Исследования некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в целом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Раисов, Мансур

• Раисов, Мансур
• 1983

Оглавление диссертации Раисов, Мансур

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I - ИССЛЕДОВАНИЯ В ЦЕЛОМ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ БЕЗ

ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ.

§ I. Устойчивость нулевого решения системы (I.I)

§ 2. Распределение особых точек системы (I.I) в некоторых случаях.

§ 3. Исследование в целом без замкнутых траекторий

§ 4. О глобальном фазовом портрете системы

I.I) ПрИ /

§ 5. Исследование в целом одной системы.

Глава П - ИССЛЕДОВАНИЯ В ЦЕЛОМ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В

§ I. Периодические траектории системы (2,1).

§ 2. Случаи отсутствия периодических траекторий системы (2.1)

§ 3. Исследование в целом одной интегрируемой системы.

Глава Ш - ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В /Я" r?z &

§ I. Периодические траектории обобщенно-однородной системы.

§ 2. Периодические траектории системы (3.2)

§ 3, Об особой точке второй группы некоторых обобщенно-полиномиальных систем дифференциальных уравнений на плоскости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в целом»

Вопросам существования (отсутствия) единственности и оценкам числа периодических решений, а также проблеме исследования в целом посвящено много работ /"1-74 ],

Несмотря на многочисленные исследования по качественной (топологической) теории дифференциальных уравнений, до сих пор не существует исчерпывающего ответа на вопрос о существовании (отсутствии), максимальном числе, форме и расположении предельных циклов или периодических траекторий систем дифференциальных уравнений. Одной из фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача нахождения по возможности более простого способа построения схемы поведения семейства фазовых траекторий заданной системы дифференциальных уравнений во всей области ее определения, т.е. изучение поведения фазовых траекторий данной системы в целом. Эта задача еще далека от своего разрешения даже для систем дифференциальных уравнений вида где Х(х) - вектор полином или обобщенно-однородная функция. В зависимости от вида функции

Х<*> получаются разные типы дифференциальных уравнений, которые изучаются разными методами.

В общих чертах классификация задач, рассматриваемых в диссер

- 4 тации выглядит следующим образом:

1. Х(Х) - вектор-полином. Исследуются: а) поведение траектории в окрестности изолированной особой точки; б) в целом при отсутствии периодических траекторий (п=2).

2. Х(х) г- вектор-функция близка к однородной Х(х)

Сх) + xf (X) у где X т(х) , f (х) однородные функции класса С* t к<Ьо степени однородности соответственно. Исследуются вопросы существования и отсутствия периодических решений и в целом (п=3).

3. Хсх)

- обобщенно-однородная вектор-функция порядка и класса (гпн . . Исследуются критерии существования периодических решений при произвольном п .

В задачах этих трех типов будем различать задачи локальные и глобальные. Локальная задача заключается в исследовании особой точки системы (I) в сколь угодно малой окрестности. Глобальная задача состоит в отыскании всех особых точек системы (I) в евклидовом пространстве /@П'{Х} и их совместном существовании.

Основным объектом настоящей диссертации будут локальные задачи (I а), 2, 3, но их изучение будет приводить нас иногда к глобальным задачам. При изучении задач 2, 3 более подробно рассмотрим трехмерный (п-3) случай. Затем полученные результаты обобщим для случая произвольной размерности /7 . В дальнейшем будут использованы следующие понятия, определения и обозначения:

1) Понятие устойчивости решения системы (I) понимается в смысле Ляпунова.

2) Решение алгебраической системы Х(Х)-0) х=х° называется особой точкой динамической системы (I).

3) Вещественную функцию р(Xf)?(s,.)Xn) , заданную в № назовем обобщенно-однородной класса ^пУ порядка (Г , если для V Сс ,СФО имеет место

Y^'av,., ^-с(3) где /-77,-- , (У - положительные рациональные числа, числа - нечетные, 3 тг ^ rr?j j с

Диссертация состоит из трех глав. В ней рассматриваются задачи типа 1,2,3. При решении задачи типа I для рассматриваемого класса систем (I) пользуемся методом функции Ляпунова, методом Фроммера, критериями Бендиксона или Дюлака, теорией индексов и другими общими методами качественного исследования.

При решении задач типа 2,3 применяем метод развитый научным руководителем - метод предельных множеств и методы исследования в целом систем в /7 -мерном пространстве (/7

В первой главе, состоящей из пяти параграфов, рассматриваем динамическую систему

- у >

4) гд еХ^Я--^^^ У > & =

2rrj+f г 'Э?2'77*'' формы степени <2ггт+/ с постоянными вещественными коэффициентами , > — — л?*/,о ^О • При rr?= f система (I) изучена в работах /~30,35,38,667, однако задача устойчивости нулевого решения ЭС=ог и вопросы существования (отсутствия) предельных циклов не рассматривались.

В первой главе решается задача устойчивости нулевого

- б решения с помощью второго метода Ляпунова (в некоторых случаях методом Фроммера). Проведено исследование траектории в целом в предположении, что система не имеет замкнутых фазовых траекторий на фазовой плоскости зсоу.

Возникает вопрос об устойчивости нулевого решения системы (4) только при <" О . Для получения достаточного признака устойчивости нулевого решения построим функцию Ляпунова в виде: у

JX (oc.sjds2- ^^ аг г о

Задача устойчивости нулевого решения при о) = 0 решается методом Фроммера. Например,если I/ ^куХ где Уггг?(х,у) форма степени и то справедлива

Теорема I. Для того, чтобы нулевое решение системы (4) при было устойчиво, необходимо и достаточно выполнения неравенства

При решении задачи 16) доказана Теорема 2. Если система (4) при условии имеет изолированные особые точки, то при

1/ 2п7*УС-Г,о) >0 имеем неседла, Ргг?+</ седло; а при <0 J?™*Л? седла, + f неседла. Особые точки неседла здесь могут быть только типа фокус или узел. В § 4 исследованы фазовые траектории системы eft в целом в предположении отсутствия замкнутых фазовых траекторий на плоскости , т.е. если имеет место неравенство

5) аг, - ёг,)2 то система (5) не имеет замкнутых фазовых траекторий. В § 5 рассмотрена система t * I

6) где Рт (X, у)t Qm ~ формы степени с постоянными коэффициентами j » а СС'ё^О . Изучено поведение, фазовых траекторий в целом в случаях четного и нечетного /77

В главе П, которая состоит из трех параграфов, изучаются периодические траектории и поведение фазовых траекторий в целом системы вида

Jf = Хт(Х) * *Ге(х), Х= (Х-гЛ; *з), (7) ту т где X (X) - однородная полиномиальная вектор-функция класса

PC ^

С j 7^/т<00 степени О , имеющая в начале ОС О, О,О) изолированный нуль, fi^(X) - скалярная форма степени £>-/ с вещественными коэффициентами.

В § I дается метод исследования периодических траекторий системы (7) и системы вида со (а, гг) ) gr J > (а)

J ч. (8)

Доказываются следующие утверждения:

Теорема 3. I) Для того, чтобы система (7) имела 7~ -периодические траектории, необходимо и достаточно, чтобы система (8а) имела г - периодическую траекторию обладающую свойством хТСисЧ WW*?*о, jf>e(ucz), №), О c/v

О о

2) Если Vf2(&)+ ФО , то траектории системы (7) соответствующие периодической траектории

Q •• {'J(Ttn=UCQ, VCT+ V - VCZ) J, системы (8 а) будут непериодическими (спиралями), где fx™ с ист), ircty Г) с/Г; о г v2(6) = J -р e(U(T), V(T), ■/) dr, О

U - — -2 a ' x*

Теорема 4. I) Каждой периодической траектории ^ , для которой V^ (О) = Ot V2(Q) = О , соответствует интегральный конус типа центр,

2) каждой периодической траектории Э , для которой Vf СО)(в) * о , соответствует устойчивый (неустойчивый) параболический конус.

В § 2 подробно изучаются свойства и периодические решения системы с/К v .* * \ Л

9)

В § 3 рассматриваются случаи /7? - <9у т- / .В этих случаях система (7) не имеет периодических траекторий. Система (7) исследована в целом.

Третья глава состоит из трех параграфов. В § I получены условия существования периодических траекторий обобщенно-однородной системы в смысле /~277. Система с*,.*do а г называется обобщенно-однородной, если ■ >х>7) - обобщенно-однородные функции класса ■ • •, ^i) степени s7?/

Пусть х = 4 где - ^

Ъ^'О.-.С? v * п

А - [о о ) i/c*j=

Тогда имеем следующую систему а> £*"««> 1 а) где

Щи? - (Х,<ш-

2/7/77t/ , , г/7/77*.-*ъ

Через С(УJ обозначим коническую поверхность, образованную лучами, проходящими через точку О и точки траектории tf":fL/=(/cr,T0iV°;Jсистемы (12 а).

Рассмотрим картину траекторий системы (10) на интегральном конусе С(fj , соответствующего периодической траектории &{Z*J системы (12.а) т

Определение I. Число V(Q) = J в (6(s)) с/S назовем характеристическим числом периодической траектории^системы (12 а). Имеет место

Теорема 5, I. Каждой периодической траектории О системы (12 а), для которой , соответствует интегральный конус типа центр системы (10).

2. Каждой периодической траектории Э с отличным от нуля характеристическим числом V(О) системы (12), соответствует устойчивый (неустойчивый) параболический конус системы (10). В § 2 исследуются периодические траектории системы где X; х3>.}хп) > Хп) - также обобщенно-однородные функции класса (г^ь^г, ч^п) степени и т? соответственно.

Применяя подстановку (II), имеем систему а) =

14). с/т 2r/rr?n / J

Если траектория (f : = и (Т^ T0j C/°)J отличная от особой точки системы (14 а) является 7" -периодической, которую обозначим через &(£) , то каждая траектория системы (13) И/ на конусе С(О) пересекает луч в С С (О) один и только один раз при О ^ Т^ Т , где / - период траектории . Введем обозначения 7

V, (в) = Jg(ecs)) dS, v2 (О) =JTP(0(S)) JQ(ecs))d9jcfs. о rr'~° о

- II

Определение 2. С (О) называется конусом типа центр, если на нем все траектории W системы (13) являются Т -периодическими.

Определение 3. С (О) называется параболическим конусом,если на нем все траектории являются О4 или О кривыми.

Доказано следующее:

Теорема 6. I) Каждой периодической траектории Э системы (14 а), для которой (О) - (9) = О , соответствует интегральный конус типа центр системы (13); 2) каждой периодической траектории О системы (14 а), для которой соответствует устойчивый (неустойчивый) параболический конус системы (13).

Результаты § 2 обобщают некоторые результаты главы П.

В § 3 рассматривается система

НУ rJ л- (m-i-tt)oi, лу.

Л * 'J2 гг> х*>[14 рт"<(х*[ сJ <- ff-i У

15) где Qij л - постоянные вещественные коэффициенты,

1 = j> fj PCj ft - нечетные числа, вт о ^ О. При o(1=dt2-i система (15) была исследована в главе I. При о(1 т* Ы2 система (15) является обобщенно-полиномиальной. Исследуется тип изолированной особой точки 0(OtO) и совместное существование всех изолированных особых точек на фазовой плоскости f Xf OXgJ в слу^аб их максимального числа. Фактически этот параграф связывает материалы глав 1-3. Имеет место

Теорема 7. При вт,0 изолированная особая точка О СOf о J системы (15) будет:

1) вырожденным седлом, если /т? - четное;

2) четырехсепаратрисным седлом, если /т? - нечетное;

3) фокусом или центром, если /77 - нечетное и З^о <О.

Теорема 8. Если /77 - четное, ^ о и система (15) имеет изолированных особых точек, то возможны следующие случаи совместного существования особых точек системы (15):

1) начало - вырожденное седло, (-/J - седел, {^- неседел;

2) начало - вырожденное седло, - седел, -/J - неседел;

3) начало - вырожденное седло, 7 - седел, ^ - неседел.

Теорема 9. Если /г? - нечетное, S'^^^c? и система (15) тлеет J?/??*-/ изолированных особых точек, то на фазовой плоскости ^О^^Л^рьииз них будут седлами,а /?7 - неседлами или наоборот Основные результаты диссертации доложены на:

1. Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971, 1976).

2. Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, 1973).

3. Региональном научном семинаре по дифференциальным уравнениям (г.Чебоксары, 1979).

4. Неоднократно обсуждались на семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений в Самаркандском государственном университете.

5. На семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений ВЗИИТа (г.Москва), руководимом проф. Шестаковым А.А.

По теме диссертации опубликованы работы /"50 J - ].

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Раисов, Мансур

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1) Исследованы геометрические свойства траекторий системы (I.I) на фазовой плоскости /А7г'f^oyj,

При этом а) выявлены необходимые и достаточные критерии устойчивости тривиального решения как с помощью построения функции Ляпунова, так и с помощью метода Фроммера; б) даны критерии отсутствия периодических траекторий; в) в случае отсутствия предельных циклов система (I.I) на фазовой плоскости f^coyj исследована в целом; г) вопросы а), б), в) более подробно иллюстрированы для случая ffl - f,

Исследование системы (I.I) в плане нашей работы проводится впервые.

2) Траектории системы (1.45) исследованы в целом на фазовой плоскости 'fccoyjY&x. при четном,так и при нечетном 2 .

3) Изучена система (2.1): а) установлены признаки существования и отсутствия периодических траекторий; б) в случае отсутствия периодических траекторий система исследована в целом в пространстве в) в плане пункта б) рассмотрена интегрируемая система (2.27).

4) Получены необходимые и достаточные критерии наличия периодических траекторий системы (3.1), (3.2).

Список литературы диссертационного исследования Раисов, Мансур, 1983 год

1. АМЕЛЫШН В.В., ЛУКАШЕВИЧ Н.А., САДОВСКИЙ А.П. Нелинейные ко-лебания в системах второго порядка. Минск; изд. БГУ, 1982.- 207 с.

2. АНДРЕЕВ А.Ф. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае. ПММ, 17, 3, 1953, с.333-338.

3. АЦЦРЕЕВ А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск.

4. Высшая школа", 1979.- 136 с.

5. АНДРОНОВ А.А. и др. Качественная теория динамических системвторого порядка. Изд. "Наука", М., 1966. 568 с.

6. АНДРОНОВ А.А. и др. Теория бифуркаций динамических систем наплоскости. Изд. "Наука", М., 1967. 487 с.

7. АНДРОНОВ А.А., ПОНТРЯГИН Л.С. Грубые системы. ДАН СССР, 14,127, 1937, с.647-677.

8. Argemi Sur-les po/nts Stnyolfrs multiplesde Systems dy тсгт/дues d&r?s> /Р „ 4 no. d/ /ИстI. Pure? ed crppl." fer-. /V, 70, 3S-G9.

9. Aryerni cf-j Point St'nyul/'rs nam ct I/'mer?fc/t resde gvelg c/es cl&ss&s d<9 /7?&s c/t/n/wtyves

10. Pi etc. " dr?n. di rnctt. pi/rar ed crppl/^ Ser. 3J 39, 32/-3&<t.

11. БАГГИС Г.Ф. Грубые системы двух дифференциальных уравнений.

12. УМНХ, вып.4 ( 66), 1955, с.101-126. Ю.ЕАРБАШИН Н.Н. Введение в теорию устойчивости. Изд."Наука",

13. М., 1967.- 223 с. П.БАУТИН Н.Н. 0 числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр. ДАН СССР, 24, № 7, 1939, с. 668-671.- 103

14. БАУТИН Н.Н. К теории синхронизации. Журн.теорет.физ., т.9, вып.6, 1939, с.510-513.

15. БАУТИН Н.Н., ЛЕОНТОВИЧ Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Изд. "Наука", Главная редакция физико-математической литературы. Москва, 1976.- 496 с.

16. БОГОЛЮБОВ Н.Н. и МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1963.- 503 с.

17. Buchel physiKet'fhcen Bedeniung с/егdurch c/''е D'-PPerentiaie/thi/ng dsfferes?! ел /Tctri/enrhc&rj Mrtte/l der Math. Ceselshc.1. У S.d f2OO-/206

18. ВОРОБЬЕВ А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел". ДАН БССР, т.1У, № 9, I960, с.22-24.

19. ГАЛИУЛЛИН А.С. Задача построения функции сравнения в теории устойчивости движения. ДУ, № 8, 1974, с.1527-1529.

20. ГАЛИУЛЛИН А.С. Обратные задачи динамики. М., "Наука", 1981.143 с.

21. ГАЛИУЛЛИН А.С. Построение уравнений движения. ДУ, № 2, 1977, с.195-237.20. &orr?cjy Traecior/es "fend/rig to с/ cr/h'calpoint in 3-Space /1лп. Math., Y. /V4, 19SS J p. 2/4

22. ГРУД0 Э.И. 0 сложных центрах и фокусах дифференциального уравнения первого порядка. ДУ, т.14, № 3, 1978, с.425-434.

23. JJctff Lt'm/t cycles а г? с/ rata ted и/ес forf/eLdS / /Jnnals of ^ S"7.- 104

24. ДРАГШЮВ А.В. Периодические решения дифференциального уравнения нелинейных колебаний. ПММ, т.16, № I, 1952,с.85-88.

25. ДОЛОВ М.В. О дифференциальных уравнениях, имеющих предельным циклом эллипс. ДУ, т.З, № б, 1967, с.898-904.

26. DuLac H.j ffecherche afes cycles l/m/les

27. С в Acad., Si ел се Part's, 20 V, *937, Y7O3-/70G.

28. ЕРУГИН Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, "Наука и техника", 1979, 743 с.

29. ЗУБОВ В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Судпромгид. 1959, 324 с. 28.ЗУБОВ В.И. Устойчивости движения. Москва, "Высшая школа", 1973.- 271 с.

30. ИЛЬЯЩЕНК0 Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр фокус. Функ. анализ и его приложения, т.6, № 3, 1972, с.30-37.

31. КУКЛЕС И.С. 0 методе шроммера исследования окружности особой точки. ДАН СССР, т.117, № 3, 1957, с.367-370.

32. КУЮ1ЕС И.С., ШАХОВА Л.В. О предельных циклах дифференциального уравнениясту .с <? <*

33. ИАН УзССР, сер.физмат.наук, № 5, 1965, с.24-29.

34. L &/7s(jr? Chen, /И/ лgsf? с/ И^&лу, The relativepasst/ол ал с/ nurr?£er о/? 1/л?/1 cycles of the tyuac/ratsc с/iffiefenlsa I cystew.

35. Acla math., S/л/ссу vol. PP. /е/?^.- 105

36. ЛАТИПОВ Х.Р., ШАРШОВ Ш.Р. О сожительстве особых точек уравнения SLSL =1. CtX Рп(*,у)на всей плоскости.

37. Труды СамГУ, № 9, 1962, с.63-65.

38. ЛУКАШЕВИЧ Н.А. Интегральные кривые уравнения Дарбу. ДУ, П, № 5, 1966, с.628-633.

39. ЛЯПУНОВ A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.- 473 с.

40. ЛЯПУНОВ A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л., Изд.ЛГУ, 1963.- 116 с.

41. МАРК0СЯН С. Качественное исследование системы двух дифференциальных уравнений методом "двух изоклин". Изв. высш. уч.зав. "Математика", № 1/8, 1959, с.114-128.

42. МУЛИНА Ф.И. О совместном существовании особых точек некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. ВКТДУ, Самарканд, 1974, с.73-89.

43. МУЛИНА Ф.И., НУРОВ Т.Н. Качественные исследования интегральных кривых системы в целом, если начало центр. ВКТДУ, Самарканд, 1975, с.79-87.

44. МУХАРЛЯМ0В Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения к заданному многообразию. ДУ, № 10, 1971, с.1218-1221.

45. МУХАРЛЯМ0В Р.Г. Построение уравнений систем программных движений в скользящем режиме. ДУ, № 7, 1976, с.1219-1222.

46. МУХТАР0В Я.М., ШАРШОВ Ш.Р. Исследование устойчивости тривиального решения методом Фроммера. Исследования по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Самарканд, 1982, с.33-39.- 106

47. НЕЙМАРК Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. Изд. "Наука", М., 1972.- 472 с.

48. НЕМЫЦКИЙ В.В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, т.20, № 4 (124), 1965, с.3-36.

49. НЕМЫЦКИЙ В.В., СТЕПАНОВ В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л., ГИТТЛ, 1947. 488 с.

50. ОТРОКОВ Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы. Волго-Вятское книжное изд., Г., 1972.- 214 с.

51. ПЕТРОВСКИЙ И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., "Наука", 1970.- 272 с.

52. ПУАНКАРЕ А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. ГШ, М.-Л., 1947, 392 с.

53. РАИС0В М. Об ацикличности особой точки типа узла одного уравнения. Трэды СамГУ, Новая серия, вып.202, 1972, с.130-134.

54. РАИС0В М. О периодических решениях одного класса систем уравнений в трехмерном пространстве. Вопросы КТДУ, Самарканд, 1974, с.123-132.

55. РАИС0В М., ДЙУРАЕВ Ш., ШАРИПОВ Ш.Р. Случаи отсутствия периодических решений. Вопросы КТДУ, Самарканд, 1975, с.46-54.

56. РАИС0В М., ШАРИПОВ Ш.Р. О периодических траекториях обобщенно -однородной дифференциальной системы. ДАН УзССР, № II, 1978, с.9-11.

57. РАИС0В М., ШАРИПОВ Ш.Р. Об устойчивости особой точки 0(oto) одной специальной дифференциальной системы. ИАН УзССР, серия, физ.-мат.наук, № 3, 1979, с.35-42.

58. РАИС0В М. О периодических решениях одной системы. ДАН УзССР,- 107 -№ 12, 1979, с.6-8,

59. РАИСОВ М. Об исследовании в целом одной системы. Депонировано ВИНИТИ, № 8(142). 1983.с.131.

60. СИБИРСКИЙ К.С. Алгебраические инварианты дифференциальныхуравнений и матриц. Изд. "ШГИИНЦА", Кишинев, 1976,- 268 с.

61. САМОЙЛЕНКО A.M., ПЕРЕСТЮК Н.А. Периодические решения слабонелинейных систем с импульсным воздействием. ДУ, т.Х1У, № 6, 1978, c.I034-I045.

62. ФРОММЕР M. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. УМН, № 9, 1941, с.212-253.

63. ЧЕРКАС JI.A. Об алгебраических решениях уравнениягде Р'Г>У>< " полиномы второй степени. ДАН БССР, т.УП, № II, 1963, с.732-735.

64. ШАРИПОВ Ш.Р. Классификация интегральных многообразий однородной трехмерной системы по структуре предельных множеств. ДУ, т.УП, № 3, 197I, с.461-470.- 108

65. ШАРИПОВ Ш.Р. Качественное исследование характеристик уравнения в целом. Труды СамГУ,

66. Самарканд, № 119, 1962, с.91-97.

67. ШАРИПОВ Ш.Р., АШУРОВА Б. Об исследовании обобщенно-однородной системы. Труды СамГУ, Самарканд, № 353, 1978, c.I05-II0.

68. ШАРИПОВ Ш.Р. Теория однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Самарканд, чч. 1,2, 1977, 1978, 112, - 165 с.

69. ШАРИП0В Ш.Р. Исследование характеристик в целом. Из.в вузов. Математика, № I, 1965, с.180-183.

70. ШАРИПОВ Ш.Р. У Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений. (Тезисы докладов). Кишинев, 1979, с.188.

71. ШАРИПОВ Ш.Р. Компактификация обобщенно-полиномиальных систем. Исследования по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Самарканд, 1982, с.75-80.

72. ШАРИПОВ Ш.Р., ХУСАНОВ Б., МАТАШЕВ С.Х. О некоторых вопросах траекторий /7 -мерной обобщенно-однородной дифференциальной системы. Изв. АН Каз.ССР, сер. физико-математическая, № 3, 1981, с.38-43.

73. ШАХОВА Л.В. О предельных циклах одного дифференциального уравнения. Труды СамГУ, № 181, 1970, с.95-107.

74. ШЕСТАК0В А.А. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений. Ученые записки ВЗИИТа, вып.7, М., 1961, с.1-167.

75. ЯБЛОНСКИЙ А.И. О предельных циклах одного дифференциального уравнения. ДУ, т.2, № 3, 1966, с.335-344.- 109

76. ЯТАЕВ М.Я. К исследованию критических случаев устойчивости установившихся движений. ИАН Каз.ССР, сер. физ.-мат. № 3, 1963, с.1-9.

77. ЯТАЕВ М.А. К вопросу существования функции Ляпунова. Вестн. АН Каз.ССР, 3, 1964, с.78-79.