0} (ю) U а . - (9 . a^utjjcL * а осI; - 0,

J ги. > J > bin1* е * ?

• S » « =*Л- •

Доказано, что ряды (8) сходятся абсолютно и равномерно на множестве р

Преобразования ( 5 J, компоненты вектора смещения \ с ^) которых л г. и. являются многочленами 2-го порядка относительно $ , ^ $ , названы преобразованиями 2-ой степени. Показано, что для оущест-вования вектора Киллинга 2-ой отепени в пространстве V„ , необходимо и достаточно, чтобы

- 13 ti Ч t <f * л ?t l (у) - + + % ry где постоянные я удовлетворяют уравнениям (9 J и (10) , уравнениям о k

Определение, Вектор / cxj называется приближенным вектором Киллинга 2-го порядка в окрестности точки М0 пространства ^ , если в этой точке выполняются уравнения Киллинга и их кова-риантше дифференциальные продолжения 1-го порядка

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 5.3.(стр.57) Приближенный вектор Киллинга 2-го и порядка {с*) & окрестности точки М0 пространства определяет в пространстве , ассоциированном с К, в окрестности данной точки, вектор 2-ой степени / су) , который является приближенным вектором Киллинга 2-го порядка в окрестности точки М0(уи = о) .

Теорема 5.4. (стр.59 J Вектор Киллинга f су J 2-ой степени пространства V^ 9 ассоциированного с К, в окрестности точки Ша реализует приближенный вектор Киллинга 2-го порядка в окрестности данной точки для исходного , отнесенного к римановой системе координат с началом в точке М0 .

Далее исследуется вопрос о распределении максимальных порядков групп Ли движений 2-ой степени в • Доказано, что К. , ассоциированное с римановым 1/и первой (второй) лакунарности относительно движений, является пространством второй ( третьей) лакунарности относительно движений 2-ой степени.

В третьей главе для изучения аналитических бесконечно малых конформных преобразований в ассоциированном пространстве 1/и исследуются обобщенные уравнения Киллинга л/ л/ll где и J" рассматриваются, соответственно, в форме (l) и С а Ч'Су) - некоторая аналитическая функция:

Ч-(у) - £ € , ю = о г - ч-с ? / - у j

Р — c*e>*S~t •

В окрестности точки М ^ Су^-о) пространства 1С найдено выражение членов 2 ) в разложении компонент J^Cy) аналитичес

I I кого обобщенного вектора Киллинга (б) через я , а , члены ряда (12 ) и объекты пространства в точке о • о а.

I №

- l^y^yV). - аз)

IM-1 им I ($) Ь р £

С - z 1ъ1 . ) j -f / /7 3, . ) . t,

Получены алгебраические уравнения на постоянные и члены данных рядов:

16) и- - 1, Z( . ) .

В случае сходимости рядов (б }, члены которых находятся иэ соотношений (13) - (14) , условия (15) - (17) являются необходимыми и дол. г статочными для существования в ассоциированном пространстве [/^ аналитических бесконечно малых конформных преобразований.

- 16

Далее в этой главе исследуются бесконечно малые конформные преобразования 2-ой степени, а также t -параметрические группы Ли таких преобразований в пространстве . Показано, что для су

A, ществования в пространстве , ассоциированном с К*. в окрестности точки М0 , скалярная кривизна R. которого в этой точке отлична от нуля, вектора смещения бесконечно малых конформных преобразований 2-ой степени, необходимо и достаточно, чтобы

Чг(у) - & у е , где постоянные удовлетворяют уравнениям (9) и 6.0) , а посто ц янные а . - уравнениям о ! [+ £ Рг fae, + £ -1ч',fJi

Подобно toiqt, как вводилось понятие приближенного вектора Киллинга, 2-го порядка, определяется приближенный обобщенный вектор Киллинга 2-го порядка.

Определение. Вектор называется приближенным конформным вектором Киллинга 2-го порядка в окрестности точки ио пространства 1/^ , если для него в этой точке выполняются обобщенные уравнения Киллинга и их коварнантные дифференциальные продолжения 1-го порядка. Бесконечно малое преобразование риманова пространства I/*. , которое поровдается приближенным конформным вектором Киллинга 2-го порядка, шзывается приближенным бесконечно малым конформным преобразованием 2-го порядка.

- 17

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 8,3. (стр.81) Приближенный конформный вектор Киллинга I ^(у.) риманова пространства с нещулевой скалярной кривизной R в точке М0 определяет в ассоциированном пространстве т, L в окрестности этой точки вектор 2-ой степени j Су) 9 ко^о -рый является приближенным конформным вектором Киллинга. 2-го порядка в окрестности точки М„ .

Теорема 8.4, (стр.82) Бесконечно малое конформное преобразование 2-ой степени в пространстве 9 ассоциированном с пространством ненулевой скалярной кривизны в точке Мв, реализует приближенное бесконечно малое конформное преобразование 2-го порядка в окрестности точки Мс исходного , отнесенного к рима.-новой системе координат с началом в этой точке.

И в заключение исследуется вопрос о распределении максимальных порядков групп Ли конформных преобразований 2-ой степени в l/J'. Доказано, что , ассоциированное с пространством нецелевой постоянной кривизны, является максимально подвижным относительно конформных преобразований 2-ой степени.

Считаю своим долгом выразить сердечцую признательность научному руководителю профессору НИКОЛАЮ СТЕМНОВИЧУ СИЙЮКОВУ за всестороннюю помощь в работе.

- 18

Список литературы диссертационного исследования Покась, Сергей Михайлович, 1984 год

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выцуклых поверхностей.Гостехиздат, 1948.

2. Александров А.Н., Пирагас К .А. Экспоненциальное отображениеи теорема Тейлора в тензорном анализе. Препринт ИТ$ -74-70Р. Киев, 1974.

3. Александров А.Н.,' Пирагас К .А. Локально наблюдаемые в неевклидовой геометрии поля. Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского"., М., 1976.

4. Александров А.Н., Пирагас К.А. Геодезическая структура. I.Взаимная динамика геодезических. Теоретическая и математическая физика, т. 38, М, 1979, стр. 71-83.

5. Александров А.И. Геодезическая структура. II. Экспоненциальноеотображение и фундаментальные обьекты. Acta Ркч*. РобоиХса. В 12, Мб, 1981, стр. 523-540.

6. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., Наука,1967.

7. Веблен 0. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. М.,ИЛ, 1948.

8. Веденяпин Д.В. Об (кь- 2 ) проективных пространствах. Научные доклады высшей школы. Ф.-м.н., J&6, 1953, Стр.119-126.

9. Воднев В.Т. О пространствах Д.В.Веденяпина. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат. наук, №1, 1968, стр. 61-73.

10. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН. т.ХУ1, вып. 3, 1961, стр. 171-174.

11. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. Уч.зап. Казанского ун-та, Казань, 1965.

12. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численно^ решению сингулярных интегральных уравнений. К., Наукова думка, 1968.

13. Каган В.Ф. Субпроективные пространства. М., Физматгиз, 1961.с

14. Кайгородов В.Р. Структура кривизны DX~ пространств типа А .Изв. вузов, Математика, Мб, 1974, стр. 117-127.

15. Картан Э. Риманова, геометрия в ортогональном репере. МГУ, 1960.

16. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М.,ИД, 1950.

17. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-йаллум М. Точные решенияуравнений Эйнштейна. М., Энергоиздат, 1982.

18. Лаптев Б Л. Ковариантный дифференциал и теория дифференциальныхинвариантов в пространстве тензорных опорных элементов. Уч. зап. Казанск. ун.-та, т. 118, кн. 4, 1958,стр.75-147.

19. Ломов С.А. введение в общую теорию сингул*фных возмущений. М.,Наука, 1981.

20. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980.

21. Марчук Г.И., Михайлов Г.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск, Наука, 1976.

22. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. М.,Мир, 1977.

23. Микеш Й., Покась С.М. Группы Ли преобразований второго порядкав ассоциированных римановых пространствах, рукопись депонирована. в ВИНИТИ 1Й4988-81 Деп., 21 стр.

24. Моисеев Н.И. Асимптотические методы нелинейной механики. М.,Наука, 1981.

25. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.,Наука, 1966.

26. Петров А.З., Затворников С.В. О движениях в неприводимых римановых симметрических пространствах 1-го класса. Уч. зап. Казанок, ун.-та, т.117, вып.2, 1957, стр.35-40.

27. Покась С.М. Об одном классе римановых пространств, рукописьдепонирована в ВИНИТИ М833-77 Деп., 21 стр.

28. Покась С.М. Движения в пространствах 2-го приближения. ТезисыУН Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии. Минск, 1979, стр. 154.

29. Покась С.М. Движения в ассоциированных римановых пространствах.Рукопись депонирована в ВИНИТИ $1347-80 Деп., 18 стр.

30. Покась С.М. Бесконечно малые конформные преобразования в ассоциированных римановых пространствах 2-го порядка, рукопись депонирована в ВИНИТИ Ш76-81 Деп., 33 стр.

31. Синг ДжЛ. Общая теория относительности. М., ИЛ, 1963.

32. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств.М., НАука, 1979.

33. Спанье Дж., Гелбарт 3. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1972.

34. Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т. 1-2. МЛ.ГШ, 1939, 1948.

35. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М., ГМТТЛ,1952.

36. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,Мир, 1970

37. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.Л.,ГИТТЛ, 1940.

38. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань, 1966.

39. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.,ИЛ,1947.

40. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М., ИЛ, 1948.

41. Яненко Н.Н. Численные методы механики сплошной среды. ПятыйВсесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, Наука, 1981.

42. JJUvCtw- р. Ьр1хллчАоЛкиЛ unci Yloz^cdAooxMubte*-.ZAft М , pp.Z0S-2iO.

43. Xita^i. Ate"*"***" лрыы aJ^Ltt^MJUL. flap** э, Fp.Hv-tzo.

44. Мйеа Ж2. Co«tco&U of. лрьсе -tl^e^.ШЖ. Pfy*., Ml,UW, WlejtL.efJ'i9srl pp. ЧЧ-ЭЭ.47. А. А ио'г^л^ввг^сenjtzJ? и^уье^ье л Tiu^^n "белуги.ukUt. ЪгЛигся^ j тго?. ±t pp. .

45. UTcJtk^b A.J3* о* '-а. ^рссаел oj,ПЛ CCU/LeiA-t CUSl/l/rL.t UJUL . PtOC . <^01ло1о1ЛШскМг-. hoc. , ixoe. S'Z / SO j pp. н ~ ЬЧ.Budus^ к.Ж Rcofictiiou £а и*, p i u.ej Cia о» <^TlCK/ux£c*.tioi*.ctJ? -fc^ot.W. PP- 220 9 .

46. Покась C.M. Группы Ли движений в ассоциированном римановомпространстве V,f. Деп. в УкрЩШНЖ Ш5Ж-Д84 , 23 стр.