Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Мухсинов Абдулкосим

• Мухсинов Абдулкосим
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мухсинов Абдулкосим

Введение.

Глава I.

Уравнения с сингулярными точками

§0. О некоторых свойствах сферических и бесселевых функций; обозначения.

§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной точкой.

§2. Краевые задачи для однородного уравнения с сингулярной точкой

1. Краевые задачи для уравнения — г 2 АС/ 4- д21'] — 0 вне шара.

2. Краевые задачи для уравнения —г2АС/+#2С/=0 в шаровом слое.

§3. Представление решений неоднородного модельного уравнения.

§4. Представление решений немодельного сингулярного уравнения.

§5. Частные решения уравнения с сверхсингулярной точкой.

§6. Краевые задачи для уравнения с сверхсингулярной точкой.

1. Краевые задачи для уравнения —г АС/+д и = 0 внутри шара

2. Краевые задачи для уравнения —г"

АС/+ # С/ = вне шара.

3. Краевые задачи для уравнения —г АС/С/=0 в шаровом слое.

Глава II.

Уравнения с сингулярными линиями

§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной линией.

§2. Краевые задачи для уравнения — р А и + # и — 0 в цилиндре.

§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной линией.

§4.Частные решения однородного уравнения с сверхсингулярной линией

Глава III.

Уравнения с сингулярными плоскостями

§ 1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной плоскостью

§2. Краевые задачи для уравнения — г2 А и + д2и = 0 в цилиндре.

§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной плоскостью.

§4.Частные решения однородного уравнения с сверхсингулярной плоскостью.

§5. Уравнения с сингулярностью на основании и оси цилиндра.

Глава IV.

Многомерные дифференциальные уравнения с сингулярной точкой, линией или сингулярной плоскостью

§ 1. Представление многообразия решений одного неоднородного т — мерного эллиптического уравнения с сингулярной точкой.

§2. Краевые задачи для однородного уравнения внутри шара.

1 .Краевые задачи для однородного уравнения вне шара.

2.Краевые задачи для однородного уравнения в шаровом слое.

§3. Частные решения однородного т +1 — мерного уравнения с сингулярной линией.

§4. Краевые задачи для однородного т +1 — мерного уравнения с сингулярной линией.

§5. Частные решения однородного т + 1 — мерного уравнения с сингулярной плоскостью.

§6. Краевые задачи для однородного т + 1 — мерного уравнения с сингулярной плоскостью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа»

Актуальность темы. Разработки по проблеме дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами были начаты еще в 1957 -1963 годах академиком Л.Г. Михайловым в Академии наук Тадж. ССР, о чем можно судить по его монографии «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами», изданной Академией наук Тадж. ССР, Душанбе, 1963, в переводе на английский язык переизданной гораздо более престижными издательствами Европы: 1) Wolters — Noord Hoff Publ. Groningen (Голландия), 2) Academic - Verlag Berlin ( Германия), 1970.

В 1959 году Л.Г. Михайловым было начато изучение уравнения

Следуя классическому методу объемных потенциалов, он приходит к интегральному уравнению (р = К<р + /, где К — К{ + К2 и операторы

КХ,К2 не являются вполне непрерывными. Они образуют новый класс особых (нефредгольмовых) интегральных уравнений, специально изучавшихся Л.Г. Михайловым [36] . Он показал, что если величины вир^ (лг)|, зир|с(х)| либо |с(о)( в случае непрерывности о о

Ък (х), с(х) вместе с числом /? подчинены некоторым условиям малости, то в сингулярных классах Ср,М р,., имеют место утверждения о существовании многообразия решений и разрешимости краевых задач. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах

Краевые задачи для уравнения (*) при с(х) < 0 были исследованы в работах А. И. Ачильдиева (см., напр. [1] - [3]). В его работах рассмотрены

С) свойства регулярных решений вырождающихся уравнений, связанные с принципом максимума и доказаны теоремы существования смешанной задачи.

В работах М. Турсунова [76] в классе функций, удовлетворяющих в нуле условиям типа излучения, рассматривались краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения (*) в случае, когда п = 2, Ьк (х) = 0, с(0) < 0 и особенность коэффициента выше первого порядка.

В работах З.Д. Усманова (см., напр. [77] - [79]) по теории обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой, был разработан метод интегральных уравнений с вполне непрерывным оператором, посредством которого при условиях малости величины — &(0)| или же области £>, устанавливалась взаимно однозначное соответствие между непрерывными решениями обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой и вспомогательной модельной системы. В таких ограничениях построена теория решений обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной точкой.

Таким же методом [63], [80] рассматривается специальный случай обобщенной системы Коши-Римана с точечной особенностью выше первого порядка в коэффициенте.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются следующие уравнения

-р2Аи + д2и = /(х,2), -22Аи + д2Ц = /(х,г),

1)

3)

2)

-Аи+ -^у + ^т и = 0 ,

Р 2 ) где в первом уравнении х = (хх,х2,.,хт) — точка т — мерного прост транства Ят, г2 - квадрат расстояния от точки х до начало к=1 координат, А = Аш — т — мерный оператор Лапласа, во втором и третьем уравнении (х,г) = (х1,х2,.,хт,г) - точка т +1— мерного т пространства р - квадрат расстояния от точки (х, г) до к= 1 д2 т д2 д2 оси Ог, А = Ат+1=Ат+-т = ^—- + — ~(т +1)- мерный ог к=х дхк д z оператор Лапласа. Соответствующие однородные уравнения обозначим через (10), (20), (30)

В случае трех переменных, особо важном для приложений мы для уравнения (1) сохраним обозначения точки х = (хх,х2,хъ)еВ.3, а для остальных в пространстве трех измерений координаты точки обозначим

Уравнение (1) называется уравнением с сингулярной точкой, уравнение (2) с сингулярной линией, уравнение (3) с сингулярной плоскостью, а уравнение (4) с сингулярным основанием и осью цилиндра.

2 ^

Если специально неоговорено, то всегда будем считать q и р~ постоянными числами. Мы также рассматриваем уравнения с особенностью высокого порядка, то есть когда множители при операторе тт 2+21/ 2+2у 2+2\> ., . /л

Лапласа имеют вид г , р , z , V >0.

Поскольку после работы М. В. Келдыша 1951 г. [24] и монографий М. М. Смирнова [72] , А. В. Бицадзе [7] получили известность различные вырождающиеся дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа, то необходимо сказать следующее: хотя уравнения (1), (2), (3), (4) тоже относятся к вырождающимся уравнениям эллиптического типа, но они существенно отличаются от указанных только что; в уравнениях (1), (2), (3), (4) происходит вырождение порядка уравнения (а не типа), и притом во внутренней точке области, а не на границе. Поэтому естественно, JI. Г. Михайлов назвал их уравнениями с сингулярными коэффициентами.

Интересные результаты в теории вырождающихся эллиптических систем и уравнений с сингулярными линиями получены в работах Н. Р. Раджабова (см., напр. [66]-[69]), А. И. Янушаускаса [81] и др.

В работах Н.Р. Раджабова даётся интегральное представление многообразия решений ряда уравнений в частных производных высшего порядка с сингулярными поверхностями, через решение дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными коэффициентами. Эти представления используются при решении основных краевых задач и задач типа Рикье. Данный метод применяется для решения осесимметрической задачи гидродинамики.

Проблемы суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекают внимание математиков и физиков и этим проблемам посвящено достаточно много работ (см., напр. [5], [8], [15] - [19], [21] - [23], [28] -[30], [32]). Ее бурное развитие связано с работами О.А.Ладыженской, В.А.Ильина, Э.Ч.Титмарша, Ю.М.Березанского, И.К.Кенджаева, Х.Л.Смолицкого, А.Н.Боголюбова, Б.М.Левитана, В.В.Кравцова, М. Исматова и других.

Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы O.A. Ладыженской, которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева. Среды вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В. А. Ильиным и его учеником И. К. Кенджаевым.

Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящены работы М. Исматова.

Хотя проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ, однако исследованию этих проблем для вырождающихся (сингулярных) дифференциальных операторов, посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего разрешения. Сюда может быть отнесена, рассматриваемая в диссертации задачи: построение многообразия решений, о разрешимости краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа.

Цель и задачи исследования. Основной целю работы является получение интегральных представлений многообразий решений, а так же интегральных представлений решений тех или иных краевых задач для некоторых многомерных сингулярных уравнений второго порядка с лапласианом в главной части.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов типа Бесселя, метод разделения переменных и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики. Научная новизна.

1. Для произвольной ш — мерной ограниченной области И с кусочно-гладкой границей Г, причем О содержит точку нуль строго внутри себя, получено интегральное представление многообразия решений уравнения с сингулярной точкой в виде аналогов потенциалов объемного, простого и двойного слоя.

2. Для однородного уравнения (10) и более общего чем (10) уравнения с постоянными коэффициентами методом разделения переменных построены частные решения и получены решения основных краевых задач в виде разложения по этим частным решениям в шаре, вне шара и в шаровом слое.

3. Для однородного уравнения (10) в шаре, вне шара получено интегральные представления решений первых трех краевых задач; ядра этих представлений отличаются от ядра Пуассона на слагаемые, которые непрерывно на замкнутом шаре и обращаются в нуль на поверхности шара.

4. Для произвольной трехмерной области О, ограниченной замкнутой поверхностью Б, посредством интегрального уравнения установлено взаимно - однозначное соответствие между множествами непрерывных в замкнутой области £) решений уравнения

5. Найдено условие, при котором между множествами решений модельного и немодельного уравнения (1) имеется взаимно однозначное соответствие.

6. Для однородного уравнения (10) с особенностью высокого порядка построены две серии частных решений через модифицированные функции Бесселя и получены решения основных краевых задач в виде

- х\2А11 (х) + д2и(х) = /(х) , х = (х1,х2,.

1) V

1 У разложения по этим частным решениям, в шаре, вне шара и в шаровом слое. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

7. Для однородного уравнения с сингулярной линией решены различные краевые задачи на собственные значения.

8. Для однородных уравнений (20) и (30) в цилиндрической области задача Неймана) и третья краевые задачи. Решения этих задач получены в виде разложения по собственным функциям соответствующих краевых задач. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.

9. Для неоднородного уравнения (2) с сингулярной линией и неоднородного уравнения (3) с сингулярной плоскостью в случае трёх переменных, применяя разложения Фурье — Бесселя найдено интегральное представление их решения.

10. Для уравнения с сверхсингулярной линией

-р2А1Г + д2и = Ъ

2о) и однородного уравнения с сингулярной плоскостью

-г2Аи + д2и = 0

Зо) решена первая (задача Дирихле), вторая

-р2+2уАЦ + д2и = 0 и уравнения с сверхсингулярной плоскостью

-г2+2уШ + д2и = 0 переходя к интегральным уравнениям, доказаны теоремы существования собственных функций.

11. Доказана разрешимость краевых задач для уравнения (4)

Практическая и научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты полученные в работе являются новыми. Они могут быть использованы для изучения проблем разложения по собственным функциям сингулярных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать при исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.).

Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разложения в ряды Фурье - Бесселя решения краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно докла -дывались и обсуждались на научном семинаре академика Л.Г. Михайлова (1ШИ математики АН Республики Таджикистан 1990 - 2008 г.г.), на научном семинаре под руководством члена - корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М ( ХГУ им академика Б. Гафурова, 1993 - 2003 г.г.), на Расширенном заседании семинара института Прикладной математики им И.Н.Векуа Тбилисского государствен -ного университета (1990 г.), на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений », Душанбе, 1990г., на юбилейной научной конференции «50- летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты, 1996г., на ряде международных конференций; проводившихся в г. Душанбе (1996 - 2008 г.г.), а также в конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения посвященный 10 летию СГЭН БатРУ» - Сулюкта, 2006г. и на ежегодных научно - практических конференциях ХГУ (1993 - 2008 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 20 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 230 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 90 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мухсинов Абдулкосим, 2010 год

1. Ачильдиев А.И. //ДАН СССР, т. 152, №1, 1963

2. Ачильдиев А.И. //Докл. АН Тадж. ССР, т. 4, №1, 1961

3. Ачильдиев А.И. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1962.

4. Бейтман Г., Эрдеи А. Высшие трансцендентные функции, М., «Наука», 1973, 294с.

5. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. «Наукова думка», Киев, 1965, 798с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., «Наука» , 1975, 480с.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., «Наука», 1966, 204с.

8. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике, М., Изд во МГУ, 1998, 320с.

9. Ватсон Т.Н. Теория бесселевых функций, ч. 1-4, изд. ИЛ, 1949, 798 с.Ю.ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции, М., «Наука», 1988, 510с.11 .Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп, М., «Наука» 1965, 588с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976, 528с.

11. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций, изд. ИЛ, 1952

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., «Наука» 1963, 1100с.

13. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.105, №2, 1955, с. 210-213

14. Ильин В.А.//ДАН СССР, т. 114, №4, 1957, с. 650-652

15. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.114, №4, 1957, с. 698-701

16. Ильин В.А.//ДАН СССР, г221, №4, 1976, с. 796-799

17. Ильин В.А.//ДАН СССР, т.273, №5, 1983, с. 1048 1053

18. Исматов М.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 16, №7, 1973 с. 3-6

19. Исматов М.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 18, №10, 1975 с. 3-6

20. Исматов М.//Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » Минск, 1975, т.2, №2, с. 2220-2230

21. Исматов М.//Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » Минск, 1976, т.12, №10, с. 1824- 1831

22. Келдыш М.В.// ДАН СССР, т.77, № 1, 1951, с. 11 14

23. Келдыш М.В.// ДАН СССР, т.77, № 2, 1951, с. 181 183

24. Курант Р. Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1964

25. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2, Гос-техиздат, 1951

26. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики, М., «Наука», 1973

27. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1950, т. 74, №3, с. 417 420

28. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1950, т. 75, №6, с. 763 768

29. Ладыженская O.A. // ДАН СССР, 1955, т. 102, №2, с. 207 210

30. Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям, ГИТТЛ, Москва Ленинград, 1950, 159с.

31. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа, М., изд. ИЛ, 1957

32. Михлин С.Г. Курс математической физики, М., «Наука», 1968, 575с.

33. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных, М., «Высшая школа», 1977, 430с

34. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Издательство А.Н. Таджикской ССР. 1963 г. 184 с.

35. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т. 139, №3, 1961, с. 552 555

36. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений: Обзорная статья в журнале «Mathtmatische Nachrichten» (Германия) за 1967 г.

37. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т. 190, №3, 1970, с. 521 534

38. Михайлов Л.Г.//ДАН СССР т.319, №1, 1991, с. 46-32.

39. Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2002. т. 384. №6. с. 731- 734

40. Михайлов Л.Г. //ДАН России, 2004. т. 399. №2. с. 31- 34.

41. Михайлов Л.Г., Мухсинов А.//ДАН России, 2005, т.402, № 5, с. 596600.

42. Мухсинов А., Муминов А. Задача Дирихле для одного сингулярного дифференциального уравнения эллиптического типа. //Доклады АН Тадж. ССР, 1989 , т. 32, №8, с. 558 563

43. Мухсинов А. Построение решений в виде двойных степенных рядов одного сингулярного уравнения эллиптического типа. // Доклады АН Тадж. ССР, 1988 , т. 31, №9, с. 499 503

44. Мухсинов А. Исследование многообразия решений одного син -гулярного дифференциального уравнения. // Материалы Республиканской научной конференции посвященной памяти Т. Собирова Душанбе, 1990 с. 108 109

45. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного трех мерного эллиптического уравнения с сингулярными коэффици -ентами. Тезисы докладов юбилейной научной конференции «50-летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты , 1996. с. 140-141

46. Мухсинов А. Исследование разрешимости задачи Неймана для одного эллиптического уравнения в пространстве. // Тезисы докладов научно практической конференции преподавателей ХГУ посвященная 65 - летию университета, 25-28 апреля 1997г., Худжанд. с. 32 -33

47. Мухсинов А. Интегральное представление решений одного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. //Труды международной научной конференции «Дифференциаль -ные уравнения и их приложения», Душанбе, 1998. с. 58 59

48. Мухсинов А. Интегральное представление многообразия решений одного эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами. //Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №2, 1998, Худжанд с. 151-159

49. Мухсинов А. Исследования некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №3, 2001, Худжанд с. 251-259

50. Мухсинов А. Исследование задачи Неймана для одного двухмерного и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений. // Материалы международный конференции посвященный 10 летаю СГЭН БатРУ, Сулюкта, 2006. с. 60 63

51. Мухсинов А. Исследование задачи Дирихле одного двухмер но-го и трехмерного сингулярных эллиптических уравнений. // Ученые записки ХГУ. Естественные науки, №10, 2006, Худжанд с. 201209

52. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью. // Вестник ТГНУ (серия естественных наук) 2009 №1(49) с. 34-37

53. Мухсинов А. Формула представления решений задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингуляр -ной линией. // Вестник ТГНУ (серия естественных наук) 2009 № 1(49) с. 54-58

54. Мухсинов А. Формула представления решений одного уравнения в частных производных с сингулярной линией. // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №2, с. 101 105

55. Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №3, с. 174-179.

56. Мухсинов А. Формула представления решений задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения в частных производных с сингулярной плоскостью // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №4, с. 261-267.

57. Мухсинов А. О некоторых формулах представления решений многомерных эллиптических уравнений с сингулярными точками // Доклады АН РТ., 2009 г., т. 52, №5, с. 344- 353

58. Нажмидинов X. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, №1 (51), 1974, с. 3-14

59. Петровский М.Г. Лекции об уравнениях с частными производными, М., «Наука», 1961,400с.

60. Рамм А.Г.//ДАН СССР, 1970, т. 191, № 1, с. 50-53

61. Раджабов Н.Р. //ДАН СССР, 1976, т. 228, №4, с. 801- 804

62. Раджабов Н.Р. // ДАН СССР, 1977, т. 233, №5, с. 796-799

63. Раджабов Н.Р. // Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1973, с. 10 17; 1974, №4 (53), с. 3 - 14

64. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями, части 1 — 4 , Душанбе 1981-1985

65. Смирнов В,И. Курс высшей математики , т. 3 ч. 2, М., Физмат -гиз, 1969, 672с.

66. Смирнов В,И. Курс высшей математики , т. 2, М., «Наука», 1965

67. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболичес -кие уравнения, М., «Наука» 1966, 292с.

68. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М:, Наука, 1966, 652 с.

69. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1977, 735 с.

70. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка т. 1. ИЛ: Москва 1960, 278с. т.2. - ИЛ: Москва 1961, 555с.

71. Турсунов МЛ Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, № 2, 1972 с. 11 14

72. Усманов З.Д.// Сиб. матем. журн., т. 14, №5(1973) с. 1078-1078

73. Усманов З.Д.// Докл. АН Тадж. ССР, т. 14, №11, 1971 с. 16-20

74. Усманов З.Д.//Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, №4, 1972 с. 10-13

75. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши -Римана с сингулярной точкой. Душанбе: ТаджикНИИНТИ, 1963, 244с.

76. Янушаускас А.И. Введение в аналитическую теорию вырождаю — щихся эллиптических уравнений, Вильнюс: 1974, 152с.

77. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции, М., «Наука», 1968, 344с.

78. Dini, Serie di Fourier (Pisa, 1880)

79. Fourier, La Theorie Analytique de la Chaleur (Paris, 1822)

80. Hankel. Math.Ann., I (1869) стр. 471

81. Hobson, Proc. London Math. Soc., (2), VII (1909)

82. Lommel, Studien itber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868 ) 88.Sheppard. Quarterly Journal, XXIII (1899)

83. M acdonald, Proc. London Math. Soc., XXX (1899)

84. Young, Proc. London Math. Soc., (2), XVIII (1920)