Исследование течений со свободной границей с помощью конформных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор наук Карабут Евгений Алексеевич

• Карабут Евгений Алексеевич
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Карабут Евгений Алексеевич

Введение

Глава 1 Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи

1.2.1 Первый способ обезразмеривания

1.2.2 Второй способ обезразмеривания

1.2.3 Используемые ряды

1.3 Линеаризация

1.4 Квадратичная ЗЭДЭ/Чс1

1.5 Разложение мелкой воды

1.5.1 Первый член разложение мелкой воды

1.5.2 Три ряда

1.5.3 Получение дифференциального уравнения

1.5.4 Решение дифференциального уравнения

1.5.5 Члены более высокого порядка малости

1.6 Ряд Овсянникова

1.6.1 Построение решения

1.6.2 Определяющее уравнение

1.6.3 Численное решение определяющего уравнения

1.7 Ряд Вайтинга

1.7.1 Начальные члены рядя Вайтинга

1.7.2 Неопределенность первого коэффициента

1.7.3 Численное исследование рядов Вайтинга

1.8 Суммирование рядов Вайтинга

1.8.1 Производящие функции

1.8.2 Дискретное преобразование Фурье

1.8.3 Сведение к системе дифференциальных уравнений

1.9 Второй способ суммирование рядов Вайтинга

1.9.1 Бесконечная система дифференциальных уравнений

1.9.2 Конечная система дифференциальных уравнений

1.9.3 Более общая задача

1.10 Уравнение Бабенко

1.10.1 Вывод уравнения Бабенко для уединенной волны

1.10.2 Ряды Вайтинга для уравнения Бабенко

1.10.3 Интеграл системы

1.11 Случай 9 = п/3

1.11.1 Введение новых неизвестных

1.11.2 Интегрирование системы уравнений

1.11.3 Засасывание жидкости под криволинейную крышку

1.11.4 Приближенное описание уединенной волны максимальной амплитуды

1.12 Случай 9 = п/4

1.12.1 Введение новых неизвестных

1.12.2 Интегрирование системы

1.12.3 Особые точки

1.12.4 Свободная граница

1.13 Численное интегрирование системы

1.14 Задача о водопаде

1.15 Сходимость ряда Овсянникова

1.15.1 Связь ряда Вайтинга и ряда Овсянникова

1.15.2 Радиус сходимости

1.15.3 Характер особенности

1.15.4 Разрывность ряда Овсянникова

1.16 Модификация рядов

Выводы по главе

Глава 2 Периодические гравитационные волны на поверхности

жидкости

2.1 Постановка задачи

2.2 Разложение Стокса

2.3 Квадратично-нелинейная задача

2.4 Разложение ДЛИННЫХ ВОЛН

2.5 Сравнение двух решений

2.6 Решение, пригодное для всех длин волн

2.6.1 Предельное решение при к ^

2.6.2 Предельное решения при к ^

2.6.3 Разложение Стокса и разложение длинных волн

2.7 Дифференциально-разностное уравнение для периодических волн

2.8 Высшие приближения теории кноидальных волн

2.8.1 Решение в рядах

2.8.2 Первое приближение

2.8.3 Второе приближение

2.8.4 Приближения высших порядков

2.8.5 Компьютерные вычисления

2.8.6 Функциональная связь между длинными и короткими волнами

2.9 Периодичность вдоль и поперек полосы

2.10 Решение периодическое поперек полосы

2.11 Специальный случай

2.12 Характеристики наивысших волн

2.12.1 Уравнение свободной границы

2.12.2 Амплитуда ВОЛНЫ

2.12.3 Скорость ВОЛНЫ

2.12.4 Импульс ВОЛНЫ

2.12.5 Потенциальная энергия

2.12.6 Кинетическая энергия

2.12.7 Упрощенные формулы

2.12.8 Длинноволновая асимптотика

2.12.9 Коротковолновая асимптотика

2.12.10 Во. шы с самой низкой точкой свободной границы

2.12.11 Давление и скорость на дне

2.12.12Квазипериодичность

Выводы по главе

Глава 3 Эволюция малых возмущений на свободной поверхности

соударяющихся струй

3.1 Введение

3.2 Стационарное решение

3.3 Уравнения нестационарного движения жидкости

3.4 Уравнения нестационарного взаимодействия струй

3.5 Линеаризация

3.6 Первое приближение

3.7 Спектральная задача

3.8 Разделение переменных

3.9 Восьмипараметрическое семейство решений

3.10 Сведение задачи к дифференциальному уравнению

3.11 Решение в окрестности особых точек

3.12 Численное решение

3.13 Применимость метода Фурье

3.14 Пример нагруженного уравнения

3.15 Комплексно-гиперболические уравнения

3.16 Наипростейший случай

3.17 Переход в плоскость комплексного потенциала

3.18 Численное решение

3.19 Вспомогательная задача

3.20 Временная эволюция возмущений

Выводы по главе

Глава 4 Точные решения в нестационарной задаче со свободной

границей

4.1 Степенные ряды по времени

4.1.1 Эйлеровы координаты

4.1.2 Лагранжевы координаты

4.2 Постановка задачи: автомодельные течения

4.3 Малые знаменатели

4.4 Конформные отображения

4.5 Суммирование рядов

4.6 Частный случай а = п/2

4.7 Частный случай а = п/4

4.В Частный случай а = 3п/4

4.9 Линии нулевого ускорения

4.10 Вспомогательное течение

4.11 Эволюция полуплоскости

4.11.1 Построение свободной поверхности

4.11.2 Проверка динамического условия

4.11.3 Проверка кинематического условия

4.11.4 Вычисление ускорения

4.12 Смена знака вектора скорости

4.13 Неавтомодельное течение со свободной границей

4.13.1 Течение с линейным полем скоростей

4.13.2 Преобразование Галилея

4.13.3 Смена знака вектора скорости

4.13.4 Количество решений

4.13.5 Форма свободной границы для неавтомодельных течении

4.14 Трещина в жидкости

4.15 Размножение решений в задаче со свободной границей

Выводы по главе

Глава 5 Конформные отображения, Паде аппроксиманты и пример

течения со значительной деформацией свободной границы

5.1 Введение

5.2 Нахождение степенных рядов

5.3 Непосредственное суммирование степенных рядов

5.4 Аппроксиманты Паде

5.5 Замена переменных

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение

Предметом исследования настоящей работы являются задачи, принадлежащие к классу плоских потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, на которой отсутствует поверхностное натяжение. Рассматриваются как стационарные течения тяжелой жидкости, так и нестационарные течения с отсутствием силы тяжести.

В работе пять глав и основная идея, которая объединяет все эти главы, состоит в использовании конформных отображений. Выбирается некоторая вспомогательная область, ищется конформное отображение этой области на область, занятую жидкостью. Такой п од ход обеспечивает существенное упрощение задачи поскольку мы имеем во вспомогательной плоскости краевую задачу с фиксированной границей.

Для стационарных течений конформные отображения, по-видимому, впервые использовал Стоке в исследовании периодических волн малой амплитуды на поверхности жидкости. Однако для длинных волн, например, для уединенных при использовании конформных отображений возникают вопросы, поскольку классический способ построения длинных волн основан на различном растяжении вдоль двух разных направлений, что приводит к нарушению аналитичности функций комплексного переменного. В диссертации известные асимптотические разложения теории волн на воде переписаны в терминах конформных отображений. В некоторых случаях удается найти их точную сумму.

В нестационарных задачах идея использования конформных отображений высказана A.A. Дородницыным [11] и Л.В. Овсянниковым [48]. Конформные отображения широко применяются для исследования нестационарных течений со свободной границей. Наиболее известна система уравнений Дьяченко [12]. Ее характерной особенностью является то^ что уравнения разрешены относительно временных производных и имеют только кубическую нелинейность. Эти уравнения оказались довольно точными и удобными при расчете длительной эволюции области, занимаемой жидкостью.

Цель работы:

Известен метод Кирхофа, позволяющий находить точные решения для плоских стационарных течений идеальной несжимаемой невесомой жидкости со свободной границей. Таких струйных течений на сегодняшний день найдено очень много. Однако, если задачу немного усложнить, например:

а) сделать жидкость весомой, т. е. добавить силу тяжести;

или

б) добавить время, т.е. сделать задачу нестационарной;

то в обоих случаях универсального метода построения точных решений уже не существует. Основная цель настоящей диссертации состояла в изучении случаев а) и б). Планировалось найти и исследовать новые аналитические, полуаналитические и численные решения для плоской задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей.

Основные задачи исследования:

- Разработать методы суммирования асимптотических разложений в теории волн на воде.

- Построить теорию гравитационных волн максимальной амплитуды.

- Исследовать структуру разложения для высших приближений теории кнои-дальных волн.

- Построить разложение для гравитационных волн малой амплитуды, равномерно пригодное для всех длин волн.

- Исследовать эволюцию малых возмущений на свободной поверхности соударяющихся струй.

- Разработать метод построения точных решений в нестационарном движении жидкости со свободной границей.

- Изучить возможность разрушения решения в связи с выходом виртуальной особой точки, расположенной вне жидкости, на свободную поверхность.

Методы исследования:

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

- использование конформных отображений,

поиск решения в виде степенных рядов по времени^

- использование полуаналитических методов в задачах со свободной границей,

- метод суммирования рядов с использованием производящих функций,

- методы суммирования рядов с малыми знаменателями,

- метод построения течений с нулевым ускорением,

- методы теории возмущений в исследовании задач о распространении малых возмущений по свободной поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование течений со свободной границей с помощью конформных отображений»

Актуальность:

Большое количество решений в задаче о движении жидкости со свободной границей представлено в монографиях: Гуревич (1979) [9], Маклаков (1997) [42], ТегепМеу е! а1. (2011) [144]. Однако точных решений среди них немного. Причина этого заключается в сложности решения краевой задачи в области, которая заранее неизвестна и должна находиться в процессе решения.

Для тяжелой жидкости были известны лишь отдельные примеры точных решений о стационарных течениях со свободной границей над неровным дном. Для нестационарных течений был известен один класс решений — течения с линейным полем скоростей, открытый Дирихле в 1860 году [86], [6].

Отметим, что родственные течения Хеле-Шоу или плоские течения Стокса вязкой жидкости имеют огромное количество точных решений со свободной границей. Это позволяет надеятся, что и для плоских течений идеальной жидкости не все точные решения пока найдены.

По мнению академика Захарова течения идеальной жидкости со свободной границей — это пример интегрируемой задачи. Нахождение новых точных решении подстегнет развитие этого раздела математической физики. По-видимому, виртуальные особенности решения, находящиеся вне жидкости, являются определяющими для интегрируемости задачи. В работе Захаров [160] написаны уравнения, описывающие эволюцию этих особенностей. Построенные в диссертации примеры точных решений имеют особенности, которые являются точками ветвления, двигающиеся без изменения своего типа. Все сказанное позволяет считать, что предложенная тема диссертации является актуальной.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается сравнением как с численными, так и с экспериментальными работами предшественников. Некоторые результаты получены двумя различными способами, которые между собою сравниваются.

В первой главе настоящей работы рассматривается задача об уединенной волне. Проведен анализ различных асимптотических разложений, используемых в данной задаче. В некоторых случаях ряды точно суммируются и находятся точные решения задачи о движении тяжелой жидкости со свободной границей. Эти решения оказались близки к уединенным волнам.

Во второй главе рассматриваются периодические гравитационные волны на поверхности жидкости. В терминах конформных отображений изучены высшие приближения теории кноидальных волн. Найдено нелинейное преобразование, СВЯЗЫВсХ-ющее длинные и короткие волны. Основной результат данной главы — найдено семейство точных решений задачи о течении тяжелой жидкости со свободной границей. Используя это семейство, вычислены различные характеристики гравитационных ВОЛН большой амплитуды. Формулы, полученные выше. обеспечивают аппроксимацию для наивысших волн, которая имеет практическую ценность где аналитические выражения или быстрые вычисления требуются ДЛЯ наивысших волн с длинои волны больше чем четыре раза глубины.

В третьей главе изучено распространение малых возмущений по свободной поверхности соударяющихся струй. Показано, что полученная линейная система нагруженных уравнений не допускает решения методом Фурье, поскольку все собственные функции являются неограниченными. Осуществлено численное решение для частного случая лобового симметричного соударения двух струй. Исследуется эволюция малых возмущений на свободной поверхности потока, обтекающего угол 270°. Найденные линейные уравнения движения решаются численно. Показано, что течение устойчиво в эйлеровых координатах и неустойчиво в лагранжевых. Задача о соударении с одинаковой скоростью двух плоских струй идеальной несжимаемой жидкости имеет известное стационарное решение. Уточнение и обобщение этой задачи на случай нестационарного взаимодействия струй получено в настоящей главе. Найдены уравнения, описывающие распространение возмущений по свободной поверхности соударяющихся струй. Осуществлена линеаризация этих уравнений на стационарном решении.

В четвертой главе предложено три новых метода построения точных решений задачи о нестационарном движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Первый метод основан на сведении задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Второй метод предназначен для нахождения решений с нулевым ускорением на свободной границе. Третий метод основан на некоторой процедуре размножения решений. Особое внимание уделяется исследованию виртуэльных особых точек, т.е. особых точек решения, находящихся вне жидкости.

Зафиксированы примеры, когда с течением времени особые точки мигрируют и выходят на свободную поверхность. В результате построены примеры разрушающихся течений.

В пятой главе рассматривается пример нестационарного течения, когда первоначальное поле скоростей квадратично. Решение ищется в виде степенных рядов по времени. Численное суммирование рядов осуществляется с помощью аппрокси-мантов Паде.

Защищаемые научные результаты:

- Разработаны новые методы получения точных решений в задаче о движении тяжелой жидкости со свободной границей.

- Найдено семейство течений тяжелой жидкости со свободной границей, близкой к волнам на воде.

- Изучена структура и сходимость различных асимптотических разложений для конформного отображения в теории волн на воде.

- Построен численный алгоритм исследования малых возмущений на свободной границе соударяющихся струй.

- Разработаны новые методы получения решений в задаче о нестационарном движении жидкости со свободной границей.

- Открыт новый класс точных решений в задаче о движении жидкости с нулевым ускорением.

- Изучено поведение особых точек решения.

- Предложен способ точного суммирования степенных рядов по времени в задаче о движении жидкости со свободной границей. Разработана также техника суммирования с использованием аппроксимантов Паде.

Апробация работы. Материалы, вотпедтпие в диссертацию^ докладывались и обсуждались на научных конференциях по механике и математике, среди которых

- VIII и XI Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Казань 2015);

- Международная конференция, посвященная юбилею С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008, 2013);

- Международная конференция, посвященная юбилею С. К. Годунова «Математика в приложениях» (Новосибирск, 1999);

- IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000);

- Международная летняя научная школа «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002, 2014);

- Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2003);

- Всероссийская конференция «Математические методы в механике и экологии» (Барнаул, 2002);

- Международная конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2013);

- Международная научная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения академика A.C. Алексеева «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей» (Новосибирск, 2013);

- Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение, изучение» (Новосибирск, 2004, 2014);

- Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2002, 2005, 2011, 2014);

- Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000, 2005, 2010, 2015).

Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика Л.В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В.В. Пухна-чева (ИГиЛ СО РАН), академика В.Н. Монахова (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН П.И. Плотникова (ИГиЛ СО РАН).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 22 статьях в рецен зируемых научных журналах [15]-[30], [101]-[106], а также в трудах конференций. Три статьи [18],[21],[101] не входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Работы [15], [28], [29], [30], [105], [106], выполненные совместно, получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.

Глава 1

Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне

^у'единенная волна представляет собой объект многочисленных исследований многих авторов. В настоящее время теория уединенных волн сформировалась в развитый раздел математической физики. Классификация разных типов уединенных волн в различных механических и физических системах представлена в монографии Ильичева (2003) [14].

В данной главе рассматривается классическая уединенная волна на поверхности жидкости, впервые открытая Расселом в 1838 году [136]. Буссинеск (1871) [75], Рэлей (1876) [134], Кортевег де-Фриз (1895) [108] продолжили исследование этой задачи. Они создали приближенную теорию для уединенных волн малой амплитуды.

Точная формулировка задачи для волн большой амплитуды изучалась во многих статьях. Существование уединенных волн малой амплитуды было впервые доказано М.А. Лаврентьевым (1946) [36] и немного позднее Фридрихсом и Хайер-сом (1954) [93]. Существование решения "в целом" установлено Эмиком и Толандом (1981) [69]. Стоке (1880) [141] высказал гипотезу, что наивысшая уединенная волна характеризуется точкой заострения на свободной границе с внутренним углом 120°. Существование уединенных волн максимально возможной амплитуды с заострением на вертттнне было доказано Толандом (1978) [145]. Гипотеза Стокса была доказана Плотниковым (1983) [52]. Craig & Sternberg (1988) [80] доказали симметричность уединенных волн относительно вертикальной оси^ проведенной через наивысшею точку свободной границы (ось Y на рис. 1.16). Важное свойство неединственности уединенных волн большой амплитуды было доказано Плотниковым (1991) [53].

Тем не менее эти и другие замечательные результаты не дают конструктивные методы для определения параметров течения. Для того, чтобы оценить профиль вол-

Асимптотические разложения в задаче об у6дин6ннои полно

Y

jg

Y=Y0 (X)

т

->

X

а)

б)

Рис. 1.1. Уединенная волна в различных системах координат: а) в лабораторной системе координат (жидкость на бесконечности покоится); б) в системе координат, движущейся вместе с волной.

ны, а также массу, энергию, импульс и т. д. использовались две группы численных методов.

Первая группа базируется на численном суммировании различных рядов, представляющих решение. Степенные ряды по амплитуде использовались в работах Feutoii(1972) [89], Loiiguet-Higgiiis & Fenton(1974) [116], Peimel & Su (1984) [132], Pennel (1987) [133] и других авторов. Особенно тщательные и интенсивные вычисле~ ния провели Longuet-Higgins & Fenton. Используя замены переменных в степенных рядах и суммирование Паде они оценили параметры уединенной волны вплоть до максимальной амплитуды. Другие типы рядов были использованы Witting (1975) [156], Овсянников (1991) [50] и Карабут (1994) [16]. Здесь авторы применяли разложения по некоторым семействам функций. Отметим, что численное суммирование рядов разных типов дает одинаковые или похожие результаты.

В целом эти результаты оказались также близки и к результатам, полученным численными методами второй группы. Эта группа не использует ряды для решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится задача об уединенной волне, использовались конечно-разностные методы. Упомянем самые известные статьи на эту тему: Byatt-Smith & Longuet-Higgins (1976) [74], Williams (1981) [154],

Существуют незначительные отличия вычисленных параметров для уединенных волн большой амплитуды, посчитанных методами первой и второй групп. Например, величина отношения максимальной амплитуды к глубине жидкости на бесконечности, полученная из численных вычислений, базирующихся на суммировании рядов5 составляет

Witting (1981) [157] и Hunter & Vanden-Broeck (1983) [98].

(1.1)

Асимптотические разложения в задаче об VC.IJl ИСИ ПОИ DO. I и с

Рис. 1.2. Таких уединенных воли не существует.

Это число слегка отличается от величины

Yo(0) - ho ho

0.833, (1.2)

найденной методами второй группы.

Такие отличия в численных расчетах, полученных с помощью разной техники, ранее объяснялись недостаточной точностью метода Паде-суммирования (Pennel 1987 [133]) или малым количеством членов ряда (Pennel & Su 1984 [132]). Witting (1975) [156] объясняет существующее различие тем, что используемые ряды являются не полными. По нашему мнению это объяснение справедливо. В диссертации дальнейшие свидетельства в пользу этой гипотезы представлены.

Основной результат первой главы осуществлено точное суммирование рядов, предложенных в работе [156]. Мы их будем называть рядами Вайтинга. Задача суммирования сводится к нахождению решения специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что ряды Вайтинга не описывают уединен-ньте волны, но соответствуют некоторым другим стационарным течениям тяжелой жидкости со свободной границей. Например, одно из таких течений, которое ниже анализируется, соответствует засасыванию жидкости под криволинейную крышку.

Отметим, что таких течений тяжелой жидкости со свободной границей известно совсем немного. Например Villat (1915) [149] натттел точное решение задачи о течении тяжелой жидкости над криволинейным дном определенной формы. Точное решение о течении жидкости над дном в форме ступеньки было н аи д е н о Richardson (1920) [135]. Другие дополнительные примеры точных решений (их число не более 10) может быть найдено в книге Гуревича [9].

Важным результатом главы 1 и главы 2 является то, что к этим отдельным примерам точных решений добавлено целое семейство новых точных решений. Однако более важным результатом является то, что это семейство оказалось близким к гравитационным волнам. Например, течения, описываемые рядами Вайтинга, оказались очень близки к уединенным волнам. Это позволяет использовать эти течения для приближенного моделирования уединенных волн.

Рис. 1.3. Уединенная волна: а) нулевой амплитуды; б) максимальной амплитуды.

1.1 Введение

Рассматривается классическая задача теории волн на воде о плоском потенциальном течении идеальной несжимаемой жидкости в слое глубиной h0, расположенной над ровным горизонтальным дном. Сверху жидкость ограничена свободной границей, на которой отсутствует поверхностное натяжение. Сила тяжести определяется ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз.

Одно из подобных течений, схематично изображенное на рис. 1.1а. н аз ы в ается уединенной волной. Имеется локальное возвышение свободной границы ^ убывающее на бесконечности, которое движется горизонтально с некоторой постоянной скоростью По без изменения формы. На бесконечности жидкость покоится, а свободная поверхность горизонтальна.

Пусть в лабораторной системе координат уединенная волна движется справа налево. Тогда при переходе в движущуюся систему координат (X,Y), изображенную на рис. 1.16, получаем стационарное течение, в котором на бесконечности жидкость движется уже слева направо со скоростью и0. Начало системы координат разместим на дне так. Y поверхность в ее наивысшеи точке.

Ось X направим вдоль дна на право. В результате имеем на свободной поверхности одиночный неподвижный горб с вершиной расположенной при X = 0. Имеем именно горб, поскольку уединенные волны~впадины5 изображенные на рис. 1.2. невозможны. Это доказано Красовским [34].

Семейство стационарных периодических гравитационных волн на поверхности жидкости, имеющих один максимум и один минимум на период, является двух-параметрическим оно зависит от длины волны и амплитуды. Уединенные волны являются предельным случаем периодических волн, когда длина волны стремится к бесконечности. Поэтому семейство уединенных волн является однопараметрическим. В качестве параметра, определяющего уединенную волну, можно взять единственную безразмерную комбинацию трех размерных параметров u0,g,h0, называемую

а

Рис. 1.4. Зависимость амплитуды а от числа Фруда F.

числом Фруда:

F = uo/л/ф0-

Иногда удобнее вместо числа Фруда использовать параметр Стокса 9, определяемый как наименьший положительный корень уравнения

F2 = tg 9/9. (1.3)

Как ниже будет видно, параметр Стокса 9 G [0, п/2) естественным образом возникает при линеаризации задачи об уединенной волне.

F9

дится к задаче построения течения с уравнением свободной границей Y = Y0(X), удовлетворяющим условию

lim Yo(X) = ho.

9

решения на бесконечности. При \X\ ^ то

имеется асимптотика:

Yo(X) - ho - hoe-elXl/ho.

Одной из целей при исследовании уединенной волны является определение функциональной зависимости безразмерной амплитуды а от числа Фруда F. Требуется также определить максимально возможную амплитуду а* = max а. Безразмерная амплитуда находится по формуле а = a/h0, где буквой a обозначена размерная амплитуда a = Yo(0) — h0.

Запишем интеграл Бернулли на бесконечности и в наивысшей точке свободной границы i

u2 u2

-2° + 9 ho = у + gYo(0). (1.4)

Видно, что чем выше уединенная волна, тем меньше скорость на вершине волны п. Поэтому максимально высокая волна возникает, если п = 0. Таким образом, получаем из (1.4), что число Фруда для наивысшей волны F* и максимально возможная амплитуда связаны формулой:

(F*)2 = 2 а*. (1.5)

В каких пределах меняется число Фруда F (или параметр Стокса 9)? Уединенные волны являются сверхкритическими течениями: F > 1. Предел F — 1 (пли 9 — 0) соответствует уединенным волнам малой амплитуды. Говорят, что уединенные волны ответвляются от течения, изображенного на рис. 1.3а , т.е. от равномерного прямолинейного течения, у которого F = 1. Предел F — F* (или 9 — 9*) соответствует уединенной волне максимальной амплитуды. Для такой волны на свободной поверхности образуется точка заострения с внутренним углом 120° (см. рис. 1.36). Параметры такой волны, вычисленные разными авторами, следующие:

а* = 0.8331990, F* = 1.290890, 9* = 1.052677.

Долгое время считалось, что чем выше уединенная волна, тем с большей скоростью она распространяется. Так продолжалось до работы Longuet-Higgins & Fenton

(1974) [116], где впервые было показано, что самая высокая волна не является самой

F**

раметры самой быстрой волны, численно найденные разными авторами, следующие:

а** = 0.7959034, F** = 1.294211, 9** = 1.056397.

Интервалы изменения числа Фруда и параметра Стокса составляют!

F е [1,F**], 9 Е [0,9**].

Это следует из рис. 1.4, где схематично представлена зависимость амплитуды от числа Фруда. Такая зависимость следует из асимптотической теории почти наивысших гравитационных волн Longuet-Higgins & Fox (1977-1996) [118, 119, 122]. Сама теория подтверждена прецизионными численными рассчетами, проведенными Маклаковым (2002) [123].

Таким образом, имеет место неединственность решения: с одной и той же скоростью или с одним и тем же числом Фруда может распространяться несколько уединенных волн. Отметим, что если взять число Фруда, определенное через скорость на вершине волны^ то неединственность исчезает Longuet-Higgins & Fenton [116].

Два наблюдения оказались решающими для получения результатов, представленных в настоящей главе. Первое наблюдение связано с равенством

п

9* = - х 1.0052 = 60.314°,

3 '

0.8266 (Уатаёа 1957)[158]

0.8281 (Ьепаи 1966)[110]

0.8262 (Уатаёа, Ютига & ОкаЬе 1968)[159]

0.827 (^^^^^^^^^^¿пв & РеМоп 1974)[116]

3^3/2п = 0.826993 ... (\Vitting 1975)[156]

0.8332 (Рох 1978)

0.833197 (\¥ПНатз 1981)[154]

0.83322 (НиМег & Уапёеп-Вгоеск 1983)[98]

0.833199179 (Еуаш & Роге! 1995)[88]

0.833199084520 ( 2000)

Таблица 1.1. Максимальная амплитуда уединенной волны.

из которого видно, что величина 9* близка кп/3.

Второе наблюдение возникает при изучения табл. 1.1, где представлены раз~ личные приближенные значения максимальной амплитуды а*, численно найденные разными авторами. Правильный результат (1.2), показан в правой половине таблицы. Он получен в более позднее время, когда стал возможен доступ к компьютерам. Результаты, представленные в левой половине, получены в более раннее время, когда доступ к компьютеру был ограничен и для получения результата приходилось в той или иной степени использовать ряды. Эти результаты являются неправильными. Однако любопытно, что все эти неправильные результаты дают, тем не менее, одно и тоже число (1.1). Возникает предположение, что ряды, используемые в задаче об уединенной волне, описывают не уединенную волну, а некоторые другие течения, близкие к уединенным волнам. В настоящей работе эти течения найдены.

Задача об уединенной волне на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины — это классический раздел гидродинамики, которому посвящено огромное количество публикаций. Впервые уединенная волна была систематически изучена в работах Скотта Рассела (1838) [136], (1844) [137]. Его эмпирическая формула для скорости распространения уединенной волны имеет вид

«о = V д(Ьо + а).

В безразмерной форме она может быть переписана в виде

Г2 = 1 + а. (1.6)

Собственно теория уединенных волн началась с попытки доказать справедливость формулы (1.6) для уединенных волн малой амплитуды. Это впервые удалось сделать Буссинеску (1871) [75] и Рэлею (1876) [134]. Они показали, что при а ^ 0 имеем

Г2 = 1 + а + 0(а2). (1.7)

Попытка улучшить аппроксимацию (1.7) позднее была предпринята McCowan (1891) [124]. Им было получено

F2 = 1 + а - 23а2 + 0(а3). 60

Однако McCowan ошибся. Это было установлено Weinstein (1926) [152] и им было дано новое разложение

21

F2 = 1 + а - — а2 + 0(а3). 20

Однако Weinstein тоже ошибся. Это обнаружил Long (1956) [112] и им было получено следующее правильное разложение:

т,2 1 1 2 3 3 6 4 2427 5 6.

F2 = 1 + а--а2 - — а3 - — а4 - —-а5 + 0(а6).

20 70 175 77000 1 ;

С появлением компьютеров вычисления начали проводится в арифметике с плавающей запятой. Первым был Fenton (1972) [89], который нашел 10 членов ряда:

F2 = 1.0000000 + 1.0000000а - 0.0500000а2 - 0.0428571а3 - 0.0342857а4-

-0.0315195а5 - 0.0292784а6 - 0.0268451а7 - 0.0302634а8 - 0.0219347а9 + 0(а10).

Затем в работе Longuet-Higgins & Fenton (1974) [116] было найдено 15 членов ряда, суммируя которые с использованием аппроксимантов Паде и с использованием замен переменных в степенных рядах. удалось обнару^кить неединственность решения! с данной скоростью может распространятся более чем одна уединенная волна. Далее Pennel & Su (1984) [132] нашли 18 членов ряда. Затем Pennel (1987) [133] нашел 28 членов ряда. Примерно столько же членов нашли Wang & Wu (2006) [151]. Нежевен-ко (2001) [45] применяла дифференциально-разностное уравнение для уединенной волны, рассмотренное ниже. С использованием этого уравнения удалось найти 86 членов ряда в рациональных числах. Погоня за количеством членов ряда здесь объясняется просто: чем больше членов ряда найдено, тем с большей точностью можно исследовать особые а

просуммировать ряды.

Для нахождения формы свободной границы как правило использовался классический ряд теории мелкой воды

ЩХ = 1 + £ 92j £ . (1-8)

h0 j=i (ch Ц)

Подставляя ряд в граничные условия, можно построить алгоритм для последовательного нахождения чисел а^п.

Если формально переставить порядок суммирования в (1.8), то это даст другой ряд:

Решение непосредственно в виде (1.9) для задачи об уединенной волне предложено применять в работе Реппе1 & Эй (1984) [132]. Смысл такого предложения состоит в том, что если при конструировании ряда (1.8) использовалось предположение малых амплитуд 9 ^ 0, то для (1.9) такое предположение, вообще говоря, не используется. Подставляя (1.9) в граничное условие, можно последовательно найти все коэффициенты ап, кроме первого. Первый коэффициент а^9) остается неопределенным, а все остальные являются функциями

ап (а1,9). Только в случае, если дополнительно потребовать

тогда а1 (9) определяется единственным способом в виде степенного ряда по 9. В этом

9

Академиком Овсянниковым работе (1991) [50] предложен аналог ряда (1.9) для конформного отображения и получено уравнение для нахождения первого коэффициента.

Будем искать конформное отображение полосы, расположенной в плоскости комплексного потенциала, на область, занимаемую жидкостью. Впервые такие конформные отображения для волн на воде в точной нелинейной постановке использовал

Пусть Ф + 1Ф размерный комплексный потенциал, где Ф, Ф — это размерные потенциал скорости и функция тока соответственно. Положим на дне Ф=0 кости комплексного потенциала жидкости соответствует полоса, причем ширина этой полосы может быть разной. Она зависит от выбранной процедуры обезразмеривания.

В данной главе рассматривается два способа обезразмеривания. При первом способе ширина полосы становится равной единице, а при втором она будет равнятся 9

ьолее естественным способом обезразмеривания для уединенных волн, как выясняется ни^ке, является второй. Однако при этом способе трудно получить линейную задачу для случая малых амплитуд, поскольку при 9 ^ 0 полоса вырождается

(1.9)

ап = 0(92п) при 9 ^ 0,

(1.10)

1.2 Постановка задачи.

Стоке (1880) [141].

А К

В

~ а)

В

1 ® с —*■

В

* б)

6 ®

В

с

Рис. 1.5. Задача о нахождении уединенной волны сводится к нахождению конформного отображения полосы в плоскости безразмерного комплексного % или х на область течения в плоскости 2. Используется две нормировки: а) ширина полосы равняется единице; б) ширина полосы равна в.

в прямую. Поэтому возникает потребность в еще одном способе обезразмеривания, когда ширина полосы фиксирована.

1.2.1 Первый способ обезразмеривания

Когда ширина полосы равна единице, то в этом случае все величины будем писать с «волной». Пусть х = ф + безразмерный комплексный потенциал, полученный по правилу

Ф + 1Ф

Х п0Но

Тогда область течения в плоскости х составит полосу 0 < Ф < 1. Конформное отображение этой полосы на область, занимаемую жидкостью в физической плоскости Ъ = X + 1У, ищем в виде:

г = (х).

Функция f (х) должна осуществлять конформное отображение прямолинейной полосы на криволинейную полосу в плоскости г, которая при г ^ ж асимптотически стремится к прямолинейной полосе. Поэтому, выделяя в функции f (х) линейную часть, которая будет осуществлять конформное отображение полосы на полосу, по-

лучим

I (х) = х + ^(х).

Здесь возникает функция РК(Х), мнимая часть которой на бесконечности должна быть нулевой.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Карабут Евгений Алексеевич, 2016 год

Литература

1. Аптекарев А.И., Буслаев В.И., Мартинес-Финкелъштейн А., Суетин С.П. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены // УМН. 2011. Т. 66, выпуск 6(402). С. 37-122.

2. Вабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конечной амплитуды // ДАН. 1987. Т. 294, N 5. С. 1033-1037.

3. Белых В. Н. Теорема существования и единственности решения задачи о сферическом пузыре // Динамика сплошной среды. 1972. Вып. 12. С. 63-76.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение: Пер. с нем. М., 1967.

5. Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф. Разностный метод решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, №11. С. 1560-1562.

6. Борисов A.B., Мамаев И. С. (ред.) Динамика жидких и газовых эллипсоидов. М. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований. 2010. 364 с.

7. Волнообразование при косых соударениях / Сб. статей. Новосибирск, 2000.

8. Галин Л.А. Неустановившаяся фильтрации со свободной границей // ДАН СССР. 1945. Т. 47, №4. С. 250-253.

9. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.

10. Дерибас A.A. Физика упрочнения и сварки взрывом. Новосибирск, Наука, 1980.

11. Дородницын A.A. Плоская задача неустановившихся движений тяжелой жидкости // Тр. Международного симпозиума в Тбилиси "Приложения теории функций в механике сплошных сред". Москва, Наука, 1965. Т. 2. С. 171-172.

12. Дьяченко А.И. О динамике идеальной жидкости со свободной поверхностью // ДАН. 2001. Т. 376, №1. С. 27-29.

13. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.

14. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. Физматлит, 2003.

15. Журавлева Е.Н., Карабут Е.А. Нагруженные комплексные уравнения в задаче о соударении струй // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51, № 5. С. 936-955.

16. Карабут Е.А. К задаче об уединенной волне на поверхности жидкости // ДАН. 1994. Т. 337, № 3. С. 339-341.

17. Карабут Е. А. Численный анализ асимптотического представления уединенных волн // ИМ ТФ. 1994. Т. 35, № 5. С. 44-54.

18. Карабут Е.А. Теория гравитационных волн максимальной амплитуды // Вычислительные технологии. 1995. Т. 4, № 11. С. 127-143.

19. Карабут Е.А. Суммирование ряда Вайтинга в задаче об уединеннои волне / / Сиб. Мат. Ж. 1995. Т. 36, № 2. С. 328-347.

20. Карабут Е.А. Семейство точных решении, близких к гравитационным волнам максимальной амплитуды // ДАН. 1995. Т. 344, № 5. С. 623-626.

21. КагаЬиЬ Е.А. Аппроксимация для наивысших волн в жидкости // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113. С. 73-78.

22. Карабут Е.А. Пример течения тяжёлой несжимаемой жидкости со свободной границей // Изв. РАН, МЖГ. 1999. № 4. С. 182-187.

23. Карабут Е.А. О суммировании ряда Вайтинга в задаче об уединенной волне // ПМТФ. 1999. Т.40, № 1. С. 44-54.

24. Карабут Е.А. Высшие приближения теории кноидальных волн // ПМТФ. 2000. Т.41, № 1. С. 92-104.

25. Карабут Е.А. Точное решение одной нелинейной краевой задачи теории волн на поверхности жидкости конечной глубины // ПММ. 2009. Т.73, вып. 5. С. 741-762.

26. Карабут Е.А. Малые возмущения в задаче о соударении струи. Основные уравнения // ПМТФ. 2009. Т.50, №6. С. 36-54.

27. Карабут Е.А. Метод Фурье в задаче о малых возмущениях соударяющихся струй // ПМТФ. 2010. Т.51, №6. С. 3-20.

28. Карабут Е.А., Журавлева E.H. Шесть течений со свободной границей, описываемых одной формулой // Известия Алтайского государственного университета. 2013. Т. 1, №1 (77). С. 39-44. [izvestia.asu.ru/2013/l-l/math-mech/TheNewsOfASU-2013-l-l-math-mech-07.pdf]

29. Карабут Е.А., Журавлева E.H. Нестационарные течения с нулевым ускорением на свободной границе // ДАН. 2014. Т. 458, №6. С. 656-659.

30. Карабут Е.А., Журавлева E.H. Размножение решений в плоской задаче о движении жидкости со свободными границами // ДАН. 2016. (в печати)

31. Кинеловский С.А. Концепция упругих-неупругих взаимодействий струйных потоков и соударение струй идеальной несжимаемой жидкости // ФГВ. 1994. Т. 30, Ш. С. 75-86.

32. Козин Н. С. Малые возмущения струи, вытекающей из щели // Прикладная математика и механика. 1972. Т.36, вып. 4. С. 641-646.

33. Козин Н. С. Об устойчивости плоского полого вихря // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36, вып. 1. С. 60-64.

34. Красовский Ю.П., Лаврентьев М.А., Моисеев H.H., Тер-Крикоров A.M., Ша-бат А.Б. Математические вопросы гидродинамики жидкости со свободными границами // Прикл. мех. и техн. физика. 1963. №4. С. 3-16.

35. Кэйз K.M. Гидродинамическая устойчивость как задача с начальными данными //в кн. Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С. 37-46.

36. Лаврентьев М.А. До теорп довгих хвиль // 36. праць liier, матем. АН УРСР. 1946. Т. 8. С. 13-69.

37. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973.

38. Лаврентьева О.М. О движении жидкого эллипсоида // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253(4). С. 828-831.

39. Лаврентьева О.М. Об одном классе движения жидкого эллипсоида // ПМТФ. 1984. Т. 25(4). С. 148-153.

40. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л. Гостехиздат, 1947.

41. Макаренко Н. П., Костиков В.К. Неустановившееся движение эллиптического цилиндра под свободной поверхностью // ИМ ТФ. 2013. Т. 3. С. 30-41.

42. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. 11 и-во: Янус-К, 1997.

43. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.

44. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск, изд-во НГУ, 1975.

45. Нежевенко М.Е. Асимптотическое разложение в задаче об уедипеппои волне. Дипломная работа. Новосибирский государственный университет, механико-математический университет. Новосибирск, 2001.

46. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры / / Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

47. Овсянников Л. В. О всплывшими пузыря // Некоторые проблемы механики и математики. Л.: Наука, 1970. С. 209.

48. Овсянников Л.В. Плоская задача о неустановившемся движении жидкости со свободными границами // Динамика сплошной среды. 1971. Вып. 8. С. 22-26.

49. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

50. Овсянников Л.В.Об асимптотическом представлении уединенных волн // ДАН. 1991. Т. 318, № 3. С. 556-559.

51. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. Москва: Физматлит, 2009.

52. Плотников П. И. Доказательство гипотезы Стокса в теории поверхностных волн на воде// ДАН. 1983. Т. 269, №1. С. 80-83.

53. Плотников П. И. Неединственность решения задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР., Сер. мат. 1991. Т. 55, № 2. С. 339-366.

54. Полубаринова-Кочина П. Я. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, №4. С. 254-257.

55. Пухначев В.В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. 1978. Вып. 33. С. 68-75.

56. Риман Б. О движении жидкого однородного эллипсоида //Б. Риман. Сочинения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. С. 339-366.

57. Славянов С.Ю., Лай В. Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб.: Невский Диалект, 2002.

58. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1984.

59. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ПЛ., 1959.

60. Тер-Крикоров, А. М. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную // ПММ. 1960. Т. 24, вып. 4. С. 622-636.

61. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

62. Toda M. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984.

63. Тришин Ю.А. Несимметричное соударение струй идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1986. Т. 159, №5. С. 40-45.

64. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 2. Физматгиз, 1963.

65. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

66. Уткин A.B., Дремин А.Н. Неустойчивость течения, возникающего при симметричном соударении струй идеальной жидкости // Физика горения и взрыва. 1986. Т. 22, №3. С. 103-109.

67. Уткин A.B. Неустойчивость течения, возникающего при соударении струй идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1988. №6. С. 102-107.

68. Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. М.: Наука, 2008.

69. Amie C.J., Toland J.F. On solitary water-waves of finite amplitude// Arch. Eat. Mech. Anal. 1981. V. 76. P. 9-95.

70. Amick C. J., Fraenkel L. J., Toland J. F. On the Stokes conjecture for the wave of extreme form // Acta Math. 1982. V. 148. P. 193.

71. Amick C. J., Fraenkel L. J. On the behavior near the crest of waves ot extreme form // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299. P. 273.

72. Baker G.R., Xie C. Singularities in the complex physical plane for deep water waves // J. Fluid Mech. 2011. V. 685. P. 83-116.

73. Baumel R.T., Burley S.K., Freeman D.F., Gammel J.L., Nuttal J. The rise of a cylindrical bubble in an inviscid liquid // Can. J. Phys. 1982. V. 60(7). P. 999-1007.

74. Byatt-Smith J.G.B., Longuet-Higgins M.S. On the speed and profile of steep solitary waves // Proc. E. Sol. Lond. 1976. V. 350. P. 175.

75. Boussinesq J. Theorie de l'intumescence liquide appelée on de solitaire on de translation se propageant dans un canal rectangulaire // Comptes Rendus. 1871. V. 72. P. 755.

76. Chandler G. A., Graham I. G. The computation of water waves modelled by Nekrasov's equation // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V.30(4). P. 1041.

77. Cisotti U. SulPintegrazione dell'equazione caratteristica dei piccoli moti ondosi in un canale di qualunque profondita // Rend. Accad. Lincei. 1920. V.29(5). P. 131-133, 175-180, 261-264.

78. Cokelet E.D. Steep gravity waves in water of arbitrary uniform depth // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1977. A286. P. 183.

79. Covan G.R., Bergman O.R., Holtzman A.H. Mechanism of bond zone wave formation in explosion-clad metals // Metallurgical Transactions. 1971, 2(November) P. 3145-3155.

80. Craig W., Sternberg P. Symmetry of solitary waves // Commun. Partial Differential Equat. 1988. V. 13. P. 603-633.

81. Cummings S.D., Howison S.D., King J.R. Two-dimensional Stoker and Hele-Shaw flows with free surfases // Eur. J. Appl.Math. 1999. V. 10. P. 635-680.

82. Curie N. Unsteady two-dimensional flows with free boundaries // Pros. Roy. Soc. London Ser. A. 1956. V. 235(1202). P.375-395.

83. Daboussy D., Bias F., Vanden-Broeck J.-M. On explicit solutions of the free-surface Euler equations in the presence of gravity // Phys. Fluids. 1997. V. 9. P. 2828.

84. Dallaston M. С., Мс Cue S.W. Accurate series solutions forgravity-driven Stokes waves // Phys.Fluids. 2010. V. 22. P. 82-104.

85. Davies T. V. The theory of symmetrical gravity waves of finite amplitude //I. Proc. Roy. Soc. A. 1951. V. 208. P. 475.

86. Dirichlet G. L. Untersuchungen uber ein problem der hydrodynamik //J. Reine Angem. Math. A. 1861. V. 58. P. 181-216.

87. Dyachenko S.A., Lushnikov P.M., Korotkevich A.O. Complex singularity of a Stokes wave // JETF Lett. 2014. V. 98 (11). P. 676-679

88. Evans W. А. В., Ford M. J. An exact integral equation for solitary waves (with new numerical results for some 'internal' properties) //J. Proc. Roy. Soc. A. 1996. V. 452. P. 373.

89. Fenton J. A ninth-order solution for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1972. V. 53. P. 257-271.

90. Fenton J. A high-order cnoidal wave theory //J. Fluid Mech. 1979. V. 94. P. 129— 161.

91. Fox J.L., Morgan G.W. On the stability of some flows of an ideal fluid with free surfaces // Quarterly Appl. Math. 1954. V. 11, № 4. P. 439-456.

92. Friedrichs K. 0. On the derivation of the shallow water theory. Appendix to the formation of breakers and bores by J. J. Stoker. // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 81-87.

93. Friedrichs K. 0., Hyers D. H. The existence of solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. P. 517-550. Перевод на русский: Сб. переводов «Теория поверхностных волн», ИЛ, 1959.

94. Gammel J.L. The rise of a bubble in a fluid // Lecture Notes Phys. 1976. V. 47. P. 141-163.

95. Germain J.-P. Etude des séries entières untilisées dans la théorie de la houle en peu profonde // Compt. Rendus Acad. Sci. Paris. 1966. V. 262. P. 546-548.

96. Grant M. A. The singularity at the crest of a finite amplitude progressive Stokes wave //J. Fluid Mech. 1973. V. 59. P. 257.

97. Havelock T. H. Periodic irrotational waves of finite height // Proc. E. Soc. London Ser. A. 1919. V. 95. P. 38.

98. Hunter J.K., Vander-Broeck J.-M. Accurate computations for steep solitary waves //J. Flui Mech. 1983. V. 136. P. 63.

99. Hureau J., Weber R. Impinging free jets of ideal fluid //J. Fluid Mech. 1998. — V. 372 - P. 357-374.

100. Jounstone E.A., Mackie A.G. The use of Lagrangian coordinates in the water entry and related problems // Proc. Camb. Phil. Soc. 1973. V. 74. P. 529-538

101. Karabut E.A. Semi-analytical investigation of unsteady free-boundary flows // International Series of Numerical Mathematics. 1991. V. 99. P. 215-224.

102. Karabut E.A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave //J. Fluid Mech. 1996. V. 319. P. 109-123.

103. Karabut E.A. An approximation for the highest gravity waves on water of finite depth //J. Fluid Mech. 1998. V. 372. P. 45-70.

104. Karabut E.A. Exact solutions of the problem of free-boundary unsteady flows // Comptes Eendus Mecanique. 2013. V. 341. - P. 533-537.

105. Karabut E.A., Kuzhuget A.A. Conformai mapping, Pade approximants and example of flow with significant deformation of free boundary // Europ. J. Appl. Math. 2014. V. 25. P. 729-747.

106. Karabut E.A., Zhuravleva E.N. Unsteady flows with a zero acceleration on the free boundary //J. Fluid Mech. 2014. V. 754. P. 308-331.

107. Keller J. B. The solitary wave and periodic waves in shallow water // Commun. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 323.

108. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. V. 39, Ser. 5. P. 422-443.

109. Kuznetsov E.A., Spector M.D., Zakharov V.E. Formation of singularities on the free surface of an ideal fluid // Physical Eeview E. 1994. V 49(2). P. 1283-1290.

110. Lenau, C.W. The solitary wave of maximum amplitude //J. Fluid Mech. 1966. V. 26. P. 309-320.

111. Littman W. On the existence of periodic waves near critical speed // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. P. 241-269.

112. Long R.R. Solitary waves in the one- and two-fluid systems // Tellus. 1956. V.8. P. 460-471.

113. Longuet-Higgins M. S. A class of exact, time-dependent, free surface flows //J. Fluid Mech. 1972. V. 55(3). P. 529-543.

114. Longuet-Higgins M. S. On the form of the highest progressive and standing waves in deep water // Proc. E. Soc. London Ser. A. 1973. V. 331. P. 445.

115. Longuet-Hig gins M. S. Integral properties of periodic gravity waves of finite amplitude // Proc. E. Soc. London Ser. A. 1975. V. 342. P. 157-174.

116. Longuet-Hig gins M. S., Fenton J. D. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave // Proc. E. Soc. Lond. A. 1974. V. 340. P. 471-493.

117. Longuet-Hig gins M. S. Some new relations between Stokes's coefficients in the theory of gravity waves //J. Inst. Math, and Appl. 1977. V. 22(3). P. 261.

118. Longuet-Higgins M. S., Fox M. J. H. Theory of the almost-highest wave: the inner solution // J. Fluid Mech. 1977. V. 80. P. 721-741.

119. Longuet-Hig gins M. S., Fox M. J. H. Theory of the almost-highest wave. Part 2. Matching and analytic extension //J. Fluid Mech. 1978. V. 85. P. 769-786.

120. Longuet-Hig gins M. S. On the forming of sharp corners at a free surface / / Proc. E. Soc. Lond. A. 1980. V. 371. P. 453-478.

121. Longuet-Hig gins M. S. New integral relations for gravity waves of finite amplitude //J. Fluid Mech. 1984. V. 149. P. 205.

122. Longuet-Hig gins M. S., Fox M. J. H. Asymptotic theory for the almost-highest solitary wave //J. Fluid Mech. 1996. V. 317. P. 1-19.

123. Maklakov D. V. Almost-highest gravity waves on water of finite depth // Eur. J. Appl. Math. 2002. V. 13. P. 67-93.

124. McCowan J. On the solitary wave // Phil. Mag. 1891. V. 32(5). - P. 45-58.

125. McLeod J. B. The asymptotic behavior near the crest of waves of extreme form // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299. P. 299.

126. Menikoff R„, Zemach C. Eayleigh-Taylor instability and the use of conformal maps for ideal fluid flow // Journal of computational Physics. 1983. V. 51(1). P. 28-64.

127. Michell J. H. The highest waves in water // Phil. Mag. 1893. V. 36(5). P. 430.

128. Milne-Thomson L. M. Theoretical Hydrodynamics. 5th ed. Macmillan, 1967.

129. Norman A. C. Expansions for the shape of maximum amplitude Stokes waves //J. Fluid Mech. 1974. V. 66. P. 261.

130. Nuttal J. Sets of minimum capacity, Pade approximants and the bubble problem // Bifurcation phenomena in Mathematical Physics and Related Topics. Dordrecht, Netherlands, 1980. P. 185-201.

131. Palatini A. Sulla confluenza di due vene // Atti del E. Instituto Venetto di Sc. L. ed Arti. 1916. LXXV.

132. Pennel S. A., Su, C. H. A seventeenth-order series expansion for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1984. V. 149. P. 431.

133. Pennel S. A. On a series expansion for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1987. V. 179. P. 557.

134. Rayleigh Lord On waves // Phil. Mag. 1876. V. 5. P. 257-279.

135. Richardson A.R. Stationary waves in water // Phil. Mag. 1920. V. 256(97). P. 235.

136. Russel J. S. Report of the Committee on waves // Rep Brit. Assn Adv. Sci. 1838. V. 1837. P. 417.

137. Russell J. S. Report on waves. Brit. Ass. Rep., 1844.

138. Schwartz L. W. Computer extension and analytic continuation of Stokes' expansion for gravity waves //J. Fluid Mech. 1974. V. 62. P. 553.

139. Srokosz M. A. A note on particle trajectories in the highest wave //J. Fluid Mech. 1981. V. 111. P. 491.

140. Stahl H. The convergence of Pade approximants to functions with branch points // J.Approx. Theory. 1997. V. 91(2). P. 139-204.

141. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Mathematical and Physical Papers. 1880. V. 1. P. 197-229.

142. Tanaka M. On the 'crest instabilities' of 'steep gravity waves'. // Workshop on Mathematical Problems in the Theory of Nonlinear Water Waves, Luminy, France, 15-19 May 1995.

143. Taylor G. I. Formation of thin fiat sheets of water// Proc. Roy. Soc. A. 1960. V. 259. P. 1-17.

144. Terentiev A.G., Kirschner I.N., Uhlrnan J.S. The Hydrodynamics of Cavitating Flows. Backbone Publishing Company, Fair Lawn, USA, 2011, 598 p.

145. Toland J.F. On the existence of a wave of greatest height and Stokes conjecture // Proc. R. Soc. Lond. A. 1978. V. 363. P. 469-485.

146. Van Dyke M. Computer extension of perturbation series in fluid mechanics // SIAM J.Appl.Math. 1975. V. 28(3). P. 720-734.

147. Van Dyke M. Semi-analytical applications of the computer // Fluid dynamics Transactions, Warszawa, 9. 1978. P. 305-320.

148. Van Dyke M. Successes and surprisec with computer-extended series // Lecture Notes in Physics. 1981. V. 141. P. 405-410.

149. Villat H. Sur Fecoulement des fluides resant //Ann. Sci. Ecole Norm.super. 1915. V. 32.

150. Walters J.K., Davidson J.F. The initial motion of a gas bubble formed in an inviscid liquid. Part 1. The two-dimensional bubble // J. of Fluid Mech. 1962. V.12(3) P. 408-416.

151. Wang X., Wu Th. Y. Integral convergence of the higher-order theory for solitary waves // Physics Letters A. 2006. V. 350. P. 44-50.

152. Weinstein A. Sur la vitesse de propagation de l'onde solitaire // Rend. Accad. Lincei.

1926. V. 3. P. 463-468.

153. Whittaker E. T., Watson G.N. A course of modern analysis. 4th ed. Cambridge press,

1927.

154. Williams J. M. Limiting gravity waves in water of finite depth // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1981. V. 302. P. 139.

155. Williams J. M. Tables of Progressive Gravity Waves. Pitman, 1985.

156. Witting 3. On the highest and other solitary waves / / SI AM J. Appl. Math. 1975. V. 28. P. 700.

157. Witting 3. High solitary waves in water: results of calculations // NEL Eep. 1981. V. 8505.

158. Yamada H. On the highest solitary wave // Eeports of Eesearch Institute for Applied Mechanics, Kyushu University. 1957. V. 5(18). P. 53-67.

159. Yamada H., Kimura G., Okabe 3.1. Precise determination of the solitary wave of extreme height on water of a uniform depth // Eep. Ees. Inst. Appl. Mech., Kyushu University. 1968. V. 16. P. 15-32.

160. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Vasilyev O.A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface // Europ. J. Mech. B. 2002. V. 21. P. 283-291.

161. Zakharov V. E., Dyachenko A. I. Free-surface hydrodynamics in the conformal variables. 2012. arXiv:1206.204-6vl [physics.flu-dyn].