Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Аппанов, Александр Юрьевич

• Аппанов, Александр Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аппанов, Александр Юрьевич

Введение.

ГЛАВА 1 Обзор литературы.

1.1 Распространение оптического излучения в биологических тканях.

1.1.1 Поглощение света.

1.1.2 Рассеяние света.

1.1.3 Модели распространения оптического излучения в рассеивающих средах.

1.2 Методы определения степени оксигенации крови человека.

1.3 Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2 Итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Свойство взаимности функции Грина.

2.3 Вывод итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения.

2.4 Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3 Комбинированный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса.

3.1 Метод Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния (численная оценка многократных интегралов).

3.2 Диффузионная асимптотика функции Грина.

3.3 Результаты вычислений коэффициента отражения комбинированным методом решения итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения.

3.4 Оценка точности комбинированного метода решения и критическая кратность рассеяния.

3.5 Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4 Перенормированная диффузионная асимптотика в практических задачах биомедицинской диагностики.

4.1 Упрощенное моделирование пространственно распределенного эффективного источника.

4.2 Возможность использования перенормированной диффузионной асимптотики для определения степени оксигенации крови.

4.3 Немонотонный характер поведения коэффициента отражения на малых расстояниях.

4.4 Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой»

Методы зондирования сред путем диффузного отражения узкого лазерного пучка позволяют получать информацию о состоянии объекта в реальном времени. Широкое распространение оптические методы получили в медицине для диагностики и терапии [1-12]. Основное преимущество этих методов заключается в их неинвазивности, так как применение низкоинтенсивного лазерного излучения в ближнем ИК диапазоне не оказывает вредного воздействия на биологическую среду. Более того, помимо структурной информации есть возможность получать функциональную информацию о биологическом объекте, например, анализ гемодинамики и метаболических процессов (мозговое кровообращение, объем крови, оксигенация мышечной ткани), локализация неоднородностей (раковых опухолей, разрушения зубной эмали), диагностика заболеваний и т.д. [4-12].

Одной из актуальных задач оптической диагностики является разработка неинвазивных методов, позволяющих in vivo определять относительную концентрацию молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина в эритроцитах крови - степень оксигенации крови. В основе данных методов лежит рассмотрение распространения оптического излучения в исследуемой среде на основе теории переноса излучения. Уравнение переноса излучения является сложным для анализа распространения света в рассеивающих средах, поэтому при обработке результатов измерений в оптическом изображении биологических сред для каждой данной физической модели среды и поставленной проблемы рассматривается его адекватное приближенное решение. Так, например, в пульсовой оксиметрии, где речь идет о прохождении падающего пучка света через рассеивающую среду, для анализа результатов измерений используется закон Ламберта-Бера. Этот закон описывает экспоненциальное ослабление падающего пучка света вследствие поглощения и рассеяния излучения. Однако в случае определения церебральной или тканевой оксигенации рассматривается диффузное отражение падающего пучка от рассеивающей среды. В этом случае применение одного закона Ламберта-Бера, конечно, недостаточно, хотя некоторыми авторами этот закон в модифицированном виде используется для определения церебральной оксигенации с использованием ряда подгоночных параметров [9,10]. Более адекватным подходом к обработке результатов измерений церебральной и тканевой оксигенации является диффузионное приближение, основанное на решении диффузионного уравнения для распространения света в среде с учетом граничных условий [ПД2].

Тем не менее, диффузионное приближение не всегда обеспечивает достаточную точность и в ряде случаев нуждается в корректировке [13-20]. Такая потребность возникает в задаче об отражении узкого коллимированного пучка при достаточно малых расстояниях между точками падения пучка и наблюдения обратно рассеянной интенсивности вдоль поверхности среды.

Для решения прямых и обратных задач переноса излучения для сред с произвольной конфигурацией и заданными граничными условиями широко применяется метод Монте-Карло [21-24] в качестве численного решения уравнения переноса излучения. Разработанные алгоритмы позволяют учесть многослойную структуру среды, конечный размер падающего пучка, отражение света от границ раздела слоев. Но при универсальности и высокой точности метод Монте-Карло носит статистический характер и требует больших затрат машинного времени, что ограничивает его применимость в практических реализациях медицинских методик оптической диагностики.

В этой связи особую актуальность приобретают экономные гибридные модели, сочетающие точность метода Монте-Карло и быстродействие диффузионных теорий или аппроксимирующих аналитических выражений [4,25]. Существующие гибридные подходы улучшают точность диффузионного приближения, но основаны в значительной степени на наглядных эвристических представлениях [25,26]. Поэтому является актуальным дать последовательное обоснование гибридным подходам с выяснением границ их применимости на основе теории переноса излучения. В диссертационной работе такое обоснование дается гибридному подходу, предложенному в работе [25] на основе эвристических представлений. Следует отметить, что и гибридные методы могут оказаться довольно сложными для обработки результатов измерений, например, при определении степени оксигенации крови в мышечной ткани [11], поэтому представляется актуальным найти способы аналитически простой перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для решения задачи о диффузном отражении узкого лазерного пучка рассеивающей средой, что опять-таки выполняется в диссертационной работе.

Подводя итог вышеизложенному, представляется актуальным выполнение следующих работ:

1) выбор адекватной физической модели для обработки результатов измерений в задаче определения степени оксигенации крови в мышечной ткани методом диффузного отражения лазерного пучка;

2) выбор гибридной модели описания распространения оптического излучения в среде и ее обоснование с точки зрения стационарной теории переноса для обработки результатов измерений степени оксигенации крови;

3) построение упрощенной перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для практической реализации тканевого оксиметра.

Цель работы

Разработка метода усовершенствования диффузионного приближения в теории переноса излучения для аналитического описания диффузного отражения лазерного пучка от случайно-неоднородной среды в применении к медицинским методикам оптической диагностики биологических сред.

Задачи исследования

• Провести анализ условий применимости традиционного диффузионного приближения для моделирования распространения оптического излучения в полуограниченных случайно-неоднородных средах путем сравнения диффузионной асимптотики с результатом численного моделирования методом Монте-Карло в зависимости от оптических параметров среды.

• Разработать и реализовать аналитический гибридный метод в теории переноса излучения, повышающий точность диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности и пространственного распределения эффективного источника диффузного излучения, позволяющий получить равномерную асимптотику коэффициента диффузного отражения как на малых, так и на больших расстояниях от точки падения пучка.

• Исследовать эффективность и получить оценку точности аналитического гибридного метода в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния. Получить аппроксимацию аналитического гибридного метода путем упрощенной перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред на заданных расстояниях, в частности для практического использования в задаче определения степени оксигенация крови.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

• С использованием свойства взаимности функции Грина получена итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

• Предложен метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионным приближением при вычислении функции Грина.

• Исследована зависимость комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.

• Построена упрощенная перенормировка диффузионной асимптотики для некоторых моделей биологических тканей на заданном интервале расстояний применительно к задаче определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение.

• Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90° до 180°.

Практическая ценность работы:

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов для определения параметров среды, в частности, в оптике биотканей предложенный метод позволяет неинвазивным способом по рассеянному назад излучению определять степень оксигенации крови человека.

Насыщение крови кислородом является важным клиническим параметром, определяющим состояние пациента, что особенно важно в процессе проведения хирургических операций, поскольку позволяет указать на необходимость введения больному физиологических растворов или повышения содержания кислорода во вдыхаемом воздухе.

Существуют два способа определения содержания кислорода в крови неинвазивным путем - оптическим методом на просвет и оптическим методом на отражение. Недостатком первого метода является то, что устройства на основе данного метода позволяют провести диагностику оксигенации лишь артериальной крови, так как обработка сигналов производится по пульсовой волне, и только лишь в тех местах организма человека, которые можно просветить оптическим излучением красного и ближнего инфракрасного диапазонов спектра. В то же время для широкого ряда медицинских приложений необходимо знать и общую оксигенацию венозной и артериальной крови, например, для слежения за процессом потребления кислорода тканью. Также данный метод не позволяет диагностировать оксигенацию крови в отсутствие пульсовой волны, например, у людей находящихся в реанимации.

Известны также устройства для определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение, включающие облучение ткани оптическим излучением двух длин волн красного и инфракрасного диапазонов и регистрацию обратно рассеянного излучения на фиксированных расстояниях от точки ввода зондирующего излучения. Но наряду с определенными преимуществами этот метод имеет существенный недостаток, который заключается в том, что он не позволяет исключить нормировку регистрируемого сигнала на интенсивность падающего излучения, что приводит к дополнительным ошибкам при обработке результатов в определении степени оксигенации крови.

Предложенный в работе способ позволяет создать прибор для измерения общей оксигенации венозной и артериальной крови, усредненной по некоторой области ткани (рассматривая ткань как многокомпонентную рассеивающую среду), на основе метода отражения оптического излучения и измерения относительных значений интенсивности этого излучения в двух точках вне зависимости от падающего излучения.

Внедрение результатов работы: научные подходы и научные результаты диссертации могут быть использованы в ведущих российских научных организациях, занимающихся теоретическими и экспериментальными работами в области оптики и биомедицинской физики, как ИРЭ РАН, ИОФАН, Международный учебно-научный лазерный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, Международный институт оптики и биофотоники при СГУ им. Н.Г. Чернышевского.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Полученная с использованием свойства взаимности функции Грина итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

2. Метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионной асимптотикой функции Грина. Оценка точности комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.

3. Связь немонотонного характера поведения коэффициента отражения на малых расстояниях с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 180° до 90°.

4. Аппроксимация комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса путем перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред, в частности для задачи определения степени оксигенации крови.

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

- Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений» РОАИ-7, 2004, г. Санкт-Петербург;

- XLVII конференции МФТИ, 2004, г. Долгопрудный;

- II Евразийском конгрессе по Медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2005», 2005, МГУ, г. Москва;

- Международном конгрессе SPIE International Congress on Optics and Optoelectronics (SPIE C00-2005), 2005, г. Варшава, Республика Польша;

- IX Международной школе молодых ученых и студентов «Saratov Fall Meeting - SFM'05», 2005, г. Саратов;

- XII Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-12), 2005, г. Москва.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 печатных работах, приведенных в списке литературы.

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы (107 наименований) и приложения. Работа изложена на 114 страницах, содержит 40 рисунков и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Аппанов, Александр Юрьевич

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. В задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой возможен аналитический подход к проблеме повышения точности традиционного диффузионного приближения путем учета вклада конечных кратностей рассеяния как в интенсивность отраженного от среды излучения, так и в формирование эффективного источника.

2. На основе свойства взаимности функции Грина получена точная г итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

3. Разработан гибридный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионной асимптотикой функции Грина.

4. В качестве параметра оценки точности гибридного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций можно выбрать критическую кратность рассеяния, начиная с которой происходит равномерное асимптотическое сближение кривых коэффициента отражения аналитического гибридного метода и метода Монте-Карло, на заданном интервале расстояний между точками падения пучка и приема отраженного излучения вдоль поверхности. Установлена зависимость критической кратности рассеяния (итерационного параметра оценки точности) от альбедо и вытянутости индикатрисы элементарного акта рассеяния.

5. Рассмотрена и установлена возможность упрощенного моделирования пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии с помощью простой перенормировки традиционной диффузионной асимптотики, что позволяет использовать диффузионное приближение в тканевой оксиметрии, служащей для определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение при измерении относительных значений отраженного излучения на разных расстояниях от точки падения пучка вдоль поверхности среды.

6. Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90° до 180°.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Обухову Юрию Владимировичу за научное руководство и внимание к работе. Особое спасибо соавтору публикаций по теме диссертации Барабаненкову Юрию Николаевичу за совместную работу и постоянную поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ t

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аппанов, Александр Юрьевич, 2005 год

1. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. - М.:Мир, 1981, в 2-х томах.

2. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. M.-JL, 1951.

3. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск, 1969.

4. Тучин В.В. «Исследование биотканей методами светорассеяния». // Успехи физических наук, 1997, Т. 167, №5, с.517-539.

5. Приезжев А.В., Тучин В.В., Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине. М.: Наука, 1989.

6. Тучин В.В. Лазерная и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. С: Изд. Сарат. ун-та, 1998.

7. Delpy D.T., Соре М. "Quantification in Tissue Near-Infrared Spectroscopy" // Phil. Trans. R. Soc. Lond. В 352, 1997, p.649-659.

8. Аниконов Д.С., Ковтанюк A.E., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2004.

9. Режим доступа: http://peili.hut.fi/tfy99269/

10. Режим доступа: http://www.somanetics.corn/invosprinciples.htm

11. Годик Э.Э., Ахремичев Б.Б., Барабаненков Ю.Н., Борисов Н.А., Каргашин А.Ю., Трофимов Д.Е. Патентное изобретение РФ № 2040912 // Бюллетень изобретений, №22, 1995, с.1-12.

12. Barabanenkov Yu.N., Kargashin A.Yu. "Diffusion calculation of change of back-scattered light beam intensity from turbid medium owing to the existence of an inhomogeneity". // J. Mod. Opt., Vol.40, No. 11, 1993, pp.22432355.

13. Wang L.V., Jacques S.L. "Source of Error in Calculation of Optical Diffuse Reflectance from Turbid Media Using Diffusion Theory". // Comput. Meth. Progr. Biomed., Vol. 61, 2000, pp. 163-170.

14. Martelli F., Bassani M., Alianelli L., Zangheri L., Zaccanti G. "Accuracy of the Diffusion Equation to Describe Photon Migration through an Infinite Medium: Numerical and Experimental Investigation," Phys. Med. Biol., Vol.45, 2000, pp. 1359-1373.

15. Del Bianko S., Martelli F., Zaccanti G. "Penetration Depth of Light Re-emitted by a Diffusive Medium: Theoretical and Experimental Investigation". // Phys. Med. Biol., Vol.47, 2002, pp.4131-4144.

16. Graaff R., Rinzema K. "Practical Improvements on Photon Diffusion Theory: Application to Isotropic Scattering" Phys. Med. Biol., Vol.46, 2001, pp.3043-3050.

17. D. C. Sahni, E. B. Dahl, and N. G. Sjostrand, "Diffusion Coefficient for Photon Transport in Turbid Media," Phys. Med. Biol., vol. 48, 2003, pp. 39693976.

18. Khan Т., Jiang H. "A New Diffusion Approximation to the Radiative Transfer Equation for Scattering Media with Spatially Varying Refractive Indices". //J. Opt. A: Pure Appl. Opt., Vol.5, 2003, pp.137-141.

19. Farrell T.J. Patterson M.S. "Experimental Verification of the Effect of Refractive Index Mismatch on the Light Fluence in a Turbid Medium". // J. Biomed. Opt., Vol.6, No.4, 2001, pp.468-473.

20. Dickey D.J., Moore R.B., Rayner D.C., Tulip J., "Light Dosimetry Using the P3 Approximation". // Phys. Med. Biol., Vol.46, 2001, pp.2359-2370.

21. Ермаков C.M., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования, М.: Наука, 1982.

22. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло, М.: Наука, 1973.

23. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Дарбинян Р.А., Каргин Б.А., Елепов Б.С. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике. Н.: Наука, 1976.

24. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. "Оптимизация весовых методов Монте-Карло по вспомогательным переменным". // Сиб. матем. журн., т.45, №2, 2004, с.399-409.

25. Wang L., Jacques S. "Hybrid model of Monte Carlo simulation and diffusion theory for light reflectance by turbid media" // J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 10, No.8, 1993, p. 1746-1752.

26. Flock S.T., Wilson B.C., Patterson M.S. "Hybrid Monte Carlo -diffusion theory modeling of light distribution in tissue" // Proc. SPIE, Vol.908, 1998, pp.20-28.

27. Anderson R.R., Parrish J.A. The Science of Photomedicine. New York: Plenum Press, 1982.

28. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973.

29. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles, New York: Wiley-Interscience, 1983.

30. Jenkins F.A., White H.E. Fundamentals of optics. Fourth edn. New York: McGraw-Hill.

31. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами, М.: Изд. иностр. литер., 1961.

32. Ландсбрег Г.С. Оптика. 5-е изд., М.: Наука, 1976.

33. Соре М. "The development of a near infrared spectroscopy system and its application for non invasive monitoring of cerebral blood and tissue oxygenation in the newborn infant". // PhD, University College London, London, 1991.

34. Hollis V.S. "Non-Invasive Monitoring of Brain Tissue Temperature by Near-Infrared Spectroscopy", PhD, University College London, London, 2002.

35. Marieb E.N. Human anatomy and physiology. Third edn. Redwood City, California: Benjamin/Cummings, 1995.

36. Мари P., Греннер Д., Мейес П., Родуэлл В. Биохимия человека. Т.1, М.: Мир, 1993.

37. Васьковский В.Е. «Липиды» // Соросовский образовательный журнал, №3, 1997, с.32-37.

38. White D.R., Widdowson Е.М., Woodard H.Q., Dickerson J.W. "The composition of body tissues (II). Fetus to young adult". // Br. J. Radiol., Vol.64, No.758, 1991, pp.149-159.

39. Попов А.П., Приезжев A.B., Мюллюля P. "Влияние концентрации глюкозы в модельной светорассеивающей суспензии на характер распространения в ней сверхкоротких лазерных импульсов". // Квантовая электроника, т.35,№11, 2005, с.1075-1078.

40. Troy T.L., Thennadil S.N. "Optical properties of human skin in the near infrared wavelength range of 1000 to 2200 nm". // J Biomed Opt, Vol.6, No.2, 2001, pp. 167-176.

41. Conway J.M., Norris K.H., Bodwell C.E. "A new approach for the estimation of body composition: infrared interactance". // Am. J. Clin. Nutr., Vol.40, No.6, 1984, pp.1123-1130.

42. Matcher S.J., Cope M., Delpy D.T. "In vivo measurements of the wavelength dependence of tissue-scattering coefficients between 760 and 900 nm measured with time-resolved spectroscopy". // Appl. Opt., Vol.36, No.l, 1994, pp.386-396.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория поля. 7-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

44. Heney L.G., Greenstein J.L. "Diffuse radiation of the galaxy". // Astrophys. J., Vol.93, 1941, pp.70-83.

45. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд. иностр. лит., 1953.

46. Городничев Е.Е., Рогозкин Д.Б. «Малоугловое многократное рассеяние света в случайно-неоднородных средах». // ЖЭТФ, Т. 107, вып.1, 1995, с.209-235.

47. Muller G. et al. "Medical Optical Tomography: Functional Imaging and Monitoring". // Proc. SPIE Institute Ser., Vol.11, 1993, pp.5-13.

48. Tuchin V.V., Utz S.R., Yaroslavsky I.V. "Tissue optics, light distribution and spectroscopy". //Opt. Eng., Special Issue on Optics in Russia, Vol.33, No. 10, 1994, pp.3178-3188.

49. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

50. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960.

51. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

52. Farrell T.J., Patterson M.S., Wilson B.C. "A diffusion theory model for spatially resolved, steady-state diffuse reflectance for the noninvasive determination of tissue optical properties in vivo". II Med. Phys., Vol.19, 1992, pp.879-888, 1992

53. Ishimaru A. "Diffusion Light in Turbid Material". // Appl. Opt., Vol.28, No. 12, 1989, pp-2210-2215.

54. Kienle A., Patterson M.S. "Improved solutions of the steady-state and time-resolved diffusion equations for the reflectance from a semi-infinite turbid medium". //J. Opt. Soc. Am. A, Vol.14, No.l, 1997, pp. 246-253.

55. Hielscher A.H., Jacques S.L., Wang L., Tittel F.K. "The influence of boundary conditions on the accuracy of diffusion theory in time-resolvedreflectance spectroscopy of biological tissue". // Phys. Med. Biol., Vol.40, 1995, pp.1957-1975.

56. Contini D., Martelli F., Zaccanti D. "Photon migration through a turbid slab described by a model based on diffusion approximation. I. Theory". // Appl. Opt., Vol.36, No. 19, 1997, pp.4587-4599.

57. Contini D., Martelli F., Zaccanti D. "Photon migration through a turbid slab described by a model based on diffusion approximation. II. Comparison with Monte Carlo results". // Appl. Opt., Vol.36, No.19, 1997, pp.4600-4612.

58. Wyman D., Patterson M., Wilson B. "Similarity Relations for Anisotropic Scattering in Monte Carlo Simulations of Deeply Penetrating Neutral Particles". //J. Сотр. Phys., Vol.81, No.l, 1989, pp. 137-150.

59. Wyman D., Patterson M., Wilson B. "Similarity relations for the interaction parameters in radiation transport". // Appl. Opt., Vol.28, No.24,1989, pp.5243-5249.

60. Arridge S.R., Cope M., Delpy D.T. "The theoretical basis for the determination of optical pathlengths in tissue: temporal and frequency analysis". // Phys. Med. Biol., Vol.37, No.7, 1992, pp. 1531-1560.

61. Schweiger M., Arridge S.R., Hiraoka M., Delpy D.T. "The finte element method for the propagation of light in scattering media: boundary and source conditions". // Med. Phys., Vol.22, No.l 1, 1995, pp. 1779-1792.

62. Wilson B.C., Jacques S.L. "Optical reflectance and transmittance of tissues: principles and applications". // IEEE J. Quant. Elec., Vol.26, No. 12,1990, pp.2186-2199.

63. Cheong W.F., Prahl S.A., Welch A.J. "A review of the Optical Properties of Biological Tissues". // IEEE J. Quant. Elec., Vol.26, No. 12, 1990, pp.2166-2185.

64. Srinivasan R., Kumar D., Singh M. "Optical tissue-equivalent phantoms for medical imaging". // Trends Biomat. Artif. Organs, Vol.15, No.2, 2002, pp.42-47.

65. Groenhuis R.A.J., Ten Bosch J.J., Ferwerda H.A. "Scattering and Absorption of Turbid Materials Determined from Reflection Measurements. 1. Theory". // Appl. Opt, Vol.22, 1983, pp.2456-2462.

66. Groenhuis R.A.J, Ten Bosch J.J, Ferwerda H.A. "Scattering and Absorption of Turbid Materials Determined from Reflection Measurements. 1. Measuring Method and Calibration". // Appl. Opt, Vol.22, 1983, pp.2463-2467.

67. Ishimaru A. "Diffusion of light in turbid media". // Appl. Opt, Vol.28, 1989, pp.2210-2215.

68. Bevilacqua F, Depeursinge C. "Monte Carlo Study of Diffuse Reflectance at Source-Detector Separations Close to One Transport Mean Free Path". // J. Opt. Soc. Am. A, Vol.16, 1999, pp.2935-2945.

69. Prahl S.A, Van Gemert M.J.C, Welch A.J. "Determining the optical properties of turbid media by using adding-doubling method". // Appl. Opt, Vol.32, 1993, pp.559-568.

70. Welch A. "The thermal response of laser irradiated tissue". // IEEE J. Quant. Elec, Vol.26, No. 12, 1984, pp. 1741-1476.

71. Рогаткин Д.А. "Развитие двухпотоковой модели Кубелки-Мунка для решения одномерных задач распространения света в рассеивающих биологических тканях и средах". // Оптика и спектроскопия, Т.87, №1, 1999, с.109-113.

72. Vargas W.E, Niklassan G.A. "Applicability conditions of the Kubelka-Munka theory". // Appl. Opt, Vol.36, No.22, 1997, pp.5580-5585.

73. Тучин В.В. "Основы взаимодействия низкоинтенсивного лазерного излучения с биотканями: дозиметрический и диагностический аспекты". // Известия Академии наук, серия физическая, Т.59, №6, 1995, с.120-144.

74. Рогаткин Д.А. "Разработка спектрофотометрических методов и приборов для решения задач многофункциональной неинвазивной диагностики в медицине". // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Москва, 2002.

75. Pickering J., Bosman S., Posthumus P., Blokland P., Beek J., Van Gemert M. "Changes in the optical properties (at 632.8 nm) of slowly heated myocardium". // Appl. Opt., Vol.32, 1993, pp.367-371.

76. Wilson B.C., Adam G. "A Monte Carlo model for the absorption and flux distribution of light in tissue". // Med. Phys., Vol.10, 1983, pp.824-854.

77. Keijzer M., Jacques S.L., Prahl S.A., Welch A.J. "Light distribution in artery tissue: Monte Carlo simulations for finite-diameter laser beams". // Lasers Surg. Med., Vol.9, 1989, pp.148-154.

78. Словецкий С.Д. "Моделирование распространения оптического излучения в слоистой случайно-неоднородной среде методом Монте-Карло". // Радиотехника, №7, 1994, с.73.

79. Меглинский И. "Моделирование спектров отражения оптического излучения от случайно-неоднородных многослойных сильно рассеивающих и поглощающих свет сред методом Монте-Карло". // Квантовая электроника, т.31, №12, 2001, с. 1101-1107.

80. Ярославский И.В., Тучин В.В. "Распространение света в многослойных рассеивающих средах. Моделирование методом Монте-Карло" // Оптика и спектроскопия, т.72, 1992, с.934-939.

81. Wang L., Jacques S.L., Zheng L. "MCML Monte Carlo modeling of light transport in multi-layered tissues". // Computer Methods and Programs in Biomedicine, Vol.47, 1995, pp.131-177.

82. Mourant J., Fuselier Т., Boyer J., Jonson Т., Bigio I. "Prediction and measurements of scattering and absorption over broad wavelength ranges in tissue phantoms" // Appl. Opt., Vol.36, No.4, 1997, pp.949-956.

83. Marquet F., Bevilacqua F., Depeursinge C. "Light scattering in biological tissues: comparison between experiments of spatial and temporal intensity profiles". //Proc. SPIE, Vol. 2626, 1995, pp. 9-16.

84. Bevilacqua F., Marquet F. et al. "Role of tissue structure in photon migration through breast tissues". // Appl. Opt., Vol.36, No.l, 1997, pp.44-51.

85. Phylips-Invernizzi В., Dupont D., Caze C., "Bibliographical Review for Reflectance of Diffusing Media". // Opt. Eng., Vol. 40, No.6, 2001, pp. 10821092.

86. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в оптическом изображении биологических сред". // Труды международной конференции РОАИ-7, Санкт-Петербург, т.2, 2004, с.614-616.

87. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "Усовершенствованное в малых кратностях рассеяния диффузионное приближение к переносу излучения в рассеивающих средах". // Труды XLVII научной конференции МФТИ. Долгопрудный, 2004, стр. 37.

88. Appanov A.Yu, Barabanenkov Yu.N. "Hybrid method of finite-order scattering and diffusion approximation in optical imaging of biological media". // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.15, No.2, 2005, pp. 503-505.

89. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н., Обухов Ю.В. "Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в задаче об отражении узкого светового пучка от биологической среды". // Радиотехника, №10, 2005, с.91-96.

90. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "К проблеме перенормировки диффузионной асимптотики в задаче об отражении узкого пучка оптического излучения от биологической среды" // Квантовая электроника, №12, 2005, с.1157-1162.

91. Cui W., Kumar С., Chance В. "Experimental Study of Migration Depth for the Photons Measured at Sample Surface". //Proc. SPIE, Vol. 1431, 1991, pp. 180-191.

92. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. "Numerical Recipies in C. The art of Scientific Computing", Second Edition, Cambridge University Press, 1992.

93. Bruce N., Barabanenkov Yu. et al. "Diffuse reflected of light from a dense random medium". // Waves in random media, No.6, 1996, pp. 197-211.

94. Скипетров C.E., Чесноков С.С. «Анализ методом Монте-Карло применимости диффузионного приближения для анализа динамическогомногократного рассяния света в случайно-неоднородных средах». //

95. Квантовая электроника, т.25, №8, 1998, с.753-757.

96. Котова С.П., Майорова A.M., Якутии В.В. "Определение оптических параметров среды по профилю рассеянного назад излучения".

97. Оптика и спектроскопия, т.95, №3, с.452-457.

98. Kumar G., Schmitt J.M., "Optimal Probe Geometry for Near-Infrared Spectroscopy of Biological Tissue". // Appl. Opt., Vol. 36, No. 10, 1997, pp.2286-2293.

99. Kienle A., Forster F.K., Hibst R. "Influence of the Phase Function on Determination of the Optical Properties of Biological Tissue by Spatially Resolved Reflectance". // Opt. Lett., Vol.26, 2001, pp.1571-1573.

100. Hayakawa C.K., Spanier J., Bevilacqua F., Dunn A.K., You J.S., Tromberg В .J., Venugopalan V. "Perturbation Monte Carlo Methods to Solve Inverse Photon Migration Problems in Heterogeneous Tissues" // Opt. Lett., Vol.26, 2001, pp.1335-1337.

101. Bevilacqua F. "Local optical characterization of biological tissues inVvitro and vivo". // PhD dissertation, No. 1781, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne, Switzerland, 1998.

102. Van de Hulst H.C. Multiple Light Scattering, Tables, Formulas, and Applications. Vol.11, London: Academic, 1980.