Исследование вероятностных методов решения интегральных и дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Голяндина, Нина Эдуардовна

• Голяндина, Нина Эдуардовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голяндина, Нина Эдуардовна

Содержание

Введение

Глава 1. Аппроксимация полугрупп, порожденных уравнениями баланса в пространстве мер

1 Дифференциальные уравнения в пространстве мер

1.1 Производные. Общие определения и обозначения

1.2 Дифференциальные уравнения в мерах. Условия и свойства

1.3 Полугруппы, порожденные дифференциальными уравнениями

2 Аппроксимация решения дифференциального уравнения в мерах

2.1 Общие условия

2.2 Аппроксимация с помощью скачкообразных семейств

2.2.1 Условия сходимости

2.2.2 Предварительные результаты об ошибках аппроксимации

3 Уравнения и процессы вЯиих продолжения

3.1 Продолжение дифференциальных уравнений

3.2 Продолжение марковских скачкообразных семейств

3.3 Перенос аппроксимационных свойств

4 Эмпирические скачкообразные семейства

4.1 Эмпирические процессы и процессы в И71

4.2 Аппроксимация с помощью (п, &)-частичных семейств

Глава 2. Статистическое оценивание функционалов от решений уравнений баланса

1 Свойства оценок

1.1 Состоятельность

1.2 Вклад начального распределения

1.3 Смещение и среднеквадратическое отклонение

2 Уравнения больцмановского типа

2.1 Свойства уравнения

2.2 Алгоритмы

2.3 Сравнение алгоритмов

2.3.1 Сравнение дисперсий

2.3.2 Сравнение трудоемкостей

2.4 Случайное число сталкивающихся частиц

2.5 Случай локально-компактного П

3 Модельный пример. Асимптотика при £ -» оо

Глава 3. Решение методом Монте-Карло краевых задач для оператора Лапласа

1 Скорость сходимости марковских цепей

1.1 Основные неравенства

1.2 Оценка скорости сходимости

2 Сферический процесс со сдвинутыми центрами

2.1 Основной вариант

2.2 Модифицированный вариант

3 Краевые задачи для оператора Лапласа

3.1 Подход к построению оценок решения

3.2 Решение краевых задач

3.2.1 Внутренние задачи

3.2.2 Внешние задачи

3.2.3 Моделирование

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование вероятностных методов решения интегральных и дифференциальных уравнений»

Введение

Метод Монте-Карло является одним из основных методов решения многих уравнений математической физики, в том числе кинетических уравнений динамики разреженных газов и краевых задач. При изучении стохастических процедур решения таких уравнений возникают теоретические вопросы, связанные с исследованием статистических свойств оценок и трудоемкости их моделирования.

Задачи метода Монте-Карло состоят, вообще говоря, в построении несмещенных или малосмещенных оценок вп величины в (как правило, некоторого функционала от решения той или иной задачи математической физики), пригодных для вычислительных целей. Этим и определяется основное отличие таких задач от задач оценивания параметров в математической статистике: если в последней основное внимание уделяется точности оценки (скажем, ее дисперсии), а "исходный материал" для ее построения (выборка) считается заданным, то в методе Монте-Карло большое значение имеет способ конструирования выборки и естественно возникает понятие трудоемкости алгоритма, которую можно условно описать как среднее число "основных" математических операций, необходимых для того, чтобы точность оценивания величины в была достаточно высока.

Именно эта специфика и объединяет две различные задачи, решаемые в диссертации.

Диссертационная работа посвящена применению метода Монте-Карло к решению интегро-дифференциальных уравнений. В первых двух главах рассматривается вероятностное решение задачи Ко-ши для обыкновенных дифференциальных уравнений баланса в пространстве мер, правая часть которых может иметь, в частности, интегральный вид. Здесь основное внимание уделяется качеству аппроксимации, то есть смещению и дисперсии оценок изучаемого функционала.

В третьей главе на основе так называемого "сферического процесса со сдвинутыми центрами" строятся новые оценки решения внутренней и внешней задачи Дирихле для некоторых уравнений математической физики, связанных с оператором Лапласа. В этой задаче акцент ставится на уменьшении вычислительных затрат при получении малосмещенных оценок, что достигается путем выбора соответствующей марковской цепи, быстро сходящейся к границе области.

Остановимся более подробно на каждой из задач по-отдельности. В первых двух главах рассматривается вероятностное решение обыкновенных дифференциальных уравнений баланса в пространстве мер с помощью последовательности скачкообразных марковских ме-розначных семейств (то есть в схеме серий). Под уравнением баланса понимается уравнение

с начальным условием /1^=0 = /л € Н, где Н — множество вероятностных мер на борелевской сг-алгебре подмножеств некоторого метрического компакта — достаточно гладкое отображение на Н и для любого распределения и £ Н имеет место равенство С (г/) (И) = О (это и есть условие баланса). Такую форму имеют, например, однородные уравнения больцмановского типа, для них

= J Т(- \иии2)у{йщ)и{йи2) - V, (2)

В2

где "ударная трансформанта" Т является вероятностной мерой по первому аргументу при фиксированных двух других. Нас интересует значение ф(^), где ф — некоторый функционал на множестве Н.

Поскольку уравнения больцмановского типа являются характерным частным случаем уравнения (1), опишем постановку задачи на их примере.

Существует несколько вариантов стохастического решения уравнений больцмановского типа (например, методы Бёрда и Нанбу, а также множество их вариантов), но общая структура их одинакова: при большом п моделируется специальным образом сконструированный "п-частичный" случайный процесс

такой, что £(£„(0)) = ц®п (возможны и другие варианты началь-

п . ,

ного распределения), и рассматривается о;та(/, £) = ^ /(0 (¿))/п в

¿=1

качестве оценки линейного функционала ф(^) = / где распре-

деление = /¿г(^) является решением соответствующего уравнения больцмановского типа с начальными данными /л £ Н.

Математическое обоснование этого практического приема должно состоять в доказательстве нескольких утверждений. Первым

из них является утверждение типа закона больших чисел (ЗБЧ): р

Ф(^) при п —У сю. Если ЗБЧ имеет место для любой ограниченной непрерывной функции /, тогда он эквивалентен распространению хаоса [38]. Естественно, ЗБЧ играет основную роль в поставленной задаче. Поэтому он привлекал к себе усилия многих математиков, и к настоящему времени можно считать, что задача распространения хаоса решена практически полностью в случае ограниченного полного сечения рассеяния и частично для твердых шаров (в терминологии динамики разреженных газов) для некоторых видов марковских п-частичных процессов.

Первые теоретические результаты в этом направлении получил, по всей видимости, М. Кас [31]. В 70-х годах усилиями (в основном, японских) математиков были получены результаты типа ЗБЧ для общих уравнений больцмановского типа и некоторого класса марковских п-частичных процессов. Эти результаты могут быть названы теоремами корректности для соответствующих вычислительных алгоритмов при фиксированном моменте времени

С 80-х годов и до настоящего времени усилия специалистов были сконцентрированы на доказательстве функциональных предельных теорем (в основном типа функционального закона больших чисел на конечном отрезке времени) для различных видов п-частичных процессов и форм уравнений больцмановского типа. Авторами первых работ в этом направлении являются А. В. Скороход [22] и К. Ое^Ыа^ег [36]. Один из наиболее полных результатов получен Б. Мё-1ёагс1 [33], где рассматривается сходимость по вариации. Отметим, что эти и аналогичные результаты существенным образом используют линейную структуру фазового пространства рассматриваемых процессов, в то время как в диссертации для пространства И такой структуры не предполагается.

В то же время даже для фиксированного момента времени £ и линейного функционала ф вопросы точности аппроксимации величины оценкой о;те(/, ¿) остаются во многом открытыми. В 1967 г. Н. Р. МсКеап [32] исследовал главный член погрешности аппроксимации для простейшего модельного уравнения больцмановского типа (по существу, обыкновенное дифференциальное уравнение в [0,1]).

Для двух видов n-частичного процесса и достаточно общих (неоднородных) уравнений больцмановского типа в [20] и [10] было фактически получено асимптотическое разложение смещения и дисперсии оценки ujn(f,t) по степеням п-1. Однако коэффициенты при п~к выражались через достаточно сложные ряды, что затрудняло их анализ.

Отметим, что один из последних результатов, относящийся к оцениванию сверху погрешности приближения функционала на отрезке [0,Т] с помощью случайного процесса и;п(/, •)' принадлежит S. Méléard [33]. Полученная в работе верхняя граница имеет вид 0(есТ/п), что, несмотря на функциональный характер неравенства и точный порядок оценки, не является достаточным для приложений.

Важность отыскания пределов вида c(f,t) = limnD(a;n(/, £)) при п —> оо (то есть коэффициентов асимптотических дисперсий) связана с тем, что только после решения этой задачи можно ставить вопрос о центральной предельной теореме и состоятельных оценках дисперсий, необходимых для построения доверительных интервалов. Отметим, что, хотя центральная предельная теорема для общих уравнений больцмановского типа не доказана, проблема построения состоятельной оценки дисперсии может оказаться даже более сложной.

Метод решения описанной задачи в данной работе основан на технике теории однопараметрических полугрупп операторов. Если рассматривать однородное уравнение больцмановского типа как обыкновенное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве конечных зарядов, появляется возможность применять к нему и к полугруппе, порожденной скачкообразным мерозначным марковским семейством, теорему Троттера-Като теории линейных сжимающих полугрупп в банаховых пространствах (см., например [12, 26]). Вместе с формулой Дюамеля этот метод позволяет не только доказывать результаты о сходимости, но и хорошо приспособлен для исследования точности аппроксимации.

Применение такого подхода к стохастическому решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений в хорошо известно. Различные его аспекты (в том числе и вычислительные) обсуждались, например, в [23, 19, 34].

В рассматриваемой задаче, однако, имеются свои особенности, связанные с тем, что интересующие нас дифференциальные уравнения заданы на банаховом пространстве конечных знакопеременных мер (иногда для краткости в дальнейшем называемых просто мера-

ми), где норма заряда равна его полной вариации. Такое пространство обладает, вообще говоря, рядом специфических топологических свойств. Например, оно не является сепарабельным, а множество вероятностных мер Н не является в нем компактом. Поэтому на пространстве зарядов приходится рассматривать одновременно как сильную (сходимость по вариации), так и слабую (слабая сходимость) топологии. Так, несколько нестрого выражаясь, гладкость отображения С понимается в том смысле, что оно имеет необходимое число сильных производных (по вариации), в то время как эти производные являются слабо (и сильно) непрерывными.

Другой особенностью задачи является ограничение на класс рассматриваемых скачкообразных марковских процессов (или семейств), возникающее из требования их конструктивности (пригодности для практического моделирования). В принципе величина скачка ме-розначного процесса может быть любым конечным зарядом, и тогда можно ставить и решать задачу о нахождении оптимального в смысле минимума коэффициента асимптотической дисперсии процесса (см. [34] для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в евклидовом случае). Но для произвольных зарядов такая процедура будет, вообще говоря, нереализуемой с точки зрения метода Монте-Карло, и поэтому требуется ограничить множество рассматриваемых процессов. В работе в качестве такого множества рассматриваются эмпирические мерозначные процессы, траектории которых имеют вид

1 п i=l

где (¿) — координаты соответствующего п-частичного процесса, а ^ — мера Дирака, сосредоточенная в точке х.

Таким образом, первая задача, решаемая в диссертационной работе, может быть сформулирована следующим образом: для однородных дифференциальных уравнений баланса в пространстве мер (включая однородные уравнения больцмановского типа) и гладких функционалов ф : Н К выделить достаточно широкий класс таких эмпирических мерозначных скачкообразных марковских процессов £„(*), что для них не только имеет место сходимость —> ф(^г), но и явным образом вычисляются коэффициенты асимптотических дисперсий и смещений, причем в форме, удобной для дальней-

шего анализа.

В диссертации приведены два примера такого анализа для уравнений больцмановского типа. Во-первых, для этих уравнений удается сравнить трудоемкости двух наиболее популярных алгоритмов Монте-Карло — алгоритмов Бёрда и Нанбу. Из практики хорошо известно, что первый из них обладает преимуществами, которые обычно объясняют учетом физических законов сохранения импульса и энергии, отсутствующих в методе Нанбу. В диссертации показано, что даже в абстрактной постановке, когда фазовое пространство одной частицы не является евклидовым, с точностью до о(1/п) трудоемкость метода Бёрда не больше трудоемкости метода Нанбу. Что касается использования законов сохранения при рассмотрении уравнения Больцмана динамики разреженных газов, то, по всей видимости, оно лишь усиливает это преимущество.

Второе применение полученных общих математических результатов относится к поведению коэффициентов асимптотических дисперсий при больших временах. На примере модельного уравнения Больцмана, изучавшегося в [3, 37], найдены асимптотические при t оо значения коэффициентов асимптотических дисперсий и смещений для двух основных монте-карловских алгоритмов. При этом оказалось, что главный член дисперсии оценки функционала по методу Бёрда при больших t превосходит такой же член в методе Нанбу, причем обе асимптотические дисперсии выражаются через дисперсию оцениваемого функционала по асимптотическому распределению [loo = lim [if Таким образом, в этом случае чисто статистиче-

Í—f оо

ские свойства оценки Бёрда оказались хуже, чем у Нанбу.

Вторая часть диссертационной работы посвящена традиционной для метода Монте-Карло проблематике решения краевых задач Дирихле, связанных с оператором Лапласа. Поскольку задачи такого сорта имеют вероятностное решение, связанное с траекторией вине-ровского процесса вплоть до его выхода на границу области, возникает естественная задача построения вложенной в этот процесс марковской цепи, "быстро" приближающейся к границе.

Например, если рассмотреть марковское семейство с переходной функцией р(х, •), которая является равномерным распределением на границе максимального шара с центром в точке х Е G, целиком содержащегося в ограниченной области G С Rm с границей Г = 8G, и

обозначить р£ момент первого попадания соответствующей марковской цепи £о — х-> £ъ ■ • • в е-границу Ге области (2, то при е —0

где и является решением внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа в области (7 с граничным условием = <р (естественно, при выполнении некоторых требований на функцию (р и область (7), а — точка границы, ближайшая к .

Таким образом, случайная величина ) является малосмещен-ной оценкой величины и(х) (для достаточно гладкой границы Г смещение пропорционально е) и возникает вопрос о скорости сходимости марковской цепи £п к границе Г, то есть о поведении в нуле функции Ежг/е. Тем самым в терминологии метода Монте-Карло речь идет о трудоемкости описанного вероятностного алгоритма решения внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа. Аналогичные рассуждения имеют место и для других (внутренних и внешних) задач Дирихле, связанных с оператором Лапласа (например, [8, 25, 21]).

Для описанной марковской цепи (она традиционно называется сферическим процессом) величина

/(е) = вир Бху£

является хорошо исследованной. А именно, для широкого класса областей С (например, для выпуклых и близких к ним или для достаточно гладких) доказано (см. [9, 18, 21, 14, 15, 16, 24, 13]), что

№<Сг |1пе| + С2, (4)

где С\ и С2 — некоторые положительные константы, зависящие только от области (7. При этом использовались различные методы доказательства: основанные на технике теории восстановления ([9, 18, 21]), методы, связанные с решением неоднородных задач Дирихле ([24, 13]), а также подход, основанный на решении специальных неравенств ([14, 15, 16, 18]).

Поскольку сферический процесс вложен в броуновское движение, начинающееся в точке ж, а его переходная функция р(у, •) является распределением точки выхода броуновского движения на границу шара с центром в точке у, возникает естественный вопрос: нельзя

ли найти другую марковскую цепь с простой переходной функцией, также вложенную в броуновское движение и сходящуюся к границе быстрее, чем стандартный сферический процесс. Решению этой задачи и посвящена третья глава диссертации.

Оказывается, решение этой задачи достигается следующим путем. Пусть х 6 <2 и рассмотрим шар Кх С С, содержащий точку х и касающийся границы Г в точке у, причем число й(х) = \х — у\ равно расстоянию от х до Г. Пусть центр 2 шара Кх не совпадает с х ж лежит на продолжении отрезка причем для всех достаточно близких к Г точек х радиус шара не зависит от ж и равняется некоторой константе И.

Легко выписать распределение точки выхода винеровского процесса, начинающегося в ж, на границу шара Кх. Возьмем это распределение в качестве переходной функции марковской цепи £0 = ... (в дальнейшем эта цепь называется сферическим процессом со сдвинутыми центрами). Основной результат третьей главы может быть кратко описан следующим образом (точная формулировка приведена в разделе 2 главы 3): для областей й с регулярной границей при соответствующем выборе константы Я имеет место неравенство

/(е) = 8ир ЕХ1У£ < Сг 1п 11п е\ + С2, (5)

где, как и прежде, ре обозначает число шагов сферического процесса со сдвинутыми центрами до попадания во внутреннюю ^-границу области (2.

Метод доказательства этого неравенства восходит к работе [14], где рассматривался обычный сферический процесс, однако здесь используются более общие утверждения, позволяющие оценивать поведение широкого класса функций, стремящихся к бесконечности в нуле. Аналогичным образом исследуются несколько более сложные марковские цепи, пригодные для построения малосмещенных оценок решений внешних задач.

Перейдем теперь к более подробному описанию содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена точности аппроксимации полугрупп, порождаемых дифференциальными уравнениями в пространстве мер, с помощью полугрупп, порожденных однородными скачкообразными эмпирическими марковскими семействами.

Первый раздел главы носит вводный характер. В нем даются необходимые определения, связанные с одновременным использованием сильной (сходимость по вариации) и слабой (слабая сходимость) топологий в пространстве Е конечных зарядов (знакопеременных мер), определенных на борелевской ст-алгебре подмножеств полного метрического компактного сепарабельного пространства (И,р). Кроме того, вводятся общие условия на решение однородного дифференциального уравнения вида (1), заданного на множестве V С Е, которое является компактом в слабой топологии и одновременно в сильной топологии замыкание внутренности которого содержит V. Например, требуется, чтобы существовали вторые производные решения /¿¿(/¿) по начальным данным ¡1 £ V, слабо и сильно непрерывные как отображения V х Е х Е Е.

Некоторые из этих предположений, в частности, используются при получении явного вида инфинитезимального оператора полугруппы Т1 сжимающих операторов, порожденных дифференциальным уравнением (1), на множестве С1 (V) слабо-непрерывных и слабонепрерывно-дифференцируемых функций.

Второй раздел первой главы посвящен условиям и ошибкам аппроксимации полугруппы Т* с помощью полугрупп, порожденных однородными скачкообразными марковскими семействами.

Сначала (подраздел 2.1) формулируются и доказываются общие достаточные условия аппроксимации полугруппы Т1 с помощью последовательности полугрупп Т1п однородных марковских семейств 5П с фазовыми пространствами Уп, аппроксимирующими V (теорема 2.2). Фактически речь идет о переносе достаточных условий Берресфорда [23] для выполнения условий теоремы Троттера-Като теории линейных сжимающих полугрупп на интересующие нас пространства.

Первый результат подраздела 2.2.1 состоит в уточнении условий теоремы 2.2 при рассмотрении скачкообразных марковских семейств. При наложении соответствующих ограничений на инфинитезималь-ные характеристики таких семейств теорема 2.3 дает проверяемые достаточные условия сходимости полугрупп Т* к Ть.

Наконец, в подразделе 2.2.2 второго раздела первой главы находится (теорема 2.4) вид остаточного члена аппроксимации, пригодный для дальнейшего исследования. В этой теореме приведено несколько форм остаточных членов, соответствующих различным

предположениям об аппроксимирующем мерозначном скачкообразном семействе. В дальнейшем используется лишь одно из них, позволяющее рассматривать величины скачков процесса, являющиеся конечными зарядами. Эти ограничения вытекают из условия "реализуемости" аппроксимирующего семейства, характерного для метода Монте-Карло. Здесь еще раз проявляется отличие рассматриваемой задачи от аналогичной в евклидовом пространстве, где величина скачка является случайным вектором. Что касается теоремы 2.4, то при ее доказательстве используется формула Дюамеля теории возмущений полугрупп, примененная к функциям класса С2(У) — слабо-непрерывным и дважды дифференцируемым функциям со слабо-непрерывными производными.

Результаты первых двух разделов главы 1 относятся к дифференциальным уравнениям, заданным на слабом компакте V с непустой сильной внутренностью, в то время как нас интересуют уравнения, заданные на множестве вероятностных мер Н, сильная внутренность которого пуста. Поэтому, чтобы воспользоваться этими результатами, нужно продолжить как само уравнение так и соответствующие скачкообразные мерозначные семейства с Н и аппроксимирующих его подмножеств Нп на некоторый компакт V и аппроксимирующие его подмножества Уп. Такой перенос является содержанием третьего раздела главы 1.

Подраздел 3.1 относится к продолжению дифференциальных уравнений по однородности. В нем в качестве V выбирается замкнутый по норме шаровой слой Нс положительных мер, содержащий Н. Продолжение любого отображения д с Н на Нс осуществляется по формуле

аЫ = 1И10 (щ) ■ (6)

Дальнейшие рассуждения можно описать следующим образом. Рассматривается дифференциальное уравнение баланса в Н вида (1), то есть предполагается, что С(д)(1)) = 0 при любом /л Е Н. На отображение налагаются условия, обеспечивающие для продолженного на Нс уравнения (продолжение отображения С осуществляется согласно (6)) выполнение необходимых свойств решения, описанных в разделе 1.2. Кроме того, эти условия обеспечивают (с точностью до линейной замены времени в уравнении (1)) представимость С в ви-

де б!(/л) = В(/л) — ¡л, где В (/л) Е Н при любом ¡л £ Н. При этом для отображений, заданных на Н, можно определить понятие Н-производной, аналогичное понятию обычной производной в Нс, причем продолжение ^-дифференцируемых отображений по однородности является дифференцируемым.

Аналогичным образом осуществляется продолжение по однородности скачкообразных марковских семейств с Н на Нс\ это продолжение описано в разделе 3.2. Таким образом, рассматривая уравнения баланса и скачкообразные семейства в Н, можно получать ап-проксимационные результаты для продолженных до Нс уравнений с помощью продолженных скачкообразных семейств.

Наконец, в разделе 3.3 показано (теоремы 3.3 и 3.4), что аппрок-симационные результаты, полученные для продолженных с Н уравнений и семейств в V = Нс во втором разделе первой главы, переносятся практически в той же форме обратно в Н.

В последнем разделе первой главы множество рассматриваемых мерозначных скачкообразных семейств сужается до эмпирических семейств, имеющих фазовые пространства Нп = £ И}. Такие семейства естественным образом порождаются скачкообразными марковскими семействами с фазовым пространством £>п, что позволяет переходить на более привычный язык "обычных" марковских семейств. Среди них выделяется класс так называемых "(п, к)-частичных" семейств, отличающийся тем, что при каждом скачке ровно к из п координат процесса меняют свое положение.

Используя эти ограничения, удается для широкого класса уравнений баланса и естественного класса "реализуемых" (п, &)-частичных семейств выразить погрешность аппроксимации интересующих нас полугрупп в сжатом виде. Стандартный вид получающихся результатов (см. теоремы 4.2, 4.3, а также следствие 4.1 и замечания 4.1 и 4.2) для функции ф класса С2(Н) может быть кратко записан в следующем виде: равномерно по V £ Нп

Т^РпФП - Г^м = ^^ + о(1/п), (7)

ть

где рп является оператором ограничения функций с Н на Нп, а коэффициент С к зависит от конкретного вида (п, &)-частичного процесса и выражается через интегралы от первых и вторых производных от решения уравнения (1) по начальным данным. Естественно, переход-

ная функция этого процесса выбирается зависимой от Равенство (7) понимается в том смысле, что

вир

0.

► оо

п

В главе 1 рассматривалась аппроксимация полугрупп, порождаемых решениями уравнений баланса. Во второй главе диссертации полученные результаты используются для исследования статистических оценок гладких функционалов от решения дифференциального уравнения: их состоятельности, смещения и среднеквадратического отклонения, а также трудоемкости соответствующих алгоритмов метода Монте-Карло.

Как обычно, если добавить к результатам о сходимости полугрупп требование слабой сходимости начальных распределений £(£те(0)) к распределению, сосредоточенному в точке ¡1 -— начальных данных

уравнения (1), то будет иметь место сходимость Ф{цг)

для любых момента времени £ и непрерывного функционала ф. Более того, из [26, т. 2.11 гл. 4] немедленно следует слабая сходимость распределений мерозначных процессов £п (•) к детерминированной мерозначной функции в пространстве вероятностных мер на Б([0,оо)).

Поскольку

Ф(Ш) - ФЫА) = (ф(Ш) - ФЫШ))) +

то погрешность оценивания распадается на два слагаемых, первое из которых " отвечает" за различие в переходных механизмах аппроксимирующего марковского семейства и дифференциального уравнения, а второе описывает "вклад начального распределения" £(£п(0)). Что касается первого слагаемого, то результаты раздела 4.2 (то есть формулы вида (7)) позволяют непосредственно выписать главные члены соответствующих ему смещения и дисперсии для функций класса С2 (Я).

Изучению вклада начального распределения посвящен подраздел 1.2 второй главы. Поскольку для £п(0) имеет место равенство (3) с

£ = 0, то соответствующие смещение и дисперсия зависят от совместного распределения случайных величин = (}п\о), г = 1,..., п, которые всегда можно считать симметрично зависимыми. Отметим, что для гладкой функции ф функция Р = фо ^ также будет гладкой, и поэтому, как и следует ожидать, в простейшем случае независимых С-п) с ) = Ц главные члены обеих характеристик ошибок будут

пропорциональны п-1, причем константы выражаются через вторые (для смещения) и первые (для дисперсии) производные Р по ¡л (первое утверждение теоремы 1.2, следствие 1.2 и замечание 1.3). На самом деле условие независимости можно ослабить, потребовав, чтобы вариация разности между совместным распределением случайных

величин £2^ и № ® М убывала как о(1/п).

Иные результаты получаются, если предположить, что

=---1Уп + тп, (8)

п п

где рп — последовательность распределений, слабо сходящаяся к ¿(С^,^), а \\тп\\ = о(1/п). В этом случае вклад начального распределения имеет вид о(1/п) (второе утверждение теоремы 1.2). Соотношение (8) выполняется, в частности, для аналога метода стратифицированных выборок, используемых в статистике (следствие 1.1).

Наконец, в теореме 1.3 приводятся итоговые результаты для смещения и дисперсии оценок достаточно гладких функций от решения дифференциального уравнения, баланса (1) с помощью выбранного класса (гс, &)-частичных скачкообразных семейств.

Эти результаты применяются во втором разделе главы 2 диссертации к уравнениям больцмановского типа, то есть уравнениям с правой частью в форме (2).

Здесь рассматриваются условия, при которых такие уравнения удовлетворяют условиям теоремы 1.3 (лемма 2.1 и замечание 2.1) и описываются несколько видов эмпирических скачкообразных процессов, его решающих. В их число входят известные процессы Нанбу (к = 1) и Бёрда (к — 2). Для рассмотренных алгоритмов приведены результаты сравнения дисперсий и трудоемкостей оценок, построенных с их помощью (лемма 2.2).

В подразделе 2.4 (лемма 2.3) приведен пример того, как применяется разработанная техника, если число частиц, меняющих свои

координаты при столкновении, является случайным (а не фиксированным, как для (п, к)--частичных процессов). Это расширяет множество алгоритмов, "решающих" уравнения больцмановского типа.

Обычное однородное уравнение Больцмана динамики разрежено

ных газов соответствует К как фазовому пространству одной частицы, то есть локально компактному пространству И, в то время как все предыдущие результаты получены для компакта. В подразделе 2.5 (теорема 2.1) показано, что для уравнений больцмановского типа эти результаты переносятся с помощью одноточечной компактифика-ции на случай пространства мер, заданных на локально-компактном пространстве О.

Наконец, последний раздел главы 2 посвящен исследованию одного модельного уравнения больцмановского типа с точки зрения поведения коэффициентов асимптотической дисперсии и смещения оценок линейных функционалов при t со. Получен (теорема 3.1) явный вид предельных значений этих характеристик для двух основных алгоритмов моделирования.

В третьей главе диссертации, как уже говорилось, рассматриваются вопросы уменьшения трудоемкости при стохастическом решении некоторых краевых задач математической физики. Полученные результаты основаны на оценке скорости сходимости однородной марковской цепи £п к "притягивающему" подмножеству Г фазового пространства С, причем скорость сходимости понимается как среднее число шагов марковской цепи до попадания в е-окрестность Г£ множества Г при малых е. Этому посвящен первый раздел главы 3.

Основной результат раздела — теорема 1.3 — опирается, в свою очередь, на одно более общее утверждение о решении неравенств специального вида (теоремы 1.1 и 1.2).

Опишем, опуская детали, содержание теоремы 1.3. Положим 1/£ = гшп{гг : Е Г£} и рассмотрим на (0,£] гладкую строго убывающую функцию в, стремящуюся к бесконечности в нуле. Возьмем (3 > 0 и положим (р(х) = 9~1{9{х) — (5). Наконец, рассмотрим некоторую убывающую целочисленную функцию п(х), стремящуюся к бесконечности в нуле, и убывающую положительную суммируемую последовательность а/. Теорема 1.3 утверждает, что если

яирРх{и£>1)<Са1, I = 1,.. .,п(е),

X

где супремум берется по всем х £ \ Ге, а

г

! ап{г)\0'< +оо, о

то при достаточно малых £

/(е) = вирЕ< С^ё) + С2.

Во втором разделе главы 3 этот результат применяется к специальной марковской цепи, названной "сферическим процессом со сдвинутыми центрами" в некоторой области С С Нт. Очень коротко эту цепь можно описать как последовательность точек выхода вине-ровского процесса на границы шаров, сдвинутых в сторону, противоположную ближайшей точке границы области, относительно точки, являющейся текущим стартом винеровского процесса.

Оказывается, что при соответствующих условиях регулярности границы С и правильном выборе сдвига имеет место неравенство (5), что соответствует выбору в(х) = 1п|1пж| в теореме 1.3. Точное утверждение доказывается в теореме 2.1 с п{х) = [1п(1/гг)] и щ = ехр(—7/). Более того, это неравенство является точным по порядку в том смысле, что для в = {у = (у(1),..., ?/(т)) € Нш, 0 < у^т) < 2Я} выполняется и противоположное неравенство (теорема 2.2).

Марковская цепь, исследованная в теоремах 2.1 и 2.2, используется при стохастическом решении внутренних задач Дирихле. Для внешних задач требуется ее модификация, описанная в подразделе 2.2 главы 3 и аналогичная приведенной в [25, гл. 5]. Соответствующее утверждение (теорема 2.3) снова дает оценку с повторным логарифмом (5), причем его доказательство почти полностью повторяет доказательство теоремы 2.1.

Последний раздел третьей главы посвящен применению полученных результатов к решению ряда краевых задач математической физики. Сначала (подраздел 3.1) на примере внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона иллюстрируется связь между известными стохастическими представлениями решений таких задач с использованием винеровского процесса и монте-карловскими оценками.

Наконец, в подразделе 3.2 кратко обсуждаются алгоритмические аспекты решения методом Монте-Карло нескольких внутренних и

внешних задач Дирихле, связанных с оператором Лапласа, с помощью сферического процесса со сдвинутыми центрами. В список обсуждаемых задач входят внутренняя и внешняя задачи Дирихле для оператора Лапласа, внутренняя и внешняя задачи для уравнения Пуассона, а также внутренняя задача для уравнения Гельмгольца. Отметим, что доказательство корректности рассматриваемых алгоритмов проводится стандартным для метода Монте-Карло образом (например, [8, 9, 21, 25]) и поэтому не приводится.

Таково общее содержание диссертационной работы. В ней принята следующая система нумерации формул, теорем и разделов. Для формул используется сквозная нумерация. Утверждения (теоремы, леммы, следствия и пр.) нумеруются заново в каждой главе с помощью двойной нумерации (номер раздела главы и номер теоремы). В ссылках внутри главы эта нумерация сохраняется, при перекрестных ссылках к номеру раздела впереди приписывается номер главы. При ссылках на разделы другой главы указывается номер этой главы.

Настоящая работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете. Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались на второй и третьей международных конференциях по моделированию "Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design", St.Petersburg, 1996, 1998; на международном семинаре "Numerical Methods for Kinetic Equations", Berlin, 1997 и на семинарах кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [28, 29, 30, 6, 18, 5, 27].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голяндина, Нина Эдуардовна, 1998 год

Литература

[1] Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

[2] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

[3] Бобылев А., Рязанов С. Аналитическое и численное изучение модельного кинетического уравнения. Препринт N- 60, Институт прикладной математики, Москва, 1996.

[4] Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т. 2. М.: Наука, 1973.

[5] Голяндина Н.Э., Некруткин В.В. О вариантах сферического процесса, быстро сходящихся к границе // Системное моделирование в информатике, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. С. 3-12.

[6] Голяндина Н.Э. Некоторые функциональные неравенства и исследование скорости сходимости марковских цепей к границе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. Т. 31. N- 7. С. 1029-1041.

[7] Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

[8] Елепов Б.С., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980.

[9] Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

[10] Иванов A.B., Некруткин В.В., Тур Н.И. Асимптотические разложения в распространении хаоса для уравнений больцмановского типа. Труды Санкт-Петербургского математического общества, 1998. Т. 5. С. 93-111.

[11] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

[12] Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С. и др. Однопараметриче-ские полугруппы. М.: Мир, 1992.

[13] Кронберг A.A. Об асимптотике среднего числа шагов £-сфери-ческого процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т. 20. № 2. С. 528-531.

[14] Курбанмурадов O.A. Оценка математического ожидания числа шагов ^-сферического процесса // Методы Монте-Карло в вычисл. матем. и матем. физ. Ч. 2. Новосибирск: Наука, 1979. С. 137-144.

[15] Курбанмурадов O.A. Асимптотика среднего числа блужданий до попадания в ^-окрестность границы для одного класса однородных цепей Маркова // Системное моделирование в информатике, Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. С. 13-22.

[16] Курбанмурадов O.A. Исследование трудоемкости алгоритма блуждания по эллипсоидам для решения эллиптического уравнения методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычисл. матем. и матем. физ. Новосибирск: Наука, 1985. С. 170-171.

[17] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

[18] Некруткин В.В., Пригаро (Голяндина) Н.Э. О скорости сходимости к границе некоторых вариантов сферического процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986. Т. 26. N- 4. С. 626-631.

[19] Некруткин В.В., Тур Н.И. Развитие вероятностного подхода к численному решению систем нелинейных дифференциальных уравнений. Депонир. в ВИНИТИ №■ 5565-В87, 1987.

[20] Некруткин В.В., Тур Н.И. О схемах прямого моделирования разреженных газов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989. Т. 29. № 9. С. 1380-1392.

[21] Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука, 1989.

[22] Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука, 1983.

[23] Berresford G.C. A class of nonlinear partial differential equations and the associated Markov processes // Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 1976. V. 33. P. 237-251.

[24] DeLaurentis J.M., Romero L.A. A Monte Carlo method for Poisson's equations // J. of Computational Physics, 1990. V. 90. P. 123-140.

[25] Ermakov S.M., Nekrutkin V.V., Sipin A.S. Random Processes for Classical Equations of Mathematical Physics. Kluwer Academic Publishers, 1989.

[26] Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes. Characterization and convergence. Jörn Wiley & Sons, 1986.

[27] Golyandina N. Monte Carlo solution of boundary problems for the Laplace operator // Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design: Proc. 2nd St.Petersburg Workshop on simulation, St.Petersburg, June 18-21, 1996. St.Petersburg University Press, 1996. P. 81-86.

[28] Golyandina N. Markov processes for solving differential equations in measure spaces // Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design: Proc. 2nd St.Petersburg Workshop on simulation, St.Petersburg, June 18-21, 1996. St.Petersburg University Press, 1996. P. 75-80.

[29] Golyandina N. Rate of convergence of Markov processes to the solution of homogeneous Boltzmann type equation // Workshop on Numerical Methods for Kinetic Equations: Book of Abstracts, Berlin, 1997. P. 17.

[30] Golyandina N. Stratification for functional on measure spaces // Proc. 3-d St.Petersburg Workshop on simulation, St.Petersburg, June 28 - July 3, 1998. St.Petersburg University Press, 1998. P. 2530.

[31] Kac M. Foundation of kinetic theory // Proc. 3-d Berkly Symp. on Math. Stat, and Prob. Univ. Calif. 1956. V. 3 P. 171-197.

[32] McKean H.P. An exponential formula for solving Boltzmann equation for a maxwellian gas // J. of Combinatorial Theory, 1967. V. 2. P. 358-382.

[33] Meleard S. Asymptotic behaviour of some interactive particle system; McKean-Vlasov and Boltzmann models // Lecture Notes in Mathematics, 1995. V. 1627. P. 42-95.

[34] Nekrutkin V.V., Skorina I.A. Optimal simulation of simplest dynamic systems // Mathematical Methods and Tools in Computer Simulation, Intern. Workshop, May 24-26, 1994, St.Petersburg State University, St.Petersburg, 1994. Preprint MM94-01. P. 46-47.

[35] Nekrutkin V.V., Tur N.I. Asymptotic expansions and estimators with small bias for Nanbu processes // Monte Carlo Methods and Appl., 1997. V. 3. N- 1. P. 1-35.

[36] Oelshlager K. A martingale approach to the law of large numbers for weakly interacting stochastic processes // Annals of Probability, 1984. V. 12. P. 458-479.

[37] Rjasanow S., Wagner W. Numerical study of a stochastic weighted particle method for a model kinetic equation // Journal of Computational Physics, 1996. V. 128. P. 351-362.

[38] Sznitman A.S. Topics in propagation of chaos // Lecture Notes in Mathematics, 1991. V. 1464.