Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Пышнограй, Иван Григорьевич

• Пышнограй, Иван Григорьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пышнограй, Иван Григорьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Математическое моделирование течений полимерных сред

1.1. Законы сохранения в механике сплошных сред

1.1.1. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

1.1.2. Закон сохранения импульса. Тензор напряжений

1.1.3. Реологические уравнения состояния

1.2. Микроструктурный подход. Модели линейных полимеров

1.3. Уравнения динамики макромолекулы

1.4. Корреляционные моменты функции распределения

1.5. Выражение для тензора напряжений

1.6. Реологическая модель Виноградова - Покровского

1.7. Вискозиметрические течения полимерных жидкостей

Глава 2 Описание явления проскальзывания при течении полимерных жидкостей45 2.1 Природа явления

2.2. Обзор работ, посвященных учету проскальзывания

2.3. Экспериментальное изучение эффекта проскальзывания

Глава 3 Плоскопараллельные течения полимерной жидкости

3.1 Плоскопараллельное течение в зазоре с прилипанием

3.2. Течение в зазоре между параллельными плоскостями

3.2.1. Исследование точности теоретических зависимостей характеристик вязкоупругой жидкости при плоскопараллельном течении

3.3. Моделирование плоскопараллельных течений при наличии проскальзывания65 Глава 4. Математическое моделирование трехмерного профиля скорости

нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением

4.1. Вычислительная гидродинамика сплошных сред

4.1.1. Метод конечных элементов

4.1.2. Метод конечных разностей

4.1.3. Метод контрольного объема

4.2. Применение пакетов прикладных программ в вычислительной гидродинамике82

4.2.1. Пакет CD STAR

4.2.2. Пакет Fluent

4.2.3. Пакет COMSOL Multiphysics

4.4. Моделирование 3D профиля скорости нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением

4.5. Сравнение трехмерных профилей скорости в канале с квадратным сечением

при учете прилипания и проскальзывания на границе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров»

Введение

Актуальность работы: начало двадцатого века можно охарактеризовать тем, что в распоряжении исследователей появился новый класс химических соединений - полимерные материалы. Хотя некоторые полимерные материалы (натуральный каучук, белки и пр.) были обнаружены гораздо раньше, но их систематическое изучение, а главное синтез новых материалов относят к началу двадцатого века. Это можно пояснить тем, что полифенолформальдегид был синтезирован в 1909 году. При этом массовое производство полимерных материалов развивалось в ногу с развитием научных исследований в этом направлении. Например, производство полистирола было начато в 1930 году, полиамида в 1935 году, поливинилхлорида в 1938 году, полиэтилена в 1939 году, полиуретана в 1940 году. Практическая значимость этих материалов за последнее время не уменьшается, а объемы их производства растут. В настоящее время полимеры все чаще выступают в качестве заменителей традиционно используемых материалов. Полимерные волокна не только заменили хлопок, шерсть и шелк, но стали основой для производства высокотехнологичных композитных материалов, заменяющих металлы в различных индустриальных приложениях. Таким образом, роль полимерных материалов во многих аспектах современной жизни продолжает возрастать.

При этом можно отметить, что на протяжении последних пятидесяти лет инженерным и научным сообществом инициируется проведение исследований для понимания поведения полимерных материалов в условиях их промышленной переработки. Это обусловлено непрерывным развитием полимерной индустрии, приводящим к росту числа новых, открываемых полимеров, и их новыми приложениями. Было подсчитано, что объемы оборотных средств в полимерной промышленности США превышают объемы средств в сталелитейной, алюминиевой и медной отраслях.

В процессе своей переработки полимерные материалы подвергаются плавлению, солидификации, различным деформациям, фазовым переходам. Поэтому для понимания механизмов структурных превращений необходимо понимание термодинамики таких процессов. Хорошо известно, что при описании физических свойств полимерных материалов существенную роль играет предыстория их переработки. Например, управлять процессом кристаллизации полимера можно варьируя скорость охлаждения и прикладываемую к образцу деформацию. Хотя следует отметить, что основное число публикаций по изучению свойств полимерных материалов в различных режимах деформирования сосредоточено в области изотермических деформаций.

Одним из факторов, обуславливающих развитие полимерной промышленности, является удобство их переработки. Большинство технологий имеют дело с полимерными материалами, находящимися в вязко-текучем состоянии. При этом, для решения оптимизационных задач производства, необходима формулировка адекватной математической модели исследуемых процессов. В случае полимерных материалов такая модель основывается на формулировке реологического определяющего соотношения. Это соотношение связывает кинематические характеристики движения с внутренними термодинамическими параметрами. К настоящему времени не создано единой реологической модели, пригодной для описания всевозможных течений полимерных сред. Поэтому проведение работ в этом направлении является актуальной научной задачей.

Цель работы состоит в дальнейшем обосновании реологического определяющего соотношения растворов и расплавов полимерных сред путем учета проскальзывания в модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выполнить обзор различных подходов к формулировке реологического определяющего соотношения и выбору реологической модели.

2. Выполнить обзор различных способов описания эффекта проскальзывания в динамике текучих полимерных сред.

3. Разработать методику расчёта стационарного профиля скорости полимерной жидкости в канале между двумя параллельными пластинами при наличии проскальзывания на границе.

4. Провести сравнение полученных результатов с экспериментами.

5. Показать возможность использования полученных зависимостей в качестве граничных условий для расчета профиля скорости трехмерного течения нелинейной вязкоупругой жидкости в канале квадратного сечения.

Объектом исследования являются реальные течения полимерных сред в узлах технического оборудования.

Предметом исследования является модифицированная математическая модель Виноградова-Покровского.

Область исследования соответствует пунктам паспорта специальности 01.02.05: «п. 1. Реологические законы поведения текучих однородных и многофазных сред при механических и других воздействиях», «п. 2. Гидравлические модели и приближенные методы расчетов течений в водоемах, технологических устройствах и энергетических установках», «п. 15. Тепломассоперенос в газах и жидкостях».

Практическая ценность.

Ценность работы заключается в развитии методологии математического моделирования процессов течений полимерных сред.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в возможности использования полученной модели на производстве для оптимизации процессов получения пленки из расплавов полимеров.

Полученные результаты могут использоваться в учебном процессе при организации специальных курсов для аспирантов и студентов.

Научная новизна или результаты:

1. Получены расходные характеристики плоскопараллельного канала при наличии проскальзывания на границе;

2. Сформулированы нелинейные граничные условия третьего рода для скорости проскальзывания;

3. Получены трехмерный профиль скорости и составляющие тензора напряжений нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением как функции параметров реологической модели и градиента давления;

4. Показана возможность использования модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского для описания трехмерных течений растворов и расплавов линейных полимеров с учетом проскальзывания на стенке.

Вклад автора. Принимал участие в математической постановке задач исследования, разработке математических моделей, которые отражают свойства исследуемых полимерных сред. Также участвовал в создании компьютерных программ, для реализации численных методов и используемых для теоретических расчетов и их сравнения с экспериментальными данными, описанными в литературных источниках, а также их интерпретации.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Необходимость учета эффекта проскальзывания при расчетах течений полимерных жидкостей в узлах технологического оборудования;

2. Возможность применения модифицированной модели Виноградова-Покровского для расчета профиля скорости и составляющих тензора напряжений в плоскопараллельном течении полимерной при учете проскальзывания;

3. Методика расчета профиля скорости полимерной жидкости при заданном расходе;

4. Вид граничных условий для скорости проскальзывания на твердой стенке;

5. Возможность использования сформулированных граничных условий для расчета стационарного трехмерного профиля скорости в канале с квадратным сечением.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены на следующих научных конференциях:

- Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2009);

- Межрегиональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему России» (Волгодонск, 23 апреля 2010 г.);

- Annual European Rheology Conference «AERC-2010» (Швеция, 7-9 апреля

2010 г.);

- Пятая всероссийская Каргинская конференция «Полимеры — 2010» (Москва, 21-25 июня, 2010 г.);

- Международная научно-практическая конференция «Математическое образование в регионах России», (г. Барнаул 2010);

- Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 26-27 ноября 2010 г.);

- VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и Молодежь - 2010» (Барнаул, 23 апреля, 2010 г.);

- 25 симпозиум по реологии (Осташков, 5-10 сентября, 2010 г.);

- III конференция молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая, 2011 г.);

- 7th Annual European Rheology Conference, (Suzdal, 10-14 May 2011 г.);_

- Annual Meeting Polymer Processing Society «PPS-27» (Марокко, 10-14 мая,

2011 г.);

- Четырнадцатая региональная конференция по математике «МАК-2011» (Барнаул, 24 июня, 2011 г.);

- Международная научная конференция (Владикавказ, 2011);

- Математический форум. Т.5 Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям (Владикавказ, 2011);

- Международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11' ноября, 2011);

- XVIth International Congress on Rheology, (Lisboa, Portugal, 2012);

- 26 Симпозиума по реологии, (Тверь, 10-15 сентября 2012г.);

- XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2012);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 печатных работы в отечественных и зарубежных изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков, список литературы состоит из 153 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 06-01-00402, 09-01-00293 и 12-01-00033) и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» ГК № 07.514.12.4034.

Глава 1. Математическое моделирование течений полимерных сред

1.1. Законы сохранения в механике сплошных сред 1.1.1. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

Содержанием гидродинамики является изучение движения сплошных сред, таких как жидкости и газы. Макроскопический характер явлений, изучаемых в гидродинамике, позволяет рассматривать жидкость как сплошную среду. Это означает, что в любом «физически» бесконечно малом элементе объема жидкости (по сравнению с объемом тела, но по сравнению с межмолекулярными расстояниями - большой) содержится очень большое число молекул. Поэтому под смещением «жидкой частицы» или «точка жидкости», в гидродинамике понимают смещение целого элемента объема, содержащего много молекул [1].

Состояния движения жидкости можно полностью описать с помощью функций, которые определяют распределение скорости жидкости V = У(х,у,г,1) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например, плотности р (х,у,гД) и давления р(х,у,г,1), которые связаны уравнением состояния вещества.

Отметим, что все эти величины зависят, вообще говоря, от пространственных координат х,у,г и времени I. При этом скорость жидкости у(х, у, г, I), в некоторый момент времени I, относится к конкретным точкам пространства, а не к конкретным частицам жидкости. Аналогичные рассуждения для величин р, р.

Выведем основные гидродинамические уравнения. Начнем с вывода -уравнения^которое в-гидродинамике выражает-закон сохранения вещества:-

Рассмотрим некоторый объем У0 пространства, заполненный жидкостью.

Тогда количество или масса жидкости в данном объеме определяется как | рс1У, где р - плотность жидкости, а интегрирование производится по объему У0. Пусть с1/ - элемент поверхности, который ограничивает этот объем. Тогда через него в единицу времени протекает количество ркс1/ жидкости. Вектор с1/ направлен

перпендикулярно (по внешней нормали) к элементу поверхности и равен по абсолютной величине площади элемента поверхности. Тогда, если жидкость вытекает из объема, то ркй/ положительно, в противном случае - отрицательно. Следовательно, полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема ¥0, есть

}рус//, (1.1)

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем.

При этом, уменьшение количества жидкости в объеме У0 можно записать

в виде

Я1

Приравнивая эти два выражения, имеем:

= (1.2)

Поверхностный интеграл преобразуется в интеграл по объему: | = .

Из (1.2) и последнего равенства, имеем:

л

+ = (1.3)

Поскольку (1.3) должно выполняться для любого объема, то подынтегральное выражение должно равняться нулю, то есть

^ + = 0 (1.4)

~Уравнение(~1т4) - известное уравнение неразрывности. Раскрыв дивергенцию в уравнении (1.4), можно переписать в виде

— + рсИуу = 0 . (1-5)

5/

При этом вектор

] = Р* (1-6)

называют плотностью потока жидкости. Он направлен по направлению движения жидкости и по абсолютной величине равен количеству жидкости, которая протекает в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к скорости [1].

1.1.2. Закон сохранения импульса. Тензор напряжений

Кроме закона сохранения массы в гидродинамике используется и закон сохранения импульса (или закон сохранения количества движения), который гласит, что в замкнутой системе сумма импульсов всех тел (или частиц) есть величина постоянная. Вывод этого закона, в классической механике, получают как следствие законов Ньютона [2,3,4]. Далее, можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. Отметим, что закон сохранения импульса описывает однородность пространства, которая является одной из фундаментальных симметрий [4,5].

Рассмотрим выражение определения силы

Для системы из N частиц (1.7) перепишется:

где суммирование идет по всем силам, действующим на п-ю частицу со стороны

т-ой.—Но—третьему—закону—Ньютона,—силы—вида ^и^Ро будут противоположны по направлению и равны по абсолютной величине. Подставляя полученный результат в (1.7), правая часть этого выражения будет равна нулю:

(1.8)

Ра.Ь - -Рь.а,

(1.9)

(1.10)

или

ip"=0- <'.11)

Очевидно, что если производная от какого-либо выражения равна нулю, то выражение - константа относительно переменной, по которой ведется дифференцирования. Следовательно:

N _ _„

У, Р„ - const (постоянный вектор). (1-12)

/7=1

То есть (1.12) и есть закон сохранения импульса замкнутой системы частиц. Можно получить аналогичное выражение и для одной частицы. Следует отметить, что изменение импульса связано не только силой, действующей на тело, но и зависит от продолжительности её действия. Каждому закону сохранения соответствует некая симметрия уравнений, описывающих систему. Как уже было сказано, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Это утверждение можно получить, если применить к описанию системы подход Лагранжа, когда интерес представляет история движения индивидуальных точек пространства [2].

Состоянию теплового равновесия недеформированной среды соответствует расположение ее атомов или молекул. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это означает, что равнодействующая всех сил, действующих на какой-нибудь элементарный объем в среде, со стороны других частей, равна нулю. В случае деформирования тела, оно теряет состояние равновесия, по причине стремится_к^равновесному— соетоянию-под—действием~

некоторых внутренних сил, возникающих при деформировании. Эти силы называются внутренними напряжениями. В недеформированном теле внутренние напряжения отсутствуют. Внутренние напряжения возникают в результате взаимодействия молекул тела между собой (молекулярные силы). Для теории упругости атомистических тел оказывается существенным тот факт, что «радиус действия» молекулярных сил незначительный (порядка межмолекулярных

связей). Однако, в классической теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются объемы, значительно превышающие расстояния между молекулами и атомами. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил считается практически равным нулю. Эти силы считаются «близкодействующими», т. е. передающимися от каждой точки области к другим близлежащим точкам. Отсюда следует, что силы, оказываемые на какую-нибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют только непосредственно через поверхность этой части. Необходимо сделать оговорку: изложенное выше несправедливо в случае деформирования тела, когда в нем появляются макроскопические электрические поля (пиро и пьезоэлектрические тела). Выделим в твердом атомистическом теле какой-нибудь объем и рассмотрим действующую на него суммарную силу. С одной стороны, эта суммарная сила равна сумме всех сил, действующих на каждый из элементов выделенного объема, т. е. представима в виде объемного интеграла [3]

\FtJV, (1.13)

где Р - сила, действующая на единицу объема тела, так что на элемент объема с/Г действует сила | /ч/К. С другой стороны, силы, с которыми действуют друг на

друга различные части самого выделенного объема, не могут привести к появлению ненулевой суммарной равнодействующей силе, поскольку по закону равенства действия и противодействия в сумме они взаимоуничтожаются. Поэтому полная (искомая) сила есть сумма только тех сил, которые действуют на этот объем со стороны окружающих его частей тела. Из вышеизложенного следует, что эти силы действуют на выделенный объем через его поверхность, и поэтому результирующая сила - это сумма сил, действующих на каждый элемент поверхности объема, т. е. представима в виде некоторого интеграла по этой поверхности. Таким образом, для любого объема рассматриваемого тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений можно

преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. Из векторного анализа известно, что интеграл от скаляра по произвольному объему может быть

преобразован в поверхностный интеграл, когда скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае мы имеем дело с интегралом от вектора Поэтому он должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т. е. иметь вид

(1-14)

дхк

Тогда сила, действующая на некоторый объем, может быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем

где компоненты вектора с^ элемента поверхности, который направлен, как обычно, по внешней нормали к ней.

Тензор сг1к называется тензором 3-напряжений. Как видно из (1.15), на элемент поверхности с1/ действует 1-я компонента силы а,к<#к. Выбирая элементы поверхности в плоскостях хОу; уОг и хОг, находим, что компонента а1к тензора напряжений есть 1-я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси кх. Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси Ох, действует нормальная к ней (направленная вдоль оси х) сила <7Ш и тангенциальные (направленные по осям Оу и Ог) силы а и а,х. Необходимо здесь сделать замечание по поводу знака силы сг1к(1/к. В (1.15) поверхностный интеграл представляет собой силу, которая действует на объем рассматриваемого тела, ограниченный этой поверхностью, со стороны окружающих его частей того же тела. Наоборот, сила, с которой этот объем -действует~сам на-окружаЮщую его поверхность, имеет обратный знак. Поэтому, например, сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность атомистического тела, есть

где интеграл берется по поверхности тела, а вектор с1/ направлен по внешней нормали.

(1.15)

(1.16)

Как известно, момент силы Б можно написать в виде антисимметричного тензора второго ранга с компонентами Б, хк - х,, где координаты точки приложения силы. То есть, момент силы Б есть векторное произведение [Тг]. Из векторного анализа известно, что компоненты векторного произведения двух векторов составляют антисимметрический тензор второго ранга. Поэтому момент сил, действующих на элемент объема ёУ, есть (Р, хк - Рк х,)ёУ, а на весь объем действует момент сил

М^Д^-^х,)^. (1.17)

Как и полная сила, действующая на весь объем, момент сил тоже выражается в виде интеграла по поверхности объема. Подставляя для выражение (1.17), находим:

-/(^ч VV• (1.18)

-1 ^ ОХ, ОХ, ) * ОХ, ^ ОХ, ОХ, /

Заметим, что во втором члене производные от одной координаты по другой равны единице, если индексы совпадают и равны нулю, если индексы разные (все

дх

три координаты - независимые переменные). Таким образом, —- = 8к, где дк, есть

Эх,

единичный тензор; при умножении на <т1к он дает £исг(/ = о1к. В первом члене (1.18) под знаком интеграла стоит дивергенция некоторого тензора; этот интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхности:

| М1к = | (а„хк - ед )# {<ук, -оМ- (1.19)

Для того чтобы М1к было выражено в виде поверхностного интеграла необходимо, чтобы второе слагаемое равнялось нулю, т. е. о1к -сгк1 = О, или

= стк, (1-20)

Из последнего равенства можно сделать вывод, что тензор напряжений -симметричный тензор. Момент сил, действующих на выделенный объем тела, может быть записан теперь в простом виде:

Мл = - ^х.^У = §(*„хк-ок,х^ . (1.21)

Чтобы написать выражение для тензора напряжений при равномерном

всестороннем сжатии тела нужно учесть давление, которое действует на каждый элемент поверхности и направлено всюду по нормали внутрь объема тела, и одинаковое по величине. Если обозначить его р, то на элемент поверхности dfx действует сила - pdf С другой стороны, эта сила, будучи выражена через тензор напряжений, должна иметь вид a,kdfk. Записав - pdf в виде оIkdfk, получим искомое выражение для тензор напряжений:

°,к=-р01к- (1-22)

Заметим, все ненулевые компоненты тензора напряжений совпадают с давлением. В общем случае, при произвольной деформации атомистических тел, ненулевыми будут и недиагональные компоненты. Это значит, что на каждый элемент поверхности внутри этого тела действует не только нормальная к нему сила, но также и тангенциальные, «скалывающие» напряжения, стремящиеся сдвинуть параллельные элементы поверхности относительно друг друга. В равновесном состоянии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема этого тела, т. е. должно быть F, = О.

Таким образом, уравнения равновесия деформированного тела имеют вид

ff- <L23)

Если тело находится в поле тяжести, то должна исчезать сумма сил внутренних напряжений F + pg и силы тяжести pg, действующей на единицу объема тела (р - плотность массы, g - вектор ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз). Уравнения равновесия в этом случае имеют вид

__(L24).

Внешние силы, приложенные непосредственно к поверхности тела (из-за которых и возникают деформации), входят в граничные условия к уравнениям равновесия. Обозначим через р внешнюю силу, действующую на единицу площади поверхности тела, так что на элемент поверхности df действует сила pdf. В равновесии она должна компенсироваться силой crikdfk, которая возникает со стороны внутренних напряжений на тот же элемент поверхности. Итак, имеем

17

р,<У-°Лк= о-

(1.25)

Записав й/к в виде dfk = пкй/, где п - единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности,

Таким образом, получили условие для рассматриваемого тела, находящегося в равновесии, которое выполняется на всей его поверхности.

1.1.3. Реологические уравнения состояния

Выше было сказано, что в гидродинамике математическое описание состояния движущейся жидкости сводится к заданию следующих функций: скорости жидкости V, плотности р и энтропии которые зависят от пространственных координат и времени и имеют смысл некоторых средних макроскопически наблюдаемых величин

Для системы с произвольной структурой уравнения движения жидкости, с точностью до некоторых неизвестных функций, формулируются на основании законов сохранения: массы или уравнение неразрывности, импульса, полного количества движения; закон изменения плотности внутреннего момента количества движения; закон сохранения энергии; закон изменения плотности энтропии [1, 4-7]. Приведем эти законы в перечисленном порядке.

°,кпк = Р, ■

(1.26)

р - р{х^)\ V = я = ^(х,/).

--ь сИуру= О,

дг

(1.27)

дру-^д-р^

(1.28)

д1 дхк

(1.29)

д д

+ ^ (У/А + ) = ^¡к + <У1к ~ аЫ . (1.30)

т

дЕ

дг

^ + #)= (132)

где в (1.27) : рУ - плотность потока массы; в (1.28): V, - /-тая компонента V , Р-1к — рУ У к ~ & 1к - тензор плотности потока импульса; С ¡к - тензор напряжений; О", - плотность сторонних объемных сил, действующих на жидкость; в (1.29): J¡к = р(— хУк) ■> плотности внешнего,

внутреннего момента количества движения, соответственно; N 1к - плотность сторонних действующих на жидкость моментов сил, распространенных по всему объему; £1кт - плотность неконвективного потока момента количества движения;

в (1.31): ~ плотность потока энергии; в (1.32): Н- плотность

неконвективного потока энтропии, £ - производство энтропии.

Следует отметить, что система уравнений (1.27) - (1.32) не учитывает внутреннюю структуру изучаемого материала. Поэтому далее необходимо

определить неизвестные функции Н^ Е, СГ 1к и £1кт . Для этого изменение

энтропии в единицу времени и плотность потока энергии нужно выразить через -тензор—напряжения,—используя—подходящее—выражение—для—изменения—энергии^

конкретной системы.

При термодинамическом равновесном состоянии системы градиенты скорости отсутствуют. Такое состояние системы описывается в работе [8] следующими параметрами: температурой Т, давлением Р и плотностью р ,

которые связаны уравнением состояния /(Т,р,Р^) = 0.

При наличии градиентов скорости состояние системы перестает быть равновесным даже локально. В этом случае необходимо ввести [8, 9]

дополнительные внутренние переменные (а - номер переменной и ее

тензорные индексы), которые определяют отклонение системы от равновесного состояния. Заметим, что локальные термодинамические функции будут

функциями переменных <Ца. С учетом этого уравнения, которые замыкают систему (1.27 - 1.32), можно записать в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пышнограй, Иван Григорьевич, 2013 год

Список литературы

1. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М. : Наука, 1986.-736 с.

2. Гурбатов С.Н. Грязнова И.Ю. Демин И.Ю. Клемина A.B. Курин В.В. Прончатов-Рубцов Н.В. УМК «Основы механики сплошных сред»// Электронное методическое пособие, Нижегородский государственный университет им. H.H. Лобачевского, 2010, Нижний Новгород, 95 с.

3. Ю. А. Алтухов, А. С. Гусев, Г. В. Пышнограй, К. Б. Кошелев Введение в мезоскопическую теорию текучих полимерных систем: монография/ АлтГПА, Барнаул, 2012, 121 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. 2-е изд., испр. и дополн. М.: Наука, 1973. Т. 1,2.

6. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. М.: Высш. шк., 1983. 399 с.

7. Слеттери Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. М.: Энергия, 1978. 448 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976, 583 с

9. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

10. Oldroyd J.G. On the Formulation of Rheological Equation of State // Proc. Roy. Soc. 1950. V. A200. P. 523-541.

11. Покровский B.H. Динамика слабосвязанных линейных макромолекул // Успехи физ. наук. 1992. Т. 162, № 5. С. 87-121.

12. Schweizer K.S. Microscopic theory of the dynamics of polymeric liquids: Qualitative predictions for flexible chain and ring melts // J. Chem. Phys. 1989. V. 91. P. 5822-5839.

13. Покровский В.Н., Волков B.C., Виноградов Г.В. Одномолекулярное приближение в теории вязкоупругости линейных полимеров // Мех. полимеров. 1977. № 5. С. 781-785.

14. Gennes P.G. de. Reptation of a Polymer Chain in the Presence of Fixed Obstacles // J. Chem. Phys. 1971. V. 55, № 2. P. 572-579.

15. Edwards S.F., Grant J.W.V. The effect of entanglements on the viscousity of a polymer melt // J. Phys. A: Math., Nucl., Gen. 1973. V. 6. P. 1186-1195.

16. Покровский B.H., Волков B.C. Вычисление времен релаксации и динамического модуля линейных полимеров на основе одномолекулярного приближения с самосогласованием (новый подход в теории вязкоупругости линейных полимеров) // Высокомолекуляр. соед. 1978. Т. А20, № 12. С. 27002706.

17. Флори П. Статистическая физика цепных молекул. М.: Мир, 1971. 440 с.

18. Kirkwood J.G. Macromolecules. N. Y.: Gordon and Breach, 1967. 117 p

19. Wesson R.D., Papanastasion T.C., Wilkes J.O. Problems in Modelling Viscoelastic Flows with Integral constutive Equation // J. Rheol. 1989. V. 33, № 7. P. 1047-1057.

20. Prerit Vyas Effets of Stochastic (Random) Surface Roughness on Hydrodynamic Lubrication of Deterministic Asperiry// Masters Theses, University of Kentucky, 2005, p. 152.

21. Bird R.B., Saab H.H., Curtiss C.F. A Kinetic Theory for Polymer Melts. 3. Elongational Flows // J. Phys. Chem. 1982. V. 86, № 7. P. 1102-1106.

22. Bird R.B., Saab H.H., Curtiss C.F. A kinetic theory for polymer melts. IV. Rheological properties for shear flows // J. Chem. Phys. 1982. V. 77, № 9. P. 4747-4757.

23. Saab H.H., Bird R.B., Curtiss C.F. A kinetic theory for polymer melts. V. Experimental comparisons for shear flows rheological properties // J. Chem. Phys. 1982. V. 77, № 9. P. 4758-4766.

24. Schieber J.D., Curtiss C.F., Bird R.B. Kinetic Theory of Polymer Melts. 7. Poly disperse Effects // Ind. Eng. Chem. Fundam. 1986. V. 25, № 4. P. 471475.

25. Schieber J.D. Kinetic theory of polymer melts. VIII. Rheological properties of polydisperse mixtures; IX. Comparison with experimental data // J. Chem. Phys. 1987. V. 87, № 8. P. 4917-4936.

26. Lodge A.S., Schieber J.D., Bird R.B. The Weissenberg effects at finite rod- rotation speeds // J. Chem. Phys. 1988. V. 88, № 6. P. 4001-4007.

27. Каргин B.A., Слонимский Г.А. О деформации аморфно-жидких линейных полимеров // Докл. АН СССР. 1948. Т. 62, № 2. С. 239-242.

28. Rouse Р.Е. A Theory of the Linear Viscoelastic Properties of Dilute Solutions of Coiling Polymers//J. Chem. Phys. 1953. V.21. №7.P. 1271-1280.

29. Цветков B.H., Эскин B.E., Френкель С .Я. Структура макромолекул в растворах. М.: Наука, 1964. 719 с.

30. Алтухов Ю.А., Покровский В.Н. К теории уравнений движения концентрированных растворов полимеров // ИФЖ. 1985. Т. XIX. № 3. С. 384-390.

31. Алтухов Ю.А. Определяющее уравнение растворов полимеров на основе динамики невзаимодействующих релаксаторов // ЖПМТФ. 1986. № 3. С. 101-105.

32. Покровский В.Н., Чупринка В.И. Влияние внутренней вязкости макромолекул на вязкоупругое поведение растворов полимеров // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1973. № 6. С. 13-19.

33. Bird R.B., De Aquiar J.R. An encapsulated dumbbell model for concentrated polymer solutions and melts // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1983. V. 13. P. 149-160.

34. Biller P., Petruccione F. Rheological properties of polymer dumbbell models with the configuration- dependent anisotropic friction // J. Chem. Phys. 1988. V. 89. № 4. P. 2412-2418.

35. Волков B.C., Виноградов Г.В. Анизотропия подвижности макромолекул в концентрированных полимерных системах // Высокомолекуляр. соед. 1984. Т. А26. С. 1981-1987.

36. Покровский В.Н., Кручинин Н.П. Сдвиг, растяжение и сложные течения полимерных систем // Теория формования химических волокон: Сб. М.: Химия, 1975. С. 4-20.

37. Покровский В.Н., Кручинин Н.П., Данилин Г.А., Серков А.Т. Соотношение между коэффициентами сдвиговой и продольной вязкости для концентрированных растворов полимеров // Мех. полимеров. 1973. № 1. С. 124-131.

38. Эренбург В.Б., Покровский В.Н. Неоднородные сдвиговые течения линейных полимеров // Инж.-физич. ж. 1981. Т. 41, № 3. С. 449-456.

39. Алтухов Ю.А., Кекалов А.Н., Покровский В.Н., Попов В.И., Хабахпашева Е.М. Об описании пульсирующего течения растворов полимеров, проявляющих вязкоупругие свойства // Структура гидродинамических потоков: Сб. науч. тр. под ред. Хабахпашевой Е.М., Бердникова B.C. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР. 1986. С. 5-14.

40. Пышнограй Г.В., Покровский В.Н., Яновский Ю.Г. и др. Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 5. С. 612-615.

41. Giesekus Н.А simple constitutive equation for polymer fluids based on the concept of deformation-dependent tensorial mobility // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1982. V.ll,№ 1/2. P. 69-109

42. Curtiss C.F., Bird R.B. A kinetic theory for polymer melts. I. The equation for the single-link orientational distribution function; II. The stress tensor and the rheological equation of state // J. Chem. Phys. 1981. V. 74, № 3. P. 2016-2033.

43. Doi M., Edwards S.F. Dynamics of concentrated polymer systems. Part 2. Molecular motion under flow // J. Chem. Soc. Faraday Trans, II. 1978. V. 74, № 10. P. 1802-1817.

44. Doi M., Edwards S.F. Dynamics of concentrated polymer systems. Part 3. The constitutive equation // J. Chem. Soc. Faraday Trans, II. 1978. V. 74, № 10. P. 1818-1832.

45. Doi M., Edwards S.F. Dynamics of concentrated polymer systems. Part 4. Rheological properties // J. Chem. Soc. Faraday Trans, II. 1979. V. 75, № 1. P. 38-54.

46. Doi M.A Constitutive equation derived from the model of Doi and Edwards for concentrated polymer solutions and polymer melt // J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. 1980. V. 18, № 10. P. 2055-2067.

47. Osaki K., Kimura S., Kurata M. Relaxation of shear and normal stresses in step-shear deformation of a polystyrene solution. Comparison with the predictions of the Doi-Edwards theory // J. Polim. Sci., Polim. Phys. Ed. 1981. V. 19, № 3. P. 517-527.

48. Kurata M. Molecular motion of polymers in concentrated solutions // Polymer J. 1985. V 17, № 1. P. 217-224.

49. Pfandl W., Schwarz F.E. Relation between rheological properties and the molecular weight distribution of a technical polystyrene // Colloid and Polum. Sci. 1985. V. 263, № 4. P. 328-334.

50. Marrucci G. Relaxation by reptation and tube enlargements a model for polydisperse polymers // J. Polym. Sci., Polym. Phys. Ed. 1985. V. 23, № 1. P. 159-177.

51. M. Дой, С. Эдварде. Динамическая теория полимеров. Пер. с англ. М.: Мир, 1998. 440 е., ил.

52. Покровский В.Н. Низкочастотная динамика разбавленных растворов линейных полимеров // Успехи физических наук. 1994. Т. 164, № 4. С. 397414.

53. Покровский В.Н., Пышнограй Г.В. Простые формы определяющего уравнения концентрированных растворов и расплавов полимеров как следствие молекулярной теории вязкоупругости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1991. № 1. С. 71-77.

54. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: 1947. 168 е., ил.

55. Osaki К., Schrag J., Ferry J. D. Infinite-dilution viscoelastic properties of poly (a-methylstyrene). Applications of Zimm theory with exact eigenvalues // Macromolecules. 1972. V. 5, № 2. P. 144-147.

56. Zimm B.H. Dinamics of polymer molecules in dilute solution: viscoelasticity, flow birefringence and dielectric loss // Joun. Chem. Phys. 1956. V. 24. P. 269-278.

57. Rice S., Cray P. Statistical mechanics of simple liquids. Interscience: N. Y., 1965.

58. Яновский Ю.Г., Покровский B.H., Кокорин Ю.К. и др. Сверхмедленные релаксационные процессы в аморфных линейных полимерах и их интерпретация // Высокомолекулярные соедин.. 1988. Т. АЗО, № 5. С. 1009-1016.

59. Покровский В.Н., Пышнограй Г.В. Нелинейные эффекты в динамике концентрированных растворов и расплавов полимеров // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1990. № 4. С. 88-96.

60. Волков B.C., Покровский В.Н., Рожнев В.А. Влияние малых полимерных добавок на поведение линейной вязкоупругой жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1976. № 6. С. 3-12.

61. Волков B.C. Теория релаксационного взаимодействия в каучуках // Препринты Международной конференции по каучуку и резине. М., 1984. А67.

62. Volkov V.S., Vinogradov G.V. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts. Pt.I. Model development // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1985. V. 18. P. 163-172.

63. Volkov V.S., Vinogradov G.V. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts. Pt. II. Rheological properties in shear and elonga-tional flows // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1987. V. 25. P. 261-275.

64. Volkov V.S., Vinogradov G.V. Theory of dilute polymer solutions in viskoelastic fluid with the a single relaxational time // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. V. 15, № 1. p. 29-44.

65. Volkov V.S., Vinogradov G.V. Theory of Relaxational Interaction in Linear Polymers // J. Polym. Sci.: Part B: Polym. Phys. 1986. V. 24. P. 2073-2085.

66. Волков B.C., Куличихин В.Г., Виноградов Г.В. Нелинейная реооптика концентрированных растворов и расплавов полимеров // Высокомолекуляр. соед. 1988. Т. А30. С. 1771-1777.

67. Волков B.C. Нелинейная релаксация напряжений в расплавах полимеров при сдвиге и одноосном растяжении // Высокомолек. соед. 1989. Т. А31. С. 2178-2184.

68. Головичева И.Э., Зинович С.А., Пышнограй Г.В. Влияние молекулярной массы на сдвиговую и продольную вязкость линейных полимеров // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41, № 2. С. 154-160.

69. Kulicke W.-M. Determination of First and Second Normal Strees Differences in Polymer Solutions in Steady Shear Flow and Limitations Caused by Flow Irregularities / W.-M. Kulicke, U. Wallbaum // Chem Eng. Sci. - 1985. -V. 40.-№6.-P. 961-972.

70. Ito Y. Critical Molecular Weight for Onset of Non-Newtonian Flow and Upper Newtonian Viscousity of Polydimethylsiloxane / Y. Ito, S. Shishido // J. Polym. Sci. : Polym. Phys. Ed. - 1972. -V. 10. - P. 2239-2248.

71. Трапезников А.А. Исследование структурных превращений в растворах полиизобутилена / А.А. Трапезников, А.Т. Пылаева // Высокомолек. соед. - 1970. - Т. А12. -№6. - С. 1294-1307.

72. Гребнев B.JI. Вязкоупругость линейных полимеров: эффекты второго порядка / B.JI. Гребнев, В.Н. Покровский // Высокомолек. соед. - 1987. - Т. Б26. -№ 9. - С. 704-710.

73. Файтельсон JI.А. Составляющие комплексного модуля при периодическом сдвиге текущей вязкоупругой жидкости / Л.А. Файтельсон, Э.Э. Якобсон - Механика композитных материалов. - 1981. - №2. - С. 277286.

74. Simmons J. М. Dinamic modulus polyisobutylene solutions in superposed steady shear flow. -Rheol. Acta. - 1968. -V. 7. - P. 184-188.

75. F.J. Lim, W.R. Schowalter. J. Rheology. 38(8) (1989) 1359

76. R. Buscall, J.I. McGowen, A. Morton-Jones. The rheology of concentrated dispersions of weakly attracting colloidal particles with and without wall slip // J. Rheology. - 1993. - V.37. - p. 621-642.

77. R. Whorlow. Rheological Techniques. 2nd edn., Ellis Horwood, New York, London, 1992

78. Yogesh M. Joshi, Ashish K. Lele, R.A. Mashelkar A unified wall slip model// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2000. - V.94. -p.135-149.

79. A. Allal, B. Vergnes Effect of die surface on the onset of stickslip transition in the flow of molten linear polymers// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2012. - V. 167-168. - p.46-49.

80. Y. Leong Yeow, Yee-Kwong Leong, Ash Khan Non-Newtonian flow in parallel-disk viscometers in the presence of wall slip// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2006. - V. 139. - p.85-92.

81. A. Allal, B. Vergnes Molecular interpretation of the "stick-slip" defect of linear polymers // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2009. - V.164. -p.1-8.

82. Maria Chatzimina, Georgios C. Georgiou, Kostas Housiadas, Savvas G. Hatzikiriakos Stability of the annular Poiseuille flow of a Newtonian liquid with slip along the walls// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2009. -V.159. - p.1-9.

83. Eleni Taliadorou, Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou A two-dimensional numerical study of the stick-slip extrusion instability // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2007. - V.146. - p.30-44.

84. Georgios C. Georgiou The time-dependent, compressible Poiseuille and extrudate-swell flows of a Carreau fluid with slip at the wall// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2003. - V.109. - p.93-114.

85. D.M. Kalyon, H.S. Tang Inverse problem solution of squeeze flow for parameters of generalized Newtonian fluid and wall slip// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2007. - V.143. - p. 133-140.

86. Hans Christian Ottinger Thermodynamic formulation of wall slip// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2008. - V. 152. - p.66-75.

87. Y. Leong Yeow, Belinda Choon, Lena Karniawan, Lanny Santoso Obtaining the shear rate function and the slip velocity function from Couette viscometry data// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2004. - V.124. -p.43-49.

88. C.F.J, den Doelder, R.J. Koopmans, J. Molenaar Quantitative modelling of HDPE spurt experiments using wall slip and generalised Newtonian flow// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 1998. - V.79. -p.503-514.

89. Evan Mitsoulis, Savvas G. Hatzikiriakos Steady flow simulations of compressible PTFE paste extrusion under severe wall slip// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2009. - V.157. - p.26-33.

90. Shi-Pu Yang, Ke-Qin Zhu Analytical solutions for squeeze flow of Bingham fluid with Navier slip condition// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2006.-V. 138.-p. 173 - 180.

91. Yogesh M Joshi, Morton M Denn Planar contraction flow with a slip boundary condition// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2003. -V.114.-p.185 - 195.

92. H.M. Laun, M. Rady, O. Hassager Analytical solutions for squeeze flow with partial wall slip// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 1999. - V.81. - p.1-15.

93. R. Pal. // Chem. Eng. Commun. - 1990. - V.98. -p.211.

94. Yogesh M Joshi, Prashant S Tapadia, Ashish K Lele, R.A Mashelkar Temperature dependence of critical stress for wall slip by debonding// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2000. - V.94. - p. 151 -157.

95. Pilkee Kim, Jongwon Seok Viscoplastic flow in slightly varying channels with wall slip pertaining to a magnetorheological (MR) polishing process// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, Volume 166, Issues 17-18,18 September 2011, Pages 972-992.

96. C. Chaffey, H. Brenner, S.G. Mason. // Rheol. Acta, - 1965. - V.4. - p.64

97. G.V. Vinogradov, G.B. Froishteler, K.K. Triliski, E.L. Smorodinsky. // Rheol. Acta, - 1975,-V. 14(9).-p.765.

98. L. Robert, B. Vergnes, Y. Demay Flow birefringence study of the stickslip instability during extrusion of high-density polyethylenes// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2003. - V. 112. - p.27-42.

99. R.G. Owens, T.N. Phillips A spectral domain decomposition method for the planar non-Newtonian stick-slip problem// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 1991.- V.41.-p.43-79.

100. K. Lee, M.R. Mackley The significance of slip in matching polyethylene processing data with numerical simulation// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2000. - V.94. - p. 159-177.

101. Grant Hay, Michael E. Mackay, Stewart A. McGlashan, Yoosup Park Comparison of shear stress and wall slip measurement techniques on a linear low density polyethylene// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2000. - V.92. - p.187-201.

102. C.F.J. Den Doelder, R.J. Koopmans, J. Molenaar, A.A.F. Van de Ven Comparing the wall slip and the constitutive approach for modelling spurt instabilities in polymer melt flows// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, -1998.-V.75.-p.25-41.

103. Christel Metivier, Albert Magnin The effect of wall slip on the stability of the Rayleigh-Benard Poiseuille flow of viscoplastic fluids// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2011. - V. 166. - p. 839-846.

104. O. Wein Viscometric flow under apparent wall slip in parallel-plate geometry// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2005. - V.126. - p. 105114.

105. Nicolas Roquet, Pierre Saramito An adaptive finite element method for viscoplastic flows in a square pipe with stick-slip at the wall// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2008. - V. 155. - p. 101 -115.

106. M. Reiner. Deformation Stain and Flow. Lewis. London, 1949.

107. M. Mooney. J. Rheology. 2(2) (1931) 210

108. D.C.-H. Cheng, B.R. Parker, in Proc. VII International Congress on Rheology. Gothenburg, 1976, 518

109. J.J. Cameron. Viscometry of Nonhomogeneous Flows and the Behavior of a TitaniumDCrosslinked Hydroxypropyl Guar Gel in Couette Flow // J. Rheology.

- 1989.-V.33.-p. 15-47.

110. A. Yoshimura, R.K. Prud'homme Wall Slip Corrections for Couette and Parallel Disk Viscometers // J. Rheology. V. 32. - 1988. - p. 53-67

111. H. Muller-Mohnssen, D. Weiss, A. Tippe. Concentration dependent changes of apparent slip in polymer solution flow // J. Rheology. - 1990. - V. 34. -p. 223-245.

112. U.S. Agarwal, A. Dutta, R.A. Mashelkar // Chem. Eng. Sci. - 1994. -V.49. - p. 1693.

113. Грубый, С. В. Имитационное моделирование процессов резания и изнашивания инструмента / С. В. Грубый // Вестник машиностроения. - 2007.

- №7. - С. 38-42.

114. W.F. Busse. Viscosity of polydimethylsiloxane blends // J. Polym. Sci -1967 - V.A-2,5. - p. 1261.

115. A.B. Metzner. Film flow of pseudoplastic liquids along an oscillating wall // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1979. - V.5. - p. 449.

116. J.M. Aubert, M. Tirrel. A Monte Carlo simulation of the diffusion of gases in porous solids // J. Chem. Phys. - 1980. - V.72. - p. 2964.

117. H.P. Schriber, S.H. Storey. Polymerization of l-methylene-4-vinylcyclohexane by a cyclic polymerization mechanism // J. Polym. Sei, - 1965. -У.ВЗ.-р. 723.

118. P.O. Brunn. The effect of confinement on dynamics and rheology of dilute deoxyribose nucleic acid solutions // Rheol. Acta, - 1976. - V. 15. - p. 33.

119. P.O. Brunn, S. Chi. An analysis of apparent slip flow of polymer solutions //Rheol. Acta,-1984,-V.23.-p. 163.

120. P.O. Brunn. Linear polymers in nonhomogeneous flow fields. II. The cross-stream migration velocity // J. Polym. Sei. Polym. Phys. Ed. - 1985. - V.23. - p.89

121. P.O. Brunn. Wall Effects for Dilute Polymer Solutions in Arbitrary Unidirectional Flows // J. Rheology. - 1985. - V.29. - p.859.

122. P.O. Brunn, S. Grisafi. Numerical simulation of the die swell problem of a Newtonian fluid by using the concept of stream function and a local analysis of the singularity at the corner // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1987. - V.24. - p.343

123. F. Petruccione, P.J. Biller. A Consistent Numerical Analysis of the Tube Flow of Dilute Polymer Solutions // J. Rheology. - 1988. - V.32. - p. 1.

124. S. Grisafi, P.O. Brunn. Wall Effects in the Flow of a Dilute Polymer Solution: Numerical Results for Intermediate Channel Sizes // J. Rheology, - 1989. -V.33.-p.47.

125. Макарова M.A. Верификация мезоскопической модели в реологии полидисперсных вязкоупругих полимерных сред: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. - Барнаул, 2007 - ?? с.

126. Зинович С. А. Полидисперсность в мезоскопической теории вязкоупругости линейных полимеров: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. - Барнаул, 2001 - 97 с.

127. R.F. Benenati, C.B. Brosilow. Void fraction distribution in beds of spheres // AIChE J. - 1962. - V.8. - p.359

128. Y. Cohen, A.B. Metzner. Wall effects in laminar flow of fluids through packed beds // AIChE J. - 1981. - V.27. - p.705

129. R.J. Mannheimer. Laminar and turbulent flow of cement slurries in large diameter pipe: A comparison with laboratory viscometers // J. Rheology, - 1991. -V.35. - p. 113-134.

130. A. Karnis, S.G. Mason. A theory of aqueous emulsions I. Negative interfacial tension at the oil/water interface // J. Colloid Interface Sci. - 1967. -V.24. - p. 164.

131. M.J. Ruiz-Viera, M.A. Delgado, J.M. Franco, C. Gallegos Evaluation of wall slip effects in the lubricating grease/air two-phase flow along pipelines// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2006. - V.139. - p.190-196.

132. K.M. Awati, Y. Park, E. Weisser, M.E. Mackay Wall slip and shear stresses of polymer melts at high shear rates without pressure and viscous heating effects// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, - 2000. - V.89. - p.l 17 -131.

133. Гусев А.С., Макарова M.A., Пышнограй Г.В. Мезоскопическое уравнение состояния полимерных сред и описание динамических характеристик на его основе // Инженерно-физический журнал. 2005. т. 78. №5. С. 55-61.

134. Кузнецова Ю.Л., Скульский О.И., Пышнограй Г.В. Течение нелинейной упруговязкой жидкости в плоском канале под действием заданного градиента давления// Вычислительная механика сплошных сред, 2010, Т. 3, №2, С. 55-69.

135. Об определении поля скоростей полимерной жидкости в плоскопараллельном течении / Гусев А.С., Пышнограй И.Г., Пышнограй Г.В., Ярмолинская В.В. // Электронный физико-технический журнал. 2008. URL: http://eftj.secna.ru/vol3/080302.pdf (дата обращения: 15.04.2012).

136. Обобщение закона Пуазейля для плоскопараллельного течения вязкоупругих сред / Алтухов Ю.А., Гусев А.С., Макарова М.А., Пышнограй

Г.В. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. № 4. С. 581-590.

137. Алтухов Ю.А., Самойлов В., Пышнограй И.Г., Пышнограй Г.В. Моделирование 3D профиля скорости нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением// Механика композиционных материалов и конструкций, 2012, т. 18, №3.- С.325-332

138. Huilgol R.R., You Z., Mitsoulis E. Application of the Lambert W function

th

to obtain analytic solutions for the Papanastasiou model // Book of Abstracts 4 Annual European Rheology Conference. Napoli. Italy. 2007. P. 93.

139. Joseph D.D. Fluid dynamics of viscoelastic liquids / Springer-Verlag. 1990. 755 p.

140. Wassner E., Schmidt M., Munstedt H. Entry flow of a low-density-polyethylene melt into a slit die: An experimental study by laser-Doppler velocimetry // J. Rheol. 1999. 43(6). P. 1339-1353.

141. Янков В. И., Боярченко В. И., Первадчук В. П., Глот И. О. Переработка волокнообразующих полимеров. В семи томах. (Том I. Основы реологии полимеров. Течение полимеров в каналах.) - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 268 с.

142. М.А. Макарова, И.Г. Пышнограй, Г.В. Пышнограй, Ю.А. Алтухов, И.Э. Головичёва, Ю.Б. Трегубова, И.В. Третьяков, Г.Л. Афонин, Х.Н.А. Аль Джода Постановка мезоскопических граничных условий для скорости проскальзывания на границе// Ползуновский вестник, 2012, № 3/1, С. 61-74.

143. Головичёва И.Э., Пышнограй Г.В., Попов В.И. Обобщение закона Пуазейля на основе реологического определяющего соотношения полимерных жидкостей // Прикладная механика и теоретическая физика, 1999, т. 40. №5, с. 158-163.

144. Алтухов Ю.А., Пышнограй И.Г. Об учете проскальзывания в плоскопараллельном течении полимерной жидкости// Механика композиционных материалов и конструкций, 2011, № 3, С. 341-350.

145. H. Munstedt, М. Schmidt, Е. Wassner Stik and slip phenomena during extrusion of polyethylene melts as investigated by laser-Doppler velocimetry// J. Rheol., 2000, 44(2), p.413-427 .

146. Schmidt M., Wassner E., Munshtedt H. Setup and Test of a Laser Doppler Velocimeter for Investigations of Flow Behaviour of Polymer Melts// Mechanics of Time-Dependent Materials, 1999, v. 3, h. 371-393.

147. Скульский О.И., Аристов C.H. Механика аномально вязких жидкостей, Изд.-во УрО РАН, Екатеринбург,2004, 154 с.

148. Eymard, R. Gallouet, Т. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713-1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.

149. Khrabry A.I., Smirnov E.M., Zaytsev D.K. Solving the convective transport equation with several high-resolution finite volume schemes. Test computations / In: Computational Fluid Dynamics 2010. Ed.: A.Kuzmin. -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 954p., pp.535-540.

150. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 1979, Vol.19, pp.59-98.

151. Zienkiewiez J.C., Cheung Y.K. Finite elements in the solution of field problems. The Engineer p. 507-510 (September 1965).

152. Martin H.C.,Carey G.F. Brief History of Finit Element Theory in Introduction to Finife Element Analysis McGraw Hill, New York, 1973.

153. Patir, N., and Cheng, H. S., 1978. "An average flow model for determining effects of three-dimensional roughness on partial hydrodynamic lubrication". ASME J. Lubrication Technol., 100, pp. 12-17.