Исследование свойств некоторых критериев проверки статистических гипотез и обеспечение корректности их применения методами компьютерного моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Рогожников, Андрей Павлович

• Рогожников, Андрей Павлович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рогожников, Андрей Павлович

Введение.

Глава 1. Постановка задач исследования.

1.1. Основные понятия и определения.

1.2. Проверка гипотез о нормальности.

1.3. Критерии показательности.

1.4. Разработка программного обеспечения для поддержки исследований

Глава 2. Исследование особенностей и мощности некоторых критериев нормальности.

2.1. Критерий Фросини.

2.2. Критерии Хегази-Грина.

2.3. Критерий Гири.

2.4. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона.

2.5. Критерий Шпигельхальтера.

2.6. Выводы.

Глава 3. Исследование мощности критериев нормальности на примере наблюдений в классических экспериментах.

3.1. Введение.

3.2. Анализируемые эксперименты.

3.3. Рассматриваемые критерии нормальности.

3.3.1. Критерий Шапиро-Уилка.

3.3.2. Критерий Ройстона.

3.3.3. Критерий Эппса-Палли.

3.3.4. Критерий Д'Агостино.

3.3.5. Критерий %2 Пирсона.

3.3.6. Критерий %2 Никулина.

3.4. Проверка принадлежности ошибок измерений в экспериментах к нормальному закону.

3.5. Некоторые замечания о вычислении достигаемых уровней значимости.

3.6. Конкурирующие законы, пригодные для описания результатов рассматриваемых экспериментов.

3.7. Сравнительный анализ мощности критериев.

3.8. Выводы.

Глава 4. Исследование критериев показательности.

4.1. Общие обозначения.

4.2. Рассматриваемые критерии.

4.2.1. Б-критерий Гнеденко.

4.2.2. Критерий Харриса.

4.2.3. Критерий Холландера-Прошана.

4.2.4. Критерий Гини.

4.2.5. Критерии, основанные на эмпирической функции распределения

4.2.5.1. Критерий Колмогорова.

4.2.5.2. Критерий Крамера-Мизеса-Смирнова.

4.2.5.3. Критерий Андерсона-Дарлинга.

4.2.6. Критерии, основанные на характеризации через функцию среднего остаточного времени безотказной работы.

4.2.6.1. Критерий типа Колмогорова.

4.2.6.2. Критерий типа Крамера-Мизеса-Смирнова.

4.2.7. Критерий Дешпанде.

4.2.8. Критерий Кокса-Оукса.

4.2.9. Критерий Болыиева.

4.2.10. Критерий Клара.

4.2.11. Критерии, основанные на эмпирическом преобразовании

Лапласа.

4.2.11.1. Критерий Барингхауса-Хензе.

4.2.11.2. Критерий Хензе.

4.2.11.3 /.-критерий Хензе-Мейнтаниса.

4.2.12 Критерии, основанные на эмпирической характеристической функции.

4.2.12.1 Критерий показательности Эппса-Палли.

4.2.12.2 Ж-критерии Хензе-Мейнтаниса.

4.3. О точности описания распределений статистик критериев соответствующими асимптотическими законами.

4.4. Сравнительный анализ мощности критериев.

4.5. Выводы.

Глава 5. Программное обеспечение проведения исследований.

5.1. Переход к распределенным вычислениям в исследованиях статистических закономерностей.

5.2. Схема применения моделирования в процессе проверки сложных гипотез.

5.3. Интерактивное моделирование как дальнейшее развитие использования распределенных вычислений.

5.4. Реализация интерактивного моделирования в программном обеспечении.

5.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств некоторых критериев проверки статистических гипотез и обеспечение корректности их применения методами компьютерного моделирования»

Актуальность темы исследования. Применение множества статистических моделей и методов зависит от справделивости гипотез, из которых предположение о принадлежности нормальному закону наблюдений или ошибок измерений является одним из наиболее часто встречающихся.

В эконометрических моделях принятие нормальной модели без формальной проверки может повлиять на точность выводов и оценок, как в случае анализа точечных выборок, так и анализа временных рядов [1]. К проверке этого предположения обращались, например, в [2], где рассматривалось предположение об условной нормальности данных в модели отбора, применяемой к спросу на жилье, или в [3,4], где к предположению о нормальности обращаются при анализе данных фондового рынка — типа данных, для которого типичными оказались тяжелые хвосты [5].

Проверка гипотезы о нормальности встречается в описании вектора ошибок моделей регрессионного анализа, применяемых к временным рядам [6,7], к пробит-регрессии [8] и к другим типам временных рядов [9,10].

Предположение о нормальности также очень распространено в медицинских исследованиях [11,12]. Однако во многих случаях допустимость этого предположения должна быть проверена соответствующими статистическими критериями, например, в случае изменчивости данных об экспрессии генов [13] или в случае проверки эффективности новых методов лечения при помощи клинических испытаний [14].

Проверка гипотез о принадлежности ошибок измерений нормальному закону востребована в задачах, рассматриваемых в области контроля качества [15,16,17], например, при использовании контрольных карт Шухарта, базирующихся на предположении о нормальности [18].

Кроме того, можно увидеть, что предположение о лог-нормальности, нередкое во многих исследованиях [19], также может быть проверено при помощи критериев нормальности после логарифмического преобразования данных [20,21,22].

Помимо нормального распределения, показательный закон является наиболее популярной моделью, используемой в задачах статистическом анализа, особенно в задачах анализа времени жизни и в теории надежности. В задачах анализа выживания и в теории надежности наблюдают случайные выборки данных типа времени жизни [23] или времена отказов определенных объектов или устройств [24], времена ремиссии заболеваний, времена смерти. Гипотеза о показательности эквивалентна гипотезе о том, что наблюдаемый объект имеет постоянную интенсивность отказов. С другой стороны, если наблюдается пуас-соновский процесс, то времена между наступлениями событий имеют показательное распределение. Среди процессов, генерирующих пуассоновские потоки, можно указать испускание радиоактивных частиц, землетрясения [25], отказы оборудования [26] и т.п.

Цель и задачи исследований. Основная цель диссертационной работы заключалась в исследовании свойств и сравнительном анализе множества статистических критериев, предназначенных для проверки гипотез о принадлежности данных нормальному или показательному закону, дающих основание для выбора наиболее предпочтительного критерия в конкретной ситуации, в разработке программного обеспечения, позволяющего исследовать и корректно применять соответствующие статистические критерии.

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

- создание программного обеспечения для проверки гипотез критериями, рассматриваемыми в диссертационной работе, статистического моделирования распределений статистик критериев, вычисления оценок мощности критериев по отношению к различным конкурирующим гипотезам;

- исследование распределений статистик критериев нормальности Фросини, Хегази-Грина, Гири, Дэвида-Хартли-Пирсона, Шпигельхальтера;

- вычисление методами статистического моделирования оценок мощности критериев нормальности Фросини, Хегази-Грина, Гири, Дэвида-Хартли-Пирсона, Шпигельхальтера, Шапиро-Уилка, Ройстона, Эппса-Палли,

Д'Агостино, критериев согласия Колмогорова, Андерсона-Дарлинга, Кра

2 2 мера-Мизеса-Смирнова, X Пирсона и X Никулина (при проверке сложной гипотезы о нормальности) по отношению к близким конкурирующим гипотезам;

- сравнительный анализ мощности перечисленных критериев нормальности;

- исследование распределений статистик критериев показательности Гнеден-ко, Харриса, Холландера-Прошана, Гини, Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга, Дешпанде, Кокса-Оукса, Большева, Клара, Барингхауса-Хензе, Хензе, Хензе-Мейнтаниса и Эппса-Палли при справедливости проверяемой гипотезы;

- вычисление оценок мощности критериев показательности по отношению к конкурирующим законам с различной формой функции интенсивности отказов, проведение сравнительного анализа критериев.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, математического программирования.

Научная новизна диссертационной работы заключается:

- в результатах сравнительного анализа мощности критериев нормальности;

- в построенных таблицах процентных точек, расширяющих возможности применения критериев Фросини, Хегази-Грина, Гири, Дэвида-Хартли-Пирсона, Шпигельхальтера;

- в результатах сравнительного анализа мощности критериев показательности;

- в выявленных отклонениях распределений статистик критериев показательности от теоретических;

- в построенных моделях распределений для статистик критериев типа Колмогорова, Андерсона-Дарлинга, Крамера-Мизеса-Смирнова, основанных на эмпирической функции распределения, и критериев типа Колмогорова и Крамера-Мизеса-Смирнова, основанных на функции среднего остаточного времени безотказной работы;

- в рекомендациях по применению критериев показательности при ограниченных объемах выборок.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Результаты исследования распределений статистик, мощности и сравнительного анализа критериев нормальности.

2. Рекомендации по применению критериев нормальности.

3. Результаты исследования распределений статистик, мощности и сравнительного анализа критериев показательности.

4. Рекомендации по применению критериев показательности.

5. Подход, обеспечивающий корректность применения статистических критериев в условиях нарушения стандартных предположений за счет построения распределений статистик, соответствующих справедливости проверяемой гипотезы, в результате компьютерного моделирования в ходе проводимого статистического анализа.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- корректным применением математического аппарата и методов статистического моделирования для исследования свойств и распределений статистик критериев;

- совпадением результатов статистического моделирования с известными теоретическими результатами.

Личный творческий вклад автора заключается в проведении исследований, обосновывающих основные положения, выносимые на защиту: в разработке программного обеспечения, в проведении статистического моделирования распределений статистик, в вычислении мощности критериев относительно конкретных альтернатив, в построении моделей распределений статистик и вычислении таблиц процентных точек.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные модели распределений статистик критериев нормальности и показательности позвляют корректно применять их при ограниченных объемах выборок. Результаты сравнительного анализа критериев позволяют сделать обоснованный выбор критерия для проверки гипотез о нормальности и показательности как при наличии конкурирующих гипотез определенного вида, так и в их отсутствие. Результаты исследований и средства моделирования включены в программную систему «Интервальная статистика» ISW и используются в научных исследованиях и учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2007, 2008 гг.), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электроники и приборостроения» (Новосибирск, 2008 г.), Международной конференции «Математические методы в теории надежности» (MMR'2009 — Mathematical Methods in Reliability. Theory. Methods. Applications. VI International Conference. Moscow, 2009); Международной конференции по ускоренным испытаниям, анализу и проектированию, основанным на теории надежности (The Third International Conference on Accelerated Life Testing, Reliability based Analysis and Design. Clermont-Ferrand, France, 2010); Российской НТК «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2011); Международном семинаре «Прикладные методы статистического анализа. Моделирование и статистические выводы» (The International Workshop "Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference" — AMSA'2011. Novosibirsk, 2011); Российской НТК «Обработка информационных сигналов и математическое моделирование» (Новосибирск, 2012), Всероссийском, с международным участием, научном симпозиуме «НЕПАРАМЕТРИКА — XIV» (Томск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК РФ, 1 статья в рецензируемом издании серии "Statistics for Industry and Technology", выпускаемом издательством Birkhauser, Boston (Springer), 1 статья в сборнике научных трудов, 9 работ в сборниках трудов конференций, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав основного содержания, заключения, списка литературы и приложений. Диссертация изложена на 122 страницах основного текста, включая 34 таблицы, 33 рисунка и список литературы из 102 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Рогожников, Андрей Павлович

5.5. Выводы

В данной главе показана необходимость применения распределенных вычислений для исследования свойств статистических критериев. В частности — для получения распределений статистик критериев однородности дисперсий при нарушении предположения о нормальности наблюдений, подтверждения выводов, полученных аналитическими методами, получения распределений статистик критериев согласия при проверке сложных гипотез.

Показана возможность проверки статистических гипотез в условиях, когда распределение статистики критерия не известно заранее и строится в ходе моделирования — в интерактивном режиме.

Программно реализована проверка гипотез о согласии с применением интерактивного моделирования в тех случаях, когда распределения статистик критериев согласия требуется находить в процессе проверки гипотезы с применением распределенных вычислений в каждом конкретном случае.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целями исследований получены следующие результаты.

1. Исследованы распределения статистик критериев нормальности Фросини, Хегази-Грина, Гири, Дэвида-Хартли-Пирсона, Шпигельхальтера, Шапи-ро-Уилка, Ройстона, Эппса-Палли, Д'Агостино, критериев согласия Кол2 могорова, Андерсона-Дарлинга, Крамера-Мизеса-Смирнова, X Пирсона и X1 Никулина (при проверке сложной гипотезы о нормальности с вычислением ОМП параметров) при истинности проверяемой гипотезы.

2. Методами статистического моделирования исследована мощность критериев по отношению к близким конкурирующим гипотезам. Проведен сравнительный анализ критериев и сделаны рекомендации по применению критериев при наличии альтернатив того или иного вида. Показаны достоинства и недостатки отдельных критериев. Расширены таблицы процентных точек.

3. Исследованы распределения статистик критериев показательности Гне-денко, Харриса, Холландера-Прошана, Гини, Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга, Дешпанде, Кокса-Оукса, Боль-шева, Клара, Барингхауса-Хензе, Хензе, Хензе-Мейнтаниса и Эппса-Палли при справедливости проверяемой гипотезы.

4. Вычислены методами статистического моделирования оценки мощности перечисленных критериев показательности по отношению к конкурирующим гипотезам с различной формой функции интенсивности отказов. Проведен сравнительный анализ критериев, сделаны рекомендации по применению критериев при наличии альтернатив того или иного вида. Показаны достоинства и недостатки отдельных критериев. Расширены таблицы процентных точек.

5. Разработано программное обеспечение для проверки гипотез перечисленными критериями нормальности и показательности, статистического моделирования распределений их статистик и вычисления оценок мощности критериев по отношению к различным конкурирующим гипотезам.

6. Разработано программное обеспечение, позволяющее применять критерии согласия в тех случаях, когда распределения статистик, соответствующие справедливости проверяемой гипотезы, неизвестны и в каждом конкретном случае находятся с использованием интерактивного моделирования и распределенных вычислений в ходе проверки гипотезы.

7. Разработанное программное обеспечение для моделирования, проверки статистических гипотез и исследования статистических закономерностей, построенные таблицы процентных точек встроены в программную систему «Интервальная статистика» 18\У, развиваемую на кафедре прикладной математики. Разработанное программное обеспечение используется при проведении научных исследований и в учебном процессе факультета прикладной математики и информатики при проведении лабораторных работ по курсу «Компьютерные технологии анализа данных и исследования статистических закономерностей» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 010400 — прикладная математика и информатика, что подтверждается актом о внедрении.

Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012613664.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рогожников, Андрей Павлович, 2012 год

1. Costa М., Cavaliere G., and Iezzi S. The role of the normal distribution in financial markets // In: New Developments in Classification and Data Analysis / Ed. by Vichi M., Monari P., Mignani S., and Mantanari A. Berlin: Springer, 2005. pp. 343-350.

2. Min I. A nonparametric test of the conditional normality of housing demand // Appl. Econ. Lett. 2007. Vol. 14. No. 2. pp. 105-109.

3. Liesenfeld R., Jung R.C. Stochastic volatility models: conditional normality versus heavy-tailed distributions // J. Appl. Econom. 2000. Vol. 15. No. 2. pp. 137-160.

4. Herbst A.H. Lunacy in the stock market — What is the evidence? // J. Bioeconomics. 2007. Vol. 9. No. 1. pp. 1-18.

5. Nematollahi A.R., Tafakori L. On comparison of the tail index of heavy-tail distributions using Pitman's measure of closeness // Appl. Math. Sci. 2007. Vol. 1. No. 19. pp. 909-914.

6. Giles D. Spurious regressions with time-series data: Further asymptotic results // Comm. Stat. Theory Methods. 2007. Vol. 36. No. 5. pp. 967-979.

7. Dufour J.M., Farhat A., Gardiol L., and Khalaf L. Simulations-based finite sample normality tests in linear regressions // Econom. J. 1998. Vol. 1. No. 1. pp. 154173.

8. Wilde J. A simple representation of the Bera-Jarque-Lee test for probit models // Econom. Lett. 2008. Vol. 101. No. 2. pp. 119-121.

9. Onder A.O., Zaman A. Robust tests for normality of errors in regression models // Econom. Lett. 2005. Vol. 86. No. 1. pp. 63-68.

10. Quddus M.A. Time series count data models: An empirical application to traffic accidents // Accid. Anal. & Prev. 2008. Vol. 40. No. 5. pp. 1732-1741.

11. Schoder V., Himmelmann A., and Wilhelm K.P. Preliminary testing for normality: Some statistical aspects of a common concept // Clin. Exp. Dermatol.2006. Vol. 31. No. 6. pp. 757-761.

12. Mathuz S., Dolo S. A new efficient statistical test for detecting variability in the gene expression data // Stat. Methods Med. Res. 2008. Vol. 17. No. 4. pp. 405419.

13. Tsong Y., Zhang J., and Levenson M. Choice of 5 noninferiority margin and dependency of the noninferiority trials // J. Biopharm. Stat. 2007. Vol. 17. No. 2. pp. 279-288.

14. Vannman K., Albing M. Process capability indices for one-sided specification intervals and skewed distributions // Qual. Reliab. Eng. Int. 2007. Vol. 23. No. 6. pp. 755-765.

15. Muttlak H.A., Al-Sabah W.S. Statistical quality control based on ranked set sampling // J. Appl. Stat. 2003. Vol. 30. No. 9. pp. 1055-1078.

16. Madan A., Borckardt J J., and Nash M.R. A parametric control chart adjustment for handling serial dependence in health care quality data // Qual. Manag. Health Care. 2008. Vol. 17. No. 2. pp. 154-161.

17. ГОСТ P 50779.42-99 (ИСО 8258-91). Статистические методы. Контрольные карты Шухарта. М.: Изд-во стандартов, 1999. 32 с.

18. Limpert Е., Stahel W.A., and Abbt М. Log-normal distributions across the sciences: keys and clues // Bioscience. 2001. Vol. 51. No. 5. pp. 341-352.

19. Halley J., Inchausti P. Lognormality in ecological time series // Oikos. 2002. Vol. 99. No. 3. pp. 518-530.

20. Bengtsson M., Stahlberg A., Rorsman P., and Kubista M. Gene expression profiling in single cells from the pancreatic islets of Langerhans reveals lognormal distribution of mRNA levels // Genome Res. 2005. Vol. 15. No. 10. pp. 13881392.

21. Singh AK et al., "The lognormal distribution in environmental applications," EPA/600/S-97/006, Environmental Protection Agency, Washington, DC, USA, 1997. 20 pp.

22. Lawless J.F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. Hoboken, New Jersey: Wiley-Interscience, 2002. 664 pp.

23. Kalbfleisch J.D., Prentice R.L. The Statistical Analysis of Failure Time Data. 2nd ed. Hoboken, New Jersey: Wiley-Interscience, 2002. 462 pp.

24. Gardner J.K., Knopoff L. Is the sequence of earthquakes in Southern California, with aftershocks removed, Poissonian? // Bulletin of the Seismological Society of America. October 1974. Vol. 64. pp. 1363-1367.

25. Pham H. Handbook of Reliability Engineering. 1st ed. London: Springer, 2003. 704 pp.

26. Dong L.B., Giles D.E.A. An Empirical Likelihood Ratio Test for Normality // Communications in Statistics Simulation and Computation. 2007. Vol. 36. No. l.pp. 197-215.

27. Doornik J.A., Hansen H. An Omnibus Test for Univariate and Multivariate Normality // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 2008. Vol. 70. pp. 927939.

28. Scott W.F., Stewart B. Tables for the Lilliefors and Modified Cramer-von Mises tests of normality // Communications in Statistics Theory and Methods. 2011. Vol. 40. No. 4. pp. 726-730.

29. Martynov G. Weighted Cramer-von Mises Test with Estimated Parameters // Communications in Statistics Theory and Methods. 2011. Vol. 40. No. 19-20. pp. 3569-3586.

30. Voinov V., Pya N., and Alloyarova R. A comparative study of some modified chi-squared tests // Communications in Statistics Simulation and Computation. 2009. Vol. 38. No. 3. pp. 355-367.

31. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Постовалов C.H. Мощность критериевсогласия при близких альтернативах // Измерительная техника. 2007. № 2. С. 22-27.

32. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Постовалов С.Н. Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11. №4(36). С. 78-93.

33. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Постовалов С.Н. Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11. № 2(34). С. 96-111.

34. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б. Сравнительный анализ критериев проверки отклонения распределения от нормального закона // Метрология. 2005. № 2. С.3-24.

35. Лемешко Б.Ю., Рогожников А.П. Исследование особенностей и мощности некоторых критериев нормальности // Метрология. 2009. № 4. С. 3-24.

36. Voinov V., Voinov Е. A statistical reanalysis of the classical Rutherford's experiment // Communications in Statistics Simulation and Computation. 2010. Vol. 39. No. 1. pp. 157-171.

37. Ascher S. A survey of tests for exponentiality // Communications in Statistics -Theory and Methods. 1990. Vol. 19. No. 5. pp. 1811-1825.

38. Henze N., Meintanis S.G. Recent and classical tests for exponentiality: a partial review with comparisons // Metrika. 2005. Vol. 61. pp. 29-45.

39. Henze N. A new flexible class of omnibus tests for exponentiality // Commun. Statist. Theory Meth. 1993. Vol. 22. No. 1. pp. 115-133.

40. Henze N., Meintanis S.G. Goodness-of-fit tests based on a new characterization of the exponential distribution // Comm. Statist. Theory Meth. 2002. Vol. 31. No. 9. pp. 1479-1497.

41. Spiegelhalter D.J. A test for normality against symmetric alternatives //

42. Biometrika. 1977. Vol. 64. No. 2. pp. 415-418.

43. Hosmer D.W., Lemesbow S. Goodness of fit tests for the multiple logistic regression model // Communications in Statistics Theory and Methods. 1980. Vol. 9. No. 10. pp. 1043-1069.

44. Dette H., Kusi-Appiah S., and Neumeyer N. Testing symmetry in non-parametric regression models // Journal of Nonparametric Statistics. 2002. Vol. 14. No. 5. pp. 477-494.

45. Mecklin C.J., Mundfrom D.J. A Monte Carlo comparison of the Type I and Type II error rates of tests of multivariate normality // Journal of Statistical Computation and Simulation. 2005. Vol. 75. No. 2. pp. 93-107.

46. Best D.J., Rayner J.C.W. Improved testing for the binomial distribution using chi-squared components with data-dependent cells // Journal of Statistical Computation and Simulation. 2006. Vol. 76. No. 1. pp. 75-81.

47. Shan G., Vexler A., Wilding G.E., and Hutson A.D. Simple and Exact Empirical Likelihood Ratio Tests for Normality Based on Moment Relations // Communications in Statistics Simulation and Computation. 2010. Vol. 40. No. l.pp. 129-146.

48. ГОСТ P ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. М.: Изд-во стандартов, 2002. 30 с.

49. Frosini B.V. A survey of a class of goodness-of-fit statistics // Metron. 1978. Vol. 36. No. 1-2. pp. 3-49.

50. Hegazy Y.A.S., Green J.R. Some new goodness-of-fit tests using order statistics // Applied Statistics. 1975. Vol. 24. No. 3. pp. 299-308.

51. Geary R.C. The ratio of the mean deviation to the standard deviation as a test of normality // Biometrika. 1935. Vol. 27. pp. 310-322.

52. Geary R.C. Moments of the ratio of the mean deviation to the standard deviation for normal samples // Biometrika. 1936. Vol. 28. pp. 295-307.

53. Geary R.C. Testing for Normality // Biometrika. 1947. Vol. 34. pp. 209-242.

54. David H.A., Hartley H.O., and Pearson E.S. The distribution of the ratio, in a single normal sample, of range to standard deviation // Biometrika. 1964. Vol. 512. No. 3-4. pp. 484-487.

55. Лемешко Б.Ю., Постовалов C.H. Компьютерные технологии анализа данных и исследования статистических закономерностей: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 120 с.

56. Кобзарь А.И. Прикладная математческая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 816 с.

57. Epps T.W., Pulley L.B. A test for normality based on the empirical characteristic function // Biometrika. 1983. Vol. 70. pp. 723-726.

58. Shapiro S.S., Wilk M.B. An analysis of variance test for normality (complete samples) // Biometrika. 1965. Vol. 52. pp. 591-611.

59. Shapiro S.S., Francia R.S. An approximate analysis of variance test for normality // J. Amer. Statist. Assoc. 1972. Vol. 337. pp. 215-216.

60. D'Agostino R.B. Transformation to normality of the null distribution of gl // Biometrika. 1970. Vol. 57. pp. 679-681.

61. Никулин M.C. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. № 3. С. 583-591.

62. Никулин М.С. О критерии хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и ее применение. 1973. Т. XVIII. № 3. С. 675-676.

63. Stigler S.M. Do robust estimators work with real data? // The Annals of Statistics.1977. Vol. 5. No. 6. pp. 1055-1098.

64. Greenwood P.E., Nikulin M.S. A guide to chi-squared testing. New York: John Wiley & Sons, 1996. 280 pp.

65. Rao K.C., Robson D.S. A chi-squared statistic for goodness-of-fit tests within the exponential family // Communications in Statistics. 1974. Vol. 3. pp. 1139-1153.

66. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Постовалов C.H., Чимитова Е.В. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. 888 с.

67. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б. Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. 4.1 // Измерительная техника. 2009. № 6. С. 3-11.

68. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б. Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. 4.II // Измерительная техника. 2009. № 8. С. 17-26.

69. Royston J.P. Approximating the Shapiro-Wilk W-test for non-normality // Statistics and Computing. 1992. Vol. 2(3). pp. 117-119.

70. Chernoff H., Lehmann E.L. The use of maximum likelihood estimates in yl test for goodness of fit // Ann. Math. Stat. 1954. Vol. 25. pp. 579-586.

71. P 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. М.: Изд-во стандартов, 2002. 87 с.

72. Lemeshko B.Y., Lemeshko S.B., and Postovalov S.N. Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite

73. Hypotheses // Communications in Statistics Theory and Methods. 2010. Vol. 39. No. 3. pp. 460-471.

74. Лемешко Б.Ю. Группирование наблюдений как способ получения робастных оценок // Надежность и контроль качества. 1997. № 5. С. 26-35.

75. Бушакова А.Д., Лемешко Б.Ю. Исследование влияния вариантов асимптотической оптимальности группирования на мощность критериев типа %2 // Материалы Российской НТК «Информатика и проблемы телекоммуникаций». Новосибирск. 2009. Т. 1. С. 34-37.

76. Lin С.С., Mudholkar G.S. A test of exponentiality based on the bivariate F distribution // Technometrics. Feb 1980. Vol. 22. No. 1. pp. 79-82.

77. Harris C.M. A note on testing for exponentiality // Naval Research Logistics Quarterly. Mar 1976. Vol. 23. No. 1. pp. 169-175.

78. Hollander M., Proschan F. Testing whether new is better than used // The Annals of Mathematical Statistics. 1972. Vol. 43. No. 4. pp. 1136-1146.

79. Gail M.H., Gastwirth J.L. A scale-free goodness-of-fit test for the exponential distribution based on the Gini statistic // Journal of the Royal Statistical Society. Series В (Methodological). 1978. Vol. 40. No. 3. pp. 350-357.

80. Болыпев Л.Н. Асимптотические пирсоновские преобразования // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. 8. № 2. С. 129-155.

81. Baringhaus L., Henze N. Tests of fit for exponentiality based on a characterization via the mean residual life function // Statistical Papers. 2000. No. 41. pp. 225-236.

82. Lemeshko B.Y., Lemeshko S.B. Construction of statistic distribution models for nonparametric goodness-of-fit tests in testing composite hypotheses: the computer approach // Quality Technology & Quantitative Management. 2011. Vol. 8. No. 4. pp. 359-373.

83. Deshpande V.J. A class of tests for exponentiality against increasing failure rate average alternatives // Biometrika. 1983. Vol. 70. No. 2. pp. 514-518.

84. Большее Л.Н. К вопросу о проверке «показательности» // Теориявероятностей и ее применения. 1966. Т. 11. № 3. С. 542-544.

85. Лемешко Б.Ю., Рогожников А.П. Исследование мощности критерия показательности Болыпева // Сборник научных трудов НГТУ. 2012. № 1(67).

86. Klar В. Goodness-of-fit tests for the exponential and the normal distribution based on the integrated distribution function // Ann. Inst. Statist. Math. 2001. Vol. 53. No. 2. pp. 338-353.

87. Baringhaus L., Henze N. A class of consistent tests for exponentiality based on the empirical Laplace transform // Ann. Inst. Statist. Math. 1991. Vol. 43. No. 3. pp. 551-564.

88. Henze N., Meintanis S.G. Tests of fit for exponentiality based on the empirifcal Laplace transform // Statistics. 2002. Vol. 36. No. 2. pp. 147-161.

89. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова A.A. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. I. Параметрические критерии // Измерительная техника. 2010. № 3. С. 10-16.

90. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова А.А. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. II. Непараметрические критерии // Измерительная техника. 2010. № 5. С. 11-18.

91. Кас М., Kiefer J., and Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods // Ann. Math. Stat. 1955. Vol. 26. pp. 189-211.

92. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б. Распределения статистик непараметрических критериев согласия при проверке гипотез относительно бета-распределений // ДАН ВШ России. 2007. № 2(9). С. 6-16.

93. Lemeshko B.Y., Lemeshko S.B. Distribution models for nonparametric tests for fit in verifying complicated hypotheses and maximum-likelihood estimators. Part 1 //Measurement Techniques. 2009. Vol. 52. No. 6. pp. 555-565.

94. Lemeshko B.Y., Lemeshko S.B. Models for statistical distributions in nonparametric fitting tests on composite hypotheses based on maximum-likelihood estimators. Part II // Measurement Techniques. 2009. Vol. 52. No. 8. pp. 799-812.

95. Lemeshko B.Y., Lemeshko S.B., Akushkina K.A., Nikulin M.S., and Saaidia N. Inverse Gaussian Model and Its Applications in Reliability and Survival Analysis

96. In: Mathematical and Statistical Models and Methods in Reliability / Ed. by Rykov V., Balakrishnan N., and Nikulin M. Boston: Birkhäuser, 2011. pp. 433453.

97. Sutter H. // Sutter's Mill. 2011. URL: http://herbsutter.com/welcome-to-the-jungle/ (дата обращения: 29.12.2011).