Измерение нейтрон-протонного упругого рассеяния при высоких энергиях и малых переданных импульсах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, кандидат физико-математических наук Пожидаев, Владимир Евгеньевич

• Пожидаев, Владимир Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пожидаев, Владимир Евгеньевич

Страницы

ВВВДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО УПРУГОМУ НУМОН-НУКЛОННОМУ РАССЕЯНИЮ

§ I. Методы экспериментального исследования нуклон-нуклонного упругого рассеяния на пучках заряженных частиц и нейтральных частиц. II

1.1. Эксперименты по изучению протон-протонного упругого рассеяния

1.2. Экспериментальное исследование упругого нейтрон-протонного рассеяния. (Эксперименты,' выполненные до 1979 года.).

1.2.1. Особенности экспериментов с нейтронами высоких энергий.

Общий метод.

1.2.2. Непрямые методы изучения рассеяния. ( р «А. -взаимодействия.)

1.2.3. Обзор проведенных прямых экспериментов по измерению упругого нейтрон-протонного рассеяния

§ 2. Упругое рассеяние и полные сечения ад-ронов при высоких энергиях. (Экспериментальные данные.).

§ 3. Актуальность экспериментов по гьр рассеянию с точки зрения современной теории сильных взаимодействий

§ 4. Задачи эксперимента Л/А—6. Обоснование метода.

ГЛАВА П. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА ПО ИЗУЧЕНИЮ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ НА ПРОТОНАХ НА СВЕРХМАЛЫЕ УГЛЫ

§ I. Краткий обзор установки. Кинематика

§ 2. Нейтронный пучок.

§ 3. Детектор мишень

3.1. Принцип действия. Конструктивно-технологические особенности.

3.2. Энергетическое разрешение

3.3. Энергетическая калибровка. Нелинейные эффекты в работе детекторамишени

3.4. Электронная система детекторамишени

§ 4. Нейтронный детектор.

4.1. Трековый детектор нейтронной вершины

4.2. Адронный калориметр

4.2.1. Свойства сцинтилляторов и выбор ФЭУ.

4.2.2. Калибровка сцинтилляционных умножителей.

4.2.3. Энергетическая калибровка калориметра. Энергетическое разрешение.

§ 5. Система сцинтилляционных счетчиков

§ 6. Схема триггера и набор данных. Работа

ЭВМ ¿ON-line "

ГЛАВА Ш. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬШХ ДАННЫХ.

§ I. Определение кинематических характеристик рассеянного нейтрона

1.1. Алгоритм поиска нейтронной вершины.

1.2. Точность восстановления вершины взаимодействия.

1.3. Определение энергии нейтрона. Энергетический спектр

§ 2. Определение кинематических переменных протона отдачи.

2.1. Временной спектр сигналов А-области мишени.

2.2. Условие компланарности

2.3. Кинетическая энергия протона отдачи.

2.4. Анализ формы токового импульса

§ 3. Процедура обработки экспериментальных данных.

§ 4. Монте-Карло коррекции.

4.1. Точность измерения кинематических переменных.

4.2. Моделирующая Монте-Карло программа.

4.3. Эффективность регистрации событий упругого Ktp рассеяния

§ 5. Абсолютная нормировка

ГЛАВА 1У. ФИЗИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУВДЕНИЕ

§ I. Дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтронов на протонах

§ 2. Анализ структуры дифракционного пика.

§ 3. Полное и упругое сечения рассеяния

3.1. Оптическая теорема и определение полного сечения ivp взаимодействия

3.2. Сравнение с другими определениями полного сечения и>р взаимодействия

3.3. Определение полного сечения упругого рассеяния.

§ 4. Проверка следствий условия унитарности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Измерение нейтрон-протонного упругого рассеяния при высоких энергиях и малых переданных импульсах»

Основным экспериментом в физике высоких энергий был и остается эксперимент по рассеянию одних частиц другими. Опыты по упругому рассеянию занимают особое место как главный метод изучения размера области взаимодействия и структуры сталкивающихся частиц. Соответствующие эксперименты проводятся на всех крупных ускорителях мира и входят в набор первоочередных при продвижении в новую область энергий.

Амплитуда упругого рассеяния является фундаментальной величиной в квантовой теории поля. Усилиями теоретиков сформулирован ряд теорем, ограничивающих свойства амплитуды упругого рассеяния как функции полной энергии и переданного импульса. Эти теоремы основаны лишь на общих аксиомах релятивистской локальной квантовой теории поля, как, например, принцип причинности. Среди общих теорем особое место принадлежит так называемым дисперсионным соотношениям /1,2 /, теореме Померанчука об асимптотическом равенстве полных сечений взаимодействия частиц и античастиц /3 /, теореме об асимптотическом равенстве дифференциальных сечений упругого рассеяния частиц и античастиц / 4 /, теореме Фруассара об ограничении на скорость роста полных сечений с ростом энергии / 5 /, теореме Онуня-Померанчука об асимптотическом равенстве амплитуд взаимодействия частиц из одного изотопического мультиплета / 6 /. Поэтому экспериментальная проверка теоретических предсказаний имеет принципиальное значение.

Развитие представлений о дифракционном характере рассеяния адронов при высокой энергии привело к созданию теории комплексных моментов. Дополненная мультипериферическими моделями неупрутих процессов, реджевская теория является детально разработанной феноменологией сильных взаимодействий, с единой точки зрения описывающей как упругое рассеяние, так и множественные процессы при высоких энергиях. Вместе с тем новейшее развитие и эксперимента и теории показывает, что при современных энергиях существенны предасимптотические эффекты / 7 /. Так, например, велики поправки к универсальному сужению дифракционного конуса / 8 / в упругом рассеянии различных частиц.

Это делает весьма актуальным прецизионные эксперименты по упругому рассеянию нейтронов на протонах. Такие эксперименты ценны для дополнения наиболее полно изученного процесса упругого протон-протонного рассеяния. Кроме уточнения общей картины нук-лон-нуклонного взаимодействия опыты в нейтронных пучках имеют и свои преимущества. Так, только в ир рассеянии можно продвинуться в область предельно малых переданных импульсов. Только в нейтронных пучках можно измерить полное ;сечение взаимодействия с ядрами.

Целью работ, по материалам которых написана данная диссертация, было изучение упругого рассеяния нейтронов на протонах в области энергий 100 - 400 ГэВ на сверхмалые углы.

Научная новизна работы и ее практическая ценность состоят в том, что впервые в области энергий выше 100 ГэВ изучено упругое рассеяние нейтронов на протонах при малых и сверхмалых переданных импульсах. В области |"Ь1 < 0.14 ГэВ/с ^ эти данные являются единственными. Впервые измерена амплитуда нуклон-нуклонного сильного взаимодействия в области сверхмалых переданных импульсов ]Ъ|< 10"^ ГэВ/с Впервые в опытах при высоких энергиях изуче

Г4 о на область переданных импульсов вплоть до |£|= 6-10" ГэВ/с и наблюдено швингеровское рассеяние нейтронов на протонах. Такое • расширение области исследования упругого Уир рассеяния сразу на несколько порядков величины |-Ь| стало возможным благодаря специально разработанной в ИТЭФ для этого эксперимента "активной" мишени, являющейся пропорционально-дрейфовым детектором высокого давления. С использованием оптической теоремы определено полное сечение кър рассеяния. Это определение является дополнительным к измерениям, основанным на методике выбывания из пучка. Впервые измерен наклон дифракционного конуса в 1гир рассеянии при энергиях выше 100 ГэВ.

Апробация работы. Работа основана на результатах, полученных в рамках эксперимента А/А-6, проведенного в Европейском центре ядерных исследований сотрудничеством ИТЭФ - Фрайбургский универ-ситет(ФРГ). Результаты работы докладывались на семинарах ИТЭФ, ИФВЭ, ЦЕРН, ДЕЗИ, сессиях отделения ядерной физики АН СССР, на Международной конференции по физике высоких энергий в Лиссабоне (июль 1981 г.). Основной материал диссертации опубликован в статье и препринтах /9-11 /, лекции на У1 школе физиков ИТЭФ /12 /.

Изложение основного материала диссертации организовано следующим образом. В главе I дан краткий обзор экспериментальных работ по изучению упругого нуклон-нуклонного рассеяния при высоких энергиях разными методиками. Здесь же дана сводка основных теоретических подходов к описанию нуклон-нуклонного рассеяния при высоких энергиях и обсуждена роль экспериментов по нейтрон-протонному рассеянию в проверке этих представлений. Обсуждены также ме- . тод и задача эксперимента Л^А-6.

Во второй главе дается описание экспериментальной установки А/А-6. Особое внимание уделено таким основным элементам физической установки как детектор-мишень высокого давления, детектор нейтронной вершины и адронный калориметр. Приведены физические характеристики основных элементов, результаты различного рода калибровок. В этой главе обсуждены схема формирования нейтронного пучка, его состав и энергетический спектр. Описана логическая схема триггера, работа ЭВМ "в линию" и набор данных.

В третьей главе проведен анализ экспериментальных данных. Подробно описана процедура определения кинематических характеристик рассеянного нейтрона, включая алгоритм поиска нейтронной вершины, точность ее восстановления, определение энергии рассеянного нейтрона и извлечение истинного энергетического спектра нейтронов из измеренного амплитудного распределения сигналов в адрон-ном калориметре. При определении кинематических переменных протона отдачи использовалась физическая информация с различных рабочих зон "активной" мишени для определенных интервалов переданных импульсов: временной спектр сигналов центральной ячейки детектора-мишени, кинетическая энергия протона отдачи, форма токовых импульсов. В этой главе также указаны применявшиеся способы дискриминации упругих событий от неупругого фона, описаны соответствующие Монте-Карло коррекции и проведение абсолютной калибровки дифференциального сечения упругого К/р рассеяния.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы экспериментальной физики», Пожидаев, Владимир Евгеньевич

ЗАКШОЧЕНИЕ

Сформулируем результаты, полученные в данной работе.

1. Измерено упругое, нейтрон-протонное рассеяние в области энергий выше 100 ГэВ и в области переданных импульсов 6«КГ6< < 5-Ю""1 ГэВ/с 2. а) Впервые измерены наклоны дифракционного конуса рассеяния с точностью, сравнимой с достигнутой в рр взаимодействиях. б) Измерено полное сечение упругого рассеяния при средней энергии 310 ГэВ.

5"ел(кр) = 7-05 ± °-22 м(3нв) С использованием оптической теоремы определено полное сечение и^р взаимодействия при средней энергии ЗЮГэВ. б^С^р) = 39.6 ± 0.6 мбн. г) При энергии выше 100 ГэВ впервые проведена прямая проверка теоремы Окуня-Померанчука об асимптотическом равенстве амплитуд упругого ^ и рр рассеяния: в пределах ошибок эксперимента совпадают и полные сечения <$+оъ С^ьр") и С рр") » полные сечения упругого рассеяния <5е£,(>р)и беЛСрр") и наклоны дифракционного конуса.

2. С помощью новой методики активной мишени, специально разработанной для данного эксперимента, исследована область предельно малых переданных импульсов. В области ^ 0.14 ГэВ/с 2 в этом энергетическом диапазоне измерения проведены впервые. а) Впервые измерена амплитуда сильного нуклон-нуклонного рассеяния в области Ю"4< |£(< 1СГ2 ГэВ/с 2 и подтверждена правильность экстраполяций рр амплитуды в эту область t » принимавшихся в опытах по измерению фазы амплитуды по кулон-ядерной интерференции. б) Впервые в нейтрон-протонном рассеянии изучена область |t| < Ю-4 (ГэВ/с)2 при высоких энергиях и наблюдено швингеровское рассеяние.

Благодарности.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физ.-мат. наук Ю.В.Галактионову за научное руководство в процессе подготовки и проведения эксперимента и при работе над диссертацией.

Мне бы хотелось выразить глубокую благодарность профессору В.Г.Шевченко и профессору В.А.Любимову за организацию и руководство экспериментом и участие в работе.

Я выражаю искреннюю признательность всем участникам эксперимента с советской стороны и в первую очередь кандидату физ.-мат. наук Ю.А.Камышкову, кандидату физ.-мат. наук А.В.Арефьеву, Ю.В.Го-родкову и В.В.Пляскину за большой вклад в успешное проведение эксперимента и удовольствие, подученное от совместной работы с ними.

Я благодарен доктору физ.-мат. наук Н.Н.Николаеву, кандидату физ.-мат. наук П.Э.Волковицкому, кандидату физ.-мат. наук В.З.Но-зику за помощь в работе и многочисленные полезные обсуждения.

Я признателен всем иностранным участникам эксперимента. Мне хочется также поблагодарить всех сотрудников лаборатории 201 и прежде всего кандидата физ.-мат. наук О.Я.Зельдович за поддержку и доброе участие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пожидаев, Владимир Евгеньевич, 1984 год

1. M.L.Goldberger, H.Miyazawa, and R. Ochma. Application of dispersion relation to pion-nucleon scattering. - Phys. Rev.,1955, v. 99, Uo.3, p. 986-988.

2. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. Москва, 1957.

3. И.Я.Померанчук. Равенство полных сечений взаимодействрш нуклонов и антинуклонов при больших энергиях. ЖЭТФ, 1958,т. 34, стр. 725-733.

4. A.A.Logunov, N. van Hien, I.T.Todorov, and О.A.Khrustalev, Asymptotic relations between cross sections in local field theory. Phys.Lett., 1963, v. 7, p. 69-76.

5. M.Froissart. Asymptotic behaviour and subtractions in the Mandelstam representation. Phys.Rev., 1961, v. 123, ГГо.З, p. 1053-1057.

6. Л.Б.Окунь и И.Я.Померанчук. Изотопическая инвариантность и сечения взаимодействия ЗГ -мезонов и нуклонов высокой энергии с нуклонами. ЖЗТФ, 1956, т. 30, с. 424-425.

7. A.B.Kaidalov and К.A.Ter-Martirosyan. Multiple production of hadrons at high energies in the model of quark-gluon strings. M., 1983, preprint ITEP-161.

8. J.P.Burg, M.Chemarin, M.Chevallier et al. Experimental results on pp forward elastic scattering and the possibility of universal shrinkage of the hadronic diffraction cone. -Phys.Lett., 1982, v. Ю9В, p. 124-128.

9. В.Е.Пожидаев. Детектор-мишень высокого давления. 6 школа физики ИТЭФ, вып. I, с. 77-90, 1979.

10. К.А.Тер-Мартиросян. Полюса Редже и данные эксперимента. В книге "Вопросы физики элементарных частиц". Вып. 5, Ереван, 1966, с. 479-523.

11. U.Amaldi, R.Biancastelli, C.Bosio et al. Measurement of the pp total cross section by means of Coulomb scattering at CERIT 1SR. - Phys.Lett., 1973, v. 43B, p. 231.

12. A.S.Carrol, I.H.Chiang, T.P.Kycia et al. Total cross section of , К* , p on protons and deutrons between 23 and 280 GeV/c. Phys.Lett., 1976, v. 61B, p. 303.

13. A.S.Carrol, I.H.Chiang, T.P.Kycia et al. Total cross section of "3± , K* , .=> and on protons and deutrons between 200 and 370 GelT/c. Phys.Lett., 1979, v. 90B, p. 423.

14. R.J.Glauber, in Lectures in Theoretical Physics. Ed. W.Brittin et al. Intersience, U.Y. 1960.

15. В.Н.Грибов. Глауберовская поправка и взаимодействие адроновс ядрами при высоких энергиях. ЗКЭТФ, 1969, т. 56, стр. 892901.

16. Л.Г.Дахно. Эффекты теневого экранирования в рассеянии протонов и Т-мезонов на дейтРОЦе. ЯФ, 1983, т. 37, вып. 4,стр. 993-1010.

17. Y. V.Anisovich and L.G.Dakhno. Elastic and inelastic scattering of high-energies particles on the deuteron. Nucl. Phys., 1975, v. B85, p. 208-220.

18. A.B.Kaidalov, L.A.Kondratyuk. Inclusive processes and shadow effects in deuteron. - Nucl.Phys., 1973, v. B56, p.904.

19. D.P.Roy, R. G.Roberts. Triple-Regge analysis of pp — px and some related phenomena a detailed study. - Nucl.Phys., 1974, v. B77, p. 240-268.

20. R.D.Field and G.C.Fox. Triple Regge and finite mass sum rull analysis of the inclusive reaction pp — px. - Nucl. Phys., 1974, v. B77, p.367.

21. Ю.М.Казаринов, В.З.Копелиович, Л.И.Лапидус и др. Трехред-жеонная феноменология в реакции рр — р+х. - ЖЭТФ, 1976,т. 70, вып. 4, с. II52-II65.»1

22. C.E. De Haven,Jr., C.A.Ayre, H.R. Gustafson. Neutron-proton differential cross section in the range 70 to 400 GeV/c. -Nucl.Phys., 1979, v. B148, Ho.1, p. 1-17.

23. U.Amaldi, M.Jacob, and G.Matthiae. Diffraction of hadronic waves. - Ann.Rev.Nucl.Sci., 1976, v. 26, p. 385-456.

24. J.P.Burg, M.Chemarin, M.Chevalier et al. Soft p and рр elastic scattering in the energy range 30 to 345 GeV. - Hucl. Phys., 1983, v. 217, p. 285-335.37« J.P.Martin. Dissertation. Université de Lyon. Villeur banne (1982).

25. A.A.Anselm and V.N.Gribov. Zero pion mass limit in interaction at very high energies. - Phys.Lett., 1972, v. 40B, No.4, p. 487-490.

26. A.A.Vorobyov, G.A.Korolev, V.A.Schegelsky et al. A method for studies of small angle hadron-proton elastic scattering in the Coulomb interference region. - И.I.M., 1974, v. 119, p. 509-519.

27. Ю.В.Городков, Ю.А.Камышков, В.А.Любимов, В.В.Пляскин, В.Е.По-жидаев. Детектор-мишень. Бюллетень изобретений, 1978 г.,1. J& 39.

28. Ю.В.Городков, Ю.А.Камышков, В.А.Любимов, В.В.Пляскин, В.Е.По-жидаев. Детектор-мишень. Авторское свидетельство Ш 599619, 1977 г.

29. P. V.R.Murthy, C.A.Ayre, H.R.Gustafson et al. Neutron total cross sections on nuclei at Fermilab energies. - Nucl.Phys., 1975, v. B92, No.2, p. 269-308.

30. В.В.Пляскин. Исследование упругого рассеяния нейтронов на дейтерии с помощью активной мишени. Диссертация. Москва, 1984.

31. F.Sauli. Principles of operation of multiwire proportional and drift chambers. Geneva. CERU 77-09, p. 56-58.

32. H.S.Snyder. Pluctuations for proportional counter. Phys. Rev., 1947, v. 72, p. 181-195.

33. S.C.Curran, A.L.Cockroft, J.Angus. Investigation of soft radiation by proportional counters. - Phys.Hag., 1949,p. 929-932.

34. A.Breskin, G.Charpak, F.Sauli et al. Recent observations and measurements with high-accuracy drift chamber. - H.I.M., 1975, v. 124, p.189.

35. T.Ichimory, 11.Obu, and Shirakata. A high resolution cylindrical proportional counter for neutron-spectrum measurement in a fast critical assembly. 1T.I.M., 1975, v. 127, p.571.

36. Pack J.L., Phelps A.V. Drift velocities of slow electronsin helium, neon, argon, hydrogen and nitrogen. Phys.Rev.,1961, v.121, p. 798-812. и

37. Loeb L.B. Basic processes of gaseous electronics. University of California, Oress, Berkley, 1961.

38. Andersen H.H., Ziegler J.P. The stopping power and range of ions in matter. Vol.3. Pergamon Press, U.Y.

39. Radeka V. State of the art of low noise amplifiers for semiconductor radiation detector. Preprint BNL-12798, 1968.

40. Millard L.K., Blalock T.V., and Hill W.U. A broadband current preamplifier configuration for obtaining high resolution energy and time information from nuclear radiation detectors. Trans. TEEE, 1472, NS-19, Ио.1, p. 388-397.

41. В.З.Нозик. Диссертация. "Сечения рассеяния и термализация нейтронов". Москва, 1970 г.

42. P.James, D.Ross. МШШО (L), CERN program Library, D506.

43. A.Bamberger, H.J.Brundiers, U.Fischer, D.Friedrich, R.Har-tung, W.Heck, R.Maier, K.Runge, O.Schaile, B.Tomauske, C.Yfe-ber, A.Arefiev, A.Babaev, G.Eliseev, Yu.Galaktionov, Yu.Go-rodkov, Yu.Kamyshkov, V.Lubimov, V.Plyaskin, V.Pojidaev,

44. V.Shevchenko, M.Vlasov. Particle identification throughshape analysis in proportional counters. Physica Scripta, 1981, vol»23, p. 759-762.

45. В.А.Солощенко. Потери энергии заряженными частицами. Препринт ИТЭФ, 1980, № 114.

46. Blunck О. und S.Leisegang. Zim Energieverlust schnellerи

47. Elektronen in dunnen Schichten. Zeit.fur Phys. 1950, B128, H4, 500-506.

48. U.Amaldy, R.Biancastelli, C.Bosio et al. The energy dependence of the proton-proton total cross section for center of mass energies between 23 and 53 GeV. - Phys.Lett. 1973, V.44B, Ho.1, p.p. 112-118.

49. В.П.Канавец. Спиновые эффекты в упругом рассеянии при высоких энергиях. Третья школа физики ИТЭФ, вып.2, стр. 82-95, 1975 г.

50. П.Коллинз, Э.Сквайерс. "Полюса Редже в физике частиц". Мир, М., 1967.

51. И.Т.Дятлов. Дуальность и эксперимент, Первая школа физики ИТЭФ, вып.З, стр. 59-73, 1973 г.

52. O.S.Ayres, R.Die"bold, G.J.lvIaclay et al. З^р, ^Р» PP, and pp elastic scattering from 50 to 175 GeV/c.- Phys.Rev. D,v.15, Ho.11 (1977) p.p. 3105-3139.

53. G.G.Beznogikh, A.Bujak, L.P.Kirillova et al. Differential cross sections of elastic pp scattering in the energy range 8-70 GeV. - Hue 1. Phys., B54 (1973) v.1, p.p. 78-96.

54. G.Bartdellinu, M.Bozzo, P.Darriulat et al. Small-angle proton-proton elastic scattering at very high energies

55. GeT2С s < 2900 GeV2). Phys.Letters. 972, V.39B, Ho.5,p.p. 663-667.

56. K.J.Foley, S.J.Lindenbaum, V/.A.Love et al. Small angle elastic scattering of protons and pions, 7-20 BeV/c. Phys. Rev.Lett., 1963, v.11, Ho.9, p.p. 425-429.

57. T.T.Chou and C.H.Yang. Model of Elastic high-energy scattering. Phys.Rev., 1968, v.170, Ho.5, p.p. 1591-1596.

58. К.А.Тер-Мартиросян. Итоги развития реджевской схеш и эксперимент. В сборнике "Вопросы физики элементарных частиц", АРУС, Ереван, ч.1, стр. 643-722, 1975.

59. Е.М.Левин, В.М.Шехтер. Перерассеяние кварков и процессы упругого рассеяния, 9 школа ЛИЯФ, т. 3, стр. 28-94, 1974.

60. А.И.Бабаев, Э.В.Брахман, Ю.В.Галактионов и др. Измерение полных сечений взаимодействия нейтронов с протонами и ядрами в интервале энергий 26-54 ГэВ. Ядерная Физика, 1974, т.20, вып.1, стр. 71-86.

61. H.R.Barton,Jr., H.W.Reay, K.Reihel et al. n-p charge-ex change scattering from 60 to 300 GeY/c. Phys.Rev.Lett., 1976, v.37, Ho.25, p.p. 1656-1659.

62. M.J.Longo, C.A.Ayre, H.R.Gustafson. Neutron-Proton totalcross sections from 30 to 280 GeV/c. Phys.Rev.Lett•, 1974, v.33, No.12, p.p. 725-728.

63. S.W.MacDowell and A.Martin. Unitarity Bounds of the Scattering Amplitude and Diffraction Peak. Phys.Rev., 1964,v. 135, No.4B, p.p. 960-962.

64. V.Singh and S.M.Roy. Unitarity upper bound on the absorptive parts of elastic-scattering amplitudes. Phys.Rev.Lett., 1970, v.24, No.1, p.p. 28-33.