Исследование возбуждения волновода земля-ионосфера источниками, расположенными в случайно-неоднородной магнитоактивной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Белянский, Максим Анатольевич

• Белянский, Максим Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Белянский, Максим Анатольевич

Оглавление

Введение

Положения, выносимые на защиту, и структура диссертации

Тема исследования и обзор литературы

Обозначения и соглашения, принятые в диссертации

Глава 1. Физико-математическая постановка задачи распространения радиоволн в приземном волноводе с учетом его неоднородности по поперечной координате и анизотропии ионосферы

1.1. Аналитические методы решения волноводной задачи и задачи возбуждения приземного волновода различным образом ориентированными источниками

1.1.1. Волноводная задача для вертикального электрического диполя

1.1.2. Другие типы и ориентации излучателей в неоднородном по поперечной координате в анизотропном волноводе

1.2. Уравнение для адмиттанса и полей в анизотропной неоднородной ионосфере

1.3. Результаты численного расчёта радиальной компоненты электрического поля, возбуждаемой на поверхности Земли источниками, расположенными в анизотропной ионосфере

1.3.1. Соотношения для полей источников, расположенных в области применимости квазипродольной аппроксимации

1.3.2. Предварительные замечания и оценки, следующие из обобщенной теоремы взаимностей

1.3.3. Условия и результаты численных расчётов

1.4. Заключение и выводы из Главы 1

Глава 2. Плоские волны в случайно-неоднородных средах

2.1. Известные радиофизические подходы к описанию случайно-неоднородной ионосферы

2.2. Моделирование флуктуирующих сред с использованием дискретных представлений

2.2.1. Каноническое разложение Слуцкого-Пугачева и Карунена-Лоева

2.2.2. Выбор модели автокорреляционных функций для флуктуирующей плотности электронной концентрации

2.3. Моделирование случайно неоднородных сред с использованием разложения по белому шуму

2.3.1. Математическая формулировка задачи построения непрерывного канонического разложения

2.3.2. Нахождение спектральной плотности мощности случайного процесса

2.4. Вывод распределения Рэлея для модуля коэффициента отражения плоской волны от экваториальной плоскослоистой случайно-неоднородной ионосферы

2.5. Заключение и выводы из Главы 2

Глава 3. Моделирование отражения плоских волн от случайно-

неоднородных слоев изотропной ионосферной плазмы

3.1. Уравнение Риккати для коэффициента отражения от неоднородного слоя

3.2. Моделирование профилей электронной концентрации и учёт их случайной неоднородности

3.2.1. Слой Эпштейна

3.2.2. Линейный и экспоненциальный профили с учётом эффективной частоты столкновений электронов

3.3. Обсуждение результатов численных расчётов и выводы из Главы 3

Глава 4. Особенности возбуждения анизотропного неоднородного волновода Земля-ионосфера источниками, расположенными в случайно-неоднородной ионосфере

4.1. Ионосферные поля наземных источников

4.1.1. Электромагнитные поля, возбуждаемые в случайно-

неоднородной ионосфере наземным радиальным электрическим диполем

4.2. Возбуждение приземного волновода источниками, расположенными в нижней сильно флуктуирующей ионосфере

4.3. Эффективность возбуждения приземного волновода ионосферными источниками различных типов и ориентации

4.3.1. Параметры оценки эффективности

4.3.2. Эффективность возбуждения подспутниковой точки источниками, расположенными на спутниковых высотах

4.4. Выводы из Главы 4

Заключение

Приложение. К вопросу об эквивалентности канонических разложений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование возбуждения волновода земля-ионосфера источниками, расположенными в случайно-неоднородной магнитоактивной плазме»

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена применению метода канонического разложения к моделированию случайно-неоднородных сред для использования в задаче распространения радиоволн, возбуждаемых различным образом ориентированными электрическими и магнитными ионосферными источниками в сферическом приземном волноводе со случайно-неоднородной анизотропной верхней стенкой. Для решения задачи возбуждения околоземного пространства используется обобщённая теорема взаимности для магнитоактивных сред, которая позволяет перейти к задаче с источниками, расположенными в полости волновода Земля-ионосфера. В этом случае необходимо сшивать на нижней границе ионосферы решение двух отдельно рассматриваемых задач — волноводной и ионосферной.

Волноводная задача базируется на хорошо изученной задаче для вертикального электрического диполя, решение которой строится методом нормальных волн или зональных гармоник. Задача ионосферного распространения решается с помощью интегрирования устойчивых уравнений для матричного адмит-танса, описывающего отражательные характеристики ионосферы, и системы обыкновенных дифференциальных уравнений для касательных компонент полей. Особенностью этой работы является исследование проблемы распространения электромагнитных волн в случайно-неоднородной ионосфере.

Для описания флуктуации электронной плотности неоднородной ионосферы используется аппарат спектрально-ортогональных разложений, который позволяет аналитически задать в уравнениях Максвелла наличие ионосферных неоднородностей, вызванных флуктуацией электронной плотности. С этой целью для разных высот ионосферы рассмотрены автокорреляционные функции для случайного поля флуктуаций относительной электронной плотности и получено аналитическое представление случайного поля флуктуаций с конечным числом коэффициентов разложения.

Положения, выносимые на защиту, и структура диссертации

Положения, выносимые на защиту

• Использование метода канонического разложения случайного поля электронной концентрации в ионосфере возможно при постановке радиофизических задач, связанных с распространением и возбуждением СДВ радиоволн в случайно-неоднородных средах.

■ Физической природе флуктуаций электронной концентрации в среднеширот-ной ионосфере соответствует дискретно-волновая модель, полученная разложением по тригонометрическому базису, одновременно учитывающая как внутреннюю структуру, заданную автокорреляционной функцией, так и внешнюю структуру, определяемую плотностью флуктуаций. Параметры модели однозначно фиксируются выбором автокорреляционной функции и периодом разложения, связанным с характерными размерами неоднородности.

• При задании внутренней структуры флуктуаций в приближении периодического в среднем квадратическом случайного поля можно осуществить контроль точности модели с точки зрения учитываемой дисперсии флуктуаций.

• Возможно альтернативное разложение случайного поля флуктуаций по непрерывному спектру, однако такой подход не позволяет контролировать точность учёта энергетики случайного поля.

• При моделировании каноническим рядом случайно-неоднородной ионосферы относительные отличия модуля радиальной компоненты электрического поля, рассчитываемого на Земле, могут достигать для ночных условий распространения 100% от невозмущённого случая на широтах, где сильна анизотропия ионосферы.

Апробация работы. Основные материалы работы были были представлены на всероссийских конференциях и опубликованы в сборниках: ХЫ1

Военно-научная конференция, Секция №10, Тверь, 2013 г.; XXIII Всероссийская конференция по распространению радиоволн, Йошкар-Ола, 2011 г; Региональная XVI конференция по распространению радиоволн, Санкт-Петербург, 2010 г.; X Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург, 2006 г.; IX Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург, 2005 г.; Региональная IX конференция по распространению радиоволн, Санкт-Петербург, 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, опубликованы в работах:

Денисов А. В., Белянский М. А. Особенности моделирования случайно-неоднородной ионосферы в задаче о распространении радиоволн в околоземном пространстве // Известия Вузов — Приборостроение^. — 2014. — Т. 57, №3. —С. 13-17.

2. Денисов А. В., Белянский М. А. Моделирование случайно-неоднородных профилей ионосферной концентрации электронов с использованием спектрально-ортогональных канонических разложений // Электромагнитные волны и электронные системы 2. — 2014. — Т. 19, №5.

3. Денисов А. В., Белянский М. А. Отражение электромагнитных волн ТЕ поляризации от модели случайно-неоднородного слоя Эпштейна // Электромагнитные волны и электронные системы. — принято в публикацию в 2014 г.

4. Денисов А. В., Белянский М. А. Моделирование случайно-неоднородных сред с использованием канонического разложения по «квазибелому» шуму // Электромагнитные волны и электронные системы. — принято в публикацию в 2014 г.

'№908 в «Перечне российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук»

2№2181 в «Перечне...». Издание включено в международные базы цитирования

Кроме того по материалам диссертации опубликованы работы:

1. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Основные особенности структуры электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере низкочастотными приземными антеннами // Научно-технический вестник ИТМО3. — 2011. —№ 5(75). — С. 48-52.

2. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Основные особенности структуры электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере низкочастотными приземными антеннами. Результаты численных расчетов // Научно-технический вестник ИТМО. — 2011.— № 6(76). — С. 44-^8.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и Приложения. Диссертация содержит 159 страниц текста, 31 рисунок, 2 таблицы и список литературы из 155 наименований.

Первая глава носит информативный характер, в ней показан общий ход решения задачи возбуждения приземного волновода ионосферными источниками. Сначала рассматривается волноводная задача для вертикального электрического диполя, когда источник и приемник расположены в полости однородного волновода. Рассмотрен метод зональных гармоник и разложение по нормальным волнам. Задача решается в постановке анизотропной и неоднородной верхней стенки волноводного канала, нижняя стенка описывается однородной подстилающей поверхностью. Проведён переход к другим типам излучателей. Далее показано обобщение метода нормальных волн на случай неоднородного по продольной координате волновода. Задача ионосферного распространения радиоволн для случая анизотропной неоднородной среды и произвольно ориентированного геомагнитного поля решается методом матричного адмиттанса, который позволяет учесть «обыкновенное» и «необыкновенное» решения уравнений для полей в анизотропной среде. Задача возбуждения решается сшива-

З№1358 в «Перечне...»

нием непрерывных на границе раздела касательных компонент электрического (или магнитного) полей на нижней границе ионосферы и использованием обобщённой теоремы взаимности для анизотропных сред. Получены соотношения для компонент полей, которые выполняются при расположении источников в ионосфере в области применимости квазипродольной аппроксимации волн. Эти соотношения позволяют сделать оценки величины компонент полей на поверхности Земли при возбуждении их ионосферными электрическими и магнитными диполями различной ориентации. Для частот / = 5 -ь 25 кГц излучателей, различным образом ориентированных и расположенных на высотах Н = 50 ч- 500 км в ионосфере, приведены расчёты модуля радиальной компоненты электрического поля в области близкой к оси расположения источника Я = 100 км как для различных широт, так и для дневных и ночных условий распространения. Приведённые графики подтверждают приближенные оценки, полученные для источников, расположенных в области квазипродольной аппроксимации. Таким образом, в первой главе целиком построено решение для неоднородного по координатам г, в волновода, возбуждаемого источниками, расположенными в неоднородной анизотропной ионосфере с произвольной ориентацией геомагнитного поля.

Во второй главе описаны подходы к моделированию случайно-неоднородных сред, основанные на теории канонических разложений. Сделаны оценки физических предпосылок возникновения флуктуаций в среднеширотной ионосфере, на основании которых сформулированы условия построения канонического разложения случайного поля флуктуаций в виде ряда с небольшим числом членов. Задается структура элементарной неоднородности, которая определяется набором дисперсий случайных величин при базисных ортогональных функциях. Подобное задание позволяет описать внутреннюю структуру неоднородности в ионосфере. Затем вводится внешняя структура — интенсивность флуктуаций (количество флуктуаций на рассматриваемом интервале). Для стационарной модели с гауссовским

законом распределения флуктуаций электронной концентрации показано, что для квазиузкополосных флуктуаций возможно построение канонического ряда с конечным, причём с небольшим, числом членов. Обоснован период разложения, который однозначно связан с характерным размером элементарной флуктуации и параметрами автокорреляционной функции. Для предложенных автокорреляционных функций показан выбор оптимального (с точки зрения минимизации учитываемых членов) канонического ряда. Ионосфера задана как случайно-неоднородная среда с двумя областями высот, обладающими неод-нородностями разных характерных размеров. В нижней области произведен учёт мелкомасштабного характера случайных флуктуаций.

Далее рассмотрен другой метод моделирования — разложение по непрерывному спектру. В предположении, что число флуктуаций велико на рассматриваемом промежутке, а каждый всплеск — гауссовский случайный процесс, и при этом мы допускаем возможность наслаиваться всплескам друг на друга, показано, что такой случайный процесс можно моделировать на всём промежутке с помощью белого шума.

С использованием метода канонического разложения в высокочастотном приближении для задачи о падении плоской волны получено распределение Рэ-лея для модуля коэффициента отражения.

В третьей главе построено решение уравнения Риккати для коэффициента отражения от изотропной ионосферы плоских волн ТМ и ТЕ поляризации. Приводятся расчёты коэффициента отражения для слоя, диэлектрическая проницаемость которого задана в виде суммы детерминированной составляющей, определяемой профилем Эпштейна, и флуктуирующей добавки. Для нормального падения и изотропной среды анализируется поведение коэффициента отражения от интенсивности элементарных флуктуаций в слое. Далее осуществлён переход к простым моделям ионосферы на уровне формализма магнито-ионной теории, когда учитывается эффективная частота столкновений электронов, а профиль электронной концентрации содержит случайную добавку.

В главе 4 рассмотренные в предыдущих разделах методы моделирования случайных неоднородностей электронной плотности применяются для построения решения задачи возбуждения различными по типу и ориентации ионосферными источниками радиоволн в приземном канале с анизотропной слоисто-неоднородной флуктуирующей средой. Приведены численные результаты расчёта поправок для полей вертикального электрического диполя, возбуждаемые в нижней ионосфере. Рассмотрены статистические характеристики и относительные отличия для ведущей моды радиальной компоненты электрического поля на частоте 25 кГц для источников, расположенных во флуктуиру-щей ионосфере. В качестве прикладной задачи оценены коэффициенты относительной эффективности для различным образом ориентированных электрических и магнитных источников, расположенных в нижней ионосфере.

Приложение посвящено математическому обоснованию эквивалентности методов канонического разложения для рассматриваемого случая. Показано, что для выбранного класса автокорреляционных функций и симметричного интервала разложения, выполняется точное равенство собственных значений уравнения Карунена-Лоева элементарным дисперсиям, которые являются коэффициентами разложения в ряд Фурье по методу В. С. Пугачёва. В этом случае собственные функции задачи Карунена-Лоева совпадают с выбранным базисом разложения.

Тема исследования и обзор литературы

В настоящей диссертационной работе рассматривается задача из теории распространения СНЧ и ОНЧ радиоволн. Приземное пространство в данном случае представляет собой сферический волноводный канал с анизотропной (вследствие наличия геомагнитного поля) верхней стенкой. Источники полей — вертикальные и горизонтальные электрические и магнитные диполи — расположены в ионосфере на высотах 50 500 км от поверхности Земли.

Роль Земли и ионосферы сводится к образованию полости, в которой про-

исходит распространение радиоволн. Нижней стенкой волноводного канала является шар с диэлектрической проницаемостью и проводимостью сферически-слоистыми по глубине и горизонтальной неоднородностью. Верхней стенкой волновода является ионосфера, характеризуемая комплексным тензором диэлектрической проницаемости £'т{г), который непрерывно зависит от высоты, начиная от земной поверхности. Электрические свойства ионосферы около поверхности Земли близки к свойствам вакуума, что образует между Землёй и ионосферой полость порядка 40 — 70 км со свойствами свободного пространства. Конкретные высоты полости зависят от частоты источника и вертикального профиля комплексной тензорной диэлектрической проницаемости над рассматриваемой точкой на земной поверхности.

В диссертационной работе и обзоре литературы ограничимся такими расстояниями (от 100 км) и положением корреспондирующих пунктов (вблизи поверхности Земли и в нижней ионосфере), при которых следует учитывать свойства ионосферы, и проявляется волноводный механизм распространения.

Волновод Земля-ионосфера из многомодового становится одномодовым на частотах ниже 1 кГц. Под термином «одномодовый волновод» мы понимаем волновод, в котором только одна распространяющаяся волна, а остальные волны — местные. Волновод такого типа является тонким и характеризуется условием кк <С 1, где к — волновое число, а к — эффективная высота полости.

Теория распространения радиоволн в приземном волноводе — часть теории распространения волн в слоистых средах [1,2], но она имееет свою специфику. Начало математической теории распространения радиоволн вокруг земной поверхности было положено работами Г. Ватсона [3, 4], который рассмотрел задачу об электромагнитном поле вертикального электрического диполя в полости, ограниченной однородной (в электрическом отношении) Землёй и однородной проводящей ионосферой, расположенной выше некоторой высоты к. Задача решалась путём построения рядов Дебая для вертикальной компоненты потенциала Герца, дальнейшего получения для него интегрального представ-

ления с помощью преобразования Ватсона [4] и последующим вычислением интеграла по вычетам, что даёт разложение электромагнитного поля по нормальным волнам.

В случае плоского волновода задача впервые была рассмотрена Р. Вейри-хом [5]. В плоском волноводе, ограниченном двумя идеально проводящими плоскостями, электромагнитное поле от вертикального электрического диполя находилось через вертикальный вектор Герца, который, с учётом азимутальной симметрии поля, представляется интегралом в полубесконечных пределах, содержащим функцию Бесселя нулевого значка [6].

Развитие этих подходов к задачам распространения над плоской (задача Зоммерфельда) и сферической Землёй (задача Фока о дифракции радиоволн над сферической однородной поверхностью [7]) нашло своё отражение в работах Г. И. Макарова, который начал с обобщения случая неоднородной по глубине Земли (см. литературу к работе [8]). При рассмотрении задачи возбуждения приземного волновода волноводными и ионосферными источниками мы опирались на работы, описывающие распространение в плоском [9, 10, 11] и сферическом [12] волноводных каналах для импедансных граничных условий, которые учитывают слоистую структуру поверхности. А также на работы, посвященные приземному волноводу с анизотропной неоднородной ионосферой [13, 14, 15, 16, 17].

Импедансы ионосферы и Земли позволяют сузить интервал рассмотрения задачи о распространении радиоволн до вакуумного промежутка между поверхностью Земли и нижней границей ионосферы. С помощью вариационного метода моментов в [12] получены простые аналитические формулы для собственных чисел, благодаря чему удалось описать закономерности их поведения для сферического импедансного волновода.

В приземном пространстве на расстояниях по Земле от источника свыше нескольких тысяч километров электромагнитные поля в диапазоне СДВ с высокой точностью описываются суммой начальных членов ряда нормальных волн.

Ряд нормальных волн и интеграл по сплошному спектру описывают все механизмы распространения, в том числе подземного и внутриионосферного. Последним механизмам отвечают поля, испытывающие значительное затухание по сравнению с волнами волноводного типа.

Строгое решение задачи распространения над открытой сферой, описанное в работе [18], оказывается довольно сложным и от него целесообразно перейти к приближенному: пренебречь боковой волной и волнами волноводного типа, которые распространяются в хорошо проводящей Земле и испытывают значительное затухание по сравнению с пространственной и поверхностной волнами. Было показано, что неоднородность Земли по глубине может существенно влиять на структуру решения и на характеристики электромагнитного поля.

Наличие неоднородности и анизотропии верхней стенки волновода приводит к эффектам, которые не учитывает теория волноводов с идеально проводящими стенками — к примеру, вырождение нормальных волн, или учёт частичного перехода поперечно-электрического в поперечно-магнитное поле и наоборот при отражении от анизотропной стенки. Как показано в [19, 20] и монографии [21], явление вырождения собственных значений может оказывать заметное влияние на распространение волн диапазона СДВ.

В работе [21] изложены схемы решения, применяемые для задач распространения в сферическом волноводном канале при учёте анизотропии и неоднородности ионосферы. В монографии обобщаются методы нормальных волн и зональных гармоник, предложенные ранее для открытой сферы [18]. Разложение по нормальным волнам эквивалентно разложению по нитевидным источникам. Вдоль каждой нити амплитуда источника распределена по закону, пропорциональному сферическому аналогу функции Ханкеля первого рода. Поэтому ряд нормальных волн обладает хорошей сходимостью только вдали от оси расположения источника. Отдельная зональная гармоника возбуждается распределенным по поверхности г = Ь источником, который в свою очередь описывается на этой сферической поверхности функцией Лежандра Рт(собА). Характер

этого источника таков, что он освещает всю поверхность Земли. Поэтому в тех случаях, когда существенна дифракция, имеет место плохая сходимость ряда зональных гармоник. Проблема расчёта полей, связанная с особенностью нормальных волн в области близкой к подспутниковой точке, снимается использованием асимптотических приближений функций Лежандра. Другой (численный, а не асимптотический) метод подхода к оси расположения источника предложен в [22].

Следует отметить, что сотрудниками кафедры радиофизики СПбГУ помимо ряда нормальных волн и ряда зональных гармоник для исследования вол-новодных задач использовалась и другая форма решения — ряд многократно отражённых волн (скачков) [23, 24, 25]. Но при удалении точки наблюдения по земной поверхности от источника в сферическом волноводе скачки превращаются в дифракционные и их вычисление затруднено, что ограничивает по расстоянию применения метода.

Менее изучено распространение волн в нерегулярных анизотропных волноводах. Наибольшие трудности возникают при исследовании сферического анизотропного волновода, так как даже в случае не зависящих от угловых координат параметров волновода переменные в уравнениях Максвелла разделяются при радиальном внешнем магнитном поле [26], либо если влияние ионосферы учитывается с помощью анизотропных импедансных граничных условий [27]. При произвольном внешнем магнитном поле и параметрах волновода, не зависящих от угловой координаты, уравнения Максвелла в [28] приближенно сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решена в диагональном приближении, не учитывающем преобразование нормальных волн. Преобразование нормальных волн в кусочно-регулярных анизотропных волноводах исследовалось в [29, 30, 31, 32] методом сшивания.

Наиболее общим методом исследования полей в нерегулярных волноводах с непрерывно меняющимися параметрами является метод поперечных сечений [33], естественным образом обобщающий метод нормальных волн. В ра-

боте [34] метод поперечных сечений применён к решению задачи о возбуждении вертикальным электрическим диполем сферического анизотропного нерегулярного волновода. Уравнения Максвелла сводятся к краевой задаче для поперечных по отношению к координате 0 компонент электромагнитного поля. Решение этой задачи строится в виде ряда по собственным функциям поперечного оператора, которые удовлетворяют условию ортогональности, аналогичному тому же, что и для поперечных компонент в анизотропных волноводах с прямолинейной осью [35, 36, 37, 38]. Решение для поперечного оператора эквивалентно решению системы четырёх уравнений первого порядка для касательных к ионосфере компонент поля, полученной в [39, 40, 41] методом асимптотического разделения переменных в уравнениях Максвелла. Построение решения этой системы сводится к интегрированию уравнения Риккати для матричного импеданса [39, 42] и системы двух уравнений первого порядка для полей [40, 41].

Проблема определения ионосферных полей требует отдельного обсуждения. Теория распространения волн в плазме изложена в книге [43] и работах тех же авторов [44, 45, 46], где сформулированы основные особенности структуры электромагнитных полей, возбуждаемых в ионосфере короткой линейной антенной и малой рамкой с током. Ионосфера считается однородной магни-тоактивной плазмой со столкновениями. Решение строится с помощью аппарата тензорных функций Грина. Получены важные качественные оценки, которые показывают, что влиянием ионов на низкочастотные электромагнитные поля как в дневной, так и в ночной ионосфере можно пренебречь на высотах 60 -г- 90 км, а на высотах 100 -г 500 км — на частотах больших 10 — 20 кГц.

Правило преобразования коэффициента отражения плоской волны от плоскослоистой плазмы при изменении направления внешнего магнитного поля, параллельной границе раздела сред и лежащей в плоскости падения, получено в [42]. Аналогичные соотношения для коэффициентов прохождения в той же ситуации получены в [47, 48]. В [49] постоянное магнитное поле рассматри-

вается как горизонтальное и поперечное направлению распространения волн. Для ОНЧ диапазона показано, что резкий градиент электронной концентрации обычно приводят к значительным коэффициентами отражения.

При рассмотрении нашей задачи важно получить отражательные характеристики верхней стенки волновода. Поэтому задача распространения в ионосфере решалась с помощью асимптотического разделения переменных в уравнениях Максвелла для сферически-слоистой анизотропной среды с произвольной ориентацией геомагнитного поля, общий ход решения изложен в публикациях [50, 51]. Тогда решение сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений, по форме совпадающей с системой, описывающей прохождение плоских волн через однородные среды.

В работах К. Баддена [52,53] получена система четырёх дифференциальных уравнений первого порядка для касательных компонент полей. В правую часть системы обыкновенных дифференциальных уравнений входит параметр, имеющий смысл синуса комплексного угла падения волны на ионосферу. Матрица правой части определена тензором комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы. Эту систему уравнений необходимо интегрировать в направлении от верхней границы существенной области до нижней (начало ионосферного профиля). На верхней границе для «обыкновенного» и «необыкновенного» решений задаются тангенциальные составляющие поля, рассчитываемые в приближении Вентцеля-Краммерса-Бриллюэна (\\ТСВ). При этом в рассматриваемой задаче возникают погрешности, обусловленные тем, что затухание «обыкновенной» и «необыкновенной» волны при распространении в ионосфере сильно отличается друг от друга. Устойчивым является лишь то решение, которое убывает с ростом вертикальной (радиальной) координаты г. Решение для волны, проникающей в ионосферу, неустойчиво вследствие неточности задания начальных данных на верхней границе. В нем присутствует первое решение, роль которого растет с приближением к нижней границе области интегрирования. Таким образом, задача распространения и отражения от границы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белянский, Максим Анатольевич, 2014 год

Литература

1. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 343 с.

2. WaitJ. R. Electromagnetic waves in stratified media. — Pergamon Press, 1962.

— 372 pp.

3. Watson G. N. The Transmission of Electric Waves round the Earth // Proc. Roy. Soc. — 1919. — Vol. 95, no. 673. — Pp. 546-563.

4. Watson G. N. The Difraction of Electric Waves by the Earth // Proc. Roy. Soc.

— 1918. — Vol. 95, no. 666. — Pp. 83-99.

5. Weyrich R. Zur Theorie der Ausbreitung electromagnischer Wellen längs der Erdoberfläche II Annalen Der Physik. — 1928. — Vol. 85, no. fünftes Heft. — Pp. 552-580.

6. Янке А., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968. — 344 с.

7. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, Изд. 2-е. — М.: ЛКИ, 2007. — 520 с.

8. Макаров Г. И., Новиков В. В. Распространение низкочастотных электромагнитных волн над земной поверхностью и в волноводном канале Земля

— ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 2000.

— №28. — С. 18-58.

9. Макаров Г. И., Новиков В. В. Распространение электромагнитных волн в импедансных плоском и сферическом волноводах. Часть 1. Построение решения // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1968. — №7. — С. 19-33.

10. Макаров Г. П., Новиков В. В. Распространение электромагнитных волн в импедансных плоском и сферическом волноводах. Часть 2. Распростране-

ние в плоском импедансном волноводе // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1968. — № 7. — С. 34-65.

11. Бичуцкая Т. Н, Новиков В. В. Динамика собственных значений нормальных волн плоского волновода с импедансными стенками // Изв. вузов — Радиофизика. — 1975. — Т. XVIII, № 1. _ с. 108-119.

12. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн в сферическом импедансном волноводе. Часть III // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1969. — № 9. — С. 3—64.

13. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля точечных диполей в волноводе Земля-ионосфера // Изв. вузов — Радиофизика. — 1985. — Т. XXVIII, №4. — С. 407^115.

14. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля ионосферных точечных диполей в волноводе Земля-ионосфера // Изв. вузов — Радиофизика. — 1985. — Т. XXVIII, № 6. — С. 703-711.

15. Рыбачек С. Т. Возбуждение волновода Земля-ионосфера ОНЧ излучателями, расположенными в нижней ионосфере и на спутниковых высотах // Электромагнитные волны и электронные системы. — 1999. — Т. 4, № 1. — С. 53-70.

16. Русева Э. Р., Кириллов В. В., Рыбачек С. Т. Волноводное распространение сверхдлинных волн. Сравнение сферической и плоской моделей И Геомагнетизм и аэрономия. — 1968. — Т. 8, № 1. — С. 62—71.

17. Galejs J. Terrestrial propagation of long electromagnetic waves. — Perg. Press, 1972. — 362 pp.

18. Макаров Г. К, Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. — М.: Наука, 1991. — 150 с.

19. Герасимов С. И. Исследование закономерностей трансэкваториального распространения СДВ, связанных с эффектом двукратного вырождения: Дис... канд. ф.-м. наук / ЛГУ. — 1990. — 126 с.

20. Макаров Г. И., Новиков В. В. Поверхностные и вырожденные волны в задачах распространения радиоволн // Радиотехника и электроника. — 2000. — Т. 45, № 9. — С. 1029-1036.

21. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение радиоволн в волноводном канале земля - ионосфера и в ионосфере. — М.: Наука, 1993.— 150 с.

22. Ромаданов В. М., Лутченко Л. Н. Численное моделирование распространения электромагнитных волн СДВ-диапазона в волноводном канале Земля-ионосфера в ближней области источника // Вестник СПбГУ. — 2011. — Т. 4, № 2. — С. 76-87.

23. Макаров Г. И., Федорова Л. А. О методе многократно отраженных волн // Изв. вузов —Радиофизика. — 1978. — Т. XXI, № 10. — С. 1424-1433.

24. Макаров Г. И., Федорова Л. А. К обоснованию метода многократно отраженных волн в случае цилиндрического волновода // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1981. — № 18. — С. 3—28.

25. Макаров Г. И., Федорова Л. А. Метод многократно отраженных волн в задаче о распространении электромагнитных волн в регулярных волноводах // Изв. вузов — Радиофизика. — 1982. — Т. XXV, № 12. — С. 1384-1409.

26. Краснушкин П. Е., Яблочкин Н. А. Теория распространения сверхдлинных волн. — М., 1955, — 93 с.

27. WaitJ. R. The mode theory of VLF radio propagation for a spherical Earth and a concentric anisotropic ionosphere // Cañad. J. Phys. — 1963. — Vol. 41,

no. 2. —Pp. 299-316.

28. Краснушкин П. E. Метод решения общей краевой задачи распространения длинных и сверхдлинных радиоволн вокруг Земли // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 171, № 1. — С. 61-64.

29. Galej J. VLF propagation across discontinuous day-time to night-time transitions in anisotropic terrestrial waveguide // Antennas and Propag. — 1971. — Vol. 19, no. 6. — Pp. 756-762.

30. Pappert R. A., Morfitt D. G. Theoretical and experimental sunrise mode conversion results at VLF // Radio Sci. — 1975. — Vol. 10, no. 5. — Pp. 537-546.

31. Smith R. Mode conversion coefficients in the Earth-ionosphere waveguide for VLF propagation below a horizontally stratified anizotropic ionosphere // J. Aim. and Terr. Phys. — 1977. — Vol. 39, no. 4. — Pp. 539-543.

32. ОсадчийА. Ф., РеменецГ. Ф. Особенности перевозбуждения нормальных волн СДВ-диапазона в нерегуярном волноводном канале Земля — магни-тоактивная ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1979. — № 17. — С. 141-148.

33. Каценеленбаум Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М., 1961. — 216 с.

34. Авдеев А. Д. Метод поперечных сечений в теории распространения СДВ в нерегулярно волноводе Земля — анизотропная ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1983. — № 19. — С. 75—105.

35. Bresler A. D., Joshi G. Н. Orthogonality properties for modes in passive and active uniform waveguide // J. Appl. Phys. — 1958. — Vol. 29, no. 2. — Pp. 794-799.

36. Villeneuve A. Т. Orthogonality relationships for waveguide and cavities with inhomogeneous anizotropic media II IRE Trans. Microwave Theory and Techn.

— 1959. — Vol. MTT-7, no. 4. — Pp. 441^146.

37. Mclsaac P. R. A general reciprocity theorem // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. — 1979. — Vol. 27, no. 4. — Pp. 340-342.

38. Панчепко В. А., Смирнов E. П. Обобщенное соотношение ортогональности для волноводов с анизотропным заполнением // Радиотехника и электроника. — 1979. — Т. 24, № 5. — С. 1066-1070.

39. Краснушкин 77. Е., Байбулатов Р. Б. Вычисление волновых чисел нормальных волн в сферически-слоистых средах методом пересчета импеданса II Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 182, № 1. — С. 294-297.

40. Краснушкин П. Е., Байбулатов Р. Б. Вычисление коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн для сферически-слоистого анизотропного слоя методом пересчета импеданса и полей // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 188, № 2. — С. 300-303.

41. Краснушкин П. Е., Федоров Е. Н. Эффекты магнитного поля Земли в волноводе Земля-нижняя ионосфера // Радиотехника и электроника. — 1973. — Т. 18, № 1. — С. 9-18.

42. Barron D. W., G. Budden К. The numerical solution of differential equation governing the reflection of long radio waves from ionosphere III // Proc. Roy. Soc. — 1959. — Vol. A249, no. 1258. — Pp. 378-401.

43. Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля элементарных излучателей в магнитоактивной плазме. — СПб.: Издательство СПбГУ, 1998.

— 120 с.

44. Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля короткой линейной антенны в однородной анизотропной среде // Изв. вузов — Радиофизика.

— 1988. — Т. XXXI, № 8. — С. 1006-1009.

45. Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Ближнее и дальнее поле короткой линейной антенны в однородной анизотропной среде II Проблемы дифракции и распространения волн. — 1989. — № 22. — С. 10-27.

46. Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля элементарных излучателей в однородной анизотропной плазме // Геомагнетизм и аэрономия.

— 1990. — Т. 30, № 2. — С. 227-235.

47. Altman С., Suchy К. Eigenmode scattering relation for plane-stratified gyrotropic media // Appl. Phys. — 1979. — Vol. 19, no. 2. — Pp. 213-219.

48. Altman C., Suchy K. Generalization of scattering theorem for plane-stratified gyrotropic media // Appl. Phys. — 1979. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 337-343.

49. Wait J. R., Walters L. C. Reflection of Electromagnetic Waves from a Lossy Magnetoplasma// Radio Science. — 1964. — Vol. 68 D, no. 1.

50. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Основные особенности структуры электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере низкочастотными приземными антеннами // Научно-технический вестник ИТМО. — 2011.

— № 5(75). — С. 48-52.

51. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Основные особенности структуры электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере низкочастотными приземными антеннами. Результаты численных расчетов // Научно-технический вестник ИТМО. — 2011. — № 6(76). — С. 44-48.

52. Budden К. G. The numerical solution of differential equations governing reflection of long radio waves from the ionosphere II // Proc. Roy. Soc. — 1955. — Vol. 255, no. 1171. — Pp. 516-437.

53. Budden К. G. Radiowaves in the ionosphere. — Cambridge University Press, 1961. — 542 pp.

54. Гавршова H. С., Кириллов В. В. Распространение СДВ. Расчет коэффициентов отражения плоских волн от неоднородной анизотропной плазмы // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1966. — № 5.

— С. 31-60.

55. WaitJ. R., Walters L. С. Reflection ofVLF radio waves from an inhomogeneous ionosphere II. Pertrubed exponential model II Radio Science. — 1963. — Vol. 67 D, no. 5, — Pp. 519-523.

56. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля плоской волны в неоднородной анизотропной ионосфере // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1981. —№ 18, — С. 221-237.

57. Аксёнов В. П., Назарова М. В. Численное решение задачи о прохождении электромагнитных волн через плоскослоистую анизотропную плазму // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1973. — № 12. — С. 51-48.

58. Pittway М. L. V, Jaspersen J. L. A numerical study of the excitation, internal reflection and limiting polarization of whistler wave in the lower ionosphere // Terr. Phys. — 1966. — Vol. 28. — Pp. 17-43.

59. Budden K. G. The wave-guide mode theory of wave propagation. — London: Logos press, 1966. — 325 pp.

60. Pappert R. A., Moler W. F. Propagation Theory and Calculations at Lower Extremaly Low Frequences (ELF) //IEEE Trans, on Communications. — 1974.

— Vol. 22, no. 4. — Pp. 437-451.

61. ГалюкЮ. П., Иванов В. И. Определение характеристик распространения СДВ-полей в волноводном канале Земля — неоднородная по высоте ани-

зотропная ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1978. —№ 16, — С. 148-153.

62. Кириллов В. В., Проскурин Ю. П. Определение отражательных характеристик СДВ-волн с использованием бивектора // Тез. докл. 12-го Межвед. семинара по распространению километровых и более длинных радиоволн. — 1986, — С. 13-15.

63. Рашевский Н. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967. — 664 с.

64. Кляцкин В. И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. — Новосибирск: Наука, 1975. — 240 с.

65. Филипп Н. Д. Рассеяние радиоволн анизотропной ионосферой. — Кишинёв: Изд-во «Штиинца», 1974. — 188 с.

66. Deeks D. G. D-region electron distributions in middle latitudes deduced from the reflection of long radio waves // Proc. Res. Soc. — 1966. — Vol. 291. — Pp. 413-437.

67. Байбуллатов P. Б., Краснушкин П. E. Определение дневного профиля электронной концентрации слоев D и С ионосферы по измерениям наземных полей сверхдлинных радиоволн по профилю атмосферного давления // Геомагнетизм и аэрономия. — 1966. — Т. VT, № 6. — С. 1051—1060.

68. Bain W. С., May В. R. D-region electron-density distributions from propagation data // Proc. IEE. — 1967. — Vol. 114, no. 11. — Pp. 1593-1597.

69. Thomas L., Harrison M. D. The electron density distributions in the D-region during the night and pre-sunrise period // J. Atmos. Terr. Phys. — 1970. — Vol. 32, —Pp. 1-14.

70. Краснушкин П. Е., Князева Т. А. Суточные, сезонные и 11-летние изменения профиля электронной концентрации нижней ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. — 1970. — Т. 10, № 6. — С. 993-1002.

71. Орлов А. Б., Пронин А. Е., Уваров А. Н. Моделирование профилей электронной концентрации нижней ионосферы по данным распространения СДВ // Проблемы дифркации и распространения волн. — 2000. — Т. 28. — С. 83-114.

72. Прогнозирование СДВ-полей при ВИВ и в послебуревые периоды / Г. В. Азарнин, Ю. В. Кашпар, В. П. Кищук, и др. // Тез. докл. XVII конф. по распр. радиоволн (секция 8). — 1993. — С. 79-82.

73. Прогнозирование СДВ-полей при солнечно-протонных событиях, внезапных ионосферных возмущениях и в послебуревые периоды / Г. В. Азарнин, А. Б. Орлов, А. Е. Пронин, и др. // Проблемы дифркации и распространения волн. — 1997. — Т. 27. — С. 77-90.

74. Орлов А. Б., Пронин А. Е., Уваров А. Н. Широтная зависимость эффективного коэффициента потерь для дневной нижней ионосферы по данным о фазовых вариациях ОНЧ-полей и о риометрическом поглощении во время ВИВ //Геомагненитзм и аэрономия. — 1998. — Т. 38, № 3. — С. 102—110.

75. Орлов А. Б., Пронин А. Е., Уваров А. Н. Моделирование эффектов внезапных ионосферных возмущений в нижней ионосфере по данным о распространении СДВ. Космическая радиофизика // Электромагнитные волны и электронные системы. — 1998. — Т. 3 (Приложение). — С. 26-32.

76. The generalisation of Rytov's method to the case of inhomogeneous media and HF propagation and scattering in the ionosphere / V. V. Zernov, V. E. Germ, N. Yu. Zaalov, A. V. Nikitin // Radio Sei. — 1998. — Vol. 27. — Pp. 235-244.

77. Zernov N. N., Lundborg B. An integral representation of the wave field in inhomogeneous media in terms of diffacting componene waves // Radio Sci.

— 1996. — Vol. 31. — Pp. 67-80.

78. Zernov N. N., Lundborg B. The influence of ionospheric electrondensity fluctuations on HF pulse propagation // J. Atmospheric and Terrestrial Phys.

— 1995. — Vol. 57. — Pp. 65-73.

79. Germ V. E., Zernov N. N. Scattering function of the fluctuating ionosphere in the HF band // Radio Sci. — 1998. — Vol. 33. — Pp. 1019-1033.

80. Ахмедов P. P. Численное моделирование генерации акустико-гравитационных волн и ионосферных возмущений от наземных и атмосферных источников: Дис... канд. ф.-м. наук / МГУ. — 2004.

81. Загороднюк С. М., Л. Клёц. Применение подхода А.Н. Колмогорова при изучении случайных последовательностей, связанных с ортогональными многочленами // Вестник Харьковского наг^ионалъного университета им. В.Н. Каразина. Сер. «Математика, прикладная математика и механика». — 2008. — Т. 826. — С. 3-37.

82. Обухов А. М. О статистических ортогональных разложениях эмпирических функций // Известия АН СССР. — 1960. — Т. Сер.Геофизическая.

— С. 432-439.

83. Excitation of artificial airglow by high power radio waves from the «Sura» ionospheric heating facility / P. A. Bernhart, W. A. Scales, S. M. Grash et al. // Geophys. Res. Letters. — 1991. — Vol. 18, no. 8. — Pp. 1477-1480.

84. Соловьев О. В. Распространение низкочастотных радиоволн в возмущенном трехмерной крупномасштабной неоднородностью приземном волноводе // Изв. вузов — Радиофизика. — 1998. — Т. XLI, № 5. — С. 588-601.

85. Соловьев О. В. Деполяризация электромагнитного поля в локально неоднородном приземном волноводном канале // Изв. вузов — Радиофизика.

— 2000. — T. XLIII, № 4. — С. 617-629.

86. Коган Л. П. О методе виртуальных источников в волноводе земля-ионосфера с неоднородностью высоты верхней стенки // Изв. вузов — Радиофизика. — 2000. — T. XLITI, № 4. — С. 296-303.

87. Коган Л. П. О распространении волн в плоском волноводе Земля-ионосфера со скачкообразным изменением импеданса нижней стенки // Изв. вузов — Радиофизика. — 1998. — T. XLI, № 5. — с. 567-580.

88. Денисов А. В., Белянский М. А. Новый подход к выводу распределения Рэлея для модуля коэффициента рассеяния плоской волны от экваториальной плоскослоистой случайно неоднородной ионосферы // Труды XLII Военно-научной конференции. — 2013. — № Секция 10. — С. 112—116.

89. RatcliffeJ. A. Magneto-ionic theory. — Cambridge University Press, 1959. — 206 pp.

90. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — M.: Наука, 1976. — 684 с.

91. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. — Л.: ВКАС, 1949. — 426 с.

92. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 5. — М.: Физматгиз, 1959.

— 655 с.

93. Love А. Е. И. Electric-wave transmission over Earth surface // Philos. Trans. Roy. Soc. A. — 1915. —Vol. 215. —Pp. 105-131.

94. Макаров Г. И., Осипов А. В. Исследование спектрального разложения функции Грина в задаче дифракции волн на проводящем шаре // Пробле-

мы дифракции и распространения волн. — 1987. — № 21. — С. 3-18.

95. ZennekJ. Uber die Fortflanzung ebener elektromagnitiscier Wellen langs einer ebenen Leitflache und ihre Beziehung zur drahtlosen Telegraphie II Ann. Phys.

— 1907. — Vol. 23. — Pp. 846-866.

96. Франк Ф., Мизес P. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Ч. 2. — М.: Гостехиздат, 1937. — 998 с.

97. Макаров Г. И., Рыжков А. В. Задача распространения электромагнитных волн на проводящем шаре и исследование спектральных характеристик поля // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1977. — № 15.

— С. 3-26.

98. Иванов В. И., Рыбачек С. Т., Сенина В. Л. Электромагнитные поля, возбуждаемые в анизотропной ионосфере электрическими и магнитными диполями произвольной ориентации, расположенными в нерегулярном волноводе Земля-ионосфера // Вестник СПбГУ. Сер. 4: Физика, Химия. — 1996. —Т. 1, № 4. — С. 31—45.

99. RybachekS. Т., Ivanov VI., Senina V. L. Ionospheric fields excited by sources located in the Earth-ionosphere irregular waveguide II Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. — 1997. — Vol. 59, no. 1. — Pp. 139-149.

100. RybachekS. Т., Ivanov V. I., Senina V. L. Excitation of the Earth-ionosphere irregular waveguide by sources located in an anisotropic ionosphere II Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. — 1997. — Vol. 59, no. 5. — Pp. 561-567.

101. Лебедев H. H. Специальные функции и их приложения. 3-е изд., стер. — СПб: Лань, 2010. — 368 с.

102. Эмпирические модели среднеширотной ионосферы / М. Н. Фаткуллин, Т. И. Зеленова, В. К. Козлов и др. — М.: Наука, 1981. — 256 с.

103. Wait J. R. Terrestrial Propagation of Very-Low-Frequency Radio Waves // Radio Science J. Res. NBS. — 1960. — Vol. 64D, no. 2. — Pp. 153-204.

104. Galejs J. ELF and VLF waves below an inhomogeneous anisotropic ionosphere II J. Res. NBS. — 1964. — Vol. 68D, no. 6. — Pp. 693-707.

105. Galejs J. Propagation of VLF waves below an anisotropic ionosphere with a Transverse Static Magnetic Field // Radio Science. — 1967. — Vol. 2, no. 6. — Pp. 557-574.

106. Galejs J. Propagation of ELF and VLF waves below an anisotropic ionosphere with a Dipping Static Magnetic Field II J. Geophys. Res. — 1968. — Vol. 73, no. 1. — Pp. 339-352.

107. Galejs J. ELF and VLF propagation for models of perturbed ionosphere // Radio Science. — 1970. — Vol. 5, no. 7. — Pp. 1041-1044.

108. Budden K. G. The «Waveguide Mode» Theory of the Propagation of Very-Low-Frequency Radio Waves // Proc. IRE. — 1955. — Vol. 45, no. 6. — Pp. 112-11 A.

109. Рыбачек С. Т., Гюннинен Э. М. Распространение длинных и сверхдлинных радиоволн в волноводном канае Земля-ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1966. — № 6. — С. 115—123.

110. РеменецГ. Ф. Характеристики распространения нормальных волн в волноводном канале Земля — неоднородная анизотропная ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1969. — № 9. — С. 85—93.

111. Ременец Г. Ф., Макаров Г. И., Новиков В. В. Характеристики распросране-ния первых двух нормальных волн, возбуждаемых в волноводном канале Земля-неоднородная анизотропная ионосфера // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1968. — Т. 8. — С. 109—121.

112. Рыбачек С. Т. Распространение СДВ в волноводном канале Земля-ионосфера // Геомагнетизм и аэрономия. — 1968. — Т. 8, № 3. — С. 152-164.

113. Рыбачек С. Т., Пономарев М. Ю. Влияние солнечной активности на возбуждение приземного волновода антеннами, расположенными в ионосфере // Вестник СПбГУ. Сер. 4: Физика, Химия. — 2006. — Т. 4, № 3. — С.15-23.

114. Рыбачек С. Т., Пономарев М. Ю. Некоторые особенности структуры СНЧ-полей в околоземном пространстве // Вестник СПбГУ. Сер. 4: Физика, Химия. — 2001. — Т. 2, № 12. — С. 47-58.

115. Rybachek S. Т., Ponomarev М. Ju. Efficiency of the Earth-ionosphere waveguide exitation by ELF sources located in an anisotrpic ionosphere // Int. J. Geomagn. Aeron. — 2007. — Vol. 7, no. Gil005.

116. Rybachek S. T. Radio wave propagation from antennae at satellite altitudes into the Earth-ionosphere waveguide // JATF. — 1999. — Vol. 57, no. 3. — Pp. 303-309.

117. Zernov N. N., Lundborg B. The statistical theory of wave propagation and HF propagation in the ionosphere with local inhomogeneities. — Swedish Institute of Space Physics: IRF Scientific Report 215, 1993. — 138 pp.

118. Солодовников Г. К, Новожилов В. И., Фаткулин М. Н. Распространение радиоволн в многомасштабной неоднородной ионосфере. — М.: Наука, 1990. —200 с.

119. Балаганский Б. А., др. и. Моделирование распространения коротких Радиоволн на трассе Магадан—Иркутск // Электронный эюурнал «Исследовано в России». — С. 1761—1772.

120. Jlaiif веский A. P. Особенности дисперсного распространения в ионосфере декаметровых линейно-частотно-модулированных радиосигналов с различной средней частотой спектра: Автореферат дис... канд. ф.-м. наук / Марийский гос. техн. ун-т. — 2010. — 22 с.

121. Swider W. Electron loss and determination of electron concentrations in the D-region // Pure Appl. Geophys. — 1988. — Vol. 127, no. 2/3. — P. 403.

122. Денисов А. В., Белянский M. А. Моделирование случайно-неоднородных профилей ионосферной концентрации электронов с использованием спектрально-ортогональных канонических разложений // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2014. — Т. 19, № 5.

123. Денисов А. В., Белянский М. А. Отражение электромагнитных волн ТЕ поляризации от модели случайно-неоднородного слоя Эпштейна // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2014.

124. Зернов Н. Н. Аналитические и численные методы моделирования эффектов распространения коротких волн в возмущенной ионосфере // Проблемы дифркации и распространения волн. — 2000. — Т. 28. — С. 115-147.

125. Полянин Д. А., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с.

126. Слуцкий Е. Е. Избранные труды. Математическая статистика. Теория вероятностей. Отв. ред. Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов. — М.: Изд. АН СССР, 1960.

127. Пугачев В. С. Общая теория корреляции случайных функций // Известия АН СССР. Сер. Математическая. — 1953. — Т. 5, № 17. — С. 401^120.

128. Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. — Ереван: Изд-во Ереванского Университета, 1973. — 98 с.

129. Михайлов Г. А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью И Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 238, № 4. — С. 793-795.

130. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Гос. энергетическое изд-во, 1956. — 152 с.

131. Райе С. Теория флуктуационных шумов в кн. Теория передачи электрических сигналов при наличи помех. Сб. переводов под редакцией Н. А. Железкова. — М.: И. Л., 1953. — 88-238 с.

132. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. Изд. 2-е, доп. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 416 с.

133. Ламперти Дж. Случайные процессы. Обзор математической теории. — К.: Вища школа, 1983. — 227 с.

134. Чекмарёв О. А. Необходимый вид стационарных представлений случайных процессов суммами неслучайных функций со случайными коэффициентами // Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. Третий Всесоюзный симпозиум.— 1970.— Т. Материалы секций II. — С. 18-20.

135. Кириллов В. В. Области, существенные при отражении электромагнитных волн от неоднородных проводящих слоев // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1986. — № 20. — С. 165-181.

136. Кириллов В. В., Е. Пронин А. Положение существенной области для дальнего поля от СНЧ до СВ диапазона // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1997. — № 27. — С. 95-101.

137. Рыбачек С. Т. О влиянии существенной области ионосферного слоя на характеристики распространения СДВ // Изв. вузов — Радиофизика. — 1972. — Т. XV, № 9. — С. 1300-1309.

138. Хованская Н. С. О прохождении сверхдлинных волн через неоднородную анизотропную ионосферу // Проблемы дифракции и распространения волн. — 1974. — № 13. — С. 94-110.

139. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. — М.: Гос. издание физ.-мат. литературы, 1960. — 883 с.

140. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

141. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 1. 24-е изд. — СПб.: БХВ — Петербург, 2008. — 624 с.

142. Денисов А. В., Белянский М. А. Особенности моделирования случайно-неоднородной ионосферы в задаче о распространении радиоволн в околоземном пространстве // Изв. ВУЗов. —Приборостроение. — 2014. — Т. 57, №3, — С. 13-17.

143. Karhunen К. Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Ann. Acad. Sei. Fennicae. — 1947. — Vol. Al, no. 37. — Pp. 3-79.

144. Колмогоров A. H. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром // Юбилейный сборник, посвященный 30-летию Великой Октябрьской социалистической революг^ии. — 1947. — Т. 1. — С. 242—254.

145. Петров А. И. Статистическая теория радиотехническим систем. — М.: Радиотехника, 2003.

146. Колесниченко А. С., Маров М. Я. Турбулентность многокомпонентных сред. — М.: Наука, 1998. — 337 с.

147. Монин А. С. Прогноз погоды как задача физики. — М.: Наука, 1969. — 183 с.

148. Einaudi F, Wait J. R. Analysis of the Excitation of the Earth-Ionosphere Waveguide by a Satellite-Borne Antenna. — Boulder, Colorado 80302: Cooperative Institute for Research in Environmental Sciences, 1970.

149. Galejs J. VLF modes below an idealized anisotropic ionosphere // Radio Science. — 1975. — Vol. 4, no. 6. — Pp. 491-516.

150. Galejs J. ELF Waves in the Presence of Exponential Ionospheric Conductivity Profiles // IRE transactions on antennas and propagation. — 1961. — Vol. AP, no. 9. — Pp. 554-562.

151. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Некоторые особенности возбуждения приземного волновода ОНЧ излучателями, расположенными в ионосфере // IXВсероссийская научная конференция студентов-радиофизиков: Тезисы докладов. — 2006. — С. 6-7.

152. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Об эффективности возбуждения приземного волновода ОНЧ излучателями, расположенными в ионосфере // X Всероссийская научная конференг^ия студентов-радиофизиков: Тезисы докладов. — 2006. — С. 10-12.

153. Башку ев Ю. Б., Хаптанов В. Б., Ханхарев А. В. Анализ условий распространения СНЧ радиоволн на трассе «Зевс» — Забайкалье // Изв. ВУЗов — Радиофизика. — 2003. — Т. XLVI, № 12. — С. 1017-1026.

154. Николаенко А. П. Влияние неоднородности ионосферы день-ночь на амплитуду СНЧ радиосигнала // Радиофизика и электроника. — 2007. — Т. 12. — С. 345-355.

155. Рытое С. М., Кравцов Ю. А., И. Татарский В. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. — М.: Наука, 1978. — 464 с.