Исследование возможности учета нестационарного и квазипериодического характера вертикального распределения параметров геологической среды в задаче сейсмической инверсии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Логинов Андрей Константинович

• Логинов Андрей Константинович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Логинов Андрей Константинович

Содержание:

Глава 1. Обзор методов прогноза свойств геологической среды с использованием данных сейсмических исследований

1.1 Общая постановка задачи прогноза свойств геологической среды

1.2 Геостатистический подход

1.3 Подход на основе анализа сейсмических атрибутов

1.4 Сейсмическая инверсия

1.5 Максимально импульсная сейсмическая инверсия.

Глава 2. О связи критерия максимальной импульсности корректного решения с предположением о статистических свойствах среды.

Глава 3. Алгоритм максимально импульсной сейсмической инверсия для сред с независимым распределением параметров.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Параметризация сейсмической трассы

3.3 Критерий выбора решения

3.4Метод сохранение корреляции между трассами

3.5 Учет априорной информации

3.6 Реализация.

3.7 Примеры получаемых результатов.

3.8 Полосовое преобразование. Применение на этапе обработке данных.

Глава 4. Квазипериодические, хаотические и персистентные законы изменения акустических свойств с глубиной

4.1 Литературные данные о самоподобном строении литосферы

4.2 Оценки характера распределения неоднородностей по каротажным данным

4.3 Оценка эффектов вызванных антиперсистентным и персистентным строением по материалам сейсморазведки.

4.4Атомарные разложения, как метода оценки статистических свойств.

Глава 5. Математическое моделирование распространение нормальной плоской волны в горизонтально слоистых средах с персистентным и квазипереодическим строением.

5.1 Модель акустических импедансов как реализация дробного броуновского движения и ее свойства.

5.2 Амплитудно-частотные характеристики отражений от пачки слоев с персистентным и антиперсистентным распределением свойств.

5.3 Оценка влияния короткопериодных многократных волн на параметры сейсмического сигнала.

Глава 6. Сейсмической инверсия для сред с персистентным и анитперсистентным законом изменения параметров.

6.1 Оптимальное, с точки зрения априорной вероятности решение для сред с квазипериодическим и персистентным строением.

6.2 Алгоритм решения задачи сейсмической инверсии для персистентных и квазипериодических сред.

6.3 Пример решения задачи сейсмической инверсии для персистентных и квазипериодических сред.

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование возможности учета нестационарного и квазипериодического характера вертикального распределения параметров геологической среды в задаче сейсмической инверсии»

Введение

Как часть естественно-научного знания прикладная геофизика оперирует опытом и результатами его интерпретации. Можно сказать , что в основании научного виденья мира лежит не опыт сам по себе, а его интерпретация, которая, как было отмечено историком науки Томасом Куном , зависит от господствующей в данный момент парадигмы. Парадигма в определении Т. Куна, это «набор признанных всеми научные достижения, которые в течение определенного времени дают модель постановки проблем и их решений научному сообществу»(Томас Кун,1968).

Алгоритмы сейсмической инверсии в самом общем смысле можно рассматривать, как алгоритмы автоматической интерпретацию результатов сейсмического эксперимента. И как всякая интерпретация, алгоритмы подобного рода опираются на научные-парадигмы - предположения или утверждения общего характера признаваемые научным сообществом.

Одним из таких утверждений в применение к вопросам сейсмической разведки является утверждение о том, что физические параметры элементов геологической среды статистически независимы друг от друга, по крайней мере в тех масштабах, в которых это может повлиять на результат сейсмического эксперимента. В этом случае последовательность коэффициентов отражения является реализацией белого шума, а последовательность акустических импедансов реализацией процесса одномерного броуновского движения. В тоже время ряд исследований последних лет демонстрируют, что это утверждение не всегда верно.

Первое свидетельство наличия неявных зависимости в параметрах природных объектах было получено физиком Гарольдом Херстом, в начале 20 века. Он обнаружил, что величина подъема воды во время весеннего разлива Нила, являются закономерным следствием от величины этого значения в прошлые годы, иначе говоря, графики максимальных разливов от времени демонстрировали

квазипериодический характер.

Как один из последних примеров обнаружения такого рода зависимостей в области прикладной геофизики, можно привести работу (), в которой исследуется в естественных и лабораторных условиях квазипериодический характер изменения диэлектрических свойств мерзлых пород.

На протяжении последних 20 лет проведено ряд исследований на основе сейсмических и каротажных данных, свидетельствующих об отклонении акустических параметров разреза от модели с статистически независимыми свойствами.

Таким образом, предположений о статистической независимости -хаотичности аккустических параметров среды оказывается по меньшей мере спорным. В ввиду этого, целью данной работы стало исследование влияния квази-переодического(антиперсистентного), а так же персистентного характера распределения акустических свойств на результаты сейсмической инверсии.

Как показано в первой главе работы, методы сейсмической инверсии разрабатываются на протяжении последних 50 лет и, в некоторых случаях являются единственным доступным методом прогноза геологической модели с требуемой для практических целей детальностью. Особенно актуальны методы сейсмической инверсии при разведки на акваториях, где бурение большого количества разведывательных скважин невозможно или экономически нецелесообразно.

Исследование влияния квази-переодического характера распределение аккустических свойств на результаты геоостатической инверсии проводилось в работе (,2010), но подход гипостатической инверсии часто неприменим, например, при малом количестве скважинных данных и\или при профильной-двумерной сейсмической съемке (). В этих случаях часто используют алгоритмы СSSI — Максимально импульсной инверсии с ограничениями, именно эти алгоритмы являются объектом исследования этой работы.

Первой задачей для достижения поставленной цели было разработка алгоритма максимально импульсной инверсии.

Был проведен анализ ряда подходов к определению функционала максимальной импульсности, сформулированы и доказаны утверждения связывающие предположения о законе распределения значений с видом функционала, минимум которого, соответствует наиболее вероятному решению.

В работе показано, что возможно построить решение, достаточным условием корректности которого, будет предположение о статистической независимости коэффициентов отражения при любом законе распределения значений. Точная практическая реализация подобного решения принадлежит к классу ^-полных задач и неисчислима за полиномиальное время. Но в рамках работы удалось создать итеративный алгоритм, позволяющий получить решение близкое к теоретическому-идеальному. Разработанный подход был дополнен рядом функционалов , позволяющих учитывать при регуляризации решения ограничения заданные априорной геологической моделью и предположением о гладком характере изменений акустических параметров по латерали. В заключении третьей главы приведены результаты опробования полученного алгоритма на синтетических данных, а так же реализации алгоритма в контексте процесса обработки — как метода увеличения видимого разрешения сейсмических данных, так же эти материалы были представлены на международной конференции «ГеоМодель 2010» и опубликованы в статье (Логинов, Фиников, 2011 ) .

Как говорилось выше, обращаясь к исследованием прошлых лет, можно найти ряд публикаций, свидетельствующих в пользу того, что элементы геологической среды — тонко-слоистые пачки осадочных отложений, демонстрируют статистическую зависимость акустических параметров. На основе анализа ряда публикаций, приведенного в главе 4, для описания сред с статистически зависимыми значениями акустических импедансов была выбрана

модель обобщенного броуновского движения. В рамках этой модели, среда может быть описана параметром отвечающим за наличие и характер статистической взаимосвязи коэффициентов отражения, называемым показатель Херста.

В главе 5 приведены результаты математического моделирования подобных сред и соответствующих им сейсмических трасс, в частности показано, что несмотря на то, что уменьшение показателя Херста среды ведет к увлечению энергии коротко-периудных кратных волн, при обычных значениях коэффициентов отражения их энергия будет более чем на порядок меньше, чем энергия первичных отражений и не внесет заметных искажений при решении задачи сейсмической инверсии.

В главе 6 приведено теоретическое обоснование и способ практической реализации решения задачи сейсмической инверсии для квазипериодических и персистентных сред, показано, что не один из алгоритмов опирающихся на предположение максимальной импульсности корректного решения не может быть для них применен .

В результате решения поставленных задач автор может вынести на защиту следующие положения:

1. Оптимальным с точки зрения априорной вероятности решением для сред со статистически независимыми коэффициентами отражения является то, что помимо соответствия исходным данным и априорной информации обладает наименьшей нормой в пространстве L0.

2. Разработан и реализован метод сейсмической инверсии с соблюдением ограничений на латеральную корреляцию и учетом априорной модели позволяющий получать решения близкие к оптимальным с точки зрения априорной вероятности.

3. Априорно наиболее вероятное решение для среды описываемой обобщенным броуновским движением является решение минимальное в мере Махаланубиса с ковариационной матрице зависящей от показателя

Херста рассматриваемой модели.

4. Предложено и реализовано решение задачи сейсмической инверсии для моделей описываемых, как реализация процесса обобщенного броуновского движения, использующее оценки показателя Херста для пачек отражений как априорную информацию.

В рамках работы разработан и реализован новый оптимизационный алгоритм решения задачи сейсмической инверсии с ограничениями области решений за счет учета латеральной корреляции сейсмических данных и априорной геолого-геофизической модели. Разработан метод для решения задачи в предположении статистической независимости коэффициентов отражения и модели импедансов, как реализации процесса броуновского движения. Так же в рамках работы впервые рассмотрено решение задачи сейсмической инверсии в более широком классе моделей, а именно моделей параметры которых описываются, как реализация процесса обобщенного броуновского движения.

Исследования были выполнены в период с 2009 по 2012 год на геологическом факультете МГУ на кафедре сейсмометрии и геоакустики, а так же в рамках работ по гранту «Фонда Содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» .

Результаты исследований разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для повышения достоверности и точности прогнозирования свойств геологического разреза по результата сейсмических исследований.

Глава 1

Обзор методов прогноза свойств геологической среды с использованием

данных сейсмических исследований

1.1Общая постановка задачи прогноза свойств геологической среды

Целью физического эксперимента является подтверждение или опровержение той или иной гипотезы. В рамках прикладной геофизики и сейсмики в частности, в качестве гипотезы подлежащий подтверждению выступает модель геологической строении исследуемого региона выраженное в тех или иных его физических характеристиках. Отличительной особенностью гипотез такого рода является очень большой количество параметров, значения которых подлежат подтверждению и, как следствие, большое количество конкурирующих предположений.

Прямая проверка гипотезы о заданном геологическом строения не представляет труда в настоящие время, благодаря широко развитым методам математического моделирования сейсмических полей. В тоже время актуальна проблема автоматического построения таких гипотез, то есть задача прогноза геологических свойств.

В самом общем случае задача прогноза геологических свойств может быть сформулирована как задача обращения операторного уравнения (Ф 1.1):

(1.1) и=L ^)

Где R — набор параметров модели, с помощью которой описывается изучаемая среда; этот набор может варьироваться в зависимости от постановки задачи, и — результат эксперимента соответствующий модели ^ а L оператор, описывающий математическую модель физических процессов , как будет показано ниже,он

также может быть различным в зависимости от применяемого подхода. Таким образом искомая гипотеза R - решение задачи прогноза свойств, должна удовлетворять соотношению (1.2):

(1.2) R—L 1 (U)

Строгое равенство здесь недостижимо, поскольку модель лишь приближенно описывает геологическую среду, а совокупность физических процессов, сложнее тех, что описываются оператором L.

В настоящие время существует несколько подходов к решению задачи определения свойств геологической среды с использованием сейсмических данных, условно их можно разделить на три группы:

1. Геостатическая инверсия.

2. Многоатрибутный анализ .

3. Сейсмическая инверсия.

1.2Геостатистический подход

Метод геостатистической инверсии, предложен впервые в работе ( Haas , Dubrule, 1994) позволяет вплотную приблизиться к решению задачи интеграции разнородной и разномасштабной информации (скважинной, сейсмической, геологической) в рамках единой модели. В этой цепочке инверсионные преобразования сейсмических данных в сочетании с известными зависимостями между петрофизическими и упругими свойствами горных пород позволяют объединить скважинные и сейсмические материалы для описания объемного распределения коллекторских свойств продуктивных пластов. Для этого модель конструируется на стратиграфической сетке методами геостатистического моделирования, а сейсмические данные выступают внешним и некоторым образом «инородным» источником информации(Ампилов,2009) . В процессе

статистического моделирования для каждой реализации модели необходимо вычислять волновое поле, соответствующее полученному распределению упругих свойств пласта. После этого, сравнивая его с наблюденным полем, нужно отсеивать реализации, увеличивающие невязку.

Таким образом, методы геостатистической инверсии по сути, являются комбинацией инструментов геологического моделирования и решения прямой задачи сейсмики: на основе скважинных данных и вариограмм, задающих пространственное распределение свойств среды ( Ампилов, 2009) . Геостатическая инверсия является отдельным и междисциплинарным подходом к решению задачи построение модели геологической среды, и сейсмические данные в данном процессе играют лишь роль одного из источников информации. Успех геостатической инверсии зависит от количества и качества различной информации и эта процедура часто неэффективная в случае недостатка скаженных данных, и практически не реализуем при отсутствии трехмерных сейсмических наблюдений (К.Е. Филиппова и др,2011)

1.3 Подход на основе анализа сейсмических атрибутов

Описание многоатрибутного анализа можно найти , например, в работе (Dan Hampson и др 2001 ). В статье описывается метод для прогнозирования параметров каротажных записей по сейсмическим данным. Анализируемые данные состоят из ряда каротажных записей привязанных к кубу сейсмических данных. Конкретный вычисляемый параметр может быть теоретически любого типа, в том числе и акустический импеданс, однако наибольшего успеха авторам удается добиться в прогнозировании пористости. По сейсмическим данным рассчитывается большой набор различных атрибутов. Далее при помощи регрессионного анализа полученных атрибутов и известных значений в точках скважины, выбирается несколько атрибутов связанных линейным или нелинейным преобразованием со значением определяемого параметра

геологической среды. Далее по значением сейсмических атрибутов и полученным в ходе регрессионного анализа корреляционным связям значение целевого параметра предсказывается для всего объема куба сейсмических данных. Как отмечают авторы статьи подобная процедура не является сейсмической инверсией в классическом понимании этого термина, так как обратный оператор L— заменяется некоторой линейной или нелинейной переходной функцией сейсмических атрибутов, «обученной» на скважинных данных и описывающей обнаруженные закономерности и ни как явно не связан с априорным представлениями о физике распространения сейсмических волн и строении геологической среды.

1.4Сейсмическая инверсия

В подходе называемом сейсмическая инверсия(также, иногда, детерминистическая инверсия — в противопоставлении геостатистической) сейсмические данные играют ключевую роль, а целевым прогнозируемым параметром геологической среды являются упругие импедансы, именно к этому классу относятся алгоритмы рассматриваемые в данной работы. При таком подходе оператором L считается один из вариантов операторов описывающих распространение упругих волн в неоднородной среде.

Общая постановка задачи сейсмической инверсии является некорректной, во-первых так как ее решение не единственно: одно и то же волновое поле может быть порождено, вообще говоря, бесконечным числом различных моделей. Во-вторых решение в некоторых постановках, может быть неустойчиво,что означает, что малые колебания значений наблюденного поля могут приводить к значительным изменениям параметров полученной модели. Иными словами, сейсмические данные сами по себе содержат недостаточно информации для однозначного восстановления свойств среды с необходимой для промышленных задач детальностью.

Решение одномерной задачи сейсмической инверсии на основе обращения

волнового уравнения для горизонтально слоистой среды и совмещенного источника и приемника было получено впервые в работе (Kunetz , 1963 ). Но полученное решение, как отмечено в ряде работ, (Bamberger et al , 1982; Arntsen,Ursin , 1985), являться неустойчивым и чувствительным к наличию шумов в исходных данных. В работе (Bamberger et al , 1982) предложено заменить исходную точную постановку,задачей оптимизации решаемой методом наименьших квадратов, что, по мнению авторов, позволяет получить более стабильное решение. В работе (Grjvelet , 1985) схожий подход применен для инверсии данных ВСП, в этой работе кроме оптимизационной постановке задачи для повышения устойчивости решения ограничивается класс возможных решений моделями с кусочно постоянными величинами импеданса, то есть решение ищется в классе так называемых блочных или пластовых моделей. В работе Arntsen,Ursin , (1985) показано, что решение задачи сейсмической инверсии в одномерной постановке предложенной (Kunetz , 1963 ) не может корректно предсказывать коэффициенты отражения и импедансы на основе реальных данных, так как не берет во внимание ряд эффектов влияющих на амплитуду сейсмического сигнала распространяющийся в трехмерной среде, в этой работе предложена предварительная обработка данных и учет сферического расхождения сигнала с использованием информации о распределении сейсмических скоростей.

В работе (А. С. Алексеевым ,1962) впервые предложено аналитическое решение обратной одномерной задачи теории упругости для горизонтально слоистой среды в частотной области, а позже в работе (А. С. Благовещенский,1967) предложено так же решение во временной области. В работе (Р.Керрион,1985) показано, что трехмерная обратная задача сейсмики для горизонтально-однородной среды сводится к одномерной за счет преобразования Радона , и разделения решений для разных лучевых параметров, в работе так же представлена схема численного решения для сред с кусочно-непрерывным распределением свойств. В работах (Тарантола, 1984,1986) предложен

оптимизационный метод решения задачи в акустическом и упругом приближении в полной трехмерной постановке, с использованием данных многоканальных наблюдений методом ОГТ.

Но, как отмечается в ряде работе (Ампилов, 2009;Delpгat-Jannaud & Lailly 2005) методы упругой инверсии на основе несуммированных данных в полноволновой постановке, имеют ряд недостатков, среди которых слабая устойчивость, обусловленная объединением процессов миграции и инверсии в одну оптимизационную процедуру,что делает невозможным практическое решение без жестких априорных ограничений на строение среды, в следствии чего эти методы не получили широкого распространения .

В тоже время технологическое развитие получили алгоритмы инверсии полн- или частично-кратных суммированных сейсмических данных, базирующиеся на Борновской аппроксимации волнового уравнения. При этом компенсация всех возникающих при таком допущении некорректностей (наличие кратных волн и других помех, сложное распределение точек отражения, замешивание при суммировании данных, соответствующих разным углам падения, анизотропия свойств среды) проводится на этапе предварительной обработки, параметры которой определяются в зависимости от характеристик съемки и геолого-физических условий района исследований(Ампилов, 2009).

Первые практически результаты в этом направлении получены в 70-х годах. В работе (Laveгgne,1975) исследуется возможность преобразования суммарных сейсмических трасс полученных методом ОГТ в кривые псевдо-аккустического каротажа. В статье утверждается, что при корректном восстановлении амплитуд, и правильном скоростном законе при вводе кинематических поправок, а так же при достаточно хорошей динамическом разрешении сейсмических данных, возможно пересчитать значения сейсмических амплитуд в параметр представляющий собой высокочастотную составляющую последовательности акустических импедансов среды. Сейсмическая трасса после

коррекции амплитуд и деконволюции рассматривается как непрерывная последовательность коэффициентов отражения.Ииспользуя рекурсивную формулу (1.4) и предполагая известным параметры в самом верхнем слое( Z0 ) производится рекурсивный пересчет значений амплитуд( к, ) в значения акустических импедансов ( Ъ1 ).

(1.4) 2+1рМ^)

Используя информацию из доступных скважин и\или модель интервальных скоростей построенную на основе анализа скоростей суммирования , авторы получают оценку низкочастотной составляющей последовательности акустических импедансов. Суммируя последовательности с низкочастотной и высокочастотной составляющей вычисляют искомый результат. Как показано в работе(М. Becquey, М. Laveгgne , 1979) подобная процедура в ряде случаев (рис 1.1), позволяет предсказать важные для интерпретатора геологические свойства исследуемого района. Но, как отмечается авторами , подобное качество результата требует очень высокого соотношения сигнал\помеха в исходных данных и кропотливой работы обработчика и интерпретатора при корректировке и увязке сейсмических и скважинных данных

4000 5000 6000 7000 0000 9000 10000 11000

1__■____* . I ■ I I 1

АСОиБПС (МРЕЭАМСЕ 5СА1Е ( М СМ"3)

йс. II, О» по. 2— <гпрс(Ьпсс «чФ ^шЬ ил ¿и1оо лк! ШиЦ^с шЕсгргсшигл

Рис 1.1 Выделение газо-водяного контакта на разрезе Псевдо-импедансов из работы (M. Becquey, M. Lavergne , 1979)

Фактически, при подходе в рамках аппроксимации Борна задача обращения оператора L (1.2), делится на два этапа :

Первый этап это подавление регулярных и нерегулярных помех, корректировка амплитуд сейсмического сигнала, учет кинематических поправок, миграционный преобразование , то есть приведение данных в соответствие со свёрточной моделью распространения акустических колебаний. Тем самым исходная задача сводится к более простой (1.5), в рамках которой оператор L из выражения (1.1) является линейным оператором свёртки с фильтром Л, параметры

которого зависят от множества факторов, но на практике определяются исходя из сопоставления сейсмических данных со скважинными или с априорной геологической моделью.

(1.5) U=A*R+е

Второй этап это отыскание обратного оператора L-1 и применение его к обеим частям уравнения (1.5). Нужно отметить, что задача (1.5) при ограниченной полосе частот фильтра A так же является

некорректной(Хаттон,1985), и допускает множество решений удовлетворительно отображающиеся в исходные данные, что означает , что нахождение единственного решения возможно лишь при учете некоторых дополнительных ограничений.

1.5Максимально импульсная сейсмическая инверсия.

А.Н. Тихонов (А.Н Тихонов,1986 ) предложил общий подход к решению подобных проблем, состоящий в замене исходной некорректной задачи, задачей отыскания минимума функционала. Подобный прием весьма удобен тем, что при задании функционала, можно руководствоваться не только математической моделью процесса, но и рядом предположений самого разного характера и тем самым компенсировать недостаток информации в экспериментальных данных, и в итоге получить постановку задачи допускающую единственное решение или множество близких с геологической точки зрения решений.

Так в работе (Shlomo Levy, Peter K. Fullagar , 1981) в качестве дополнительных предположений используется гипотеза о кусочно-постоянном строении среды и наибольшей импульсности корректного решения — т.е наиболее удовлетворительным решением считается то, которое кроме удовлетворительного

отображения в исходные данные, имеет наименьшие количество слоев. В работе приводится постановка задачи минимизации функционала в норме L1, и способ численного решение на основе метода линейного программирования. В работе (D. W. Oldenburg и др,1983) алгоритм дополняется возможностью внесения ограничений на абсолютные значения импеданса — множество возможных решений ограничивается допустимым коридором значений. Ряд работ (D. W. Oldenburg и др,1983; Tad. J. Ulrych, Colin Walker,1984; Colin Walker,Tad J. Ulrych 1983) предлагают способ решения задачи в той же постановке, но в частотной области, на основе спектральных свойств последовательности дельта импульсов (с использованием так называемой авторегресионной модели импульсной трассы). В работе (D. W. Oldenburg и др,1983) отмечается, что решение во временной области методом линейного программирования и решения в частотной области для одних и тех же исходных данных практически совпадают . В работе (John В., DuBose Jr, 1990) предложен алгоритм исходящий из тех же предположений, но решающий задачу методом наименьших квадратов, что , как утверждают авторы,предпочтительней с точки зрения объема вычислений. В работе (H. W. J. Debeye, P. Van Riel, 1990) описывается метод минимизации двух функционалов, производится попытка найти решение имеющие минимальную норму L1 при условии, что разница между модельной трассой и исходной имеет минимальную норму в пространстве L2 .

Как можно видеть, несмотря на ряд различий, общим для всех оптимизационных подходов является предположение наибольшей импульсности корректного решения, так как именно этот прием гарантировано позволяет прийти к единственности решение. В работе (John В., DuBose Jr, 1990) отмечено, что это предположение является реализаций принципа максимума энтропии предложенного Эдвином Джайнесом, как способ обработки физических экспериментов в случае, когда экспериментальных данных недостаточно, для

выделения той или иной гипотезы (Джайнис,1957). Это принцип гласит,что если ряд объектов соответствуют одному и тому же наблюдению, то каждому объекту приписывают некоторую априорную вероятность его реализации, и в качестве оценке искомого объекта берут тот — априорная вероятность которого максимальна(Л.М. Сороко,1981). Более подробное рассмотрение статистического основания этого принципа и следствий из него приведены в последующих главах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Логинов Андрей Константинович, 2013 год

Е ■■

ш

Е 250 Р

300 350 400 450

Рис 3.10 Импульс до обработки (слева), после деконволюции (в центре), после полосовой фильтрации (справа)

Требования нуль-фазовости или симметричности образующего импульса продиктовано тем, что в этом случае матрица А , будет симметричной

действительно матрицей , а следовательно эрмитовои , что гарантирует наличие положительных действительных собственных чисел и системы ортогональных собственных векторов.

На рис 3.11 изображена полученная матрица Л и ее собственные значения Л=(Х1 2,...Хт) отсортированные по убыванию.

Рис 3.11 Матрица А и ее собственные значения отсортированные по убыванию.

Из спектра собственных значений матрицы Л видно, что если подвергнуть тестовую трассу разложению 3.2, то первые 45-50 коэффициентов должны содержать большую часть информации о строении среды доступной в данной трассе. В качестве иллюстрации этого факта приведем рис 3.12, на нем изображена тестовая трасса восстановленная из разного количества собственных векторов матрицы Л. Видно, что начиная с 45 собственных векторов, восстановленные из разложения 3.2 трассы практически не меняются и совпадает

Number of basis vectors

1 30 fiO Я0 1?0 150 1R0 ?10

с исходной.

Рис. 3.12 Результат восстановления трассы из разложения 3.2 с различным количеством базовых векторов (по оси абсцисс)

Выбрав к - количество базовыз собственных векторов равным 48 , получаем возможность вычислить 48 базисных коэффициентов в и составить систему уравнений 3.5 , полагая неизвестные а1 равными нулю.

Задав априорную модель можно составить так же систему 3.8. В качестве априорной модели выбиралась модель полученная из исходной после осреднения методом скользящего среднего в окне длиной 150 метров.

Результат итеративного решения системы 3.8 приведены на рис 3.13, на рис 3.14 приведен результат после 100 итераций решения в сравнении с исходной моделью.

Как можно видеть, несмотря на исходно зашумленные данные и использование в модели реального импульса осложненного различными

артефактами, результат весьма близок к заложенной модели.

Рис 3.13 Результаты решения итеративного решения системы уравнений 3.8 после пересчета в акустические импедансы на различных итерациях решения.

Рис 3.14 Результат решения системы уравнений 3.8 после 100 итераций (синим), исходная модель(красным), априорная модель(зеленым).

На рис 3.15(Л) изображен график разности квадратов между решениями системы 3.8 на соседних итерациях, то есть модуль градиента функционала в точке соответствующей решению для каждой итерации и задаваемого системой уравнений 3.8. На рис 3.15(В) и 3.15(С) изображены графики изменения разности квадратов и коэффициента корреляции полученного на заданной итерации решения и исходной модели. Как видно при итеративным решении системы 3.8, как и ожидалось, происходит движение в сторону уменьшения модуля градиента и вместе с тем это ведет к увлечению корреляции полученного решения с истинным.

А

О -1 ~1 -1-

О 20 -40 ВО ВО 1 ОО

В

О -1-1-1-1-

□ го 40 во ео 1 оо

Рис 3.15 А — модуль градиента функционала, на каждой итерации решения системы 3.8, В — сумма квадратов разности решения на данной итерации и истинного решения, С - коэффициент корреляции полученного и истинного решения

Конечный вид минимизируемого функционала зависит от множества факторов начиная от качества исходных данных и их обработки, и заканчивая точностью и детальности априорной модели. Непосредственно на этапе решения

задачи сейсмической инверсии,вид функционала может контролироваться параметрами е1 и е2 , которые должны выбирается и тестироваться на основание выполнения инверсии в точках с известным геологическим строением, например, в точках расположения скважин.

Пример такого анализа приведен на рис 3.16, для одной и той же трассы вычислялось решение с различными значениями параметров е1 и е2 , затем рассчитывался коэффициент корреляции полученного и истинного решения.

Рис 3.16 Коэффициент корреляции решения полученного в процессе инверсии и истинной модели в зависимости от параметров е1 и е2 .

Как можно видеть, в данном случае это зависимость имеет максимум при значении коэффициента е1=10-6 и е2=9 . При меньших значениях е1 градиент функционала минимизируемого системой 3.5 оказывается

недостаточным для нахождения корректного решения, при больших - решение останавливается в локальном минимуме функционала обусловленном наличием шумовой составляющей в данных. Сходный характер имеет зависимость от

коэффициента е2 . При малых значениях, относительно оптимального, решение оказывается хуже, так как останавливается в одном из локальных экстремумов функционала 3.5 и влияние функционала минимизируемого системой уравнений 3.7 оказывается недостаточным, при слишком больших значениях, неточная априорная модель оказывает слишком сильное влияние на результат.

Так же можно рассмотреть влияние случайных шумов в данных на результат инверсии. На рис 3.17 приведен коэффициент корреляции полученного решения и истинного для различных значений уровня шумов в исходных данных и значений параметра е1 . Эта зависимость была получена путем моделирование трассы с различным уровнем шума и итеративным решением для каждой из полученных трасс системы уравнений 3.8 с различным параметром е1 и фиксированным е2 .

Как можно видеть, с увеличением уровня шума корреляция полученного и истинного решения убывает. Увеличение параметра е1 позволяет сгладить негативный эффект, а чересчур малые значения е1 приводят к неустойчивости решения, и уменьшению корреляции, тем более, чем больше уровень шума в обрабатываемой трассе.

Уменьшение значения е1 увеличивает градиент в окрестностях локальных минимумов функционала, когда уровень шума низок, то можно говорить , что положение локальных минимумов характеризуют верное решение задачи (их может быть несколько — но они близки) и увелечение е1 позволяет получить более точное решение, с увеличением уровня шума, положение локальных минимумов становится случайным, и увеличение градиента

Рис 3.17 По вертикальной оси коэффициент корреляции полученного решения и истинного, по горизонтальной оси (0 - 0.7) отношение пиковой амплитуды шума к пиковой амплитуде сигнала, по горизонтальной оси (0 - -12), значение параметра е1 в логарифмическом масштабе, т.е от 1 до 10-12 .

функционала приводит к остановке итеративного процесса решения системы 3.8 в одном их минимумов обусловленном шумовой компонентой в данных.

3.8 Применение алгоритма на этапе обработке данных. Полосовое преобразование.

В качестве дополнительного способа регуляризации в алгоритме можно использовать полосовое преобразование описанное в работе (Полубояринов , Фиников, 2007). Пусть 1к последовательность отсчетов обрабатываемой трассы, а мх<м2 задают отличный от нуля диапазон частот спектра последовательности 1к. Тогда существует такая последовательность Б1, спектр которой, связан со спектром 1к соотношением 5(м)=1 (аш+р),|3=ш 1;а=(м2-м1)*п . То есть метод полосового преобразования позволяет найти последовательность Б!, обладающую теми же значениями спектра, что и 1к , но без нулевых элементов. В работе (Полубояринов , Фиников, 2007) описано ядро прямого и обратного преобразования и вопросы их численной реализации.

В контексте задачи сейсмической инверсии этот подход интересен тем, что позволяет плавно ограничить целевую полосу частот, и получить во временной области последовательность, сохраняющую всю информацию исходный трассы, но на меньшем количестве отсчетов, что в свою очередь позволяет уменьшить количество неизвестных а при решении задачи инверсии для этой последовательности. Конечно, это приводит к тому , что и результат инверсии после возвращения к исходной частоте дискретизации содержит меньше частот.

Подход с полосовым преобразованием позволяет расширить область применимости алгоритма, так в работе (Логинов, Фиников, 2010)

рассматривается вопрос использования подобного алгоритма на этапе обработки сейсмических данных.

На рисунке 3.4 представлены результаты опробования алгоритма на синтетических данных. Исходная полоса частот модели 10-70 Гц, полоса частот после применения алгоритма 1-250 Гц, т.е предпринималась попытка расширить

полосу частот более чем в четыре раза. В данном случае, полученные в ходе решения значения не пересчитываются в акустические импедансы, а имеют смысл «эффективных» коэффициентов отражения. В контексте задачи обработки и построения глубинного изображения подобное использование алгоритма позволяет упростить глубинное изображение и повысить его видимое разрешение.

На рисунке (рис 3.5) приведен результат работы алгоритма с учетом ограничения на латеральную корреляцию. Особенно ярко заметен положительный результат на третьем сверху горизонте, на исходной сейсмограмме он практически теряется из-за интерференции с более сильными отражениями от других горизонтов, но убедительно проявляется после применения описанной выше процедуры. Также стоит отметить сохранение, и даже увеличение, видимой латеральной корреляции в данных после обработки по сравнению с данными до.

Рис 3.4 Результат применение алгоритма к синтетическим данным, слева исходные данные, справа модель коэффициентов отражения. Красным показан

спектр до(слева) и после(справа).

Рис 3.5 Результат применение алгоритма с ограничением на корреляцию к синтетическим данным, слева исходные данные, справа модель коэффициентов

отражения.

Рис 3.6 Применение описанного алгоритма инверсии в процессе обработки для восстановления низких частот записи, слева до , справа после применения

(Логинов А.К, Фиников Д.Б, 2010)

На рисунке (рис 3.6). представлены результаты опробования на суммированном и мигрированном разрезе, полученному по данным наземных сейсмических исследований. В этом случае, спектр расширялся только в область низких частот, но, так же как и на синтетических данных, достигнуто улучшение корреляции горизонтов и увеличение разрешенности записи.

Выводы к главе 3.

1. Разработан новый алгоритм сейсмической инверсии после суммирования, позволяющий получать прогноз акустических свойств удовлетворяющих исходным данным и априорной информации. Как показали испытания на синтетических данных, при выполнение лежащих в основе алгоритма предположений о статистических свойствах среды и приемлемом уровне помех в данных, получаемые решения близки к истинным.

2. В настоящие время, вариант алгоритма нашел практическую реализацию в области построения сейсмического изображения, позволяя увеличить видимое вертикальное разрешение записи без потери латеральной корреляции.

Глава 4

Антиперсистентные, хаотические и персистентные законы изменения

акустических свойств с глубиной.

В данной главе будут рассмотрены результаты ряда исследований последних десятилетий свидетельствующих в пользу предположений о наличии статистических взаимосвязей между элементами геологической среды. Рассматриваемые работы были изданы в течении последних 25 лет, и охватывают широкий класс объектов от глобального строения литосферы до параметров отдельных пачек слоев, регистрируемых в каротажных данных.

Описываемые физические объекты имеют разные характеристики в зависимости от направления и цели рассмотрения, так одна и та же пачка слоев с точки зрения геолога может характеризоваться как имеющая квази-периодическое строение, с точки зрения статистики её свойств, она имеет антиперсистентное — склонное к разнонаправленному изменению , строение, а с точки зрения математического анализа как функция глубины - имеет смолоподобное или фрактальное строение — так как, ее характеристики на разных масштабах рассмотрения имеют подобное, с постоянным коэффициентом, значение.

4.1 Литературные данные о самоподобном строении литосферы

Первые работы, в которых было высказано предположение о наличии эффектов скейлинговой симметрии(масштабной инвариантности) свойств геологических сред, появились в 80-х годах прошлого века, и были посвящены глобальному описанию строения литосферы. Так обобщив опыт многолетних наблюдений естественных и искусственных землетрясений академик М.А.Садовский предложил представлении о горной породе как о иерархической системе разномасштабных отдельностей (Садовский Писаренко, 1991).

В работе (A. Frankel,R. Clayton 1986), было проведено весьма детальное, для

того времени, математическое моделирование волновых полей в случайных средах. В работе ставилась задача построить множество моделей с различными статистическими свойствами, и получить методом конечных-разностей синтетические волновые поля. Сравнивая смоделированные и наблюденный волновые поля, авторы статьи пытаются определить статистические параметры распределения неоднородностей характерные реальной геологической среде. В качестве экспериментальных данных используются результаты многолетних наблюдений полученные глобальными сейсмическими сетями ( LASA и NORSAR). Как оказалось среды с с гауссовой и экспоненциальной функции распределения скорости не соответствуют обоим наборам наблюдений. В тоже время синтетические результаты для сред с самоподобными на различных масштабах строением весьма схожи с экспериментальными данными и позволяют объяснить ряд наблюдаемых эффектов.

4.2 Оценки характера распределения неоднородностей по каротажным

данным

Измерения статистических параметров распределение скоростей по скважинным данным так же подтверждают наличие эффектов самоподобия, в то же время мнение о наиболее подходящей модели разнятся. Так в наиболее ранних работах посвященных этой теме^гШю и др,1994, Kneib и др 1995, Holliger, 1996 ) высказывается мнение, что реальная геологическая среда может быть аппроксимирована функцией фон Кармана (3.1)

2(1-H) f H

(3.1) NHb(*)=ГЩ(f) Kh(z/b)

Эту функция была выведена впервые в работе (von Karman, 1948), как модель поля скоростей жидкости в условиях турбулентности. Здесь KH это

функция Бесселя второго рода , Г - гамма функция, z — глубина, параметр Ь имеет ту же размерность, что и глубина, и определяет радиус коррелированого поведения функции . Параметр Н имеет связь с таким понятием, как размерностью Хаусдорфа-Безиковича(Мандельброт,1985) приведенную в выражении (3.2), здесь E — топологическая размерность (по скольку мы рассматриваем одномерный распределения параметров, то топологическая размерность E= 1). В связи с тем, что формально вычисленная размерность Хаусдорфа-Безиковича не равна топологической размерности, в ряде работ такие среды называют фрактальными, или квази-фрактальными, подчеркивая последним факт того, что свойства реальных сред лишь похожи или напоминают свойства математических фракталов.

(3.2) °=Е+ 1-Н

в = 2И + 1

В многих публикациях параметр Н называют показателем Херста, что в общем случае не вполне верно, так как показатель Херста это эмпирически оцениваемая величина. Но можно сказать, что вычислив достаточно длинную последовательность по формуле (3.1) и применив к ней метод номинированного размаха, используемый для определения показателя Херста (Федер, 1988), мы получим величину близкую к И. .

В зависимости от показателя И последовательность (3.1) будет обладать свойствами присущими тому или иному виду случайного процесса. Например, при И=-0.5 это будет белый шум с гауссовым распределением, при И=0.5 реализация броуновского процесса, подробнее эти свойства мы обсудим в следующей главе, здесь лишь приведем таблицу из работы (Т. Вгошаеу^, S. Fomel , 2007) , в которой приведена классификация таких сред в зависимости от параметра И и их возможная геологическая интерпретация(Таблица 3.1).

Таблица 3.1

Диапазон зн-й H Классификация процесса Модель неоднородностей

-0.5<H<0 Персистентный гауссов процесс

0 Фликер-шум Блочная модель.

0<H<0.5 Антиперсистентный Броуновский процесс. Квази-периодическая модель.

0.5 Классический Броуновский процесс. Модель случайных неоднородностей.

0.5 <H<1 Персистентный Броуновский процесс Модель плавной смены свойств.

Процесс с показателем 0<H<1 называют обобщенным Броуновским процессом. А с -1<H<0 обобщенным гауссовым процессом.

Первоначальные оценки показателя H и масштабов коррелированого поведения b для реальных каротажных данных весьма разнились, от 1 метра в работе (Kneib,1994) до 2000 метров (Wu и др, 1995). Например, в работе (Dolan, 1998) в качестве экспериментальных данных используется измерения P,S-скоростей в скважине KTB в северной Баварии, и двух скважинах Cajon Pass в южной калифорнии. После обработки данных, удалось установить, что параметр H лежит в диапазоне от 0.1-0.3, то есть геологическая среда демонстрирует в целом антиперсистентные тенденции. Что касается интервала корреляции, то оценки разнятся в зависимости от выбранной длины окна для анализа от первых метров до километров. Автором высказано предположение, что объяснением такого разброса оценок служит наличие трендовой составляющей в последовательности отсчетов сейсмической скорости.

В работах последнего десятилетия (T. Browaeys, S. Fomel , 2007; Herrman,2002; Кузуб 2003, Кузуб, Логинов 2006) рассматривается предположение,

о непостоянстве этих параметров для геологического разреза в целом, и зависимости от характера конкретной осадочной толщи. Так в работе(Т. Browaeys, S. Fomel , 2007) приведены результаты оценки по данным, полученным в погребенном русловом песчаном коллекторе, перекрытом обломочными породами. Результаты обработки четырех скважин показывают интервал корреляции от 2.5 до 5 м, изменение показателя H от 0.1 до 0.4 для скоростей Vs, и 0.2 - 0.6 для скоростей Vp. При этом авторы обнаружили на различных участках каротажных записях пространственные циклы через 2.5,5,10 и 20 метров. И высказали предположение, что методом аппроксимации функцией Фон кармана удается выявить показатель и корреляцию только самого малого масштаба.

В работах (Herrman,2002; Кузуб 2003) рассматривается гипотеза иерархического строение среды, предполагается, что значения параметра H различны для разных диапазонов рассмотрения, и их описание возможно спектром значений в зависимости от масштаба, так в работе (Кузуб, 2003 ) приведены результаты оценки параметра регулярности по данным каротажа(рис 3.1) с использованием метода линий максимального модуля вэйвлет-преобразования. (WTMML- Wavelet Transform Modulus Maxima Line). В качестве математической модели среды в фиксированом масштабе, например, в масштабе длин сейсмических волн, в работах (Herrman,2002; Кузуб 2003) используется так называемая, «модель среды с обобщенными границами» , которая имеет следующее формальное описание :

(3.3) f (z )=Е ciX± (z - z)

х-(z )=

- z'

^ z-;: x+(z)= 0

0

z ; 0

J z <0

Г (в + 1)

Здесь f (z) зависимость аккустических импедансов от глубины, с; -амплитуда изменения свойств, в - параметр отвечающий за характер

случайного процесса внутри пачки, свзан с параметром в функции фон Кармана соотношением (3.2) .

АК

2 4 6 6

Ур, км/сек

Рис 3.1. Метод максимум модулей вейвлет преобразований при определении сингулярного спектра каротажной записи (Кузуб,2002)

Функция х играет роль пачки слоев демонстрирующей определенный показателем р характер строения, степенную функцию в определении х , стоит рассматривать ни как значение парамера , а лишь, как модель реальной пачки слоев сходной с ней своими амплитудно-частотными характеристиками. Таким образом, модель (3.3) описывает геологическую среду, как последовательность тонко-слоистых пачек, обладающих постоянными на протяжении пачки статистическими характеристиками.

В работе (Anstey, 2002) предложена простая четырех-параметрическая седиментационная модель образования сред с фрактальными свойствами. Показано , что если взять во внимание глобальные циклы трансгрессии и

регрессии океанов, и малоамплитудные короткопериодные локальные по времени циклы и положить их строго периодическими, при этом считать количество и состав осадков линейно зависимым от глубины воды. То даже в таком грубом приближении, параметры полученной геологической модели будут иметь сложный квазипериодический характер( рис 3.2).

Рис 3.2 Модель осадконакопления из работы (Ат1еу,2002)

4.3 Оценка эффектов вызванных антиперсистентным и персистентным строением по материалам сейсморазведки.

Ряд работ последних лет посвящены так же проблеме моделирования волновых полей в сейсмическом диапазоне частот для подобных сред, с целью изучения возникающих характерных эффектов. Так в работе ^оте1,2007) изучаются эффекты связанные с потерей энергии отраженными сейсмическими волнами за счет рассеяния на фрактало-подобных неоднородностях, показано , что доминирующий частота отраженного сигнала уменьшается быстрее для сред с большой пространственной корреляцией и большим показателем Н. При этом этот

эффект сильнее для волн сдвига , чем для волн сжатия.

В работе (Рок, 2007) получены макроскопические эффективные математические модели описания среды содержащей однородно распределенные статистически фрактальные элементы, выведены и исследованы свойства их нестационарных волновых уравнений и физическая интерпретация наблюдаемых эффектов, так же предложен метод численного решения полученных уравнений. В данной работе отмечается, что при возбуждении импульса конечной ширины в среде с фрактальным распределением неоднородностей, огибающая волнового пакета, составляющего импульс, совершает замедляющиеся перемещение (с уменьшением энергии за счет сопутствующего затухания), сохраняя относительную устойчивость формы с расплыванием за счет дисперсии скорости

Возможность определение параметра H при помощи анализа закона убывания спектра отраженного сейсмического сигнала показана в работах (Yong Ma, Paul Sava, 2009;Rok , Druzhinin, 2003) на основе обработки синтетических сейсмограмм. При этом в обеих работах предполагается, что все толща имеет одну и ту же статистику распределения акустических параметров.

В работе (Yong Ma, Paul Sava, 2009), в качестве синтетической модели используется результат конечно-разностного моделирования, авторы отмечают, что точно и верно вычислить параметры удается только на основе анализа трасс ближних удалений, чем больше разнос между источником и приемником тем дальше полученная оценка от заложенной в модель.

4.5 Атомарные разложения, как метода оценки статистических свойств среды на основе сейсмических данных.

В работах (Herrman, 2002; Кузуб Н.А. , Логинов А.К., 2006 ) предложены методы оценки параметра H (в этих работах этот параметр обозначается как в , назван — атрибут «регулярность» и связан с показателм Херста H линейным

преобразованием 3.2) для реальных сейсмических данных в рамках модели (3.3) на основе метода согласованного преследования(Ма1Ш S,1999), при этом в работе (Неггтап, 2001) предложен потрасный метод, который, как показано в работе (Кузуб Н.А, Логинов А.К., 2006 ) является неустойчивым, но его устойчивость может быть повышена за счет учета корреляции отражений между трассами и выбора разряженного словаря атомов при атомарном разложении.

Полученные для реальных сейсмических данных результаты так же , как и упоминавшиеся выше исследования скважинных данных, демонстрируют в в целом антиперсистентный характер строения геологической среды(рис 3.3).

В то же время, нужно отметить, что метод атомарных расположений для

Рис 3.3 Пример расчета параметра регулярности по сейсмическим данным (Кузуб Н.А, Логинов А.К., 2005 ). Справа фрагмент сейсмического разреза, слева

рассчитанный методом согласованного преследования атрибут. Синие области соответствуют антиперсистентному, красные - персистентном строению среды.

решения этой задачи нужно применять с осторожностью, так как он неявно предполагает отсутствие интерференции между отражениям от пачек слоев с различным строением, что в практических случаях может приводит к ошибкам в оценке статистических параметров среды. Как показано в работе (), метод согласованного преследования со словарем построенным на основе оценке формы импульса отраженного сигнала , можно рассматривать, как один из вариантов частотно-временных разложений, оценка же статистических свойств есть интерпретация результатов такого разложения, которая всегда неоднозначна и требует привлечение дополнительной информации.

Рис 3.4 Неустойчивый характер поведения атрибута «регулярность» при интерференции отражений от разных пачек слоев

В качестве иллюстрации ошибок которые могут возникать атомарном разложении методом согласованного преследования, можно привести результаты численного эксперимента изображенного на рис 3.4. на данном рисунке изображена последовательность синтетических трасс моделирующих кровлю и подошву слоя разной мощности, модель построена так, что бы отражение от кровли и подошвы имели разное значение атрибута — «регулярность» (Heггman,2002). Или разную «гладкость» границы, когда мощность слоя становится достаточно малой, по сравнению с длиной волны, атрибут определяется неверно, при этом не имеет сходство ни со значением на кровле слоя ни со значением на подошве.

Выводы к главе 4:

1. Как показывает ряд разносторонних исследований проведенных в последние годы - геологическая среда демонстрирует «фрактало-подобное и не вполне случайное строение»(В.И.Рок, 2007).

2. Масштабы проявления эффектов самоподобия в строении земной коры позволяет регистрировать их в диапазоне частот характерном для разведывательной сейсморазведки.

3. В настоящие время, нет общепринятой математической модели фрактального строения геологической среды. Тем ни менее ряд эффектов наблюдаемых в каротажных данных и данных сейсмических исследований могут быть описаны в рамках модели обобщенного броуновского движения.

Глава 5.

Математическое моделирование распространение нормальной плоской волны в горизонтально слоистых средах с персистентным и квазипереодическим строением.

5.1 Модель акустических импедансов как реализация дробного броуновского

движения и ее свойства.

Как следует из литературных данных, приведенных в предыдущей главе, распределение акустических импедансов по вертикали в реальных геологических средах можно описать, как реализацию процесса дробного броуновского движения.

Обобщение классического броуновского движения, то есть процесса характеризуемого случайным в момент времени(а в рассматриваемом случае на интервале глубин ) приращением значения и дисперсией параметра было введено в работе(Мандельброт,Ван Несс, 1968), как случайный гауссов процесс с математическим ожиданием равным нулю и автоковариационной функцией описываемом следующим выражением(5.1):

(5.1) А(к, т)=( | t Г- | t+т |2И+ к-т |2И)

Где H это действительное число, называемое в работе(Мандельброт,Ван Несс, 1968) показатель Херста, на основе асимптотической сходимости метода нормированного размаха предложенного Херстом для этой последовательности к значению ^

В работе(Мандельброт,Ван Несс, 1968) так же показано , что такая последовательность значений является самоподобной :

(5.2) Вн(ак^ | а |НВН(к)

Обобщенную производную такой последовательности называют гауссовым дробным движением, это так же случайный процесс с нормальным распределением значений и имеющим автоковарриционную функцию(5.3) , где 5 имеет смысл - для практических применений - величины наименьшего рассматриваемого отсчета — интервала дискретизации (Мандельброт,Ван Несс, 1968).

(5.3) А(5, т) = ((т—5 )2Н-т2Н+(т + 5)2н )

При Н=0.5 процесс является классическим броуновским движением с единичной автоковарриационной функцией, при Н<0.5 демонстрирует антиперсистентные - квазипереодические свойства, т.е. тенденцию к смене значения, при Н>0.5 персистентные свойства — то есть демонстрирует эффект памяти о прошлых значениях.

В работе (НиШ:Д951) приводится выражения для приращения значений спектра мощности обобщенного броуновского движения(5.4):

(5.4) Вн(с2, ш)-Вн(с, м)=/оШ(е2рйх{2 — е2рйх)Х-Н-1/2dB (X, ш)

Откуда следует, что спектр вн(с,ш)~Х(н-1)*2 то есть демонстрирует степенную зависимость с показателем степени линейно связанным с Н, спектр обобщенной производной — дробный гауссов процесс, как показано в работе (Мандельброт,Ван Несс, 1968), так же демонстрирует степенную зависимость Gн (с, 2Н-1 . Таким образом при Н=0.5 , дробный гауссов процесс, становится обычным гауссовым процессом, а его спектр мощности является равномерным во всей полосе частот, при Н<0.5, значения спектра мощности больше для высоких

частот, при ^0.5 значения спектра мощности больше для низких частот. На рис (5.1) приведены реализации дробного гауссова процесса для различных H во временной области, и рассчитанные по этим реализациям спектры мощности в логарифмическом масштабе.

Рис 5.1 Пример реализации и спектры мощности в логарифмическом масштабе дробного гауссова процесса с различным показателем Н.

В этой главе мы будем рассматривать свойства отраженных сейсмических сигналов от случайно слоистых сред. изменение импеданса с глубиной для которых описывается обобщенным броуновским движением (5.4). В контексте этой работы мы будем в рассматривать только нормальные плоские волны

падающие на горизонтальную границу. Более полное рассмотрение прямой задачи можно найти в работе (Рок,2007) и (,2002).

В контексте задачи сейсмической инверсии после суммирования, или акустической инверсии, нас интересует в первую очередь связь эффектов наблюдаемых в сейсмическом сигнале со значением акустических импедансов. В то же время, в общем случае необходимо разделять какая из двух физических величин , плотность и скорость, влияющих на акустические импедансы распределена по закону обобщенного броуновского движения.

Если речь идет только про плотность , то мы можем предполагать, в соответствии с выражением 5.4 наличие степенной зависимости амплитуды отражения от частоты. В случае, если закону обобщенного броуновского движения распределены так же значения скорости, то стоит предполагать наличие также и дисперсии фазовых скоростей, то есть компоненты сигнала с различной частотой будут распространятся с различной скоростью, что приведет к дополнительным искажениям в фазовом спектре отраженного сигнала. В этом последнем случае становится важен пройденной волной путь. Ясно что путь по нормальному лучу является минимальным из всех возможных для горизонтально слоистой толщи, а значит при больших разносах между приемником и источником, эффекты связанные с дисперсией фазовой скорости должны проявляться сильнее. Методы коррекции и учета этих эффектов лежит вне области рассмотрения данной работы, но без условно, их вклад должны оцениваться и при необходимости учитываться при обработке данных или в случае построения алгоритмов упругой сейсмической инверсии до суммирования.

В данной главе, для учета при моделировании сейсмических трасс, эффектов вызванных дисперсией скоростей ,исходные модели импедансов в глубинном масштабе перед моделированием пересчитываются во временной масштаб в соответствии с модельным скоростным законом.

5.2 Амплитудно-частотные характеристики отражений от пачки слоев с персистентным и антиперсистентным распределением свойств.

В работе было проведено математическое моделирование отражений нормальной плоской волны от пачки слоев, акустические импедансы которых описываются дробным броуновским движением с различным значением Щрис 5.2), а последовательность коэффициентов отражения производной от их логарифмов, т.е дробным гауссовым процессом.

В качестве метода построение случайной модели с заданным H был использован метод из работы (A.T.A. Wood, G. Chan,1994). Моделирования распространения сейсмических волн проводилось исходя из двух приближений: приближение Борна, позволяющая предсказать только первичные отражения, и приближение Гоупилауда(Goupillaud, 1961), позволяющие предсказать так же и кратные отражения.

При расчете коэффициентов отражения предполагалась что соотношение плотности и скорости соответствует соотношению Гарднера, в качестве модельного импульса использовался импульс Пузырева (Пузырев и др, 196?) с центральной частотой 40 Гц. Моделируемая пачка (рис 5.1) слоев имеет мощность 60 м, средняя скорость продольных волн около 3000 м/с, вариация скорости в пачке 300 м/c. Глубинные модели дискредитированы с интервалом 0.15 м характерным для современных каротажных записей. Далее глубинные модели импедансов пересчитывались во временной масштаб в соответствии с модельным скоростным законом.

С целью установить характерные закономерности для подобных пачек слоев было создано в обще сложности около 10000 реализаций пачек с варьированием показателя H, и измерено ряд характеристик, таких как отношения энергии отраженного импульса к энергии падающего, отношение их максимальных по модулю амплитуд, наклон линейной аппроксимации энергетического спектра в

двойном логарифмическом масштабе.

Рис 5.2 Примеры сред и полученных сейсмограмм, параметр Н возрастает слева на право, верхнем ряду модели скоростей продольных волн, в глубинном масштабе. Во втором сверху ряду модели коэффициентов отражения во временном масштабе, в нижнем ряду полученные сейсмические трассы.

Пример отношения полной отраженной энергии к энергии исходного импульса и энергии только кратных волн приведены на рис (5.3) . Из приведенных графиков видно , что энергия отражения находится в зависимости от корреляционных свойств пачки слоев, при этом при увеличении параметра Н количество отраженной энергии увеличивается, здесь можно отметить, что абсолютные значения коэффициентов отражения (рис 5.2) для пачек с персистентным строением напротив меньше, т.е для пачек с таким строением наблюдается обратная зависимость между средним значением коэффициента отражения и отраженной энергией. Объяснением этого эффекта может

служить анализ спектров отраженных сигналов, для сред с антиперсистентным строением максимум энергии приходится на высокие частоты(рис 5.1), т.е. максимум спектра отраженного импульса смещается по сравнению с максимум падающего в сторону высоких частот, для сред с персистентным, напротив, смещается в сторону низких.

Рис 5.3 По оси абсцисс показатель Н соответствующей модели, по оси ординат отношение энергии падающего и отраженного импульса, сверху вся отраженная энергия, снизу только энергия кратных волн, максимальное изменение скорости в пачки для всех моделей 300 м\с

5.3 Оценка влияния короткопериодных многократных волн на параметры сейсмического сигнала при антиперсистентном и прерсистентном распределении свойств.

Основываясь на известных оценках спектра дробного броуновского движения, оценить параметры первичных отражений можно и аналитически, но особый интерес представляет вклад внутреслойных кратных отражений и их

амплитудно-частотные свойства.

Как говорилось ранее, в контексте задач сейсмической инверсии, мы предполагаем , что трассу удается привести к виду удовлетворяющему аппроксимации Борна, и, как правило, при использовании современных методов миграции и поверхностно-согласованных методов подавления помех, по крайней мере для морских данных, это предположение себя оправдывает, но подавление коротко-периудных внутреслойных кратных находится вне возможностей современной обработки сейсмических данных.

Вычитая результат моделирования в приближении Борна из результата в приближении Гаупилауда, можно отделить эффекты вызванные внутреслойными кратными волнами.

300 400 500 600 700 000 ЭОО 1000

Рис 5.4 Кроссплот зависимости полной относительной энергии отражения , от величины колебания скорости внутри пачки (по оси абсцисс), и показателя (Щ.

Анализируя энергии кратных отражений( рис 5.2 B) , можно сказать, что при вариации скорости в пачке в пределах нескольких сотен метров в секунду и коэффициентах отражения < 0.1, вклад энергии кратных волн в общую энергию отражения составляет не более 10% для пачек с антиперсистентным строением и стремится к нулю при увеличении параметра ^ При этом спектральные свойства кратных отражений демонстрируют тот же характер зависимости от параметра ^ что и первичные. При этом с увеличением вариации скорости внутри пачки увеличивает вклад кратных волн

Рис 5.5 Кроссплот зависимости относительной энергии кратных волн , от величины колебания скорости внутри пачки (по оси абсцисс), и показателя (Щ.

в общую отраженную энергию, особенно для сред с антиперсистентным строением(Рис 5.4) .Сопоставляя значения с рисунка 5.4 и 5.5 можно сказать , что при вариации скорости внутри пачки около 1000 м\с , и показатели H близким к нулю, энергия кратных волн может составлять до половины энергии суммарного

отражения.

Зависимость энергии отражения от величины максимальной вариации скорости внутри пачки хорошо аппроксимируется линейной функцией (рис 5.6), коэффициент наклона которой зависит от показателя Н. Зависимость энергии отраженного сигнала от значения показателя Н при фиксированной вариации скорости является существенно нелинейной. Характер такой зависимости(рис 5.7), очевидно, связан с частотным составом зондирующего импульса.

о-1-1-1-1-1-1-1-

200 300 400 500 000 700 800 900 1000 [IV (m/s)

Рис 5.6 Зависимость полной энергии отражения от вариации скорости внутри пачки при фиксированном H.

024

0 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.6 0.Э

Н

Рис 5.7 Зависимость полной энергии отражения от Н при фиксированной максимальной вариации скорости внутри пачки.

Выводы к главе 5:

Распространение акустических волн в среде, параметры которой являются реализацией процесса обобщенного броуновского движения со значением показателя H отличным от 0.5, имеет ряд особенностей не встречающихся в средах со статистически независимыми параметрами.

В первую очередь это выраженная частотная зависимость энергии отражения, что приводит к различным энергиям и амплитудам отражений от пачек с различным показателем ^ при фиксированном частотном составе зондирующего импульса. Так же стоит отметить эффект дисперсии фазовых скоростей подробно рассматриваемые в работе (Рок,2007). Эти два эффекта по своим феноменологическим проявлениям в амплитудно-частотных характеристиках продольных волн, напоминают эффекты при распространении волн в вязко-упругих средах, но с той разницей, что все взаимодействия в данной модели являются полностью упругими, и эффекты обусловлены не переходом энергии волны в тепло, а интерференцией множества коррелированых отраженых сигналов.

Второй заметной особенностью является зависимость энергии короткопериодных кратных волн от показателя ^ так для хаотических сред c ^0.5 и в особенности персистентных сред, энергия короткопериодных кратных волн весьма мала по сравнению с энергией первичных, но с уменьшением показателя ^ и вместе с тем, уменьшением энергии отражения первичных волн в низкочастотной области, растет вклад кратных волн в общую энергию отражения. Тем ни менее, при условии , что плотность связана со скоростью соотношением Гаднера, при колебаниях скоростей внутри пачки в первые сотни метров, энергия кратных волн не превышает 10% от энергии первичных отражений.

Глава 6.

Сейсмической инверсия для сред с персистентным и анитперсистентным

законом изменения параметров.

6.1 Оптимальное, с точки зрения априорной вероятности решение для сред с квазипериодическим и персистентным строением.

На основе материалов приведенных в главе 4, можно предположить , что во многих случаях, или как, говорится в работе (Anstey, 2002) - не всегда, но обычно - геологическая среда демонстрирует наличие зависимости свойств между отдельными своими элементами, кроме того эта зависимость проявляется в масштабах в десятки и сотни метров и может оказывать влияние на регистрируемые на поверхности отраженные сейсмические сигналы.

Как показано в главе 2 теоретически и в главе 3 на основании экспериментов с разработанным алгоритмом, достаточным условием для корректности применения критерия максимальной импульсности при решении задачи сейсмической инверсии может быть предположение о статистической независимости параметров среды. В данной главе мы рассмотрим модели сред, в которых это предположение нарушается и покажем так же необходимость данного предположения.

На основании результатов полученных в главе 5, для обычных сред не содержащих пачек слоев с очень маленьким значением показателя Херста и пачек сложенных слоями с большими акустическими контрастом мы будем по прежнему рассматривать задачу инверсии в приближении Борна.

Так же как в главе 2 мы будем исходить из принципа максимальной энтропии — как общего подхода о вынесения решения в условиях апостериорной неопределенности, но для отыскания наиболее оптимального решения для сред описанных в главах 4 и 5, необходимо предъявить некоторый функционал от модели коэффициентов отражения — минимум которого, гарантирует максимальную априорную вероятность модели с коррелироваными значениями

параметров .

Таким образом, мы поставим следующую задачу, пусть Кп=(г 1... гт) множество векторов-решений обратной задачи (1.5), удовлетворяющие экспериментальным данным и всем априорным предположениям, кроме того, предположим, что Rn представляет собой стационарный коррелированый гауссов процесс и известна его ковариационная функция Rn, т)=А(т) , необходимо определить такой функционал Y( Rn) , что бы из условия Y(Ri)<Y(Rj) следовало, что р(Ri)>Р(Rj) , где р(Rn) - есть априорная вероятность реализации модели Rn . На основании сказанного в предыдущих главах мы будем полагать, ковариационную функцию соответствующей дробному гауссовскому процессу с показателем ^

(6.1) А(тМ(т-5)ж-тж+(т + 5)ж) Исходя из (6.1) можно задать ковариационную матрицу для элементов

ri,rj из К .

Рис 6.1 Обратная ковариационная матрица С

-1

У

(6.2) г"7 С7_1

\Ф] С„=А(|1-71)

Ковариационная матрица (6.2) является симметричной положительно определенной матрицей, а значит имеет обратную С-1 (рис 6.1), тогда мы можем записать функцию многомерной плотности распределения вероятностей для векторов Rn :

(6-3) рн(*>=(2,пГК*(С)^)

Поделив на константу -- ^ и прологарифмировав выражение

(2*л)т йвг(С)

(6.3), взяв корень , получим функционал обладающий искомыми свойствами:

(6.4) Y(Rn)=7Я^С-Rn

При любых Яп стремлении выражения (6.4) к нулю, равносильно стремлению вероятности (6.3) к 1.

Так как функционал (6.4) зависит от обратной ковариационной матрицы, которая в свою очередь зависит от функции автоковариации и, следовательно от параметра Н, то мы можем говорить о семействе функционалов каждый их которых является оптимальном для своего Н,по этому далее будем обозначать его Y н (Яп) .

Частным случаем функционала (6.4) является случай, когда Н=0.5, тогда автоковариационная функция (6.1) равна нулю всюду, кроме первого отсчета, что означает что последовательность Яп является последовательность независимых величин с гауссовым распределением, СЦ=С-1=Е - ковариационная и обратная

ковариационная матрица становятся единичными, и следовательно функционал

результатом, полученным в главе 2, для независимой последовательности с Гауссовым распределением значений.

Можно так же отметить, что функционалы схожие с функционалом (6.4) рассматривались в работе (Mahalanobis,1936), и сейчас известны , как меры Махаланобиса.

По сути мера Махаланобиса, есть аналог евклидова расстояния, в искривленном пространстве, кривизна которого по всем координатам , задается обратной ковариационной матрице.

Подводя итог, мы можем обобщить утверждение 2.1 из главы два, следующим образом:

У6.1 Для любого стационарного гауссова процесса с известной автокорреляционной функцией наибольшей априорной вероятностью реализации имеет та последовательность , мера Махаланобиса которой, для заданной автоковариационной функции, наименьшая. Утверждение 2.1 является частным случаем для единичной автокорреляционной функции.

Далее мы попробуем ослабить требования этого утверждения, например, предположим известным, что последовательность Кп является реализацией процесса обобщенного гауссовского процесса, но показатель H не известен, и равновероятно может принимать любое значение из диапазона (0<И<1). Тогда предприняв попытку вычислить априорную вероятность реализации Кп , в качестве многомерной функции распределения необходимо взять бесконечную сумму вероятностей (6.3), так как вероятность несовместных событий равна сумме их вероятностей:

(6.4) приобретает вид

точности совпадает с

(6.5) Р2н(Яп)=/(7 )тЛ,(С ) ехР( ^С^)dH (2*л) 1аг1 (Сн) 2

В силу того, что любой ковариационной матрице из множества матриц С &СН можно сопоставить другую из того же множества С7&СН , являющуюся ей обратной, иначе говоря верно, что С{,С7еСН;'=|0.5-С1С= Е , можно утверждать, что суммарная вероятность (6.5) есть вероятность нормально распределенной многомерной гауссовой величины с единичной ковариационной матрицей. А следовательно, априори наиболее вероятное решение это решение наименьшее в норме L2 .

Из этих утверждений можно сделать следующие вывод:

Если параметры исследуемой среды могут быть описаны дробным гауссовым движением, но при этом параметры этого процесса априори неизвестны (персистентный или антиперсистентный— т.е значение показателя Н ). То наиболее импульсное решение и будет наиболее априори вероятным. Иначе говоря, сам факт наличия эффекта самоподобия и корреляции в среде не может быть учтен при решении задачи сейсмической инверсии, а лишь при наличие информации о конкретных параметрах и масштабах проявления этого эффекта.

С другой стороны, при наличии информации о статистических и корреляционных свойствах среды их можно использовать для регуляризации решения. То есть, определяя значения параметра Н, например по скважинным данным, и используя эту информацию для построения функционала аппроксимирующего исходную задачу, можно получить более точную оценку параметров среды.

6.2 Алгоритм решения задачи сейсмической инверсии для персистентных и антиперсистентных сред.

В данном разделе мы рассмотрим подход позволяющий уточнить решение задачи сейсмической инверсии с использованием информации о предполагаемой корреляционных свойствах модели среды.

Как показано выше, предложить универсальный алгоритм, подходящий для сред описываемых обобщенным броуновским движением с произвольным H невозможно. Таким образом не имея гипотезы о статистических свойствах среды нельзя построить корректную оценку акустических параметров методами сейсмической инверсии исходя лишь из информации содержащийся в сейсмической трассе нулевого удаления и оценке формы отраженного импульса. То есть последовательность сейсмических сигналов может иметь разную трактовку не противоречащую наблюдениям в зависимости от предполагаемых статистических свойств модели среды.

Сказанное выше не означает, что алгоритм описанные в главе 3 непременно даст неверный результат, результат в любом случае будет близок к наблюденной трассе в исходном диапазоне частот, кроме того оперируя параметрами контролирующими доверие экспериментальной и априорной информацией можно добиться неплохого соответствия априорной модели среды , но фактически все отклонения от модели с независимыми параметрами будут являться помехой и скажутся, по крайней мере, на точности прогноза.

В тоже время, можно предложить алгоритм, который будет учитывать известную априорную информацию о статистических свойствах среды. Предположим, что нам известна ковариационная матрица(6.2) С , соответствующая среде, для которой строится решение. Тогда представим задачу рассматривавшуюся в главе 3 в следующем виде:

(6.6)

Я=AR+Q Я= СЯ

Здесь Я вектор длиной т отсчет сейсмической трассы, А оценка формы отраженного импульса в диапазоне частот Fl , Fh в виде его сверточной матрицы т х т,, Я - импульсная трасса длиной т , Q - вектор помех. С — ковариационная матрица т х т.

То есть представим искомые параметры среды, как произведение вектора со статистически независимыми элементами Я и ковариационной матрицы.

Я-Q = АСЯ

(6.7) А = АС

R-Q=АЯ

Таким образом, мы приходим к задаче аналогичной задаче 3.1, только вместо оператора нуль-фазового полосового фильтра в правой части матричного уравнения 6.7 , находится произведение операторов А и С. Непосредственное решение с помощью алгоритма представленного в 3 главе невозможно, так как разложение оператора А в базисе собственных векторов уже не будет иметь локальной группы компонент, в которой содержится основная энергия сигнала. Примеры спектров собственных значений матрицы А для различных значений Н приведены на рис 6.2.

В тоже время, если решать систему уравнений 6.7 в базисе собственных векторов ковариационной матрицы С, то можно получить задачу близкую к задаче 3.1, единственным отличием будет то, что полученное в итоге решение необходимо будет вернуть из базиса собственных векторов С , т.е сделать обратный переход к стандартному базису.

Иными словами решение задачи, прогноз акустических свойств может быть

найден как решение следующей системы уравнений:

Рис. 6.2 Спектры собственных значений оператора Л при различных значениях.

(6 8) ()*с-1=ЛК

я=я*с

В рамках такого подхода априорные корреляционные свойства заданные матрицей С не обязательно должны быть стационарны, а могут описываться гладкой по времени и глубине функцией. При известной матрице С, и обратной ей с- первое уравнение в 6.8 может быть решено так, как описано в главе 3, с использованием всех методов регуляризации, включая учет априорной модели акустических импедансов. Можно так же сказать, что выражение 6.8 является обобщением задачи 3.1, так при показателе Н равном 0.5 ковариационная матрица и обратная ей становятся единичными и выражения 6.8 становится тождественно равным выражению 3.1.

К настоящему моменту остался не освещенным вопрос, каким образом в практических случаях может быть определен характер статистической

зависимости присущей отдельным пачкам слоев. В главе 4 указывались методы, которые использовались рядом авторов для определение корреляционных или фрактальных свойств распределения акустических параметров. Среди них методы на основе нелинейной аппроксимации каротажной кривой функцией фон-кармана, оценка коэффициента наклона кривой при линейной апроксимации фурье-спектра, вычисление показателей Херста RS-методом, оценка сингулярного спектра при помощи метода линий максимума вейвлет преобразование и др. В целом любые методы могут быть использованы, но в большинстве случаев лишь для примерной оценки и\или для расчленения разреза на пачки с различными статистическими свойствами. Непосредственное использование вычисленных статистических характеристик вряд ли возможно и целесообразно по ряду причин: параметры распределения акустических свойств в скважине и в окрестностях скважины влияющих на зарегистрированные амплитуды сейсмического сигнала могут заметно различаться, отчасти корреляционные свойства могут быть учтены в той или иной мере при приведении данных к нуль-фазовому виду в процессе стратиграфической деконволюции, так как необходимый для этого фильтр так же рассчитывается на основании скважинных данных. И наконец статистические оценки по одной скважине, как правило, неточны и неустойчивы.

В связи с этим, задание статистических характеристик, как и любой другой априорной информации должно проводится вручную, на основании не только вычисленных по скважинным данным статистических атрибутов, но и общего представления о геологическом строении и результатов тестовых запусков сейсмической инверсии с теми или другими параметрами для сейсмических трасс находящихся в области с известными акустическими параметрами.

6.3 Пример применения алгоритма с использованием априорной информации о статистических свойствах вертикального распределения акустических параметров.

В этом разделе мы рассмотрим пример использование описанного выше алгоритма. В качестве основы для модели акустических импедансов была взята каротажная запись скоростей продольных волн полученная в скважине ODP164_994, находящейся на восточном шельфе северной Америки и пробуренная в рамках программы ODP (Ocean drillling Program ).

Исходная каротажная запись приведена на рис. 6.3, на основании этой записи, так же как в главе 3, была рассчитана модель акустических импедансов и вычислена синтетическая сейсмическая трасса дополненная случайным шумом.

Рис. 6.3 Каротажная кривая скоростей продольных волн скважина ODP 164_994 После трасса была подвергнута обработке — деконволюции и полосовой фильтрации в диапазоне частот 5-60 Гц. Исходная трасса и обработанная приведены на рис. 6.4. В качестве априорной модели импедансов была использована исходная модель сглаженная в скользящем окне длиной 150 метров.

Сначала была решена задача в постановке 3.1, т.е в предположении независимого характера распределения акустических параметров — полученное

решение приведено на рис 6.5.

Рис 6.4 Синтетические сейсмические трассы, слева трасса до обработки, в середине после деконволюции , справа после деконволюции и полосовой фильтрации

Рис 6.5 Истинная модель (красным), априорная модель(зеленым), результат решение задачи сейсмической инверсии без учета корреляционных свойств среды(синим).

Как можно видеть из рис 6.5 полученное решение в целом соответствует истинной модели, но есть отличия - наибольшие отклонения найденного и истинного решения можно видеть в средней части модели в диапазоне глубин 150300 метров. На основании этого результата, а так же анализа волновой картины (рис 6.4)

Рис 6.6 Априорная модель изменения показателя Херста с глубиной.

и истиной модели были выделены три толщи, первая в интервале 0-125 метров, вторая 125-195 метров и третья 195-325 метров. Для этих трех интервалов был оценен характер убывания спектра мощности. На основании этого анализа построена модель изменения показателя Херста с глубиной приведенная на рис 6.6. Исходя из этой зависимости построена ковариационная матрица C (6.2) и обратная ей- ^ . Полученные величины использованы при решении задачи заданной системой уравнений 6.8. Параметры регуляризации выбраны такими же

как в предыдущем случае. Сопоставление полученного результата с учетом априорных данных о корреляционных свойствах разреза с истиной моделью приведены на рис 6.7.

О 100 200 300 400 500 600

т

Рис 6.7 Истинная модель (красным), априорная модель(зеленым), результат решение задачи сейсмической инверсии с учетом корреляционных свойств

среды(синим).

Сравнивая рисунок 6.7 и 6.5 можно отметить, что результат полученный с учетом корреляционных свойств ближе к истинной модели среды чем полученный без учета этой информации.

Как было сказано выше, при обработке реальных сейсмических разрезов априорная модель корреляционных свойств должна оцениваться на основе доступных скважинной информации, сейсмическим данным в районе скважины и их сопоставлении. В областях вдали от скважин априорная модель корреляционных свойств должна интерполироваться так же, как априорная модель акустических импедансов , согласно пикировкам опорных горизонтов и общему представлению о геологии района.

Возможность эффективного использование априорную информации о корреляционных свойствах среды представляется весьма важной, так как позволяет включить в процесс инверсии данные имеющие тесную связь с такими понятиями, как условия осадконакопления и литогенеза(Herrmann,2002).

Выводы к главе 6:

1. Доказано, что для сред описываемых обобщенным броуновским движением, или демонстрирующих любой другой тип корреляции между своими элементами, решение исходящие из принципа максимальной импульсности не может быть наиболее вероятным, и может быть уточнено.

2. В тоже время, предложить общие решение не опирающиеся ни на одну из гипотез о корреляционных свойствах среды не представляется возможным, по крайне мере, в контексте задачи одномерной инверсии после суммирования, так как в зависимости от принятой статистической гипотезы меняется оценка решения имеющего наибольшую априорную вероятность.

3. При наличии информации о корреляционных свойствах она может быть учтена при построении решения, в том числе при нестационарном по глубине характере изменения этих свойств.

4. Разработан и реализован метод позволяющий учитывать нестационарные по глубине оценки корреляционных свойств как априорную информацию. Опробование разработанного алгоритма на синтетических данных показывает, что использование информации подобного рода позволяет повысить точность прогноза акустических параметров разреза.

Заключение

Проведенная работа была посещена вопросам разработки алгоритмов прогнозирования акустических свойств разреза по материалам сейсмических исследований.

В первой части работы ставилась задача разработки алгоритма сейсмической инверсии, позволяющего прогнозировать наиболее вероятное решение исходя из имеющихся сейсмических данных и априорной модели акустических импедансов.

Поставленная задача была решена, было сформулировано и строго доказано ряд утверждений, из которых следует, что наиболее вероятное решение для сред с статистически независимыми параметрами находятся в минимуме функционалов заданных различными векторными нормами, при том порядок нормы связан со статистикой распределения значений Так вектор-решение удовлетворяющий всем априорным и экспериментальным данным, а так же минимальный в квадратичной норме, является наиболее вероятным решением в предположении нормального закона распределения значений параметра. Тоже, но минимальный в норма L1 — является наиболее вероятным для сред с экспоненциальным распределением параметров. Вектор-решение минимальное в норме L0 является наиболее вероятным при любом распределении значений параметра — и потому оптимально, но минимизация в этой норме не осуществима за приемлемое время.

Разработан оптимизационный алгоритм реализующий близкое приближение к оптимальному решению. Алгоритм показал хорошие результаты на синтетических данных, позволяет учитывать априорные данные в виде грубых и сглаженных моделей акустических импедансов, и строить устойчивые решения за счет использования различного рода техник регуляризации решений.

Так же на основе разработанного алгоритма был реализована программа

для обрабатывающей системы Prime3D, позволяющая расширить частотный диапазон сейсмической записи и повысить видимое разрешение, и метод обработки позволяющий использовать алгоритмы инверсии в процессе построения сейсмического изображения.

Во второй части работы рассматриваются среды для, которых не выполняется предположение о статистической независимости параметров, а именно среды описываемые, как реализации процесса обобщенного броуновского движения. Проведено математическое моделирование распространение нормально падающий плоской волны на пачку слоев в такой среде, с оценкой параметров смоделированных отраженных сигналов.

На основе проведенного моделирования показано, что несмотря на то, что среды с квазипериодическим - антиперсистентным строением генерируют большие количество энергии короткопериодных кратных волн чем персистентные и хаотичные среды, их суммарная энергия относительно мала по сравнению с энергией первичных отражений, и если пренебречь их рассмотрением при решении задачи инверсии то ошибка в оценке амплитуды сигнала и акустического импеданса будет менее 10 процентов — для квазипереодических сред, и стремится к нулюа для хаотических и персистентных сред.

Далее доказано, что для сред с коррелированными параметрами, в частности для сред имеющих квазипериодическое строение, максимально-импульсное решение, минимальное в одной из целочисленных норм , в том числе и в норме L0 не является наиболее априори вероятным. В частности для сред описываемых законом обобщенного броуновского движения наибольшей априорной вероятностью обладают решения минимальные в мере Махаланубиса, с ковариационной матрице соответствующей рассматриваемому процессу и характеру корреляции. Отсюда следует , что нельзя предложить функционал имеющий минимум в точке наиболее вероятного решения для любых коррелированых процессов, или даже для все процессов описываемых как

обобщенное броуновское движение. С другой стороны было показано, что при наличии информации о характере корреляции ее можно использовать, как априорные данные при построении решения задачи сейсмической инверсии. Таким образом была решена вторая задача, и достигнута цель работы — исследована возможность учета информации о коррелированном, в том числе квазипериодическом, распределении акустических параметров в задаче сейсмической инверсии и предложен метод и алгоритм позволяющий это сделать . Тестирование метода на синтетических данных построенных на основе реальной каротажной кривой и сейсмического импульса показало , что при правильном выборе корреляционной модели, он позволяет добиться повышения точности прогнозирования акустических свойств разреза, по сравнению с методом без учета этих данных.

Материалы приведенные в работе были представлены на двух международных конференциях. В Санкт-Петербурге в 2008 году, доклад на тему «Применение неортогональных разложений при изучении сейсмических границ», авторы Кузуб Н.А, Логинов А.К. И на конференции ГеоМодель в 2010 году, доклад на тему «инверсионные методы в обработке сесмических данных», авторы Логинов А.К, Фиников Д.Б: . Описание метода инверсии было опубликовано в журнале «вестник МГУ» за 2012 году в статье «Подход к решению задачи расширения Фурье спектра сейсмической записи.», авторы Логинов А.К, Фиников Д.Б. Часть из описанных исследований выполнена в рамках гранта от Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

Разработанные в настоящей работе алгоритмы и методы дают практически обоснование продолжению исследований в области статистики распределения акустических и упругих свойств, так как показывают возможность уточнения прогноза геофизических, а опосредовано, и геологических характеристик разреза за счет использования информации подобного рода.

Другим важным направлением в дальнейшей работе может быть разработка более общего алгоритма позволяющего производить инверсию до суммирования по сейсмограммам угловых сумм.