Излучение осциллирующего точечного диполя из металло-диэлектрических фотонно-кристаллических слоистых структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Лобанов, Сергей Владимирович

• Лобанов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лобанов, Сергей Владимирович

Содержание

Введение

1 Распространение света в слоистых системах

1.1 Уравнение электромагнитного поля в линейной локальной среде

1.2 Формализм оператора переноса

1.3 Распространение света в г-однородном слое

1.4 Некоторые свойства мод ¿-однородного слоя

1.4.1 Произвольный ¿-однородный слой

1.4.2 Слой без поглощения

1.5 Формализм оператора рассеяния

1.5.1 Оператор рассеяния ¿-однородного слоя

1.5.2 Оператор рассеяния границы раздела двух слоев

1.5.3 Объединение двух операторов рассеяния

1.6 Краткие итоги

2 Излучение осциллирующего точечного диполя в слоистых системах

2.1 Расчёт амплитуд излучения

2.2 Резонансное приближение осциллирующего точечного диполя

2.3 Расчёт фактора Пурселла

2.4 Построение диаграммы направленности излучения

2.5 Параметры Стокса и принцип взаимности

2.6 Краткие итоги

3 Примеры численного расчёта оптических характеристик излучения осциллирующего точечного диполя

3.1 Излучение осциллирующего точечного диполя из фотонно-

кристаллического слоя диэлектрических наноколонн [49]

3.2 Свойства излучения осциллирующего точечного диполя из системы периодически упорядоченных золотых наноантенн Яги-Уда [64]

3.3 Излучение осциллирующих точечных диполей, случайно расположенных в некотором слое планарнош диэлектрического волновода, верхняя часть которого является киральным фотонным

кристаллом

Заключение

Некоторые обозначения

Список рисунков

Список таблиц

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Излучение осциллирующего точечного диполя из металло-диэлектрических фотонно-кристаллических слоистых структур»

ведение

Вот уже несколько десятилетий интенсивно развивается новая ветвь физики - нанофизика. Стало возможным создание наноструктур, размеры структуризации которых достигают нескольких десятков и даже единиц нанометров. Такие наноструктуры обладают многочисленными интересными свойствами, в том числе оптическими. К таким структурам относятся, например, фотонные кристаллы, в которых возможно образование запрещённых зон для фотонов, что позволяет, например, замедлять радиационное излучение атомов из такой структуры [1]. Настоящий бум в исследовании фотонных кристаллов начался в последнем десятилетии прошлого века после работ [2,3].

Фотонные кристаллы представляют собой структуры, диэлектрическая проницаемость которых изменяется периодически [2-6]. В зависимости от размерности структуризации они делятся на три типа: одномерные, двумерные и трехмерные (см. Рис. 1).

Одномерные фотонные кристаллы — это материалы, в которых диэлектрическая проницаемость периодически изменяется в одном направлении. Такие фотонные кристаллы состоят из параллельных друг другу слоев различных материалов с разными диэлектрическими проницаемостями и проявляют свои фотонно-кристаллические свойства в направлении, перпендикулярном слоям. Наиболее простой и распространенный способ получения одномерных периодических структур — это вакуумное послойное напыление поликристаллических диэлектрических или полупроводниковых пленок. Достижения в области синтеза полупроводниковых гетероструюур в последние десятилетия позволяют создавать полностью монокристаллические структуры с периодическим изменением показателя преломления вдоль направления роста, используя методы молекулярно-пучковой эпитаксии или осаждения из газовой фазы с использованием металлорганических соединений. Альтернативная технология - использо-

Рисунок 1: Слева направо схематически показаны одномерный, двумерный, трехмерный фотонные кристаллы и фотонно-кристаллическая слоистая система. Разные цвета соответствуют материалам с разными значениями

диэлектрической проницаемости.

вание нанолитографии и анизотропного травления. Пример одномерного фотонного кристалла, полученного в работе [7], показан на Рис. 2.

Двумерные фотонные кристаллы — это материалы, в которых диэлектрическая проницаемость периодически изменяется в двух направлениях. Эти изменения образуют двумерную кристаллическую решётку. Двумерные периодические структуры можно изготавливать, используя селективное травление с использованием литографических масок или шаблонов. На Рис. 3 представлен пример двумерного фотонного кристалла - пористого оксида алюминия [8].

Трехмерные фотонные кристаллы — это материалы, в которых диэлектрическая проницаемость периодически изменяется в трех направлениях. Их можно представить как массив объемных областей, упорядоченных в трехмерной кристаллической решётке. Трехмерные периодические структуры представляют наибольшие технологические трудности для экспериментальной реализации. Предложено много различных способов создания диэлектрических структур с субмикронным периодом изменения показателя преломления по трём пространственным направлениям. Один из способов — формирование плотноупа-кованных сферических глобул одинакового размера (коллоидные кристаллы или искусственные опалы). Другой подход основан на построении многослойных структур с периодическим изменением показателя преломления в каждом слое методами фотолитографии. На Рис. 4 показан трехмерный фотонный кристалл типа "стопка дров", образованный скрещенными под прямым углом прямоугольными параллелепипедами [9].

Рисунок 2: Периодическая структура кремний - воздух, полученная методом анизотропного травления с использованием фотолитографической маски [7].

Период структуры 8 мкм.

Оптические свойства фотонных кристаллов сильно отличаются от оптических свойств однородных сплошных сред. Распространение излучения внутри фотонного кристалла благодаря периодичности среды становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала [10]. В результате электромагнитные волны в фотонных кристаллах имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блохов-ским волнам электронов в обычных кристаллах. При определенных условиях в зонной структуре фотонных кристаллов образуются щели, аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от конкретных свойств (материала элементов, их размера и периода решетки) в спектре фотонных кристаллов могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны, для которых распространение излучения невозможно независимо от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп-зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях. Эти уникальные свойства фотонных кристаллов позволяют создать новые типы волноводов (см., например, [11]), оптических волокон (также известных, как фотонно-кристаллические волокна [12]), структур со значительным усилением локального электромагнитного поля [13] и другие революционные устройства в технике оптической связи, физике лазеров и оптической компьютерной технологии [14-16].

Рисунок 3: Структура с двумерной периодичностью из оксида алюминия, полученная с использованием литографического шаблона [8].

Рисунок 4: Схематическое изображение (слева) и электронные фотографии фотонного кристалла из металлических параллелепипедов [9].

Фотонные кристаллы находят свое применение в технике. Распределённый брэгговский отражатель является широко используемым и известным примером одномерного фотонного кристалла. В последние десятилетия идёт интенсивное изучение свойств фотонных кристаллов, разработка теоретических методов их исследования, разработка и исследование различных устройств с фотонными кристаллами, практическая реализация теоретически предсказанных эффектов в фотонных кристаллах.

С фотонными кристаллами связывают будущее современной оптоэлектро-ники. Использование фотонных кристаллов позволяет создать низкопороговые и безпороговые лазеры. Волноводы, основанные на фотонных кристаллах, мо-

Ы 2пс1

I яг 2пс1

гут быть очень компактны и обладать малыми потерями. Фотонные кристаллы обладают существенными дисперсионными свойствами (их свойства зависят от длины волны проходящего через них излучения), это даёт возможность создать суперпризмы. Новый класс дисплеев, в которых манипуляция цветом пикселей осуществляется при помощи фотонных кристаллов, может придти на смену существующим дисплеям.

Помимо изменения спектров отражения, прохождения и поглощения металло-диэлектрические фотонные кристаллы позволяют влиять на время жизни возбужденного состояния атома, молекулы или квантовой точки, помещенных внутрь фотонного кристалла, и, следовательно, менять характер люминесценции. Время жизни возбуждённого состояния может как увеличиваться, так и уменьшаться, в зависимости от периода фотонного кристалла, распределения диэлектрической проницаемости в его элементарной ячейке и частоты излучаемого фотона. Например, если частота перехода в квантовом излучателе, находящемся в фотонном кристалле, попадет в запрещенную зону, то люминесценция на этой частоте будет подавлена [1]. Изменяя параметры структуры, возможно манипулировать временем жизни возбуждённого состояния квантового излучателя. Также возможно изменять диаграмму направленности излучения такой молекулы или квантовой точки. Теоретическое изучение влияния структуры фотонного кристалла на оптические характеристики излучения помещенных внутрь квантовых излучателей является перспективной задачей современной нанофотоники.

Если уменьшить период фотонного кристалла до размеров много меньших длины световой волны, то мы попадём в область так называемых метаматери-алов [17-20]. Благодаря маленькому размеру элементов (так называемых мета-атомов [21]) свет взаимодействует с метаматериалом как с некоторым эффективным однородным материалом, свойства которого могут сильно отличаться от оптических свойств материалов, встречающихся в природе. Поэтому метама-териалы могут найти применение в оптических приборах для различных приложений. Самым известным примером метаматериала является среда с отрицательным показателем преломления [22-25], которая теоретически позволяет создать совершенную линзу [17]. Другим примером применения метаматериа-лов является маскировочное устройство (плащ-невидимка), которое заставляет свет огибать объект так, что он кажется невидимым [18]. Многие идеи для новых метаматериалов пришли из области трансформационной оптики [26], кото-

Рисунок 5: Схематическое изображение (слева) и электронные фотографии

(справа) фотонно-кристаллической слоистой системы, состоящей из периодически упорядоченного массива золотых наноантенн Яги-Уда [38].

рая использует тот факт, что уравнения Максвелла могут быть сформулированы инвариантно относительно преобразований координат, если мы переопределим тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей [27].

Модификацией фотонных кристаллов являются фотонные квазикристаллы [28-31]. В квазикристаллических структурах отсутствует периодичность, но присутствует дальний порядок. Благодаря этому они наряду с кристаллами обладают дискретной картиной дифракции, но в отличии от них могут иметь запрещённые (для кристаллов) типы симметрии.

Другой модификацией фотонных кристаллов являются фотонно-кристаллические слоистые системы [32-37] (см. Рис. 1). Эти наноструктуры состоят из нескольких квазиоднородных слоёв, в каждом из которых диэлектрическая проницаемость меняется периодически вдоль двух направлений и не меняется вдоль третьего направления. Пример фотонно-кристаллической слоистой системы, описанной в работе [38], показан на Рис. 5.

Фотонно-кристаллические слоистые структуры имеют много интересных оптических свойств, которые могут быть важны для практических применений. Например, спектр пропускания волноводных фотонно-кристаллических структур имеет узкие глубокие провалы, которые проявляют сложное поведение при изменении угла падения света, геометрических параметров или диэлектрических проницаемостей компонентов наносистемы [33].

Поэтому весьма важной и актуальной задачей является разработка методов теоретического описания свойств фотонных кристаллов и метаматериалов. Од-

ним из продуктивных способов является метод матрицы рассеяния. Этот метод, тесно связанный с методом матриц переноса, как показали Ко и Инксон [39], устойчив для толстых периодических слоев.

Авторы работы [33] развили численный метод матрицы рассеяния, основанный на обобщении метода, предложенного Уиттексром и Кулшау [32], и позволяющий моделировать свойства одномерных или двумерных фотонно-кристалличсских слоев. Этот метод хорошо работает для диэлектрических или полупроводниковых фотонно-кристаллических слоистых структур. Основная идея этого метода состоит в разбиении фотонно-кристаллической слоистой системы на несколько планарных периодических слоев, трансляционно инвариантных в нормальном направлении, и решении уравнений Максвелла для каждого слоя путем разложения полей по модам Флоке-Блоха. Точное решение описывается с помощью ряда из бесконечного числа слагаемых. Но для численных вычислений необходимо обрезать этот ряд, т.е. учесть некоторое ограниченное число А^ гармоник. Затем решения для каждого слоя объединяются с помощью граничных условий для электромагнитного поля и формализма матрицы рассеяния [32,33]. Точность расчёта увеличивается с ростом числа учитываемых гармоник, но увеличение А^ приводит также к росту времени вычисления решения. Для фотонно-кристаллических слоистых струюур, состоящих из веществ с небольшими вариациями диэлектрической и магнитной проницаемостей (например, состоящих только из диэлектриков и полупроводников) расчёт матрицы рассеяния на современных компьютерах происходит за разумное время.

Однако при наличии в элементарной ячейке двумерной фотонно-кристаллической слоистой структуры металлических частей сходимость приближённого решения к точному по мере увеличения числа гармоник становится слишком медленной. В результате требуется большое число и расчёт оптических характеристик становится невозможным даже на суперкомпьютере. Поэтому для ускорения расчёта матрицы рассеяния металлических фотонно-кристаллических слоистых структур недавно были предложены способы оптимизации, такие как правила факторизации и адаптивное пространственное разрешение [40-44].

Как было впервые показано Ли [40], основная причина плохой сходимости заключается в том, что Фурье-свёртка двух разрывных функций (как, например, бЕп, то есть произведение скачком меняющейся на интерфейсе диэлектрической

проницаемости на нормальную компоненту электрического поля), произведение которых не испытывает скачка, приводит к неправильному результату. В результате были сформулированы правила факторизации, заключающиеся в использовании либо Фурье разложения е, либо 1/е, в зависимости от того, какая из компонент электрического поля используется в данном месте, и позволившие существенно улучшить сходимость метода матрицы рассеяния. Вторая причина состоит в том, что осциллирующее поведение Флоке-Фурье разложения разрывной функции, также известное, как явление Гиббса, препятствует быстрой сходимости. Для частичного устранения этой причины было предложено [41,42] увеличить разрешение вблизи прыжка разрывной функции. Этот метод получил название адаптивного пространственного разрешения.

На основе метода численного расчёта фотонно-кристаллических слоистых структур, описанного в статьях [32] и [33], в главе 1 построена новая методика анализа произвольной слоистой (не обязательно фотонно-кристаллической) структуры. Данный метод может применяться для расчёта, например, одиночных слоистых волноводов, фотонно-кристаллических систем со сверхрешёткой или более сложных систем. Фактически, при этом подходе всё различие численного нахождения оптических характеристик для этих систем будет состоять лишь в различном выборе правила скалярного произведения и различном выборе конечномерного подпространства (с соответствующим базисом), на которое проецируются все вектора при численном решении.

Другой актуальной проблемой современной физики является изучение влияния окружения на излучение квантовой точки или молекулы. Начиная с пионерской работы Пурселла [45], эта проблема привлекает большое внимание исследователей. Так, например, было показано, что время жизни возбужденного состояния квантового излучателя, помещенного в фотонно-кристаллическую структуру, отлично от его времени жизни в вакууме. В зависимости от частоты излучения и параметров фотонного кристалла, оно может быть как уменьшено, так и увеличено [1,2,46-48].

Прямой расчёт времени жизни возбуждённого состояния квантовой точки или молекулы, расположенной в фотонно-кристаллической слоистой структуре является весьма сложной проблемой квантовой электродинамики. Хорошим приближением для расчёта излучения квантовой системы является модель осциллирующего точечного диполя, колеблющегося с постоянной ампли-

тудой и частотой, заданными внешним источником — в так называемом пределе слабой связи, когда пренебрегается влиянием внешнего окружения на ди-польный момент излучателя. Другими словами, квантовый излучатель внутри фотонно-кристаллической слоистой структуры описывается осциллирующим током ¿(г, 0 = ^¿»(г - Го)е~1Ш, расположенным в среде с пространственно модулированной диэлектрической проницаемостью е(г). Поведение такой классической электродинамической системы описывается уравнениями Максвелла, а диаграмму направленности излучения и распределение электромагнитного поля внутри фотонно-кристаллической слоистой структуры можно рассчитать, например, в рамках метода оптической матрицы рассеяния [32,37]. Что же касается чисто квантовой величины — среднего времени жизни возбуждённого состояния г квантового излучателя, — ее изменение за счет диэлектрического окружения, в сравнении с излучателем в пустом пространстве, можно оценить, вычислив суммарную мощность излучения точечного диполя и сравнив её с мощностью излучения эквивалентного диполя в свободном пространстве. Отношение этих двух величин, называемое фактором Пурселла Fp, говорит об увеличении или уменьшении скорости потерь внутренней энергии излучателя, т. е. об изменении времени жизни возбуждённого состояния квантового аналога точечного диполь-ного излучателя. Таким образом, т = /<> • то, где то — среднее время жизни эквивалентного квантового излучателя в свободном пространстве, а фактор Пурселла вычисляется по формуле

§(Р • ¿Л)

^Р - ТГ-^-Т > (1)

$(Ро• (Щ

где интеграл берётся по бесконечно малой сфере £о, окружающей точечный диполь, Р и Р0 векторы Пойнтинга излучения диполя внутри фотонно-кристаллической слоистой структуры и в свободном пространстве.

Расчёт оптических характеристик излучения точечного диполя, расположенного внутри фотонно-кристаллической слоистой системы, проводится следующим образом [32,37]. Структура разбивается на две части, выше и ниже плоскости с дипольным излучателем, и вычисляются матрицы рассеяния обеих частей [32,33,43]. Затем решения сшиваются с помощью условий, связывающих

плотность тока диполя с разрывом тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей в плоскости с излучателем.

В работе Уиттекера и Кулшау [32] было показано, как с помощью формализма матрицы рассеяния можно рассчитать амплитуды излучения осциллирующего точечного диполя. Основываясь на этом методе, в главе 2 построен алгоритм расчёта радиационной части фактора Пурселла для метода матрицы рассеяния. Метод впервые обобщён на расчёт безызлучательной части фактора Пурселла. Впервые построено резонансное приближение для излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в произвольной металло-диэлектрической фотонно-кристаллической слоистой системе. В этой главе также описано, как построить диаграмму направленности излучения для такого диполя.

Примеры применения разработанного в Главе 2 метода расчёта излучения осциллирующего точечного диполя приведены в Главе 3. Проанализирована диаграмма направленности излучения из массива диэлектрических (полупроводниковых) наностержней, решётки металлических наноантенн Яги-Уда, и из полупроводниковой гетероструктуры в виде волновода с кирально модулированной верхней частью. Эти задачи ранее не решались. Первая из них является модельной и необходима для проверки резонансного приближения [49].

Вторая задача весьма актуальна, в связи с интенсивным обсуждением и созданием в последнее время наноантенн оптического диапазона [50-64]. Металлические антенны традиционно использовались для управления диаграммой направленности излучения электромагнитных волн в радио и микроволновом диапазоне. Несмотря на то, что электромагнитные свойства металлов в оптическом диапазоне значительно отличаются от свойств в радио и микроволновой области, представляется целесообразным использовать основные принципы создания радиоантенн также и в оптике. Например, было предложено [50-55] создать наноантенны для оптического диапазона, в которых элементы расположены так же, как в радиоантенне Яги-Уда. Антенны Яги-Уда обычно состоят из одного или двух рефлекторов, одного активного вибратора и нескольких директоров с правильно подобранными рассеивающими фазами (рефлектор и директор настроены слегка индуктивно и ёмкостно, соответственно). Как было недавно показано, элементами наноантенн могут быть наностержни [51-53], диэлектрические шарики, покрытые металлической оболочкой [50,54] или сферические наночастицы [63]. Все элементы наноантенны рассеивают свет и результирую-

щая интерференция создаст узкий пучок вдоль оси антенны. Размеры элементов в таких оптических наноантеннах Яги-Уда меньше, чем длина волны излучения в свободном пространстве. Такие оптические наноантенны эффективно работают только в узкой частотной области, в которой взаимодействие излучателя со светом резонансно усиливается локализованным плазмоном [65,66]. Это усиление тем сильнее, чем ближе располагается точечный излучатель к металлической наночастице, в которой возбуждается коллективное колебание электронов -локализованный штазмон [52,59,61,64].

Третья задача главы 3 также интересна, поскольку в последнее время стала актуальной задача создания компактных источников циркулярно поляризованного света. Эти источники важны для многочисленных приложений таких, как спектроскопия кругового дихроизма [67], киральный синтез [68,69] в биологии и химии, управление спиновым состоянием в квантово-информационной технологии [70,71], а также сверхбыстрое управление намагниченностью [72,73]. Источники циркулярно поляризованного света могут работать за счёт различных физических эффектов. Например, нарушение симметрии по отношению к обращению времени приводит к различным эффективностям излучения право и левополяризованных фотонов квантовыми излучателями, находящимися в стационарном магнитном поле [74-78]. Различные эффективности излучения право и левополяризованных фотонов могут также наблюдаться у квантовых излучателей, расположенных в киральной среде. Так было показано, что излучение молекул красителя, расположенных в киральных жидких кристаллах, оказывается сильно циркулярно поляризованным [79-81]. Авторы работы [82] экспериментально исследовали фотолюминесценцию квантовых точек, расположенных в полупроводниковой гетероструктуре, верхняя часть которой является кираль-ным фотонным кристаллом. Несмотря на то, что эта структура состоит из неки-ральных материалов и к ней не прикладывается магнитное поле, степень циркулярной поляризации фотолюминесценции квантовых точек достигает 26%. В параграфе 3.3 приводится сравнение экспериментальных спектров фотолюминесценции с рассчитанными, а также выполнена оптимизация параметров структуры для получения большей степени циркулярной поляризации излучения.

Целью данной работы является разработка и применение для конкретных моделей метода расчёта оптических характеристик излучения осциллирующего

точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллической слоистой структуре, в том числе металло-диэлектрической.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать на основе метода оптической матрицы рассеяния способ вычисления диаграммы направленности, суммарной интенсивности и излу-чательной эффективности излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллической слоистой системе.

2. Разработать резонансное приближение для излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллической слоистой системе.

3. Исследовать излучение осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллическом слое диэлектрических наноколонн.

4. Исследовать излучение осциллирующего точечного диполя, расположенного в периодически упорядоченном массиве металлических (золотых) на-ноантенн Яги-Уда.

5. Исследовать излучение случайно расположенных осциллирующих точечных диполей, помещённых в планарную полупроводниковую гетерострук-туру, верхняя часть которой является киральным фотонным кристаллом.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод оптической матрицы рассеяния, использующий методы улучшения сходимости в виде правил факторизации и адаптивного пространственного разрешения, позволяет вычислить диаграмму направленности, интенсивность и излучательную эффективность излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллической структуре, в том числе металло-диэлектрической.

2. Резонансное приближение для расчёта излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в слоистой системе, эффективно в области частот вблизи резонансной частоты.

3. Основные особенности низкочастотного излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллическом слое диэлектрических наноколонн можно объяснить, рассматривая простую модель взаимодействия диполя с резонансами Фабри-Перо собственных мод фотонно-кристаллического слоя. При этом суммарная интенсивность и диаграмма направленности излучения сильно зависят от положения диполя, ориентации его дипольного момента и частоты колебаний.

4. Система периодически упорядоченных золотых наноантенн Яги-Уда одновременно усиливает и позволяет перенаправить излучение осциллирующего точечного диполя. Это усиление сильно зависит от частоты колебаний, положения диполя и ориентации его дипольного момента. Использование нескольких когерентных излучающих диполей, прикреплённых к различным наноантеннам массива, позволяет управлять диаграммой направленности излучения.

5. Степень циркулярной поляризованности излучения случайно расположенных точечных диполей, помещённых в планарный диэлектрический волновод, верхняя часть которого является киральным фотонным кристаллом, при определённых параметрах структуры может превзойти 90%.

Научная новизна:

1. Разработан последовательный подход, основанный на оптической матрице рассеяния, к описанию распространения света в произвольной нанострук-турированной слоистой системе и излучения света расположенным в ней осциллирующим точечным диполем.

2. Впервые этот метод обобщён для расчёта излучатсльной эффективности.

3. Впервые разработано резонансное приближение для расчёта излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллической слоистой системе.

4. Впервые исследовано излучение осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллическом слое диэлектрических наноколонн.

5. Впервые исследовано излучение осциллирующего точечного диполя, расположенного в периодически упорядоченном массиве металлических (золотых) наноантенн Яги-Уда.

6. Впервые проведена оптимизация параметров структуры для получения циркулярной поляризации излучения случайно расположенных осциллирующих точечных диполей, помещённых в планарный диэлектрический волновод, верхняя часть которого является киральным фотонным кристаллом, в зависимости от параметров наноструктурирования.

Научная и практическая значимость полученных результатов обусловлена тем, что они важны для понимания электромагнитных свойств слоистых модулированных сред и для создания эффективных наноантенн оптического диапазона. Это направление исследований в настоящее время интенсивно развивается во всём мире. Значимость полученных результатов подтверждается их публикацией в журналах с высоким индексом цитирусмости (Письма в ЖЭТФ, Phys. Rev. В) и докладами (в том числе устными) на ведущих международных конференциях.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается проверкой использованных методов для известных предельных случаев. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7 научных конференциях:

1. XIV международный симпозиум "Нанофизика и наноэлектроника". 15-19 марта 2010 г., Нижний Новгород.

С. В. Лобанов, С. Г. Тиходеев, Н. А. Гиппиус, Т. Weiss. Оптические характеристики осциллирующего точечного диполя в двумерных фотонных кристаллах.

2. XII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах".

24-29 мая 2010 г., Звенигород, Московская обл. С. В. Лобанов, С. Г. Тиходеев, Н. А. Гиппиус, Т. Weiss. Взаимодействие осциллирующего точечного диполя с модами Фабри-Перо фотонно-кристаллического слоя.

3. 18-ый Международный Симпозиум "Наноструктуры: Физика и технология".

Июнь 21-26, 2010, Санкт-Петербург.

S. V. Lobanov, Т. Weiss, N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev.

Emission of an oscillating point dipole from a periodic array of dielectric

nanopillars.

4. 11th International Conference on Physics of Light-Matter Coupling in Nanostructures.

April 4-8, 2011, Berlin, Germany, p. 230.

S. V. Lobanov, T. Weiss, D. Dregely, H. Giessen, N. A. Gippius, and S. G. Tikhodeev.

Emission of an oscillating point dipole from a gold Yagi-Uda nanoantenna array.

5. 19-ый Международный Симпозиум "Наноструктуры: Физика и технология".

Июнь 20-25, 2011, Екатеринбург.

S. V. Lobanov, Т. Weiss, D. Dregely, Н. Giessen, N. A. Gippius, and S. G. Tikhodeev.

Interaction of a point emitter with a gold Yagi-Uda nanoantenna array.

6. XIII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах".

21-26 мая 2012 г., Звенигород, Московская обл.

С. В. Лобанов, Т. Weiss, D. Dregely, Н. Giessen, Н. А. Гиппиус и С. Г. Ти-ходеев.

Управление излучением квантовых точек с помощью ансамбля оптических наноантснн Яги-Уда.

7. XVII международный симпозиум "Нанофизика и наноэлектроника". 11-15 марта 2013 г., Нижний Новгород.

С. В. Лобанов, Т. Weiss, Н. А. Гиппиус, К. Konishi, М. Kuwata-Gonokami и С. Г. Тиходеев.

Управление поляризацией излучения квантовых точек при помощи слоя кирального фотонного кристалла.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 7 из которых изданы в тезисах докладов (см. список конференций выше), а 3 — в журналах, рекомендованных ВАК [49,64,83]:

1. Излучение осциллирующего точечного диполя из фотонно-кристалличсского слоя диэлектрических наноколонн / С. В. Лобанов, Т. Вайсс, Н. А. Гиппиус и С. Г. Тиходеев // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93, № ю. С. 615-619.

2. Emission properties of an oscillating point dipole from a gold Yagi-Uda nanoantenna array / S. V. Lobanov, T. Weiss, D. Dregely, H. Giessen, N. A. Gippius, and S. G. Tikhodeev // Physical Review B. 2012. Vol. 85. p. 155137.

3. Спектроскопия квадратичного отклика системы магнитных наностсржней / В. JI. Крутянский, И. А. Колмычек, С. В. Лобанов и Т. В. Мурзина // Известия РАН. Серия физическая. 2013. Т. 77, № 1. С. 72-75.

Личный вклад автора является определяющим: все результаты работы получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 110 страниц с 32 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 92 наименования.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы, сформулированы защищаемые положения.

Первая глава посвящена распространению света в слоистых структурах. Сначала из уравнений Максвелла выводится уравнение, описывающее распространение электромагнитных волн в линейных диспергирующих средах с локальным откликом. Это уравнение существенно упрощает исследование слоистых систем. Далее приводятся два способа решения этого уравнения — методом оператора переноса и оператора рассеяния. Также в первой главе исследуются собственные моды z-однородного слоя для произвольного случая и для непогло-щающих ^-однородных слоев.

Вторая глава посвящена излучению осциллирующего точечного диполя, расположенного в слоистой структуре. В этой главе сначала находится решение задачи об излучении, затем приводится вывод резонансного приближения излучения, расчёт фактора Пурселла, излучательной эффективности и диаграммы направленности излучения.

Третья глава посвящена исследованию излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллическом слое диэлектрических наноколонн, периодически упорядоченного массива золотых наноантенн Яги-Уда и планарного диэлектрического волновода, верхняя часть которого является киральным фотонным кристаллом.

В заключении приведены основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Лобанов, Сергей Владимирович

Заключение

Таким образом, в данной диссертации были получены следующие результаты:

1. Разработан последовательный подход, основанный на оптической матрице рассеяния, к описанию распространения света в произвольной нанострук-турированной слоистой системе, в том числе металло-диэлектрической.

2. Этот подход позволяет рассчитать диаграмму направленности, интенсивность и излучательную эффективность излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в произвольной наноструктурированной слоистой системе.

3. Разработано резонансное приближение для расчёта излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в наноструктурированной слоистой системе, которое эффективно в области частот вблизи резонансной частоты.

4. Основные особенности низкочастотного излучения осциллирующего точечного диполя, расположенного в фотонно-кристаллическом слое диэлектрических наноколонн можно объяснить, рассматривая простую модель взаимодействия диполя с резонансами Фабри-Перо собственных мод фотонно-кристаллического слоя. При этом суммарная интенсивность и диаграмма направленности излучения сильно зависят от положения диполя, ориентации его дипольного момента и частоты колебаний.

5. Система периодически упорядоченных золотых наноантенн Яги-Уда одновременно усиливает и позволяет перенаправить излучение осциллирующего точечного диполя. Это усиление сильно зависит от частоты колебаний, положения диполя и ориентации его дипольного момента. Использование нескольких когерентных излучающих диполей, прикреплённых к различным наноантеннам массива, позволяет управлять диаграммой направленности излучения.

6. Степень циркулярной поляризованности излучения случайно расположенных точечных диполей, помещённых в планарный диэлектрический волновод, верхняя часть которого является киральным фотонным кристаллом, при определённых параметрах структуры может превзойти 90%.

В заключение мне бы хотелось искренне поблагодарить своего научного руководителя, Сергея Григорьевича Тиходеева, который помогал мне и оказывал всяческую поддержку в ходе моей работы, Томаса Вайсса и Николая Алексеевича Гиппиуса за многочисленные полезные дискуссии.

Некоторые обозначения

Пример трёхмерного вектора в реальном пространстве — Ё Бесконечномерное Гильбертово пространство — Пример бесконечномерного вектора из Л — Е* Скалярное произведение двух векторов из Л — (ЕХ1|ЕХ2) Прямое произведение двух пространств ЛхиЛу — Л

Пример бесконечномерного вектора из *Н — Ё =

Еч

Скалярное произведение двух векторов из а - <Й1|Ё2> = (Ед:1 \Ех2) + (Е^Еуг)

Прямое произведение двух пространств "Не и 'Нр —

Пример бесконечномерного вектора из <Н — М = А

Е, Е,

Л,

Скалярное произведение двух векторов из — (М1|М2) = Эрмитово сопряжение вектора А — А+ Комплексное сопряжение вектора А — А*

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лобанов, Сергей Владимирович, 2013 год

Литература

1. Быков В. П. Спонтанное излучение в периодической структуре // ЖЭТФ. 1972. Т. 62, №2. С. 505-513.

2. Yablonovitch Е. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics // Physical review letters. 1987. Vol. 58, no. 20. P. 2059-2062.

3. John S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlat-tices // Physical review letters. 1987. Vol. 58, no. 23. P. 2486-2489.

4. Yablonovitch E., Gmitter T. J., Leung К. M. Photonic band structure: The face-centered-cubic case employing nonspherical atoms // Physical Review Letters. 1991. Vol. 67, no. 17. P. 2295-2298.

5. Sakoda K. Optical properties of photonic crystals. Springer, 2005. p. 225.

6. Федоров А. В. Физика и технология гетероструктур, оптика квантовых наноструктур. Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. с. 195.

7. Одномерный фотонный кристалл , полученный с помощью вертикального анизотропного травления кремния / В. А. Толмачев, JI. С. Границына, Е. Н. Власова [и др.] // Физика и техника полупроводников. 2002. Т. 36, № 8. С. 996-1000.

8. Highly ordered nanochannel-array architecture in anodic alumina Highly ordered nanochannel-array architecture in anodic alumina / H. Masuda, H. Yamada, M. Satoh et al. // Applied Physics Letters. 1997. Vol. 71, no. 19. P. 2770-2772.

9. Full Three-Dimensional Photonic Bandgap Crystals at Near-Infrared Wavelengths / S. Noda, K. Tomoda, Y. Noritsugu et al. // Science. 2000. Vol. 289, no. 5479. P. 604-606.

10. Киттсль Ч. Квантовая теория твердых тел. Москва: Наука, 1967. с. 492.

11. High transmission through sharp bends in photonic crystal waveguides / A. Mekis, J. C. Chen, I. Kurland et al. // Physical Review Letters. 1996. Vol. 77, no. 18. P. 3787-3790.

12. Russell P. Photonic crystal fibers. // Scicnce (New York, N.Y.). 2003. Vol. 299, no. 5605. P. 358-362.

13. Two-Dimensional Photonic Band-Gap Defcct Mode Laser / O. Painter, R. K. Lee, A. Scherer et al. // Science. 1999. Vol. 284, no. 5421. P. 1819-1821.

14. Наний О. E., Павлова Е. Г. Фотонно кристаллические волокна // Lightwave Russian Edition. 2004. № 3. С. 47-53.

15. Channel drop filters in photonic crystals. / S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos et al. // Optics express. 1998. Vol. 3, no. 1. P. 4-11.

16. Wang Z., Fan S. Compact all-pass filters in photonic crystals as the building block for high-capacity optical delay lines // Physical Review E. 2003. Vol. 68, no. 6. p. 066616.

17. Pendry J. B. Negative refraction makes a perfect lens // Physical review letters. 2000. Vol. 85, no. 18. P. 3966-3969.

18. Pendry J. В., Schurig D., Smith D. R. Controlling electromagnetic fields. // Science (New York, N.Y.). 2006. Vol. 312, no. 5781. P. 1780-1782.

19. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies. / D. Schurig, J. J. Mock, B. J. Justice et al. // Science (New York, N.Y.). 2006. Vol. 314, no. 5801. P. 977-980.

20. Sihvola A. Metamaterials in electromagnetics // Metamaterials. 2007. Vol. 1, no. 1. P. 2-11.

21. Optical activity in chiral media composed of three-dimensional metallic metaatoms / C. Rockstuhl, С. Menzel, Т. Paul et al. // Physical Review В. 2009. Vol. 79, no. 3. p. 035321.

22. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц II Успехи физических наук. 1967. Т. 92, № 3. С. 517-526.

23. Podolskiy V. A., Sarychev А. К., Shalaev V. М. Plasmon modes and negative refraction in metal nanowire composites. // Optics express. 2003. Vol. 11, no. 7. P. 735-745.

24. Design-related losses of double-fishnet negative-index photonic metamaterials. / G. Dolling, M. Wegener, С. M. Soukoulis et al. // Optics express. 2007. Vol. 15, no. 18. P. 11536-11541.

25. Three-dimensional optical metamaterial with a negative refractive index / J. Valentine, S. Zhang, T. Zentgraf et al. // Nature. 2008. Vol. 455, no. 7211. P. 376-379.

26. Leonhardt U., Philbin T. G. Transformation Optics and the Geometry of Light. Elsevier B.V., 2009. Vol. 53. P. 69-152.

27. Post E. J. Formal Structure of Electromagnetics. Amsterdam: North Holland Pub. Co., 1962. p. 204.

28. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry / D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias et al. // Physical Review Letters. 1984. Vol. 53, no. 20. P. 1951-1953.

29. Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals: a new class of ordered structures // Physical review letters. 1984. Vol. 53, no. 26. P. 2477-2480.

30. Poddubny A. N., Ivchenko E. L. Photonic quasicrystallinc and aperiodic structures // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2010. Vol. 42. P. 1871-1895.

31. Vardeny Z. V., Nahata A., Agrawal A. Optics of photonic quasicrystals // Nature Photonics. 2013. Vol. 7, no. February. P. 177-187.

32. Whittaker D. M., Culshaw I. S. Scattering-matrix treatment of patterned multilayer photonic structures // Physical Review B. 1999. Vol. 60, no. 4. P. 2610-2618.

33. Quasiguided modes and optical properties of photonic crystal slabs / S. G. Tikhodeev, A. L. Yablonskii, E. A. Muljarov et al. // Physical Review B. 2002. Vol. 66, no. 4. p. 045102.

34. Optical properties of planar metallic photonic crystal structures: Experiment and theory / A. Christ, T. Zentgraf, J. Kuhl et al. // Physical Review B. 2004. Vol. 70, no. 12. p. 125113.

35. Gippius N. A., Tikhodeev S. G., Ishihara T. Optical properties of photonic crystal slabs with an asymmetrical unit cell // Physical Review B. 2005. Vol. 72, no. 4. p. 045138.

36. Experimental Demonstration of Near-Infrared Negative-Index Mctamatcrials / S. Zhang, W. Fan, N. C. Panoiu et al. // Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, no. 13. p. 137404.

37. Taniyama H., Notomi M. S-matrix calculation of radiation characteristics from dipolc oscillation in two-dimensional photonic crystal slabs // Journal of Applied Physics. 2008. Vol. 103, no. 8. p. 083115.

38. 3D optical Yagi-Uda nanoantenna array. / D. Dregely, R. Taubert, J. Dorfmiiller et al. //Nature communications. 2011. Vol. 2. p. 267.

39. Ko D. Y. K., Inkson J. C. Matrix method for tunneling in heterostructures: Resonant tunneling in multilayer systems // Physical Review B. 1988. Vol. 38, no. 14. P. 9945-9951.

40. Li L. Formulation and comparison of two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings // Journal of the Optical Society of America A. 1996. Vol. 13, no. 5. p. 1024.

41. Granet G. Reformulation of the lamellar grating problem through the concept of adaptive spatial resolution // Journal of the Optical Society of America A. 1999. Vol. 16, no. 10. p. 2510.

42. Granet G., Plumey J.-P. Parametric formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2002. Vol. 4, no. 5. P. S145-S149.

43. Matched coordinates and adaptive spatial resolution in the Fourier modal method. / T. Weiss, G. Granet, N. A. Gippius et al. // Optics express. 2009. Vol. 17, no. 10. P. 8051-8061.

44. Efficient calculation of the optical properties of stacked metamaterials with a Fourier modal method / T. Weiss, N. A. Gippius, S. G. Tikhodcev et al. // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2009. Vol. 11, no. 11. p. 114019.

45. Purcell E. M. Spontaneous Emission Probabilities at Radio Frequencies // Psysical Review. 1946. Vol. 69. p. 681.

46. Yablonovitch E., Gmitter T. J., Bhat R. Inhibited and Enhanced Spontaneous Emission from Optically Thin AlGaAs/GaAs Double Heterostructures // Physical Review Letters. 1988. Vol. 61, no. 22. P. 2546-2549.

47. Dowling J. P., Bowden С. M. Atomic emission rates in inhomogeneous media with applications to photonic band structures // Physical Review A. 1992. Vol. 46, no. 1. P. 612-622.

48. Suzuki Т., Yu P. K. L. Emission power of an electric dipole in the photonic band structure of the fee lattice // Journal of the Optical Society of America B. 1995. Vol. 12, no. 4. P. 570-582.

49. Излучение осциллирующего точечного диполя из фотонно-кристаллического слоя диэлектрических наноколонн / С. В. Лобанов, Т. Вайсс, Н. А. Гиппиус [и др.] // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93, № 10. С. 615-619.

50. Li J., Salandrino A., Engheta N. Shaping light beams in the nanometer scale: A Yagi-Uda nanoantenna in the optical domain // Physical Review B. 2007. Vol. 76, no. 24. p. 245403.

51. Hoftnann H. F., Kosako Т., Kadoya Y. Design parameters for a nano-optical Yagi-Uda antenna // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9, no. 7. p. 217.

52. Taminiau Т. H., Stcfani F. D., van Hulst N. F. Enhanced directional excitation and emission of single emitters by a nano-optical Yagi-Uda antenna. // Optics express. 2008. Vol. 16, no. 14. P. 16858-16866.

53. Kosako T., Kadoya Y., Hofmann H. F. Directional control of light by a nano-optical Yagi-Uda antenna // Nature Photnics. 2010. Vol. 4. P. 312-315.

54. Li J., Salandrino A., Engheta N. Optical spectrometer at the nanoscale using optical Yagi-Uda nanoantennas // Physical Review B. 2009. Vol. 79, no. 19. p. 195104.

55. Ahmadi A., Mosallaei H. Plasmonic nanoloop array antenna. // Optics letters. 2010. Vol. 35, no. 21. P. 3706-3708.

56. Influencing the angular emission of a single molecule. / H. Gersen, M. F. Garcia-Parajo, L. Novotny et al. // Physical review letters. 2000. Vol. 85, no. 25. P. 5312-5315.

57. Modification of single molecule fluorescence close to a nanostructure: radiation pattern, spontaneous emission and quenching / S. Kuhn, G. Mori, M. Agio et al. // Molecular Physics. 2008. Vol. 106, no. 7. P. 893-908.

58. Mohammadi A., Sandoghdar V., Agio M. Gold nanorods and nanosphcroids for enhancing spontaneous emission // New Journal of Physics. 2008. Vol. 10. p. 105015.

59. Sun G., Khurgin J. B., Soref R. A. Plasmonic light-emission enhancement with isolated metal nanoparticles and their coupled arrays // Journal of the Optical Society of America B. 2008. Vol. 25, no. 10. P. 1748-1755.

60. Sun G., Khurgin J. B., Soref R. A. Practical enhancement of photoluminescence by metal nanoparticles // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 94, no. 10. p. 101103.

61. Large single-molecule fluorescence enhancements produced by a bowtie nanoan-tenna / A. Kinkhabwala, Z. Yu, S. Fan et al. // Nature Photonics. 2009. Vol. 3, no. 11. P. 654-657.

62. Estcban R., Teperik T. V., Greffet J. J. Optical Patch Antennas for Single Photon Emission Using Surface Plasmon Resonances // Physical Review Letters. 2010. Vol. 104, no. 2. p. 026802.

63. Koenderink A. F. Plasmon nanoparticle array waveguides for single photon and single plasmon sources. //Nano letters. 2009. Vol. 9, no. 12. P. 4228-4233.

64. Emission properties of an oscillating point dipole from a gold Yagi-Uda nanoan-tenna array / S. V. Lobanov, T. Weiss, D. Dregely et al. // Physical Review B. 2012. Vol. 85. p. 155137.

65. Barnes W. L., Dereux A., Ebbesen T. W. Surface plasmon subwavelength optics // Nature. 2003. Vol. 424. P. 824-830.

66. Polman A. Plasmonics Applied // Science. 2008. Vol. 322. P. 868-869.

67. Barron L. D. Molecular light scattering and optical activity. 2 edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. p. 443.

68. Rau H. Asymmetric photochemistry in solution // Chemical Reviews. 1983. Vol. 83. P. 535-547.

69. Inoue Y. Asymmetric photochemical reactions in solution // Chemical reviews. 1992. Vol. 92. P. 741-770.

70. Optically programmable electron spin memory using semiconductor quantum dots / M. Kroutvar, Y. Ducommun, D. Heiss et al. // Nature. 2004. Vol. 432, no. 7013. P. 81-84.

71. Nondestructive optical measurements of a single electron spin in a quantum dot. / J. Berezovsky, M. H. Mikkclsen, O. Gywat et al. // Science (New York, N.Y.). 2006. Vol. 314, no. 5807. P. 1916-1920.

72. Krenn H., Zawadzki W., Bauer G. Optically Induced Magnetization in a Dilute Magnetic Semiconductor: Hg\-xMnxTe // Physical Review Letters. 1985. Vol. 55, no. 14. P. 1510-1513.

73. Awschalom D. D., Warnock J., Molnar S. V. Low-temperature magnetic spectroscopy of a dilute magnetic semiconductor // Physical review letters. 1987. Vol. 58, no. 8. P. 812-815.

74. Injection and detection of a spin-polarized current in a light-emitting diode / R. Fiederling, M. Keim, G. Reuscher et al. // Nature. 1999. Vol. 402. P. 787-790.

75. Elcctrical spin injection in a ferromagnetic semiconductor heterostructure / Y. Ohno, D. K. Young, B. Beschoten et al. // Nature. 1999. Vol. 402. P. 790-792.

76. Rashba E. I. Theory of electrical spin injection: Tunnel contacts as a solution of the conductivity mismatch problem // Physical Review B. 2000. Vol. 62, no. 24. P. R16267-R16270.

77. Highly Spin-Polarized Room-Temperature Tunnel Injector for Semiconductor Spintronics using MgO(lOO) / X. Jiang, R. Wang, R. M. Shelby et al. // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, no. 5. p. 56601.

78. Holub M., Bhattacharya P. Spin-polarized light-emitting diodes and lasers // J. Phys. D: Appl. Phys. 2007. Vol. 40. P. R179-R203.

79. Stegemeyer H., Stille W., Pollmann P. Circular Fluorescence Polarization of Achi-ral Molecules in Cholesteric Liquid Crystals // Israel J Chem. 1979. Vol. 18. P. 312-317.

80. Schmidtke J., Stille W. Fluorescence of a dye-doped cholesteric liquid crystal film in the region of the stop band: theory and experiment // The European Physical Journal В - Condensed Matter and Complex Systems. 2003. Vol. 31, no. 2. P. 179-194.

81. Stokes parameter studies of spontaneous emission from chiral nematic liquid crystals as a one-dimensional photonic stopband crystal: Experiment and theory / K. L. Woon, M. O'Neill, G. J. Richards et al. // Physical Review E. 2005. Vol. 71, no. 4. p. 41706.

82. Circularly Polarized Light Emission from Semiconductor Planar Chiral Nanos-tructures / K. Konishi, M. Nomura, N. Kumagai et al. // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106, no. 5. p. 057402.

83. Спектроскопия квадратичного отклика системы магнитных наностержней / В. JI. Крутянский, И. А. Колмычек, С. В. Лобанов [и др.] // Известия РАН. Серия физическая. 2013. Т. 77, № 1. С. 72-75.

84. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред / под ред. Л. П. Питаевского. 4-ое изд. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. с. 656.

85. Fano U. The Theory of Anomalous Diffraction Gratings and of Quasi-Stationary Waves on Metallic Surfaces (Sommerfeld's Waves) // Journal of the Optical Society of America. 1941. Vol. 31. P. 213-222.

86. Electromagnetic resonances in nonlinear optics / M. Neviere, E. Popov, R. Reinisch et al. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 2000. p. 400.

87. Гиппиус H. А., Тиходеев С. Г. Применение метода матрицы рассеяния для расчёта оптических свойств метаматериалов // Успехи физических наук. 2009. Т. 179, № 9. С. 1027-1030.

88. Resonant mode coupling of optical resonances in stacked nanostructures. / N. A. Gippius, T. Weiss, S. G. Tikhodeev et al. // Optics express. 2010. Vol. 18, no. 7. P. 7569-7574.

89. Derivation of plasmonic resonances in the Fourier modal method with adaptive spatial resolution and matched coordinates. / T. Weiss, N. A. Gippius, S. G. Tikhodeev et al. // Journal of the Optical Society of America. A, Optics, image science, and vision. 2011. Vol. 28, no. 2. P. 238-244.

90. Li L. Note on the S-matrix propagation algorithm // Journal of the Optical Society of America A. 2003. Vol. 20, no. 4. P. 655-660.

91. Balanis C. A. Antenna theory. Hoboken: John Wiley & Sons, 2005. p. 1136.

92. Teperik Т. V., Degiron A. Numerical analysis of an optical toroidal antenna coupled to a dipolar emitter // Physical Review B. 2011. Vol. 83, no. 24. p. 245408.