Исследование спиновых эффектов в магнитных материалах с помощью комбинированных подходов теории функционала плотности и полевых моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Курбониён Мехрдод Субхони

• Курбониён Мехрдод Субхони
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Курбониён Мехрдод Субхони

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ

И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Солитонные решения нелинейных уравнений

1.2. Солитоны в магнитных системах

1.3. Теория функционала плотности в ферромагнитных системах

1.4. Спин в теории функционала плотности

1.5. Выводы

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ

СОЛИТОНА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ С ПОМОЩЬЮ РАССЕЯНИЯ МЕДЛЕННЫХ НЕЙРОНОВ

2.1.Вклад нелинейных локализованных возбуждений в динамический структурный фактор

2.2. Результаты вычисления динамических факторов Rb2NiF4

2.3. Солитонные моды в одномерном ферромагнетике

Гейзенберга CsNiF3

2.4. Выводы

ГЛАВА III. СПИНОВАЯ ДИНАМИКА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ В

РАМКАХ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ

3.1.Квантово-механическое вычисление энергетических и кристаллических параметров ферромагнетиков Rb2NiF4 и CsNiF3

3.2.Спиновая динамика Rb2NiF4 и CsNiF3 в рамках теории

функционала плотности

3.3 . Результаты моделирования ферромагнетиков в рамках ТФП

3.4. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование спиновых эффектов в магнитных материалах с помощью комбинированных подходов теории функционала плотности и полевых моделей»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Квантово-механическое вычисление в рамках теории функционала плотности (ТФП) представляет собой наиболее адекватный инструментарий для исследования широкого круга теоретико-прикладных задач в области физики конденсированного состояния, квантовой химии и биофизики. ТФП широко применяется для решения ряда квантово-физических задач, таких как нахождение спектров атомов и молекул в конденсированных средах, определение атомных параметров силовых полей, полной и электронной энергии системы, зарядовой плотности, спин-поляризованных связей и др.

Спин-поляризованные и спин-орбитальные расчеты в рамках ТФП представляют собой наиболее мощный аппарат для описания ферромагнетизма магнитных материалов. В этой связи исследование структурных, оптических, динамических и диэлектрических свойств магнитных систем, а также полуметаллических ферромагнетиков, магнитных изоляторов, антиферромагнетиков в последние десятилетия привлекает значительное внимание [1].

Спиновые эффекты в магнитных материалах, такие как спин-поляризо-ванные и спин-орбитальные связи, играют основную роль в процессах формирования орбитального магнитного момента МогЬ и магнитного момента спина Ыцрт. Исследования энергетических зон электронов в зависимости от точек зон Бриллюэна, общей плотности состояния элементарных ячеек в ферромагнетиках и плотности состояний отдельных атомов с учётом обменного взаимодействия между ориентациями спинов в гамильтониане модели ферромагнетика Гейзенберга дают полную информацию о спиновой динамике в магнитной системе.

С помощью квантово-механических вычислений можно исследовать и определять многие динамические и магнитные свойства, такие, как плотность намагничивания атомов в элементарных ячейках ферромагнетиков, обменное взаимодействие спинов, спин-поляризованные связи и т.д. [2].

Спиновые эффекты в рамках полевых моделей способствуют исследованию широкого круга таких нелинейных явлений, как локализованные (со-литонные) возбуждения и образования. При этом спиновая динамика в рамках полевых моделей приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, допускающим солитонные решения. Вычисления динамических факторов, в частности динамического структурного фактора (ДСФ) и интегральной интенсивности (ИИ), с помощью солитонных локализованных решений дают возможность получить информацию о динамике магнитной системы в целом.

Определение амплитуды и ширины солитона в зависимости от величины ДСФ и ИИ может служить основой для интерпретации данных нейтронных экспериментов с целью получения информации о магнитных локализованных (солитонных) возмущениях. При этом так называемое сечение неупругого магнитного рассеяния нейтронов определяется именно вкладом от солитонных волн. Это важная концепция в современной спинтронике, где управление солитонных волн приводит, в принципе, к использованию соли-тонных волн в качестве носителя информации и стабильных электрических сигналов [3].

Объекты и предмет исследования. В качестве объектов исследования в работе были выбраны одномерные ферромагнетики КЪ2Ыг¥4 с постоянными решётки а0~Ъ=4.087 А и с~3а0=13.71 А и спином 5=1, С8Ы1Е3 с постоянными решётки а=Ъ=6.21 А и с = 5.29 А и спином 5=1.

Предметом исследования было определение вкладов спина, спин-поля-ризованной и спин-орбитальной связей в магнитные (верхний и нижний магнитные моменты спинов, полный и орбитальный магнитные моменты всех электронов и энергия полного магнитного момента) и энергетические (величины всех видов энергий и общая плотность состояний в элементарной ячейке, энергетические зоны электронов в зависимости от точек зоны Бриллюэна) параметры ферромагнитных систем КЪ2Ш¥4 и СМ^, а также изучение свойств ДСФ и ИИ, ширины, энергии и амплитуды солитонных образований

в вышеназванных магнитных системах.

Цель и задачи работы. Целью настоящей диссертационной работы являлось исследование спиновых эффектов в магнитных материалах с помощью комбинированных подходов теории функционала плотности и полевых моделей физики конденсированного состояния.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Оптимизация и количественная оценка всех видов энергий в элементарных ячейках ферромагнетиков КЪ2Мг¥4 и С8Ы1Е3 с обменным взаимодействием между ориентациями спинов в гамильтониане модели ферромагнетика Гейзенберга на основе ТФП с использованием программного многоцелевого пакета Abinit;

2.Расчёт плотности намагничивания с учётом спин-орбитальной и спин-поляризованной связей и вычисление верхнего и нижнего магнитного момента спинов, полного магнитного момента и орбитального магнитного момента каждого атома в элементарных ячейках КЪ2Ыг¥4 и С8Ы1Г3;

3.Проведение квантово-механического моделирования в рамках ТФП над ферромагнитными системами КЪ2Ыг¥4 и С8№Е3 для учёта эффектов спин-орбитального и спин-поляризованного взаимодействия с целью определения общей плотности состояния в элементарных ячейках и отдельных атомов систем, а также плотности заряда электронов на основе программного многоцелевого пакета ШЕШк;

4. Исследование спиновой динамики и вычисление динамических факторов (ДСФ, ИИ и энергии солитона) в элементарных ячейках в ферромагнитных системах КЪ2Ш¥4 и с помощью локализованных (солитонных) решений;

5.Исследование энергетических и динамических характеристик процессов взаимодействия нейтронов с солитонными возбуждениями в КЪ2Ш¥4 и С8№Е3 системах.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые:

-в рамках ТФП проведено квантово-механическое моделирование с

учётом спин-поляризованной и спин-орбитальной связей в одномерных фер-

5

ромагнетиках ЯЪ2№Е4 и CsNiFз, исследованы их энергетические, динамические и структурные свойства;

-проанализирован вклад энергетических уровней отдельных атомов в полную плотность состояния в элементарных ячейках, оценены распределения плотности заряда электронов в ферромагнетиках RЪ2NiF4 и CsNiF3;

-помощью вычисленных в рамках ТФП плотности намагничивания, оценки обменного взаимодействия между ориентациями спинов в гамильтониане модели ферромагнетика Гейзенберга определены все виды энергий, полный и орбитальный магнитные моменты, энергия полного магнитного момента всех атомов в ферромагнетиках RЪ2NiF4 и CsNiF3;

-для спиновой динамики магнитных материалов RЪ2NiF4 и CsNiF3 с помощью двух видов солитонных решений определены математические выражения ДСФ и ИИ, определены их величины, соответствующие разным условиям эксперимента, оценены ширина и энергия солитона.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты по квантово-механическому моделированию в рамках ТФП могут быть использованы при структурных исследованиях материалов рентгеноструктурными методами анализа, в анализе энергетических околопороговых тонких структур методами рентгеновского поглощения. Вычисленная плотность состояния элементарных ячеек ферромагнетиков RЪ2NiF4 и CsNiF3 может служить для интерпретации ряда явлений квантово-механической природы.

Полученные теоретические выкладки по нелинейной локализованной динамике в исследованных системах могут быть использованы при вычислении ДСФ в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов. Вычисленные для ферромагнетиков RЪ2NiF4 и CsNiF3 значения ДСФ и ИИ могут быть сравнены с данными экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов при низких температурах на волнах солитонного типа. Основные положения, выносимые на защиту:

-установленные различия плотностей электронов атомов одного и того

же сорта в элементарных ячейках ферромагнетиков RЪ2NiF4 и CsNiF3, мини-

6

минимальные объёмы элементарных ячеек и согласующиеся с экспериментом параметры решёток;

-методом полного потенциала линейной присоединённой плоской волны (FP-LAPW) вычислены спин-орбитальные и спин-поляризованные связи, определены энергетические зоны электронов в зависимости от точек зон Бриллюэна, плотность состояний отдельных атомов и общая плотность состояний в элементарных ячейках Rb2NiF4 и CsNiF3;

-путём квантово-химического моделирования в рамках ТФП определены зоны проводимости и запрещённые зоны ферромагнетиков Rb2NiF4 и CsNiF3;

-с использованием двух видов солитонных решений вычислены величины ДСФ и ИИ в гейзенберговских ферромагнетиках Rb2NiF4 и CsNiF3, дана оценка ширины и энергии солитона;

-результаты по динамике нелинейных солитонных волн хорошо согласуются с теорией рассеяния нейтронов при малых переданных импульсах в многочастичных системах.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на: V Международной конференции «Современные проблемы физики» (Душанбе, Таджикистан, 18-19 ноября 2016); Международном симпозиуме по вычислительному материаловедению и биологическим наукам KSCMBS-2016 (Худжанд, Таджикистан, 24-27 сентября 2016); Международном симпозиуме по вычислительному материаловедению и биологическим наукам MSSMBS-2107 (Санкт- Петербург, Россия, 7-10 сентября 2017); Республиканской научно-практической конференции «Роль молодёжи в развитии отечественной науки» (Душанбе, Академия наук Республики Таджикистан, 15 мая 2015); Международном симпозиуме «Границы в материаловедении FMS-2017» (Грейфс-вальд, Германия, 4-6 сентября 2017); Семинарах Физико-техничес-кого института им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан в течение 2015-2017 гг.; Семинаре Отдела материаловедения и инженерии университета Васеда (Токио, Япония 16 января 2017, http: //www.cms.sci.waseda.ac.j p/news. html).

7

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, 8 из которых в журналах из Перечня периодических изданий, рекомендуемых ВАК РФ.

Личный вклад. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, проведении компьютерных расчетов и теоретических исследований, при анализе и обсуждении полученных результатов квантово-механического моделирования.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 112 листах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и основных выводов. Диссертация содержит 52 рисунка и 8 таблиц. Библиографический список состоит из 117 источников, из них 99 на английском и 18 на русском языках.

Ключевые слова: ферромагнетик Гейзенберга, солитон, функционал плотности, спин-орбитальные и спин-поляризованные связи, динамический структурный фактор, зона Бриллюэна.

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, а также интегральные, интегро-дифференциальные уравнения во второй половине XX века стали объектом исследования многих междисциплинарных направлений математической физики. Эти уравнения являются хорошим аналитическим инструментом математического анализа физических явлений.

Изучение нелинейных задач распространения волн привело к необходимости разработки нелинейных уравнений в частных производных, которые в настоящее время используются в различных областях прикладной математики, физики и техники, в том числе динамике жидкостей, нелинейной оптике, биологии, механике твердого тела, физике плазмы, квантовой теории поля и физике конденсированных сред [4-8]. Наиболее важными примерами такого использования являются, соответственно, ударные волны, уединенные волны и солитоны [9,11], наблюдаемые в различных системах живой и неживой природы.

Аналитические решения нелинейных уравнений в частных производных имеют большое значение, особенно в нелинейной физической науке, поскольку они могут обеспечить большую физическую информацию и более глубокое представление о физических аспектах проблемы [5,12].

1.1. Солитонные решения нелинейных уравнений

Для описания гидродинамических волновых процессов впервые было получено уравнение распространения волн в одном направлении по поверхности мелкого канала, так называемое уравнение Кортевега-де Фриза [13], которое имеет солитонное решение. Решение уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) основывалось на типе бегущей волны с постоянным профилем. Уравнение КдФ является асимптотической моделью распространения нелинейных дисперсионных волн. М.Д.Крускал и Н.Дж.Забуски выявили, что солитонная

9

волна, распространяющаяся бездисперсионно, восстанавливает свою форму после столкновения с другими такими же волнами. Из-за частицеподобных свойств такой волны, это решение уравнения КдФ впервые назвали солито-ном [14].

Различие между уединенной волной и солитонами состоит в том, что солитоны, не меняя формы, взаимодействуют друг с другом, и единственным меняющимся при этом параметром взаимодействия является фазовый сдвиг. Также солитоны локализованы и имеют постоянную форму [14].

К.С.Гарднер, Дж.М.Грин, М.Д.Крускал, Р.М.Миура [13] нашли точное решение уравнения КдФ на вещественной оси. В 1968 г. П.Д.Лаксом [15] дано строгое аналитическое доказательство, что при нелинейном взаимодействии двух различных солитонов они сохраняют свою форму, которая определяется уравнением КдФ.

В течение более чем пяти десятилетий после публикации статьи М.Д.Крускала и Н.Дж.Забуски (1965) [14] уединенные волны теоретически и экспериментально исследовались во многих отраслях науки. Появилось несколько знаменитых уравнений, имеющих локализованные решения: уравнение синус-Гордона (СГ), кубическое нелинейное уравнение Шрёдингера, Ландау-Лифшица, Кадомцева-Петвиашвили (типов I и II), Бенни-Роскеса-Дэви-Стюартсона, модели кирального поля Вакса-Ларкина-Намбу-Йона, массивная модель Тирринга, уравнения Бенджамина-Оно, уравнение Борна-Инфельда, модель Хиггса [5,11] и ряд других классических и современных уравнений, выступающих в качестве универсальных моделей солитонов.

Анализ литературы в этом направлении показывает, что до настоящего времени не существует единого метода, который можно было бы использовать для решения всех типов нелинейных эволюционных уравнений. Существует много методов, которые использовались для нахождения солитонных решений. Они, как известно, представляют интерес для различных разделов

физики, биологии и химии. Например, метод обратной задачи, гамильтонов

10

подход, спектральные методы, метод преобразования Бэклунда, метод возмущений, метод преобразования Дарбу, метод однородного баланса, проективных преобразований на множестве уравнений Риккати, метод эллиптических функций Якоби [16-20] и ряд других методов использовались для решения собственного класса эволюционных нелинейных уравнений. Поэтому для решения некоторых практических задач необходимо выбрать соответствующий метод из списка доступных методов.

В данной работе для получения выражения динамического структурного фактора (ДСФ) был использован метод обратной задачи для нахождения со-литонного решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ).

1.2. Солитоны в магнитных системах

Солитонные возмущения исследованы в разных объектах физики конденсированного состояния, таких как нелинейная решётка [21], динамика доменных стенок, туннелированные электронные пары, магнитные спиновые цепочки [22] и др. Интенсивно изучаются нелинейные локализованные явления в магнитных системах. В магнитных системах за счёт взаимодействия элементарных нелинейных возбуждений, магнитный диполей, спинов и других видов магнитных параметров существуют различные типы солитонов и других нелинейных волн. Эти магнитные солитоны являются точным решением классических нелинейных дифференциальных уравнений: модель непрерывной цепочки Гейзенберга, одномерное уравнение синус-Гордона, уравнение Ландау-Лифшица, НУШ [23,24] и др.

Впервые Микешка [25] показал, что при наличии вида анизотропии в

наличном виде гамильтониана нелинейная спиновая динамика одномерных

магнетиков со спином Б=1 сводится к решению солитона в виде уравнения

СГ. Замена оператора спина в узле кристаллической решетки в уравнении

Ландау-Лифшица приводит к модели непрерывной цепочки Гейзенберга. Как

показано в работе [26], нелинейное уравнение Шредингера и линейное урав-

11

нение цепочки Гейзенберга для одномерных ферромагнетиков являются подобными.

Уравнения СГ, НУШ и другие, которые имеют солитонные решения, при изучении различных нелинейных явлений в ферромагнетиках способствуют появлению вышеперечисленных уравнений. В связи с различными нелинейными свойствами ферромагнетиков, в них присутствуют различные виды солитонов.

В пределах определенных температур, при которых магнитное взаимодействие между атомами гораздо сильнее, чем взаимодействие между атомными цепочками, гамильтониан одномерного ферромагнетика можно написать в таком виде:

н = - у х +1 + ах )2 - ¿X

; ; ; , (1.2.1) где: J - обменный интеграл (для ферромагнетиков положительная величина,

для антиферромагнетиков отрицательная величина); - спиновый оператор атома в .-ом узле; А - константа анизотропии (если А>0 - «легкоплоскостной», а если А<0 - «легкоосной»); I = ддН, Н-напряженность магнитного поля, д - магнетон Бора, д - фактор Ланде.

Произведя замену X 8(х) 8(х)—, где а0 - постоянная решётки, с по-

0

мощью разложения Тейлора можно написать спин в .-ом узле SJ в таком виде [24]

I 1 I I 1 I I I

' ^ - а2 £ (х) + - а3 £ I

2 6 ^ '+..., (1.2.2.а)

+1 ^ £(х + а) « £(х) + (х) +1 а2 £ (х) +1 а3 (х)

— — I—► |2 —►I —► 1 _ —I I 1 — — I I I

^ £(х)| + а£(х)£(х) +1 а2£(х)£ (х) +1 а3£(х)£ (х) +... 2

Для получения гамильтоновой динамики можно использовать операцию скобок Пуассона:

£(X) = -а5(X) .-Н- = ^£.31 1 - 2А• 2X 2)-Ь. 5 Н 68(х) н н х а '

где г - единичный вектор в направлении z - оси.

С учётом (1.2.2.а, б) и (1.2.3) гамильтониан одномерного ферромагнетика (1.2.1) принимает вид

Н =

J а ^

2

ft— dx н1 2 - L ■ sW

Ял" a . (1.2.4)

Используем континуальный предел для спинорного представления р(х) = Sz (x) и х) = аго1ап§(8у/82) и, учитывая, что ось х параллельна направлению магнитного поля, гамильтониан запишем в виде

Н = J- fi sS? (р 2> + <S2 - * 2)(« 2)Л

dx +

+ 1 ¡(л ■ р2 - L ■J S2 - р2 ■ cos q^x . (125)

Если принять угол вращения спинового вектора в легкой плоскости xy, о

z-компонента становится весьма малой по величине. При этом р S, р ^0 и гамильтониан (1.2.5) принимает вид «

JaS2

- | (q ) dx н— | (Л ■ р — L ■ S ■ cos q]dx

(1.2.6)

Н = |(q2 )'dx + — ¡(л ■ р2 - L ■ S ■ cos q^]dx

Варьируя (1.2.6), получаем следующие гамильтоновы уравнения движения

а 6Н 2А

=--= — Р,

Н 6р(х) Н

а 6Н М2 £2 Ь£ . п 0 ~

Р =---=--1--Бт q . (12./)

Н х) Н Н

После некоторых математических преобразований с учётом связи (1.2.7) получаем

2

д2 д _ . / Л2 д2 д 2ЛЬЪ .

дг2

2 ЛУ

V П у

Бт д = 0

дх" ^ . (1.2.8)

Уравнение (1.2.8) является эквивалентным уравнению СГ, которое, при условии р и р'—>0 получается из гамильтониана (1.2.6). Уравнение (1.2.8) имеет солитонные решения. Для нахождения ряда параметров, характеризующих нелинейную динамику одномерных ферромагнетиков со спином 8=1, солитонное решение уравнения (1.2.8) является достаточным.

После того, как Микешка [25] теоретически показал, что нелинейная динамика ферромагнетиков со спином 8=1 при постоянном магнитном поле сводится к уравнению СГ, появилось много экспериментальных работ [27, 28]. С помощью солитонного решения спиновой динамики одномерного ферромагнетика с учетом определённой анизотропии для ферромагнетика С8№Е3 были получены выражения для динамических структурных факторов [29]. Теоретически и экспериментально было показано, что рассеяние ней -тронов от солитона в ферромагнетике С8№Е3 приводит к появлению центрального пика динамического структурного фактора от продольных и поперечных по отношению к магнитному полю компонент спина [30].

Хотя вклад солитонов в поведение ферромагнетиков Гейзенберга, например, С8№Е3, получил своё подтверждение, однако количественного и качественного согласия для некоторых динамических и термодинамических параметров до настоящего времени не существует, что является, по-нашему мнению, следствием:

-не до конца разработанной теории квантовых эффектов в магнитной цепочке для не одномерных ферромагнетиков;

-для полуклассического описания спиновой динамики ферромагнетиков необходимое количество параметров должно быть больше 4Б.

С помощью численного моделирования исследуется сложная динамика нелинейных локализованных возбуждений-солитонов. В работе [31] исследовали спиновую динамику в ферромагнитной цепочке под действием внешних

магнитных полей и показали, что результат компьютерного эксперимента

14

сильно отличается от обычного описания СГ с учетом анизотропии легкой плоскости для однородных ферромагнетиков.

К настоящему времени с точки зрения классической, полуклассической и квантовой физики разработаны различные теории для объяснения распространения нелинейных локализованных возбуждений в квазиодномерных ферромагнетиках. Основным методом для экспериментального исследования динамики и кинематики солитонов является рассеяние нейтронов [32]. С помощью неупругого рассеяния медленных нейтронов изучаются свойства динамических факторов квазиодномерного ферромагнетика Гейзенберга при низких температурах. Этот метод является хорошим средством для исследования ряда свойств нелинейных возмущений в ферромагнетиках.

С использованием метода когерентных состояний [33] показано, что уравнения нелинейного локализованного возбуждения с бозонным представлением спин-операторов Гольштейна-Примакова сводятся к нелинейному уравнению Шредингера (НУШ). Солитонное решение НУШ показывает, что в магнитной цепочке Гейзенберга одновременно могут существовать локализованные солитоноподобные магноны и двухмагнонное связанное состояние.

Солитонные решения нелинейных уравнений классической анизотропной дискретной спиновой цепочки Гейзенберга определяют кинематику со-литонов относительно заданного спина, заданной связи цепи и заданного магнитного поля. В работе [34] рассматрена дискретная спиновая цепочка с легкоплоскостной одноионной анизотропией под воздействием внешних магнитных полей и доказано, что две различные статические кинк-структуры в плоскости симметричны относительно заданного спина или заданной цепной связи. В зависимости от флуктуаций, первый тип статической кинк-структуры неустойчив. С учётом эллиптической функции Якоби для классической анизотропной дискретной спиновой цепочки Гейзенберга в условиях воздействия постоянных внешних магнитных полей и без них найдено несколько типов статических и движущихся периодических солитонных решений [35]. В зависимости от граничных условий определены свойства различ-

15

ных доменных структур.

Для исследования поведения солитонных волн в магнитной цепочке важнейшей характеристикой является динамический структурный фактор (ДСФ). Передаваемый импульс при рассеянии нейтронов от ферромагнетика дает информацию о спектре нелинейных локализованных возбуждений. Для плоскоосной ферромагнитной цепочки в условиях действия поперечного магнитного поля получено солитоннное решение с помощью континуального предела СГ, приведён расчёт вклада солитона в динамический структурный фактор в продольном и поперечном направлении спина [36]. Исследованы свойства ряда таких элементарных локализованных возбуждений, как динамический и термодинамический факторы при низких температурах. Также появилось много работ по расчёту динамического структурного фактора в гейзенберговской ферромагнитной цепочке. В работе [37] исследованы динамические структурные факторы ферромагнитных спиновых цепей Гейзен-берга и показано, что существуют две различные ветви элементарных возбуждений, которые связаны с ферромагнитными и антиферромагнитными свойствами.

Для описания взаимодействия тождественных частиц, значения энергий которых зависит от величины спина, в ферромагнитной цепочке используется однородная и неоднородная анизотропия. С целью вычисления энергии ферромагнитной спиновой цепочки определяются средние значения спина каждого слоя. В зависимости от вида анизотропии намагниченность и ряд элементарных локализованных возбуждений ведут себя очень сложно. При конкретном виде анизотропии, с точки зрения классической физики, можно вычислить величину среднего спина в магнитной цепочке. Но согласия между теорией и экспериментальными результатами пока нет.

На самом деле, с точки зрения квантово-механического исследования можно доказать, что:

-многие реальные спиновые цепочки характеризуются нелинейными видами анизотропии;

-существует эффект сокращения величины спина в зависимости от вида квантового фазового пространства;

-существует ряд других квантовых эффектов, например, компенсация магнитных моментов.

При переходе от операторов спина к операторам рождения и уничтожения локализованного элементарного возбуждения системы взаимодействующих спинов используются разные виды математических преобразований. Среди них особую роль играют преобразования Гольштейна-Примакова. В работе [38] показано, что неоднородный гейзенберговский спиновый гамильтониан с помощью преобразования Гольдштейна-Примакова приводит к нелинейному уравнению Шредингера. С помощью когерентного состояния Глаубера уравнение Шредингера для ферромагнетиков со спином Б=1 имеет односолитонные и двухсолитонные решения в виде кинк-солитонов. Динамика элементарных спиновых возбуждений с помощью модели неоднородного слабого гейзенберговского ферромагнетика приводит к НУШ, имеющее солитонные решения. Исследования малоугловых колебаний антисимметричной спиновой связи способствует появлению НУШ.

Одним из важнейших направлений исследования нелинейных локализованных возбуждений в ферромагнетиках являются процессы формирования солитонов в ферромагнитных плёнках. При распространении импульсов сверхвысокочастотных спиновых волн в ферромагнитных плёнках наблюдается явление прохождения когерентного импульса излучения через спиновую систему без поглощения. Теоретические модели [39,40] и экспериментальные результаты [41] показали, что наблюдаемый феномен имеет солитонный характер. В экспериментах по распространению спиновой волны наблюдались солитоны в тонких плёнках железоиттриевого граната. С ростом промежутка времени прохождения когерентного импульса излучения через данный материал наблюдается многосолитонное распространение спиновых волн. Соли-тоны формировались в спектральных областях с высокой положительной дисперсией [41]. Во многих теоретических и численных моделированиях,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Курбониён Мехрдод Субхони, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

1. http://susi.theochem.tuwien.ac.at/papers/index.html.

2. Zainab I., Shah S.H., Rafiq M.A., Hasan M.M. First principles study of structural, electronic and magnetic properties of ferromagnetic Bi2Fe4O9 // Journal of Alloys and Compounds, 2015.-V.624.-PP.131-136.

3. Jing L., Lan Zh., Le-Man K., Sun С.РР. Controlling soliton excitations in Heisenberg spin chain through magic angle // Phys. Rev. Ser. E, 2009.-№79.-Р.016606.

4. Кудрявцев А.Е. Солитонно подобные решения для хигсовского скалярного поля // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1975.-Т.22.-№ ХХ.-С.82-83.

5. Skyrme T.H.R. A non-linear field theory // London, Proceedings of the Royal Society-Mathematical and Physical Sciences, Ser. A, 1961.-V. 206.-№ 1300.-РР.127-138.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны // М.: Мир, 1977.-622 с.

7. Abdullaev F., Darmanyan S., Khabibullaev Р. Optical Solitons. // SpringerVerlag, Berlin, 1991.-P.191.

8. Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M., Zakharov V.E. Soliton stability in plasmas and hydrodynamics // North-Holland, Amsterdam, Physics reports (Review Section of Physics Letters), 1986.-V.142.-№ 3.-РР. 103-165.

9. Lee Davision. Fundamentals of Shock Wave Propagation in Solids // Berlin, Springer-Verlag, 2008.-Р.433.

10. Vasily Y. B., Sergey V.V. Solitary waves in dispersive complex media // Berlin, Springer, 2005.-Р.301.

11. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations // Academic Press, London, 1982.-Р.630.

12. Antonio Garcia-Olivares. Analytical solution of nonlinear partial differential equations of physics // Kybernetes, 2003.-V.32.-Iss: 4.-РР.548-560.

13. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. // Phys. Rev. Lett., 1967.-V.19.

14. Zabusky N.J. and Kruskal M.D. // Phys. Rev. Lett., 1965. -V.15.

15. Lax P.D. Integral of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure and Appl. Math., 1968. -V.21.-PP.467-490.

16. Zong-Yun Ch., Nian-Ning H., Yi X. Method for finding soliton solutions of the nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev., Ser. A, 1988. -№38. -Р.4355.

17. Hirota R. The Direct Method in Soliton Theory // Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

18. Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии // -М.: Мир, 1981. -312 с.

19. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент // ФЭЧАЯ, 1983. -Т.14.-С.123-180.

20. Wang M., Zhou Y. and Li Z. // Phys. Lett., Ser.A, 1996. -V.216.-P.67.

21. Yaroslav V. K., Boris A. M., Lluis T. Solitons in nonlinear lattices // Rev. Mod. Phys., 2011. -V.83.-P.247.

22. Kosevich A.M., Gann V.V., Zhukov A.I., Voronov V.PP. Magnetic soliton motion in a no uniform magnetic field // Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1998. -№87(2),-РР.401 -407.

23. Косевич А.М. Иванов Б.А. Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности // Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук. думка. 1983. -192 c.

24. Рахимов Ф. К. Нелинейные локализованные явления в магнитных системах // Душанбе, Деваштич, 2008. -280 с.

25. Mikeska H.J. Solitons in a one-dimensional magnet with an easy plane // J. Phys. C: Solid State Phys., 1978. -V.11.-P.3895.

26. Дод Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения // Пер. с англ. -М.: Мир, 1998. -С. 694.

27. Steiner M. Kjems J.K. Spin waves in CsNiF3 with an applied magnetic field // Jou. Phys, 1977. -V.10.-P.2665.

28. Kjems J.K., Steiner M. Evidence for soliton modes in the one-dimensional ferromagnetic CsNiF3 // Phys. Rev. Lett., 1978. -V.41.-№.16.-PP.1137-1140.

29. Steiner M. at al. Neutron inelastic acattering study of transverse spin fluctuations in CsNiF3 a soliton-only central peak // Solid State Comm., 1982. -V.41.-№4.-PP.329-332.

30. Изюмов Ю.А. Солитоны в квазиодномерных магнетиках и их исследования с помощью рассеяния нейтронов // УФН, 1988. -Т.155.-537 c.

31. Shirane G., Shapiro S.M., Tranquada J.M. Neutron Scattering with a Triple-Axis Spectrometer // U.K. Cambridge, Cambridge University Press, 2006. -P.19.

32. Wysin G., Bishop A.R., Kumar Р. Soliton dynamics on a ferromagnetic chain // Journal of Physics C, Solid State Physics, 1982. -V.15.

33. Guoxiang H., Zhu-Pei Sh., Xianxi D., Ruibao T. Soliton excitations in the alternating ferromagnetic Heisenberg chain // Phys. Rev., Ser. B, 1991. -№ 43.-P.11197.

34. Etrich C., Mikeska H.J., Magyari E., Thomas H., Weber R. Solitons on a discrete ferromagnetic spin chain // Zeit. Phys. B Con. Matt., 1985. -V.62.-РР.97-111.

35. Lakshmanan M., Saxena A. Dynamic and static excitations of a classical discrete anisotropic Heisenberg ferromagnetic spin chain // Physica D, 2008. -V.237.-PP.885-897.

36. Leung K.M., Huber D.L. Soliton dynamic structure factors in a planar ferromagnetic chain // Solid State Communications, 1979. -V.32.-PP.127-130.

37. Yamamoto Sh., Sakai T. Low-Energy Structure of Heisenberg Ferrimagnetic Spin Chains // J. Phys. Soc. Jpn., 1998. -V.67.-PP.3711-3714.

38. Guoxiang H., Zhu-Pei Sh., Xianxi D., Rubibao T. Soliton-like magnon localization and the two-magnon bound state in a Heisenberg ferromagnetic chain // Journal of Physics: Con. Mat., 1990. -V.2.-№50.

39. Slavin A.N.Dudko Numerical modelling of spin wave soliton propagation in ferromagnetic films // Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 1990. -V.86.-PP.115-123.

40. Kalinikos B.A., Kostylev M.P., Kozhus N.V., Slavin A.N. The dipoleexchange spin wave spectrum for anisotropic ferromagnetic films with mixed exchange boundary conditions // Journal of Physics C: Solid State Physics, 1990. -V.19.-№35.

41. Kalinikos B.A. at all. Observation of dipole-exchange spin wave solitons in tangentially magnetised ferromagnetic films. Solid State Communications // 1990. -V.74.-№9.-PP.989-993.

42. Ustinov A.B., Grigoreva N.Y., Kalinikos B.A. Observation of spin-wave envelope solitons in periodic magnetic film structures // Jetрр. Lett., 2008. -V.88.-№.31.

43. Giant S., Motohiko E. Stabilized by Dipole-Dipole Interactions in Thin Ferromagnetic Films // Phys. Rev. Lett., 2010. -V.105. -P. 197202.

44. Kavitha L., Sathishkumar Р., Gopi D. Shape changing soliton in a site -dependent ferromagnet using tanh-function method // Phys. Scr., 2009, -V.79.

45. Рахимов Ф.К. Абдуллоев Х.О. Федянин В.К. O сокращении длины классического спина одномерных магнетиков Гейзенберга со значением спина S>1/2 // Сообщения Объединенного института ядерных исследованный Дубна, 2000. -P.17.-35 c.

46. Kavitha L., Sathishkumar Р., Saravanan M., Gopi D. Soliton switching in an anisotropic Heisenberg ferromagnetic spin chain with octupole-dipole interaction // The Royal Swedish Academy of Sciences Physica Scripta, 2011. -V.83.-№ 5.

47. Jin-Wei Y., Yi-Tian G., Qi-Min W., Chuan-Qi S., Yu-Jie., Xin Y. Bilinear forms and soliton solutions for a fourth-order variable-coefficient nonlinear Schrodinger equation in an inhomogeneous Heisenberg ferromagnetic spin

chain or an alpha helical protein // Phys. B: Con. Mat., 2016. -V.481.-№ 15.-PP.148-155.

48. Daniel M., Veerakumar V., Amuda R. Soliton and electromagnetic wave propagation in a ferromagnetic medium // Phys. Rev., Ser. E, 1997. -№ 55.-P.3619.

49. Manna M., Leblond H. Transverse stability of short line-solitons in ferromagnetic media // Jour. Phys. Ser. A, 2006. -V.39.-№ 33.

50. Alex H., Rudolf S. Magnetic Domains: The Analysis of Magnetic Microstructures // Springer, 2008. -V.215. -P.714.

51. Stamp P.C.E. Quantum dynamics and tunneling of domain walls in ferromagnetic insulators // Phys. Rev. Lett., 1991. -V.66.-P.2802.

52. Barabash M.Yu. Quantum Properties of Bloch Point as Nanosized Soliton in Ferromagnetics // Journal of nano- and electronic physics, 2014. -V.6.-№ 4.-P.04041.

53. Hans-Benjamin B., Daniel L. Berry's phase and quantum dynamics of ferromagnetic solitons // Phys. Rev., Ser. B, 1996. -V.53.-P.3237.

54. Radha B., Bishop A.R. Nonlinear excitations on a quantum ferromagnetic chain // Phys. Rev. Lett., 1985. -V.55.-P.537.

55. F. D. M. Haldane. Geometrical Interpretation of Momentum and Crystal Momentum of Classical and Quantum Ferromagnetic Heisenberg Chains // Phys. Rev. Lett., 1986. -V.57.-P.1488.

56. Tao Sh., Ying L., Zhi S., Chang-Pu S. Quantum-state transfer via the ferromagnetic chain in a spatially modulated field // Phys. Rev., Ser. A 2005. -V.71.-P.032309.

57. Zai-Dong L., Qiu-Yan L., Lu L., Liu W.M. Soliton solution for the spin current in a ferromagnetic nanowire // Phys. Rev., Ser. E, 2007. -V.76.-P.026605.

58. Hans-Benjamin B. Nucleation in ferromagnetic nanowires-magnetostatics and topology // Journal of Applied Physics, 1999. -V.85.-P.6172.

59. Peng-Bin H., Liu W.M. Nonlinear magnetization dynamics in a ferromagnetic nanowire with spin current // Phys. Rev., Ser. B, 2005. -V.72.-P.064410.

88

60. Leblond H., Veerakumar L. Magnetostatic spin solitons in ferromagnetic nanotubes // V. Phys. Rev., Ser. B, 2004. -V70.-P. 134413.

61. Walter Kohn. Electronic structure of matter-wave functions and density functional // Nobel lecture, 1999. -PP.213-237.

62. Bligaard T. Understanding Materials Properties on the Basis of Density Functional Theory Calculations // PhD thesis, Technical University of Denmark, 2003.

63. http: //www.abinit .org/

64. http: //susi.theochem. tuwien.ac.at/

65. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера // -М.: Изд-во МГУ, 1983. -392 с.

66. Dirac P.A.M. Quantum mechanics of many-electron systems // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 1929. -V.123.

67. Hohenberg Р. and Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev., 1964. -V.136.-PP.864-871.

68. Khan W., Betzler S., Sipr O., Ciston J., Blaha Р., Scheu C., Minar J. Theoretical and Experimental Study on the Optoelectronic Properties of Nb3O7(OH) and Nb2O5 Photoelectrodes // J. Physical Chemistry C, 2016. -V.120.-PP. 23329-23338.

69. Baumann S., Donati F., Stepanow S., Rusponi S., Paul W., Gangopadhyay S., Rau I.G., Pacchioni G.E., Gragnaniello L., Pivetta M., Dreiser J., Piamonteze C., Lutz C.P., Macfarlane R.M., Jones B.A., Gambardella Р., Heinrich A.J., Brune H. Origin of Perpendicular Magnetic Anisotropy and Large Orbital Moment in Fe Atoms on MgO // Physical Review Letters, 2015. -V.115.-P.237202.

70. David S.S., Janice A.S. Density Functional Theory: A Practical Introduction // Wiley, 2009.

71. H., Pickett W.E. Density functional theory of magnetic systems revisited // Solid State Communications, 2001. -V.118.-PP.123-127.

89

72. Pianaro S.A., de Lazaro S.R., Ribeiro R.A.P. Density Functional Theory applied to magnetic materials: Mn3O4 at different hybrid functional // Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2015. -V.391.-PP.166-171.

73. Kin M.W., Alay-e-Abbas S.M., Shaukat A., Yong L. DFT + U study of the structural and electronic properties of the ferromagnetic and antiferromagnetic ordering in the PbS-based ternary alloys Pb1-xEuxS (x = 0.25, 0.50, 0.75 and 1) // Solid State Sciences, 2013. -V.18.-PP.24-35.

74. Toriyama T., Nakao A., Yamaki Y., Nakao H., Murakami Y., Hasegawa K., Isobe M., Ueda Y., Ushakov A.V., Khomskii D.I., Streltsov S.V., Konishi T., Ohta Y. Peierls Mechanism of the Metal-Insulator Transition in Ferromagnetic Hollandite K2Cr8O16 // Phys. Rev. Lett., 2011. -V. 107.-P.266402.

75. Yibole H., Guillou F.,Caron L., Jimenez E., de Groot F. M. F., Roy P., de Groot R., van Dijk N. H., Brück E.. Moment evolution across the ferromagnetic phase transition of giant magneto caloric (Mn, Fe)2(P, Si, B) compounds // Phys. Rev., Ser.B, 2015. -V.91.-P.014429.

76. Thomas L.H. The calculation of atomic fields // Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 1927. -V.23.-PP. 542-448.

77. Kohn W., Sham L. J. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects // Phys. Rev., Ser. A, 1965. -V.140.-PP.1133-1965.

78. Peter B., Karlheinz S., Georg M., Dieter K., Joachim L // User's Guide, WIEN2k 14.2, 2014, Austria. -240 p.

79. Koller D., Tran F., Blaha P. Merits and Limits of the Modified BeckeJohnson Exchange Potential // Phys. Rev. B, 2011. -V.83.-P. 195134.

80. Vineyard G. Scattering of slow neutrons by a liquid // Phys. Rev., 1958. -V. 110.-PP.999-1010.

81. Leon Van Hove. Correlations in space and time and born Approximation scattering in systems of interacting particles // Phys. Rev., 1954. -V.95.-PP. 249-253.

82. Steiner M., Villain J., Windsor C.G. Theoretical and experimental studies on one-dimensional magnetic systems // Adv. Phys., 1976. -V.25. -№ 2.-РР.87-209.

83. Chatterji T. Neutron Scattering from Magnetic Materials // Amsterdam, 2006. -572 P.

84. Shirane G., Shapiro S. M., Tranquada J. M. Neutron Scattering with a Triple-Axis Spectrometer // U.K. Cambridge, Cambridge University Press, 2006.

85. Dender D. C., Davidovic D., Daniel H. R., Collin B., Kim L., Aeppli G. Magnetic properties of a quasi-one-dimensional £=1/2 antiferromagnet: Copper benzoate // Phys. Rev., 1996. -V.53.-P.2583.

86. Yamamoto Sh., ^ru S. Low-Energy Structure of Heisenberg Ferrimagnetic Spin Chains // J. Phys. Soc. Jpn., 1998. -V^.-РР. 3711-3714.

87. Pasquale C., Andrea Р., Ettore V. Static and dynamic structure factors in three-dimensional randomly diluted Ising models. Phys. Rev., 2008. -V.77.-P.021126.

88. Рахими Ф., Курбониён М.С. Динамический структурный фактор одномерных ферромагнетиков // ДАН РТ, 2015. -Т.58.-№10.-С.901-907.

89. Рахими Ф., Курбониён М.С. Вклад нелинейных возбуждений в динамическом структурном факторе одномерного анизотропного ферромагнетика Гейзенберга // Вестник ТНУ, 2015. -Т.168.-№1/4.-С.87-94.

90. Рахими Ф., Курбониён М.С. Солитоны в одномерных анизотропных ферромагнетиках Гейзенберга и исследования динамических свойств // ДАН РТ, 2015. -Т.58.-№6.-С.487-491.

91. Qurboniyon Mekhrdod S. and Farhod Rahimi. Dynamic Properties of One-dimensional Anisotropic Heisenberg Ferromagnetic. Computer Design for New Drugs and Materials: Molecular Dynamics of Nanoscale Phenomena, New York: Nova Science Publishers, 2017. -PP.161-172.

92. Makhankov V.G., Myrzakulov R., Makhankov A.V. // Physica Scripta, 1986. -V.34. -№163.

93. Galasso F. S. Structure and Properties of Inorganic Solids // International Series of Monographs in Solid State Physics. New York, Oxford, 1970. -РР.187-189

94. Бабичев А.П., Бабушкина Н.А. и др. Физические величины. // -М.: Энер-гоатомиздат, 1991. -1232 С.

95. Kawasaki К. // Progr. Theor. Phys. 1976. -V.55.-P.2029.

96. Рахими Ф. Динамические структурные факторы рассеяния нейтронов и инфракрасного света на солитонах квазиодномерных магнетиков // ДАН РТ, 2015. -Т.58.-№2.-С.125-130.

97. Steiner M. at al. Neutron inelastic scattering study of transverse spin fluctuations in CsNiF3 a soliton-only central peak // Solid State Comm., 1982. -V.41.-№ 4.-РР.329-332.

98. Fedyanin V.K., Makhankov V.G. Ideal gas of particle-like excitations at low temperatures. Phys. Scripta, 1983, v.28, рр.221-228.

99. Perdew JP., Burke K., Ernzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple // Phys. Rev. Lett., 1996. -^77.-РР.3865-3868.

100. Becke, A.D. A New Mixing of Hartree-Fock and Local Density-Functional Theories // J. Chem Phys., 1993. -^98.-РР.1372-1377.

101. Bechstedt F., Fuchs F., Kresse G. Ab-initio Theory of Semiconductor Band Structures: New Developments and Progress // Phys. Status Solidi B, 2009. -V.246.-РР.1877-1892.

102. Becke A.D.; Johnson E.R. A Simple Effective Potential for Exchange // J. Chem. Phys., 2006. -V.124.-P.221101.

103. Tran, F., Blaha Р., Schwarz K. Band Gap Calculations with Becke-Johnson Exchange Potential // J. Phys.: Condens. Matter, 2007. -V.19.-P. 196208.

104. Tran F., Blaha Р. Accurate Band Gaps of Semiconductors and Insulators with a Semilocal Exchange-Correlation Potential // Phys. Rev. Lett., 2009. -V.102.-P.226401.

105. Welsch M., Babel D. Kristall struktur-Verfeinerungen an Rubidiumtetrafluo-rometallaten(II): Rb2 M F4 (M=Mg, Co, Ni). H ans-M eerwein-Straße // Marburg, 1990. -D-3550.

106. Babel D. Untersuchungen an ternaeren Fluoriden. Die Kristallstrukturen der hexagonalen Fluoroperowskite // Zeitschrift fuer Anorganische und Allgemeine Chemie, 1969. -V.369.-PP.117-129.

107. Moruzzi V. L., Janak J.F. and Williams A.R. Calculated Electronic Properties of Metals // Pergamon Press, New York, 1978.

108. Zeller R. Spin-Polarized DFT Calculations and Magnetism // NIC Series, 2006. -V.31.-PP.419-445.

109. Blaha Р., Schwarz K., Madsen G.K.H., Kvasnicka D., Luitz J. WIEN2K: An Augmented Plane Wave and Local Orbitals Program for Calculating Crystal Properties, edited by Schwarz, K. Techn // Vienna University of Technology, Austria, 2001.

110. Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple // Phys. Rev. Lett., 1996. -V.77.-PP.3865-3868.

111. Рахими Ф., Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т., Курбониён М.С. Одно- и двухсолитонное решение скалярного нелинейного уравнения Шредин-гера с самосогласованными потенциалами // ДАН РТ, 2017. -Т.60.-№3-4.-С.138-145.

112. Farhod Rahimi and Qurboniyon M.S. Dynamic properties of ferromagnetics // Book of Abstracts: International symposium KSCMBS - 2016 («Khujand Symposium on Computational Materials and Biological Sciences»), Khujand, September 24-28, 2016. -PP. 64-65.

113. Курбониён М.С., Рахими Ф., Холмуродов Х. Квантово-механическое моделирование ферромагнетиков Rb2NiF4 и CsNiF3 с помощью теории функционала плотности // Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова, 2017. -№3(42).-С.52-60.

114. Рахими Ф., Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т., Курбониён М.С. Решение нелинейного уравнения Шредингера с учетом самосогласованных потенциалов // ДАН РТ, 2017. -Т.60.-№1-2.-С.50-57.

115. Mekhrdod Subhoni Q., Kholmirzo T. Kholmurodov and Tomoyuki Yamamo-to. Density functional theory studies of the Mn-doped CaSnO3, CaZrO3, SrTiOs and CaTiOs // International symposium MSSMBS-2017 («Molecular Simulation Studies in Material and Biological Sciences») St. Petersburg, September 7-10, 2017. -P.33-35.

116. Farhod Rahimi, Qurboniyon M.S. Nonlinear dynamics of onedimensional ferromagnetics // Scinentific notes of Khujand state University named after academician B.Gafurov, 2016. -№4(39).-PP.60-68.

117. Курбониён М.С., Рахими Ф., Холмуродов Х. Квантово-механическое моделирование ферромагнетиков Rb2NiF4 и CsNiF3 в рамках теории функционала плотности // ДАН РТ, 2017. -Т.60.-№9.-С.417-423.