Исследование трёхчастичного рассеяния и развала с помощью дифференциальных уравнений Фаддеева на базе нового представления для асимптотик компонент волновых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Белов, Павел Алексеевич

• Белов, Павел Алексеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Белов, Павел Алексеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Трёхчастичные системы

1.1. Введение

1.2. Уравнение Шредингера

1.3. Уравнения Фаддеева

1.4. Угловой анализ уравнений Фаддеева

1.5. Асимптотика компоненты Фаддеева

1.6. Асимптотики парциальных компонент Фаддеева

Глава 2. Асимптотический подход к решению задачи рассеяния

2.1. Введение

2.2. Постановка

2.3. Постановка модельной задачи

2.4. Асимптотический подход

2.5. Асимптотический гиперсферический подход

2.6. Выводы к данной главе

Глава 3. Модельная задача

3.1. Модельное уравнение

3.2. Амплитуды и амплитудные функции

3.3. Асимптотики амплитудных функций

3.4. Выводы к данной главе

Глава 4. Численная схема

4.1. Краевая задача для уравнений в декартовых координатах

4.2. Краевая задача для уравнений в гиперсферических координатах

4.3. Определение амплитуд рассеяния

4.4. Выводы к данной главе

Глава 5. Стреловидная декомпозиция для блочно-трёхдиаго-нальной СЛАУ

5.1. Введение

5.2. Метод стреловидной декомпозиции

5.3. Метод матричной прогонки

5.4. Вычислительное ускорение

5.5. Практические результаты

5.6. Выводы к данной главе

Глава 6. Результаты вычислений

6.1. Результаты решения модельной задачи

6.2. Результаты вычислений для й-волнового уравнения Фаддеева

6.3. Выводы к данной главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование трёхчастичного рассеяния и развала с помощью дифференциальных уравнений Фаддеева на базе нового представления для асимптотик компонент волновых функций»

Введение

Актуальность темы исследования. Интенсивные исследования процессов рассеяния элементарных частиц начались в первой четверти двадцатого века. В настоящее время, эксперименты по рассеянию частиц являются основным инструментом проверки новых теорий и моделей [2, 4, 5]. Описание процессов рассеяния в системе трёх нерелятивистских частиц в рамках формализма уравнения Липпманна-Швингера 3э)тру^днсно из 30) нббдинствбн ности решения данного уравнения [16, 46] и трудности задания граничных условий для волновой функции на бесконечности. Использование формализма интегральных уравнений Фаддеева [17] для компонент волновой функции позволяет поставить корректную, однозначно решаемую задачу рассеяния. Более простые краевые условия на компоненту волновой функции на беско-н6чности для дифференциальных уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве делают возможным эффективное численное решение поставленной задачи. Применение дифференциальных уравнений Фаддеева [24] для исследования проблем трёхчастичного рассеяния позволяет определить параметры нейтрон-дейтронных (пА) столкновений как с модельными потенциалами [37], так и с реалистичным нуклон-нуклонным взаимодействием [45, 48]. Недавние исследования нейтрон-нейтронного взаимодействия в конечном состоянии и измерения длины нейтрон-нейтронного рассеяния в ий реакциях основаны на теоретических результатах, полученных в формализме Фаддеева [6, 7]. Отработка вычислительных методов и алгоритмов в ий рассеянии открывает хорошие перспективы для точного описания современных данных по протон-дейтронному рассеянию [8].

Цели и задачи диссертационной работы: Одним из открытых во~ просов при описании рассеяния в системе трёх нерелятивистских частиц при энергиях выше порога развала является вопрос о корректном учёте развальной составляющей асимптотики решения задачи рассеяния и ее влияния на

бинарную составляющую. Целью диссертационной работы является построение нового представления для асимптотик компонент волновой функции, в котором в явном виде произведена ортогонализация бинарного канала и канала развала. На этой основе в диссертации разработан новый метод решения граничных задач для рассеяния выше порога трёхчастичного развала. Правильность разработанного метода подтверждается аналитическими результатами для амплитудных функций бинарного канала и канала развала в случае модельной задачи. В диссертации показано, что амплитудные функции, полученные как предложенным методом, так и методом функции Грина, медленно сходятся к амплитудам рассеяния. Сходимость дости гсьсз тся > вообще говоря, на бесконечности. Применительно к методу определения амплитуд рассеяния, это приводит к необходимости задавать граничные условия задачи рассеяния на большом расстоянии от начала координат.

Научная новизна. Все результаты«I представленные в диссертациия^в ляются оригинальными и новыми. Аналитические результаты для модельной задачи, а также новое представление для асимптотик компонент волновой функции получены впервые. Граничная задача для проблемы рассеяния в данном виде ставится в первый раз, хотя общая формулировка задачи является классической [24]. Проекционный метод для нахождения амплитуд рассеяния предложен и используется впервые. Разработанный численный метод для параллельного ^зетттени^я^ блочно-трёхдиагональной СЛАУ являет ся оригинальным обобщением известного метода декомпозиции для трёхдиаго-нальных систем.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, могут быть использованы для оценки точности получаемых амплитуд бинарного канала и канала развала в трёхчастич-ном рассеянии, для анализа экспериментальных данных измерения характеристик нейтрон-нейтронного рассеяния в пА столкновениях. Разработанные методы могут послужить базой для описания четырехчастичного рассеяния

и для рассеяния в системе протон-дейтрон. Численные методы, использованные в данной диссертации, могут применяться для решения аналогичных граничных задач, возникающих в квантовой физике и прикладной математике, а также для параллельного решения блочно-трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений независимо от их происхождения.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новое представление для асимптотики компоненты волновой функции, в котором в явном виде произведена ортогонализация бинарного канала и канала развала.

2. Новый метод решения граничной задачи для проблемы рассеяния выше порога трёхчастичного развала.

3. Аналитически полученные асимптотики амплитудных функций бинарного канала и канала развала модельной задачи медленно сходятся к соответствующим амплитудам.

4. Численная демонстрация медленной сходимости амплитудных функций в случае оригинальной задачи нейтрон-дейтронного рассеяния на базе й-волновых уравнений Фаддеева.

5. Численный метод для эффективного параллельного решения блочно-трёхдиагональной СЛАУ, возникающей после дискретизации граничной задачи для й-волнового уравнения Фаддеева.

Степень достоверности и апробация результатов. Изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и на международных семинарах и конференциях:

1. 61 Международная конференция по ядерной физике "Ядро 2011. Ядерные данные в современных технологиях", Саров, Россия, октябрь 2011.

2. Russian-iikrainian seminar on few-body problems with strong and coulomb interactions, Киев, Украина, май 2012.

3. International workshop on "Nuclear Theory in the Supercomputing Era", Хабаровск, Россия, июнь 2012.

4. 20th International conference on Mathematical Modelling and Analysis, Си-гулда «i Латвия, май 2015.

5. 65 Международная конференция по ядерной физике "Ядро 2015. Новые горизонты в области ядерной физики, атомной, фемто- и нанотехноло-гий", посвященная 60-летию Объединенного института ядерных иссле дований, Санкт-Петербург, Россия, июнь-июль 2015.

6. Первая объединенная суперкомпьютерная конференция "Суперкомпьютерные дни в России", Москва, Россия, сентябрь 2015.

7. 58 научная конференция МФТИ с международным участием, Москва, Россия, ноябрь 2015.

8. Международная сессия-конференция Секции Ядерной Физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий", Дубна, Россия, апрель 2016.

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 5 статьях [110-114] в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а также в 2 сборниках трудов конференций [97, 98]. Четыре научных журнала из пяти индексируются в международных базах Web of Science или SCOPUS, а сборники трудов конференций включены в РИНЦ.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю-

щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 127 страниц, содержит 25 рисунков и 4 таблицы. Список использованной литературы включает 114 наименований на 12 страницах.

Первая глава содержит введение в тему диссертационного исследования. Описываются системы трех то^кд^ественных нерелятивистских частиц и основные уравнения, характеризующие динамику таких систем. Формуляру-ется з^дл^элтсЬ рассеяния дл^ля д^ис|эс|эеренци^лвнть1х уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. Детально описывается разложение компоненты Фаддеева по бисферическому базису и вывод уравнении для радиальных частей компоненты. Приводятся соответствующие асимптотики.

Вторая глава посвящена формулировке задачи рассеяния в гиперсферических координатах и построению для данной задачи нового представления для асимптотики компоненты Фаддеева волновой функции. Найденное представление асимптотически эквивалентно представлению, предложенному С. П. Меркурьевым в работе [46]. В полученном представлении вклады двухчастичного и трёхчастичного каналов ортогонализованы. Для достижения требуемой структуры асимптотики компонент волновой функции предлагается использовать ортонормированный базис, состоящий из собственных функций двухчастичной части полного гамильтониана, задаваемого в гиперсферических координатах. Использование разложения компоненты волновой функции по данному базису в уравнениях Фаддеева позволяет выразить асимптотику данной компоненты в терминах известных функций. В рамках данного разложения амплитуда развала представляется линейной комбинацией базисных функций с неизвестными коэффициентами. Базисные функции зависят от значения гиперрадиуса параметрически. Пределы этих функций при бесконечном значении гиперрадиуса известны аналитически. Коэффициенты

данного разложения являются коэффициентами ряда Фурье. Амплитуда бинарного канала, а0, соответствует первому коэффициенту ^Э-ЯД^сЬ и вычисляется вместе с другими коэффициентами.

В третьей главе рассматривается граничная задача для уравнения, моделирующего й-волновое уравнение Фаддеева. В модельном уравнении интеграл в правой части оригинального уравнения заменен известной функцией, имеющей тоже асимптотическое поведение, что и данный интеграл. Для модельной задачи асимптотические формулы для амплитудных функций, сходящихся к амплитудам рассеяния, получены аналитически методом функции Грина. Использование модельного уравнения и двухчастичного потенциала, для которого собственные функции связанного и рассеянных состояний известны аналитически, позволяет разделить переменные в интегральном представлении для амплитудных функций и найти асимптотики интегралов. В результате, асимптотика амплитудной функции бинарного канала с точностью до членов порядка у-3/2 включительно получена аналитически.

Четвертая глава посвящена численному методу решения граничной задачи и методам определения амплитуд рассеяния. Для определения амплитуд бинарного рассеяния и развала используется разработанный проекционный метод, метод определения амплитуд на двух дугах, а также их комбинация. Численный метод решения граничной задачи включает разложение искомого решения по базису эрмитовых кубических сплайнов по одной переменной и использование конечно-разностной аппроксимации второй производной по другой переменной. Дополнительно обсуждаются возможности повышения точности численной схемы.

В пятой главе представлен метод стреловидной декомпозиции обеспечивающий эффективное параллельное решение блочно-трёхдиагональной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающей после дискретизации краевой задачи, описанной в предыдущих главах. Вычислительное ускорение по отношению к стандартному методу матричной прогонки оцене-

но аналитически путем учета числа элементарных операций умножения для параллельных и последовательных частей метода декомпозиции. Показано, что максимальное ускорение достигается при конечном числе параллельных процессоров. Для заданного размера исходной СЛАУ получены параметры вычислительной системы, при которых достигается максимальное ускорение. Вычислительные эксперименты подтверждают аналитические оценки вычислительного ускорения.

Шестая глава содержит результаты расчетов амплитуд бинарного рассеяния и развала с использованием методов и численных схем описанных в

Результаты, полученные различными методами, сравниваются между собой, а также с результатами, имеющимися в литературе.

В заключении суммируются основные результаты работы.

Глава 1 Трёхчастичные системы

В данной главе содержится введение в тему диссертационного исследования. Описываются системы трех то^кд^ественных нерелятивистских частиц и основные уравнения, характеризующие динамику таких систем. Формулируется зад^ача рассеяния дл^ля дл^ис|эс|эеренциалвнть1х уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. Детально описывается разложение компоненты Фаддеева по бисферическому базису и вывод уравнении для радиальных частей компоненты. Постановка задачи рассеяния завершается формулировкой асимптотик компонент Фаддеева волновой функции.

1.1. Введение

Исследования процессов рассеяния начались ещё до становления квантовой механики. В 1911 г. Э. Резерфорд использовал пучек ядер атома гелия, а-частнц, для изучения внутренней структуры атомного ядра [1]. Кинетическая энергия частиц пучка была порядка нескольких МэВ, а ядро атома гелия, состоящее из двух протонов и двух нейтронов, представляет собой систему нескольких частиц. С тех пор, эксперименты по рассеянию частиц стали основным инструментом проверки новых теорий и моделей [2-8].

Открытие основного уравнения описывающего динамику квантовомеха-нических систем, уравнения Шредингера [9, 10], в 1926 г. позволило предсказывать энергии связи систем нескольких частиц и количественно описывать процессы их рассеяния. Для оценки энергий связанных состояний широкое распространение получили приближенные методы, в основном базирующиеся на вариационном методе решения уравнения Шредингера [11-14]. Построения феноменологических нуклон-нуклонных потенциалов и проверка их путем сравнения с экспериментом уже скоро позволили определить основные

свойства нуклон-нуклонного взаимодействия, среди которых важным является его короткодействующий характер [15]. Тем не менее, описание трёх-частичных процессов рассеяния встретило много существенных трудностей. Если для описания связанных состояний систем нескольких частиц формализм уравнения Шредингера подходит хорошо^ то вытекающее из этого формализма уравнение Липпманна-Швингера [16] для описания рассеяния в системе трёх тел использовать затруднительно. Проблема заключается в сложности построения асимптотики волновой функции нескольких частиц и тем самым постановки задачи рассеяния. Более того, нефредгольмовость ядра интегрального уравнения Липпманна-Швингера не гщ) ¿ж тир у ет еди н ст венност ь решен ия«

Решение этой проблемы было получено лишь в 1960 г. Л.Д. Фаддее-вым [17] и позволило создать математически корректный формализм для описания рассеяния в системе трёх и более частиц [18]. Преимущество формализма Фаддеева над уравнениями Липпманна-Швингера заключается в единственности решения задачи рассеяния и простоте постановки граничных условий. Последнее происходит из-за того, что, в отличие от асимптотики волновой функции уравнения Шредингера, асимптотика компоненты Фаддеева зависит только одной пары относительных координат Якоби.

Использование уравнений Фаддеева для практических расчетов сопряжено со значительно возросшими требованиями к вычислительным ресурсам. В качестве одного из упрощений Альт, Грассбергер и пили более про-

стые, приближенные уравнения, выделив из двухчастичной ¿-матрицы часть конечного ранга. Данные уравнения являются многоканальными уравнениями Липпманна-Швингера и получили название ЛОБ-уравнений в импульсном представлении [19]. После парциального разложения они сводятся к набору связанных двумерных интегральных уравнений, а в случае сепарабельных потенциалов - к набору одномерных интегральных уравнений, которые относительно просто решаются. Проведенные вычисления, в частности парамет-

ров упругого нейтрон-дейтронного рассеяния, показали качественное согласие теории с экспериментом [20, 21].

Несмотря на существенный прогресс в интерпретации дранных трехча стичного рассеяния, аппроксимации, необходимые для численного описания двухчастичной ¿-матрицы, и сингулярность трёхчастичных ядер интегральных уравнений требовали более точного подхода. Этим подходом стали дифференциальные уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве. Хотя впервые они появились в работе [22] и использовались для расчета энергий связи ядер 3Н и 3Не [23], полное исследование трёхчастичного рассеяния на базе этих уравнений было проведено С. П. Меркурьевым [24]. В частности, были найдены асимптотики компоненты Фаддеева волновой функции в конфигурационном пространстве для случая короткодействующих потенциалов. Таким образом, Меркурьеву удалось математически корректно поставить задачу рассеяния для системы трёх частиц. Разложение компоненты Фаддеева по парциальным волнам, ограничиваясь потенциалом действующим в й-волне, например, Ма1Ше!;-Т)оп 1-111 [25, 26] или й-волновым приближением более сложного потенциала Рида [27, 28], позволило с хорошей, на тот момент, точностью получить параметры нейтрон-дейтронного рассеяния. Были вычислены бинарная амплитуда и амплитуда развала при энергии выше порога трёхчастичного развала. Расчет параметров нейтрон-дейтронного рассеяния с использованием дифференциальных уравнений Фаддеева с реалистичным нуклон-нуклонным взаимодействием впервые представлен в работе [29]. Последующие работы, посвященные ядерным системам, включали рассмотрение уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве дл^л-я более высоких парциальных волн [30-34] ниже порога трёхчастиного развала. Достаточно надежные результаты теоретического исследования нейтрон-дейтронного рассеяния выше порога трёхчастиного развала были получены только в девяностые годы [35-37] благодаря развитию вычислительной техники. В последние годы наметился интерес к численному исследованию пА рассеяния [38], в том

числе с использованием метода комплексного скейлинга [39, 40].

Дальнейшее развитие теоретического формализма дифференциальных уравнений Фаддеева включало обобщение на случай системы трёх заряженных частиц [41-44]. В работах [42, 43] был предложен формализм, описывающий рассеяние с дальнодействующими потенциалами, и задача протон-деитронного рассеяния была численно решена [44]. Также было построено разложение компонент Фаддеева, альтернативное парциальному, не требующее учета большого количества парциальных волн [45] для точного описания рассеяния.

В практических расчетах для нахождения амплитуд рассеяния используются вычислительные алгоритмы, основанные на решении граничных задач для уравнений Фаддеева и извлечении амплитуд из сравнения решения с асимптотикой [46, 47]. Эти алгоритмы не требуют восстановления полного решения граничной задачи и поэтому могут быть использованы для решения задач с двумерными уравнениями. Хорошо известно [24, 48], что хотя разбиение волновой функции трёхчастичной системы на компоненты Фаддеева позволяет асимптотически расцепить двухчастичные каналы, при энергиях выше трёхчастичного порога развала каждый двухчастичный канал пересекается с каналом развала. Это выражается в том, что в асимптотической области конфигурационного пространства, где частицы связанной пары находятся на не очень больших расстояниях, вклады двухчастичного канала и канала развала в асимптотику компоненты волновой функции имеют одинаковый порядок. Последнее обстоятельство приводит к невозможности нахождения амплитуд упругого рассеяния и развала без использования тех или иных приближений.

В настоящей диссертации решается задача построения альтернативного [24] представления для асимптотик компонент волновой функции. Найденное представление асимптотически эквивалентно представлению предложенному Меркурьевым в работе [46]. В полученном в данной диссертации

представлении вклады двухчастичного и трёхчастичного каналов ортогона-лизуются. Это позволяет находить амплитуды упругого рассеяния и развала без привлечения каких-либо приближений. Для достижения требуемой структуры асимптотик компонент волновой функции предлагается использовать ортонормированный базис [110], состоящий из собственных функций двухчастичной части полного гамильтониана, задаваемого в гиперсферических координатах [49]. Показано, что данный базис позволяет ортогонализовать вклады упругого канала и канала развала. Использование данного разложения в уравнениях Фаддеева позволяет выразить асимптотику компоненты волновой функции в терминах известных функций. Описанный алгоритм применяется для вычисления амплитуды бинарного рассеяния и развала в системе нейтрон-дейтрон (пА). Для амплитуд развала вычисляются как допредельные значения, полученные при большом, но конечном значении гиперрадиуса, так и предельные при стремлении гиперрадиуса к бесконечности. Результаты вычислений бинарной амплитуды а0 совпадают с результатами других групп исследователей, а результаты вычисления предельной амплитуды развала не имеют возмущений, характерных для поведения амплитуд развала работ [37, 50] в области малых расстояний между нуклонами, образующими дейтрон. Сходимость результатов для бинарной амплитуды, полученная в рамках предложенного подхода, для случая модельной задачи подтверждается найденной аналитически асимптотикой амплитудной функции. Дополнительно рассмотрены альтернативные методы нахождения амплитуд рассеяния. Показано, что результаты использования рассмотренных методов хорошо согласуются между собой. Представлена численная схема, которая обеспечивает эффективное параллельное решение дискретизованной граничной задачи.

Следует отметить, что предложенный в настоящей работе п О^ХОД т 6 с но примыкает к методу адиабатических гиперсферических прбдст^влбнии в задаче трёх частиц [51-55]. Наиболее полное с точки зрения корректного рас-

смотрения всех аспектов теории рассеяния изложение данного метода представлено в работе [55]. В отличие от этой работы, работа конт т^вн трируется лишь на использовании адиабатических гиперсферических представлений для асимптотик компонент Фаддеева волновых функций. В этом случае достаточно использовать собственные функци угловой части парного гамильтониана, определяющего соответствующий канал. Работа [55] при этом может служить прекрасным источником для представления используемых конструкций и доказательств утверждений, опущенных в настоящей работе.

1.2. Уравнение Шредингера

Квантовомеханические системы трёх нерелятивистских частиц с массами г = 1, 2,3, в общем случае, характеризуются оператором энергии, Гамильтонианом

п2 К2 К2

Н(Г1, Г2, Гз) = ---ДГ1 ---ДГ2---ДГ3 +^23(Г2-Гэ)+^31(Г3-Г1)+^12(Г1-Г2).

2ш1 2т2 2т3

(1.1)

где ДГ. — трёхмерный оператор Лапласа, г - радиус-векторы частиц, (г — Г|) - двухчастичные потенциалы взаимодействия пары частиц т^ и т^. Такие системы описываются уравнением Шредингера [9, 10]

НФ = ЕФ (1.2)

с трёхчастичной волновой функцией Ф = Ф(г1,г2,г3). Число степеней свободы для данной системы равно девяти, что достаточно много и затрудняет исследование её свойств. Уменьшить число степеней свободы до шести, позволяет отделение движения центра масс системы.

Центр масс системы трёх частиц определяется радиус-вектором

1

R = Л/-2- (miri + Ш2Г2 + ШзГэ) . (1.3)

V mi + m2 + тз

Для описания относительного движения трёх частиц введем приведенные координаты Якоби [56] по следующим формулам

= • 'тг^ (гв - *),

тв + ту

_ 2та (шр + Шу) /ШвП+ШуХ^ _ ^ \ " У Ша + Шв + ш^ Шв + Ш7 / ' '

Здесь греческие буквы а, вобозначают отд6льны6 частицы трбхчо)стичнои системы. Триада {а, в} принимает значения одной из циклических перестановок множества {1, 2,3}.

Всего для данной системы трёх частиц существует три пары различных систем координат Якоби: {ха, уа}, а _ 1, 2,3. Каждая система координат

{1, 2, 3}

{3,1, 2} или {2,3,1} Переход от одной пары координат, а, к другой, в, осуществляется ортогональной матрицей поворота

хв) _ Н и-«)

ув) \Уа

где

Р% _ I Сва $в'"1 (1.7)

-Sfia сва

и матричные элементы определяются формулами:

/ татв

сва =

(та + ту )(тв + т1 )

( л\а-в • ( m ту (та + тв + ту )

вва = (-1)а П(а - вh-w , \ .

у (та + ту)(тв + ту)

1 Определяемый здесь радиус-вектор центра масс отличается от стандартного [46] в + Ш2 + тз) раз.

Переход обратно, от пары координат в к паре а, осуществляется, соответственно, обратной матрицей Р-а = = (^Р/зО) •

В координатах (1.3-1.5) исходный Гамильтониан (1.1) как 2

Н (И, Ха, Уа) = -Дн - Дха - Дуа + Уа(*а) + V? ^) + Уу ), (1-8)

и допускает отделение движения центра масс от относительного движения трбх ЧйСТИЦ•

В формуле (1.8) Уа(ха) = (ха/а/2трш1 /(т в + т1 — потенциал парного взаимодействия в паре частиц, не включающей частицу с индексом а, а потенциалы в координатах хв, х7 пересчитываются в координатах (ха, уа). Уравнение Шредннгера с частью Гамильтониана (1.8), описывающего относительное движение

-Дха - Дуа + ^ Ув(хв) ) Ф(ха, Уа) = ЕФ(ха, Уа), (1.9)

в=1 )

позволяет исследовать связанные состояния трёхчастичной системы. Предполагается, что в случае короткодействующих потенциалов, трёхчастичная волновая функция достаточно быстро убывает по каждой из шести координат конфигурационного пространства. В таком случае, после отделения угловых переменных оказывается возможным поставить граничную задачу с тривиальными краевыми условиями для радиальной части волновой функции Ф(ха,уа) и, решив ее, найти энергии связанных состояний и соответствующие волновые функции данной трёхчастичной системы.

1.3. Уравнения Фаддеева

В случае задачи рассеяния, поведение волновой функции Ф(ха, уа) достаточно сложное и отличается в разных подобластях конфигурационного пространства. Поэтому постановка задачи рассеяния и переход к граничной

Здесь и далее мы для простоты предположим, что Н =1.

задаче, которую можно было бы эффективно решить ^ являбтся зэ/груднИТ6Л-ь

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белов, Павел Алексеевич, 2016 год

Литература

[1] Rutherford E. The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom // Phil. Mag. 1911. Vol. 21. P. 669.

[2] Abramowicz H., et al. Combination of measurements of inclusive deep inelastic e+-p scattering cross sections and QCD analysis of HERA data // Eur. Phys. J. C. 2015. Vol. 75, no. 12. P. 580.

[3] Belov P. Combination of the HI and ZEUS inclusive cross-section measurements at proton beam energies of 460 GeV and 575 GeV and tests of low Bjorken-^ phenomenological models. Hamburg:Hamburg University, 2013.

[4] Aad G., et al. [ATLAS Collaboration]. Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC // Phys. Lett. B. 2012. Vol. 716. P. 1.

[5] Chatrchyan S., et al. [CMS Collaboration]. Observation of a new boson at

L J I J

a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC // Phys. Lett. B. 2012. Vol. 716. P. 30.

[6] Huhn V., Watzold L., Weber Ch., et al. New investigation of the neutronneutron and neutron-proton final-state interaction in the n-d breakup reaction // Phys. Rev. C. 2000. Vol. 63. P. 014003.

[7] von Witsch W., Ruan X., Witala H. Neutron-neutron final-state interaction in the 2H(n,p)2n reaction at En=17.4MeV // Phys. Rev. C. 2006. Vol. 74. P. 014001.

[8] Terekhin A. A., et al. Study of the dp-elastic scattering at 2 GeV // Phys. Part. Nucl. Lett. 2015. Vol. 12, no. 5. P. 695.

[9] Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) // Ann. Physik. 1926. Vol. 79. P. 361.

[10] Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) // Ann. Physik. 1926. Vol. 79. P. 489.

[11] Downs В. W., Dalitz R. H. Analysis of the A-hypernuclear three-body systems // Phys. Rev. 1959. Vol. 114. P. 593.

[12] Werntz C. Three-body nuclear problem with reuplsive core forces // Phys. Rev. 1961. Vol. 121. P. 849.

[13] Srivastava В. K. Three-nucleon systems // Phys. Rev. 1964. Vol. 133. P. B545.

[14] Blatt J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. New-York:Springer-Verlag, 1979.

[15] Ньютон P. Теория рассеяния волн и частиц. Москва:Мир, 1969.

[16] Lippmann В. А., Schwinger J. Variational principles for scattering processes // Phys. Rev. 1950. Vol. 79. P. 469.

[17] Фаддеев Jl. Д. Теория рассеяния для системы трех частиц // ЖЭТФ. I960. Т. 39. С. 1459.

[18] Меркурьев С. П., Яковлев С. J1. Квантовая теория рассеяния для N тел в конфигурационном пространстве // ТМФ. 1983. Т. 56. С. 60.

[19] Alt Е. О., Grassberger P., Sandhas W. Reduction of the three-particle collision problem to multi-channel two-particle Lippmann-Schwinger equations // Nucl. Phys. B. 1967. Vol. 2. P. 167.

[20] Aaron R., Amado R. D., Yam Y. Y. Calculations of neutron-deuteron scattering // Phys. Rev. 1965. Vol. 140. P. B1291.

[21] Aaron R., Amado R. D. Theory of the reaction 11 d- 11 11 p // Phys. Rev. 1966. Vol. 150. P. 857.

[22] Noyes H. P., Fiedelday H. Calculations of the three-nucleon low energy parameters // Proc. of the Conf. on Three-Particle Scattering in Quantum Mechanics. Texas, 1968.

[23] Laverne A., Gignoux C. Three-nucleon bound state from Faddeev equations with a realistic potential // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29. P. 436.

[24] Merkuriev S. P., Gignoux C., Laverne A. Three-body scattering in configuration space // Ann. Phys. 1976. Vol. 99. P. 30.

[25] Maliliel R. A., Tjon J. A. Solution of the Faddeev equations for the triton problem using local two-particle interactions // Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 127. P. 161.

[26] Tjon J. A. Pade approximants in three-body calculations // Phys. Rev. D. 1970. Vol. 1. P. 2109.

[27] Reid R. V. Local phenomenological nucleon-nucleon potentials // Ann. Phys. 1968. Vol. 50. P. 411.

[28] Stoks V. G. J, Klomp R. A. M, Terheggen C. P. F, de Swart J. J. Construction of high-quality NN potential models // Phys. Rev. C. 1994. Vol. 49. P. 2950.

[29] Benayoun J. J., Chauvin J., Gignoux C., Laverne A. Exact calculation of n-d scattering at 14.1 MeV with a local realistic interaction: elastic-channel results // Phys. Rev. Lett. 1976. Vol. 36. P. 1438.

[30] Payne G. L., Friar J. L., Gibson B. F., Afnan I. R. Configuration space Faddeev calculations. I. Triton ground state properties // Phys. Rev. C. 1980. Vol. 22. P. 823.

[31] Payne G. L., Friar J. L., Gibson B. F. Configuration space Faddeev continuum calculations. I. n-d scattering length // Phys. Rev. C. 1982. Vol. 26. P. 1385.

[32] Payne G. L.. Friar J. L.. Gibson B. F., Chen C. R. Configuration space Faddeev continuum calculations: N-d s-wave scattering lengths with tensorforce interactions // Phys. Rev. C. 1984. Vol. 30. P. 1121.

[33] Chen C. R., Payne G. L.. Friar J. L.. Gibson B. F. Nucleon-deuteron doublet scattering lengths with three-nucleon potentials // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. P. 401.

[34] Chen C. R.. Payne G. L.. Friar J. L.. Gibson B. F. Low-energy nucleon-deuteron scattering // Phys. Rev. C. 1989. Vol. 39. P. 1261.

[35] Friar J. L., Gibson B. F., Berthold G., et al. Benchmark solutions for a model three-nucleon scattering problem // Phys. Rev. C. 1990. Vol. 42. P. 1838.

[36] Glockle W., Payne G. L. Boundary conditions for three-body scattering in configuration space // Phys. Rev. C. 1992. Vol. 45. P. 974.

[37] Friar J. L., Payne G. L., Glockle W., et al. Benchmark solutions for n-d breakup amplitudes // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 51. P. 2356.

[38] Suslov V. M., Vlahovic B. Generalization of the Numerov method for solution of Nd breakup problem in configuration space // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69. P. 044003.

[39] Volkov M. V., Elander N., Yarevsky E. A., Yakovlev S. L. Solving the Coulomb scattering problem using the complex-scaling method // Euro Phys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001.

[40] Lazauskas R., Carbonell J. Application of the complex-scaling method to few-body scattering // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 84. P. 034002.

[41] Весе.юна A. M. Выделение двухчастичных кулоновских особенностей в системе трех заряженных частиц // ТМФ. 1970. Т. 3. С. 326.

[42] Меркурьев С. П. О теории рассеяния для системы трех частиц с куло-новским взаимодействием // Ядерная физика. 1976. Т. 24. С. 289.

[43] Merkuriev S. P. On the three-body Coulomb scattering problem // Ann. Phys. 1980. T. 130. C. 395.

[44] Kyiiepiiu Ю. А., Меркурьев С. П., Квицинский А. А. Упругое рассеяние и развал в системе pd // Ядерная физика. 1983. Т. 37. С. 1440.

[45] Kostrykin V. V., Kvitsinsky A. A., Merkuriev S. P. Faddeev approach to the three-body problem in total-angular-momentum representation // Few-Body Systems. 1989. Vol. 6. P. 97.

[46] Меркурьев С. П., Фаддеев J1. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. Москва:Наука, 1985.

[47] Яковлев С. J1., Филихин И. Н. Метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева. Низкоэнергетическое нуклон-дейтронное рассеяние // Ядерная физика. 1993. Т. 56. С. 98.

[48] Квицинский А. А., Куперин Ю. А., Меркурьев С. П., Мотовилов А. К., Яковлев С. Л. Квантовая задача N тел в конфигурационном пространстве // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1986. Т. 17. С. 267.

[49] Джибути Р. И., Крупенникова Н. Б. Метод гиперсферических функций в квантовой механике нескольких тел. Тбилиси:Мецниереба, 1984.

[50] Payne G. L., Glôckle W., Friar J. L. Boundary conditions for three-body scattering in configuration space // Phys. Rev. C. 2000. Vol. 61. P. 024005.

[51] Виницкий С. П., Пономарев Jl. И. Адиабатическое ПрбДСТ^ВЛбНИб В 3cL даче трех тел с кулоновсим взаимодействием // ЭЧАЯ. 1982. Т. 13. С. 1336.

[52] Soloviev E. A., Vinitsky S. I. Suitable coordinates for the three-body problem in the adiabatic representation //J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1985. Vol. 18. P. L557.

[53] Abrashkevich A. G., Abrashkevich D. G., Khimich I. V., Puzynin I. V., Vinitsky S. I. Adiabatic description of resonant states in e-H scattering by the method of extrapolation in the coupling constant // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1991. Vol 24. P. 2807.

[54] Ковальчук В. П., Козловский И. В. Уравнения Фаддеева и метод гиперсферических гармоник в задаче трехнуклонного континуума // ЭЧАЯ. 2012. Т. 43. С. 573.

[55] Виницкий С. П., Марковский Б. Л., Сузько А. А. Адиабатическое представление задачи рассеяния в квантовой системе трех частиц с короткодействующими потенциалами // Ядерная физика. 1992. Т. 55. С. 669.

[56] Горбатов А. М. Квантовая теория нуклонных систем. Тверь:Тверской гос. ун-т, 1999.

[57] Варшалович Д. А., Москалев А. II.. Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Москва:Наука, 1975.

[58] Harper E. P., Kim Y. E., Tubis A. Faddeev equations for realistic three-nucleon systems. Complete angular momentum reduction and antisymmetrization of states // Phys. Rev. C. 1970. Vol. 2. P. 877.

[59] Юцис А. П., Савукинас А. Ю. Математические основы теории атома. Вильнюс: Минтис, 1972.

[60] Biedenharn L. С., Louck J. D. Angular momentum in quantum physics. Reading: Addison-Wesley, 1981.

[61] Браун Дж. E., Джексон А. Д. Нуклон-нуклонные взаимодействия. М.: Атом излит. 1979.

[62] Руднев В. А., Яковлев С. Л. О ложных решениях уравнений Фаддеева // Ядерная физика. 1995. Т. 58. С. 1762.

[63] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Москва:Наука, 1974.

[64] Abramowitz М. and Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New-York:Dover, 1972.

[65] Симонов Ю. А. Задача трех тел. Полная система угловых функций // Ядерная физика. 1966. Т. 3. С. 630.

[66] Macek J. Properties of autoionizing states of He // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1968. Vol. 1. P. 831.

[67] Mead C. A., Truhlar D. G. Conditions for the definition of a strictly diabatic electronic basis for molecular systems //J. Chem. Phys. 1982. Vol. 77. P. 6090.

[68] Macek J. Long-range couplings in the adiabatic hyperspherical basis // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31. P. 2162.

[69] Cavagnero M., Zhen Z., Macek J. Two-body fragmentation channels of three-body systems // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 41. P. 1225.

[70] Sun J. Q., Lin C. D. Diabatic states in the avoided crossing region // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1992. Vol. 25. P. 1363.

[71] Kvitsinsky A. A., Kostrykin V. V. Quantum threebody scattering problem in the adiabatic hyperspherical representation //J. Math. Phys. 1991. Vol. 32. P. 2802.

[72] Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 2. Москва:Наука, 1974.

[73] Morse P. М., Feshbach Н. Methods of Theoretical Physics. New-York:McGraw-Hill, 1953.

[74] Glockle W. Three-body breakup: Asymptotic behavior // Phys. Rev. C. 1988. Vol. 37. P. 6.

[75] Федорюк M. В. Метод перевала. Москва:Наука, 1977.

[76] Spanier J., Oldham К. B. An atlas of functions. Berlin:Springer-Verlag, 1987.

[77] Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. Москва:Физматгиз, 1962.

[78] Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Москва:Мир, 1986.

[79] Prenter P. М. Splines and variational methods. New York:Wiley, 1989.

[80] Khramtsov E. S.. Belov P. A., Grigoryev P. S.. Ignatiev I. V., Verbin S. Yu.. Efimov Yu. P., Eliseev S. A., Lovtcius V. A., Petrov V. V., Yakovlev S. L. Radiative decay rate of excitons in square quantum wells: Microscopic modeling and experiment //J. Appl. Phys. 2016. Vol. 119. P. 184301.

[81] Press W. II.. Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Flannery B. P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. New-York:Cambridge University Press, 2007.

[82] Kolganova E. A., Motovilov A. K., Sofianos S. A. Three-body configuration space calculations with hard-core potentials //J. Phys. B. 1998. Vol. 31. P. 1279.

[83] Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many-body Schrodinger operators with dilatation-analytic interactions // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 22. P. 280.

[84] McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2004. Vol. 37. P. R137.

[85] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Москва:Наука, 1989.

[86] Douglas С. С., Пиане С.. Langer U. A Tutorial on Elliptic PDE Solvers and their parallelization. Philadelphia:SIAM. 2003.

[87] Самарский А. А., Николаев E. С. Методы решения сеточных уравнений. Москва:Наука, 1978.

[88] Hockney R. W. The potential calculation and some applications // Meth. Comput. Phys. 1970. Vol. 9, P. 136.

[89] Wang H. H. A parallel method for tridiagonal equations // ACM Trans. Math. Software. 1981. Vol. 7. P. 170.

[90] Волохова А. В., Земляная E. В., Рихвицкий В. С. Параллельная оптимизация метода решения системы уравнений полярона с использованием алгоритма разбиений // Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16. С. 281.

[91] Lawrie D., Sameh A. The computation and communication complexity of a

parallel banded system solver // ACM Trans. Math. Software. 1984. Vol. 10. P. 185.

[92] Korneev V. G., Langer U. Dirichlet-Dirichlet Domain Decomposition Methods for Elliptic Problems. Singapore:World Scientific, 2015.

[93] Гурьева Я. Jl., Ильин В. П., Перевозкин Д. В. Алгебро-геометрические и информационные структуры методов декомпозиции области // Вычислительные методы и программирование. 2016. Т. 17. С. 132.

[94] Ortega J. М. Introduction to parallel and vector solution of linear systems, New-York:Springer, 1988.

[95] Cleary A., Dongarra J. J. Implementation in ScaLAPACK of divide-and-conquer algorithms for banded and tridiagonal linear systems // Report No. UT-CS-97-358 (LAWN No. 125), Utah:University of Tennessee, 1997.

[96] Johnsson S. L. Solving narrow banded systems on ensemble architectures // ACM Trans. Math. Software. 1985. Vol. 11. P. 271.

[97] Belov P. A., Nugumanov E. R., Yakovlev S. L. Computing binary scattering and breakup in three-body system // Nuclear Theory in the Supercomputing Era. Khabarovsk: Pacific National University, 2013. P. 121-134.

[98] Белов П. А., Нугуманов E. P., Яковлев С. Л. Стреловидная декомпозиция для блочно-трехдиагональной СЛАУ // Суперкомпьютерные дни в России: Тр. международной конф. (28-29 сентября 2015 г., г. Москва). М.:Изд-во МГУ, 2015. С. 447-452.

[99] Акимова Е. II.. Белоусов Д. В., Мисилов В. Е. Алгоритмы решения обратных геофизических задач на многопроцессорных вычислительных системах // Сиб. жури, вычисл. матем. 2013. Т. 16. С. 107-121.

[100] Terekhov A. V. A fast parallel algorithm for solving block-tridiagonal systems of linear equations including the domain decomposition method // Parallel Computing. 2013. Vol. 39. P. 245.

[101] Соловьев С. А. Решение разреженных систем линейных уравнений методом Гаусса с использованием техники аппроксимации матрицы малого ранга // Вычислительные методы и программирование. 2014. Т. 15. С. 441.

[102] Belov P. A., Nugumanov Е. R., Yakovlev S. L. Decomposition method for block-tridiagonal matrix systems // Препр. arXiv:1505.06864. Ithaca:Cornell University, 2015.

[103] Самарский А. А., Гул и и А. В. Численные методы, М.: Наука, 1989.

[104] Dongarra J. J., et al. UNPACK Users' Guide, Philadelphia :SIAM. 1979.

[105] Anderson E., et al. LAPACK Users' Guide. 1999. URL: http://www.netlib.org/lapack/lug/ (дата обращения 01.06.2015).

[106] Thomas L. H. Elliptic problems in linear difference equations over a network // Watson Sci. Comput. Lab. Rept. New-York:Columbia University, 1949.

[107] Amestoy R., Duff I. S., L'Excellent J.-Y. Multifrontal parallel distributed symmetric and unsymmetric solvers // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 184. P. 501.

[108] Schenk O., Gartner K. Solving Unsymmetric Sparse Systems of Linear Equations with PARDISO // Journal of Future Generation Computer Systems. 2004. Vol. 20. P. 475.

[109] Intel MKL PARDISO Solver. 2015.

URL:hllps: soil ware.inlel.com en-us node 170282 (дата обращения: 6 марта 2016).

[110] Белов П. А., Яковлев С. J1. Новый асимптотический подход к проблеме трехчастичного развала // Вестник СПбГУ. Серия 4: Физика, Химия.

- 2010. - Т. 55, №2. - С. 95-98.

[111] Белов П. А., Яковлев С. J1. Использование уравнений Фаддеева для исследования процессов nd-рассеяния // Известия РАН. Серия физическая. - 2012. - Т. 76, № 8. - С. 1016-1021.

[112] Белов П. А., Яковлев С. J1. Асимптотический метод нахождения амплитуды трехчастичного развала, nd-рассеяние // Ядерная физика. - 2013.

- Т. 76, №2. - С. 153-166.

[113] Belov P. A., Yakovlev S. L. Binary scattering and breakup in the three-nucleon system // Ядерная физика. - 2014. - Т. 77, №3. - С. 369-375.

[114] Белов П. А., Яковлев С. J1. Асимптотика бинарной амплитуды для модельного уравнения Фаддеева // Известия РАН. Серия физическая. -2016. - Т. 80, № 3. - С. 266-270.